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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
CAMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO 
DIRETORIA DE GRADUAÇÃO E EDUCAÇÃO PROFISSIONAL 
COORDENAÇÃO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Armando Paulo da Silva, Mestre 
Home page: www.cp.utfpr.edu.br/armando 
e-mail: armando@utfpr.edu.br 
 2 
1. FUNÇÕES 
 
É um dos conceitos mais importante de toda Matemática. 
Pode-se encontrá-lo na Álgebra, na Geometria, na Teoria 
dos números, na Probabilidade ou outro qualquer, quase 
sempre se verifica que os objetos principais de investigação 
são as funções. 
 
As funções são utilizadas por cientistas para descrever as 
relações entre as quantidades variáveis. O uso de 
determinados modelos matemáticos os quais podem resultar 
em funções são, muitas vezes, utilizados para prever 
acontecimentos futuros. 
 
Geralmente ao se analisar determinados acontecimentos 
necessitamos de dados, e esta coleta de dados pode nos 
fornecer uma tabela, a qual pode ser expressa através de um 
gráfico. 
 
Por exemplo, a Tabela 1 e as Figuras 1, 2 e 3 são 
representações que podem ser feitas com seus dados. 
Tabela 1 
Altura dos vencedores do salto com vara em algumas 
Olimpíadas 
 
ANO ALTURA (pés) 
1960 15.42 
1964 16.73 
1968 17.71 
1972 18.04 
1976 18.04 
1980 18.96 
1984 18.85 
1988 19.77 
1992 19.02 
 Fonte: Stewart. 
 
 
 Figura 1 
 
Altura dos vencedores do salto com vara
0
5
10
15
20
25
1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992
ano
al
tu
ra
 ( 
pé
s)
 
 Figura 2 
 
Altura dos vencedores do salto com vara
0
5
10
15
20
25
1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992
ano
al
tu
ra
 ( 
pé
s)
 
Figura 3 
 
Geralmente a análise dos dados feita através dos gráficos 
é mais elucidativa do que a análise feita a partir de uma 
tabela. Além disto, pode-se observar a importância de 
escolher o gráfico que melhor se adapta ao contexto. 
 
1.1 Utilizando gráficos para solucionar problemas 
 
Muitas vezes o gráfico pode nos auxiliar na solução de 
algum problema. Veja o exemplo que se segue: 
(adaptado de Anton, 2000) 
 
 
A Figura 4 nos apresenta um poço de petróleo no mar em 
um ponto W, cujo ponto mais próximo da praia até este 
poço é o ponto A. O petróleo deve ser canalizado de W 
até um ponto B na praia, o qual está a 8 km de A. O 
preço para tubulação feita pelo mar é de R$ 1.000,00 o 
km e pela terra é R$ 500,00. Você recebe três propostas 
e deve decidir qual proposta é mais vantajosa. 
 
Primeira proposta: Canalizar diretamente de W até B 
pelo mar, pois a menor distância entre dois pontos é 
sempre uma linha reta entre eles. 
 
Segunda proposta: Canalizar de W até A pelo mar e de 
A até B pela praia, utilizando-se assim o mínimo de 
tubulações pelo mar. 
 
Terceira proposta: Seguir pelo mar até um certo ponto 
P na praia (entre A e B), e então seguir pela praia até B. ( 
Ver Figura 5) 
Qual é a melhor proposta, levando-se em conta apenas o 
financeiro? 
 
 
Figura 4 
 
 
 3 
 
 Figura 5 
 
Solução: Considere P um ponto qualquer entre A e B, x a 
distância em Km entre A e P e D o custo de toda a 
tubulação. 
 
O custo total será a soma dos produtos da distância 
percorrida pelo mar (WP) e da distância percorrida pela 
terra (PB) pelos seus respectivos valores. 
D = WP. (1.000) + PB. (500). 
A distância que deve ser percorrida em terra PB para 
qualquer um dos casos, é (8 –x). A distância percorrida no 
mar pode ser determinada pelo Teorema de Pitágoras, 
sendo WP = 
25x2 
. 
Daí temos que o custo total da tubulação é dada por D 
=1000
25x2 
 + (8-x) (500). 
Esta função está representada no Gráfico 1. 
 
Analisando o Gráfico 1, podemos observar que 
3x 
é a 
distância que nos fornece o menor custo. Como para a 
primeira proposta: P = B, logo x = 8, para a segunda 
proposta: P = A, logo x = 0 e para a terceira proposta: P é 
algum valor entre zero ( 0 ) e oito ( 8 ), concluímos que a 
terceira proposta é a que melhor adapta ao contexto pois 
apresenta o menor custo. 
 
1.2 Utilizando funções para solucionar problemas 
 
Muitas vezes é possível encontrar um modelo matemático 
que descreva o comportamento dos dados. Estes modelos 
geralmente são funções, e a análise analítica desta função 
(isto é, dos modelos encontrados), pode nos auxiliar na 
compreensão e solução do problema em questão. Entretanto 
salienta-se que para encontrar estes modelos é necessário um 
bom conhecimento matemático sobre funções. 
 
 
(Ferruzzi, 2003) Consumo de energia elétrica no 
Paraná 
 
A Tabela 2 nos apresenta o consumo de energia elétrica 
no estado do Paraná no período de 1992 à 1999. Os 
dados constantes nesta tabela foram fornecidos pela 
Copel. Com base nestes dados, é possível prever o 
consumo de energia elétrica neste estado no ano de 
2004? 
Tabela 2 
Consumo de Energia no Paraná no tempo 
 
t N Cn em TWh 
0 1992 10,696643 
1 1993 11,432419 
2 1994 11,957966 
3 1995 12,996213 
4 1996 13,862816 
5 1997 14,600576 
6 1998 15,391161 
7 1999 16,029786 
 
Resolução: 
Para fazer esta previsão necessitamos de um modelo 
matemático o qual descreva o comportamento destes 
dados. Utilizando a planilha de cálculo Excel, podemos 
obter a curva de tendência destes dados. Esta curva e o 
modelo encontrado estão representados na Figura 6 e 7. 
 
Consumo de energia elétrica no Paraná
5
7
9
11
13
15
17
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
anos - iniciando em 1992
co
ns
um
o 
TW
H
 
 Figura 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7 
 
 
Como podemos observar o consumo de energia elétrica 
no estado do Paraná tende a estabilizar-se e o modelo 
encontrado é 
  t0075,0e.81,10641,117tC 
. 
 Comportamento do consumo de energia elétrica no Estado do Paraná 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 
tem po em anos 
co
ns
um
o 
 4 
Com este modelo podemos prever o comportamento para 
qualquer tempo. Assim, para o ano de 2004, a previsão para 
o consumo é de 19.8 TWh. 
 
Diante do exposto, verificamos a importância deste tópico 
no mundo real. 
1.3 Conceito de função 
 
Definição: Sejam A e B subconjuntos de R. Uma função f 
definida em A é uma regra, ou lei de correspondência, que 
atribui um único elemento de B a cada elemento x de A. O 
conjunto A é chamado domínio de f e B é chamado 
contradomínio de f. 
 
Escrevemos: 
(x) x 
 :
 f
BAf


 
 
Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela 
é livre para assumir qualquer valor do domínio, e chamar y 
de variável dependente, porque seu valor numérico depende 
da escolha de x. 
 
Deve-se construir um tanque de aço, para armazenagem de 
gás propano, na forma de um cilindro circular reto de 4m de 
comprimento, com um hemisfério em cada extremidade ( 
Ver Fig. 8). O raio r deve ser determinado. Expresse o 
volume V do tanque como função de r. 
 
 Figura 8 
 
Solução: O volume do tanque é: 
)3r(r
3
4
r4r
3
4
V 223 
 
 
Esta fórmula exprime V (variável dependente) como função 
de r ( variável independente). 
 
1.4 Domínio,contradomínio e imagem de uma função 
Considere a função 
BA:f 
 , representada pelo 
diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: Conjunto de todos os elementos pertencentes 
ao conjunto A. Indicamos esse conjunto por Dom ( f ) 
ou D(f). No exemplo, o domínio é Dom ( f ) = A 
O domínio no gráfico é obtido pela projeção do gráfico 
sobre o eixo das abscissas. 
 
Contradomínio: é o conjunto de todos os elementos 
pertencentes ao conjunto B. Indicamos esse conjunto 
por CD( f ). No exemplo, CD(f ) = B 
 
Conjunto Imagem: É o conjunto formado pelos 
elementos de B que são imagens dos elementos do 
domínio. Indicamos esse conjunto por Im ( f ). No 
exemplo 
 3,2,1)fIm( 
 
A imagem no gráfico é obtida pela projeção do gráfico 
sobre o eixo das ordenadas. 
 
