PROVA 1(3 SOLUÇÕES) - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA(EAD) 2019/1

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R University
Statistics Exam 2019-05-10 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) (c) X (d) (e)
2. (a) (b) (c) (d) (e) X
3. (a) (b) (c) (d) X (e)
4. (a) X (b) (c) (d) (e)
5. (a) (b) (c) X (d) (e)
6. (a) (b) (c) (d) (e) X
7. (a) X (b) (c) (d) (e)
8. (a) (b) (c) X (d) (e)
9. (a) (b) (c) (d) (e) X
10. (a) (b) X (c) (d) (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Considere as seguintes afirmac¸o˜es.
I - A amostra estratificada divide a populac¸a˜o em subgrupos homogeˆneos de acordo com
determinadas caracter´ısticas como sexo ou faixa eta´ria, selecionando uma amostra propor-
cional a cada um desses subgrupos. II - Na amostragem na˜o probabil´ıstica os elementos da
amostra sa˜o escolhidos aleatoriamente. III - A amostragem sistema´tica na˜o e´ muito conve-
niente quando a populac¸a˜o esta´ naturalmente ordenada. IV - A amostra aleato´ria simples
enumera os elementos da populac¸a˜o e seleciona cada elemento com igual probabilidade.
Quais esta˜o corretas?
(a) Apenas a I, a II e a III.
(b) Apenas a I.
(c) Apenas a I, II, e a IV.
(d) Apenas a III.
(e) I, II, III e IV.
Solution
I- V.
II- F. Amostragem probabil´ıstica: Todos os elementos da populac¸a˜o t?m probabilidade con-
hecida e diferente de zero de participar da amostra. A realiza??o deste tipo de amostragem
so´ ? poss´ıvel se a populac¸a˜o for finita e totalmente acesso´vel. Amostragem n?o probabil´ıs-
tica: Presen?a dos elementos na amostra deve-se a outros crit?rios. Por exemplo, quando
somos obrigados a colher a amostra na parte da populac¸a˜o a que temos acesso.
III- F. Amostragem sistema´tica: Quando os elementos da populac¸a˜o se apresentam ordenados
e a retirada dos elementos da amostra ? feita periodicamente, temos uma amostragem
sistema´tica.
IV- V.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
Assinale a alternativa correta:
(a) A varia´vel e´ discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado inter-
valo.
(b) Em estat´ıstica, entende-se por populac¸a˜o um conjunto de pessoas.
(c) A frequeˆncia relativa de uma varia´vel e´ o nu´mero de repetic¸o˜es dessa varia´vel.
(d) A amplitude total e´ a diferenc¸a entre dois valores quaisquer do atributo.
(e) Uma se´rie histo´rica e´ o registro da variac¸a˜o de uma certa caracter´ıstica ao longo do
tempo.
Solution
Populac¸a˜o ou universo: esse termo e´ usado em estat´ıstica com um sentido bem mais amplo do
que na linguagem coloquial. E´ entendido aqui como todo conjunto de unidades experimentais
(ou observacionais) que apresenta uma ou mais caracter´ısticas em comum. Uma varia´vel
quantitativa discreta assume valores em um conjunto conta´vel. A frequeˆncia relativa de
um valor de uma varia´vel e´ o nu´mero de vezes que este valor ocorre no conjunto de dados
dividido pelo total de elementos do conjunto de dados. A amplitude total de uma varia´vel
quantitativa e´ a diferenc¸a entre os extremos (mı´nimo e ma´ximo) do conjunto de dados.
Statistics Exam: 00001 3
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
3. Problem
Observe o diagrama de caixa (box-plot) do peso de 50 pacientes antes e apo´s a realizac¸a˜o de
um tratamento.
Pe
so
 (k
g)
Antes do tratamento Depois do tratamento
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
Com base nas informac¸o˜es do gra´fico, analise as afirmativas abaixo.
• I - Antes do tratamento, 25% dos pacientes pesavam 92 kg ou mais.
• II - Antes do tratamento, o peso mediano dos pacientes era superior a 87 kg.
• III - Apo´s o tratamento, 75% dos pacientes passaram a pesar menos de 81 kg.
• IV - Apo´s o tratamento, 25% dos pacientes passaram a pesar de 81 kg a 85 kg.
