MICRO I (Aula 04 - Função Utilidade)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 04 
 
 
FUNÇÃO UTILIDADE 
 
Definição1 
Uma função definida do conjunto ou espaço de consumo nos reais, 𝑈: 𝑋 → ℝ, é 
chamada de função utilidade representando as relações de preferências se, para 
∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑿 = ℝ+,
𝒏 
𝑼(𝒙) ≥ 𝑼(𝒚) ⟺ 𝒙 ≽ 𝒚 
𝑼(𝒙) > 𝑼(𝒚) ⟺ 𝒙 ≻ 𝒚 
𝑼(𝒙) = 𝑼(𝒚) ⟺ 𝒙 ∼ 𝒚 
 
A principal consequência teórica desta definição é a eliminação da 
cardinalização da utilidade. Ou seja, quaisquer números atribuídos às utilidades 
das diferentes cestas pertencentes ao conjunto de consumo devem obedecer à 
ordem de preferências do consumidor em relação a estas cestas. Assim, 
magnitudes maiores devem ser atribuídas às cestas mais preferidas e menores às 
menos preferidas. 
 
Existência da Função Utilidade 
Supondo-se que as preferências do consumidor são racionais (completas e 
transitivas), contínuas e estritamente monotônicas, então, existe uma função 
utilidade que as representa. 
 
Observação: a descontinuidade das preferências lexicográficas implica que 
não há uma função utilidade que as represente. 
 
 
 
1 “Uma função utilidade 𝑈(𝑥) atribui um valor numérico para cada cesta do conjunto de consumo, 
ordenando-os de acordo com as preferências do consumidor” (Mas Collel, 1995). 
“Uma função utilidade é, simplesmente, uma forma conveniente de sumarizar as informações 
contidas nas relações de preferência, nem mais nem menos” (Jehle/Reny, 2001). 
 
Invariância da Função Utilidade 
Se 𝑈(𝑥) é uma função utilidade que representa as preferências de um consumidor 
no espaço ou conjunto de consumo, então, 𝑉(𝑥) também representará estas 
mesmas preferências, se e somente se, 𝑉(𝑥) = 𝑓(𝑈(𝑥)), para todo x, onde 𝑓: ℝ →
ℝ, é uma função estritamente crescente no conjunto de valores assumidos por 
𝑈(𝑥). 
Diz-se que a função 𝑉(𝑥) é uma transformação monotônica crescente (ou 
positiva) de 𝑈(𝑥) e, portanto, representa as mesmas preferências de 𝑈(𝑥). 
Observe que: 
(i) Se 𝑈(𝑥) e 𝑈(𝑦) representam preferências em relação às cestas x e y ∈ 𝑋 =
ℝ+
𝑛 , então, é válido que 𝑈(𝑥) ≥ 𝑈(𝑦) ⟺ 𝑥 ≽ 𝑦. 
(ii) Se 𝑉(𝑥) e 𝑉(𝑦) são transformações monotônicas crescentes de 𝑈(𝑥) e 
𝑈(𝑦), respectivamente, então é valido que 𝑉(𝑥) ≥ 𝑉(𝑦) ⟺ 𝑈(𝑥) ≥ 𝑈(𝑦). 
(iii) Mas, se 𝑉(𝑥) ≥ 𝑉(𝑦) ⟺ 𝑈(𝑥) ≥ 𝑈(𝑦) , então é válido que 𝑉(𝑥) e 𝑉(𝑦) 
representam as mesmas preferências de 𝑈(𝑥) e 𝑈(𝑦). 
O mesmo raciocínio pode ser usado para as preferências estrita ( ≻ ) e de 
indiferença (∼). 
 
Utilidade Marginal 
 
A Utilidade Marginal de um bem i é a medida do acréscimo à utilidade total 
decorrente do acréscimo de uma unidade na quantidade consumida deste bem i. 
Dadas: 
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2), cesta de consumo, 𝑥 ∈ 𝑋 = ℝ+
2 
𝑈(𝑥1, 𝑥2), a função utilidade associada a esta cesta, então, define-se, 
𝑈𝑀𝑔1 =
𝛥𝑈(𝑥1,𝑥2)
𝛥𝑥1
 ou 𝑈𝑀𝑔1 =
𝜕𝑈(𝑥1,𝑥2)
𝜕𝑥1
 , a utilidade marginal do bem1; 
𝑈𝑀𝑔2 =
𝛥𝑈(𝑥1,𝑥2)
𝛥𝑥2
 ou 𝑈𝑀𝑔2 =
𝜕𝑈(𝑥1,𝑥2)
𝜕𝑥2
 , a utilidade marginal do bem 2. 
 
