LIVRO TEXTO DE CALCULO III - GILVAN LIMA

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CÁLCULO III 
 
 
 
 
 
Gilvan Lima de Oliveira 
 
Matemática 
UNIVERSIDADE ABERTA DO PIAUÍ 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
 
Programa de Educação à Distância 
Copyright © 2010. Todos os direitos desta edição estão reservados à Universidade Federal do Piauí (UFPI). Nenhuma parte deste material 
poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Catalogação na publicação por: 
 
 
XXXX OLIVEIRA, G. L. 
 Cálculo III - Física/Gilvan Lima de Oliveira – Teresina: 
UFPI/UAPI 
 2010. 
 149p. 
 
 Incluir bibliografia 
 
 1 – xx 
 
 CDU: ???? 
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
Luiz Inácio Lula da Silva 
 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
Fernando Haddad 
 
GOVERNADOR DO ESTADO 
Wellington Dias 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Luiz de Sousa Santos Júnior 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ 
Antônio José Medeiros 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC 
Carlos Eduardo Bielschowsky 
 
DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EAD 
Hélio Chaves 
 
COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
Celso Costa 
 
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI 
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SUPERINTENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO 
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DIRETOR DO CENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA 
Helder Nunes da Cunha 
 
COORDENADOR DO CURSO NA MODALIDADE EAD 
João Benício de Melo Neto 
 
CHEFE DO DEPARTAMENTO 
Paulo Alexandre de Araújo Sousa 
 
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE GERAL 
 
Apresentação 
 
UNIDADE 1: Funções de Várias Variáveis Reais 
 
1.1 Introdução 
1.2. Funções de Várias Variáveis Reais 
 1.3. Domínio 
 1.4. Gráfico 
 1.5. Atividades Resolvidas 
1.6. Atividades de Aprendizagem 
 
 UNIDADE 2: Limite e Continuidade 
 
2.1 Introdução 
 2.2. Limite de uma Função 
2.2.1. Definição 
2.2.2. Limites Iterados 
2.2.3. Propriedades Operatórias 
2.3. Continuidade 
 2.3.1. Definição 
 2.3.2. Propriedades Operatórias 
2.4. Atividades Resolvidas 
2.5 Atividades de Aprendizagem 
 
 
UNIDADE 3: Derivação Múltipla 
 
3.1. Introdução 
3.2. Derivadas Parciais 
3.3. Derivadas Direcionais 
3.4. Diferencial de uma Função 
 3.4.1. O Gradiente de uma Função Diferenciável 
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 3.4.2. Propriedades do Vetor Gradiente 
3.5. Acréscimo Total de uma Função 
3.6. Diferencial Total de uma Função 
3.7. Aplicação da Diferencial Total em Aproximações 
3.8. Derivação de Funções Compostas 
 3.8.1. Caso de uma só Variável Independente 
 3.8.2. Caso de Diversas Variáveis Independentes 
3.9. Curvas de Nível e Superfícies de Nível 
 3.9.1. Interpretação Geométrica da Curva de Nível 
 3.9.2. Coeficiente Angular da Curva de Nível 
3.10. Derivadas Parciais de Ordens Superiores 
3.11. Máximos e Mínimos Relativos 
3.12. Multiplicadores de Lagrange 
3.13. Atividades de Aprendizagem 
 
UNIDADE 4: Integração Múltipla 
 
4.1. Introdução 
4.2. Integrais Duplas 
4.3. Mudança de Variáveis em Integração Dupla 
4.4. Cálculo de Volumes 
4.5. Aplicações em Cálculo de Áreas de Figuras Planas 
4.6. Integrais Triplas 
4.7. Mudança de Variáveis em Integração Tripla 
4.8. Integrais Curvilíneas 
 4.8.1. Integrais Curvilíneas de Primeira Espécie 
 4.8.2. Integrais Curvilíneas de Segunda Espécie 
 4.8.3. Diferencial Exata 
 4.8.4. Fórmula de Green (no plano) 
 4.8.5. Integrais Curvilíneas e Cálculo de Áreas 
4.9. Atividades de Aprendizagem 
 
 
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UNIDADE 5: Integrais de Superfície 
 
5.1. Introdução 
5.2. Representação de uma Superfície 
5.3. Área de uma Superfície 
5.4. Integrais de Superfícies de um Campo Escalar 
5.5. Integrais de Superfícies de um Campo de Vetores 
5.6. Teorema de Stokes 
5.7. Teorema de Gauss 
5.8. Atividades de Aprendizagem 
 
 
 
 
 
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 APRESENTAÇÃO 
 
Esta apostila destina-se aos estudantes que participam do programa de Educação a 
Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela 
Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Instituto 
Federal do Piauí (IFPI), com apoio do Governo do Estado do Piauí, através da Secretaria 
Estadual de Educação. 
 
O texto é composto de V unidades, contendo itens e subitens, de modo que: 
 
 Na Unidade 1, estudaremos as funções reais de várias variáveis. Estas surgem 
naturalmente como resultado da modelagem matemática de inúmeras situações práticas 
vivenciadas pelo Matemático, Físico, Químico, Engenheiro Civil, Engenheiro Mecânico, 
Contador, Administrador, etc. 
 Na Unidade 2, discutiremos a noção de limite e continuidade de funções de várias 
variáveis reais com valores no conjunto dos números reais. Daremos a definição 
matemáticamente correta da noção de limite, porém o objetivo principal desta apostila é 
fazer uso da noção de limite e calcular, sem se preoculpar com demonstrações 
matemáticas, o limite pontual da função em questão. Para tal, enunciaremos as 
propriedades operatórias e faremos uso das mesmas na resolução de problemas. 
Na Unidade 3, estenderemos a noção de derivadas estudada anteriormente para 
função real de variável real. Discutiremos a noção de derivadas parciais e, em seguida, 
abordaremos a noção de derivadas direcionais, a qual se constitui na noção mais geral de 
derivada de uma função real de várias variáveis reais. Em seguida, estudaremos as noções 
de máximos e mínimos destas funções, bem como a determinação dos mesmos. 
 Na Unidade 4, abordaremos o conceito de integrais múltiplas e integrais sobre 
curvas, denominadas de integrais curvilíneas. Da mesma forma como no caso das 
derivadas, estas idéias a serem apresentadas fornecem uma extensão das idéias 
estudadas nas integrais das funções reais de uma variável real. 
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Na Unidade 5, trataremos do caso das integrais em superfícies. Estas generalizam 
as noções estudadas na Unidade 4 dessa apostila. O objetivo principal dessa unidade é 
estudarmos o Teorema de Stokes e suas aplicações. 
 
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UNIDADE 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Várias Variáveis Reais 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
 
UNIDADE 1: Funções de Várias Variáveis Reais 
 
1.1. Introdução 
 1.2. Funções de Várias Variáveis Reais 
1.3. Domínio 
1.4. Gráfico 
1.5. Atividade de Aprendizagem 
 
 
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UNIDADE I: Funções de Várias Variáveis Reais 
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RESUMO 
 
Nesta unidade introduziremos de forma clara e sucinta as 
noções de funções de diversas variáveis reais. A necessidade 
de se estudá-las surge de forma bastante natural de várias 
situações práticas do nosso dia-a-dia. A necessidade de se 
otimizar o lucro de uma empresa é função de diversas variáveis: 
número de operários dessa empresa, o salário de cada operário, 
o que a empresa arrecada, o que ela produz, etc. Enfim, são 
vários os fatores que devemos levar em consideração para 
garantirmos que essa empresa tenha uma margem de lucro 
ótimo aceitável. 
Por uma questão de simplificação do conceito a ser 
estudado, nos restringiremos mais às funções definidas em 
subconjuntos do plano euclideano ou do espaço tridimensional. 
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1.1. Introdução 
A necessidade de se trabalhar com funções de várias 
variáveis é algo inevitável. Ela surge naturalmente desde a 
busca por se entender fenômenos físicos considerados simples 
na natureza até a administração complexa de uma grande 
empresa. Por exemplo, na primeira situação, a velocidade de 
deslocamento de uma partícula numa trajetória retilínea a uma 
velocidade constante, a incidência de luz num corpo sólido e 
muitas outras sitações. Na outra situação, sabemos que o lucro 
de uma empresa depende de vários fatores como: número de 
funcionários, salários desses funcionários, o capital investido 
pela empresa, enfim, o lucro da empresa dependerá de muitas 
variáveis que o administrador deve levar em consideração. 
A idéia em todas essas situações é modelar 
matematicamente a situação que se quer estudar e lançar mão 
de tudo que for possível dessa noção matemática fabulosa que 
é a de função. 
Nessa unidade abordaremos as noções básicas de 
funções de várias variáves reais com valores no conjunto dos 
números reais. 
 
