analise_funcional

Notas de Aula
Ana´lise Funcional
Rodney Josue´ Biezuner 1
Departamento de Matema´tica
Instituto de Cieˆncias Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Notas de aula do curso Ana´lise Funcional do Programa
de Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica, ministrado no primeiro semestre de 2009.
6 de julho de 2009
1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.
Suma´rio
1 Espac¸os Vetoriais Normados e Espac¸os de Banach 3
1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exemplo 1: Os espac¸os `p (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Exemplo 2: Os espac¸os das sequeˆncias `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exemplo 3: Os espac¸os Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Exemplo 4: Os espac¸os Ck
(
Ω
)
e os espac¸os de Ho¨lder Ck,α
(
Ω
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Aplicac¸o˜es Lineares 12
2.1 Aplicac¸o˜es Lineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 O Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Formas Geome´tricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Os Teoremas da Limitac¸a˜o Uniforme, da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado 25
3.1 O Teorema da Limitac¸a˜o Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Os Teoremas da Aplicac¸a˜o Aberta e do Gra´fico Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Operadores Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Espac¸os Reflexivos 36
4.1 Espac¸os Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Espac¸os Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Exemplo 1: Espac¸os `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Espac¸os Uniformemente Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Exemplo 2: Espac¸os Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Topologia Fraca e Topologia Fraca* 54
5.1 Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Sequeˆncias Fracamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Topologia Fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Convexidade Uniforme e Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Reflexividade, Separabilidade e Topologias Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 Metrizabilidade e Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1
Rodney Josue´ Biezuner 2
6 Espac¸os de Hilbert 70
6.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 Teorema de Representac¸a˜o de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Bases de Schauder e Bases de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7 Operadores Compactos 81
7.1 Operadores Completamente Cont´ınuos e Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2 Teoria de Riesz-Fredholm para Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.3 O Espectro de Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Teoria Espectral para Operadores Autoadjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 Aplicac¸a˜o: Problemas de Sturm-Liouville e Operadores Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8 Espac¸os de Sobolev e Equac¸a˜o de Laplace 100
8.1 O Princ´ıpio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2 A Derivada Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.2 Um Teorema de Aproximac¸a˜o para Func¸o˜es Fracamente Diferencia´veis . . . . . . . . . 103
8.2.3 Caracterizac¸a˜o das Func¸o˜es Fracamente Diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2.4 Regra do Produto e Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3 Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.4 Caracterizac¸a˜o dos Espac¸os W 1,p0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5 Imersa˜o Cont´ınua de Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.6 Imersa˜o Compacta de Espac¸os de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.7 Resoluc¸a˜o do Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.8 O Problema de Autovalor para o Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Cap´ıtulo 1
Espac¸os Vetoriais Normados e
Espac¸os de Banach
1.1 Definic¸a˜o
1.1 Definic¸a˜o. Seja E um espac¸o vetorial real. Uma norma em E e´ uma func¸a˜o ‖·‖ : E −→ R que satisfaz
as seguintes propriedades:
(i) ‖x‖ > 0 para todo x ∈ E e ‖x‖ = 0 se e somente se x = 0;
(ii) (Homogeneidade) para todo α ∈ R e para todo x ∈ E vale
‖αx‖ = |α| ‖x‖ ;
(iii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y ∈ E vale
‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ .
Um espac¸o vetorial E munido de uma norma ‖·‖ e´ chamado um espac¸o vetorial normado e denotado
(E, ‖·‖).
1.2 Definic¸a˜o. Seja M um conjunto. Uma me´trica em M e´ uma func¸a˜o d : M ×M −→ R que satisfaz as
seguintes propriedades:
(i) d (x, y) > 0 para todos x, y ∈M e d (x, y) = 0 se e somente se x = y;
(ii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y, z ∈M vale
d (x, z) 6 d (x, y) + d (y, z) .
Um espac¸o vetorial normado torna-se naturalmente um espac¸o me´trico com a me´trica derivada da norma:
d (x, y) = ‖x− y‖ .
Desta forma, um espac¸o vetorial normado torna-se um espac¸o topolo´gico com a topologia induzida pela
me´trica.
1.3 Proposic¸a˜o. Seja (E, ‖·‖) um espac¸o vetorial normado. Enta˜o as func¸o˜es soma de vetores E ×E −→
E, (x, y) 7→ x + y, multiplicac¸a˜o de vetores por escalares R × E −→ E, (α, x) 7→ αx, e norma ‖·‖ :
E −→ R, x 7→ ‖x‖ sa˜o cont´ınuas.
3
Rodney Josue´ Biezuner 4
1.4 Corola´rio. Fixado x0 ∈ E, a aplicac¸a˜o x 7→ x+ x0 (translac¸a˜o) e´ um homeomorfismo. Fixado α ∈ R
na˜o nulo, a aplicac¸a˜o x 7→ αx (homotetia) e´ um homeomorfismo.
Lembramos que um espac¸o me´trico completo e´ um espac¸o me´trico em que todas