Observação: O domínio é chamado também de “campo 
de existência” da função, e o contradomínio de “campo 
de valores” de f. 
 
Exemplo: 
 
1-Analise se os seguintes gráficos representam ou não 
funções: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Domínio e da imagem de uma função através do 
gráfico 
Considere a função representada pelo gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
 0 
 
 2 
 
 4 
1 
 4 
2 
 5 
3 
Domínio 
 
y 
 6 
6 
 1 
 
1 
x 
2 5 
Conjunto 
imagem 
 5 
Dado o gráfico de uma função f: 
 
Domínio é o conjunto formado por todas as abscissas dos 
pontos do gráfico de f, ou seja, Dom ( f ) = 
 5,2
 
 
Conjunto Imagem é formado por todas as ordenadas dos 
pontos do gráfico de f, isto é, 
Im (f) = 
 6,1
. 
CONCEITOS IMPORTANTES 
Função Crescente: Uma função f é crescente num intervalo 
),f(DomI 
 se para quaisquer x1 e x2 de I, 
21 xx 
 
implicar 
)x(f)x(f 21 
. 
 
 
).2x(f)1f(x tivermos,2x1x e D2x,1x 
 
 
 
Função Decrescente: Uma função f é crescente num 
intervalo 
),f(DomI 
 se para quaisquer x1 e x2 de I, 
21 xx 
 implicar 
)x(f)x(f 21 
. 
 
 
).2x(f)1f(x tivermos,2x1x e D2x,1x 
 
 
 
Observações: 
 
1) Uma função pode ser estritamente crescente ou 
decrescente em todo seu domínio. Entretanto, é possível que 
ela seja crescente em um ou mais intervalos de seu domínio 
e crescente em outros. 
 
2) Para um determinado intervalo I do domínio da função, 
ao analisarmos o seu gráfico, sempre da esquerda para 
direita, isto é, aumentando os valores de x, se a curva “sobe” 
ou “desce” ( y aumenta ou diminui), temos, 
respectivamente, o crescimento ou decrescimento da função 
no intervalo. 
 
Função Par: Dizemos que uma função 
BA:f 
 é par 
se, e somente se, 
Ax
 

 f ( x ) = f ( x ). 
 
Função Impar: Dizemos que uma função 
BA:f 
 é 
ímpar se, e somente se, 
Ax
 

 f ( x ) =  f ( x ). 
 
Exercício: 
 
1) Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Analise o gráfico abaixo e responda as seguintes 
questões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O domínio da função. 
b) A imagem da função. 
c) O valor de f(1). 
d) O intervalo em que a função é crescente. 
e) O intervalo em que a função é constante. 
f) O intervalo em que a função é decrescente. 
 
2. FUNÇÃO CONSTANTE 
 
Definição: É toda função do tipo: f(x) = k que associa a 
qualquer número real x um mesmo número real k. 
 
 
5 f(x) b) 4)x(f)a 
 
 
Gráfico: Para construir o gráfico das funções constantes 
, basta atribuir valores para a variável x e encontrar o 
valor de y. 
 
Seja 
4)( xf
, atribuímos valores à variável x, como 
apresentado na Tabela 3. 
Tabela 3 
x f(x) 
1 4 
0 4 
1 4 
 
-1 
3 
3 -3 
y 
x 
y 
x 
-1 
-1 
-2 
2 
3 1 
-3 
y 
x 
y 
x 
-2 
1 
y 
x 
y 
x 
2 
1 
2 
y 
x 
 6 
O gráfico desta função é uma reta paralela ao eixo das 
abscissas, como mostra a Figura 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9 
 
Verificamos que para qualquer valor de x, a imagem 
permanece constante, sendo assim, podemos construir o 
gráfico sem construir uma tabela. Neste exemplo, para 
qualquer valor de x, a imagem (y) sempre será igual à 4. 
 
3. FUNÇÃO LINEAR 
 
Seja m um número real. Uma função linear é uma função 
f:R R que para cada x em R, associa f(x)= m x. 
Exemplos: 
a) f(x) = 3x 
b) g(x) = - 2x 
c) h(x) = x/2 
O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela 
origem (0,0). ( Ver Fig. 10) 
 
 Figura 10 
 
4. FUNÇÃO IDENTIDADE 
 
Definição: É a função 
:f
 definida por: f(x) = x. 
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e 
terceiro quadrantes, como apresentado na Figura 11. 
 
 Figura 11 
 
 
5. FUNÇÃO DE 1º GRAU: 
 
Definição: Seja 
,:f 
 tal que f(x) = ax + b; com a e 
b

(
0a 
), onde: 
a: coeficiente angular da função, 
b: coeficiente linear ( onde “corta” o eixo y) 
 se a > 0 a função é crescente 
 se a < 0 a função é decrescente 
 se a = 0 a função é constante 
 
Obs.: O gráfico da função de 1ºgrau ( com domínio 
reais) é sempre uma reta. 
 
5.1 - Zero da Função: 
 
É o valor de x, cuja imagem y, é nula. ( onde intercepta o 
eixo das abscissas ): ax + b = 0 
 
5.2 Construção do Gráfico: 
 
Monta-se uma tabela entre x e y e atribuem-se valores 
para x, calculando os valores de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 Encontrando modelos lineares a partir de dados 
numéricos 
Uma forma de determinar se n pontos estão sobre uma 
reta é comparar as inclinações dos segmentos de reta 
formados por pontos consecutivos. Os pontos estão sobre 
uma mesma reta, se e somente se, estas inclinações 
forem iguais. 
 
 
Considere a Tabela 4. Verifique se estes pares ordenados 
estão sobre uma mesma reta. Se estiverem, encontre o 
modelo linear que relaciona y como função de x. 
Tabela 4 
x f(x)=y 
1 0.5 
1.5 1.1 
2 1.7 
2.5 2.3 
 
Resolução. Verificamos que estes pares ordenados estão 
sobre uma mesma reta, pois cada acréscimo de 1 
unidade para x produz 1.2 unidades de acréscimo para 
y. Assim a inclinação dos segmentos de reta que une 
quaisquer dois pontos neste conjunto de dados é dada 
por: 
12
12
xx
yy
m



 

5,0
6,0
m
1,2 
 
Agora, uma das maneiras de se encontrar o modelo 
linear apropriado, é substituir dois pontos quaisquer na 
forma linear f(x) = mx +b e resolver o sistema 
encontrando a constante b. 
Assim, teremos que f(x)=1,2x  0,7. 
b 
 
y 
x 
a
b

 
4 
y 
x 
 7 
A Figura 12 mostra o comportamento de uma partícula no 
decorrer do tempo. 
a) qual é a velocidade da partícula? 
b) qual é a coordenada d da partícula em t = 0? 
c) em que instante a partícula tem coordenadad = 2? 
 
 Figura 12 
 
Respostas: 
a) 
s/m9,0
10
9
t
d
v 



 
assim, m = 0,9 
 
Como e no tempo zero, d = -4, temos: 
d(t)=m t + q 
- 4 = 0 +q 
q = - 4 
 
b) d(0)=  4m 
e) d = 0,9 t 4 
 2= 0,9 t 4 
 t 

 6,666... s 
 
Exercícios: 
 
1) Determine o zero da função, indique o coeficiente 
linear e angular e diga se a função é crescente, 
decrescente ou constante.: 
2
4x3
y )c x2y )b 6x2y )a


 
2) Construa os seguintes gráficos: 
2
2
x
 =y ) 2 ) 3 ) 12 )  dycxybxya
 
 
5.3 Aplicações de função de 1º grau 
 
1. O custo C de produção de x litros de uma certa substância 
é dado por uma função linear x, com 
0x
, sendo C(0)= 
400 e C(8) = 520. Nessas condições, o custo de R$ 700,00 
corresponde à produção de quantos litros? 
 
Resultado: x = 20 litros 
 
2. Considere esta tabela para o cálculo do imposto de rende 
a ser pago pelos contribuintes em um certo mês de 1990. 
x I d 
Renda líquida (R$) Alíquota(%) Parcela a deduzir (R$) 
até 25.068,00 isento - 
de 25.068,01 a 83.561,00 10 2.506,80 
Acima de 83.561,00 25 N 
 
Considerando x como a renda líquida de um 
contribuinte, o imposto a pagar é função de x. O 
contribuinte deve multiplicar a sua renda líquida pelo 
valor da alíquota e subtrair do resultado a parcela a 
deduzir. Além disso, tal função deve ser contínua, para 
não prejudicar nem beneficiar contribuintes cuja renda 
líquida se situe em faixas distintas da tabela. Note, por 
exemplo, que, ao passar da primeira faixa (isentos) para 
a segunda ( alíquota de 10%), a parcela a deduzir 
(2.506,80) não permite saltos no gráfico. 
 
