Formulação da Equação Dinâmica de um Mecanismo de 4 Barras

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E TECNOLOGIA - DET
CURSO: ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA: MECÂNICA APLICADA AS MÁQUINAS
DOCENTE: PROF. DR. ALEX SANDRO DE ARAUJO SILVA
DISCENTE: MICHAEL DOUGLAS SANTOS TAVARES
VALMIR PEREIRA BEZERRA JÚNIOR
EXAME 3 – UNIDADE III
MOSSORÓ - RN
2019
INTRODUÇÃO
Segundo Roberto Norton (2010), um mecanismo se trata de um dispositivo que transforma um movimento qualquer em um padrão desejado e geralmente desenvolve forças, intensidade e transmite pouca potência. Um mecanismo simples e muito utilizado é o sistema mecânico com quatro barras e devido a sua constituição em cadeia fechada, este tipo de mecanismo possui apenas um grau de liberdade. Sua dinâmica pode ser descrita por uma única equação diferencial de segunda ordem, onde o uso apenas de coordenadas para parametrizar todo o sistema ao construir a equação dinâmica tende a ser um processo complexo devido às relações geométricas existentes, portanto, um número extra de coordenadas generalizadas são frequentemente introduzidos a fim de simplificar o processo de modelagem.
Este artigo descreve os passos detalhados na formulação da equação dinâmica de um mecanismo de quatro barras que foi iniciado em sala na forma de se obter uma análise de velocidade e posição com base de um único parâmetro, utilizando para isso uma formulação lagrangeana. 
2.	DESENVOLVIMENTO
Nesta seção será apresentada a análise de posição e velocidade de um mecanismo de quatro barras, mostrado na Figura 01.
Figura 01. Diagrama do corpo livre do mecanismo de 4 barras.
Fonte: Adaptada de TANG (2006).
2.1	Análise de posição
A partir da Figura 01, pode ser feita a análise de posição do mecanismo, para o eixo x (eixo horizontal) e o eixo y (eixo vertical), mostrado nas Equações 01 e 02, respectivamente. Portanto temos: 
	
	
	(1)
	
	
	(2)
A intenção desta seção é expressar e em termos de , portanto se rearranjará as Equações 01 e 02 da seguinte forma para que elimine o termo :
Somando as equações acima após elevar os termos ao quadrado, temos:
Podemos ainda reescrevê-la na equação de Freudenstein, como mostrado na Equação 03:
	
	
	(03)
onde,
Deste modo, permite que se determine em termos de , para isto define-se:
	
	
	(04)
e desta forma,
	
	
	(05)
	
	
	(06)
Substituindo as Equações 05 e 06 na Equação 03, temos:
Portanto, tem-se uma equação de segundo grau em função de , e aplicando a fórmula de Bháskara, chegamos ao valor de representado na Equação 07:
	
	
	(07)
Substituindo a Equação 04 na Equação 07, temos:
Se dividirmos a Equação 01 pela Equação 02, temos:
Como mencionado no início da seção, foi obtido e em termos de .
2.2 	Análise de velocidade
Na análise de velocidade, deriva-se as Equações 01 e 02 referentes a posição, e expressa-as em forma de matriz, portanto:
	
	
	(08)
Como foi escolhido como a variável independente, organizamos a Equação 08 da seguinte forma:
e obtemos, 
	
	
	(09)
onde é o espaço nulo da matriz A e,
	
	
	(10)
	
	
	(11)
A Equação 09 pode então ser usada para determinar as velocidades e em termos de . O operador S age como um filtro para manter as velocidades possíveis de e de tal forma que a restrição na Equação 08 não seja violado.
3. 	FORMULAÇÃO LAGRANGEANA
Na formulação lagrangeana, o lagrangeano de todo o sistema é definido pela energia cinética total menos a energia potencial total. Primeiro determinamos a energia cinética total do sistema como:
	
	
	(12)
onde,
Em seguida, determinamos a energia potencial do sistema como:
	
	
	(13)
onde g é a aceleração gravitacional, e 
Finalmente, o Lagrangeano de todo o sistema é dado por:
	
	
	(14)
Depois de alguma manipulação matemática, obtemos a seguinte expressão Lagrangeana:
	
