Soluções - Aula 01

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Atividade 1: 
O erro está na conclusão da demonstração. A conclusão não é válida para k=1. Vejamos: 
Pela hipótese para k=1 temos todos os objetos da mesma cor. Retirando um objeto 
(Objeto A) da coleção de k+1=2 o objeto que sobrar (Objeto B) será todo da mesma cor. 
Colocando o “Objeto A” de volta e retirando o outro (Objeto B) o “Objeto A” será todo 
da mesma cor. Mas não temos como concluir que os dois objetos possuem a mesma cor. 
Vale lembrar que para outros valores Naturais de k, a demonstração será válida 
Atividade 2: (Fazer errata (a) e (d)) 
(a) Verificando para n=2 (Vale lembrar que, apesar do enunciado mandar provar para 
todos os números naturais n, temos uma indeterminação na letra a para n=1. Então 
começaremos com n=2). 
2
1
2
1
2
12
2.1
1


 
Supondo para n=k temos: 
k
k
kk
1
).1(
1
..
4.3
1
3.2
1
2.1
1 


 
Provando para n=k+1: 
)1.(
11
)1.(
1
).1(
1
..
4.3
1
3.2
1
2.1
1








kkk
k
kkkk
= 
 
)1.(
1)1).(1(



kk
kk
= 
 
)1.(
1)1( 2



kk
k
= 
 
)1.(
2


kk
k
= 
 
)1( 

k
k
 c.q.d 
(b) Verificando para n=1: 
11
1
)1)(1(
1
1
1
1
1
1
1
211











xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x 
Supondo para n=k temos: 
1
1
...1
1
32




x
x
xxxx
k
k 
Provando para n=k+1: 
1
1
132
1
1
...1 

 


 k
k
kk x
x
x
xxxxx = 
 
1
).1(1 11




x
xxx kk
= 
 
1
1)11.(1




x
xxk
= 
 
1
1.1




x
xxk
= 
 
1
1.2




x
xk
 c.q.d 
(c) Analogamente a letra (a), verificaremos para n=2: 
4
3
4
1
1
2.2
12
4
1
1 













 
Supondo para n=k temos: 
k
k
k .2
11
1...
16
1
1
9
1
1
4
1
1
2

























 
Provando para n=k+1: 









































222 )1(
1
1.
.2
1
)1(
1
1
1
1...
16
1
1
9
1
1
4
1
1
kk
k
kk
= 
 







2)1(.2
1
.2
1
).1(
kkk
k = 
 








2
2
)1(.2
1)1(
).1(
kk
k
k = 
)1(2
)2(
)1(.2
)2(
)1(.2
112
)1(.2
1)1( 22












k
k
kk
kk
kk
kk
kk
k
 c.q.d 
(d) Verificando para n=1 
2
1
2
1
1.2
1
2
1
1
11
1
2
1
1 

 
Supondo para n=k temos: 
kkkkkk 2
1
...
3
1
2
1
1
1
2
1
12
1
..
4
1
3
1
2
1
1 







 
Provando para n=k+1: 



























)1(2
1
1)1(2
1
2
1
...
3
1
2
1
1
1
)1(2
1
1)1(2
1
2
1
12
1
..
4
1
3
1
2
1
1
kkkkkkkkkk
 






















)1(2
1
1
1
12
1
2
1
...
3
1
2
1
)1(2
1
12
1
2
1
12
1
..
4
1
3
1
2
1
1
kkkkkkkkkk
 
 
)1(2
1
12
1
2
1
...
3
1
2
1








kkkkk
 c.q.d 
 
Atividade 3: 
a) A proposição será verdadeira para os valores de }7/{  nNn . O menor valor 
natural para que a proposição será falsa será para n=7. 
b) A proposição será verdadeira para os valores de }4/{  nNn . O menor valor 
natural para que a proposição será falsa será para n=4 
 
Não é possível demonstrar por indução a validade dessas proposição pois ambas 
não são válidas para todos os naturais n. 
 
Atividade 4: 
1)Bem, vamos verificar como faríamos o pagamento de 8, 9 e 10 cruzeiros: 
8= 3.1+5.1 
9= 3.3+5.0 
10= 3.0+5.2 
Agora para os próximos valores maiores que 10 basta usarmos a “idéia” que 
tivemos para pagar 8, 9 e 10. Ex: para pagar 11 cruzeiros, usamos o pagamento de 
8 cruzeiros e acrescentamos uma nota de 3 cruzeiros. Para o pagamento de 12 
usamos o de 9, para o pagamento de 13 usamos o de 10 e assim sucessivamente. 
Assim supondo que o banco possa pagar as quantias k, k+1 e k+2, ele poderá pagar 
as quantias k+3=(k)+3; k+4=(k+1)+3; k+5=(k+2)+3. 
 
