AP2_GAI-2019 1-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Geometria Anal´ıtica I – 2019.1
Considere a coˆnica
C : 16x2 + 25y2 − 32x+ 100y = 284
para responder a`s questo˜es 1, 2 e 3.
Questa˜o 1 [1,0 ponto]: Classifique a coˆnica C. E, encontre o centro, os ve´rtices, os focos, a reta
focal, a reta na˜o focal, as ass´ıntotas e diretriz, se for o caso, de C.
Questa˜o 2 [1,0 ponto]: Fac¸a um esboc¸o de C num sistema de eixos coordenados OXY que
contenha todos os elementos encontrados na questa˜o anterior.
Questa˜o 3 [0,5 ponto]: Parametrize C.
Soluc¸a˜o:
(1) Completando quadrados na equac¸a˜o dada, temos:
16x2 + 25y2 − 32x+ 100y = 284 ⇐⇒ 16x2 − 32x+ 16 + 25y2 + 100y + 100 = 284 + 16 + 100
⇐⇒ 16(x2 − 2x+ 1) + 25(y2 + 4y + 4) = 400
⇐⇒ 16(x− 1)2 + 25(y + 2)2 = 400
⇐⇒ (x− 1)
2
25 +
(y + 2)2
16 = 1.
A equac¸a˜o
(x− 1)2
25 +
(y + 2)2
16 = 1 representa uma elipse centrada em (1,−2) e reta focal paralela
ao eixo OX, onde a = 5 e b = 4. Logo, como a2 = b2 + c2 ⇐⇒ 25 = 16 + c2 ⇐⇒ c = 3. Sendo
assim, os elementos da elipse sa˜o:
• centro: C = (1,−2)
• reta focal: y = −2;
• reta na˜o focal: x = 1;
• ve´rtices focais: (1± 5,−2)⇒ A1 = (−4,−2) e A2 = (6,−2);
• focos: (1± 3,−2)⇒ F1 = (−2,−2) e F2 = (4,−2);
• ve´rtices na˜o focais: (1,−2± 4)⇒ B1 = (1,−6) e B2 = (1, 2).
(2) O esboc¸o da elipse C pode ser visto na figura 1.
(3) A elipse pode ser parametrizada da seguinte forma:
C :
{
x = 5 cos t+ 1
y = 4 sen t− 2 , t ∈ R.
Questa˜o 4 (2,0 pontos): Encontre a equac¸a˜o reduzida em coordenadas cartesianas da coˆnica C
cuja equac¸a˜o em coordenadas polares e´ r = 41− cos θ . Classifique a coˆnica encontrada e parametrize-
a.
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Figura 1: Elipse C.
Trabalhando com a equac¸a˜o dada temos:
r = 41− cos θ ⇐⇒ r − r cos θ = 4.
Substituindo as equac¸o˜es de mudanc¸a de varia´veis de coordenadas polares para coordenadas cartesi-
anas r =
√
x2 + y2 e x = r cos θ na equac¸a˜o encontrada acima, temos:√
x2 + y2 − x = 4.
Trabalhando a equac¸a˜o encontrada anteriormente temos:
√
x2 + y2 − x = 4 ⇐⇒ √x2 + y2 = 4 + x
⇐⇒ x2 + y2 = (4 + x)2
⇐⇒ x2 + y2 = 16 + 8x+ x2
⇐⇒ y2 = 8(x+ 2).
Logo, C e´ uma para´bola com ve´rtice em (−2, 0), concavidade para a direita e parametrizac¸a˜o:
C :
{
x = t28 − 2
y = t , t ∈ R.
Questa˜o 5 (2,5 pontos): Reduza, por rotac¸o˜es de eixos, a equac¸a˜o da coˆnica abaixo a` sua forma
canoˆnica e classifique a coˆnica encontrada:
2xy + 25 = 0.
Soluc¸a˜o:
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Precisamos encontrar um sistema de coordenadas OX ′Y ′, rotacionado de OXY de modo que, nesse
novo sistema, a equac¸a˜o tenha termo x′y′.
Para encontrar tal sistema, precisamos primeiramente notar que o aˆngulo de rotac¸a˜o de eixos e´
θ = 45◦, pois os valores de A e C na equac¸a˜o dada sa˜o iguais (notac¸a˜o utilizada no material dida´tico
da disciplina).
Logo, vamos considerar as equac¸o˜es de mudanc¸a de varia´vel do sistema OXY para o sistema OX ′Y ′,
obtido por uma rotac¸a˜o de 45◦ dos eixos OXY :{
x = x′ cos 45◦ − y′ sen 45◦
y = x′ sen 45◦ + y′ cos 45◦ ⇐⇒
{
x =
√
2
2 (x
′ − y′)
y =
√
2
2 (x
′ + y′)
Substituindo as equac¸o˜es acima na equac¸a˜o da coˆnica dada, temos:
2
(√
2
2 (x
′ − y′)
)(√
2
2 (x
′ + y′)
)
+ 25 = 0⇐⇒ y
′2
25 −
x′2
25 = 1,
que e´ uma hipe´rbole equila´tera centrada na origem com a = b = 5.
