MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO

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MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO 
A queda dos corpos 
A queda dos corpos foi um dos primeiros movimentos que despertaram a atenção dos estudiosos. 
Afinal, que tipo de movimento tem um corpo que cai?
Na Grécia Antiga, o filósofo Aristóteles (385 - 322 a.C.) afirmou que os corpos mais pesados caem 
mais depressa que os corpos mais leves e que a velocidade de queda é proporcional ao peso do 
corpo, isto é, quanto mais pesado o corpo, maior a velocidade.
Durante muito tempo essa afirmação de Aristóteles foi considerada correta mas durante a Idade 
Média alguns estudiosos começaram a questionar a afirmação de Aristóteles pois a experiência 
mostrava que a coisa não era tão simples assim.
Um experimento simples que você pode fazer é pegar, por exemplo, uma bola (ou sua borracha) e 
uma folha de papel e deixá-las cair ao mesmo tempo, de uma mesma altura (Fig. 1). Você perceberá 
que a bola cairá mais depressa que a folha de papel. Além disso, perceberá que a bola cairá em linha 
reta enquanto a folha de papel terá um movimento mais complexo, oscilando para os lados enquanto 
cai.
 
No entanto, se você repetir o experimento amassando a folha de papel (Fig. 2), observará que a bola 
e a "pelota" de papel cairão praticamente juntas, chegando ao solo quase no mesmo instante. Porém, 
nos dois experimentos o peso da folha de papel é o mesmo e, no entanto, os movimentos são 
diferentes: a folha aberta cai mais devagar que a folha amassada. Qual a explicação?
Galileu
O primeiro a apresentar uma explicação adequada foi o italiano Galileu Galilei (1564 - 1642), o qual 
nasceu na cidade de Pisa, aquela onde está a famosa Torre inclinada (Fig. 4).
 
Galileu é considerado o pai da ciência moderna e teremos oportunidade de mencionar várias 
realizações suas nas próximas aulas. Nesta aula vamos comentar apenas o seu estudo da queda dos 
corpos.
Há uma lenda segundo a qual Galileu teria demonstrado o erro de Aristóteles, de modo dramático, 
perante uma grande plateia reunida em volta da torre. Galileu teria abandonado do alto da torre, ao 
mesmo tempo, duas balas de canhão de pesos diferentes, tendo as duas chegado ao solo 
praticamente no mesmo instante. No entanto isso não deve ter acontecido desse modo pois, como já 
mencionamos, na Idade Média já se sabia que a descrição de Aristóteles para a queda dos corpos 
estava errada. O que faltava era a descrição correta e esta foi dada por Galileu, após cuidadosos 
experimentos.
Galileu percebeu que diferença entre os movimentos da folha aberta e da folha amassada estava na 
resistência do ar. O ar oferece uma resistência ao movimento e essa resistência depende da área do 
corpo. A folha aberta tem área bem maior do que a folha amassada e, assim, a folha aberta tem mais 
dificuldade para cair. Galileu percebeu também que para objetos pequenos, de formatos esféricos e 
feito de material de grande densidade (ferro, chumbo, cobre, etc.) a resistência do ar poderia ser 
desprezada. Concluiu então que:
 
