Anotações de aula Física Matemática 1

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Fisica Matema´tica I
Prof. Dr. Matthew Luzum
• Site: http://matt.luzum.org/Home/fmi2019
• Evaluac¸a˜o: exerc´ıcios (20%) + 2 provas (40% cada)
• Sala do Prof.: 3093 Ala central
Suma´rio
1 Se´rie de Fourier 1
1.1 Completeza da base cosnx, sennx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Outros aspetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Mudanc¸a de Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Se´rie de Fourier em senos ou co-senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Fatos interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Integrac¸a˜o da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5 Derivada da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Convergeˆncia em me´dia das se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1 Se´rie de Fourier
Considere a se´rie de senos e cosenos do tipo (x ∈ R)
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(nx) + bn sen(nx)] (1)
Essa se´rie e´ chamada se´rie trigonome´trica se x ∈ R.
1
Note que
0 ≤ | cosnx| ≤ 1 (2)
0 ≤ | sennx| ≤ 1 (3)
Em geral, essa se´rie converge sob condic¸o˜es bem fracas impostas aos coeficientes an e bn.
Se a se´rie trigonome´trica converge (absolutamente ou na˜o) ela representa uma func¸a˜o
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(nx) + bn sen(nx)] (4)
Quais sa˜o as propriedades dessas func¸o˜es?
Lembre-se que para uma func¸a˜o anal´ıtica numa dada regia˜o e´ garantida a existeˆncia da
se´rie de Taylor naquele regia˜o e essa se´rie e´ u´nica.
f(z) =
∞∑
n=0
cnz
n (5)
(com f(z) anal´ıtica em z = 0.)
Tambe´m e´ poss´ıvel generalizar essa ideia de se´rie de poteˆncias e obter a se´rie de Laurant
(que tambe´m e´ u´nica) para descrever func¸o˜es na˜o anal´ıticas:
f(z) =
∞∑
n=−∞
cnz
n (6)
A se´rie de Laurant (e seu caso particular — a se´rie de Taylor) quando existe descreve
completamente a func¸a˜o naquela regia˜o.
Entretanto, note que a se´rie de Laurant na˜o fica bem definida para func¸o˜es descontinuas.
Fourier descobriu que se´ries trigonome´tricas podem ser usadas para descrever func¸o˜es
descontinuas.
Note que, devido a sua pro´pria definic¸a˜o, series trigonome´tricas descreve somente func¸o˜es
perio´dicas de per´ıodo 2pi e mu´ltiplas. (Ou, func¸o˜es num intervalo finito, dentro do per´ıodo
da se´rie.)
No´s iremos calcular a fo´rmula geral para os coeficientes daqui ha´ pouco.
2
Em geral, as condic¸o˜es suficientes (mas na˜o necessa´rias) para que a se´rie
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(nx) + bn sen(nx)] (7)
seja va´lida sa˜o:
1. f(x) possui apenas um nu´mer finito de descontinuidades finitas num per´ıodo (i.e. no
intervalo finito [0, 2pi] ou [−pi, pi])
2. f(x) possui apenas um nu´mero finito de valores extremes, ma´ximos, e mı´nimos, no
intervalo.
Func¸o˜es que satisfazem essas condic¸o˜es sa˜o chamadas de piecewise regular ou “cont´ınua/regular
por pedac¸os”.
Em geral, para a grande maioria dos exemplos vistos em aplicac¸o˜es dessas se´ries em f´ısica
e´ necessa´rio saber apenas esses dois teoremas (e definic¸o˜es):
Definic¸a˜o 1:
Uma func¸a˜o definida num intervalo fechado a ≤ x ≤ b e´
(cont´ınua por pedac¸os)
seccionalmente cont´ınua quando o intervalo pode ser dividido em um nu´mero finito de subin-
tervalos tais que em cada subintervalo
1. f(x) e´ cont´ınua
2. f(x) possui limites finitos nas extremidades esquerda e direita de cada subintervalo.
Isso significa que
lim
�→0
f(b− �) (8)
existem.
f(x) e´ seccionalmente suave se f(x) e´ cont´ınua por pedac¸os e f ′(x) tambe´m.
3
Analogamente, se f(x), f ′(x), e f ′′(x) sa˜o cont´ınuas por pedac¸os, enta˜o f(x) e´ “muita
suave” por pedac¸os.
