Cálculo Diferencial 4

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Universidade Federal do Ceará - Licenciatura em matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial 
Aluno: André Philipe Magalhães Lima 
 
AULA 04 - PORTFÓLIO 04 
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo Exercitando(Aula04_Top1).doc ou clique aqui para abrir o exercitando. 
Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em 
grupo. Os exercícios 7 e 17 do exercitando são as respectivas questões 1 e 2 do 
trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar. 
 
Tópico 01 
1. (QUESTÃO 7) 
q(x) sen x, ,1 ;
2
 =  
 
 
i) Tangente 
ii) Normal ao gráfico da função dada no ponto indicado. 
Faça os gráficos das funções e das retas: 
Resposta: 
O coeficiente angular da reta tangente a função no ponto dado chamado de “m”, será a 
derivada de f no ponto, assim usamos a coordenada x do ponto, que é π/2, logo: 
m = lim x → x/2 (f(x) – f(π/2)) / x – π/2 → (sen x – sen π/2) / x – π/2 → como π/2 nos 
remete a 180/2 = 90, e como o seno de 90 é 1 → lim x → π/2 (sen x – 1) / x – π/2 = m 
Temos no numerador uma subtração de dois termos que podemos escrever na forma de 
um produto notável, bastando multiplicar pela soma dos mesmos termos, fazendo o 
mesmo no denominador para não alterar o resultado. Usando o produto notável a2 – b2 = 
(a + b)(a – b): 
(sen x – 1) / x – π/2 * (sen x + 1 / sen x + 1) = sen2 x – 1 / (x – π/2)*(sen x + 1) 
Temos uma relação fundamental da trigonometria que diz, sen2x + cos2x = 1, vamos 
usá-la no numerador, perceba que sen2x = 1 – cos2x, então, substituindo: 
m = lim x → π/2 (1 – cos2x – 1) / (x – π/2)*(sen x +1) → lim x → π/2 – cos2x / (x – 
π/2)*(sen x + 1) = m 
Usando uma propriedade do cálculo de limites, podemos escrever lim x→ π/2 – cos²x / 
(x – π/2)*(sen x + 1) como: lim x→ π/2 – cos²x * lim x→ π/2 1/ (x - π/2).(sen x + 1) 
Note que em lim x→ π/2 – cos²x, ao aplicarmos o limite π/2, estaremos trabalhando 
com (cos 90)2 * (-1) → 02 * (-1) → 0 → Percebemos assim que essa primeira parcela da 
multiplicação é 0, então o resultado da multiplicação também será 0. 
Lim x→ π/2 – cos2x * lim x → π/2 1/(x – π/2) * (sen x + 1) → 0 * lim x → π/2 1/(x – 
π/2) * (sen x + 1) = 0 → Assim, o coeficiente angular da reta tangente é 0. 
π
2 
3π 
2 
π 2π 
Normal 
Tangente 1 
-1 
0 
y 
x 
Logo a reta tangente será: y – yo = m(x – xo) → y - 1 = 0(x – π/2) → y – 1 = 0 → y = 1. 
Pela relação entre retas perpendiculares, podemos encontrar o coeficiente angular n, da 
reta normal, pois uma propriedade diz que m * n = -1 → n = -1/m. Assim, n = -1/0 → 
logo não existe. 
Se o coeficiente angular da reta normal não existe, então a reta faz uma inclinação de 
90° com o eixo x. 
Agora para o gráfico, já temos a reta tangente y = 1, e temos a informação acima sobre a 
reta normal, já temos como traçar as duas retas. Quanto a função vamos atribuir os 
valores (0, π/2, π, 3π/2, 2π) em x para encontrar (0, 1, 0 -1, 0) em y respectivamente, e 
assim teremos alguns pontos no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: As dimensões e equidistâncias dos pontos e retas são meramente ilustrativas, 
desconsiderar as distâncias erradas. 
 
2. (QUESTÃO 17) É normal à curva y x= +2 1 e paralela à reta x y− = 0; 
Resposta: 
A reta normal a curva é a perpendicular a tangente a mesma curva, logo: 
y´=2x 
x – y = 0 ou y = x 
 
Sendo a reta normal paralela a curva acima, então a reta tangente tem coeficiente 
angular menos o inverso de 1 ou m = -1 = f´(x0) = y´ 
y´= -1 = f´(x0) → -1 = 2x → x = -1/2 → f(-1/2) = ¼ + 1 = 5/4 
 
P( -1/2 , 5/4) logo (x0 , f(0) = (-1/2, 5/4) 
 
A equação da reta tangente t é da forma: 
y- f(x0) = f´(x0)(x-x0) 
y – 5/4 = -1(x + ½) 
y = -x – ½ + 5/4 
y = -x + (5 – 2)/4 
y = -x + ¾ 
A reta normal n, como paralela a y = x a, tem o coeficiente 1, ou m = 1. 
Aplicando: 
 
y – y1 = m(x – x1), sendo (x1, y1) = (-1/2, 5/4) m = 1 
y - 5/4 = 1(x + ½) 
y = x + 1/2 + 5/4 
y = x + (5 + 2)/4 
y = x + 7/4 
4x-4y +7 = 0 
 
Ou seja; 
Na forma reduzida → y = x + 7/4 
Na forma geral → 4x-4y +7 = 0