Queda Livre
Galileu jamais conseguiu eliminar completamente a resistência do ar mas hoje isso é fácil de ser 
conseguido. Existem aparelhos chamados bombas de vácuo, com os quais podemos tirar o ar de um 
recipiente. Na Fig. 5 ilustramos um experimento realizado deixando cair ao mesmo tempo, e da 
mesma altura, uma pena e uma pedra. O tubo da esquerda contém ar e, assim, a resistência do ar 
faz com que a pena caia mais devagar do que a pedra. Porém, o tubo da direita está sem ar (vácuo) 
e neste tubo a pena e a pedra caem juntas, com a mesma aceleração.
I - Tubo contendo ar
II - Tubo sem ar (vácuo)
Hoje podemos ainda fazer outro experimento, impossível para Galileu: deixar cair objetos na Lua. Na 
Lua não há ar. Assim, um dos primeiros experimentos realizados pelos primeiros astronautas que 
pisaram na Lua foi deixar cair, ao mesmo tempo e da mesma altura, uma pena e um pesado martelo. 
O resultado foi que os objetos caíram juntos, chegando ao solo ao mesmo tempo.
A queda dos corpos na ausência de resistência do ar é chamada de queda livre.
Um corpo em queda livre tem uma aceleração constante, chamada aceleração da gravidade e 
representada por g. Próximo da superfície da Terra, a experiência mostra que
g 9,8 m/s2
Na realidade o valor de g depende do local da Terra e também da altitude. Por exemplo, o valor de g 
na cidade do Rio de Janeiro, que está no nível do mar, não é o mesmo que na cidade de São Paulo, 
que está a uma altitude de 700 metros acima do nível do mar. Na aula Força de Resistência do Ar 
analisaremos as razões dessas diferenças. Por enquanto vamos desprezar essas variações e, nos 
exercícios fazer a aproximação:
g 10m/s2
para facilitar os cálculos.
O valor de g em outros planetas (ou satélites) é diferente. Por exemplo, na Lua temos g 1,6m/s2.
Como a queda livre é um movimento de aceleração constante, trata-se de um movimento 
uniformemente variado e, assim podemos usar as equações do MUV:
v = v0 + at
v2 = v02 + 2a(s - s0)
onde |a| = g. O sinal de a dependerá do eixo adotado como veremos adiante.
Exemplo 1
Numa região onde g = 10 m/s2, uma partícula é abandonada de uma altura H = 45 m. Desprezando a 
resistência do ar pede-se:
a) tempo de queda.
b) velocidade ao atingir o solo.
c) usando um eixo orientado para baixo, esboce os gráficos da velocidade escalar e do espaço em 
função do tempo.
Resolução
a) Vamos adotar um eixo orientado para baixo, adotando o espaço inicial como sendo zero:
s0 = 0
Dizer que a partícula é abandonada (ou largada) significa dizer que a velocidade inicial é nula.
v0 = 0
A equação horária do espaço é:
onde: S0 = 0; V0 = 0; a = g = 10m/s2
Assim temos:
s = 5t2
Quando a partícula chega ao solo temos s = 45 m:
t2 = 9
t = 3 s
Portanto, a partícula atinge o solo 3 segundos após ter sido abandonada.
b) Para calcular a velocidade com que a partícula atinge o solo, temos dois modos. Um deles é usar a 
equação:
v = 10t
Para t = 3s temos:
v = 10 (3)
v = 30 m/s
Um outro modo é usar a equação de torricelli:
v2 = 20(45) = 900
t = 0 v = 10(0) = 0
t = 1 v = 10(1) = 10
t = 2 v = 10(2) = 20
t = 3 v = 10(3) = 30
t = 0 5(0)2 = 0
t = 1 5(1)2 = 5
t = 2 5(2)2 = 20
t = 3 5(3)2 = 45
t (s) s (m)
0 0
1 5
2 20
3 45
v = 30m/s
c) A equação horária da velocidade é:
v = 10 t
Assim, o gráfico da velocidade escalar em função do tempo é o da Fig. 8
Para fazer o gráfico do espaço em função do tempo, partimos da equação horária do espaço.
s = 5 t2
 
Exemplo 2
Numa região em que g = 10 m/s2, uma partícula é lançada para baixo, de uma altura de 140 metros, 
com velocidade inicial v0 = 15 m/s. Depois de quanto tempo a partícula atinge o solo? (despreze a 
resistência do ar)
Resolução
Adotado o eixo mostrado na figura abaixo temos:
Assim, a equação horária do espaço é:
s = 15 + 5t2
Quando a partícula atingir o solo teremos s = 140 m:
140 =15t + 5t2
Simplificando ficamos com a equação
t2 + 3 t - 28 = 0
As raízes dessa equação são
t = 4 e t = -7
Desprezamos a resposta negativa e ficamos com a resposta positiva:
t = 4 s
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