Definic¸a˜o 2:
Uma func¸a˜o definida num intervalo fechado a ≤ x ≤ b satisfaz as condic¸o˜es de Dirichlet
se
• f(x) e´ continua por pedac¸os
• O intervalo (a, b) pode ser dividido em um nu´mero finito de subintervalos onde f(x) e´
mono´notona (i.e., crescente ou decrescente).
Teorema 1 Se f(x) e´ muito suave por pedac¸os no intervalo (−L,L) enta˜o sua se´rie de
Fourier converge para
f(x) =

lim
�→0
1
2
[f(x− �) + f(x+ �)] −L < x < L
lim
�→0
1
2
[f(−L+ �) + f(L− �)] x = ±L
(9)
Teorema 2 A afirmativa com relac¸a˜o dos limites no teorema 1 e´ verdadeira tambe´m se f(x),
ao inve´s de ser “muito suave” por pedac¸os, satisfaz a condic¸o˜es de Dirichlet no intervalo entre
−L ≤ x ≤ L.
Em geral, trabalharemos com func¸o˜es que obedecem as condic¸o˜es de Dirichlet.
1.1 Completeza da base cosnx, sennx
Vamos expressar cosnx e sennx na forma exponencial usando a fo´rmula de Euler.
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cosnx+ bn sennx] (10)
=
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an
(
einx + e−inx
2
)
+ bn
(
einx − e−inx
2i
)]
(11)
=
a0
2
+
∞∑
n=1
[
1
2
(an − ibn) einx + 1
2
(an + ibn)
]
e−inx (12)
4
Assim,
f(x) =
∞∑
n=−∞
cne
inx (13)
onde para n > 0,
cn ≡ 1
2
(an − ibn) (14)
c−n ≡ c∗n =
1
2
(an + ibn) (15)
e
c0 ≡ a0
2
(16)
Agora, chame eix ≡ z. Assim,
f(z) =
∞∑
n=−∞
cnz
n (17)
E´ equivalente a uma se´rie de Laurent no c´ırculo de raio 1 (no plano complexo).
Como a se´rie de Laurent, quando existem, e´ u´nica. Vemos que o conjunto (o base) einx
forma um conjunto completo no intervalo [0, 2pi].
Esse argumento e´ “bonitinho”, mas esta´ longe de mostrar de fato a completeza de um
dado conjunto de func¸o˜es. No´s veremos a ideia de completeza em detalhe quando estudamos
o problema de Sturm-Liouville em F´ısica Matema´tica II.
Note, entretendo, que sennx e cosnx no intervalo [−pi, pi] sa˜o func¸o˜es ortogonais, ou seja
∫ pi
−pi
dx senmx sennx =
piδmn m 6= 00 m = 0 (18)∫ pi
−pi
dx cosmx cosnx =
piδmn m 6= 02pi m = 0 (19)∫ pi
−pi
dx senmx cosnx = 0 (20)
5
A u´ltima relac¸a˜o pode ser provado por simetria. sen e´ uma func¸a˜o impar e cos par:
sen(nx) = − sen(−nx) (21)
cos(nx) = cos(−nx) (22)
Define uma outra varia´vel x′ = −x:∫ pi
−pi
dx senmx cosnx =
∫ 0
−pi
dx sen(mx) cos(nx) +
∫ pi
0
dx sen(mx) cos(nx) (23)
=
∫ pi
0
dx′ sen(−mx′) cos(−nx′) +
∫ pi
0
dx sen(mx) cos(nx) (24)
= −
∫ pi
0
dx′ sen(mx′) cos(nx′) +
∫ pi
0
dx sen(mx) cos(nx) (25)
= 0 (26)
Como voceˆs provaram isso?
O jeito mas fa´cil e´ primeiro mostrar que∫ pi
−pi
dx
(
eimx
)∗
einx = 2piδmn, ∀m,n ∈ Z (27)
(ortogonalidade da base einx)
Isso e´ trivial. De fato,
∫ pi
−pi
dxei(n−m)x =

∫ pi
−pi
dxeipx =
eipx
ip
∣∣∣∣pi
−pi
= 0 se n 6= m =⇒ p e´ inteiro∫ pi
−pi
dx = 2pi se n = m
(28)
Assim mostramos facilmente a identidade acima.
