Medida de Borel em R

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DMA
PROGRAMA DE PO´S-GRADUAC¸A˜O EM MATEMA´TICA
WENDELL BARROS DE SOUZA
MEDIDA DE BOREL EM R
SA˜O CRISTO´VA˜O-SE
2019
Cap´ıtulo 1
Medida de Borel em R
Neste semina´rio construiremos uma teoria para mensurar subconjuntos em R tendo por base que
a medida de um intervalo e´ seu comprimento. Iniciaremos com uma construc¸a˜o mais geral que produz
uma ampla famı´lia de medidas em R cujo domı´nio e´ a σ-a´lgebra de Borel BR
Definic¸a˜o 1.1. Uma medida e´ dita de Borel quando esta estiver definida sobre conjuntos de Borel em
R, ou seja, o domı´nio e´ a σ-a´lgebra de Borel.
Como motivac¸a˜o, suponhamos que µ e´ uma medida de Borel finita e seja
F (x) = µ((−∞, x]),
onde F e´ dita func¸a˜o distribuic¸a˜o de µ. Enta˜o,
(i) F e´ na˜o-decrescente
(ii) F e´ cont´ınua a` direita
(iii) µ((a, b]) = F (b)− F (a), se b > a
Nosso objetivo e´ inverter este processo e construir uma medida a partir de uma func¸a˜o na˜o-
decrescente e cont´ınua a` direita. Obviamente no caso especial F (x) = x, temos o habitual comprimento
de medida, ou seja,
µ((a, b]) = F (b)− F (a) = b− a.
Para isso, nossa teoria sera´ construida a partir dos seguintes intervalos
(−∞, b], (a, b), (a,∞),R, ∅
com −∞ ≤ a < b <∞ . Estes sa˜o chamados de h-intervalos. A famı´lia
Eh = {(−∞, b], (a, b), (a,∞),R, ∅ : a, b ∈ R e b > a}
1
dos h-intervalos e´ uma famı´lia elementar (ou seja, fechada para intersec¸o˜es finitas, o complementar de
cada conjunto da famı´lia e´ unia˜o finita disjunta de conjuntos da famı´lia e ∅ ∈ E).
Da´ı, por E ser uma famı´lia elementar, podemos concluir que a colec¸a˜o das unio˜es disjuntas e
finitas de h-intervalos e´ uma a´lgebra que gera a σ-a´lgebra de Borel BR.
Vejamos agora a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 1.1. Seja F : R→ R na˜o-decrescente e cont´ınua a` direita. Sejam
(aj , bj ] j = 1, . . . , n, com aj ≤ bj
h-intervalos disjuntos dois a dois. Considere que
µ0
( ⋃
1≤j≤n
(aj , bj ]
)
=
n∑
j=1
[F (bj)− F (aj)]
e µ(∅) = 0. Enta˜o, µ0 e´ uma pre´-medida.
Demonstrac¸a˜o. Primeiramente notemos que µ0 ≥ 0 e que µ0 esta´ bem definida. De fato,
µ0
( ⋃
1≤j≤n
(aj , bj ]
)
=
n∑
j=1
[F (bj)− F (aj)] ≥ 0,
pois bj ≥ aj e F e´ na˜o-decrescente. Logo, µ0 ≥ 0
Agora observemos que µ0 esta´ bem definida. Com efeito, se ((aj , bj ])
n
j=1 e´ uma colec¸a˜o de elemnetos
disjuntos dois a dois e ∪nj=1(aj , bj ] = (a, b], enta˜o
∪nj=1(aj , bj ] = (a1, b1] ∪ (a2, b2] ∪ (a3, b3] ∪ · · · ∪ (an−1, bn−1] ∪ (an, bn] = (a, b],
onde a = a1 < b1 = a2 < b2 = a3 < b3 = · · · = an−1 < bn−1 = an < bn = b. Assim sendo,
bj = aj+1, ∀ j = 1, 2, . . . , n.
Consequentemente,
F (bj) = F (aj+1), ∀ j = 1, 2, . . . , n.
Assim os termos da soma acima se anulam ao momento que sa˜o somados, restando
n∑
j=1
[F (bj)− F (aj)] = F (b)− F (a).
Logo,
µ0
( ⋃
1≤j≤n
(aj , bj ]
)
= µ((a, b]).
2
Mais geralmente, se (Ii)
n
i=1 e (Jj)
m
j=1 sa˜o colec¸o˜es de h-intervalos disjuntos dois a dois tais que
n⋃
i=1
Ii =
m⋃
j=1
Jj .