1. Utilize os valores de i e d da tabela e dê a expressão da 
função “impostos a pagar” relativa a uma renda x, em 
cada faixa da tabela. 
 
Resultado:
068.25x 
0)( xf
 
561.83068.25  x 
80,506.2
10
)( 
x
xf
 
561.83x 
n
x
xf 
4
)(
 
2. Determine o valor de n da tabela para tornar a função 
obtida no item 1 contínua. 
Resultado: n = 15.040,95 
 
Atividade: Calcular o imposto devido pelo Sr. Pitágoras 
Venn conforme as seguintes informações: 
Rendimentos tributáveis: R$ 3.386,88 
Previdência oficial: R$ 308,09 
Dependente: 4 
(O valor da dedução é R$ 117,00 mensais por 
dependente). 
Pensão Judicial: 404,30 
Outras deduções: 548,00. 
Determine: 
a) Qual a base de cálculo? 
b) Qual o imposto dedido? 
c) Qual a função que representa o cálculo do imposto de 
renda. 
 
http://www.receita.fazenda.gov.br 
 
3. Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a 
seguinte decisão: dividiria sua fortuna entre sua filha, 
que estava grávida, e a prole resultante dessa gravidez, 
dando a cada criança que fosse nascer o dobro daquilo 
que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo 
daquilo que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino. 
Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina. 
Como veio a ser repartida a herança legada? 
 
Resposta: Mãe=H/8 , Cada menino = H/4 e a menina = 
3H/8 
 
4. Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do 
que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. 
O avião a jato voa a uma velocidade média de 660 km/h, 
enquanto o avião a hélice voa em média a 275 km/h. 
Qual é a distância entre São Paulo e Boa Vista? 
 
Resposta: 3.300 km 
 8 
5. O Salário médio, por hora de trabalho, numa fábrica de 
110 trabalhadores é de R$ 25,00. Calculando-se no entanto, 
apenas com os 100 trabalhadores homens, a média passa a 
ser R$ 26,50. Qual o salário médio das mulheres, por hora 
de trabalho, em reais? 
 
Resposta: R$ 10,00 
 
6. Paulo e Joana recebem o mesmo salário por hora de 
trabalho. Após Paulo ter trabalhado 4 horas e Joana 3 horas 
e 20 minutos, Paulo tinha a receber R$ 15,00 a mais que 
Joana. Calcule, em reais, um décimo do que Paulo recebeu. 
 
Resposta: R$ 9,00 
 
7. Supondo que dois pilotos de Fórmula 1 largam juntos 
num determinado circuito e completaram, respectivamente, 
cada volta em 72 e 75 segundos, responda: depois de 
quantas voltas do mais rápido, contadas a partir da largada, 
ele estará uma volta na frente do outro? 
 
Resposta: 25 voltas. 
 
8. A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano 
Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade: 
 
Profundidade Superfície 100m 500m 1000m 3000m 
Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC 
 
Admitindo que a variação da temperatura seja 
aproximadamente linear entre cada duas medições feitas 
para a profundidade, a temperatura prevista para a 
profundidade de 400 m é de: 
 
a) 16ºC b) 14ºC c) 12,5ºC x d) 10,5ºC e) 8ºC 
 
9. Para produzir um objeto, um firma gasta R$ 1,20 por 
unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, 
independente da quantidade produzida. O preço de venda é 
de R$ 2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de 
unidades, a partir do qual a firma começa a ter lucro? 
 
Resposta: 5.000 unidades. 
 
10. Um botânico mede o crescimento de uma planta, em 
centímetros, todos os dias. No quinto dia a planta tinha 1 cm 
e no décimo dia 2 cm. Se for mantida sempre esta relação 
entre tempo e altura, qual será altura da planta no trigésimo 
dia? 
 
Resposta: 6 cm. 
 
11. Duas funções importantes são: Receita total: RT = P * Q 
e Custo total: CF + CVU*Q, onde: P+ preço de venda 
unitário; CF= custo fixo; CVU= custo variável unitário; Q = 
quantidade produzida e vendida. 
A Metalúrgica Atlas S.A. produz uma peça, para a qual são 
conhecidos os seguintes dados (mensais): P= R$ 5.000,00; 
CF = R$ 100.000,00; CVU= R$ 2.000,00; Lucro = L = RT – 
CT = R$ 800.000,00. A Metalúrgica Atlas, a fim de 
enfrentar seus concorrentes, decide reduzir em 20% o preço 
de venda unitário (P), mas pretende obter o mesmo lucro, 
através do aumento em Q. Este aumento (em %) deverá 
ser de: 
a) 20% b) 150% c) 40% x d) 50% 
e)10% 
 
12. Para alimentar seus pássaros, um criador compra, 
mensalmente, ração e milho num total de 1.000 kg. A 
ração custa R$ 400,00 o quilograma e o milho, R$ 
250,00. Se x representa a quantidade, em quilogramas, 
de ração comprada, pode-se afirmar que a função-gasto, 
em reais, é dada por: 
a) g(x) = 150x, 0 < x < 1.000 
b) g(x) = 400x, 0 < x < 1.000 
x c) g(x) = 150x + 250.000, 0 < x < 1.000 
d) g(x) = 250x + 400.000, 0 < x < 1.000 
e) g(x) = 400x – 250.000, 0 < x < 1.000 
 
13. O crescimento de um planta é dado pela função y = 
4x, onde x representa o tempo em dias e y representa a 
altura em centímetros. Construa o gráfico que representa 
o crescimento dessa planta até o 10º dia. 
 
14. Um corpo se movimenta com velocidade constante 
obedecendo à fórmula matemática s=40 - 2t ( s em 
metros e t em segundos). Construa o gráfico dessa 
função. 
 
15. O lucro de uma indústria que vende um único 
produto é dado pela fórmula matemática L(x) = 4x -
1000, onde L representa o lucro e x, a quantidade 
mínima de produtos que devem ser vendidos para que 
haja lucro. 
 
 
6. FUNÇÃO DE 2º GRAU: 
 
Definição: 
,:f  cbxax)x(f 2 
, com a, b, 
c

, e 
0a 
 onde 
c: é o ponto onde a função intercepta o eixo das 
ordenadas ( f(0 ) = c ). 
a > 0 : concavidade voltada para cima 
a < 0 : concavidade voltada para baixo 
 
6.1 - Zeros ou Raízes da Função. 
 
Fórmula de Báskara 
cabonde
a
b
x ..42 
.2



, ou 
 
Relações de Girard 
a
c
rx r
a
b
r r
 21
 21


 
6.2 - Vértices: 
 
a4
vy 
a2
b
vx


 
 
 
 9 
6.3 - Construção do Gráfico: 
 
i) concavidade 
ii) zeros ( onde “corta” o eixo x) 
iii) vértices 
iv) determinar f(0) onde “corta” o eixo y 
v) atribuir alguns pontos ( opcional) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Construa os seguintes gráficos: 
22)()
222)()
 862)()



xxfc
xxxfb
xxxfa
 
 
Exercício: 
Construa os seguintes gráficos: 
 323x=f(x) d) 4x 22x=f(x) c)
 4+2x2x=f(x) b) 42x)x(f )a


 
 
Exemplo: 
Construa o gráfico da função 
: 8x6x)x(f 2 
 
i)concavidade voltada para cima pois a = 1 > 0 
ii) zeros: x1 = 2 e x2 = 4. 
iii)Vértice: 
1y e 3x vv 
 
iv) f (0 ) = 8 
 
Gráfico: Representado na Figura 13. 
 
 
Figura 13 
 
Exemplo: 
A partir dos dados da Tabela 5, construa o gráfico, encontre 
a função representada e dê o valor máximo ou mínimo da 
função. 
 
Tabela 5 
x f(x) 
0 0 
1 7 
2 12 
3 15 
5 15 
Pela construção gráfica, verifica-se que a função 
aparentemente representa uma função do 2º grau, sendo 
assim, temos: 
cbxax)x(f 2 
. 
 
Para: x = 0, f(x) = 0, logo c = 0. 
 
Substituindo os pares (1,7) e (2,12) na função e 
resolvendo o sistema de equações, encontramos: a = 
1 e b = 8, logo temos a função 
 
x8x)x(f 2 
. 
 
Valor máximo: f(x)=16. 
 
 
Exemplo: 
Dado dos valores da Tabela 6 construa o gráfico, dê a lei 
que define a função e o valor máximo para a potência. 
 