Esta´(a˜o) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s)
(a) III
(b) I, III e IV
(c) II e IV
(d) I e II
(e) I, II e IV
Statistics Exam: 00001 4
Solution
Os quartis Q1, Q2 e Q3 sa˜o os valores que dividem um conjunto de dados ordenados em
quatro partes iguais. O gra´fico de boxplot e´ constru´ıdo a partir dos quartis da distribuic¸a˜o
de um certo conjunto de dados. Os limites inferior e superior da “caixa” do gra´fico sa˜o
especificados pelo 1º e 3º quartis da distribuic¸a˜o, respectivamente. A linha do interior da
“caixa” e´ especificada pelo valor da mediana (2º quartil) da distribuic¸a˜o. As cerquilhas sa˜o
formadas, em geral, pela regra
Q1 − (Q3 −Q1)× 1, 5, cerquilha inferior,
Q3 + (Q3 −Q1)× 1, 5, cerquilha superior.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
4. Problem
Um criador de ovelhas mediu o peso de um grupo de 48 ovelhas no vera˜o, quando as ovelhas
esta˜o tosadas, e verificou que a me´dia do peso foi de 16 kg, com desvio padra˜o de 2.5 kg.
Com a chegada do inverno, o criador deixa a la˜ das ovelhas crescer, e logo em seguida na
primavera, as ovelhas ficam prenhas (esperando filhote). Ao final da gestac¸a˜o, as ovelhas
esta˜o pesando 1,5 vezes o seu peso original, ale´m de 8 kg acrescidos por conta da la˜ que
cresceu. A me´dia e o desvio padra˜o, em kg, do peso das 48 ovelhas no final da gestac¸a˜o, sa˜o
respectivamente:
(a) 32 e 3,75
(b) 24 e 10,5
(c) 24 e 11,75
(d) 25,5 e 5,25
(e) 129,5 e 21,5
Solution
Seja x1, . . . , xn a varia´vel original, e que tem me´dia x¯ e desvio padra˜o sx. Defina yi =
axi + b, i = 1, . . . , n, para a e b constantes. Enta˜o esta nova varia´vel tem me´dia y¯ = ax¯ + b
e desvio padra˜o xy = asx. Na questa˜o temos que a = 1, 5 e b = 8.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
5. Problem
Examinando a figura abaixo, e´ correto dizer:
Statistics Exam: 00001 5
A
B
x
(a) As distribuic¸o˜es possuem o mesmo coeficiente de variac¸a˜o.
(b) O desvio padra˜o de A e´ menor do que o de B e as me´dias sa˜o diferentes.
(c) O desvio padra˜o da distribuic¸a˜o A e´ maior do que o da distribuic¸a˜o B, e as me´dias sa˜o
iguais.
(d) O desvio padra˜o de A e´ igual ao de B, independentemente do valor da me´dia.
(e) O coeficiente de variac¸a˜o de B e´ maior do que o de A.
Solution
A me´dia e´ uma medida de tendeˆncia central e pode ser interpretado como o ponto de equi-
l´ıbrio da distribuic¸a˜o. Ja´ o desvio padra˜o e´ uma medida de variabilidade ou dispersa˜o e pode
ser interpretado como um desvio t´ıpico com respeito a` me´dia da distribuic¸a˜o. Na questa˜o
temos duas distribuic¸o˜es com a mesma me´dia, no entanto vemos que uma delas possui maior
dispersa˜o com respeito a este valor, enquanto que a outra e´ mais concentrada em torno da
me´dia. O desvio padra˜o captura esta informac¸a˜o: maior dispersa˜o, maior e´ o desvio padra˜o;
menor dispersa˜o, menor e´ o desvio padra˜o.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
6. Problem
Considere a seguinte distribuic¸a˜o das frequeˆncias absolutas dos sala´rios mensais, em reais,
referentes a 200 trabalhadores de uma indu´stria.
[]@lc@ Classes de Sala´rio Nº de trabalhadoresR$ 800 ` R$ 900 50R$ 900 ` R$ 1000 70R$
1000 ` R$ 1100 40R$ 1100 ` R$ 1200 30R$ 1200 `a R$ 1300 10
Sobre essa distribuic¸a˜o de sala´rios e´ correto afirmar que:
(a) A mediana encontra-se na classe de R$ 1000 ate´ R$ 1100.
(b) O sala´rio me´dio e´ de aproximadamente R$ 1100.
(c) O desvio padra˜o dos sala´rios e´ pro´ximo de R$ 1000.
(d) A moda encontra-se na classe de R$ 1000 ate´ R$ 1100.
(e) A mediana encontra-se na classe de R$ 900 ate´ R$ 1000.