Afirmamos que
Ii =
m⋃
j=1
(Ii ∩ Jj).
Com efeito,
Ii ∩ Jj ⊆ Ii ⇒
m⋃
j=1
(Ii ∩ Jj) ⊆ Ii.
Por outro lado, seja x ∈ Jj . Como
⋃n
i=1 Ii =
⋃m
j=1 Jj , enta˜o x ∈ Ii, para algum i = 1, 2, , n. Da´ı
x ∈ Ii ∩ Jj . Portanto, segue-se a igualdade. Analogamente, mostra-se que Jj = ∪ni=1(Ii ∩ Jj). Dessa
forma, encontramos
µ0(Ii) = µ0
[ m⋃
j=1
(Ii ∩ Jj)
]
.
Consequentemente,
n∑
i=1
µ0(Ii) =
n∑
i=1
µ0
[ m⋃
j=1
(Ii ∩ Jj)
]
,
onde considereamos que
Ii ∩ Jj = (eij , fij ],∀ i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m.
Assim, por hipo´tese, obtemos
n∑
i=1
µ0
[ m⋃
j=1
(Ii ∩ Jj)
]
=
n∑
i=1
m∑
j=1
[F (fij)− F (eij)] =
m∑
j=1
n∑
i=1
[F (fij)− F (eij)]
Da´ı,
m∑
j=1
n∑
i=1
[F (fij)− F (eij)] =
m∑
j=1
µ0
[ n⋃
i=1
(Ii ∩ Jj)
]
=
m∑
j=1
µ0(Jj).
Portanto,
n∑
i=1
µ0(Ii) =
m∑
j=1
µ0(Jj).
Assim, se Ii = (ai, bi], enta˜o
n∑
i=1
µ0(Ii) =
n∑
i=1
µ0((ai, bi]) =
n∑
i=1
[F (bi)− F (ai)] = µ0(∪ni=1Ii).
Do mesmo modo, se Jj = (cj , dj ], obtemos
m∑
j=1
µ0(Jj) =
m∑
j=1
µ0((cj , dj ]) =
m∑
j=1
[F (dj)− F (cj)] = µ0(∪mj=1Jj).
3
Como
∑n
i=1 µ0(Ii) =
∑m
j=1 µ0(Jj), inferimos que
µ0(∪ni=1Ii) = µ0(∪mj=1Jj).
Logo, µ0 esta´ bem definida. Por fim, falta mostrar que se (Ii)
n
i=1 e´ uma sequeˆncia de h-intervalos disjuntos
dois a dois com ⋃
i∈N
Ii ∈ U ,
enta˜o
µ0(∪i∈NIi) =
∑
µ0(Ii).
Uma vez que ∪i∈NIi e´ uma unia˜o disjunta e finita de h-intervalos, a sequeˆncia (Ii)ni=1 pode ser dividida
em um nu´mero finito de subsequeˆncias de tal forma que a unia˜o dos intervalos em cada subsequeˆncia e´
um u´nico h-intervalo. Ao considerar cada subsequeˆncia separadamente e utilizar a aditividade finita de
µ0, podemos assumir que ∪i∈NIi e´ o h-intervalo I = (a, b].Neste caso, temos
µ0(I) = µ0(∪i∈NIi) = µ0(∪ni=1Ii) + µ0(I\ ∪ni=1 Ii) ≥ µ0(∪ni=1Ii) =
n∑
i=1
µ0(Ii),
para todo n ∈ N, pois µ0(I\ ∪ni=1 Ii) ≥ 0, uma vez que, µ0 ≥ 0. Portanto,
µ0(I) ≥
n∑
i=1
µ0(Ii).
Passando ao limite, quando n→∞, obtemos
µ0(I) ≥
∑
µ0(Ii).
Para provar a desigualdade inversa, denotaremos Ii por (ai, bi] e vamos supor primeiro que a e b sa˜o
nu´meros reais. Como F e´ cont´ınua a` direita e na˜o-decrescente, enta˜o dado � > 0, existem δ, δi > 0 tais
que
F (a+ δ)− F (a) < � e F (bi + δi)− F (bi) < �
2i
.
