AP1 GEOMETRIA ANALÍTICA 2023.1 - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Geometria Anaĺıtica I - 2023-1
Gabarito
Código da disciplina: Matemática (grade antiga), Engenharia de Produção e En-
genharia Metereológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Considere o ponto A = (1, 1) e o vetor v⃗ = (−2, 5), para responder as questões 1 e 2:
Questão 1 [1,0 ponto]: Determine a equação cartesiana da reta r que passa pelo ponto A e é
paralela ao vetor v⃗.
Questão 2 [1,0 ponto]: Determine as equações paramétricas das retas s1 e s2 que são paralelas à
reta r e distam
√
29 da reta r.
Resolução:
(1) Pelo enunciado, o vetor v⃗ = (−2, 5) ∥ r. Sendo assim, o vetor (5, 2) é perpendicular à reta r e
esta reta possui equação cartesiana da seguinte forma:
5x + 2y = k,
para algum k real. Como A ∈ r, vamos substituir as coordenadas deste ponto na equação acima
para encontrar o valor de k:
5 + 2 = k ⇐⇒ k = 7.
Portanto, a equação cartesiana da reta r é 5x + 2y = 7.
(2) Como s1 e s2 são retas paralelas à reta r, então s1 e s2 são paralelas ao vetor (−2, 5) e
perpendiculares ao vetor (5, 2). Logo, as equações de s1 e s2 possuem a seguinte forma:
5x + 2y = c,
para algum c real. Como a distância de r e s1 (também a distância de r até s2) é
√
29, então:
d(r, s1) =
√
29 ⇐⇒ |c − 7|√
29
=
√
29 ⇐⇒ c = 36 ou c = −22.
Portanto, as equações cartesianas de s1 e s2 são 5x + 2y = 36 e 5x + 2y = −22, respectivamente.
Considere R a região do plano formada pelos pontos que satisfazem o sistema de inequações a seguir:
R :

x − y ≤ −1
x − 3y ≥ 0
2x − 3y > −3
,
para responder as questões 3 e 4.
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Questão 3 [1,2 ponto]: Determine e classifique as curvas que delimitam a região R, e encontre
os pontos de interseção entre todas as curvas.
Questão 4 [1,8 ponto]: Faça um esboço da região R contendo todos os pontos e curvas que
delimitam a região R.
Resolução:
(3) Queremos encontrar a região R dada pela interseção das regiões R1, R2 e R3, onde
R :

x − y ≤ −1
x − 3y ≥ 0
2x − 3y > −3
A região R1 é limitada pela reta r1 : x − y = −1, que é uma reta que passa pelos pontos (−1, 0) e
(0, 1). Esta reta divide o plano em dois semiplanos, sendo um abaixo e um acima da reta r1.
Analogamente, a região R2 é limitada pela reta r2 : x − 3y = 0, que é uma reta que passa pelos
pontos (0, 0) e (−3, −1). Esta reta divide o plano em dois semiplanos, sendo um abaixo e um acima
da reta r2.
Finalmente, a região R3 é limitada pela reta r3 : 2x − 3y = −3, que é uma reta que passa pelos
pontos (0, 1) e (−3, −1). Esta reta divide o plano em dois semiplanos, sendo um abaixo e um acima
da reta r3.
Sendo assim, as retas r1, r2 e r3 delimitam a região R.
Para finalizar, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas r1, r2 e r3. Para isso é
necessário resolver os seguintes sistemas:
(a)
{
x − y = −1
x − 3y = 0 , (b)
{
x − y = −1
2x − 3y = −3 , (c)
{
x − 3y = 0
2x − 3y = −3.
Resolvendo o sistema (a) encontramos o ponto B = (−3/2, −1/2), resolvendo o sistema (b) encon-
tramos o ponto C = (0, 1) e para o sistema (c) encontramos A = (−3, −1).
A, B e C são os pontos procurados.
(4) Para fazer o esboço da região pedida, precisamos definir a interseção entre as regiões, R1, R2 e
R3. Para isso, testaremos alguns pontos em cada uma delas para determinar cada uma em separado
e depois faremos a interseção de todas elas.
Vejamos se a região R1 contém o ponto (0, 0), que pertence a um dos semiplanos definidos por r1.
Se este ponto pertencer satisfazer a inequação que representa R1, então o semiplano que contém
(0, 0) é o procurado. Substituindo as coordenadas da origem na inequação x − y ≤ −1 obtemos:
0 − 0 ≤ −1 ⇐⇒ 0 ≤ −1,
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que é uma afirmação falsa. Conclúımos, então, que R1 é o semiplano definido pela reta r1 que não
contém a origem do sistema de eixos coordenados. Também podemos notar que a reta r1 pertence
à região R1.