2) Para cortar 9 pedaços, podemos cortar a folha em 4 pedaços e depois um dos 
pedaços em 6 pedaços; 
Para cortar em 10 pedaços, podemos cortar a folha em 4 pedaços e depois dois dos 
pedaços cortar em 4 pedaços cada; 
Para cortar em 11 pedaços, podemos cortar a folha em 6 pedaços e depois um dos 
pedaços em 6 novamente. 
Verificado isso, vamos usar a ideia do exercício anterior, pois para cortar em 12 
pedaços, pegamos o método que foi usado para cortar em 9 pedaços e um dos 
pedaços cortamos em 4 de novo. 
Supondo que a regra seja válido para 3 números consecutivos, (n-3, n-2, n-1) será 
válida para n, n+1, n+2 e assim sucessivamente. 
3) Verificando para n=1 até n=8 (se você preferir faça até n=16)temos: 
3
012
12
02
2
01
1
0
28
2227
226
225
24
223
22
21








 
Como podemos observar, os números que sucedem um número de base 2 são 
formados pelas somas desse número com seus antecessores. (ex: 5=4+1, 6=4+2) 
até o próximo número de base 2. 
Tomamos como a afirmação A(n) que é qualquer número positivo menor que 
n2 pode ser escrito como 


1
0
2.
n
i
i
ia com  1,0ia . 
Verificando A(1), onde A(1) é a afirmação que qualquer número positivo menor 
que 12 =2, neste caso só temos o número 1, pode ser escrito como 


0
0
12.
i
i
ia , 
quando 10 a . 
Supondo verdadeiro para A(k), onde A(k) é a afirmação que qualquer número 
positivo menor que k2 pode ser escrito como 


1
0
2.
k
i
i
ia com  1,0ia . 
Vamos provar que é verdadeiro para a afirmação A(k+1), onde A(k+1) é a 
afirmação que qualquer número positivo menor que 12 k pode ser escrito como 


k
i
i
ia
0
2. com  1,0ia . 
Seja 
12  kn onde n é Natural. Ou kn 2 ou 122  kk n . 
Se 
kn 2 caímos dentro da suposição da afirmação A(k). 
Se 
122  kk n então )2(
kn  pode ser escrito como 


1
0
2
k
i
i
ia , pela suposição 
anterior. Logo 










k
i
i
i
k
k
i
i
i
kk aann
0
1
0
2222)2( com 1ka 
Auto Avaliação 
1) Verificando para n=1: 
22
3
3.2.1
2.1  
Supondo para n=k temos: 
3
)2)(1(
)1(...4.33.22.1


kkk
kk 
Provando para n=k+1: 
)2)(1(
3
)2)(1(
)2)(1()1(...4.33.22.1 

 kk
kkk
kkkk = 
 
3
)2)(1(3)2)(1(  kkkkk
= 
 
3
)3)(2)(1( 

kkk
 c.q.d 
 
2) Verificando para n=4 temos duas diagonais (Quantidade de diagonais de um 
quadrilátero). 
Vamos supor que seja válido para um polígono de k lados, ou seja 
2
3
2
)3( 2 kkkk
dk



 . Temos queprovar que para um polígono de k+1 lados o 
número de diagonais é 
2
2
2
)2)(1( 2
1




kkkk
dk . 
Agora imagine um polígono de k lados. A quantidade de diagonais é 
2
3
2
)3( 2 kkkk
dk



 (Lembre-se que supomos verdade isso). Se aumentarmos um 
lado, quantas diagonais aumentarão? Esse vértice novo se ligará com k vértices menos os 
2 que estão ao seu lado. Entretanto, você teremos uma nova diagonal entre os pontos 
imediatamente vizinhos ao novo vértice. Logo, somaremos k -1 à fórmula. 
Temos: 
2
2
2
223
)1(
2
)3( 22
1






kkkkk
k
kk
dk c.q.d 
3) Para n = 3 temos que o polígono é um triângulo e sabemos da geometria elementar que 
a soma dos ângulos internos de um triângulo é 
00 180).23(180  . 
Suponhamos a afirmação válida para n = k > 3, isto é, que a soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo de k lados é 
0180).2(  kSk e consideremos o polígono convexo 
kaaa ...20 com k + 1 lados. O polígono kaaa ...20 que se obtém traçando o segmento 20aa 
tem k lados, consequentemente, a soma dos seus ângulos é 
0180).2(  kSk . Agora, a 
soma dos ângulos do polígono original será kS mais a soma dos ângulos do triângulo 
210 aaa , isto é, 
0000
1 180).1(180180).2(180  kkSS kk . C.q.d