Lista 3-2019_1

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Introdução à Probabilidade e Estatística Lista 3 
1) Um instituto de pesquisa revelou que um aspirador de pó consome em média 46 
quilowatts-hora por ano. Uma pesquisa realizada com 12 unidades aleatoriamente 
escolhidas registrou os valores consumidos anualmente pelos aparelhos analisados: 
52 54 49 29 30 33 32 52 58 32 53 30 
a) Ao nível de significância de 0,05, há indícios de que os aspiradores de pó gastam 
menos de 46 quilowatts-hora por ano? Quais as hipóteses a serem consideradas? 
b) Determine o intervalo de 95% de confiança. 
 
2. O resultado de uma pesquisa realizada com 900 adultos sobre os motoristas mais 
perigosos foi: 567 afirmaram que são os adolescentes, 297 afirmaram que são os 
idosos acima de 75 anos e 36 não souberam afirmar. 
a) Construa um intervalo de 99% de confiança para população de adultos que acham 
que os adolescentes são os motoristas mais perigosos. 
b) Determine o tamanho do erro estimado da proporção e o erro percentual estimado, 
onde Erro Percentual Estimado:= |MARGEM DE ERRO NA ESTIMATIVA| * 100%. 
 
 3. Suponha que estamos interessados em estimar a proporção p de consumidores de 
certo produto. Se uma amostra de tamanho 300 forneceu 100 indivíduos que 
consomem o dado produto, determine: 
a) Estimativas do limite do erro próximas de 68% confiável, de 95% confiável e de 99% 
confiável. 
b) Um intervalo de 95% de confiança para p. 
c) O tamanho da amostra para que o Erro Percentual Estimado não exceda 2% 
unidades com probabilidade de 95%. 
 
4. Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média do seu produto é de 800 
horas e segue uma distribuição exponencial. Seja X a variável aleatória que 
representa a vida útil dos tubos de TV. Calcule: 
a) A probabilidade de um tubo se queimar após o tempo médio de vida? 
b) A probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo gratuitamente, se 
oferece uma garantia de 200 horas de uso? 
 
5. Uma máquina misturadora é adaptada para misturar 100 ml de aditivo, para cada 
1000 ml de combustível. Dez porções de 1000 ml são analisadas, apresentando as 
seguintes percentagens de aditivo: 9, 12, 11, 10, 11, 9, 11, 12, 9, 10. Há razões para 
crer que a percentagem de aditivo não é de 10%, ao nível de 10%? Fazer as hipóteses 
necessárias. 
 
6. Uma indústria de refrigerantes afirma que a média do nível de PH na água do rio 
mais próximo é de 6,8. Um engenheiro ambiental seleciona 19 amostras de água e 
mede o PH de cada um. A média amostral e o desvio padrão são 6,7 e 0,24 
respectivamente. Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação da indústria com 
nível de significância máximo de 0,05? Quais hipóteses devem ser testadas ou 
assumidas em relação à população para que a inferência a realizada seja válida? 
 
7. Os produtores de um programa de televisão pretendem modificá-lo se for assistido 
regularmente por menos de 1/5 dos telespectadores. Uma pesquisa foi realizada com 
 
 
 
 
 Centro de Ciência e Tecnologia 
 
 
LEPROD/CCT 
Laboratório de Engenharia 
de Produção 
450 famílias, das quais 85 assistem ao programa regularmente. Ao nível de segurança 
de 5%, qual deverá ser a decisão dos produtores? 
 
8. O consumidor de certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 20% das 
unidades fabricadas apresentam defeito. Para afirmar sua acusação, ele usou uma 
amostra de tamanho 64, onde 25% das peças eram defeituosas. O fabricante poderia 
refutar a acusação, utilizando um nível de significância de 1%? 
 