Statistics Exam: 00001 6
Solution
A mediana encontra-se na classe R$ 900 at? R$ 1000. Como o n?mero de funcion?rios
estudados ? par, 200, deve-se ordenar, em ordem crescente, os valores de acordo com a sua
frequ?ncia e selecionar os dois valores do meio e calcular sua m?dia aritm?tica. O sal?rio
m?dio ? de aproximadamente R$ 940. O desvio padr?o ? pr?ximo de R$ 120.A moda
encontra-sena classe R$ 900 at? R$ 1000, pois ? a que tem maior frequ?ncia.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
7. Problem
Na mega sena e´ preciso acertar os seis nu´meros do carta˜o para ganhar o preˆmio maior. Se
voceˆ jogar um carta˜o com 10 nu´meros enta˜o o nu´mero de amostras poss´ıveis (carto˜es) para
concorrer ao preˆmio maior e´ equivalente a:
(a) 210
(b) 610
(c) 6
(d) 106
(e) 10
Solution
Combina??o de 10 n?meros, agrupados 6 a 6 => 210 possibilidades.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
8. Problem
Em uma corrida de carros, os treˆs corredores eram: Monteiro (M), Doner (D) e Rubem
(R). A probabilidade de Monteiro ganhar e´ duas vezes a de Doner e este tem duas vezes a
probabilidade de Rubem. Quais sa˜o as probabilidades de ganhar de cada um: M, D e R
respectivamente?
(a) 0,57 ; 0,35 ; 0,22
(b) 0,56 ; 0,29 ; 0,17
(c) 0,57 ; 0,29 ; 0,14
(d) 0,57 ; 0,27 ; 0,17
(e) 0,56 ; 0,28 ; 0,15
Solution
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
Statistics Exam: 00001 7
(d) Incorreta
(e) Incorreta
9. Problem
Considere as afirmac¸o˜es abaixo.
I – Se P (A | B) ≥ P (A), enta˜o P (B | A) ≥ P (B).
II – Os eventos A e A¯ sempre sera˜o independentes.
III – Se P (A) = 0, 5 e P (B) = 0, 3 e A e B sa˜o independentes, enta˜o P (A ∪B) = 0, 8.
Quais esta˜o corretas?
(a) A I, a II e a III.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I.
Solution
I - Verdadeiro.
II - Falso.Para serem independentes, e´ necessa´rio que P(A intersecc¸a˜o A¯) = P (A) * P (A¯).
No entanto, como sa˜o eventos complementares, sabemos que a intersecc¸a˜o entre eles e´ igual
a zero.
III - Falso. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P(A intersecc¸a˜o B), como sa˜o independentes, P(A
intersecc¸a˜o B) = P (A) * P (B). Enta˜o, P (A ∪B) = 0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
10. Problem
Os funciona´rios do setor de contabilidade de uma empresa sa˜o divididos em dois grupos, os
que ganham acima de 5 sala´rios e os que ganham abaixo disso. A probabilidade de ganhar
acima de 5 sala´rios e´ de 20%. Ale´m disso, a probabilidade de um indiv´ıduo ter curso superior
dado que ganha um sala´rio mais alto e´ de 80%. Para os funciona´rios de menor rendimento
essa probabilidade e´ de 50%. Sabendo que um funciona´rio possui curso superior, qual a
probabilidade dele ganhar mais de 5 sala´rios?
(a) 0.5
(b) 0.28
(c) 0.8
(d) 0.56
(e) 0.32
Solution
Considere:
probabilidade de ter curso superior = P (CS) probabilidade de ganhar acima de 5 sala´rios
= P (+5) probabilidade de ganhar abaixo de 5 sala´rios = P (−5)
P (+5) = 0.2 P (−5) = 0.8 P (CS | +5) = 0.8 P (CS | −5) = 0.5
P (+5 | CS) = (P (+5) * P (CS | +5)) / (P (CS | +5) * P (+5)) + (P (CS | −5) * P (−5))
P (+5 | CS) = (0.2 * 0.8) / (0.8 * 0.2) + (0.5 * 0.8) P (+5 | CS) = 0.16 / (0.16 + 0.4)
P (+5 | CS) = 0.16/ 0.56 P (+5 | CS) = 0,28
Statistics Exam: 00001 8
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
R University
Statistics Exam 2019-05-10 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) (c) (d) (e) X
2. (a) (b) (c) (d) X (e)
3. (a) X (b) (c) (d) (e)
4. (a) (b) (c) (d) (e) X
5. (a) (b) X (c) (d) (e)
6. (a) (b) X (c) (d) (e)
7. (a) (b) (c) (d) X (e)
8. (a) (b) (c) X (d) (e)
9. (a) X (b) (c) (d) (e)
10. (a) X (b) (c) (d) (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Os clientes da Distribuidora de Arroz KZO Ltda teˆm fichas de cadastro numeradas consecu-
tivamente de 261 a 974. Deve-se selecionar uma amostra aleato´ria de 20 clientes para serem
pesquisados quanto a` “satisfac¸a˜o de atendimento por parte da Distribuidora”. O nu´mero de
elementos dessa populac¸a˜o e´:
(a) 261
(b) 713
(c) 20
(d) 974
(e) 714
Solution
Populac¸a˜o ou universo: esse termo e´ usado em estat´ıstica com um sentido bem mais amplo do
que na linguagem coloquial. E´ entendido aqui como todo conjunto de unidades experimentais
(ou observacionais) que apresenta uma ou mais caracter´ısticas em comum. Na questa˜o em
particular, a populac¸a˜o e´ formada por indiv´ıduos clientes da Distribuidora (caracter´ıstica em
comum das unidades observacionais). O nu´mero de elementos da populac¸a˜o e´, portanto, o
nu´mero de clientes da Distribuidora, que pode ser obtido pelo total de fichas de cadastro
N = (maxfichas − rmminfichas) + 1.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
2. Problem
Assinale a opc¸a˜o correta:
(a) A opc¸a˜o pela amostragem, em relac¸a˜o ao censo, garante a reduc¸a˜o de tempo, mas
conduz sempre ao incremento de custo e a` perda de precisa˜o.