Questa˜o 6 (3,0 pontos): Esboce a regia˜o R do plano representada pelo seguinte sistema de
inequac¸o˜es:
R :

x2 + y2 > 2x+ 4y − 1
x2 > y2 + 6x− 4y − 4
y ≥ 0
e identifique as curvas que delimitam a regia˜o R.
Observac¸a˜o: Na˜o se esquec¸a de fazer o esboc¸o em um sistema de eixos coordenados OXY e de
marcar os pontos de intersec¸a˜o entre as curvas que delimitam a regia˜o .
Soluc¸a˜o:
Queremos encontrar a regia˜o R dada pela intersec¸a˜o das regio˜es R1, R2 e R3, onde
R1 : x2 + y2 > 2x+ 4y − 1,
R2 : x2 > y2 + 6x− 4y − 4,
R3 : y ≥ 0.
A regia˜o R1 e´ limitada pela curva C1 : x2 + y2 = 2x + 4y − 1 ⇐⇒ (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4, que
e´ um c´ırculo centrado em (1, 2) e raio 2. Este c´ırculo divide o plano em duas regio˜es, sendo uma
interior ao c´ırculo e outra exterior ao c´ırculo. Para descobrir qual regia˜o buscamos, vamos substituir
as coordenadas de um ponto pertencente a uma das regio˜es para verificar se ele pertence a regia˜o.
Vejamos se o ponto (1, 2), que e´ o centro do c´ırculo, pertence a regia˜o R1:
12 + 22 > 2 · 1 + 4 · 2− 1⇐⇒ 5 > 9.
Como 5 na˜o e´ maior que 9, a regia˜o que procuramos e´ a regia˜o que na˜o conte´m o centro (1, 2) do
c´ırculo, ou seja, a regia˜o exterior ao c´ırculo. E tambe´m podemos notar que o c´ırculo na˜o pertence a`
regia˜o R1.
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A regia˜o R2 e´ limitada pela curva C2 : (x − 3)2 − (y − 2)2 = 1, que e´ uma hipe´rbole equila´tera
centrada em (3, 2) cuja reta focal e´ paralela ao eixo OX. C2 divide o plano em treˆs partes (ja´
que a hipe´rbole possui dois ramos), sendo uma contendo o centro da hipe´rbole e as outras duas
na˜o contendo o centro da hipe´rbole. Vejamos enta˜o se a regia˜o R2 conte´m o centro da hipe´rbole.
Substituindo as coordenadas (3, 2) do centro de C2 na inequac¸a˜o x2 > y2 + 6x− 4y − 4 obtemos:
32 > 22 + 6 · 3− 4 · 2− 4⇐⇒ 9 > 10.
Como 9 > 10 e´ uma afirmac¸a˜o falsa, conclu´ımos que o centro da hipe´rbole na˜o pertence a` regia˜o
procurada. Com isso, a regia˜o procurada e´ o conjunto formado pelas duas outras regio˜es. Tambe´m
podemos notar que a hipe´rbole C2 na˜o pertence a` regia˜o R2.
A regia˜o R3 e´ limitada pela curva C3 : y = 0, que e´ uma reta horizontal que coincide com o eixo
OX. A reta C3 divide o plano em dois semiplanos, sendo que um deles conte´m pontos que possuem
coordenada y sempre positiva (acima da reta) e o outro o que possui pontos com coordenadas y
sempre negativa (abaixo da reta). E´ fa´cil perceber que a regia˜o que buscamos e´ o semiplano que fica
acima da reta y = 0 e isso fica muito claro se substituirmos o ponto (0, 3), por exemplo, pertencente
ao semiplano que fica acima da reta C3, na inequac¸a˜o R3:
3 ≥ 0.
Como 3 ≥ 0 e´ uma afirmativa verdadeira, a regia˜o que procuramos e´ a que conte´m (3, 0). Tambe´m
podemos notar que a reta C3 pertence a` regia˜o R3.
Para finalizar, precisamos encontrar os pontos de intersec¸a˜o P1 e P2 entre as curvas. Para isso e´
necessa´rio resolver os seguintes sistemas:
(a)
{
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 4
(x− 3)2 − (y − 2)2 = 1 , (b)
{
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 4
y = 0 , (c)
{
(x− 3)2 − (y − 2)2 = 1
y = 0.
Resolvendo o sistema (a) encontramos os pontos P1 = (2 −
√
6
2 , 2 −
√
6+4
√
6
2 ) e P2 = (2 −
√
6
2 , 2 +√
6+4
√
6
2 ), resolvendo o sistema (b) encontramos o ponto P3 = (1, 0) e para o sistema (c) encontramos
P4 = (3−
√
5, 0) e P5 = (3 +
√
5, 0), que esta˜o marcados na figura.
Na figura a seguir, destacamos em azul mais escuro a regia˜o R dada pela intersec¸a˜o das regio˜es R1,
R2 e R3.
Atenc¸a˜o: Os pontos P1, P2, P3, P4 e P5 na˜o pertencem a` regia˜o R.
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Figura 2: Regia˜o R.
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