9. Uma determinada empresa produz e embala automaticamente balas de goma. 
Sabe-se que o conteúdo de cada embalagem é normalmente distribuído, com média 
de 50 balas por embalagem. Para testar o processo, o engenheiro de qualidade 
coletou da população, uma amostra aleatória de 16 embalagens, com média e desvio 
padrão de 51 e 2 balas por embalagem, respectivamente. Pede-se construir um 
intervalo com 99% de confiança para a média do processo e verificar se o processo 
está sob controle (i.e., se não rejeitamos que o número de balas médio seja 50, ao 
nível de significância máximo de 0,01) 
 
10. Uma empresa de laticínios informa que a variância da quantidade de gordura no 
leite integral processado por ela é de não mais que 0,25. Um fiscal desconfia que esta 
informação esteja errada e descobre que uma amostra aleatória de 41 containers de 
leite tem uma variância de 0,27 ao nível de confiança de 95%. Existe evidência 
suficiente para rejeitar a afirmação da empresa? (Considere a população normalmente 
distribuída). 
 
11. O engenheiro de produção de uma indústria de peças plásticas sabe por 
experiência que aproximadamente 5% das peças produzidas por certo modelo de 
máquina injetora é defeituosa. Devido ao aumento na demanda, uma máquina injetora 
do mesmo modelo foi arrendada de outro fabricante de peças plásticas. No primeiro 
turno de produção da máquina foram produzidos 40 lotes de 500 peças. O número de 
peças defeituosas em cada lote encontra foi registrado na tabela abaixo. 
 
Lote 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
N.defeituos-as 27 35 24 37 23 35 27 30 25 34 28 36 24 29 25 
Lote 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
N.defeituos-as 30 24 32 38 32 33 35 24 37 25 35 29 30 25 36 
Lote 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
N.defeituos-as 29 33 24 29 27 32 31 35 28 37 
 
a) Verifique, com nível de significância não maior do que 5%, se a máquina arrendada 
produziu no primeiro turno peças com maior índice de defeitos. 
b) Com 95% de confiança, determine a quantidade limite de peças defeituosas que um 
lote deve ter para que a máquina atenda o índice de defeitos histórico. Identifique o 
lote que excedeu este limite, caso exista. 
 
12. Um comprador de blocos de cimento acredita que a qualidade dos produtos da 
marca A esteja se deteriorando. Sabe-se, por experiência passada, que a força média 
de esmagamento desses blocos deve ser de 400 libras, com desvio padrão de 20 
libras. Uma amostra de 100 blocos da marca A forneceu uma força média de 
esmagamento de 390 libras (supor distribuição normal). Testar ao nível de 2,5%, 
supondo que a qualidade dos blocos tenha diminuído. 
 
13. A tensão de ruptura de cabos fabricados por uma empresa apresenta distribuição 
normal, com média de 1.800 kg e desvio padrão de 100 kg. Mediante uma nova 
técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura teria aumentado. Para 
testar essa declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, obtendo-se como 
tensão média de ruptura 1.850 kg. Pode-se aceitar a proclamação ao nível de 5%? 
 
14. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 
litros por 100 kg, com desvio padrão de 0,8 litros. Uma revista decide testar essa 
afirmação e analisa 35 carros dessa marca, obtendo 11,4 litros por 100 km, como 
consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao nível de 10%, 
o que a revista concluirá sobre o anúncio da fábrica? 
 
15. Calcular o valor de E( 𝜎 ̂), onde 𝜎 ̂= s, e provar que E(𝜎 ̂) < 𝜎, o que indica que s é 
um estimador da variância populacional que não verifica a condição de não ser 
tendencioso. 
 
16. Um fabricante de certo tipo de aço especial afirma que seu produto tem um severo 
serviço de controle de qualidade, traduzido pelo desvio padrão da resistência a tensão, 
que não e maior do que 5 kg por cm. Um comprador, querendo verificar a veracidade 
da afirmação, tomou uma amostra de 11 cabos e submeteu-a a um teste de tensão. 
Os resultados foram os seguintes: = 263 e s2 = 48. Estes resultados trazem alguma 
evidencia contra a afirmação do fabricante? Use   0,05. 
 