	
	(15)
onde,
Neste ponto, eliminamos os termos de velocidade de e da Equação 15 usando a relação linear na Equação 09, e obtém-se:
	
	
	(16)
Embora e ainda permaneçam na equação, eles podem ser expressos em termos de e o Lagrangeano é considerado completamente escrito em termos de .
4. 	EQUAÇÃO DE MOVIMENTO
Após construir a expressão Lagrangeana, podemos determinar a equação de movimento de todo o sistema por:
	
	
	(17)
Primeiramente determinaremos: 
	
	
	(18)
portanto, 
além disto, 
A equação dinâmica completa pode então ser escrita como:
	
	
	(19)
Ou, de uma forma compacta, pode ser escrito como:
	
	
	(20)
A Tabela 01 ilustra os parâmetros numéricos que são relevantes para o problema.
Tabela 01: Dados de entrada para a modelagem do problema proposto.
	Parâmetros
	
	Comprimento das barras (m)
	
	Distância do centro de massa (m)
	
	Massa das barras (kg)
	
	Momentos de Inercia (kg.m²)
	
	Configuração inicial (rad)
	
	Torque Motor (N.m)
	
	Aceleração da gravidade (m/s²)
	
onde é o torque aplicado na barra , e os termos e são definidos
através da Equação 19, e
5. 	RESULTADOS E DISCUSSÕES
A partir das equações de movimento derivadas da seção anterior, foi executado um exemplo simples de problema dinâmico avançado em um mecanismo de quatro barras. Os parâmetros numéricos estão listados na Tabela 01, conforme solicitado no problema. Um perfil de torque de entrada foi aplicado ao sistema e a tarefa é calcular a configuração completa do sistema devido a esse torque. Para este caso, foi aplicado um torque de 6 N.m na junta l1 que se refere ao ângulo Ɵ.
O sistema do mecanismo é simulado utilizando o software comercial MATLAB, onde foi obtido posição e velocidade ao longo do tempo integrando o sistema dinâmico usando o algoritmo de Runge-kutta de 4° Ordem. A Figura 02 ilustra os gráficos da variação da posição correspondente as barras l1, l2 e l3, respectivamente, ao longo de 2,5 segundos.
Figura 02: Gráficos da variação de Ɵ, α e Φ em função do tempo.
Fonte: Autoria própria (2019).
Vemos que a entrada do torque causa aceleração dentro do sistema, o que é refletido nos gráficos da Figura 02. A barra onde é aplicado o torque se comporta de forma quase parabólica, enquanto as outras se comporta de forma senoidal. As barras vão acelerando e aumentando a velocidade com o tempo apesar de o torque aplicado na barra 1 ser constante, isto se dá a partir da inércia da barra, pode se analisar isto no DCL apresentado na Figura 01.
Já para a análise da velocidade, foi obtido as curvas apresentadas nos gráficos da Figura 03, também para as barras l1, l2 e l3, respectivamente, em um intervalo de 2,5 segundos.
Figura 03: Gráficos da variação de dƟ/dt, dα/dt e dΦ/dt em função do tempo.
Fonte: Autoria própria (2019).
Pela análise dos gráficos da Figura 03, é possível notar que a barra que sofreu o torque se comporta com uma velocidade bem mais elevada que as demais barras, ao longo dos 2,5 segundos, pois é diretamente aplicado a ela, e ambas as outras têm movimento dependente da barra 1, isto fica evidente quando analisarmos as equações descritas no desenvolvimento.
6.	CONCLUSÃO
Com o trabalho pode-se obter a análise de posição e velocidade para um mecanismo de quatro barras, onde a dinâmica pode ser completamente parametrizada por apenas uma coordenada que é o ângulo de entrada . Ao se obter a velocidade e posição através do método numérico de Runge-Kutta pode se perceber que é possível solucionar diversos tipos de problemas, visto que os resultados são condizentes com o artigo de Tang (2006).
7. 	REFERÊNCIAS
[1] NORTON, Robert L. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 2010. 800 p.
[2] TANG, Chin Pei. Lagrangian Dynamic Formulation of a Four-Bar Mechanism with Minimal Coordinates. 2006. 7 p.