(b) Para que uma amostra seja representativa e´ necessa´rio que ela represente pelo menos
10% da populac¸a˜o.
(c) Um plano de amostragem corretamente elaborado garante que os resultados sera˜o iguais
aos que seriam obtidos se fosse utilizado toda a populac¸a˜o.
(d) A amostragem aleato´ria simples pode ser realizada com e sem reposic¸a˜o.
(e) Uma amostra aleato´ria extra´ıda de uma populac¸a˜o deve superar, no tamanho, a 5% do
nu´mero de elementos populacionais.
Solution
Uma amostra e´ qualquer frac¸a˜o (subconjunto) da populac¸a˜o. Uma amostra e´ dita represen-
tativa quando esta apresenta as mesmas caracter´ısticas da sua populac¸a˜o de origem, mas
isto na˜o quer dizer que as estat´ısticas calculadas na amostra sera˜o iguais aos paraˆmetros
populacionais. Em geral, a amostragem e´ menos custosa, no que diz respeito a tempo e
log´ıstica, entre outros, que a realizac¸a˜o de um censo populacional. Existem diversos proced-
imentos de amostragem, entre eles, a amostragem aleato´ria simples, que pode ser realizada
com reposic¸a˜o (a unidade sorteada para a amostra pode ser sorteada novamente) e sem
reposic¸a˜o (a unidade ja´ sorteada para a amostra na˜o pode mais ser sorteada).
(a) Incorreta
Statistics Exam: 00001 3
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
3. Problem
Em um estudo sobre habitac¸o˜es na cidade de Pelotas, um pesquisador selecionou uma
amostra aleato´ria formada de cinquenta ruas. Os nu´meros de casas em cada rua esta˜o
apresentados a seguir.
2 2 3 10 13 14 15 15 16 16
18 18 20 21 22 22 23 24 25 25
26 27 29 29 30 32 36 42 44 45
45 46 48 52 58 59 61 61 61 65
66 66 68 75 78 80 89 90 92 97
O pesquisador construiu uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias por intervalos, com amplitude con-
stante e com um total de 5 intervalos. Empregando as informac¸o˜es apresentadas, qual o
limite inferior da terceira classe?
(a) 40
(b) 21
(c) 2
(d) 20
(e) 41
Solution
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
4. Problem
Considere que x1, x2, . . . , xn e´ um conjunto de n valores da varia´vel x, e x¯ =
∑n
i xi/n
e´ a me´dia aritme´tica destes valores. A expressa˜o
∑n
i=1 (xi−x¯)
n e´ sugerida como medida de
dispersa˜o. Tal sugesta˜o e´:
(a) insatisfato´ria, a na˜o ser que se calcule sua raiz quadrada.
(b) boa, porque dispersa˜o e´ uma medida de distaˆncia.
(c) boa, porque considera todos os valores do conjunto.
(d) boa, porque depende dos desvios da me´dia.
(e) insatisfato´ria, porque tal medida e´ sempre igual a zero.
Solution
Note que
Statistics Exam: 00001 4
∑n
i=1 (xi − x¯)
n
=
1
n
n∑
i=1
xi − 1
n
n∑
i=1
x¯
= x¯− nx¯
n
= x¯− x¯ = 0.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
5. Problem
Uma fa´brica adquiriu, treˆs carregamentos de feno de alfafa que variaram na quantidade
entregue e no seu conteu´do de prote´ına, conforme tabela abaixo.
