Distribuição normal

Prévia do material em texto

1 
 
Distribuição normal 
 
Assim como em distribuições de probabilidade discretas é possível utilizar um 
histograma de frequências para representar graficamente a distribuição, na 
distribuição normal (contínua), podemos representar a distribuição em um gráfico. 
 
 No eixo horizontal, abscissa, registramos os valores de X. 
 No eixo vertical, ordenadas, registramos p(X). 
 
A área total limitada pela curva e pelo eixo horizontal é igual a 1; portanto, a área 
sob a curva, compreendida entre as duas coordenadas X=a e X=b, em que a<b, 
representa a probabilidade de X estar situado entre a e b, representada por: 
 { }. 
 
 
A figura a seguir apresenta um gráfico da curva normal com indicação das áreas 
aproximadas (probabilidades) entre alguns valores de σ. 
 
 
A fim de simplificar cálculos, costumamos expressar a variável X em termos de: 
 
 
 
, 
 
A equação é substituída por: 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
Curvas normais, com qualquer μ e σ, podem ser transformadas em uma curva 
normal que tem média igual a 0 (μ=0) e desvio-padrão igual a 1 (σ=1) ou N(0,1). 
Essa curva normal, com média 0 e desvio-padrão 1, é conhecida como curva 
normal reduzida. Suas probabilidades são apresentadas em tabelas de fácil 
utilização. 
 
Como a normal é simétrica, a tabela apresenta somente as probabilidades da 
metade direita da curva. A probabilidade de um intervalo qualquer da metade 
esquerda é igual à probabilidade do intervalo equivalente na metade direita. 
 
Veja a tabela que retorna a probabilidade de ocorrência de um evento entre 0 e z: 
 
 
3 
 
 
 
Na margem esquerda há o valor de z com uma decimal e, se for necessário 
considerar a segunda decimal, deve-se procurá-la na margem superior. 
 
 
 
 
4 
 
Para calcular a probabilidade de z entre 0 e 1, procuramos na margem esquerda a 
linha que tem z=1,0 e a coluna 0,00, e encontramos o valor 0,34134. 
 
Isto significa que a probabilidade de encontrar um valor de x entre a média zero e 
z=1,0 é 0,34134, ou 34,134%. 
 
Por outro lado, para obter a probabilidade de z maior que 1, calculamos a 
probabilidade de z entre 0 e 1, que é 0,34134, e a seguir fazemos 0,5-
0,34134=0,15866, ou 15,866%. 
 
Para obter a probabilidade de z entre 0 e 1,87, procuramos a célula cuja linha é 1,8 
e coluna 0,07. O resultado é o valor 0,469326 ou 46,926%. 
 
Para transformar uma curva normal em uma curva normal reduzida, devemos 
calcular o z equivalente aos limites desejados utilizando a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 x = ponto que se deseja converter em z; 
 μ = média da normal original; 
 σ = desvio-padrão da normal original. 
 
 
Vamos ver um exemplo! 
 
Considerando que a idade de um grupo de 20 pessoas segue uma distribuição 
normal, e que a média de idade do grupo é de 60 anos e o desvio-padrão é igual a 
4, calcule a probabilidade de uma pessoa possuir uma idade entre 60 e 69 anos. 
 
O procedimento é simples. Precisamos saber qual é o intervalo da normal reduzida, 
que é equivalente ao intervalo 60 a 69 da normal original. Aplicando a fórmula da 
curva normal reduzida, são calculados os valores de z para x=60 e x=69. 
 
Para x=60: 
 
 
 
 
Para x=69: 
 
 
 
 
O ponto 60 corresponde a z=0 e o ponto 69 a z=2,25. Assim, o intervalo 60 – 69 
da curva normal original é equivalente ao intervalo 0 – 2,25 da normal reduzida. 
 
Como a probabilidade de z entre 0 e 2,25 é 0,48778 ou 48,778%, podemos afirmar 
que a probabilidade de uma pessoa possuir idade entre 60 e 69 anos é igual a 
0,48778 ou 48,778%.