Agora, fica fa´cil mostrar aqueles identidades que definirem a ortogonalidade de cosnx e
sennx. De fato,
∫ pi
−pi
dxei(n−m)x = 2piδm,n (29)
=
∫ pi
−pi
dx
(
cos [(n−m)x] + i sen [(n−m)x]
)
(30)
Comparando a parte real e imagina´ria:
6
∫ pi
−pi
dx cos [(n−m)x] = 2piδm,n (31)∫ pi
−pi
dx sen [(n−m)x] = 0 (32)
Agora, usando propriedades gerais de cosenos e senos, vemos que
1
2
cos(n−m)x− 1
2
cos(n+m)x = senmx sennx (33)
e assim ∫ pi
−pi
dx senmx sennx =
1
2
∫ pi
−pi
dx cos(n−m)x− 1
2
∫ pi
−pi
dx cos(n+m)x (34)
=
 se m = n 6= 0 obtemos pise m 6= n obtemos 0 (35)
assim, ∫ pi
−pi
dx senmx sennx = piδm,n (36)
Exerc´ıcio: mostre que ∫ pi
−pi
dx cosmx cosnx = piδm,n (37)
Agora, podemos calcular os coeficientes da se´rie de Fourier. De fato,
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(nx) + bn sen(nx)] (38)∫ pi
−pi
dxf(x) =
∫ pi
−pi
dx
a0
2
+
∫ pi
−pi
dx
∞∑
n=1
[an cos(nx)+ bn sen(nx)] . (39)
Como a se´rie existe (por hipo´tese), podemos comutar o integral com a soma
∫ pi
−pi
dxf(x) = a0pi +
∞∑
n=1
an
∫ pi
−pi
dx cos(nx) +
∞∑
n=1
bn
∫ pi
−pi
dx sen(nx). (40)
7
O u´ltimo termo e´ 0 pois seno e´ impar
∫ pi
−pi
dx cosnx = piδn0 (41)
e, como na soma n < 0, esse termo na˜o contribui. Assim,
a0 =
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) (42)
E´ como se fosse a me´dia de f(x) no intervalo.
Vamos mostrar agora que
am =
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) cosmx, m ≥ 0 (43)
bm =
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) senmx, m > 0 (44)
De fato, com m > 0,
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) cosmx =
���
���
���
��:01
pi
∫ pi
−pi
dx
a0
2
cosmx +
1
pi
∫ pi
−pi
dx
∞∑
n=1
[an cos(nx) + bn sen(nx)] cosmx
(45)
=
1
pi
∞∑
n=1
an
∫ pi
−pi
dx cosnx cosmx+
���
���
���
���
���
�:0
1
pi
∞∑
n=1
bn
∫ pi
−pi
dx sennx cosmx
(46)
O u´ltimo termo e´ zero pois seno e coseno sa˜o ortogonais.
Enta˜o,
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) cosmx =
1
pi
∞∑
n=1
an
∫ pi
−pi
dx cosnx cosmx (47)
=
1
pi
∞∑
n=1
anpiδn,m (48)
= am (49)
8
Analogamente, pode mostrar que
bm =
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) senmx (50)
Essa se´rie, constru´ıda com esses coeficientes, e´ chamada de se´rie de Fourier.
1.2 Exemplos
Por exemplo, considere a func¸a˜o f(x) = x2 no intervalo [−pi, pi]:
Os coeficientes sa˜o
a0 =
1
pi
∫ pi
−pi
dxx2 =
2
3
pi2 (51)
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
dx x2︸︷︷︸
par
sennx︸ ︷︷ ︸
impar
= 0, n > 0 (52)
an =
1
pi
∫ pi
−pi
dxx2 cosnx =
1
pi
∫ pi
−pi
dxx2einx (53)
Integrando por partes:
∫ pi
−pi
dxx2einx =
�
�
�
�
��>
0
einx
in
x2
∣∣∣∣pi
−pi
−
∫ pi
−pi
dx
einx
in
2x (54)
Integrac¸a˜o por partes de novo:
−
∫ pi
−pi
dx
einx
in
2x = − e
inx
(in)2
2x
∣∣∣∣pi
−pi
+
∫ pi
−pi
dx
einx
(in)2
2 (55)
=
2pi
n2
[
einpi + e−inpi
]
+
���
���
���
��:02
(in)3
[
einpi − e−inpi] (56)
=
4pi
n2
cosnpi (57)
=
4pi
n2
(−1)n (58)
Enta˜o, temos
an =
4
n2
(−1)n, n > 0 (59)
9
e finalmente temos
f(x) = x2 =
pi2
3
+
∞∑
n=1
4(−1)n
n2
cosnx (60)
Fica claro que a se´rie de Fourier representa a extensa˜o perio´dica dos valores de f(x) no
intervalo (−pi, pi).