Note que
[a+ δ, b] ⊆ ∪i∈N(ai, bi + δi),
pois (a, b] = ∪i∈N(ai, bi]. Estamos desconsiderando os intervalos que esta˜o inclusos em algum intervalo
maior. Por compacidade, podemos admitir que
[a+ δ, b] ⊆
N⋃
i=1
(ai, bi + δi),
4
onde os intervalos de tal unia˜o esta˜o dispostos de maneira crescente, isto e´,
bi + δi ∈ (ai+1, bi+1 + δi+1),∀i = 1, · · · , N − 1,
e tem um elemento do compacto em questa˜o. Da´ı,
µ0(I) = µ0((a, b]) = F (b)− F (a).
Como F (a+ δ)− F (a) < �, enta˜o
F (b)− F (a) ≤ F (b)− F (a+ δ) + �.
Ale´m disso, como F e´ decrescente, inferimos que
F (b) ≤ F (bN + δN ), F (a+ δ) ≤ F (a1) e F (ai+1 ≤ F (bi + δi),
pois
b < bj + δj ≤ bN + δN , a+ δ ≤ a1(e)ai+1 < bi + δi.
Desta maneira, temos que
F (b)− F (a+ δ) + � ≤
N∑
i=1
[F (bi + δi)− F (ai)] + � =
N∑
i=1
[F (bi + δi)− F (bi)] +
N∑
i=1
[F (bi)− F (ai)] + �.
Dessa forma
µ0(I) ≤
N∑
i=1
[F (bi + δi)− F (bi)] +
N∑
i=1
[F (bi)− F (ai)] + �.
Como F (bi + δi)− F (bi) < �2i para cada i = 1, · · · , N e
N∑
i=1
[F (bi)− F (ai)] =
N∑
i=1
µ0((ai, bi]) =
N∑
i=1
µ0(Ii).
Conclu´ımos que
N∑
i=1
[F (bi + δi)− F (bi)] +
N∑
i=1
[F (bi)− F (ai)] + � ≤
N∑
i=1
�
2i
+
N∑
i=1
µ0(Ii) + �.
Enta˜o encontramos
µ0(I) ≤
∑ �
2i
+
∑
µ0(Ii) + � =
∑
µ0(Ii) + 2�.
Como �e´ qualquer, podemos fazer � tentder a 0 e obter
µ0(I) ≤
∑
µ0(Ii).
Por fim, µ0(I) =
∑
µ0(Ii). Terminando o argumento nos casos em que a e b sa˜o nu´meros reais. Se
5
a = −∞ para qualquer M <∞, o mesmo racioc´ınio e´ aplica´vel, inferindo-se a senguinte desigualdade
F (b)− F (−M) ≤
∑
µ0(Ii) + 2�
Para o caso b =∞, obtemos
F (M)− F (a) ≤
∑
µ0(Ii) + 2�.
Por fim, passando ao limite, quando �→ 0 e M →∞, chegamos ao resultado desenjado. Portanto,
µ0(I) =
∑
µ0(Ii)⇒ µ0(∪i∈N(Ii) =
∑
µ0(Ii).
Como por hipo´tese µ0(∅) = 0, conclui-se que µ0 e´ uma pre´-medida sobre a A´lgebra U .
O pro´ximo resultado estabelece uma correspondeˆncia um a um entre medidas de Borel e func¸o˜es
na˜o-decrescentes.
Teorema 1.1. Se F : R→ R e´ uma func¸a˜o na˜o decrescente e cont´ınua a` direita, enta˜o existe uma u´nica
medida de Borel µF em R tal que
µF
(
[a, b]
)
= F (b)− F (a),∀ a, b.
Se G : R→ R e´ uma outra func¸a˜o com as mesmas caracter´ısticas de F , temos que
µF = µG⇔ F −G = c,
para alguma constante c ∈ R. Reciprocamente, se µ e´ uma medida de Borel em R finita em todos os
conjuntos de Borel limitados e definimos
F (x) =

µ((0, x]), se x > 0
0, se x = 0
−µ((0, x]), se x < 0
enta˜o F e´ na˜o-decrescente, cont´ınua a direita e µ = µF .
Demonstrac¸a˜o. A pre´-medida µ0 originada por F e definida em U , satisfaz a fo´rmula
µ0((a, b]) = F (b)− F (a).
Como R = ∪n∈Z(n, n+ 1] e µ0((n, n+ 1]) <∞, enta˜o µ0 e´ σ-finita. Pelo Teorema da extensa˜o de Hahn,
a pre´-medida µ0 e´ extens´ıvel de forma u´nica a uma medida µF sobre a σ-algebra dos conjuntos de Borel
BR(a qual e´ gerada por U). Com isso,
µF ((a, b]) = F (b)− F (a).