[]@lccc@ Carregamento 1 2 3Feno, toneladas 4 2 1Prote´ınas, % 18 10 12
Assinale a alternativa que conte´m o valor correto da percentagemme´dia de prote´ına que
resulta da mistura dos treˆs carregamentos.
(a) 13,7%
(b) 14,9%
(c) 14,3%
(d) 13,3%
(e) 14,6%
Solution
Suponha que para os dados x1, x2, . . . , xn possuem os seguintes pesos p1, p2, . . . , pn, enta˜o a
me´dia aritme´tica ponderada e´ dada por x¯p =
∑n
i=1 xipi∑n
i=1 pi
. Na questa˜o em particular, os
pesos sa˜o dados pelo nu´mero de toneladas de feno de cada carregamento.
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
6. Problem
A tabela abaixo apresenta a distribuic¸a˜o de frequeˆncias das notas obtidas num teste de
matema´tica, realizado por 50 estudantes.
[]@lc@ Notas Frequeˆncia0 ` 2 142 ` 4 74 ` 6 126 ` 8 78 `a 10 10
A me´dia e o desvio padra˜o das notas desses estudantes sa˜o respectivamente
(a) 7,1; 5,4
(b) 4,7; 3,0
(c) 5,9; 4,2
(d) 4,7; 1,2
(e) 3,3; 1,6
Statistics Exam: 00001 5
Solution
A me´dia aritme´tica para dados agrupados por intervalo de classe e´ dada por x¯ =
∑
j cjFj
n
em que, cj e´ o ponto me´dio do intervalo de classe, e Fj e´ a frequeˆncia absoluta da classe j.
Assim, temos
[]@lcc@ Notas Frequeˆncia cjFj0 ` 2 14 142 ` 4 7 214 ` 6 12 606 ` 8 7 498 `a 10 10 90—
——————————– ————- —————————-
∑
j cjFj 234x¯ = (
∑
j cjFj)/50
4.7
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
7. Problem
Na mega sena e´ preciso acertar os seis nu´meros do carta˜o para ganhar o preˆmio maior. Se
voceˆ jogar um carta˜o com 10 nu´meros enta˜o o nu´mero de amostras poss´ıveis (carto˜es) para
concorrer ao preˆmio maior e´ equivalente a:
(a) 106
(b) 6
(c) 610
(d) 210
(e) 10
Solution
Combina??o de 10 n?meros, agrupados 6 a 6 => 210 possibilidades.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
8. Problem
Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade x falecer nesta idade x e qy a probabilidade
de uma pessoa de idade y falecer nesta idade y e px = (1 − qx) e py = (1 − qy), pode-se
afirmar que o resultado da equac¸a˜o [1− pxpy] indica:
(a) a probabilidade de ambos vivos.
(b) a probabilidade de x vivo e y morto ou y vivo e x vivo.
(c) a probabilidade de pelo menos um morto.
(d) a probabilidade de pelo menos um vivo.
(e) a probabilidade de ambos mortos.
Solution
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
Statistics Exam: 00001 6
(d) Incorreta
(e) Incorreta
9. Problem
Dado dois eventos: indiv´ıduo ser viciado em cigarro e indiv´ıduo ser alcoo´latra, a probabili-
dade de ser viciado em cigarros e´ igual a 0,4; de ser alcoo´latra e´ de 0,1 e de ser viciado em
cigarros e alcoo´latra e´ de 0,05.
• Qual a probabilidade de amostrar dessa populac¸a˜o um indiv´ıduo que na˜o seja alcoo´latra
e seja viciado em cigarros?
• Os eventos ser alcoo´latra e na˜o ser alcoo´latra so independentes?
As respostas para as perguntas acima sa˜o respetivamente:
(a) 0,35 e na˜o
(b) 0,4 e sim
(c) 0,25 e na˜o
(d) 0,3 e na˜o
(e) 0,35 e sim
Solution
Vamos considerar A, como o evento ser alco?latra e F, como o evento ser fumante. Dessa
forma, a probabilidade de amostrar dessa popula??o um indiv?duo que n?o seja alco?latra e
seja viciado em cigarros ? dada como
P (Ac ∩ F ) = P ((1−A) ∩ F ) = P (F )− P (A ∩ F ) = 0, 4− 0, 05 = 0, 35
Agora, vamos verificar se os eventos ser alco?latra e n?o ser alco?latra s?o independentes.