1.2. Funções de Várias Variáveis Reais 
Seja 
n
 um número natural, o qual vamor supor 
2n
. 
Uma grandeza variável 
z
 se denomina função de 
n
 variáveis 
reais 
1x
, 
2x
, ... ,
nx
, se a cada vetor 
( ) nnxxx  ,,, 21
, 
corresponde um único valor real de 
z
. Nesse caso, os números 
reais 
1x
, 
2x
, ... ,
nx
 são ditos variáves independentes e 
z
 a 
variável dependente. 
A notação que usaremos para representar tal 
dependência funcional será: 
( ) = nxxxfz ,,, 21
 
 
Você sabe o que é 
SBM? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundada em 1969, 
durante a realização 
do VII Colóquio 
Brasileiro de 
Matemática, em Poços 
de Caldas, a SBM é 
uma entidade civil, de 
caráter cultural e sem 
fins lucrativos voltada 
principalmente para 
estimular o 
desenvolvimento da 
pesquisa e do ensino 
da Matemática no 
Brasil. Entre suas 
ações atuais 
destacam-se: o 
estímulo ao ensino de 
qualidade em todos os 
níveis, através da 
produção e divulgação 
de textos matemáticos; 
a promoção de 
reuniões científicas 
periódicas e o 
incentivo ao 
intercâmbio entre 
profissionais de 
Matemática do Brasil e 
do exterior. 
Fonte: SBM 
 
 
Acesse o site: 
www.sbm.org.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Ao longo dessa apostila, para efeito de simplificação e 
praticidade, trabalharemos, em geral, com funções de duas, ou 
três, variáveis. Mas, sempre que possível, para alguns conceitos 
a abordagem será feita de forma mais ampla. 
Exemplo 1. A área de um retângulo é expressa como funções 
das medidas dos seus dois lados, a saber, a base e a altura. Ou 
seja, se chamarmos de 
x
 a base do retângulo e 
y
 a altura, 
retângulo. 
Exemplo 2. Consideremos um cone cuja medida da geratriz é 
denotada por 
x
 e o raio da base por 
y
. Então, podemos 
expressar o volume desse cone em função de 
x
 e 
y
; de fato, 
como sabemos do ensino médio, a fórmula para o cálculo do 
volume desse sólido é dada por: 
hyV 2
3
1
=
 
onde 
h
 representa a medida da altura desse cone. Conforme a 
figura abaixo, temos que: 
222 yhx +=
, ou seja, 
22 yxh −=
 
Portanto, segue-se que: 
( ) 222
3
1
, yxyyxV −= 
 
 
 
Figura 1 
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 O valor da função 
( )yxfz ,=
 no ponto 
( )baP ,=
, será 
designado por 
( )baf ,
 ou 
( )Pf
. A representação geométrica da 
função 
( )yxfz ,=
 no sistema de coordenadas cartesianas é uma 
superfície em 
3
, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
Figura 2 
 
Exemplo 3. Dada a função 
( )
xy
yx
yxf
3
,
22 −
=
 
determinar: (a) 
( )1,2−f
 (b) 






x
y
y
x
f ,
 
Solução: 
(a) 
( )
( )
( ) 2
1
6
3
123
12
1,2
22
−=
−
=
−
−−
=−f
 
(b) Nesse caso, fazendo as devidas substituições 
teremos: 
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3
3
,
2
2
2
22
2
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
f
−
=


















−





=





 
portanto, 
22
44
3
,
yx
yx
x
y
y
x
f
−
=





 
 
1.3. Domínio 
 Como sabemos do ensino médio, o domínio de uma 
função correponde ao conjunto no qual a variável dependente 
pertence e que faz sentido obtermos a imagem de qualquer 
ponto ali existente. 
 Como não poderia deixar de ser, é essa a mesma 
concepção que trazemos para função de várias variáveis reais. 
Ou seja, para uma função 
→ nDf :
, o domínio de 
f
 é o 
conjunto 
D
 formado pelos vetores 
( ) nnxxxx = ,,, 21
 tais que 
o valor 
( ) = xfz
 é um valor determinado. 
 A imagem é composta pelos pontos 
z
, para os quais 
existem 
( ) nn Dxxxx = ,,, 21
 tal que 
( )xfz =
, isto é: 
( ) ( ) xfzondeDxzf == ;Im
. 
Exemplo 4. Determinar o domínio da função 
22
1
yx
z
+
=
 
Solução: Ora, a soma 
022 + yx
. Uma vez que o denominador 
não pode anular-se, temos obrigatoriamente que 
022 + yx
, ou 
seja, 
( ) ( )0,0, yx
. Logo, o domínio dessa função será: 
( )  ( ) 0,00;, 2222 −=+= yxyxD
 
Exemplo 5. Determinar o domínio da função 
221 yxz −−=
 
Solução: Nesse caso, devemos ter 
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101 2222 +−− yxyx
 
Ou seja, o domínio será: 
( ) 1;, 222 += yxyxD
 
que corresponde ao disco fechado centrado na origem e de raio 
1 
 
Figura 3 
 
1.4. Gráfico 
Definição. Seja 
( )yxfz ,=
 uma função definida no subconjunto 
2D
. O gráfico de 
( )yxfz ,=
 é um subconjunto de 
3 
definido como segue: 
( ) ( ) yxfzzyxG ,;,, 3 ==
 
 
Figura 04 
 O que costumamos chamar de gráfico de uma função é 
sua representação geométrica. Mas não é bem assim, o gráfico 
 
O que são gráficos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 São elementos 
matemáticos que causam 
impacto visual capazes 
de mostrar informações 
não evidentes nas 
expressões algébricas ou 
verbais. 
 
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é um conjuntoque possui uma estrutura matemática de 
superfície. Mas não vamos nos aprofundar nesse tocante, pois 
isso foge aos objetivos dessa apostila. 
Exemplo 6. O esboço gráfico da função 
→2:f
 definida 
pela lei 
( ) yxyxf 32, +=
 é um plano em 
3
, que passa pela 
origem e que tem como normal o vetor 
( )3,2=n
. 
 
Figura 05 
Exemplo 7. O esboço gráfico da função 
→2:f
 definida 
pela lei 
( ) 22, yxyxf +=
 é uma superfície de revolução chamada 
de parabolóide. 
 
Figura 06 
 
MathGV 3.1 
 
 
Traçador de gráficos que 
representam funções 
matemáticas. 
 
Ficha técnica: 
 
Nome: MathGV 3.1 
Fabricante: Greg 
VanMullem 
Licença: Freeware 
Tamanho: 1,36 MB 
Língua: Inglês 
Classificação: Ciências 
Tags: Ciência 
Lançamento: 
05/12/2001 
Sistemas compatíveis: 
Roda em Windows 
95/98/Me/NT4/2000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 8. O esboço gráfico da função 
→2:f
 definida 
pela lei 
( ) xyyxf =,
 é um hiperbolóide, comumente conhecida 
como a “sela do cavalo”. 
 
Figura 07 
 
1.5 Atividades Resolvidas 
1. Ache o domíno da função 
( ) xyyxf −=,
. 
 
 
 
 
2. Uma função 
→Af :
, 
2A
, denomina-se função 
homogênea de grau 

 se 
),(),( yxfttytxf =
 para todo 
0t
 e para todo 
Ayx ),(
 tais que 
Atytx ),(
. Com base 
na definição supracitada verifique se a função 
22 53),( yxyxyxf ++=
 é homogênea. Em caso 
afirmativo, determine o seu grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É sabido que a 
maior parte dos alunos só 
se lembra de estudar nas 
vésperas dos testes, 
gerando complicações. O 
planejamento do horário 
de estudo constitui uma 
forma eficaz de 
aprendizagem e sucesso 
escolar. 
 Planeje seu 
horário!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
A condição de existência dessa função é 
0− xy
. Logo, 
o seu domínio é 
}0/),{( 2 −= xyyxD
 
 
Solução: 
Pela definição temos que, a função dada deverá escrita 
como: 
 
22 )())((5)(3),( tytytxtxtytxf ++=
 
 
22222 53),( ytxytxttytxf ++=
 
 
)53(),( 222 yxyxttytxf ++=
, ou seja 
 
),(),( 2 yxfttytxf =
 
 
Portanto, a função dada é homogênea de grau 
2=
. 
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3. Represente graficamente a função 
yxyxf 326),( +−=
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Esta função pode ser escrita na forma que 
é a equação de um plano. Para encontrar os pontos onde 
este plano intercepta os eixos, é só fazer: 
 e obtendo 
 e obtendo 
 e obtendo 
Portanto o gráfico de é: 
 
 
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1.6. Atividades de Aprendizagem 
Expressar o volume V de uma pirâmide quadrangular regular 
como função de sua altura 
x
 e de sua aresta lateral 
y
. 
1. Seja S um tronco de pirâmide hexagonal regular de lados 
x
 e 
y
 e cuja altura é 
z
. Expressar a área da superfície 
lateral desse tronco de pirâmide, como função de 
x
, 
y
 e 
z
. 
2. Calcule 
( )1,3,2 −f
, sendo 
( )
zs
yr
zyxf
−
+
=
53
,,
2. 
3. Dada a função 
( )
xy
yx
yxf
22
,
+
=
, obter: 
a) 
( )xyf −− ,
 b) 






yx
f
1
,
1
 c) 
( )1,−xyf
 
 
4. Seja 
( ) yxyxf 23, +=
. Calcule: 
a) 
h
yxfyhxf ),(),( −+
 
b) 
k
yxfkyxf ),(),( −+
 
5. Determinar os domínios das funções abaixo: 
a) 
( ) 3 22, yxyxf −=
 e) 
( ) xyzzyxf =,,
 
b) 
( )
( )xy
xy
yxf
ln
12
,
+
=
 f) 
( ) zyxzyxf ++=,,
 
c) 
( )
y
x
senarcyxf =,
 g) 
( ) ( )xyzzyxf ln,, =
 
d) 
( )
xyyx
yxf
11
, +
−
=
 h) 
( ) 2221,, zyxzyxf −−−=
 
6. Seja 
yx
yx
yxf
2
),(
+
−
=
 
a) Determine o domínio. 
b) Calcule 
),2( uvvuf −+
. 
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7. Faça o esboço gráfico das funções: 
a) 
( ) yxyxf += 3,
 b) 
( ) 22, yxyxf −=
 
8. Determinar a expressão da função real de variável real 
( )xf
, se admitirmos que 
( )0,
22

+
=





xy
y
yx
x
y
f
 
9. Achar 
( )yxf ,
, supondo que: 
( ) 2, yxyyxyxf +=−+
 
10. Se 
f
 for uma função com uma variável e 
g
 uma função 
de duas variáveis, então a composição 
gf 
 será a 
função de duas variáveis definida por 
)),((),)(( yxgfyxgf =
. Qual será o domínio de 
gf 
? 
11. Dada a função 
ttf ln)( =
 e 
yxyxg −= 2),(
, encontre 
gfh =
. 
12. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, 
determine o grau de homogeneidade. 
a) 
33
23 2
),(
yx
xyx
yxf
−
+
=
 
b) 
44),( yxyxf +=
 
13. Suponha que 
→2:f
 seja homogênea do grau 2 e 
abaf =),(
 para todo 
),( ba
, com 
122 =+ ba
. Calcule: 
a) 
)4,34(f
 
b) 
),( yxf
, 
)0,0(),( yx
 
 
14. A função 
52),( ++= yxyxf
 não é homogênea. Por quê? 
 
 
 