Vejamos então se a região R2 contém o ponto (0, 1), que pertence à um dos semiplanos definidos
por r2. Substituindo as coordenadas do ponto (0, 1) na inequação x − 3y ≥ 0 obtemos:
0 − 3 · 1 ≥ 0 ⇐⇒ −3 ≥ 1,
que é uma afirmação falsa. Logo, R2 é o semiplano definido pela reta r2 que não contém o ponto
(0, 1). Também podemos notar que a reta r2 pertence à região R2.
Vejamos então se a região R3 contém o ponto (0, 0), que pertence à um semiplano definido pela
reta r3. Substituindo as coordenadas do ponto (0, 0) na inequação 2x − 3y > −3 obtemos:
2 · 0 − 3 · 0 > −3 ⇐⇒ 0 > −3,
que também é uma afirmação verdadeira. Sendo assim, R3 é o semiplano definido por r3 que contém
a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Também podemos notar que a reta r3 não pertence
à região R3.
Na figura a seguir, destacamos em azul a região R dada pela interseção das regiões R1, R2 e R3.
Partes das retas r1 e r2 pertencem à região procurada, mas nenhuma parte da reta r3 pertence à
região procurada.
Atenção: Os pontos A e C não pertencem à região R.
Considere os ćırculos C1 : x2 + 8x + y2 − 4y = −16 e C2 : x2 + 4x + y2 − 4y = 8 para responder as
questões 5, 6, 7, 8 e 9:
Questão 5 [1,0 ponto]: Encontre o centro e o raio do ćırculo C1.
Questão 6 [1,0 ponto]: Encontre o centro e o raio do ćırculo C2.
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Questão 7 [1,0 ponto]: Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo centro dos
ćırculos C1 e C2.
Questão 8 [1,0 ponto]: Determine a distância entre os centros dos ćırculos C1 e C2, e use este
valor para mostrar que os ćırculos são tangentes. Justifique cuidadosamente sua resposta e faça um
esboço da situação.
Questão 9 [1,0 ponto]: Encontre a equação cartesiana da reta tangente aos ćırculos C1 e C2,
simultaneamente.
Resolução:
(5) Completando quadrados da equação do ćırculo C1, obtemos:
(x + 4)2 + (y − 2)2 = 4.
Logo, o centro do ćırculo C1 é C1 = (−4, 2) e seu raio é r1 = 2.
(6) Completando quadrados da equação do ćırculo C2, obtemos:
(x + 2)2 + (y − 2)2 = 16.
Logo, o centro do ćırculo C2 é C2 = (−2, 2) e seu raio é r2 = 4.
(7) Analisando os pontos C1 e C2, notamos que a coordenada y dos dois é igual a 2. Logo, a reta
r que passa por C1 e C2 é uma reta horizontal de equação cartesiana y = 2. Logo, suas equações
paramétricas são:
r :
{
x = t
y = 2 , t ∈ R.
(8) Primeiramente, vamos calcular a distância entre os centros dos ćırculos dados:
d(C1, C2) =
√
(−4 + 2)2 + (2 − 2)2 =
√
4 = 2.
Como d(C1, C2) = 2 < 4 = r2, então o ponto C1, que é o centro do ćırculo C1, está no interior do
ćırculo C2.
Além disso, temos que
r2 = r1 + d(C1, C2),
o que indica que C1 e C2 são tangentes. E ainda, podemos concluir que que C1 está contido no
interior de C2.
Veja o esboço a seguir.
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(9) Como a reta que passa pelos centros dos ćırculos é uma reta horizontal de equação y = 2 e a
reta tangente a um ćırculo é perpendicular à reta que contém seu centro, então a reta procurada é
uma reta vertical. Retas verticais possuem equação da forma x = k, sendo k um número real a ser
definido pela situação. Neste caso, o valor de k será definido pelo ponto de interseção entre C1 e C2.
Para encontrar o ponto de interseção entre C1 e C2, precisamos resolver o seguinte sistema:{
x2 + 8x + y2 − 4y = −16
x2 + 4x + y2 − 4y = 8 , t ∈ R.
Subtraindo a segunda equação da primeira, encontramos:
4x = −16 − 8 ⇐⇒ 4x = −24 ⇐⇒ x = −6.
Substituindo −6 na primeira equação, encontramos y = 2. Logo, o ponto de interseção entre os
ćırculos é (−6, 2).
Sendo assim, como a reta tangente ao ćırculo é vertical e passa por (−6, 2), sua equação cartesiana
é x = −6.
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