Tabela 6 
Corrente (A) Potência(W) 
0 0 
1 1 
0.75 0.94 
2 0 
0.5 0.75 
 
Podemos observar a representação destes dados na 
Figura 14. 
Potência
0
0,5
1
1,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
corrente
Po
tê
nc
ia
 
Figura 14 
 
Pela Figura 6, verifica-se tratar-se de uma função do 2º 
grau, logo, c= 0, substituindo dois pontos encontramos a 
= 1 e b = 2. Daí: 
i2i)i(P 2 
 
 
Exemplo: 
(THOMSON, 2002) A Tabela 6 fornece uma lista de 
níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera, 
medidos em partes por milhão no Observatório de 
Mauna Loa, de 1972 à 1990. Use estes dados para 
encontrar um modelo para o nível de dióxido de carbono 
na atmosfera. Suponha que o modelo linear seja 
apropriado. 
yv 
xv 
y 
x 
 10 
 
Tabela 7 
Ano Nível de CO2 
1972 327,3 
1974 330 
1976 332 
1978 335,3 
1980 338,5 
1982 341,0 
1984 344,3 
1986 347,0 
1988 351,3 
1990 354,0 
Solução: Os dados da Tabela 7 podem ser representados 
como na Figura 15. Esta representação nos mostra que os 
pontos estão muito próximos de uma linha reta. Desta forma 
podemos escolher um modelo linear para representar estes 
dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 15 
 
Usando o primeiro e último ponto dado, temos: 
489333,1
19721990
3,327354



m
 
 
e a equação será: 
 
83,2597t48333,1C
)1972t(489333,13,327C
)tt(mCC 11



 
 
Utilizando a planilha de cálculo Excel, ou o método 
dos mínimos quadrados, encontramos: 
 C = 1,4967 t - 2624,8. 
 
A Figura 16 apresenta o gráfico do modelo linear 
encontrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 16 
(THOMSON, 2002) Uma bola é deixada cair desde o 
topo de uma torre, 450m acima do solo e sua altura h é 
registrada em intervalos de 1 segundo como mostra a 
Tabela 8. Encontre um modelo que represente estes 
dados. 
Tabela 8 
Tempo(segundos) Altura ( metros) 
0 450 
1 445 
2 431 
3 408 
4 375 
5 332 
6 279 
7 216 
8 143 
9 61 
 
Resolução.Primeiramente vamos construir um 
gráfico com os dados e observar a tendência dos 
dados. 
A tendência dos dados observados na Figura 17 
nos indica que uma função linear não é apropriada 
e que uma função quadrática parece-nos mais 
apropriada. Assim, vamos ajustar dos dados para 
um modelo quadrático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 17 
 
Substituindo o primeiro e o último ponto na 
fórmula quadrática 
cbtat)t(h 2 
 e 
resolvendo o sistema, encontramos 
450t22,0t78,4)t(h 2 
 
Este modelo está representado na Fig. 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 18 
 
Mais uma vez, utilizando o Excel, ou o método dos 
mínimos quadrados, encontramos: 
 h = -4,9015t
2
 + 0,9621t + 449,36 
nível de CO2
325
330
335
340
345
350
355
360
1970 1975 1980 1985 1990 1995
ano
Ca
rb
on
o
 nível de CO2
320
330
340
350
360
1970 1975 1980 1985 1990 1995
ano
Ca
rb
on
o
 Altura da bola 
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10
tem po ( segundos)
al
tu
ra
 ( 
m
et
ro
s)
 Altura da bola 
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10
tem po ( segundos)
al
tu
ra
 ( 
m
et
ro
s)
 11 
6.4 Aplicações de função de 2º grau 
 
1. Determine o retângulo de área máxima localizada no 
primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e 
um vértice na reta y= - 4x +5. 
Resposta: retângulos de lados 5/8 e 5/2. 
 
2. Um conta perfurada de um colar é enfiada em um arame 
fino com o formato da parábola 
62  xy
. Do ponto P 
de coordenadas (4,10) deixa-se a conta deslizar no arame até 
chegar ao ponto Q de ordenada -6. Qual é a distância 
horizontal percorrida pela conta diferença entre as abscissas 
de P e Q)? 
Resposta: 4 
 
3. Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de 
um curral retangular. Para os outros lados iremos usar 400 
metros de tela de arame, de modo a produzir área máxima, 
Qual é o quociente de um lado pelo outro? 
Resposta: 0,5 ou 2 
 
4. Uma empresa produz e vende determinado tipo de 
produto. A quantidade que ela consegue vender varia 
conforme o preço, da seguinte forma: a um preço y ela 
consegue vender x unidades do produto, de acordo com a 
equação 
2
50
x
y 
. Sabendo que a receita (quantidade 
vendida vezes o preço de venda) obtida foi de R$ 1.250,00, 
qual foi a quantidade vendida? 
Resposta: 50 unidades. 
 
5. Um professor dispunha de 144 doces para dividir 
igualmente entre os alunos de sua classe. Como no dia da 
distribuição faltaram 12 alunos, ele dividiu os 144 doces 
igualmente entre os presentes, cabendo a cada aluno 1 doce 
a mais. Qual é o número de alunos presentes no dia da 
distribuição? 
Resultado: 36 alunos 
 
6. Um especulador comprou dólares na segunda-feira 
gastando 90.000 reais. Na terça-feira, com o dólar 10 reais 
mais caro, o especulador voltou a comprar dólares, gastando 
144.000 reais. Nos dois dias, ele comprou 1.500 dólares. 
Quantos foram comprados na terça-feira? 
Resposta: 900 
 
7. Em uma experiência de laboratório foram atribuídos 
alguns valores para a tensão (E) e chegou-se aos dados 
apresentados na Tabela 9, sendo i a corrente, 
 Tabela 9 
Tensão (E) Corrente (A) 
0 0 
10 2.5 
20 5 
 
a) Construa o gráfico de i em relação a E; 
b) Construa o gráfico de E em relação a i; 
c) Qual é a função que existe entre E e i; 
d) Qual é o valor da corrente para E = 100V? 
e) Qual é o valor da resistência do exercício dado? 
 
8. ( Domingues – p. 78) A engrenagem A da Fig. 19 
tem 48 dentes e a engrenagem B tem 24 dentes. Se a 
engrenagem A dá x voltas por minuto, quantas voltas por 
minuto dá a engrenagem B? ( considereo sentido) 
 
 
Figura 19 
 
9. ( Domingues- p. 104)).Se um peso distende uma mola, 
o comprimento L da mola relaciona-se linearmente com 
a intensidade w do peso ( para pesos pequenos). Suponha 
que uma mola não distendida tenha um comprimento de 
50mm e que um peso de 400 gramas distenda-a 30 mm. 
Qual a relação entre w e L? ( um peso de 0 grama não 
distende a mola) 
 
10. O consumo de potência elétrica é medido em watts. 
O consumo de potência elétrica durante um certo período 
é medido em watt-hora, em que watt-hora significa 
simplesmente um watt de potência durante uma hora. 
Um quilowatt- hora ( kWh) indica o consumo de 1000 
watts durante uma hora. 
a) Se uma lâmpada de 60 watts fica acesa durante t 
horas, quantos watts-hora de energia serão consumidos? 
b) As contas de eletricidade são calculadas com base no 
número de quilowatts-hora consumidos. Qual o consumo 
de kWh na situação considerada em a? 
c) Suponha que o preço do kWh seja de 31 centavos. 
Nestas condições quanto custa deixar acesa uma lâmpada 
de 60 watts durante t horas? 
 
11. Uma partícula movendo ao longo do eixo S com 
velocidade constante está em um ponto S = 1 quando t = 
2 e no ponto S = 5 quando t = 4. Nestas condições, 
a) determine a velocidade da partícula, sendo S medido 
em metros e t em segundos. 
b) Encontre o modelo matemático que expresse S em 
função de t. 
c) Qual é a coordenada da partícula quando t = 0? 
 
12. Considere a lei de Ohm. Dada uma resistência 
R=3

, construa o gráfico da tensão em relação à 
corrente e o gráfico da corrente em relação à tensão. 
 
13. Construa o gráfico da função representada pelos 
dados da Tabela 10 e diga qual a relação que existe entre 
i e E(i)? 
 Tabela 10 
I E(i) 
0 0 
20 200 
30 300 
 
 12 
14. Sendo P=i
2
. R, e dado R= 8

, construa o gráfico da 
potência em relação à corrente. 
 
15. Sendo P=i
2
. R, e dado R= 10

, construa o gráfico da 
potência em relação à corrente. 
 
16. Dada a função P= i2 + 4i, determine: 
a) o gráfico 
b) a potência máxima ou mínima 
c) para que valor de i temos Pmáx ou Pmin ? 
d) para que valores de i a potência se anula ? 
 
17. Em uma experiência foram atribuídos valores para a 
tensão E e encontramos os seguintes valores para a corrente 
(I) 
 Tabela 11 
E I 
0 
12 
15 
0 
4 
5 
a) Construa o gráfico da E em função de I 
b) Determine a relação existente entre E e I 
c) Qual é o valor da corrente para E = 100v 
 
18. Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem 
posição em função do tempo dada pela função h(t)= 40t - 
5t
2
, onde a altura h é dada em metros e o tempo é dado em 
segundos. Determine : 
a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no 
instante t = 3s. 
b) os instantes em que o corpo está a uma altura de 60 m do 
solo. 
 
19. Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um 
determinado artigo por V(x)= x
2
- x, sendo o custo de 
produção dado por c(x)= 2x
2
-7x+8. Assinale a alternativa 
correspondente ao número de artigos que devem ser 
vendidos mensalmente de modo que obtenha o lucro 
máximo. 
a) 15 unidades b) 5 unidades c) 1000 unidades 
d) 3 unidades e) nenhuma unidade 
 
20. O custo para se produzir x unidades de um produto é 
dado por C(x) = 2x
2
 - 100x + 5000. Determine o valor do 
custo mínimo. 
 
21. Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. 
Ao fim de t segundos, atinge a altura h, dada por: 
h = 40t - 5t
2
. 
a) Calcule a posição da pedra no instante 2s. 
b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posição 
75m, durante a subida. 
c) Determine o instante que a pedra atinge a altura máxima 
d) Determine a altura máxima que a pedra atinge. 
 
22. Determine o momento fletor máximo de uma viga 
(ponto de máximo da função), que se comporta segundo a lei 
Mf(x) = 1000x - 200x
2
 , num intervalo de 0 a 5m. 
 
23. O lucro de uma empresa é dado por L(x) = - 30x
2
 + 360x 
- 600, em que x é o número de unidades vendidas. Para que 
valor de x é obtido o lucro máximo? 
24. O custo em R$ para a produção de x unidades de 
certo produto é dado por: C= x
2
 - 30x + 900. Calcule o 
valor do custo mínimo. 
 
25. Numa festa de São João, a convite de Antônio, Pedro 
disparou um rojão. No plano cartesiano a trajetória do 
rojão obedeceu à seguinte lei: 
3
8
45
22 xx
y 


 
 
Sabendo que tem uma fogueira a 45 m de distância em 
relação a Pedro, pergunta-se: 
 
a) O disparo do rojão caiu antes ou depois da fogueira? 
 
b) Qual foi a altura máxima atingida pelo rojão? 
 
 
7) ESTUDO DO SINAL: 
 
Exemplo: 
1)Estude os sinais das seguintes funções: 
2x7x3y)d 4+4x+xy)c
 1x3y)b x105y)a
22 

 
 
8) INEQUAÇÕES: 
 
8.1 - 1º Grau: 
 
i) Simples: 
 
Resolver como uma equação de 1º grau, isolando x e 
caso multiplicar por (-1) a inequação terá a desigualdade 
invertida. 
 
Exemplos: 
 3254 ) 
3
253 )  xxb
x
xa
 
 
ii) Tipo Produto e Quociente: 
 
Resolver cada função separadamente: 
 
1º Passo: determine o zero de cada função. 
2º Passo: Estude o sinal da função verificando se a 
mesma é crescente ou decrescente e determine os sinais. 
3º Passo: Monte o quadro do produto e/ou do quociente e 
faça o jogo de sinais. 
4º Passo: Através da desigualdade determine se o 
intervalo é aberto ou fechado e ainda se a condição exige 
sinal é positivo ou negativo. 
 
Obs.: Caso seja inequação do tipo quociente o 
denominador deve ser sempre aberto independente do 
sinal da desigualdade. 
 
 
 
 
 
 13 
Exemplos: 
0
)x4(
)3x4).(x21(
)d 0
1x3
3x2
)c
 0
) 2x ).( 1x (
2x4
 )b 0)1x2).(2x( )a










 
 
8. 2 - Aplicação de inequação de 1º grau: 
 
1. Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da 
primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova 
é multiplicada por 2 e a da última prova é multiplicada por 
3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a 
média obtida por este critério for maior ou igual a 6,5, o 
aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha 
que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na 
segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser 
dispensado da recuperação? 
 
Resposta: 7,9 ou mais. 
 
8.3 - 2º Grau: 
 
i) Simples: 
Resolver a inequação da seguinte forma: 
1º Passo: determine o(s) zero(s) da função, caso existir. 
2º Passo: Estude o sinal da função verificando se a 
concavidade da mesma é para cima ou para baixo e 
determine os sinais. 
3º Passo: Através da desigualdade determine se o intervalo é 
aberto ou fechado e ainda se a condição exige o sinal é 
positivo ou negativo. 
Exemplos: 
 01x)b 01xx )a 22 
 
 
ii) Tipo Produto e Quociente: 
Resolve-se separadamente cada função e faz-se o jogo de 
sinal. ( análogo a inequação do 1º grau). 
Exemplos: 
a) 
0)3x22x).(42x( 
 
 0
5x32x
8x62x
 )b 


 
 
Exercícios: 
1) Estude os sinais das seguintes funções: 
 8x62xy )e 92xy )d
 4+2xy )c 6x2y )b 4+2xy )a


 
 
2) Resolva as seguintes inequações: 
1
1-x
4+2x
h) 03323)
 0732 )f 05422 )
 0)2)(241( d) 0
2723
2929
 )
 0
2322524
 ) 0
23
13
 )











xxg
xxxxe
xx
xx
xx
c
xx
xx
b
x
x
a
 
9) DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS: 
 
Definição: “é o valor de x, para os quais a função 
existe” ou “é o campo de existência da função”. 
 
Temos duas condições básicas: 
1ª condição: Se a função for uma fração 
 
0D(x) :Dom :os tem
D(x)
N(x)
=f(x) Se 
 
 
2ª condição: Se a função for uma raiz de índice par 
 
0)(: :
, )()( 


xRDomtemos
parnsendon xRxfSe
 
 
OBSERVAÇÃO: Poderemos encontrar as seguintes 
situações: 
 
SITUAÇÃO CONDIÇÃO 
1) 
)x(D
)x(N
)x(f
n

 
 
Se n é par, temos: 
0)x(N 
e
0D(x) 
 
Neste caso devemos fazer a intersercção 
Se n é ímpar, temos:
0D(x) 
 
2) 
n )x(D
)x(N
)x(f 
 
Se n é par, temos: 
0)x(N 
 
Se n é ímpar, temos: 
0D(x) 
 
 
3) 
n xD
n xN
xf
)(
)(
)( 
 
Se n é par, temos: 
0)x(N 
e 
0)x(D 
 
Neste caso devemos fazer a intersercção 
Se n é ímpar, temos:
0D(x) 
 
SITUAÇÃO CONDIÇÃO 
4) 
n )x(h).x(g)x(f 
 
Se n é par, temos: 
0)x(h).x(g 
 
Neste caso devemos resolver a inequação 
do produto 
Se n é ímpar, temos:
=D f
 
5) 
n
)x(D
)x(N
)x(f 
 Se n é par, temos:
0
)x(D
)x(N

 
Neste caso devemos resolver a inequação 
do quociente 
Se n é ímpar, temos:
0D(x) 
 
6)
D(x)
N(x)
=f(x)
+
4 )x(H
)x(G
 
Caso aparecer mais de uma função, 
devemos resolver cada uma e fazer a 
intersecção de seus resultados, neste caso 
temos: 
)x(H)x(D 
 
 
 
Resumidamente, temos: 
 
0)x(g :f(x) Dom :temos,par n ,n )x(g)x(f Se 
 
0>g(x) :f(x) Dom : temospar,n ,
n g(x)
1
 = f(x) Se
0g(x) :f(x) Dom :s temo
g(x)
1
=f(x) Se 
 
 
 
 14 
Exercícios: 
 
1) Determine o domínio das seguintes funções: 
)4x3x).(16(x=y e)
 
5x3
x2
=d)y 
8x6x
9x
=y c)
 
2x
3x
=f(x) b) 4x-6=f(x) a)
22
2
2




 
 
2) Determine o domínio das seguintes funções: 
 
a) y = 2x
2
 + 4x - 3 b) y = 
9x
x5

 
c) y = 
32
2
x
 d) y = 
3x4x
4x2
2 

 
e) y = 
6x2
x

 f) y = 
6
2x2 
 
g) y = 
x8x412
1x2
2 

 h) y = 
18x2
6x3
2 

 
i) y = 
6x2 
 j) y = 
6 x42 
 
l) y = 
12x72x 
 m) y = 
3 2 2x3x 
 
n) y = 
4
1x5
x43


 o) y = 
8 x63
4x2


 
p) y = 
3 15x5
x4

 q) y = 
x312
6x2


 
 
 
10) FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS 
SENTENÇAS (DOMÍNIO RESTRITO) 
 
Definição: São funções definidas por várias sentenças (leis, 
equações) matemáticas, para intervalos do seu domínio. 
Exemplo: 






c x b se g(x) 
b x a se f(x) 
 y 
 
 
Gráfico: Para o traçado do gráfico, consideramos 
separadamente as várias sentenças matemáticas com seus 
intervalos do seu domínio. Depois, num mesmo sistema de 
eixos, traçamos o gráfico relativo a cada sentença, 
obedecendo a seu intervalo de variação. 
 