 
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I
 
UNIDADE 2 
 
 
 
 
 
 
 
 Limite e Continuidade 
 
 
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I
 
ÍNDICE 
 
 
UNIDADE 2: Limite e Continuidade 
 
2.1. Introdução 
 2.2. Limite de uma Função 
 2.2.1. Definição 
 2.2.2. Limites Iterados 
 2.2.3. Propriedades Operatórias 
 
2.3. Continuidade 
 2.3.1. Definição 
 2.3.2. Propriedades Operatórias 
 
2.4. Atividades de Aprendizagem 
 
 
 
 
 
 
 
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I
 
UNIDADE 2: Limite e Continuidade 
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I
I
I
 
 
RESUMO 
Nesta unidade, trabalharemos com um dos conceitos 
mais importantes na Matemática, a saber, a noção de Limite. 
Este conceito é fundamental para o bom entendimento de 
continuidade, derivadas e integrais. 
A definição de limite é algo bastante formal e bem 
elaborada. A ela está intimamente associada a noção de 
continuidade. 
As duas noções trazem em sua essência uma diferença 
básica e importante; na noção de limite, a verificação da 
existência do mesmo, em geral, é feita num ponto que não, 
necessariamente, pertence ao domínio da função. Enquanto que 
ao estudarmos continuidade, é necessário que o ponto em 
questão deva pertencer ao domínio da mesma. 
Mas como o propósito maior dessa apostila é o 
entendimento do alunado de Matemática, tais noções serão 
introduzidas sem muito rigor matemático, porém de forma 
conceituadamente correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1. Introdução 
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I
 
 Nesta seção introduziremos a noção de limite de uma 
função num ponto. Tal noção está intimamente relacionada com 
a noção intuitiva de “estar próximo”. 
Nos prevaleceremos dessa noção de 
“estar próximo” para definirmoslimite de 
uma função num ponto, por entendermos 
que a mesma é de um alcance maior, no que 
diz respeito a aprendizagem dos leitores. 
E, como dissemos anteriormente, a 
verificação da continuidade de uma função 
num ponto de seu domínio, é conseqüência 
imediata da idéia de limite. 
 
2.2. Limite de uma Função 
2.2.1. Definição: 
Diz-se que o número real 
L
 é o limite da função 
),( yxfz =
, quando o ponto 
),( yxP =
 tende para o ponto 
),(0 baP =
 se, e somente se, para qualquer número 
0
, 
estabelecido a priori, existe um 
0
 tal que, para todo 
),( yxP =
 
satisfazendo, 
−+− 22 )()(0 byax
, tivermos que: 
− |),(| Lyxf
. Nesse caso, escreveremos: 
Lyxf
by
ax
=
→
→
),(lim
 
 Na prática, o que se está afirmando é que as imagens dos 
pontos, do domínio de 
),( yxfz =
, suficientemente próximos de 
),(0 baP =
, estão arbitrariamente próximas de 
L
. Mas nessa 
apostila, não estamos preoculpados em trabalharmos com tal 
definição matemática formal, porém desejamos saber calcular 
limites de funções de várias variáveis, quando esses existem. 
Notação: 
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I
 
 A notação que utilizaremos doravante para representar o 
limite de uma função 
),( yxfz =
, no ponto 
),(0 baP =
, será: 
( ) Lyxf
by
ax
=
→
→
,lim
 
Exemplo 1. Considere a função 
→2:f
, definida pela regra: 



=
+
=
)2,1(),(,0
)2,1(),(,3
),(
yx
yxyx
yxf
 
Quando 
1→x
 e 
2→y
, temos que 
( ) ( ) 5213),( =+→yxf
 e, 
dessa forma, suspeitamos que 
5),(lim
2
1
=
→
→
yxf
y
x
. A demonstração 
desse fato, faz-se utilizando a definição mostrada acima. Vamos 
mostrar tal limite para que o aluno tenha uma idéia de como se 
trabalha com essa definição. Muito bem, a idéia é começarmos 
considerando um número real 
0
 qualquer. Em seguida, 
devemos mostrar que existe (se possível exibi-lo) um número 
0
, tal que: 
 −+−+− 53)2()1(0 22 yxyx ; 
de fato, inicialmente observamos que: 
( ) ( )22 211 −+−− yxx
 e 
( ) ( )22 212 −+−− yxy
 
Por outro lado, 
213)2()1(353 −+−−+−=−+ yxyxyx
 
Daí, segue-se que: 
( ) ( )22 21421353 −+−−+−−+ yxyxyx
 
Logo, dado 
0
, escolhendo 
4
0

 =
, tem-se que: 
( ) ( )  =−+−−+
4
421453
22
yxyx
 
Isso mostra que 
5),(lim
2
1
=
→
→
yxf
y
x
. Nesse caso, observe que 
0)2,1(5),(lim
2
1
==
→
→
fyxf
y
x
 
Exemplo 2. Mostre que: 
 
Desigualdade 
Triangular 
 
 
Quaisquer que sejam os 
números reais 
x
 e 
y
, 
tem-se: 
yxyx ++
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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0)(lim
0
4
=
→
→
senxy
y
x

 
Solução: De fato, do fato que 
1xsen
, resulta: 
2
2
4
yxyxseny +





−
 
Portanto, dado 
0
, escolhendo 
 =0
, segue-se que se: 
 =+





− xsenyyx 2
2
4
0
 
Observe que para o limite 
Lyxf
by
ax
=
→
→
),(lim
 
existir, deve-se ter o mesmo valor independentemente da 
maneira como o ponto 
),( yxP =
 se aproxima do ponto 
correspondem a valores diferentes para o mesmo limite, este 
não pode existir. Isso implica, como no caso de funções de uma 
variável real, que se um limite existe, então ele é único. 
Exemplo 3. Discuta a existência do limite: 
22
0
0
2
lim
yx
xy
y
x +
→
→
 
Solução: Nesse caso, para qualquer caminho escolhido 
devemos ter: 
0→x
 e 
0→y
; porém, se escolhermos o caminho 
xy =
, teremos: 
1
2
2
lim
2
lim
2
2
022
0
0
==
+ →
→
→ x
x
yx
xy
x
y
x
. 
Por outro lado, se escolhermos o caminho 
xy −=
, teremos: 
1
2
2
lim
2
lim
2
2
022
0
0
−=
−
=
+ →
→
→ x
x
yx
xy
x
y
x
 
Assim sendo, o limite 
22
0
0
2
lim
yx
xy
y
x +
→
→
 não existe. 
 
Observação Importante: 
www.uapi.ufpi.br 
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I
 
O fato do limite, ao longo de dois caminhos específicos, ser 
o mesmo, não é suficiente para garantirmos que tal limite exista 
e, valha o valor encontrado. A idéia mostrada acima no exemplo, 
é interessante para mostrarmos quando o limite deixa de existir. 
Para mostrar-mos que determinado limite exista, e vale 
determinado valor 
L
, devemos utilizar a definição mostrada no 
início dessa seção. 
 
2.2.2. Limites Iterados 
Os limites iterados 
( ) yxf
byax
,limlim
→→
 e 
( ) yxf
axby
,limlim
→→
 
não são necessariamente iguais. Apesar de serem iguais (por 
exemplo, no caso em que 
),(lim yxf
by
ax
→
→
 exista), sua igualdade não 
garante, de forma alguma, a existência desse último limite. O 
certo é que se os limites iterados forem distintos, pode-se afirmar 
que 
),(lim yxf
by
ax
→
→
 não existe. 
Exemplo 4. Considere a função dada pela lei: 
( )
yx
yx
yxf
+
−
=,
, 
definida no conjunto: 
( ) 0;, 2 += yxyxD
. Então, 
( ) 11limlimlim
000
−=−=






+
−
→→→ xyx yx
yx
 
e 
( ) 11limlimlim
000
==






+
−
→→→ xxy yx
yx
 
Dessa forma os limites iterados são distintos e, portanto, o limite: 
yx
yx
y
x +
−
→
→
0
0
lim
 
não pode existir. 
 
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2.2.3. Propriedades Operatórias 
 Para efeito de simplificar mais os cálculos envolvendo 
limites, vamos listar algumas propriedades operatórias que 
serão de grande valia para o leitor: 
Teorema: 
Sejam 
→ 2:, Dgf
 funções e 
2
0 ),( = baP
 tais 
que existam os limites: 
Lyxf
by
ax
=
→
→
),(lim
 e 
Myxg
by
ax
=
→
→
),(lim
 
Então as funções 
gf +
, 
gf −
, 
gf 
 e 
g
f
 admitem limite no 
ponto 
DbaP = ),(0
 e, além disso, vale: 
• 
( ) ;),(lim),(lim),(lim MLyxgyxfyxgf
by
ax
by
ax
by
ax
+=+=+
→
→
→
→
→
→
 
• 
( ) ;),(lim),(lim),(lim MLyxgyxfyxgf
by
ax
by
ax
by
ax
−=−=−
→
→
→
→
→
→
 
• 
( ) ;),(lim),(lim),(lim MLyxgyxfyxgf
by
ax
by
ax
by
ax
==
→
→
→
→
→
→
 
• 
)0(,
),(lim
),(lim
),(lim ==





→
→
→
→
→
→
M
M
L
yxg
yxf
yx
g
f
by
ax
by
ax
by
ax
. 
 
Para funções com mais de duas variáveis, com valores no 
campo dos números reais, o teorema acima continua válido 
fazendo-se as devidas modificações. 
 
