Aula 5 - Distribuição de Proporções Amostrais

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 Distribuições de Probabilidades de Estatísticas Amostrais 
(Estimadores) 
 
◦ 2.1 – A Distribuição da Média Amostral. 
 
◦ 2.2 – O Teorema do Limite Central. 
 
◦ 2.3 – A Distribuição da Proporção Amostral. 
 
◦ 2.4 – Aplicações. 
 
 
 
 
O Teorema do Limite Central 
 
 Como já visto, a capacidade de usar amostras para fazer 
inferências sobre parâmetros populacionais depende do 
conhecimento da distribuição amostral. 
 
 Acabamos de ver como se determinam a média e o desvio 
padrão, mas precisamos ainda de outra informação: a forma 
da distribuição amostral. 
 
 
O Teorema do Limite Central 
 
 Já dissemos antes que há uma tendência para as 
distribuições de médias e de proporções se apresentarem 
aproximadamente normais. 
 
 No caso das médias amostrais, pode-se demonstrar 
matematicamente que, se uma população tem distribuição 
normal, a distribuição das médias amostrais extraídas da 
população também tem distribuição normal, para qualquer 
tamanho de amostra. 
 
O Teorema do Limite Central 
 
 Além disso, mesmo no caso de uma distribuição não-normal, 
a distribuição das médias amostrais será aproximadamente 
normal, desde que a amostra seja grande. 
 
 Este é um resultado notável, na verdade, pois nos diz que 
não é necessário conhecer a distribuição de uma população 
para podermos fazer inferências sobre ela a partir de dados 
amostrais. 
 
 A única restrição é que o tamanho da amostra seja grande. 
Uma regra prática muito usada é que a amostra deve 
consistir de 30 ou mais observações. 
O Teorema do Limite Central 
 
População: 
 
 distribuição: 
 uniforme[39, 99] 
 tamanho: N=5 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema do Limite Central 
 
População: 
 
 distribuição: 
 uniforme[39, 99] 
 tamanho: N=5000 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema do Limite Central 
 
População: 
 
 distribuição: 
 N[69, sigma=8] 
 tamanho: N=5 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema do Limite Central 
 
População: 
 
 distribuição: 
 N[69, sigma=8] 
 tamanho: N=5000 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema do Limite Central 
 
 Estes resultados são conhecidos como o Teorema do Limite 
Central e representam, talvez, o conceito mais importante na 
inferência estatística. 
 
O Teorema do Limite Central 
 
1. Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a 
distribuição das médias amostrais também será normal para todos os 
tamanhos de amostra. 
 
2. Se a população básica é não-normal, a distribuição de médias 
amostrais será aproximadamente normal para grandes amostras. 
O Teorema do Limite Central 
 
 Graficamente, 
o Teorema do Limite 
Central nos diz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DE PROPORÇÕES AMOSTRAIS 
 
 Uma distribuição de proporções amostrais indica quão 
provável é determinado conjunto de proporções amostrais, 
dados o tamanho da amostra e a proporção populacional. 
 
 A média (proporção ou percentagem média) da distribuição 
amostral das proporções é sempre igual à proporção 
populacional. Isto é, 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DE PROPORÇÕES AMOSTRAIS 
 
 Quando a população é muito grande ou infinita, o desvio 
padrão da distribuição amostral das proporções é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DE PROPORÇÕES AMOSTRAIS 
 
 Exemplo: 
 
Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes 
lotes. Os copos vêm embrulhados individualmente. 
Periodicamente o varejista inspeciona os lotes para determinar 
a proporção de copos quebrados ou trincados. 
Se um grande lote contém 10% de quebrados ou trincados, 
qual a probabilidade de o varejista obter uma amostra de 100 
copos com 17% ou mais defeituosos? 
 
 
AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA 
 
 A maior parte da amostragem se faz sem reposição, seja por 
motivos psicológicos, seja por razões de conveniência e 
custo. 
 
 Enquanto o tamanho da amostra for pequeno em relação ao 
da população, a amostragem sem reposição dará entre as 
amostras essencialmente a mesma variabilidade da 
amostragem com reposição. 
 
AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA 
 
 Entretanto, se o tamanho da amostra representa 
percentagem apreciável da população (digamos, mais de 
5%), já os resultados dos dois tipos de amostragem 
começam a diferir. 
 
 Isto porque, na amostragem sem reposição, a probabilidade 
de extração de itens varia de uma para outra extração. 
 
 Em tais condições, a distribuição adequada é a distribuição 
hipergeométrica. 
AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA 
 
 As fórmulas do desvio padrão das médias amostrais e do 
desvio padrão das proporções amostrais devem ser 
modificadas de modo a refletirem a probabilidade, se o 
tamanho da amostra é superior a 5% da população. 
 
 Felizmente, a modificação hipergeométrica tem uma forma 
simples: 
AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA 
 
 Essa fórmula é designada como fator de correção finita, ou, 
às vezes, multiplicador de população finita, já que multiplica 
as expressões usuais do desvio padrão. 
 
 O desvio padrão das médias amostrais se torna: 
 
 
 
 
 e o desvio padrão das proporções amostrais fica: 
AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA 
 
 Exemplo: 
 
Uma máquina para recobrir cerejas com chocolate é regulada 
para produzir um revestimento de 3 mm de espessura. 
O processo tem distribuição normal, com desvio padrão de 1 
mm. 
Se o processo funciona conforme o esperado (isto é, média de 
3 mm e desvio padrão de 1 mm), qual seria a probabilidade de 
extrair uma amostra de 25 de um lote de 169 cerejas e 
encontrar uma média amostral superior a 3,4 mm? 
 1ª lista de exercícios (4ª bateria): 
◦ Exercícios do livro texto: 
 pg. 188: nº 1, 3 e 6. 
 pg. 192: nº 1, 3 e 7.