Para que ambos os eventos sejam independentes, eles precisam satisfazer a igualdade abaixo
P (A ∩Ac) = P (A) ∗ P (Ac)
Pela regra da probabilidade complementar, temos que P (Ac) = 1− P (A), e assim
P (Ac) = 1− 0, 1
P (Ac) = 0, 9
Note ainda, que o evento P (A ∩ Ac) = 0, pois ambos s?o eventos disjuntos. Intuitivamente
podemos pensar tamb?m que ? imposs?vel uma pessoa ser alco?latra e n?o ser alco?latra ao
mesmo tempo. Assim,
0 6= 0, 1 ∗ 0, 9
0 6= 0, 09
Portanto, os eventos ser alco?latra e n?o ser alco?latra n?o s?o independentes.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
10. Problem
Os funciona´rios do setor de contabilidade de uma empresa sa˜o divididos em dois grupos, os
que ganham acima de 5 sala´rios e os que ganham abaixo disso. A probabilidade de ganhar
acima de 5 sala´rios e´ de 20%. Ale´m disso, a probabilidade de um indiv´ıduo ter curso superior
dado que ganha um sala´rio mais alto e´ de 80%. Para os funciona´rios de menor rendimento
essa probabilidade e´ de 50%. Sabendo que um funciona´rio possui curso superior, qual a
probabilidade dele ganhar mais de 5 sala´rios?
Statistics Exam: 00001 7
(a) 0.28
(b) 0.56
(c) 0.8
(d) 0.32
(e) 0.5
Solution
Considere:
probabilidade de ter curso superior = P (CS) probabilidade de ganhar acima de 5 sala´rios
= P (+5) probabilidade de ganhar abaixo de 5 sala´rios = P (−5)
P (+5) = 0.2 P (−5) = 0.8 P (CS | +5) = 0.8 P (CS | −5) = 0.5
P (+5 | CS) = (P (+5) * P (CS | +5)) / (P (CS | +5) * P (+5)) + (P (CS | −5) * P (−5))
P (+5 | CS) = (0.2 * 0.8) / (0.8 * 0.2) + (0.5 * 0.8) P (+5 | CS) = 0.16 / (0.16 + 0.4)
P (+5 | CS) = 0.16/ 0.56 P (+5 | CS) = 0,28
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
R University
Statistics Exam 2019-05-10 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) X (c) (d) (e)
2. (a) (b) (c) (d) (e) X
3. (a) (b) (c) X (d) (e)
4. (a) (b) (c) (d) (e) X
5. (a) (b) X (c) (d) (e)
6. (a) (b) (c) (d) (e) X
7. (a) (b) (c) (d) (e) X
8. (a) (b) (c) (d) X (e)
9. (a) X (b) (c) (d) (e)
10. (a) (b) X (c) (d) (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Na˜o e´ um objetivo da estat´ıstica descritiva:
(a) Resumir dados.
(b) Estimar paraˆmetros.
(c) Elaborar diagramas.
(d) Organizar dados.
(e) Elaborar distribuic¸o˜es de frequeˆncias.
Solution
A estat´ıstica pode ser subdivida em duas a´reas, a estat´ıstica descritiva e a infereˆncia es-
tat´ıstica. A estat´ıstica descritiva preocupa-se em descrever um conjunto de dados, seja este
uma amostra ou uma populac¸a˜o, atrave´s de resumo dos dados, gra´ficos, etc. A infereˆncia es-
tat´ıstica preocupa-se em generalizar concluso˜es feitas em uma amostra para uma populac¸a˜o.
Uma dos procedimentos de infereˆncia estat´ıstica e´ a estimac¸a˜o de paraˆmetros, e portanto
esta na˜o e´ uma tarefa da estat´ıstica descritiva.
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
Assinale a opc¸a˜o correta:
(a) Para que uma amostra seja representativa e´ necessa´rio que ela represente pelo menos
10% da populac¸a˜o.
(b) Um plano de amostragem corretamente elaborado garante que os resultados sera˜o iguais
aos que seriam obtidos se fosse utilizado toda a populac¸a˜o.
(c) Uma amostra aleato´ria extra´ıda de uma populac¸a˜o deve superar, no tamanho, a 5% do
nu´mero de elementos populacionais.
(d) A opc¸a˜o pela amostragem, em relac¸a˜o ao censo, garante a reduc¸a˜o de tempo, mas
conduz sempre ao incremento de custo e a` perda de precisa˜o.
(e) A amostragem aleato´ria simples pode ser realizada com e sem reposic¸a˜o.