2.3. Continuidade 
2.3.1. Definição: 
Diz-se que uma função 
),( yxfz =
 é contínua num ponto 
),(0 baP =
, pertencente ao seu domínio se, e somente se, 
),(),(lim bafyxf
by
ax
=
→
→
. 
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Diremos que a função 
),( yxfz =
 é contínua em todo o seu 
domínio, quando a mesma for contínua em cada ponto do 
mesmo. 
Observação: 
 É importante o leitor observar que, na definição de 
continuidade é necessário que o ponto no qual estamos 
verificando a continuidade, pertença ao domínio da função. Ao 
passo que na definição de limites não fazemos tal exigência. Na 
definição de limites, estamos apenas interessados no 
comportamento das imagens dospontos, que pertencem ao 
domínio da função 
),( yxfz =
, e que estão arbitrariamente 
próximos do ponto objeto 
),(0 baP =
. Enquanto que na 
continuidade, verificaremos se, para pontos 
( )yxP ,=
 
arbitrariamente próximos do ponto objeto 
),(0 baP =
, suas 
imagens 
( ) ),( yxfPf =
 estão arbitrariamente próximas da 
imagem, por 
),( yxfz =
, do ponto 
),(0 baP =
, isto é, do número 
real 
( )bafPf ,)( 0 =
. 
Exemplo 1. A função 
→2:f
 dada por 
232),( −+= yxyxf
 
é contínua em todo o seu domínio; de fato, considerando 
),( ba
, 
um ponto arbitrário em 
2
, temos claramente que: 
),(232),(lim bafbayxf
by
ax
=−+=
→
→
 
Para mostrarmos essa afirmação, utilizando os 
s'
 e 
s'
, procederemos da seguinte forma: dado 
0
, devemos ser 
capazes de achar 
0
, tal que, se 
− ),(),( bayx
, então 
devemos ter 
− ),(),( bafyxf
, isto é, 
( ) ( ) −−−−+ 232232 bayx
 
De fato, a última desigualdade é equivalente a: 
−+− )(3)(2 byax
 
Por outro lado, se usarmos a distância euclideana, temos que: 
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( ) ( )22 byaxax −+−−
 
De forma inteiramente análoga, tem-se que: 
( ) ( )22 byaxby −+−−
 
Na desigualdade, 
−+− )(3)(2 byax
, via Desigualdade 
Triangular, segue-se que: 
byaxbyax −+−−+− 32)(3)(2
 
Portanto, daí resulta: 
( ) ( )225)(3)(2 byaxbyax −+−−+−
 
 
Então, se estamos querendo que 
−+− )(3)(2 byax
 e, uma 
vez que, 
( ) ( )225)(3)(2 byaxbyax −+−−+−
, basta que 
façamos 
( ) ( ) −+−−+− 225)(3)(2 byaxbyax , 
o que implica que: 
( ) ( )
5
),(),(
22 
−+−=− byaxbayx
 
Portanto, dado 
0
, tomando-se 
0
 satisfazendo 
5
0

 
resulta que se 
− ),(),( bayx
, então teremos sempre que: 
( ) ( ) −−−−+ 232232 bayx
. (ufa!!!) 
 Fizemos questão de resolvermos essa questão para 
exibirmos o quão complicado é mostrar determinado limite via 
definição. Dependendo da expressão da função, essa 
demonstração pode tornar-se muito mais complicada. 
 A Física faz, sabiamente, uso de resultado matemáticos 
comprovadamente corretos para desenvolver suas teorias. 
Assim sendo, para facilitar mais as coisas, lembremos que as 
propridades exibidas na seção de Limites, têm uma importância 
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fundamental nesse ponto. Ei-las no contexto de continuidade, as 
quais faremos uso sem nos preoculparmos com demonstrações: 
 
2.3.2. Propriedades Operatórias 
 
Teorema: 
Sejam 
→ 2:, Dgf
 funções contínuas no 
DbaP = ),(
, isto é:: 
),(),(lim bafyxf
by
ax
=
→
→
 e 
).(),(lim bagyxg
by
ax
=
→
→
 
Então as funções 
gf +
, 
gf −
, 
gf 
 e 
g
f
também são contínuas 
em 
DbaP = ),(
 e, além disso, vale: 
• 
( ) );,(),(),(lim),(lim),(lim bagbafyxgyxfyxgf
by
ax
by
ax
by
ax
+=+=+
→
→
→
→
→
→
 
• 
( ) );,(),(),(lim),(lim),(lim bagbafyxgyxfyxgf
by
ax
by
ax
by
ax
−=−=−
→
→
→
→
→
→
 
• 
( ) );,(),(),(lim),(lim),(lim bagbafyxgyxfyxgf
by
ax
by
ax
by
ax
==
→
→
→
→
→
→
 
• 
)0),((,
),(
),(
),(lim
),(lim
),(lim ==





→
→
→
→
→
→
bag
bag
baf
yxg
yxf
yx
g
f
by
ax
by
ax
by
ax
 
 
 
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Exemplo 2. Consideremos agora a função dada pela lei 
yx
xy
yxf
−
+
=
2
1
),(
 
Nesse caso, tanto o numerador como o denominador dessa 
fração, representam funções contínuas, pois são combinações 
de funções desse tipo. No entanto, a função perde seu sentido 
quando 
2xy =
, pois nesses pontos o denominador é nulo. Sendo 
assim, a função dada deixa de ser contínua em todos os pontos 
da forma 
),( 2xx
, c om 
x
. 
 
Exemplo 3. A função definida por 
22
),(
yx
yx
yxf
+
+
=
 
é um quociente de funções contínuas, portanto a mesma é 
contínua a menos nos pontos onde o denominador é nulo, ou 
seja, essa função é contínua no conjunto: 
( ) 0;, 22 += yxyxD
. 
 
 Se uma função não for contínua em um ponto 
),( ba
, 
diremos que a mesma é descontínua nesse ponto, o qual 
chamar-se-á ponto de descontinuidade de 
f
. 
por exemplo, a função 
→2:f
, definida pela lei 
( ) xyxyxf += 2,
, para 
( ) ( )0,0, yx
 e 
( ) 10,0 =f
, é descontínua no 
ponto 
)0,0(
, uma vez que: 
( ) ( )
( ) ( ) 10,00,lim
0,0,
==
→
fyxf
yx
. 
 
 
 
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2.4. Atividades Resolvidas 
1. Calcule, caso exista, 
.lim
22
0
0 






+
→
→ yx
xy
y
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o subconjunto do plano euclideano no qual a 
função 
→ 2: Df
 definida pela regra abaixo, é 
contínua: 
25
1
),(
22 −+
=
yx
yxf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
A função 
f
está definida em todo so pontos do 
2
, 
exceto em 
)0,0(
. 
Seja 
1S
 o conjunto de todos os pontos do eixo 
x
 e 
2S
 o 
conjunto de todos os pontos da reta 
xy =
. Então 
 
( ) 0
0
0
lim)0,(lim,lim
200
0
0
=
+
==
→→
→
→ x
xfyxf
xx
y
x
 , para 
1),( Syx 
 
 
 
( )
2
1
2
1
limlim),(lim,lim
02
2
00
0
0
==
+
==
→→→
→
→ xxx
y
x xx
x
xxfyxf
, para 
2),( Syx 
 
 
Como os limites existem e são distintos, temos que o 
limite 
( )yxf
y
x
,lim
0
0
→
→
 não existe. 
Solução: 
O domínio de 
f
 é o subconjunto 
2D
de todos os 
pontos 
2),( yx
 tais que 
2522 + yx
. Geometricamente 
esse conjunto representa a região exterior limitada pela 
circunferêcia 
2522 =+ yx
. 
 
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2.5. Atividades de Aprendizagem 
 
1. Usando a definição de limite com 

 e 

, prove que 
( ) 3143lim
1
2
=+−
→
→
yx
y
x
 
2. Usando as propriedades de limite, calcule o valor de cada 
limite abaixo, caso exista: 
a) ( )






→
→ x
xysen
y
x
1
2
lim
 c) 
( )22 1/1
1
0
lim −−
→
→
yx
y
x
e
 
b) ( )






→
→ x
xysen
y
x
1
0
lim
 d) 






+
−
→
→ 22
0
0
2
lim
yx
yx
y
x
 
3. Existe 






+−
−+
→
→
→ zyx
zyx
z
y
x 252
34
lim
0
0
0
? Justifique sua resposta. 
4. A função 
22
22
),(
yx
yx
yxf
+
−
=
 tem limite em 
)0,0(
? Justifique 
sua resposta. 
5. Calcule 
),(
2),(),(
lim
0
0 kh
kxhyxfkyhxf
y
x
−−−++
→
→
 onde 
yxyxf += 2),(
. 
6. Dê exemplo de duas funções 
f
 e 
g
 descontínuas, tais 
que a soma 
gf +
 seja contínua. 
7. Dê exemplo de duas funções 
f
 e 
g
 descontínuas, tais 
que a função quociente 
g
f
 seja contínua. 
8. A função 
2),( xyxf =
 é contínua em 
2
. Justifique. 
9. Represente graficamente os pontos de continuidade das 
seguintes funções: 
a) 
xyyxyxf −+= 22),(
 
b) 
1
),(
22
−
+
=
xy
yx
yxf
 
Universidade Federal do Piauí 38 
 
 
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lo
 
I
I
I
 
 
10. Determine todos os pontos em que a função é contínua: 
a) 
( )
1
,
2
−
=
y
x
yxf
 
b) 
( )
yx
x
yxf
−
=
2
,
 
11. Em que pontos a função 
( ) 221, yxyxf −−=
 é 
contínua? Represente graficamente seu domínio. 
12. Mostrar que as funções seguintes são descontínuas em 
)0,0(
. 
a) 
( )
yx
x
yxf
−
=,
 
b) 
( ) )log(, 22 yxyxf +=
 
13. Investigue a continuidade de cada uma das funções nos 
pontos indicados: 
a) 
( ) ( )0,0,
53
,
yx
x
yxf
+
=
 
b) 
( ) ( ) ,1,
22
22






+
+=
yx
senyxyxf
 para todo 
( ) 2, yx
 
14. Mostre que a função 
( )





=+
+
+=
0,0
0,
2
,
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
 
é contínua em relação a cada uma das variáveis 
x
 e 
y
 
em separado, porém não é contínua no ponto 
( )0,0
 em 
relação ao conjunto destas variáveis. 
 