17. Certo programa de treinamento busca uniformizar os tempos gastos por 
funcionários em uma das tarefas desenvolvidas no serviço, onde e importante que 
exista a menor variação possívelna execução dessa tarefa. O desvio padrão dos 
funcionários bem treinados e 6 minutos e é razoável supor que a população de todos 
os tempos de funcionários submetidos a esse treinamento seja aproximadamente 
normal. 
Os tempos gastos (em minutos) por quinze funcionários depois de submetidos ao 
programa de treinamento estao listados a seguir. 
 
54 44 55 44 45 59 50 54 62 46 54 
 58 60 62 63 
 
a) Obtenha o intervalo de confiança de 95% para a variância populacional. 
b) Que conjetura lhe sugerem os dados? Essa conjetura se sustenta estatisticamente? 
(use um nível de significância não maior do que 5%). 
 
18. Depois de uma pane geral no sistema de informação de uma empresa, o gerente 
administrativo deseja saber se houve alteração no tempo de processamento de 
determinada atividade. Sabe-se que o tempo de processamento pode ser aproximado 
por uma variável aleatória normal com média de 100 minutos. Uma amostra de 16 
tempos de processamento após a pane revela uma média de 105,5 minutos e um 
desvio padrão de 10 minutos. Como resultado o gerente administrativo afirma que o 
tempo médio de processamento foi alterado. 
(i) A firmação do gerente é sustentada pelos dados? (Trabalhe com um nível de 
significância máximo de 5%). 
(ii) Suponha que, efetivamente, o desvio padrão populacional seja 10 minutos, que 
seja barato levantar amostras do tempo de processamento e que o gerente precisa 
estimar com 90% de confiança o tempo médio de processamento, com um erro 
erro não maior do que 0,5 minutos. O quê sugeriria ao gerente quanto ao tamanho da 
amostra? 
 
19 Lâminas plásticas produzidas por uma maquina se monitoram periodicamente em 
relação a alterações na espessura. Devido a fatores incontroláveis na viscosidade da 
matéria prima, algumas variações na espessura são inevitáveis. Porem, se o 
verdadeiro desvio padrão da espessura excede 1,5 milímetros, o produto se considera 
fora das especificações. Medidas da espessura (em milímetros) de 10 lâminas 
produzidas resultaram no seguinte conjunto de dados: 225, 228, 229, 224, 232, 227, 
231, 225, 227, 233. 
(i) Os dados confirmam a suspeita de que a variabilidade do processo excede o nível 
estabelecido? (Testar com  = 0.05.) Estabeleça as hipóteses feitas sobre a 
distribuição populacional para suas conclusões. 
(ii) Construa um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro valor do desvio 
padrão das espessuras produzidas pelo processo. 
 
20. A concentração do ingrediente ativo em um detergente líquido para lavanderia, 
acredita-se ser afetada pelo tipo de catálise usada no processo. O desvio padrão da 
concentração ativa sabe-se ser de 3 g/l, independente do tipo de catálise. Tomam-se 
dez observações da concentração com cada catálise, mostram-se os dados a seguir: 
Catálise 1: 57,9 66,2 65,4 65,4 65,2 62,6 67,6 63,7 67,2 71,0 
Catálise 2: 66,4 71,7 70,3 69,3 64,8 69,6 68,6 69,4 65,3 68,8 
(i) Encontre um intervalo de 95% de confiança para a diferença das médias de 
concentração ativa para os dois processos de catálise. 
(ii) Existe evidência de que as médias são iguais para os dois processos? (Use  = 
0,05). 
 
21. Dois processos catalíticos são examinados para determinar como seus efeitos 
afetam o resultado médio dum certo processo químico. Especificamente, a catálise 1 é 
usada atualmente, mas a catálise 2 parece aceitável. Sendo esta mais barata, deveria 
substituir a primeira, desde que não mude os resultados do processo todo. Os 
resultados dum teste na planta piloto do processo se mostram na Tabela 1. 
Tabela 1 
Catálise 1 2 3 4 5 6 7 8 
Observações 1 91,50 94,18 92,18 95,39 91,79 89,07 94,72 89,21 
Observações 2 89,19 90,95 90,46 93,21 97,19 97,04 91,07 92,75 
 
Com um nível de significância máximo de 0,05, qual seria sua recomendação em 
relação à adoção da catálise 2? Justifique. (Estabeleça se necessário, as hipóteses 
para aplicação da inferência usada!). 
 