6
Ale´m disso, se G tem as mesmas caracter´ısticas F , enta˜o
µF = µG ⇔ F −G = c
para alguma constante c ∈ R. De fato, analisemos os seguintes casos:
(i) Se x ≥ 0, tome a = 0, logo
µF = µG ⇔ µF ((0, x]) = µG((0, x])
⇔ F (x)− F (0) = G(x)−G(0)
⇔ F (x)−G(x) = F (0)−G(0)
⇔ F −G = c,
onde c := F (0)−G(0)
(ii) Se x < 0, tome b=0, logo
µF = µG ⇔ µF ((x, 0]) = µG((x, 0])
⇔ F (0)− F (x) = G(0)−G(x)
⇔ F (x)−G(x) = F (0)−G(0)
⇔ F −G = c,
onde c := F (0)−G(0)
Logo, µF = µG ⇔ F − G = c. Agora, suponha que µ e´ uma medida de Borel em R finita em todos os
conjuntos de Borel limitados e defina
F (x) =

µ((0, x]), se x > 0
0, se x = 0
−µ((0, x]), se x < 0
Enta˜o, podemos concluir que µ e´ na˜o-decrescente ( pois, por µ ser uma medida⇒µ e´ mono´tona).Se x > 0
e xn ↘ x, enta˜o
⋂
(0, xn] = (0, x].Se x < 0 e xn ↘ x, enta˜o
⋃
(0, xn] = (0, x]. Portanto, em ambos os
casos
F (xn)↘ F (x)
Por fim, µ = µF . Com efeito, considere os seguintes casos,
(i) Seja 0 < a ≤ b. Temos que (a, b] = (0, b]\(0, a]. Da´ı,
µ((a, b]) = µ((0, b]\(0, a]).
Como
(0, a] ⊆ (0, b] eµ((a, 0]) < +∞
7
enta˜o
µ((a, b]) = µ((0, b]\(0, a]) = µ((0, b])− µ((0, a]) = F (b)− F (a).
Dessa forma,
µ((a, b]) = µF ((a, b]).
(ii) Seja a < b < 0. Veja que (a, b] = (a, 0]\(b, 0], onde(b, 0] ⊆ (a, 0]e µ((b, 0]),+∞, assim
µ((a, b]) = µ((a, 0]\(b, 0]) = µ((a, 0])− µ((b, 0]) = −F (a) + F (b).
Consequentemente
µ((a, b]) = µF ((a, b]).
(iii) Seja a < 0 < b. Observe que (a, b) = (a, 0]∪˙(0, b], logo
µ((a, b]) = µ((a, 0]∪˙(0, b]) = µ((a, 0]) + µ((0, b]) = −F (a) + F (b) = F (b)− F (a).
Dessa forma,
µ((a, b]) = µF ((a, b]).
(iv) Seja a = 0 = b. Da´ı
µ((a, b]) = µ((0, 0]) = 0 = F (0)− F (0) = F (b)− F (a)
Portanto,
µ((a, b]) = µF ((a, b]).
Isto mostra que µ((a, b]) = µF ((a, b]) em U , assim pelo Teorema da extensa˜o de Hahn, µ((a, b]) =
µF ((a, b]) em BR.
Antes de darmos in´ıcio a pro´xima sec¸a˜o vejamos as seguintes definic¸o˜es.
Definic¸a˜o 1.2. Uma medida µ : M → [0,∞] e´ completa se M conte´m todos os subconjuntos de
quaisquer conjuntos nulos.
Teorema 1.2. Suponhamos (X,M, µ) um espac¸o de medida. Sejam
(i) N = {N ∈M : µ(N ) = 0} ;
(ii) M = {E ∪ F : E ∈M e F ⊂ N para algum N ∈ N} ;
Enta˜o, M e´ uma σ-a´lgebra e existe uma u´nica extensa˜o µ, da medida µ, a uma medida sobre M. Ale´m
disso, µ e´ completa.
A medida µ no teorema acima e´ chamada de completamento de µ, e M e´ chamado completa-
mento de M com respeito a µ
8
1.1 Medida de Lebesgue-Stieltjes
A teoria de medidas exteriores fornece para cada F na˜o-decrescente e cont´ınua a direita, na˜o so´
a medida de Borel µF mas tambe´m a medida completa µF cujo domı´nio inclui a σ-a´lgebra de Borel BR.