 
 
 
 
Universidade Federal do Piauí 39 
 
 
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I
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UNIDADE 3 
 
 
 
 
 
 
 
Derivação Múltipla 
 
 
Universidade Federal do Piauí 40 
 
 
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I
I
 
ÍNDICE 
 
 
UNIDADE 3: Derivação Múltipla 
 
3.1. Introdução 
3.2. Derivadas Parciais 
3.3. Derivadas Direcionais 
3.4. Diferencial de uma Função 
 3.4.1. O Gradiente de uma Função Diferenciável 
 3.4.2. Propriedades do Vetor Gradiente 
3.5. Acréscimo Total de uma Função 
3.6. Diferencial Total de uma Função 
3.7. Aplicação da Diferencial Total em Aproximações 
3.8. Derivação de Funções Compostas 
 3.8.1. Caso de uma só Variável Independente 
 3.8.2. Caso de Diversas Variáveis Independentes 
3.9. Curvas de Nível e Superfícies de Nível 
 3.9.1. Interpretação Geométrica da Curva de Nível 
 3.9.2. Coeficiente Angular da Curva de Nível 
3.10. Derivadas Parciais de Ordens Superiores 
3.11. Máximos e Mínimos Relativos 
3.12. Multiplicadores de Lagrange 
3.13. Atividades de Aprendizagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal do Piauí 41 
 
 
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UNIDADE 3: Derivação Múltipla 
Universidade Federal do Piauí 42 
 
 
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I
I
 
 
RESUMO 
Nesta unidade, discutiremos a noção de diferenciação de 
funções reais de várias variáveis reais. Esta é uma noção que 
tem uma importância imensa quando se quer estudar a taxa de 
variação de certas grandezas. Por exemplo, quando objetivamos 
calcular a taxa de variação de uma função em relação a uma de 
suas variáveis mantendo-se fixa as demais variáveis 
independentes; este processo é conhecido como diferenciação 
parcial. 
 Como vimos, para uma função real de variável real, com 
o uso das derivadas podemos calcular pontos de máximo, 
pontos de mínimo e até pontos de inflexão dessa função. Aqui o 
objetivo maior também é estender tais noções para funções de 
diversas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal do Piauí 43 
 
 
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I
I
I
 
3.1. Introdução 
 Neste capítulo, estenderemos a noção de derivadas 
ordinárias introduzida para função real de variável real. Em 
linhas gerais, a idéia é usar tal noção para uma das variáveis em 
estudo, mantendo-se constante as demais variáveis da função 
objeto. Tal procedimento será chamado de derivação parcial o 
qual discutiremos a seguir. 
 
3.2. Derivadas Parciais 
Definição: Seja 
→ 2: Df
 uma função real, definida num 
subconjunto aberto 
2D
. Dado o ponto 
DbaP = ),(
, a 
derivada parcial de 
f
, com respeito à variável 
x
, no ponto 
),( baP =
, é o limite 
t
bafbtaf
ba
x
f
t
),(),(
lim),(
0
−+
=


→
, 
quando tal limite existe. De forma inteiramente análoga, a 
derivada parcial de 
f
, com respeito à variável 
y
, no ponto 
),( baP =
, é o limite 
t
baftbaf
ba
y
f
t
),(),(
lim),(
0
−+
=


→
, 
quando tal limite existe. 
 O gráfico abaixo mostra a interpretação geométrica da 
derivada parcial de 
f
, com respeito à variável 
x
, no ponto 
),( baP =
. O leitor deve observar que o plano 
by =
 intersecta a 
superfície 
( )yxfz ,=
 dando origem a uma reta exibida na figura, 
e que o número 
),( ba
x
f


representa o coeficiente angular dessa 
reta. Esta belíssima ilustração encontra-se na referência [Elon]. 
Universidade Federal do Piauí 44 
 
 
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I
I
 
 
 
Observação: 
1. Para designar as derivadas parciais definidas acima, 
podemos fazê-lo de várias formas, como segue: 
),(),('),(),( 11 bafDbafbafba
x
f
x ===


. 
2. Na definição acima, para o cálculo da derivada 
),( ba
x
f


, derivamos a função com respeito à variável 
x
, enquanto que a variável 
y
 é considerada 
constante. Fato semelhante ocorre, na obtenção da 
derivada 
),( ba
y
f


, só que nesse caso, deriva-se a 
função com respeito à variável 
y
, enquanto que a 
variável 
x
 é mantida constante. 
 
Exemplo 4. Obtenha as derivadas parciais da função 






=
y
x
tgyxf ),(
 
Solução: Considerando-se 
y
 uma grandeza constante, 
teremos: 
( )
y
y
x
yx
x
f 1
cos
1
,
2







=

 
Universidade Federal do Piauí 45 
 
 
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I
I
I
 
Analogamente, considerando 
x
 uma grandeza constante, 
teremos: 
( ) 





−






=


2
2cos
1
,
y
x
y
x
yx
y
f 
Caso Geral 
No caso geral, para uma função 
→ nDf :
 definida 
num subconjunto aberto 
nD 
, dado o ponto 
Da
, a i-ésima 
derivada parcial de 
f
, no ponto 
a
 (onde 
)1 ni 
 é o limite 
t
afteaf
x
f i
t
i
)()(
lim
0
−+
=


→
 
quando tal limite existe. 
 
Observação: 
Como está escrito no livro “Curso de Análise”, vol 2, do 
Prof. Elon Lages Lima, o símbolo 
ix
f


 terá para nós o mesmo 
significado que 
iy
f


, 
iz
f


, etc. O que é importante neles não é o 
“nome” da variável, que tanto pode ser 
x
, como pode ser 
y
 ou 
z
, etc. O que devemos levar em consideração é o índice 
i
. Esse 
índice se refere à derivada de 
f
 em relação à sua 
i
-ésima 
variável, seja qual for o sinal usado para indicá-la. Nesses 
termos, o Prof. Elon, deixa claro que a melhor notação para a 
i
-ésima derivada parcial seria 
fi
, porém a notação 
ix
f


 
continua sendo mais utilizada por uma questão de tradição. 
Portanto, também adotaremos essa convenção. 
 
Exemplo 5. Achar as derivadas parciais da função de três 
variáveis 
xyzzyyxzyxf ++= 223),,(
. 
Solução: Aqui teremos: 
Universidade Federal do Piauí 46 
 
 
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xyzy
z
f
xzyzx
y
f
yzyx
x
f
+=


++=


+=


2
23
2
2
2
3
 
Exemplo 6. Achar as derivadas parciais da função 
yxyxf =),(
. 
Solução: 
xx
y
f
yx
x
f
y
y
ln
1
=


=

 −
 
Exemplo 7. Se 
)ln(),,( zxyzyxf +=
, determinar o valor da 
expressão: 
( ) ( ) ( ).0;2;10;2;10;2;1z
f
y
f
x
f


+


+


 
Solução: Para o cálculo do valor da expressão, vamos achar as 
derivadas solicitadas em cada parcela da expressão dada: 
( )
( )
( )
zxy
zyx
z
f
zxy
x
zyx
y
f
zxy
y
zyx
x
f
+
=


+
=


+
=


1
,,
,,
,,
 
Portanto, o valor da expressão será: 
( ) ( ) ( ) 2
2
1
2
1
10;2;10;2;10;2;1 =++=


+


+


z
f
y
f
x
f
 
Exemplo 8. Se 
cosrx =
 e 
senry =
, calcular o valor do 
determinante: 










y
r
y
x
r
x
 
Solução: Inicialmente, observemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elon Lages Lima 
 (Maceió, 9 de 
julho de 1929) é 
um professor 
brasileiro, mestre e 
doutor (PhD) pela 
Universidade de 
Chicago, ganhador 
por duas vezes do 
Prêmio Jabuti da 
Câmara Brasileira 
do Livro por livros 
que escreveu e 
recebeu o prêmio 
Anísio Teixeira do 
Ministério da 
Educação e do 
Desporto. 
 
Saiba mais: 
 
http://pt.wikipedia.org/w
iki/Elon_Lages_Lima 
 
Universidade Federal do Piauí 47 
 
 
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I
I
 






cos
cos
r
y
sen
r
y
senr
x
r
x
=


=


−=


=


 
Daí o valor da determinante será: 
( ) ( ) rsensenrr
r
yxy
r
x
=−−=





−




  coscos
 
 
3.3. Derivadas Direcionais 
 Como podemos perceber pela definição, as derivadas 
parciais fornecem informações sobre a função somente ao longo 
de retas paralelas aos eixos. E se quiséssemos saber 
informações da função ao longo de outras direções, como 
procederíamos? Isto nos leva ao importante conceito de 
derivada direcional. Vamos nos dar ao luxo de enunciar a 
definição geral de derivada direcional uma vez que o leitor não 
terá dificuldades em entendê-la. 
Definição: Sejam 
→ nDf :
 uma função definida no 
aberto 
nD 
, 
Da
 e 
nv 
. A derivada direcional de 
f
 no 
ponto 
a
, segundo o vetor 
v
, é, por definição, o limite 
( )
( ) ( )
t
aftvaf
a
v
f
t
−+
=


→0
lim
 
quando tal limite existe. 
 A derivada direcional generaliza a noção de derivadas 
parciais. Com efeito, na definição de derivadas direcionais, se 
fizermos 
iev =
, obteremos: 
( )
( ) ( )
( )a
x
f
t
afteaf
a
e
f
i
i
t
i 

=
−+
=


→0
lim
 
 A maioria dos livros de Cálculo, quando vão definir 
derivada direcional, o fazem supondo 
1=v
. Isso é 
Universidade Federal do Piauí 48 
 
 
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I
I
 
desnecessário, uma vez que 
( )a
v
f


 depende linearmente do 
vetor 
nv 
; de fato, 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
afvtaf
t
afvtaf
a
v
f
tt  −+=−+= →→ 00 limlim
 
isto é, 
( )
( ) ( )a
v
f
a
v
f


=

 

 
Observação: A dependência linear referida na seção anterior 
não implica em garantirmos que 
( )
( ) ( ) ( )a
w
f
a
v
f
a
wv
f


+


=
+

 
Isso, em geral, é falso! (Ver [Elon]) 
Exemplo 9. A temperatura de qualquer ponto 
( )yx,
 no plano 
XOY
 é dada por 
( )
( )22
100
,
yx
xy
yxT
+
=
. Encontre a derivada 
direcional no ponto 
( )1,2
 em uma direção que forma um ângulo 
de 
60
 com o eixo positivo das abscissas. 
 