Taxa Marginal de Substituição (TMS) e a Utilidade Marginal 
 
A TMS é a medida da inclinação da curva de indiferença em qualquer ponto 
(𝑥1, 𝑥2). Ela mede o número de unidades do bem 2 que o consumidor sacrifica 
para obter uma unidade adicional do bem 1, mantendo-se constante o nível de 
utilidade. 
Assim, seja uma função utilidade 𝑈(𝑥1, 𝑥2) representando as preferencias do 
consumidor no espaço bidimensional de consumo. Diferenciado-se totalmente, 
tem-se, 
𝑑�̅� =
𝜕𝑈(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1 +
𝜕𝑈(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2 = 0 
𝜕𝑈(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2 = −
𝜕𝑈(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1 
𝑻𝑴𝑺𝟐,𝟏 =
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒙𝟏
= −
𝑼𝑴𝒈𝟏
𝑼𝑴𝒈𝟐
 
 
Exemplos de Função Utilidade 
 
1. Linear: 
𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = 𝒂𝒙𝟏 + 𝒃𝒙𝟐, 𝒂, 𝒃 > 𝟎 
(os bens 1 e 2 são substitutos perfeitos) 
TMS = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Proporções Fixas (ou Leontief): 
𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = 𝒎𝒊𝒏{𝒂𝒙𝟏, 𝒃𝒙𝟐} , 𝒂, 𝒃 > 𝟎 
(os bens 1 e 2 são complementares perfeitos) 
Se 𝑎𝑥1 < 𝑏𝑥2, a TMS→ +∞ 
Se 𝑎𝑥1 > 𝑏𝑥2, a TMS= 0 
Se 𝑎𝑥1 = 𝑏𝑥2, a TMS não é definida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Cobb-Douglas: 
𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = 𝒙𝟏
𝒂 𝒙𝟐
𝒃 𝒂, 𝒃 > 𝟎 
𝑇𝑀𝑆 = −
𝑎𝑥2
𝑏𝑥1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Quase-linear: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + 𝑣(𝑥2) 
𝑇𝑀𝑆 = −
1
𝑣′(𝑥2)
 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑣(𝑥1) + 𝑥2 
𝑇𝑀𝑆 = −𝑣′(𝑥1) 
 
 
 
 
 
5. Elasticidade de Substituição Constante (CES) 
(Constant Elasticity of Substitution) 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = [𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎]1/𝑎 , 𝑎 ≠ 0, 𝑎 ≥ 1 
𝑇𝑀𝑆 = − (
𝑥2
𝑥1
)
1−𝑎
 
 
6. Elasticidade de Substituição Variável (VES) 
 (Variable Elasticity of Substitution) 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝛾𝑥1
𝛼[𝑥2 + 𝛽𝑥1]
1−𝛼 𝛾 > 0, 𝛽 > 0, 0 < 𝛼 < 1 
𝑇𝑀𝑆 = − [(
∝1 𝑥2
∝2 𝑥1
) + 𝛽
(∝1+∝2)
∝2
] 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2016) Cap. 4 
VASCONCELLOS (2011) Cap. 4 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 3) 
JEHLE & RENY (2001) 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Resolva as “Questões de Revisão” do final do Capítulo 4 do Varian. 
 
2. Determine a Taxa Marginal de Substituição (TMS) para cada uma das funções 
utilidade: 
(a) 𝑢(𝑥1, 𝑥2) =∝0 𝑥1
∝1(𝑥2 + 𝛽𝑥1)
𝛼2 (Fn. Utilidade VES) 
(b) 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = (𝑥1 − 𝑠1)
𝛼1. (𝑥2 − 𝑠2)
𝛼2 ,0 < 𝛼 < 1 (Fn. Utilidade Stone-Geary)