Fica claro tambe´m, atrave´s desse exemplo, que se
• f(x) e´ par =⇒ bn = 0 (na˜o ha´ termos com sennx)
• f(x) e´ impar =⇒ an = 0 (na˜o ha´ termos com cosnx)
Considere agora a func¸a˜o discont´ınua
f(x) =
−1 se x < 0+1 se x ≥ 0 (61)
Vamos calcular os coeficientes de Fourier:
10
a0 =
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) =
1
pi
∫ 0
−pi
dx(−1) + 1
pi
∫ pi
0
dx (62)
= 1− 1 = 0 (63)
Note que essa func¸a˜o e´ como se fosse a func¸a˜o sinal
signx ≡ x|x| , se x 6= 0 (64)
Essa func¸a˜o e´ impar. Logo, esperamos que an = 0. De fato,
an =
1
pi
∫ 0
−pi
dx(− cosnx) + 1
pi
∫ pi
0
dx cosnx (65)
= 0 (66)
bn =
1
pi
∫ 0
−pi
dx(− sennx) + 1
pi
∫ pi
0
dx sennx (67)
=
1
pi
∫ pi
0
dx sennx
(x→−x)
+
1
pi
∫ pi
0
dx sennx (68)
=
2
pi
∫ pi
0
dx sennx (69)
Em geral bn 6= 0.
Fazendo separadamente em detalhe:
11
bn =
2
pi
∫ pi
0
dx sennx =
2
pi
Im
[∫ pi
0
dxeinx
]
(70)
=
2
pi
Im
[
einx
in
∣∣∣∣pi
0
]
(71)
=
2
pi
Im
[
einpi
in
− 1
in
]
(72)
=
2
pin
Im
[
(−i) (einpi − 1)] (73)
=
2
pin
Re
[
1− einpi] (74)
=
2
pin
[1− cosnpi] (75)
=
2
pin
[1− (−1)n] (76)
=
0 se n = par4
pin
se n = impar
(77)
A se´rie de Fourier e´, enta˜o,
f(x) =
4
pi
∞∑
n=1,3,5,...
1
n
sennx (78)
ou,
f(x) =
4
pi
∞∑
n=0
sen[(2n+ 1)x]
2n+ 1
(79)
Note que f(0) = 0 de acordo com nossa se´ria acima. Isso mostra o fato geral mencionado
antes que, numa descontinuidade, a se´rie de Fourier converge para a “me´dia aritme´tica”.
12
Nesse caso esse valor e´ zero ja´ que essa func¸a˜o e´ -1 para x < 0 e 1 para x > 0.
Outro exemplo: “Onda de Serra”
f(x) = x se − pi ≤ x ≤ pi (80)
A se´rie de Fourier fics com coefficientes an = 0, n ≥ 0 pois f(x) e´ impar.
Integrando por partes,
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
dxx sennx (81)
=
1
pi
[−x cosnx
n
]pi
−pi
+
∫ pi
−pi
dx
cosnx
n
(82)
=
2(−1)n+1
n
+
��
��
��
�*0
1
pi
sennx
n
∣∣∣∣pi
−pi
(83)
=
2(−1)n+1
n
(84)
Assim,
x =
∞∑
n=1
2(−1)n+1
n
sennx (85)
13
Imagine agora que consideremos apenas um nu´mero finito de termos:
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Note que:
1. Quando inclu´ımos mais termos na se´rie a acura´cia com a qual a se´rie finita representa
f(x) aumenta.
2. Todas as curvas va˜o para zero quando x = pi.
3. Na vizinhanc¸a de x = pi (onde a descontinuidade aparece) a se´rie tem um “overshoot”
que persiste e na˜o diminui quando inclu´ımos mais termos na se´rie. Esse e´ um exemplo
do conhecido “fenoˆmeno do Gibbs”, que voceˆs podem ler mais sobre no livro de Arfken
(cap. 14).