Solução: 
Inicialmente, observemos que a direção que forma um 
ângulo de 
60
 com o eixo positivo das abscissas é dada pelo 
vetor 
( )








==
2
3
,
2
1
60,60cos  senv
. Nesse caso basta calcular: 
( )
( ) ( )
t
TtT
v
T
t
1,2
2
3
,
2
1
1,2
lim1,2
0
−
















+
=


→
 
Ou seja, 
( )
( )
t
T
tt
T
v
T
t
1,2
2
3
1,
2
2
lim1,2
0
−







++
=


→
 
Universidade Federal do Piauí 49 
 
 
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I
I
 
( )
( )
t
T
tt
T
v
T
t
1,2
2
3
1,
2
2
lim1,2
0
−







++
=


→
 
( )
( )
t
T
tt
T
v
T
t
1,2
2
3
1,
2
2
lim1,2
0
−







++
=


→
 
( )
t
tt
tt
v
T
t
40
2
3
1
2
2
2
3
1
2
2100
lim1,2
22
0
−








++





+








+





+
=


→
 
Portanto: 
( )
( )
( )
6312
532
3036040325
lim1,2
20
−=
+++
−+−
=


→ tt
t
v
T
t
 
 
 
3.4. Diferencial de uma Função 
Mais uma vez, daremos uma definição mais geral por 
entendermos que é mais fácil assim proceder do que ficar 
tentando abreviar e definirmos de forma errada, do ponto de 
vista matemático. 
Definição: Diremos que uma função 
→ nDf :
 é 
diferenciável no ponto 
Da
 quando existirem as derivadas 
parciais 
( )a
x
f
1

, 
( )a
x
f
2

, 
( )a
x
f
3

, ..., 
( )a
x
f
n

 e, além disso, para 
todo vetor 
( ) nnvvvv = ,,, 21
 tal que 
Dva +
, tivermos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vrva
x
f
va
x
f
va
x
f
afvaf n
n
+


++


+


=−+ 2
2
1
1
 
onde 
( )
0lim
0
=
→ v
vr
v
. 
 
 
 
Universidade Federal do Piauí 50 
 
 
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I
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Observações Importantes: 
1. Do ponto de vista matemático, o “crucial” nessa definição 
é o limite 
( )
0lim
0
=
→ v
vr
v
. Ao se estudar a diferenciabilidade 
de uma função, o que devemos verificar (direta ou 
indiretamente) é o valor deste último limite. 
2. A condição 
( )
0lim
0
=
→ v
vr
v
 significa, mais do que 
( ) 0lim
0
=
→
vr
v
; ela quer dizer que 
( )vr
 tende a zer mais rapidamente do 
que 
v
, isto é, para valores de 
v
 suficientemente próximos 
de zero, o valor de 
( )vr
 é uma fração arbitrariamente 
pequena do comprimento do vator 
v
. Nesse contexto 
estamos querendo dizer que 
( )vr
 é um infinitésimo de 
ordem superior a 
v
. 
3. Dessa forma, 
f
 é diferenciável no ponto 
a
 quando o 
acréscimo 
( ) ( )afvaf −+
 é igual a uma função linear de 
v
, do somatório 
( ) ( ) ( ) n
n
va
x
f
va
x
f
va
x
f



++


+


2
2
1
1
, 
mais um resto infinitamente pequeno em relação a 
v
. 
 
3.4.1. O Gradiente de uma Função Diferenciável 
Definição: Dada uma função diferenciável 
→ nDf :
, 
definida no aberto 
nD 
. O gradiente de 
f
 ponto 
nDa 
, como o sendo o vetor 
( )af
 tal que para todo 
( ) nnvvvv = ,...,, 21
 tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )
=



==


=
n
i
i
i
va
x
f
vadfa
v
f
vaf
1
.,
 
 Para os vetores da base canônica do 
n
, temos, em 
particular, que: 
( ) ( )a
e
f
eaf
i
i


= ,
, 
Universidade Federal do Piauí 51 
 
 
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I
 
ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( )











= a
x
f
ax
f
a
x
f
af
n
,...,,
21
 
 
 A seguir enunciaremos as propriedades mais importantes 
a respeito do vetor gradiente de uma função diferenciável. Nas 
propriedades enunciadas a seguir, fixaremos um ponto 
na 
 e 
suporemos que 
( ) 0 af
. Os detalhes das demonstrações que 
asseguram tais afirmações podem ser encontradas em ([Elon]) 
 
3.4.2. Propriedades do Vetor Gradiente 
1. O gradiente aponta numa direção na qual a função é 
crescente, ou seja, se 
( ) 0= afw
, então: 
( ) 0


a
w
f
 
2. Dentre todas as direções nas quais a função cresce, a 
direção do gradiente é aquela em que a função cresce 
mais rapidamente, ou seja, se 
( ) 0= afw
, então, para 
qualquer 
nv 
, tal que, 
wv =
, temos que: 
( ) ( )a
w
f
a
v
f





. 
3. O gradiente de 
f
 no ponto 
nDa 
 é perpendicular à 
superfície de nível de 
f
 que passa por esse ponto. 
Geometricamente, isto quer dizer que, para qualquer 
curva diferenciável no ponto 
nDa 
, temos que o 
vetor gradiente é perpendicular ao vetor tangente ao 
caminho considerado nesse ponto. 
 
Essas propriedades serão de grande valia para a resolução 
de problemas muito interessantes. 
Universidade Federal do Piauí 52 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
Exemplo 10. No problema do exemplo anterior, pergunta-se: em 
qual direção a partir de 
( )1,2
 a derivada alcança um maior valor? 
E qual é esse valor máximo? 
Solução: A direção que nos fornece o maior valor para a 
derivada da função, é a do vetor gradiente. Inicialmente 
observemos que as derivadas parciais da função 
T
 são: 
( )
( )
( )222
222 200100
,
yx
yxyxy
yx
x
f
+
−+
=


 
( )
( )
( )222
222 200100
,
yx
xyyxx
yx
y
f
+
−+
=


 
Assim sendo, o vetor gradiente para esta função, no ponto 
( )1,2
 
será: 
( ) ( )24,121,2 −=f
 
Portanto, a direção solicitada é aquela que faz um ângulo 

 cuja 
tangente é 
2−=tg
, isto é, um ângulo de 
2tgarc−
. O valor 
máximo dessa derivada é dada pela norma do vetor gradiente, 
isto é: 
( ) ( ) .51224121,2 22 =+−=f
 
 
Um resultado muito importante na Matemática, por suas 
inúmeras aplicações, é o Teorema do Valor Médio, o qual 
enunciaremos abaixo. A demonstração pode ser vista em 
([Elon]). 
Teorema: Sejam 
→ nDf :
 uma função definida no 
aberto 
nD 
, 
Da
 e 
nv 
. Suponhamos que o segemento 
de reta 
],[ vaa +
 esteja contido em 
D
, que 
f
 restrita ao 
segmento 
],[ vaa +
, seja contínua e que exista a derivada 
direcional 
( )x
v
f


, segundo 
v
, em todo ponto 
( )vaax + ,
. Então 
existe 

 no intervalo aberto 
( )1,0
 tal que 
Universidade Federal do Piauí 53 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
( ) ( ) ( )va
v
f
afvaf +


=−+
 
 Uma conseqüência muito importante do teorema acima, é 
a que se segue: 
Corolário: Seja 
nD 
 aberto e conexo. Se 
→ nDf :
 
possui derivadas direcionais em todo ponto 
Dx
 e 
( ) 0=


x
v
f
, 
para qualquer vetor 
nv 
, então 
f
 é constante. 
Prova: Ver ([Elon]). 
 Agora estamos em condições de definir diferenciabilidade 
de funções 
→ nDf :
. 
 