 
Esboce o gráfico de 






1 xse 3x
1 xse 1x 
)x(f
 
Resolução: (Veja Figura 20). Primeiro desenhamos 
pontilhadas, as retas y = x + 1 e y =  x + 3. 
 
Figura 20 
Em seguida, marcar, com traço firme, a parte que 
interessa de cada uma (Fig. 21): 
 
Figura 21 
 
3x f(x) 1, x para
 1 x f(x) , 1 xpara


 
 
1) Construa os seguintes gráficos das funções definidas 
por várias sentenças: 
 
2x se 3
2x0 se 1x
0x se 1
)x(f)a









 
1x se 12x
1x se x
)x(f)b







 







0x se x1
0x se x22x
)x(f)c
 
 
Aplicação: 
 
A Função de Heaviside H é definida por : 






0 t se 1
0 t se 0
)(tH
 
Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para 
representar o surgimento repentino de corrente elétrica, 
ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente 
ligada. Esboce o gráfico da função de Heaviside. 
 
11) FUNÇÃO MODULAR 
Definição: Função modular é a função de  em , 
definida por: 






0 
0 
)( 
xsex
xsex
xf
 
 15 
Gráfico: O gráfico da função modular é equivalente à 
reunião dos gráficos das sentenças que a definem, como 
mostra a Fig 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 
 
 
Exemplo 1 
Esboce o gráfico de 
2 1x )x(f 
. 
Resolução: Eliminando o módulo, temos: 
 






1 xse 3
1 xse 1 
)(
x
x
xf
 veja Fig 23. 
 
Figura 23 
 
 
Exercício: 
 
Construa os gráficos das seguintes funções: 
 
2x1xf(x) h) 4xf(x) g)
1+ 4x3 y f) 2 1x2 )x(f )e 
 3 x =y d) 8 x =y c) 
 1x y b) x .2)x(f )a
2 



 
 
 
12) EQUAÇÃO MODULAR: 
 
koukxkx  = x 
 
 
Exemplos: 
 
06x5x )e
2x3 1x )d 3x2 2x3 )c
 7 1x3 )b 3 1x2 )a
2



 
 
 
 
Exercício: 
 
1) Resolva as equações modulares: 
3
1
2
5+x
j) 52
5
x3
)i
4x3x34h) 25x42x)g
1x 52x f) 3 13x2 x e)
 0 54x d) 12x 2 x c)
2 13x b) 3 2x )a





 
 
 
13) INEQUAÇÕES MODULARES: 
 
A resolução de inequações modulares está baseada nas 
seguintes propriedades, válidas para todo número a real e 
positivo: 
 
a>ou x -a<x  axSe
 
graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
 a<x Se  aax
 
graficamente, temos: 
 
 -a a 
 
 
Exercício: 
1) Resolva as seguintes inequações modulares em 

: 
 1<
4
3x2
 )j 2
4
1+x
i)
1
3
2-x
 h) 23-4x)g
52x-1 f) 42-3xe)
33x )d 12xc)
3x b) 2x )a






 
14) FUNÇÃO POLINOMIAL 
Definição: É a função
:f 
definida por: 
o1
2
2
1n
1n
n
n axaxa....xaxa)x(f 


onde os coeficientes 
n21o a,.....a ,a ,a
, são números 
reais e os expoentes são inteiro positivo. 
 
Se 
0an 
 então f é de grau n. 
Gráfico: O gráfico de uma função polinomial é uma 
curva que pode apresentar pontos de máximos e 
mínimos. 
O domínio é sempre o conjunto dos números reais. 
 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x-a a 
 16 
Exemplo 2 
 
a) A função constante f (x ) = K é uma função polinomial de 
grau zero. 
b)A função f ( x ) = ax + b, a  0, é uma função polinomial 
do primeiro grau. 
c)A função 
3 x ) x ( f 
 é uma função polinomial, chamada 
função cúbica. 
d) O gráfico da função cúbica está representado na Figura 
24: 
 
 
Figura 24 
 
e) 
  3 1x )x(g 
 é uma função polinomial do grau 3, 
seu gráfico é obtido do gráfico da função 
3 x ) x ( f 
, 
transladando-o uma unidade para a direita, como 
verificamos na Figura 25. 
 
 
Figura 25 
f) 
1x)x(f 4 
 é uma função polinomial do grau 4, seu 
gráfico tem o aspecto apresentado na Figura 26. 
 
Figura 26 
Obs. Posteriormente estudaremos os gráficos dessas 
funções com auxílio das derivadas. 
 
15) FUNÇÃO RACIONAL 
Definição: É a função definida como o quociente de 
duas funções polinomiais, isto é, 
,
)x(q
)x(p
)x(f 
 
onde p (x ) e q (x ) são polinômios e 
0 ) x ( q 
. 
 
O domínio da função racional é o conjunto dos números 
reais, excluindo aqueles x tais que 
0 ) x ( q 
. 
 
Exemplo 3 
A função 
1x
1x
 ) x ( f



 é uma função racional de 
domínio Dom (f)=R{1} e está representada 
graficamente na Figura 27: 
 
Figura 27 
 
Exemplo 4 
A função 
x
1x
)x( g
2 

 é uma função racional com 
domínio 
Dom (f) = 
  0x/x 
 
 
E está representada na Figura 28. 
 
Figura 28 
 
Obs. O gráfico destas funções será visto quando 
estudarmos as assíntotas. 
 17 
16) FUNÇÕES PERIÓDICAS 
 
Definição: Dizemos que uma função f(x) é periódica se 
existe um número real T  0 tal que f ( x + T ) = f ( x ) 
para todo x  Dom (f ). 
 
O número T é chamado período da função f(x). 
 
O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo 
de comprimento T. 
 
Exemplos de gráficos de funções periódicas são observadas 
nas Figuras 29 e 30. 
 
 
Figura 29 
 
 
Figura 30 
 
17) FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
Definição: É uma função que pode ser expressa em termos 
de somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências 
racionais de polinômios. 
 
 
Exemplo 5 
xx
)5x(x
x 25x ) x ( f
3
2
33



 
 
As funções que não são algébricas são ditas transcendentes. 
As funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, 
estudadas mais adiante, são exemplos de funções 
transcendentes. 
 
 
18) POTENCIAÇÃO: 
 

fatoresn
aaaana ......
 onde: 





expoente
1)a e 0(a base
n
a 
 
 
Exemplos: 
 
     
4
1
2
1
.
2
1
2
1
)c
82.2.22)b
82.2.22)a
2
3
3








 
 
Casos Particulares: 
 
11 ; 1 ; 10  naaa
 
 
 Potência com expoente inteiro negativo: 
 
0a,
a
1
a
n
n 
 
 
 Propriedades: 
 
 Seja 
,NneNm,Rb,Ra 
 temos: 
 
 
 
 0b,
nb
na
n
b
a
)5P
nb.nanb.a)4P
n.ma
n
ma)3P
0a,nma
na
ma
)2P
nmana.ma)1P















 
 
Exemplos: 
 
 
9
4
2
3
2
)
21627.833.2)
8
4
2)
8323623262)
2435323323.33)














e
d
xxc
b
a
 
 
18.1 Potência de 10 


fatoresn
n
fatoresn
n
 
...10.10.10
1
10 ...10.10.1010 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Exemplos: 
 
001,0
1000
1
10)e
1,0
10
1
10)d
10010)c
1010)b
110)a
3
1
2
1
0






 
 
19) FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição: Chamamos função exponencial de base a, a 
função 
*: f
, definida por: 
xa)x(f 
 ,com 
a>0 e 
1a 
. 
 
Exemplo 6 
Algumas funções exponenciais: 
 
1x3)x(f )c
x
2
1
)x(f )b
x2)x(f )a









 
 
Características: Com relação ao gráfico da função 
xa)x(f 
 ( Figura 31) afirmamos que: 
 
a) a curva que o representa está toda acima do eixo das 
abscissas, pois 
0ay x 
 para todo x 

; 
 
b) corta o eixo das abscissas no ponto ( 0,1) 
c) 
xa)x(f 
 é crescente para a>1 e decrescente para 
0<a<1. 
d) D=

 e Im = 
*

 
 
Figura 31 
 
 
f (x) é crescente para a >1 e decrescente para 0 < a < 1 
 
Esboce o gráfico das funções abaixo, especifique se a função 
é crescente ou decrescente e dê o domínio e a imagem: 
x2)x(f)a 
 
 
Resolução: 
Seja 
x2)x(f 
 , atribuímos valores para a variável x e 
encontramos f(x), como apresentamos na Tabela 12. 
Tabela 12 
x -2 -1 0 1 
f(x) 1/4 1/2 1 2 
 
O gráfico está apresentado na Figura 32. 
 