1.3 Outros aspetos
1.3.1 Mudanc¸a de Intervalo
Ate´ agora, nosso intervalo em x era de 2pi (ou 0→ 2pi ou −pi → pi). Isso na˜o e´ uma restric¸a˜o
para a aplicabilidade da se´rie de Fourier. De fato, se f(x) tem per´ıodo 2L, podemos escrever
14
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an cos
(npix
L
)
+ bn sen
(npix
L
)]
(86)
(note que cos
(
npix
L
)
tem per´ıodo 2L.)
Os coeficientes ficara˜o
an =
1
L
∫ L
−L
dxf(x) cos
(npix
L
)
, n = 0, 1, 2, . . . (87)
bn =
1
L
∫ L
−L
dxf(x) sen
(npix
L
)
, n = 1, 2, . . . (88)
Obviamente, qualquer intervalo (x0, x0 + 2L) serve. Escolhemos de −L → L por con-
venieˆncia.
Note que o per´ıodo era 2L. Para um per´ıodo L, temos L→ L/2 nas equac¸o˜es.
1.3.2 Se´rie de Fourier em senos ou co-senos
Suponha f(x) arbitra´ria (na˜o necessariamente par ou impar). Se calcularmos as integrais
sobre a metade do domı´nio, e definirmos
an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(npix
L
)
dx (89)
e formarmos a se´rie
gc(x) ≡ a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(npix
L
)
, (90)
esta se´rie representara´ a extensa˜o par ou sime´trica de f(x), ou seja
gc(x) =
f(x), 0 < x < Lf(−x), −L < x < 0 (91)
gc(x) e´ a se´rie de Fourier em co-senos de f(x). Analogamente podemos definir
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
(npix
L
)
dx (92)
15
e construir a se´rie
gs(x) ≡
∞∑
n=1
bn sen
(npix
L
)
(93)
onde
gs(x) =
f(x), 0 < x < L−f(−x), −L < x < 0 (94)
e´ a extensa˜o anti-sime´trica (ou impar) de f(x).
Por exemplo, suponha que f(x) seja
A se´rie de Fourier (com per´ıodo 2L) sera´
A se´rie em co-senos sera´
16
A se´rie em senos sera´
1.3.3 Fatos interessantes
1. Naquele exemplo onde
f(x) =
−1 se x < 0+1 se x ≥ 0 (95)
a se´rie de Fourier era tal que o n-e´simo coeficiente ia ∼ 1
n
. Esse tipo de dependeˆncia
e´ o meso que ocorre na se´rie harmoˆnica, que e´ divergente. Convergeˆncia, nesse caso
para esse tipo de se´rie e´ bem lenta. O fato de que an ∼ 1n geralmente ocorre quando a
func¸a˜o tem descontinuidades.
2. Se f(x) e´ cont´ınua (mas talvez com derivadas descont´ınuas), geralmente o n-e´simo
coeficiente ∼ 1
n2
(convergeˆncia e´ muito mais ra´pida).
1.3.4 Integrac¸a˜o da se´rie de Fourier
Se a se´rie de Fourier de f(x) converge podemos fazer a integral termo a termo (i.e., trocar∫ ∑→∑∫ ).
∫ x
x0
dx˜f(x˜) = a0
x˜
2
∣∣∣∣x
x0
+
∞∑
n=1
[
an
n
sennx˜
∣∣∣∣x
x0
− bn
n
cosnx˜
∣∣∣∣x
x0
]
(96)
17
Note que a integral da se´rie, em geral, convergira´ mais ra´pido do que a se´rie original
devido ao fator extra∼ 1
n
que vem da integrac¸a˜o de cosnx e sennx.
1.3.5 Derivada da se´rie de Fourier
Integrac¸a˜o, como vimos acima, melhora as propriedades de convergeˆncia da se´rie de Fourier.
Derivadas, por outro lado, em geral pioram bastante a convergeˆncia da se´rie.
Por exemplo: Considere a se´rie de Fourier para
f(x) = x, −pi < x < pi (97)
Vimos anteriormente que (85)
x = 2
∞∑
n=1
(−1)n+1 sennx
n
(98)
Vamos agora tirar a derivada d
dx
dos dois lados.