Solution
Uma amostra e´ qualquer frac¸a˜o (subconjunto) da populac¸a˜o. Uma amostra e´ dita represen-
tativa quando esta apresenta as mesmas caracter´ısticas da sua populac¸a˜o de origem, mas
isto na˜o quer dizer que as estat´ısticas calculadas na amostra sera˜o iguais aos paraˆmetros
populacionais. Em geral, a amostragem e´ menos custosa, no que diz respeito a tempo e
log´ıstica, entre outros, que a realizac¸a˜o de um censo populacional. Existem diversos proced-
imentos de amostragem, entre eles, a amostragem aleato´ria simples, que pode ser realizada
com reposic¸a˜o (a unidade sorteada para a amostra pode ser sorteada novamente) e sem
reposic¸a˜o (a unidade ja´ sorteada para a amostra na˜o pode mais ser sorteada).
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
Statistics Exam: 00001 33. Problem
Em um estudo sobre habitac¸o˜es na cidade de Pelotas, um pesquisador selecionou uma
amostra aleato´ria formada de cinquenta ruas. Os nu´meros de casas em cada rua esta˜o
apresentados a seguir.
2 2 3 10 13 14 15 15 16 16
18 18 20 21 22 22 23 24 25 25
26 27 29 29 30 32 36 42 44 45
45 46 48 52 58 59 61 61 61 65
66 66 68 75 78 80 89 90 92 97
O pesquisador construiu uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias por intervalos, com amplitude con-
stante e com um total de 5 intervalos. Empregando as informac¸o˜es apresentadas, qual o
limite inferior da terceira classe?
(a) 41
(b) 20
(c) 40
(d) 21
(e) 2
Solution
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
4. Problem
Examinando a figura abaixo, e´ correto dizer:
A
B
x
(a) O desvio padra˜o de A e´ menor do que o de B e as me´dias sa˜o diferentes.
(b) O coeficiente de variac¸a˜o de B e´ maior do que o de A.
(c) As distribuic¸o˜es possuem o mesmo coeficiente de variac¸a˜o.
Statistics Exam: 00001 4
(d) O desvio padra˜o de A e´ igual ao de B, independentemente do valor da me´dia.
(e) O desvio padra˜o da distribuic¸a˜o A e´ maior do que o da distribuic¸a˜o B, e as me´dias sa˜o
iguais.
Solution
A me´dia e´ uma medida de tendeˆncia central e pode ser interpretado como o ponto de equi-
l´ıbrio da distribuic¸a˜o. Ja´ o desvio padra˜o e´ uma medida de variabilidade ou dispersa˜o e pode
ser interpretado como um desvio t´ıpico com respeito a` me´dia da distribuic¸a˜o. Na questa˜o
temos duas distribuic¸o˜es com a mesma me´dia, no entanto vemos que uma delas possui maior
dispersa˜o com respeito a este valor, enquanto que a outra e´ mais concentrada em torno da
me´dia. O desvio padra˜o captura esta informac¸a˜o: maior dispersa˜o, maior e´ o desvio padra˜o;
menor dispersa˜o, menor e´ o desvio padra˜o.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
5. Problem
Um aluno obteve as notas 2,6; 0,4 e 4,9 nas treˆs avaliac¸o˜es realizadas durante o semestre.
O aluno que na˜o conseguir a me´dia 7,0 nas treˆs avaliac¸o˜es deve realizar o exame final. Na
composic¸a˜o da me´dia final, a me´dia das treˆs avaliac¸o˜es teˆm peso 4, e a nota do exame final
tem peso 6. O aluno sera´ considerado aprovado com a me´dia final superior ou igual a 6.
Para obter aprovac¸a˜o, o aluno citado devera´ conseguir no exame final, nota mı´nima igual a:
(a) 9,0
(b) 8,2
(c) 9,8
(d) 2,6
(e) 8,4
Solution
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
6. Problem
A tabela abaixo apresenta a distribuic¸a˜o de frequeˆncias das notas obtidas num teste de
matema´tica, realizado por 50 estudantes.
[]@lc@ Notas Frequeˆncia0 ` 2 72 ` 4 104 ` 6 96 ` 8 108 `a 10 14
A me´dia e o desvio padra˜o das notas desses estudantes sa˜o respectivamente
(a) 6,4; 3,7
(b) 7,6; 4,9
(c) 5,6; 3,3
(d) 8,4; 5,7
Statistics Exam: 00001 5
(e) 5,6; 2,9
Solution
A me´dia aritme´tica para dados agrupados por intervalo de classe e´ dada por x¯ =
∑
j cjFj
n
em que, cj e´ o ponto me´dio do intervalo de classe, e Fj e´ a frequeˆncia absoluta da classe j.