3.5. Acréscimo Total de uma Função 
Definição: Chama-se acréscimo total da função 
→ nDf :
, no ponto 
Da
, em relação ao vetor 
nv 
, a 
diferença: 
( ) ( ) ( ).afvafaf −+=
 
Particularizando, para funções de duas variáveis 
( )yxfz ,=
, o 
acréscimo total geralmente é escrito nos livros de Cálculo da 
seguinte maneira: 
( ) ( ) ( )yxfyyxxfyxf ,,, −++=
 
 
3.6. Diferencial Total de uma Função 
Definição: O diferencial total de uma função 
( )yxfz ,=
 no ponto 
( )yx,
 corresponde à parte principal do acréscimo total 
z
, 
quando 
0→x
 e 
0→y
, linear em relação aos acréscimos das 
variações 
x
 e 
y
. 
 A diferença entre o acréscimo total e a diferencial total da 
função é um “resto” infinitesimal de ordem superior a 
22 yx +
, isto é: 
Universidade Federal do Piauí 54 
 
 
C
á
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c
u
l
o
 
I
I
I
 
( ) ( ) ( )
0
,;;
lim
22
0
0
=
+
−−++
→
→ yx
yxdfyxfyyxxf
y
x
 
Quando as derivadas parciais de 
f
 são contínuas, a função é 
dita diferenciável. ([Elon]). As diferenciais das variáveis 
independentes, por definição, coincidem com seus respectivos 
acréscimos, isto é, 
xdx =
 e 
ydy =
. A diferencial total da 
função 
( )yxfz ,=
 é calculada mediante a fórmula: 
dy
y
f
dx
x
f
df


+


=
 
Analogamente, a diferencial total de uma função 
( )zyxff ,,=
 é 
calculada pela fórmula: 
dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
df


+


+


=
 
 Vejamos uma situação prática para entendermos melhor 
tal definição. 
Exemplo 11. Para a função definida pela lei 
( ) 22, yxyxf +=
 
ache o acréscimo total e a diferencial de 
f
. 
Solução: Utilizando a fórmula 
( ) ( ) ( )yxfyyxxfyxf ;;, −++=
 
teremos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222;; yxyyxxyxfyyxxf +−+++=−++
 
Fazendo as devidas simplificações obteremos: 
( ) ( ) 2222;; yxyyxxyxfyyxxf +++=−++
 
Dessa forma, a expressão 
yyxxdf += 22
 é a diferencial total 
da função dada. 
 Para suprir as necessidades mais exigentes de alguns 
leitores dareos um enfoque mais formal do diferencial de uma 
função. 
Universidade Federal do Piauí 55 
 
 
C
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c
u
l
o
 
I
I
I
 
Definição: Seja 
→ nDf :
 uma função definida no aberto 
nD 
 e diferenciável no ponto 
Da
. A diferencial de 
f
 no 
ponto 
Da
 é a aplicação linear 
( ) →nadf :
, cujo valor no 
vetor 
( ) nnvvvv = ,,, 21
 é dado por: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n
n
va
x
f
va
x
f
va
x
f
a
v
f
vadf 


++


+


=


= 2
2
1
1
 
 Esta é a definição geral de diferencial de uma função. 
Observe que a diferencial nada mais é do que um funcional 
linear e, como vimos em Álgebra Linear, os funcionais lineares 
possuem uma representação matricial com relação a alguma 
base do espaço vetorial a qual se insere, no nosso caso o 
espaço vetorial em questão é o espaço euclideano 
n
. 
 Mostra-se que o funcional linear 
( )adf
 se exprime como 
uma combinação linear dos funcionais 
idx
, sendo 
( )a
x
f
i

 os 
coeficientes dessa combinação. Ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( ) n
n
dxa
x
f
dxa
x
f
dxa
x
f
adf 


++


+


= 2
2
1
1
 
Finalmente, a igualdade acima valendo para todo ponto 
Da
, 
pode-se escrever: 
n
n
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
df 


++


+


= 2
2
1
1
 
Para maiores detalhes técnicos e analíticos, veja ([Elon]). 
 
3.7. Aplicação da Diferencial Total em Aproximações 
 Quando 
x
 e 
y
 são suficientemente pequenos e, 
portanto 
22 yx +
, para a função diferenciável 
( )yxfz ,=
 no 
ponto 
( )yx,
 se verifica a igualdade aproximada 
dzz 
, ou seja, 
y
y
z
x
x
z
z 


+



 
Exemplo 12. Calcular o valor aproximado da potência 
( ) 04,303,1
. 
Universidade Federal do Piauí 56 
 
 
C
á
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c
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o
 
I
I
I
 
Solução: Considerando a função 
( ) yxyxf =,
, a qual é 
diferenciávelem seu domínio 
( ) 0;, 2 = xyxD
. O valor 
procurado pode ser considerado como o valor acrescentado 
desta função quando 
1=x
, 
3=y
, 
03,0=x
 e 
04,0=y
. De 
acordo com os dados, o valor inicial da função é 
( ) 113,1 3 ==f
. 
Assim teremos: 
yxxxyxdff yy += − ln1
, 
ou seja, 
( ) ( )
( ) ( ) 09,03,13,1
04,01ln103,0133,13,1 32
=
+=
dff
dff
 
Portanto, resulta que: 
( ) 09,109,0103,1 04,3 =+
. 
Exemplo 11. Um dos lados de um retângulo mede 
cmx 10=
, o 
outro lado mede 
cmy 24=
. Como variará a diagonal deste 
retãngulo, se o lado 
a
 aumentar em 
mm4
 e o lado 
b
 diminuir 
em 
mm1
? 
Solução: Consideremos a função 
( ) 22, yxyxf +=
, que nos 
fornece a medida da diagonal do retângulo. De acordo com os 
dados temos: 
cmx 10=
, 
cmy 24=
, 
cmmmx 4,04 ==
 e 
cmmmy 1,01 −=−=
. Uma vez que 
y
yx
y
x
yx
x
dff 
+
+
+
=
2222
 
temos fazendo as devidas substituições: 
( )1,0
2410
24
4,0
2410
10
2222
−
+
+
+
= dff
 
ou seja, 
cmdff 0615,0
26
6,1
26
4,24
=
−
=
 
Portanto, a diagonal aumentará, aproximadamente, 
cm0615,0
, 
ou seja, a nova diagonal medirá 
cm0615,26
. Observe que a 
variação exata nesse caso é dada pela diferença 
Universidade Federal do Piauí 57 
 
 
C
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c
u
l
o
 
I
I
I
 
( ) ( ) ( )24;109,23;4,1024,10 fff −=
 
ou seja, 
( ) ( ) ( ) cmf 0647,024109,234,1024,10 2222 +−+=
 
Exemplo 12. A produção diária de uma certa fábrica é dada pela 
lei 
( ) 3
1
2
1
90, LKLKQ =
 unidades, onde 
K
 é o capital investido, 
medido em unidades de R$ 1.000,00, e 
L
 é o número de 
operários-hora. O capital investido atualmente é de R$ 
10.000.000,00 e trabalham no local cerca de 1.000 operários-
hora diáriamente. Determinar a variação na produção resultante 
do acréscimo de R$ 2.000,00 no capital investido e do acréscimo 
de 3 operários-hora. 
Solução: Aplicando a fórmula de aproximação, 
L
L
Q
K
K
Q
Q 


+



 
Com 
000.10=K
, 
000.1=L
, 
2=K
 e 
3=L
, obteremos: 
L
L
KKL
K
Q +
3 2
3 2 1
3
1
90
1
2
1
90
 
Ou seja, 
3
000.1
1
000.10
3
1
902000.1
000.10
1
2
1
90
3 2
3 2 +Q
 
Realizando as operações, obtemos: 
18090903
100
1
100
3
1
902100
100
1
2
1
90 =+=+Q
 
Dessa forma, a produção aumentará de 
aproximadamente 180 unidades. 
 
 
3.8. Derivação de Funções Compostas 
 Nessa seção seremos breves no que diz respeito à parte 
teórica das derivadas de funções que são composições de 
outras. Basicamente, nos reportaremos a dois casos desse tipo 
Universidade Federal do Piauí 58 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
de derivada e ensinaremos como aplicar a regra de derivação. 
O leitor interessado em maiors detalhes, ver ([Elon]). 
 
3.8.1. Caso de uma só Variável Independente 
 Suponhamos que 
( )yxfz ,=
 seja uma função 
diferenciável das coordenadas 
x
 e 
y
, as quais são, por sua vez, 
funções diferenciáveis de uma terceira variável independente 
t
, 
isto é: 
( ) ( )tytx  == ,
. 
Nessas condições a derivada da função composta 
( ))(),( ttfz =
 é calculada mediante a fórmula: (ver ([Elon]) 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz



+


=
 
Exemplo 13. Achar 
dt
dz
, supondo que 
( )22ln yxz +=
, onde 
2tx =
 e 
tey =
. 
Solução: Nesse caso utilizando a fórmula acima segue-se que: 
te
yx
x
t
yx
x
dt
dz

+
+
+
=
2222
2
2
2
 
Finalmente fazendo as substituições 
2tx =
 e 
tey =
, teremos: 
t
t
et
et
dt
dz
24
22 24
+
+
=
 
Exemplo 14. Achar a derivada 
dt
dz
, supondo que 
yxez =
, onde 
xy ln=
. 
Solução: Nesse caso, basta que façamos 
tx =
 na fórmula 
acima e resultará: 
t
exee
dt
dz yyy 11 +=
 
Agora com as devidas substituições das variáveis 
x
 e 
y
 
obteremos: 
Universidade Federal do Piauí 59 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
2tt
dt
dz
+=
 
3.8.2. Caso de Diversas Variáveis Independentes 
 Suponhamos agora que 
( )yxfz ,=
 seja uma função 
diferenciável das coordenadas 
x
 e 
y
, as quais são, por sua vez, 
funções diferenciáveis de duas outras variáveis independentes 
u
 e 
v
 isto é: 
( ) ( )vuyvux ,,,  == . 
Nessas condições aa derivadas parciais de 
( )yxfz ,=
 com 
respeito às novas variáveis independentes 
u
 e 
v
 são expressas 
da seguinte maneira: (ver ([Elon]) 
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z




+




=


 
e 
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z




+




=


 
Observação: 
 Observe que em todos os casos examinados sempre será 
válida a fórmula, conhecida por alguns autores como a 
propriedade de invariância da diferencial total: 
dy
y
z
dx
x
z
dz


+


=
 
Exemplo 14: Se 
( )22ln yxz +=
, onde 
uvx =
 e 
v
u
y =
, obtenha 
as derivadas parciais 
u
z


 e 
v
z


. 
Solução: Aplicando as fórmulas para esse segundo caso de 
derivação, segue-se que: 
vyx
y
v
yx
x
u
z 122
2222 +
+
+
=


 
agora fazendo as devidas substituições das funções 
uvx =
 e 
v
u
y =
 obtemos: 
Universidade Federal do Piauí 60 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
( ) ( )
v
v
u
uv
v
u
v
v
u
uv
uv
u
z 1
2
2
2
2
2
2