1 = 2
d
dx
∞∑
n=1
(−1)n+1 sennx
n
(99)
E agora? Trocando a derivada e a soma, encontramos
1 = 2
∞∑
n=1
(−1)n+1 cosnx (100)
Essa se´rie na˜o e´ convergente!
Agora, se a sua se´rie convergir mais rapidamente, tudo esta´ OK.
Exemplo: Onda triangular
18
f(x) =
x 0 < x < pi−x −pi < x < 0 (101)
A se´rie de Fourier so´ tem cosenos (por que?) e encontramos
f(x) =
pi
2
− 4
pi
∑
n=1
cos [(2n+ 1)x]
(2n+ 1)2
(102)
Note que o coeficiente
lim
n�1
an ∼ 1
n2
(103)
Tirando a derivada dos dois lados
d
dx
x 0 < x < pi−x −pi < x < 0 = 4pi
∞∑
n=1
sen [(2n+ 1)x]
2n+ 1
(104)
=
1 0 < x < pi−1 −pi < x < 0 (105)
que e´ exatamente a se´rie de Fourier que calculamos anteriormente para a func¸a˜o
(lembram?). Nesse caso tudo ficou OK pois a se´rie de Fourier original convergia rapida-
mente evido ao fato de que o n-e´simo coeficiente ∼ 1
n2
.
19
Em geral, por causa desse fator ∼ n que aparece devido a diferenciac¸a˜o, a rapidez da
convergeˆncia da se´rie pode diminuir bastante e, a`s vezes, transformar a se´rie em uma se´rie
divergente.
1.4 Convergeˆncia em me´dia das se´ries de Fourier
Vamos primeiro lembrar da ideia de convergeˆncia ponto a ponto. Imagine que voceˆ tenha
uma func¸a˜o f(x) em a ≤ x ≤ b e voceˆ tenha uma sequeˆncia de func¸o˜es {fn(x)}
Essa sequeˆncia converge para f(x) ponto a ponto se
lim
n→∞
fn(x) = f(x), em a ≤ x ≤ b (106)
O teorema 1 e´ muito “forte”, no sentido de que, quando f(x) for muito suave, a se´rie de
Fourier converge nesse caso ponto a ponto
Veremos agora que em geral a se´rie de Fourier na˜o necessariamente converge ponto a
ponto, mas converge em me´dia.
Vamos lembrar um pouco de F´ısica experimental I:
Imagine que voceˆ tenha um conjunto de dados experimentais {yi} e voceˆ quer saber qua˜o
bem sua curva teo´rica {y¯i} representa os dados. Como voceˆ mede isso?
Desvio me´dio quadrado: Par a uma sequeˆncia de n pontos experimentais
D =
1
n
n∑
i=0
(yi − y¯i)2 ≥ 0 (107)
Define agora n ≡ L
∆x
onde L ≡ b− a e tomemos ∆x→ 0, n→∞ =⇒ L finito 6= 0.
D =
1
L
∫ b
a
dx [y(x)− y¯(x)]2 ≥ 0 (108)
Assim, caso existem alguns paraˆmetros por ser determinados em y¯(x), voceˆ poderia en-
contra´-los minimizando D. Isso faria com que a diferenc¸a entre as func¸o˜es y(x) e y¯(x) fosse
mı´nima.
Seguindo essa ideia, dizemos que uma dada sequeˆncia de func¸o˜es {fmn} converge em
me´dia para uma outra func¸a˜o f(x) num intervalo [a, b] se:
20
lim
n→∞
∫ b
a
[f(x)− fn(x)]2 dx = 0, (109)
Note que convergeˆncia ponto a ponto definida via
lim
n→∞
fn(x) = f(x) (110)
na˜o necessariamente implica em convergeˆncia em me´dia.
Analogomente, convergeˆncia em me´dia na˜o implica em convergeˆncia ponto a ponto.
Esses conceitos sa˜o equivalentes somente se podermos comutar limn→∞ com a
∫ b
a
(o que
na˜o e´ sempre poss´ıvel).
Enta˜o, depois dessa discussa˜o, podemos definir a integral
D ≡
∫ b
a
dx [f(x)− g(x)]2 (111)
para 2 func¸o˜es f(x) e g(x) definidas para x ∈ [a, b] como desvio quadrado de f(x) e g(x).