Figura 32 
b) 
1
2
1
)x(f
x







 
Resolução: A função 
1
2
1
)x(f
x







, tem a base 
entre zero e um, portanto é decrescente, sendo D=

 
e Im = [ 1 ,+∞]. 
 
Atribuímos valores para a variável x (Veja Tab. 13) e 
construímos o gráfico apresentado na Figura 33. 
 
Tabela 13 
x -2 -1 0 1 
f(x) 5 3 2 3/2 
 
 
Figura 33 
 
Exemplo 7 
Esboce em um mesmo sistema de eixos os gráficos das 
funções abaixo: 
,12)x(f x 
 
x2)x(g 
 e 
,12)x(h x 
 
 
Resolução: Para as funções 
,12)x(f x  x2)x(g 
 e 
,12)x(h x 
 temos 
a representação na Figura 34: 
 
 19 
 
Figura 34 
 
Aplicações: 
A vida média do estrôncio 
90
Sr é de 25 anos. Isso significa 
que a metade de qualquer quantidade do 
90
Sr. Irá se 
desintegrar em 25 anos. 
 
a) Se uma amostra de 
90
Sr tiver uma massa de 4 mg, 
encontre uma expressão para a massa m(t) que sobrará após t 
anos. 
 
b) Construa o gráfico desta função encontrada. 
 
c) Encontre a massa que sobrará após 30 anos. 
 
 
Exercícios: 
 
Esboce o gráfico das funções abaixo e especifique se a 
função é crescente ou decrescente, dê o domínio e a 
imagem: 
1
2
1
 f(x) d) 1
2
1
 y c)
 1x3 f(x) b) 13)()















xx
xxfa
 
 
 
20) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
Os tipos mais freqüentes de equações exponenciais são 
aquelas que temos que: 
 Colocar na mesma base. 
 Substituir por uma variável auxiliar ou colocar em 
evidência. 
 Transformar em uma equação do 2º grau ( fazer uma 
substituição). 
 Dividir por um fator. 
 
Exercício: 
 
Resolva as equações exponenciais abaixo: 
a) 
27
8
3
2
x






 
b) 
324x 
 
c) 
9033 1x1x  
 
d) 
7503333 4x3x2x1x  
 
e) 
042.522  xx
 
f) 
01010 x1x2 
 
g) 
3
4
3
2
2
4 1x2
x

 
h) 
3x2x4x1x 5533.7  
 
i) 
03.262 2x2x2x2  
 
j) 
 xx 3.693 
 
 
21) LOGARÍTIMOS 
 
Definição: 
NNa 
xa x log
, 
 
onde: 





logarítmo o é x 
base a é a 
dologaritman o é N 
 
Condição de Existência: 
1 a e 0 a 0; N 
 
 
Conseqüência: 









Naa 
1alog 
0alog 
Nlog
a
1 
 
 
Propriedades: Sejam b > 0 e c > 0, então: 
 
P1) 
clog blog)c.b(log aaa 
 
P2) 
clog blog
c
b
log aaa 





 
P3) 
  blog.nblog a
n
a P4) 
 nlog
m
1
nlog a
m
a 
 
P5) 
blog
alog
blog
n
n
a 
 
 
Cologarítimo: 
nlog
n
1
lognColo aaa 
 
 
Exercícios: 
 
Utilizando a definição e as propriedades de logaritmo, 
calcular: 
 
a) 
81log27
 
b) 
25
1
log5
 
c) 
1log 3,0
 
d) 
008,0log25
 
e) 
)24(log 3 22
 
 20 
f) 







e
1
ln5log1,0log
5
1100
 
g) 
 
64
1
log55log222log
22
5
12 





 
 
 
22) FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Definição: Chamamos função logarítmica de base a, a 
função 

*:f
 que associa a cada número real x o 
número 
xloga
, ou seja: 
 

*:f
 
 
xlog)x(f a
, 
 
Com a>0 e 
1a 
 e x >0. 
 
Observação: A função logarítmica é a inversa da função 
exponencial, pois: 
xa yxlog ya 
 
 
Características: D=
*

 e Im = 

 
f (x) é crescente para a > 1 
decrescente para 0 < a < 1 
Gráficamente, temos: 
 quando a >1 a função é crescente. (Fig. 34) 
 
 
 
Figura 34 
 
 
 quando 0 < a < 1 é decrescente. (Fig. 35) 
 
 
Figura 35 
 
Exemplo 8 
Traçar, num mesmo sistema de eixos, o gráfico das 
funções 
 xlog)x(f 2
 e 
xlogg(x) 4
. 
 
Resolução apresentada na Fig.36 
 
 
Figura 36 
 
 
Exemplo 9 
Traçar, num mesmo sistema de eixos, o gráfico das 
funções 
  ,1
2
1log)(  xxf
 
xlogg(x)
2
1
 e 
  1xlog)x(h
2
1 
. 
 
Resolução: Veja a Figura 37. 
 
Figura 37 
 
Exercício: 
 
Esboce o gráfico das funções abaixo , especifique se a 
função é crescente ou decrescente e dê o domínio e a 
imagem: 
)1(3log )( c)
x 
3
1og )( b)x 3log)()


xxf
lxfxfa
 
 
 
 21 
23) EQUAÇÕES LOGARÍTMCAS 
 
Os tipos mais freqüentes de equações logarítmicas são 
aquelas que temos que: 
 Usar a definição. 
 Utilizar as propriedades. 
 Transformar em uma equação do 2º grau ( fazer uma 
substituição). 
 Fazer uma mudança de base. 
 
Exercício: 
 
Resolva as equações logarítmicas abaixo: 
a) 
1
3x
3x
log3 


 
b) 
6log)x5x(log 4
2
4 
 
c) 
xlog2xlog 33 
 
d) 
093log.6
2
3
log x
 
e) 
02xlogxlog2 
 
f) 
6xlogxlog 42 
 
g) 
2xlogxlog 23
3
1 
 
 
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E 
LOGARÍTMICAS 
 
a)JUROS COMPOSTOS CAPITALIZADOS 
CONTINUAMENTE OU CERTOS TIPOS DE 
CRESCIMENTO EXPONENCIAL (POPULAÇÕES DE 
CIDADES, POPULAÇÃO DE UMA CULTURA DE 
BACTÉRIAS. ETC.) 
 
C=C0.e
rt 
 
b)CERTOS TIPOS DE DECRÉSCIMOS EXPONENCIAL 
COMO OCORRE NA DESINTEGRAÇÃO RADIOATIVA, 
PERDAS CONTÍNUAS, ETC.. 
 
Q=Qo.e
-rt
 
 
APLICAÇÃO EM BIOLOGIA: 
 
EXEMPLO: Numa certa cultura, há 1000 bactérias num 
determinado instante. Após 10 minutos, existem 4000. 
Quantas bactérias existirão em 1 hora? 
P(t)= Po . e
kt
 
P(t)= 1000. e
kt
 
Após 10 minutos: 
P(10)=1000.e
10k
 
P(10)= 4000 
1000.e
10k
 = 4000 
410  ke
 
Vejamos, agora, após 60 minutos: 
P(60)= 1000.e
60k
 = 1000.e
(10k).6
 = 1000.4
6
= 
1000.4096=4.096.000 
Após 1 hora, existirão 4.096.000 bactérias. 
APLICAÇÕES EM ELETRICIDADE 
 
1º EXEMPLO:Um amplificador libera 1000 Watts para 
uma potência de entrada de 100 miliwatts. Qual o ganho 
em decibéis? 
 
Resolução: 
Decibéis 
x db= 10 log Potência de saída 
 Potência de entrada 
x db = 10 log 
w
w
1,0
1000
 
x db = 10 log 10
4
 w 
 
x db = 40 db. 
 
2º EXEMPLO: Qual a voltagem de um atenuador que 
para 20 volts de entrada apresenta 20 milivolts na saída. 
Qual é o ganho tensão? Qual é a perda de tensão? 
 
Resolução: 
Decibéis 
x db= 20 log voltagem de saída 
 voltagem de entrada 
x db = 20 log 
v
v
20
02,0
 
x db = 20 log 10
-3
 w 
 
x db = -60 db. 
 
O ganho é de -60 db e a perda é de 60 db. 
 
APLICAÇÃO EM QUÍMICA: 
 
1ºEXEMPLO:A desintegração de um determinado 
material radioativo é dada pela lei: 
kt
oQtQ
 10.)(
 
 
Se Q(10)= 200 gramas e Qo= 240grams, calcule o valor 
de k. 
 