A medida de Lebesgue-Stieltjes associada a func¸a˜o F e´ o completamento da medida µF .
Analisemos a regularidade das medidas de Lebesgue-Stieltjes. Fixada uma medida de Lebesgue-
Stieltjes completa µ sobre R associada a func¸a˜o F na˜o-decrescente e cont´ınua a direita, e denotamos por
Mµ o domı´nio de µ. E´ poss´ıvel concluir que, para cada E ∈Mµ,
µ(E) = inf
{∑
[F (bi)− F (ai)] : E ⊂
⋃
i∈N
(ai, bi]
}
= inf
{∑
µ((ai, bi]) : E ⊂
⋃
i∈N
(ai, bi]
}
.
Na primeira fo´rmula para µ(E) pode-se trocar h-intervalos por intervalos abertos.
Lema 1.1. Seja E ∈Mµ. Enta˜o,
µ(E) = inf
{∑
µ((ai, bi)) : E ⊂
⋃
i∈N
(ai, bi)
}
.
Demonstrac¸a˜o. (≤) Como e´ mono´tona e sub-adtiva, para E ⊂ ∪∞i=1(ai, bi) temos
µ(E) ≤ µ
(
∪i∈N (ai, bi)
)
≤
∑
i∈N
µ(ai, bi).
(≥) Seja µ(E) finito ( ou na˜o), dado � > 0 existe uma sequeˆncia de intervalos fechados a` direita
{(ai, bi]}N com
E ⊂ ∪i(ai, bi]e
∑
i
µ((ai, bi]) ≤ µ(E) + �.
Como a func¸a˜o F e´ cont´ınua a` direita, para todo i ∈ N existe δi > 0 tal que
µ((bi, bi + δi]) = F (bi, bi + δi)− F (bi) < �
2i
.
Logo, temos E ⊂ ∪i(ai, bi + δi) e tambe´m
∑
i
µ((ai, bi + δi)) ≤
∑
i
µ((ai, bi]) +
∑
i
µ((bi, bi + δi]) ≤ µ(E) + 2�.
Teorema 1.3 (A Regularidade das Medidas de Lebesgue-Stieltjes). : Seja E ∈Mµ. Enta˜o,
µ(E) = inf {µ(U) : E ⊂ U e U e´ aberto}
= sup {µ(K) : E ⊂ K e K e´ compacto} .
9
1.2 Medida de Lebesgue
A medida de Lebesgue e´ a medida completa µ = µF associada a` func¸a˜o identidade
F (x) = x.
Indicamos a medida de Lebesgue por m. O domı´nio de m e´ chamado a classe dos conjuntos mensura´veis
a` Lebesgue. Tal conjunto sera´ denotado por L. A restric¸a˜o de m a BR e´ tambe´m dita medida de
Lebesgue.
Teorema 1.4. Se E ⊂ R e t, r ∈ R, considere a translac¸a˜o e a dilatac¸a˜o de E:
E + t = {x+ t : x ∈ E} e rE = {rx : x ∈ E} .
Se E ∈ L, enta˜o E + t ∈ L e rE ∈ L para todos t, r ∈ R. Ale´m disso,
m(E + t) = m(E) e m(rE) = |r|m(E).
Demonstrac¸a˜o. Sabemos que se E e´ uma aberto enta˜o E + t e rE tambe´m sa˜o. O mesmo vale para BR.
Defina, sobre BR, as seguintes medidas
mt(E) = m(E + t) e mr(E) = m(rE).
Note que que mt e mr coincidem, respectivamente, com m e |r|m em intervalos limitados. De fato,
mt((a, b]) = m((a, b] + t) = µ((a+ t, b+ t]) = b+ t− (a+ t)− (a+ t) = b− a = µ((a, b])
e tambe´m temos que
mr((a, b]) = m(r(a, b]) =
µ((ra, rb]), se r ≥ 0µ((rb, ra]), se r < 0 =
 r(b− a), se r ≥ 0−r(b− a), se r < 0
ou seja,
µ((a, b]) = |r|µ((a, b]).
Pelo teorema da extensa˜o de Hahn, inferismos que mt = m e mr = |r|µ em BR. Em particular, se E ∈ BR
e´ tal que m(E) = 0 segue que
m(E + t) = m(E) = 0rE = |r|m(E) = 0,
logo segue o resultado para L ( basta utilizar a definic¸a˜o de completamento).
10
1.3 O conjunto de Cantor
A medida de Lebesgue de um conjunto unita´rio {x}, consistindo de um u´nico ponto e´ 0. Seja
An = (x− 1/n, n+ 1/n), ∀ n ∈ N.
Note que An+1 ⊆ An. Com efeito, seja a ∈ An+1, enta˜o
a ∈
(
x− 1
n+ 1
, x+
1
n+ 1
)
.
Portanto,
x− 1
n+ 1
< a < x+
1
n+ 1
Veja que
x− 1
n
< x− 1
n+ 1
⇔ −1
n
<
−1
n+ 1
⇔ 1
n
>
1
n+ 1
⇔ n+ 1 > n⇔ 1 > 0.
De mesmo modo, observe que
x+
1
n+ 1
< x+
1
n
⇔ 1
n+ 1
<
1
n
⇔ n+ 1⇔ 0 < 1.
Logo,
x− 1
n
< a < x+
1
n
.
Assim a ∈ (x− 1/n, n+ 1/n), ∀ n ∈ N. Portanto, An+1 ⊆ An. Da´ı,
m
( ⋂
n∈N
An
)
= lim
n→∞m(An).
Obviamente, temos que ⋂
n∈N
An = {x} .
Logo,
m({x}) = m
( ⋂
n∈N
An
)
= lim
n→∞m(An) = limn→∞m
((
x− 1
n
, x+
1
n
))
.
Dessa forma ,
m({x}) = lim
n→∞
2
n
= 0.
Consequentemente, a medida de Lebesgue de qualquer conjunto enumera´vel {xn}n∈N tambe´m e´ 0, pois
m({xn}n∈N) = m
( ⋃
n∈N
{xn}
)
=
∑
m({xn}) = 0.
Em particular, como N, Z e Q sa˜o enumera´veis, temos que m(N) = m(Z) = m(Q) = 0. Um exemplo
de um conjunto na˜o-enumera´vel de medida nula e´ o conjunto de Cantor. Mostraremos uma maneira de
11
como construir o conjunto de Cantor. Para cada x ∈ [0, 1] possui uma u´nica representac¸a˜o decimal na
base 3, a menos que x = p3q para alguns p, q ∈ Z. Esta e´ dada por
x =
∑ xn
3n
, com xn = 0, 1 ou 2.
Caso x = p3q , existem duas representac¸o˜es poss´ıveis para este nu´mero, uma com xn = 0 para todo n > q
e ouutra com xn = 2 para todo n > q. No u´ltimo caso,temos que
∞∑
n=q+1
2
3n
=
2
3n+1
∞∑
n=0
1
3n
=
1
3q
.
Defimos o conjunto de Cantor atrave´s da seguinte igualdade
C =
{
x ∈ [0, 1] : x =
∑ xn
3n
, com xn 6= 1, ∀n ∈ N
}
,
isto e´, C e´ encontrado da seguinte maneira: retiramos de [0, 1] o seu terc¸o me´dio aberto
(
1
3 ,
2
3
)
; em
seguida, excluimos os terc¸os me´dios abertos de
[
0, 13
]
e
[
2
3 , 1
]
, isto e´, elimina-se os conjuntos
(
1
9 ,
2
9
)
e(
7
9 ,
8
9
)
, sobrando os intervalos fechados
[
0, 19
]
,
[
2
9 ,
1
3
]
,
[
2
3 ,
7
9
]
e
[
8
9 , 1
]
. O processo segue este percurso.
Proposic¸a˜o 1.2. Seja C o conjunto de Cantor, enta˜o m(C) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Note que C e´ obtido eliminando um intervalo de comprimento 13 , dois de tamanho
1
9 ,
quatro de diaˆmetro 127 , e seguimos este racioc´ınio indutivamente. Logo,
m(C) = 1−
∑ 2n−1
3n
= 1− 1
3
∞∑
n=0
(
2
3
)n
= 1− 1
3
1
1− 23
= 0,
pois
m([0, 1]) = m({0} ∪ (0, 1]) = m({0}) +m((0, 1]) = 1.
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Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] FOLLAND, G. B. Real Analysis Modern Techniques and Their Applications. Pure and Applied
Mathematics (New York) (Second ed.) New York: John Wiley Sons Inc; 1999.
[2] BARTLE, Robert G.; SCHERBAK, I. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. 1◦ Ed.
Wiley-Interscience; 1995.
[3] OLIVEIRA, Oswaldo R.B. Medida e Integrac¸a˜o. Notas de aula; 2016.
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