Vamos agora aplicar essa ideia a`s se´ries de Fourier.
Suponha que tenhamos uma f(x) dada em x ∈ [−pi, pi] e que queremos aproximar f(x)
pela se´rie trigonome´trica com um nu´mero N (finito) de termos (assume que converge)
gn(x) =
A0
2
+
N∑
k=1
(Ak cos kx+Bk sen kx) (112)
onde Ak e Bk na˜o sa˜o a priori conhecidos.
Podemos obter Ak e Bk de forma que o desvio quadrado D entre f(x) e gn(x) seja mı´nimo
para x ∈ [−pi, pi].
Assim,
Dn =
∫ pi
−pi
dx [f(x)− gn(x)]2 → mı´nimo (113)
Vamos calcular todos os termos de forma expl´ıcita em Dn.
21
Dn =
∫ pi
−pi
dx [f(x)− gn(x)]2 (114)
=
∫ pi
−pi
dx
[
f(x)2 − 2f(x)gn(x) + g2n(x)
]
(115)
Cada termo com gn(x) fica:
∫ pi
−pi
dxf(x)gn(x) =
∫ pi
−pi
dx
A0
2
f(x) +
N∑
k=1
∫ pi
−pi
dxf(x)Ak cos kx+
N∑
k=1
∫ pi
−pi
Bkf(x) sen kx
(116)
=
A0
2
∫ pi
−pi
dxf(x) +
N∑
k=1
Ak
∫ pi
−pi
dxf(x) cos kx+
N∑
k=1
Bk
∫ pi
−pi
dxf(x) sen kx
(117)
Agora
∫ pi
−pi
dxg2n(x) =
∫ pi
−pi
dx
[
A0
2
+
N∑
k=1
(Ak cos kx+Bk sen kx)
][
A0
2
+
N∑
k=1
(Ak cos kx+Bk sen kx)
]
(118)
=
A20
4
2pi + 2
A0
2
 N∑
`=1
A`
��
��
��
��*0∫ pi
−pi
dx cos `x +B`
��
��
��
��*0∫ pi
−pi
dx sen `x


+
N∑
k=1
N∑
`=1
AkA`
∫ pi
−pi
dx cos kx cos `x︸ ︷︷ ︸
piδk`
+
N∑
k=1
N∑
`=1
BkB`
∫ pi
−pi
dx cos kx sen `x︸ ︷︷ ︸
piδk`
+ 2
N∑
k=1
N∑
`=1
AkB`
���
���
���:
0∫ pi
−pi
cos kx sen `x (119)
Usando as relac¸o˜es de ortogonalidade de sen kx e cos kx, obtemos
22
∫ pi
−pi
dxg2n(x) =
A20pi
2
+ pi
N∑
k=1
N∑
`=1
[AkA`δk` +BkB`δk`] (120)
=
A20pi
2
+ pi
N∑
k=1
(
A2k +B
2
k
)
(121)
Assim,
Dn =
∫ pi
−pi
dxf 2(x)− A0
∫ pi
−pi
dxf(x) + 2
N∑
k=1
Ak
∫ pi
−pi
dxf(x) cos kx+ 2
N∑
k=1
Bk
∫ pi
−pi
dxf(x) sen kx
+
A20pi
2
+ pi
N∑
k=1
(
A2k +B
2
k
)
(122)
Vamos agora minimizar Dn com relac¸a˜o aos Ak, Bk.
Dn = Dn(Ak, Bk) e assim, no mı´nimo
∂Dn
∂A0
= 0 (123)
= −
∫ pi
−pi
dxf(x) + A0pi (124)
=⇒ A0 = 1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x). (125)
Esse e´ o valor de A0 que minimiza Dn.
Para ` > 0:
∂Dn
∂A`
= 0 (126)
= −2
∫ pi
−pi
dxf(x) cos `x+ 2A`pi (127)
=⇒ A` = 1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) cos `x. (128)
23
∂Dn
∂B`
= 0 (129)
= −2
∫ pi
−pi
dxf(x) sen `x+ 2B`pi (130)
=⇒ B` = 1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) sen `x. (131)
Assim, vemos que os valores dos coeficientes Ak e Bk que minimizam Dn sa˜o exatamente
aquelas expresso˜es vinda da se´rie de Fourier!