+
+






+
=

 
ou seja, após as simplificações, temos: 
( )
u
vu
u
z 2
, =


 
Para obtenção da derivada parcial 
v
z


, teremos: 






−
+
+
+
=


22222
22
v
u
yx
y
u
yx
x
v
z
 
Fazendo as devidas substituições das funções 
uvx =
 e 
v
u
y =
 
obtemos: 
( ) ( )






−






+
+






+
=


22
2
2
2
2
2
v
u
v
u
uv
v
u
u
v
u
uv
uv
v
z 
Simplificando resulta 
( )
( )1
2
,
4 +
−=


vv
vu
v
z
 
Exemplo 15: Achar 
x
z


 e 
dx
dz
, supondo que: 






=
x
y
arctgz
 e 
2xy =
 
Solução: Parar o cálculo da derivada parcial 
x
z


 basta que 
procedamos como segue: 






−






+
=


22
1
1
x
y
x
yx
z 
ou seja, 
22 yx
y
x
z
+
−=


 
Universidade Federal do Piauí 61 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
Por outro lado para a obtenção da derivada ordinária 
dx
dz
, 
faremos uso da fórmula do Caos 1 desta seção, a saber: 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz



+


=
 
De fato, fazendo 
tx =
, teremos: 
dx
dy
y
z
x
z
dx
dz



+


=
 
Logo, 
( )x
yxyx
y
dx
dz
2
1
2222

+
+
+
−=
 
Simplificando, obteremos 
22
2
yx
yx
dx
dz
+
−
=
 
Daí fazendo a substituição 
2xy =
 resulta: 
x
x
dx
dz
x
xx
dx
dz
2
2
2
2
2
2 −
=
−
=
 
Exemplo 16. Mostre quese 
( )ayxfz +=
, onde 
f
 é uma função 
diferenciável, então, 
x
z
a
y
z


=


 
Solução: 
Da forma como foi definida a função 
z
, devemos observar que 
f
 é uma função real de variável real. Portanto, a 
diferenciabilidade a que se refera questão é de fato a 
derivabilidade que conhecemos para funções de 

 em 

. 
Assim sendo segue-se que: 
( )
( )
y
ayx
ayxf
y
z

+
+=


'
 
ou seja, 
( )ayxaf
y
z
+=


'
 
Por outro lado, 
Universidade Federal do Piauí 62 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
( )
( )
( )ayxf
x
z
x
ayx
ayxf
x
z
+=




+
+=


''
 
Logo, segue-se que: 
x
z
a
y
z


=


. 
Exemplo 17. Demonstrar que se 
( )222 zyxfu ++=
, 
 onde 
 coscosrx =
, 
 senry cos=
 e 
rsenz =
, então 
00 =


=



u
e
u
. 
Solução: Da mesma forma como na questão anterior, 
f
 é uma 
função real de variável real; portanto, segue-se que: 
( ) ( ) ( )  cos22cos2' 222 rzsenrsenyrsenxzyxfu +−+−++=
Agora, fazendo 
 coscosrx =
, 
 senry cos=
 e 
rsenz =
 
temos 
2222 rzyx =++
 e, separadamente, 
( )
( )
( ) 


cos2cos2
cos22
coscos2cos2
2
22
22
senrrz
sensenrsenrseny
senrrsenx
=
−=−
−=−
 
O valor da soma dessas três últimas igualdades é zero, logo 
0=



u
. De forma inteiramente análoga, obtem-se 
0=



u
. (Fica 
como exercício!!!) 
 
3.9. Curvas de Nível e Superfícies de Nível 
 
Definição: Chamaremos de curva de nível de uma função de 
duas variáveis reais 
( )yxfz ,=
, à curva 
( ) kyxf =,
 do plano 
XOY
, em cujos pontos a função toma um valor constante 
k
. 
Exemplo 18. Construir as curvas de nível da função 
( ) 22, yxyxf +=
. 
Solução: A equação das curvas de nível da função dada tem a 
forma 
kyx =+ 22
, onde 
k
. Observe que o número real 
k
, 
Universidade Federal do Piauí 63 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
para esse caso, deve ser não-negativo, uma vez que é soma de 
quadrados. Geometricamente, essas curvas de nível são 
círculos concêntricos, centrados na origem, de raio dado por 
k
. (ver figura abaixo) 
 
Figura 08 
 
3.9.1. Interpretação Geométrica da Curva de Nível 
 
A interpretação geométrica de uma curva de nível não é 
muito complicada; imagine a equação 
( )yxfz ,=
 de uma 
superfície no espaço tridimensional. A curva de nível 
( ) Cyxf =,
 
nada mais é do que a projeção sobre o plano 
XOY
 da curva 
obtida pela interseção da superfície 
( )yxfz ,=
 com o plano 
horizontal 
Cz =
. Veja a ilustração abaixo: 
 
 
Figura 09 
 
 
 
3.9.2 Coeficiente Angular da Curva de Nível 
Universidade Federal do Piauí 64 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
 
O coeficiente angular da reta tangente à curva de nível 
( ) kyxf =,
 em um certo ponto é obtido admitindo-se que, nas 
proximidades do ponto em questão, tenhamos 
( )xyy =
 ou 
( )yxx =
. 
 Se supussermos que em tal vizinhança, tenhamos que 
( )xyy =
, tal coeficiente angular é dado pela derivada ordinária 
dx
dy
. Nesse caso, esta derivada é a taxa de variação de 
y
 em 
relação a 
x
 na curva de nível, ou seja, 
dx
dy
 nos fornece um valor 
aproximado da variação pela coordenada 
y
 de um ponto da 
curva de nível, quando a coordenada aumenta de 1 unidade. 
 Para obtermos a derivada 
dx
dy
, podemos usar esse 
primeiro caso da regra da cadeia para a função 
( )yxfz ,=
, com 
( )xyy =
. Portanto, derivando a equação da curva de nível 
( ) kyxf =,
, via Regra da Cadeia, obtemos: 
0=


+


dx
dy
y
f
x
f
 
Daí, suponto que 
0


y
f
, segue-se que: 
y
f
x
f
dx
df




−=
 
Exemplo 19. Uma determinada fábrica possue operários 
qualificados trabalhando 
x
 horas e os não-qualificados 
trabalhando 
y
 horas mensalmente. O dono da fábrica 
observous que nessas condições a fábrica pode produzir 
( ) yxyxf 10, =
 unidades mensalmente. Atualmente, o 
fabricante gasta 30 horas em trabalho qualificado e 36 horas em 
trabalho não-qualificado, e pretende gastar 1 hora adicional em 
Universidade Federal do Piauí 65 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
trabalho qualificado. Qual a variação coresponente no nível do 
trabalho não-qualificado para que seja mantida a produção total? 
Solução: Inicialmente, observemos que a produção atual é de 
( ) 180036301036,30 ==f
 
unidades por mês. As combinações de 
x
 e 
y
 com as quais a 
produção se mantém inalterada neste nível são as coordenadas 
dos pontos que estão sobre a curva de produção constante 
( ) 1800, =yxf
. 
 Como sabemos, para qualquer valor de 
x
, o coeficiente 
angular desta curva é uma boa estimativa da variação 
y
 
(operários não-qualificados) que deveria ser efetuada para 
compensar o acréscimo de 1 unidade em 
x
 (operários 
qualificados), mantendo constante o nível de produção. 
Dessa forma, calculando o coeficient angular dessa curva 
e nível, admitindo 
30=x
 e 
36=y
, encontraremos: 
4,2
150
360
36
305
3610
−=−=

−=
dx
df 
Ou seja, para compensar o acréscimo proposto ao número e 
operários qualificados, o dono da fábrica deverá reduzir o 
número de operários não-qualificados de aproximadamente 2. 
 
Definição: Chamaremos de superfície de nível de uma função 
de três variávis reais 
( )zyxfw ,,=
 à superfície 
( ) kzyxf =,,
 do 
espaço tridimensional, em cujos pontos a função toma um valor 
constante 
k
. 
Exemplo 08. Construir as superfícies de nível das funções das 
três variáveis independentes 
( ) zyxzyxf ++=,,
. 
Solução: A equação das superfícies de nível da função dada 
tem a forma 
kzyx =++
, onde 
k
. Geometricamente, essas 
superfícies de nível são planos paralelos, cujo vetor normal a 
Universidade Federal do Piauí 66 
 
 
C
á
l
c
u
l
o
 
I
I
I
 
estes é 
( )1,1,1=v
. Quando 
0=k
, o plano passa pela origem do 
sistema de coordenadas. 
 
3.10. Derivadas Parciais de Ordens Superiores 
 
Quando temos 
( )yxfz ,=
, vimos que podemos obter as 
derivadas parciais de primeira ordem 
x
z


 e 
y
z


. Estas, por sua 
vez, também são funções de duas variáveis e, por conseguinte, 
podemos, sob certas condições de regularidade, obtermos suas 
derivadas parciais, a saber: 
x
x
z










, 
y
x
z










, 
x
y
z










 e 
y
y
z










 
Estas serão denotadas, respectivamente, por: 
2
2
x
z


, 
xy
z

 2
, 
yx
z

 2
 e 
2
2
y
z


 
Tais derivadas são chamadas de derivadas parciais de segunda 
ordem de 
( )yxfz ,=
. As derivadas 
xy
z

 2
 e 
yx
z

 2
 são ditas 
derivadas mistas de segunda ordem. 
Em geral, as derivadas mistas não são iguais, porém se 
supussermos que a função 
→ nDf :
 seja duas vezes 
diferenciável num ponto 
Da
, então 
)()(
22
a
yx
z
a
xy
z


=


 
Ou seja, o resultado da derivação múltipla não depende da 
ordem de derivação. (Teorema de Schwarz).