Utilizando a lei dada podemos resolver o problema: 
kt
oQtQ
 10.)(
 
 
Q(10)= Qo.10
- k.10 
 
200 = 240.10
-10.k 
 
log 200/240 = log 10
-10.k 
 
log 200/240 = - 10k log 10 
 
k= 7,9 x 10
-3
 
 
A constante de desintegração radioativa é 7,9x10
-3
 ou 
7,9% ao ano. 
 
 
 
 22 
APLICAÇÃO EM QUÍMICA: 
 
2ºEXEMPLO:O pH de uma solução é definido por 
pH=











H
1
 
10
log , onde H
+
 é a concentração de 
hidrogênio em íons-grama por litro de solução. O pH de uma 
solução, tal que H
+
= 1,0.10
-8
, é: 
 
RESOLUÇÃO: 
pH=











H
1
 
10
log 

 
pH=








810.0,1
1
 
10
log  pH= 810 
10
log
 
 

pH=8 
 
 
APLICAÇÃO EM GEOGRAFIA-CRESCIMENTO 
POPULACIONAL 
 
EXEMPLO:Estima-se que a população da Terra tenha 
atingido a cifra de 5 bilhões de habitantes há poucos meses 
atrás. Imagine um país com uma população de 100milhões 
de habitantes e a uma taxa de crescimento populacional de 
2,4% ao ano. Em quantos anos a população desse país 
atingiria a população da Terra hoje, isto é, 5 bilhões de 
habitantes? Considere log 2=0,301). 
 
RESOLUÇÃO: 
P=PO.e
K.t
 
5.10
9
=1,0.10
8
.e
0,024t
 
ln 50 = 0,024t.ln e 
t = 163 anos 
 
Este país atingirá a população da Terra em 163 anos. 
 
APLICAÇÃO EM FÍSICA 
 
EXEMPLO:A intensidade I de um terremoto, medida na 
escala Richter, é um número que varia de I=0 até I=8,9 para 
o maior terremoto conhecido. I é dado pela 
fórmula:
oE
E
 10 log 
3
2
I
, onde E é a energia liberada 
no terremoto em quilowatt-hora e E0=7x10
-3
 kWh. 
Qual a energia leberada num terremoto de intensidade 8 na 
escala Richter? 
 
fórmula:
oE
E
 10 log 
3
2
I
 
 
 
3-
7x10
E
 10 log 
3
2
8 
 
 
 
3-
7x10
E12
10 
3-
7x10
E
 10 log 12 
 
 
 9
107
12
x10
3-
7x10=E xE Kwh 
 
 A energia liberada por um terremoto de intensidade 8 na 
Escala Richter é de 
Kwhx
9
107
. 
 
 
APLICAÇÃO EM QUÍMICA 
 
1ºEXEMPLO:Uma amostra de uma substância 
radioativa desintegra-se segundo a lei M(t)=M0.e
-kt
, onde 
M(t) é a massa da amostra no instante t, Mo é a massa 
inicial e k é a constante de desintegração. Calcule a 
constante de desintegração de uma amostra de Thório, 
sabendo que após 3,4.10
4
 anos, sua massa reduz-se ¾ da 
massa inicial. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
M(t)=M0.e
-kt
 
610.46,8
43,4.10
0,75ln -
e ln4-k.3,4.10=0,75 ln
4k.3,4.10-eln =0,75 ln
410.4,3..1
4
3



kk
ke
 
A constante de desintegração de uma amostra do Thório 
é 610.46,8  . 
 
2º EXEMPLO:Na desintegração radioativa, costuma-se 
chamar de “meia-vida” o tempo necessário para que a 
metade da massa de uma determinada substância se 
desintegre. Nestas condições, determinar a “meia-vida” 
de uma substância radioativa que se desintegra a uma 
taxa de 2% ao ano. 
 
RESOLUÇÃO: 
M(t)=M0.e
-kt1 = 2.e
-0,02t
 
 
 ln 0,5 = ln e
-0,02t 
 
 
 
ln 0,5= -0,02.t.ln e 
 
ln 0,5 = -0,02t 
 
 t=34,6 anos ou t= 34a 7m 26 d. 
 
O tempo necessário para chegar a metade da massa dessa 
substância será aproximadamente 34 anos 7 meses 26 
dias. 
 
 23 
APLICAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
1ºEXEMPLO:Chama-se montante (M) a quantia que uma 
pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros 
compostos, a uma taxa anual i durante um tempo t e que 
pode ser calculado pela fórmula 
 tiCM  1.
 Supondo 
que o capital aplicado é de R$200.000,00 a uma taxa de 12% 
ao ano durante 3 anos, qual o montante no final da 
aplicação? 
 
RESOLUÇÃO: 
 
   
60,985.280312,1.200000
312,01.2000001.


MM
MtiCM 
 
 
O montante ao final de 3 anos de aplicação será de 
280.985,60. 
 
2ºEXEMPLO:Num país de Terceiro Mundo, O ministro da 
Economia iniciou o ano declarando o seguinte: “Se a 
inflação anual atingir a cifra de 2000%, eu me demito”. 
Nesse ano, a taxa de inflação mensal manteve-se constante 
em 30%. O ministro permaneceu no cargo ou se demitiu? 
(Use 1,3
12
=23,298) 
 
M= C.(1+i)
t
 
M=1.(1 +0,3)
12
 
M=1,3
12 
M=23,298 
 
Se aplicarmos uma unidade monetária deste país 
receberemos ao final de um ano de aplicação o equivalente a 
23,29 unidades monetárias,ou seja, uma inflação acumulada 
de 2.329%. Neste caso o Ministro da Economia se demitirá. 
 
24) FUNÇÃO INVERSA 
 
Definição: Seja f uma função bijetora de A em B ou 
BA:f 
. Se, para cada y  B, existe exatamente um 
valor x  A tal que y = f (x), então podemos definir uma 
função 
BA:g 
 tal que x = g ( y ). A função g definida 
desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por 
1f 
. 
 
Exemplo 10 
A função 
:f
 definida por y = 2x tem como 
inversa 
 :1f
, definida por 
2
x
y 
 . 
 
Regra Prática 
Dada uma função bijetora, definida por y =f(x), para 
obtermos a sua inversa: 
- Trocamos x por y e vice-versa. 
- Expressamos y em função de x, i é, “isolamos” y. 
 
 
Exemplo 11 
Determine a inversa de f(x) = 
3x3 
. 
Resolução: 
Trocamos x por y e y por x: x = 
33 y
 
 Isolando y: 
3
3
3xy
3xy

 
Portanto, 
3 3xy 
 é a função inversa de y = 
3x3 
. 
 
Gráfico 
Para fazermos o gráfico de uma função inversa basta 
traçarmos a reta y = x e observarmos a simetria. 
Exemplo 12 
A função 
 ) ,0 [:f
, definida por 
2x)x(f 
 
tem como inversa a função 
 ) ,0 [:g
 dada por 
x)x(g 
. Conforme apresenta a Figura 38. 
 
Figura 38 
Exemplo 13 
A função 
:f
 dada por 
3xy 
 admite a 
função inversa 
:g
 dada por 
3 x)x(g 
 . 
Observe a Figura 39. 
 
 
Figura 39 
 24 
 
REFERÊNCIA: 
 
DANTE. L. R. Matemática: contexto & aplicações. 3 v. São 
Paulo: Ática. 1999. 
GIOVANNI. J. R. BONJORNO. J. R. Matemática: uma nova 
abordagem. 3 v. São Paulo: FTD. 2001 
IEZZI. G. DOLCE. O. MURAKAMI. C. Fundamentos de 
matemática elementar: logaritmos. 8.ed. v.2. São Paulo: 
Atual. 1993. 
IEZZI. G. MURAKAMI. C. Fundamentos de matemática 
elementar: conjuntos e funções. 8.ed. v.1. São Paulo: Atual. 
1993. 
LEITHOLD. L. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. 
v.1. São Paulo: Harbra. 1994. 
MACHADO. N. J. Matemática por assunto: lógica, 
conjuntos e funções. v.1. São Paulo: Scipione. 1988. 
OLIVEIRA. A. M. SILVA. A. Curso ilustrado de matemática 
moderna. São Paulo: Lisa. 
PAIVA. M. Matemática. 1. ed. 3 v. São Paulo: Moderna. 
2000 
SWOKOWSKI. E. W. Cálculo com geometria analítica. São 
Paulo: Makron. 1994 
TROTTA. F. Matemática por assunto: progressão 
aritmética, progressão geométrica e logaritmos. v.2. São 
Paulo: Scipione. 1988. 
ZÖLD. H. H. N. CÔRREA. S. Matemática. São Paulo: Nova 
Cultural. 1993.