[MEDIDA] P1 com respostas

Prévia do material em texto

Primeira Prova - Integrac¸a˜o
Semestre 2018/2 - Prof. Ricardo M. S. Rosa
30 de outubro de 2018
Obs: Sejam claros nas suas repostas e fac¸am as devidas justificativas. Boa sorte!
1.a Questa˜o: Considere a medida de Lebesguem e a sequeˆncia (En)n2N dos conjuntos
En =
2n�1�1[
j=0

2j
2n
,
2j + 1
2n
�
.
(1) Determine explicitamente o conjunto lim infn!1En.
lim infn!1En = {0}.
(2) Determine explicitamente o conjunto lim supn!1En.
lim supn!1En = [0, 1).
(3) Dado um intervalo [a, b] com 0  a < b  1, mostre que
lim
n!1
m([a, b] \ En) = b� a
2
.
Considere n 2 N tal que 2nb > 1. Sejam j1 o menor inteiro tal que j1 � 2n�1a
e j2 o maior inteiro tal que j2  2n�1b+1/2, de modo que 2(j1� 1)/2n < a 
2j1/2n e (2j2 � 1)/2n  b < (2j2 + 1)/2n. Assim,[
j1jj2�1

2j
2n
,
2j + 1
2n
�
⇢ [a, b] \ En ⇢
[
j1�1jj2

2j
2n
,
2j + 1
2n
�
,
o que nos da´
b� a
2
� 3
2n+1
<
j2 � j1
2n
 m([a, b] \ En)  j2 � j1 + 2
2n
 b� a
2
+
5
2n+1
.
Portanto, limn!1m([a, b] \ En) = (b� a)/2.
(4) Dado um conjunto mensura´vel A ⇢ [0, 1] qualquer, mostre que
lim
n!1
m(A \ En) = 1
2
m(A).
Como m(A) e´ finito, dado " > 0, existe um nu´mero finito de intervalos dis-
juntos Qj = [aj, bj] ⇢ [0, 1], j = 1, . . . , J , satisfazendo m(A4 F ) < ", onde
F = [jQj e A4 F e´ a diferenc¸a sime´trica entre A e F . Pelo item anterior,
para cada j, existe Nj tal que |m(Qj \ En)�m(Qj)/2|  "/J . Usando que
|m(A)�m(F )|  m(F 4 A) < "
e
|m(A \ En)�m(F \ En)|  m(F 4 A) < "
2
obtemos
|m(A \ En)� 1
2
m(A)|  3"
2
+
JX
j=1
����m(Qj \ En)� 12m(Qj)
����  5"2 ,
para n � N = maxj Nj. Como " > 0 e´ arbitra´rio, obtemos limn!1m(A \
En) = m(A)/2.
2.a Questa˜o: Dada uma func¸a˜o real f definida no intervalo [0, 1], considere a func¸a˜o
f ? definida por
f ?(x) = sup
xy1
f(y), 8x 2 [0, 1].
(1) Mostre que se ('n)n2N e´ uma sequeˆncia de func¸o˜es definidas em [0, 1] que
converge pontualmente para f e 'n(x)  f(x), para todo x 2 [0, 1] e todo
n 2 N, enta˜o a sequeˆncia ('?n)n2N converge pontualmente para f ?.
Para cada x 2 [0, 1], como '  f em todos os pontos de [0, 1], temos '?n(x) =
supxy1 '(x)  supxy1 f(x)  f ?(x). Por outro lado, dado " > 0, existe
y0, x  y0  1 tal que f(y0) > f ?(x) � "/2. Como 'n(y0) converge para
f(y0), obtemos 'n(y0) > f(y0) � "/2 > f ?(x) � ", para n suficientemente
grande. Portanto, f ?(x) � '?n(x) = supxy1 'n(y) � 'n(y0) > f ?(x) � ",
para n suficientemente grande. Como " > 0 e´ arbitra´rio, isso implica em
limn!1 '?n(x) = f
?(x), para todo x 2 [0, 1].
(2) Mostre que se ' e´ uma func¸a˜o simples em [0, 1], enta˜o '? e´ uma func¸a˜o escada.
Seja ' =
PJ
j=1 aj�Ej , onde aj 2 R e os conjuntos Ej sa˜o Lebesgue men-
sura´veis e disjuntos. Para cada j, seja bj = supEj, com b0 = 0. Sem
perda de generalidade, podemos reordenar os conjuntos de tal forma que
0 = b0  b1  ·  bJ  1. Dessa forma, obtemos '? =
PJ
j=1 cj�Ij , onde