Assim, temos
[]@lcc@ Notas Frequeˆncia cjFj0 ` 2 7 72 ` 4 10 304 ` 6 9 456 ` 8 10 708 `a 10 14 126—
——————————– ————- —————————-
∑
j cjFj 278x¯ = (
∑
j cjFj)/50
5.6
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
7. Problem
Uma caixa conte´m 8 cilindros, sendo 3 brancos e 5 verdes. A caixa tambe´m conte´m 6
cubos, sendo 4 brancos e 2 verdes. Retirando-se apenas uma pec¸a de forma aleato´ria, a
probabilidade de encontrar um cubo ou uma pec¸a qualquer da cor verde e´:
(a) 13/14
(b) 42/196
(c) 2/6
(d) 3/14
(e) 11/14
Solution
Defina os eventos aleato´rios C = {cubo}, um cubo e´ sorteado da caixa; e V = {verde}, uma
pec¸a verde e´ sorteada. Queremos calcular a probabilidade do evento {C ∪ V }, que e´ dada
por
Pr(C ∪ V ) = Pr(C) + Pr(V )− Pr(C ∩ V ).
Na questa˜o, temos que Pr(C) = 6/14, Pr(V ) = 7/14 e Pr(C ∩ V ) = 2/14.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
8. Problem
Duas urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas e 1 preta
enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se uma urna ao acaso e
em seguida, sucessivamente e com reposic¸a˜o duas de suas bolas, a probabilidade de ocorrer
uma branca e uma preta e´
(a) 7/8
(b) 7/32
(c) 3/16
Statistics Exam: 00001 6
(d) 7/16
(e) 3/8
9. Problem
Dado dois eventos: indiv´ıduo ser viciado em cigarro e indiv´ıduo ser alcoo´latra, a probabili-
dade de ser viciado em cigarros e´ igual a 0,4; de ser alcoo´latra e´ de 0,1 e de ser viciado em
cigarros e alcoo´latra e´ de 0,05.
• Qual a probabilidade de amostrar dessa populac¸a˜o um indiv´ıduo que na˜o seja alcoo´latra
e seja viciado em cigarros?
• Os eventos ser alcoo´latra e na˜o ser alcoo´latra so independentes?
As respostas para as perguntas acima sa˜o respetivamente:
(a) 0,35 e na˜o
(b) 0,4 e sim
(c) 0,3 e na˜o
(d) 0,35 e sim
(e) 0,25 e na˜o
Solution
Vamos considerar A, como o evento ser alco?latra e F, como o evento ser fumante. Dessa
forma, a probabilidade de amostrar dessa popula??o um indiv?duo que n?o seja alco?latra e
seja viciado em cigarros ? dada como
P (Ac ∩ F ) = P ((1−A) ∩ F ) = P (F )− P (A ∩ F ) = 0, 4− 0, 05 = 0, 35
Agora, vamos verificar se os eventos ser alco?latra e n?o ser alco?latra s?o independentes.
Para que ambos os eventos sejam independentes, eles precisam satisfazer a igualdade abaixo
P (A ∩Ac) = P (A) ∗ P (Ac)
Pela regra da probabilidade complementar, temos que P (Ac) = 1− P (A), e assim
P (Ac) = 1− 0, 1
P (Ac) = 0, 9
Note ainda, que o evento P (A ∩ Ac) = 0, pois ambos s?o eventos disjuntos. Intuitivamente
podemos pensar tamb?m que ? imposs?vel uma pessoa ser alco?latra e n?o ser alco?latra ao
mesmo tempo. Assim,
0 6= 0, 1 ∗ 0, 9
0 6= 0, 09
Portanto, os eventos ser alco?latra e n?o ser alco?latra n?o s?o independentes.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
10. Problem
Para corrigir a prova de redac¸a˜o do u´ltimo vestibular, foram contratados treˆs professores.
Cada prova foi corrigida apenas por um professor. O professor A corrigiu 50% das provas,
o professor B corrigiu 30% das provas e o professor C corrigiu o restante. Sabe-se que 10%
das provas corrigidas pelo professor A obtiveram nota zero. O mesmo para o professor B,
ou seja, 10% obtiveram nota zero. Ja´ o professor C atribuiu nota zero para 20% das provas
que corrigiu. O primeiro colocado no vestibular na˜o tirou zero na prova de redac¸a˜o. Qual a
probabilidade de a redac¸a˜o dele ter sido corrigida pelo professor C?
Statistics Exam: 00001 7
(a) 0,78
(b) 0,18
(c) 0,33
(d) 0,80
(e) 0,16
Solution
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta