[MEDIDA] lista 1

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Lista 1 - Integrac¸a˜o
Semestre 2018/2 - Prof. Ricardo M. S. Rosa
Entregar ate´ o dia 6 de agosto de 2018
As questo˜es abaixo se referem a` medida de Lebesgue em Rd, d 2 N, apesar de
alguns resultados valerem no contexto abstrato que veremos mais adiante. A medida
de Lebesgue e´ denotada por m e a medida exterior, por m⇤.
1.a Questa˜o: Seja E ⇢ Rd. Suponha que, para todo " > 0, exista um conjunto
mensura´vel F ⇢ Rd tal que
m⇤(E�F ) < ".
Mostre que E e´ mensura´vel.
2.a Questa˜o: Seja {Ej}j2N uma sequeˆncia de conjuntos mensura´veis.
(1) Mostre que
m(lim inf
j
Ej)  lim inf
j
m(Ej).
(2) Mostre que, se m([Ej) <1, enta˜o
lim sup
j
m(Ej)  m(lim sup
j
Ej).
(3) Deˆ um exemplo de uma sequeˆncia de conjuntos mensura´veis em R tal que
valem as desigualdades estritas
m(lim inf
j
Ej) < lim inf
j
m(Ej) < lim sup
j
m(Ej) < m(lim sup
j
Ej).
(4) Se a sequeˆncia converge e m([Ej) < 1, segue dos resultados acima que
limj m(Ej) = m(limj Ej). Mostre, no entanto, que existe uma sequeˆncia
convergente com m([Ej) =1 e
lim
j
(Ej) > m(lim
j
Ej).
3.a Questa˜o: Demonstre o Lema de Borel-Cantelli: Seja {Ej}j2N uma sequeˆncia de
conjuntos mensura´veis e suponha que
P
j m(Ej) <1. Enta˜o m(lim supj Ej) = 0.
4.a Questa˜o: Dado ⌘ tal que 0 < ⌘ < 1, considere o conjunto do tipo Cantor dado
por C⌘ = \kC⌘,k, onde C⌘,0 = I = [0, 1] e cada C⌘,k, k � 1, e´ a unia˜o de 2k intervalos
obtidos removendo de cada um dos 2k�1 intervalos de Ck�1 um intervalo centralizado
de comprimento `k = (1� ⌘)/3k. Mostre que m(C⌘) = ⌘.
5.a Questa˜o: Seja E ⇢ Rd, d 2 N, um conjunto mensura´vel e considere, para cada
n 2 N, a sua vizinhanc¸a On = {y 2 Rd; 9x 2 E; |y � x| < 1/n}.
(1) Mostre que, se E e´ compacto, enta˜o m(E) = limn!1m(On).
(2) Mostre que existe um E fechado e ilimitado tal que m(E) < limn!1m(On)
(3) Mostre que existe um E aberto e limitado tal que m(E) < limn!1m(On)
2
6.a Questa˜o: Este e´ um exemplo de que existem conjuntos A e B com m(A) =
m(B) = 0 e m(A + B) > 0. Basta considerar o conjunto de Cantor A = C e o
conjunto B = C/2. Nesse caso, mostre que A+B � [0, 1] e, portanto, m(A+B) � 1.
7.a Questa˜o: Exerc´ıcio 28 do Cap´ıtulo 1 do Stein & Shakarski.
8.a Questa˜o: Exerc´ıcio 29 do Cap´ıtulo 1 do Stein & Shakarski.
9.a Questa˜o: Exerc´ıcio 33 do Cap´ıtulo 1 do Stein & Shakarski.
10.a Questa˜o: Seja f : [0, 1] ! R uma func¸a˜o cont´ınua com f(x) > 0, 8x 2 [0, 1].
Seja A = {(x, y) 2 R2; x 2 [0, 1], 0  y  f(x)}. Considerando a medida de
Lebesgue em R2 e a integral de Riemann na reta, mostre que
m(A) =
Z 1
0
f(x) dx.