cj = max{0, aj, . . . , aJ} e cada Ij e´ um intervalo com extremos bj�1 e bj,
sendo aberto ou fechado a` esquerda ou a` direita dependendo de bj�1 na˜o per-
tencer ou pertencer a Ej�1 e de bj pertencer ou na˜o a Ej, respectivamente.
Outra maneira e´ escrever '(x) =
PJ
j=1 aj�Ej com 0 < aj < . . . < aJ e
EJ ⇢ . . . ⇢ E1, J 2 N. Nesse caso, '?(x) =
PJ
j=1 cj�Ij , onde cj = max{0, aj}
e Ij = [0, bj), se bj = supEj com bj /2 Ej ou Ij = [0, bj], se bj = maxEj.
(3) Mostre que se f e´ mensura´vel e na˜o-negativa, enta˜o f ? tambe´m e´ mensura´vel.
Sendo f mensura´vel e na˜o-negativa, existe uma sequeˆncia de func¸o˜es simples
'n que converge para f pontualmente e com 0  'n  f . Segue, enta˜o, que
'?n ! f ? pontualmente. Ale´m disso, como 'n e´ simples, temos '?n escada, por-
tanto mensura´vel. Logo, f ?, sendo o limite pontual de func¸o˜es mensura´veis,
tambe´m e´ mensura´vel.
3
(4) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o real f em [0, 1] e de uma sequeˆncia ('n)n2N
de func¸o˜es reais em [0, 1] tais que a sequeˆncia converge pontualmente para f
mas ('?n)n2N na˜o converge para f
? em um conjunto de medida positiva.
Por exemplo, f(x) = 0 e 'n(x) = max{0, 1� n|x� 1 + 1/n|}, para x 2 [0, 1],
de forma que '?n ! �[0,1), pontualmente, enquanto que f ? ⌘ 0.
3.a Questa˜o: Seja E ⇢ [0, 1] um subconjunto mensura´vel em relac¸a˜o a` medida de
Lebesguem em R e seja a > 0. Considere a func¸a˜o f dada por f(t) = m(E\[t, t+a]),
para todo t 2 [0, 1].
(1) Mostre que f e´ absolutamente cont´ınua em [0, 1].
Para todo 0 < h < a e t 2 [0, 1], temos
E \ [t+ h, t+ h+ a] = (E \ [t+ h, t+ a)) [ (E \ [t+ a, t+ h+ a])
= ((E \ [t, t+ a)) \ (E \ [t, t+ h)) [ (E \ [t+ a, t+ h+ a]),
de modo que
f(t+ h) = f(t)�m(E \ [t, t+ h)) +m(E \ [t+ a, t+ h+ a])
Logo,
|f(t+ h� f(t)|  max{m(E \ [t, t+ h)),m(E \ [t+ a, t+ h+ a])}  h,
mostrando que f e´ Lipschitz cont´ınua, portanto absolutamente cont´ınua.
(2) Escreve uma decomposic¸a˜o de f da forma f = g � h onde g e h sa˜o na˜o-
decrescentes.
f(t) = m(E \ [t, t+ a]) = m(E \ [0, t+ a])�m(E \ [0, t]) = g(t)� h(t), onde
g(t) = m(E \ [0, t+ a]) e h(t) = m(E \ [0, t]).
(3) Mostre que f 0 = �E�a � �E quase sempre, onde �E�a e �E sa˜o as func¸o˜es
caracter´ısticas dos respectivos conjuntos E � a = {t� a; t 2 E} e E.
Temos, usando, em particular, a invariaˆncia da medida de Lebesgue por
translac¸o˜es, que
f(t) = m(E \ [t, t+ a]) = m((E \ [0, t+ a]) \ (E \ [0, t))
= m(E \ [0, t+ a])�m(E \ [0, t))
= m(E \ [0, a]) +m(E \ [a, t+ a])�m(E \ [0, t])
= m(E \ [0, a]) +m((E � a) \ [0, t])�m(E \ [0, t])
= f(0) +
Z t
0
(�E�a(s)� �E(s)) dm(s).
Como �E�a � �E e´ integra´vel, segue, novamente, que f e´ absolutamente
cont´ınua e, pelo Teorema da Diferenciac¸a˜o de Lebesgue, que f 0 = �E�a � �E
quase sempre. Observe que, em relac¸a˜o a` decomposic¸a˜o f = g � h no item
anterior, temos g(t) = f(0) +
R t
0 �E�a(s) dm(s) e h(t) =
R t
0 �E(s) dm(s).