Note que de fato temos um mı´nimo pois
∂2Dn
∂A2`
= 2pi > 0. (132)
Vamos agora substituir essas novas Ak e Bk no Dn para calcular
Dn =
∫ pi
−pi
dxf(x)2 + A0pi
[
A0
2
−
∫ pi
−pi
dx
f(x)
pi
]
+
N∑
k=1
Akpi
[
Ak − 2 1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) cos kx
]
+
N∑
k=1
Bkpi
[
Bk − 2 1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) sen kx
]
(133)
No mı´nimo:
Dn
∣∣∣∣
min
=
∫ pi
−pi
dxf(x)2 −
[
a20pi
2
+ pi
N∑
k=1
(
a2k + b
2
k
)]
(134)
onde
am =
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) cosmx (135)
bm =
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) senmx (136)
Note que por definic¸a˜o, Dn ≥ 0 =⇒ Dn
∣∣∣∣
min
≥ 0 e assim
a20
2
+
N∑
k=1
(
a2k + b
2
k
) ≤ 1
pi
∫ pi
−pi
dxf 2(x) (137)
Agora, nesse ponto podemos tomar N → ∞. A se´rie trigonome´trica com nu´mero de
termos finito vira uma se´rie de Fourier e assim
24
a20
2
+
∞∑
k=1
(
a2k + b
2
k
) ≤ 1
pi
∫ pi
−pi
dxf 2(x) (138)
Essa e´ a desigualdade de Bessel.
Nesse aspecto, a se´rie de Fourier e´ considerada uma representac¸a˜o fiel (ou adequada)
da func¸a˜o f(x) se
lim
n→∞
Dn
∣∣∣∣
min
= 0 (139)
o que equivale a dizer que converge em me´dia pois
lim
n→∞
Dn
∣∣∣∣
min
= 0 =⇒ lim
n→∞
∫ pi
−pi
[
f(x)− gFouriern (x)
]2
= 0 (140)
Assim, se a se´rie de Fourier de f(x) convergir em me´dia para f(x), a desigualdade de
Bessel se torna a famosa relac¸a˜o de Parseval
1
pi
∫ pi
−pi
dxf 2(x) =
a20
2
+
∞∑
k=1
(
a2k + b
2
k
)
(141)
onde
ak =
1
pi∫ pi
−pi
dxf(x) cos kx (142)
bk =
1
pi
∫ pi
−pi
dxf(x) sen kx (143)
Dizemos que {sen kx, cos kx} forma um conjunto completo em relac¸a˜o a uma dada classe
de func¸o˜es se a relac¸a˜o de Parsevel e´ satisfeita para essa classe de func¸o˜es.
Teorema 3 O sistema {sen kx, cos kx} e´ completo para todas as func¸o˜es cont´ınuas por partes
no intervalo x ∈ [−pi, pi].
Note que existe alo similar a relac¸a˜o de Parseval para espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita.
Defina
~a =
N∑
i=1
aieˆi (144)
25
onde
eˆi · eˆj = δij (145)
O produto escalar e´ definido por
~a ·~b =
(
N∑
i=1
aieˆi
)
·
(
N∑
k=1
bkeˆk
)
(146)
=
N∑
i,k=1
aibkeˆi · eˆk (147)
=
N∑
i=1
aibi (148)
Agora
~a · ~a =
N∑
k=1
a2k (149)
Fazendo a analogia
~a ·~b→
∫ pi
−pi
dxf(x)g(x) (150)
~a =
N∑
i=1
aieˆi → f(x) = a0
2
+
N∑
k=1
[ak cos kx+ bk sen kx] (151)
Vemos que
~a · ~a =
N∑
k=1
a2k →
1
pi
∫ pi
−pi
dxf 2(x) =
a20
2
+
N∑
k=1
(
a2k + b
2
k
)
(152)
(Note que a base {| sennx, cosnx} e´ ortogonal mas na˜o ortonormal).
26
	Série de Fourier
	Completeza da base cosnx, `39`42`"613A``45`47`"603Asennx
	Exemplos
	Outros aspetos
	Mudança de Intervalo
	Série de Fourier em senos ou co-senos
	Fatos interessantes
	Integração da série de Fourier
	Derivada da série de Fourier
	Convergência em média das séries de Fourier