22. Dois tipos diferentes de solução para polimento estão sendo avaliados para 
possível uso na manufatura de lentes intraoculares usados no olho humano depois de 
operação de catarata. Trezentas lentes foram polidas usando a primeira solução; 
destes, 253 não tiveram defeitos induzidos pelo polimento. Outras 300 lentes foram 
polidas usando a segunda solução; destes, 196 resultaram sem defeitos. Existe razão 
para acreditar que as duas soluções de polimento diferem? (Use  = 0,01). 
 
23. Um processo de esterilização usado frequentemente por indústrias que comerciam 
vegetais enlatados consiste em tratá-los com uma grande quantidade de água 
fervendo. Um novo método, denominado Processo de Esterilização por Vapor 
(PEV), espera-se que tire menos vitaminas e minerais dos vegetais, na medida em 
que é mais uma ducha de vapor do que um banho de água. Dez grupos de feijão de 
diferentes origens são usados para comparar o PEV versus o processo padrão. Uma 
metade de cada grupo de feijão é esterilizada com o processo padrão e a outra 
metade com o PEV. As seguintes medidas do conteúdo de vitaminas por libra de feijão 
GRUPO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
PEV 35 48 65 33 61 54 49 37 58 65 
Padrão 33 40 55 41 62 54 40 35 59 56 
 
(a) Os dados fornecem suficiente evidência de que o PEV tira menos vitaminas dos 
vegetais enlatados do que o processo padrão? 
(b) Construa um intervalo de 98% de confiança para a diferença entre as médias do 
conteúdo de vitamina por libra de feijão enlatado usando os dois processos de 
esterilização. 
 
24. Para comparar a idade do primeiro casamento de mulheres de dois grupos étnicos 
diferentes, digamos A e B, amostras aleatórias de 100 mulheres “alguma vez casada” 
são tomadas de cada grupo e registradas a idade do primeiro casamento. A média e o 
desvio padrão resultam ser: 
 A B 
Média 18,5 20,7 
Desvio padrão 5,8 6,3 
Use métodos de testes de hipótese e intervalos de confiança para fazer inferências 
sobre a diferença entre os dois grupos étnicos em relação à idade do primeiro 
casamento. 
Ainda, em relação a este problema, suponha que a pergunta formulada a cada mulher 
das amostras levantadas foi: “A senhora casou-se antes dos 19 anos?” E que as 
seguintes respostas foram obtidas: 
 A B 
SIM 62 29 
Não 38 71 
 
(a) Formular as hipóteses e fazer o teste com α = 0,05. 
(b) Construa um intervalo de 98 % de confiança para pA , a proporção da população de 
mulheres do grupo A alguma vez casadas cujo primeiro casamento foi antes dos 19 
anos. 
(c) Estabeleça um intervalo de 95 % de confiança para diferença pA - pB . 
 
25. Um artigo científico reporta um estudo no qual 14 indivíduos são solicitados para 
estacionar dois carros que possuem diferentes tipos de pneus (largura e raios dos 
pneus muito diferentes). O tempo em segundos para cada indivíduo e cada carro é 
mostrado nos dados a seguir: 
 
 indivíduo 
Carro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
1 37,0 25,8 16,2 24,2 22,0 33,4 23,8 58,2 33,6 24,4 23,4 21,2 36,2 29,8 
2 17,8 20,2 16,8 41,4 21,4 38,4 16,8 32,2 27,8 23,2 29,6 20,6 32,2 53,8 
 
Existe evidência de que a diferença nos pneus influencia a rapidez no 
estacionamento? (Use  = 0,05). 
 
26. Um engenheiro químico está interessado na confiabilidade (estabilidade) das 
medidas de dois tipos de equipamento usados para monitorar o produto de certo 
processo. Ele suspeita que o equipamento atual (Tipo 1) é menos confiável que o 
equipamento novo (Tipo 2). Toma, com esses, propósito, 12 amostras com o Tipo 1 e 
10 com o Tipo 2, resultando as seguintes medidas: 
 
Tipo 1 307 313 313 307 314 305 315 313 306 315 307 310 
Tipo 2 310 309 313 305 315 313 307 315 310 311 
 
 
(i) Com nível de significância máxima de 5%, teste a suspeita do engenheiro(Indique 
as hipóteses necessárias para a validade dos resultados!). 
(ii) Encontre um intervalo de 90% de confiança para a razão das variâncias (Indique as 
hipóteses necessárias para a validade dos resultados!). 
 
 
27. Os horários de despertar (em minutos apos as 5:00) de 40 pessoas que começam 
a trabalhar as 8:00 são mostrados na tabela a seguir. Suponha que o desvio padrão 
populacional e de 45 minutos. Calcule (a) a estimativa pontual da media 
populacional  e (b) a margem de erro para um intervalo de confiança de 90%. 
Na tabela o horário de acordar, em minutos, após as 5:00 h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São assinalados o menor e maior tempo de após a 5:00h. 
 
28. Construa um intervalo de confiança de 90% para a média populacional no 
Exercício 1. Interprete os resultados. 
29. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para ter 95% de confiança de 
que a média da amostra do horário de despertar diste no máximo 10 minutos da 
média populacional do horário de despertar. Use o desvio padrão populacional do 
Exercício 1. 
30. Encontre o valor crítico tc para o nível de confiança c e tamanho de amostra n. 
(a). c = 0,80; n = 10. (b) c = 0,95; n = 24. (c) c = 0,98; n = 15. (d) c = 0,99; n = 30. 
31. Determine o margem
1
 de erro para  nos seguintes casos: 
(a) c = 0,90; s = 25,6; n = 16; x = 72,1. (b) c = 0,95; s = 1,1; n = 25; x = 3,5. 
(c) c = 0,98; s = 0,9; n = 12; x = 6,8. (d) 16. c = 0,99; s = 16,5; n = 20; x = 25,2. 
32. Construa o intervalo de confiança para  usando as estatísticas dos itens (a) e (c) no 
exercício anterior. 
33. Você deseja estimar, com 95% de confiança, a proporção populacional de adultos 
americanos que acham que deveriam estar poupando mais dinheiro. Sua estimativa deve 
ser precisa dentro de uma margem de erro de 5% da proporção populacional. 
(a) Não há estimativas preliminares disponíveis. Encontre o tamanho mínimo da amostra 
necessário. 
(b) Determine o tamanho mínimo da amostra necessário usando um estudo prévio que 
descobriu que 63% dos adultos americanos acham que deveriam estar poupando mais 
dinheiro. (Fonte: Pew Research Center.) 
 
1
 Erro aproximado ou Margem de erro da estimativa de um parâmetro obtido numa amostra é baseada nos intervalos 
de confiança. Isto é, trata-se do intervalo que pode conter o valor real do parâmetro. É o comprimento destes 
intervalos, ou seja, a precisão da estimativa 
135 145 95 140 135 95 110 
50 90 165 110 125 80 125 
130 110 25 75 65 100 60 
125 115 135 95 90 40 40 
75 50 130 85 100 160 135 
45 135 115 75 130 
Dados do problema 27 
34. Os diâmetros (em polegadas) de 17 parafusos, produzidos por uma máquina e 
selecionados aleatoriamente, estão listados a seguir. 
4,477 4,425 4,034 4,317 4,003 3,760 
 3,818 3,749 4,240 3,941 4,131 4,545 
 3,958 3,741 3,859 3,816 4,448 
Suponha que a amostra é de uma população normalmente distribuída e construa os 
intervalos de confiança indicados para (a) a variância da população s² e (b) o desvio padrão 
da população s. Interprete os resultados. Use um nível de confiança de 95%. (c) O desvio 
padrão populacional dos diâmetros dos parafusos deve ser menor que 0,5 polegada. O 
intervalo de confiança que você construiu para s sugere que a variação nos diâmetros dos 
parafusos está em um nível aceitável? Explique seu raciocínio.