Funções de Várias Variáveis

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Cálculo III
Aula 6: Funções Reais de Variáveis Reais
Apresentação
Nesta aula, passaremos a trabalhar com funções de várias variáveis. Apresentaremos de�nições, conceito, notações,
limites e continuidade envolvendo tais funções. Faremos um paralelo com o conteúdo aprendido anteriormente.
Objetivos
Reconhecer funções de várias variáveis;
Identi�car de�nições, conceito, notações, limites e continuidade.
Funções de várias variáveis
Até aqui trabalhamos com função de uma variável real a valores reais, como o exemplo abaixo.
f(x)=x - 4
Em muitas situações, o valor de uma grandeza pode depender de valores de duas outras, ou mais. Por exemplo, a quantidade
de água, em um reservatório, pode depender, dentre outras coisas, da quantidade de chuva e do seu consumo pelos
moradores.
Relações desse tipo podem ser representadas matematicamente como funções de duas variáveis a valores reais.
Passaremos agora a trabalhar com funções de varias variáveis. Vejamos alguns exemplos.
2
Exemplo
Exemplo 1
A demanda semanal de manteiga em um supermercado depende de certos fatores, como preço unitário, preço unitário de bens
substitutos (ex.: margarina), renda familiar, gastos pessoais e outros.
Supondo que a demanda por manteiga dependa de seu preço unitário p e do preço unitário da margarina p , dizemos, então que
a quantidade demandada q é função de p e p e escrevemos q = f(p ,p ).
Seja:
Q: a quantidade semanal demandada de manteiga em um supermercado (em Kg)
X: o preço por Kg de manteiga
Y: o preço por Kg de margarina
Suponha que q = 100 – 2x + 1 y, temos assim uma função de duas variáveis em que f(x,y) = q e o domínio da função pode ser
de�nido como:
D = {(x,y) R  | x ≥ 0, y ≥ 0 e 100 – 2x + 1 y ≥ 0 }, pois não é possível termos preços ou quantidades negativas.
1 2
1 2 1 2
∈
2
Exemplo
Exemplo 2
Suponha que q = 100 – 2x + 1 y represente a quantidade semanal de manteiga demandada. Se o preço por Kg de manteiga é 10 e
o preço por Kg de margarina é 8, qual a quantidade semanal demandada de manteiga.
Seja q = 100 – 2x + 1 y. Portanto q = 100 – 2 (10) + 1 (8) = 88 kg.
 (Fonte: Roman Mager on Unsplash).
De�nições
Para trabalhar com funções de várias variáveis necessitamos de algumas de�nições:
Funções de duas variáveis reais a valores reais
Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f:A R, onde A é um subconjunto de R . Tal função associa a
cada par (x,y) A, um único número f(x,y) R.
O conjunto A é o domínio de f e será indicado por Df, ou seja, o domínio de uma função f(x,y) é o conjunto de todos os pares
ordenados (x,y) de números reais para os quais f(x,y) pode ser calculada.
Imf = { f(x,y) R / (x,y) Df } é a imagem de f.
→
2
∈ ∈
∈ ∈
Exemplo
Exemplo 1
z = f(x,y)= x - 4xy. Esta função tem como domínio D todos os pares ordenados (x,y) R .
Exemplo 2
 Esta função tem como domínio D todos os pares ordenados (x,y) R , tais que Df = { (x,y) R / x y }
2
∈
2
f(x, y) = .
x+y
x−y
∈
2
∈
2
≠
Uma função real f de n variáveis associa a cada n-pla (x ,x ,..., x ) D R um único numero real w = f(x ,x ,..., x ).
De�nimos o subconjunto D de R como domínio da função f.
1 2 n ∈ ⊂
2
1 n n
2
Representação grá�ca do domínio
Veja como exemplo, . Esta função tem como domínio D e todos os pares ordenados (x,y) R ,
tendo 1 –x – y2 ≥ 0, ou ainda, x + y ≤ 1 (circunferência de raio 1).
Veja a representação grá�ca do domínio:
f (x, y)  =   1 − −x
2
y
2
− −−−−−−−−
√
∈
2
n
2 2
Veja outro exemplo grá�co do domínio da função f dada por 
Temos que y – x ≥ 0 e 1 – y ≥ 0. Portanto y ≥ x e 1 ≥ y.
Podemos então de�nir o grá�co do domínio de f (x,y) como:
f (x, y)  =     +    y − x
− −−−−
√
1 − y
− −−−
√
De�nição: Seja f: D �2 R R uma função de n variáveis. De�nimos o
grá�co de f, denotado por G , como o subconjunto de R formado por
todos os pontos de forma (x ,x ,..., x ,f(x ,x ,..., x )) R , onde (x ,x ,...,
x ) D.
2
→
f
n+1
1 n n 1 n n ∈
n+1
1 n
n ∈
Observação:
Quando a função é de�nida f (x,y), o grá�co é uma superfície
em R .
Exemplo: f (x,y) = x + y
3
2 2
Quando a função é de�nida f (x,y,z), o grá�co não será possível ser visualizado.
Exemplo: w = f (x,y,z) = x + y + z2 2
Curvas de Nível
De�nição: Sejam z = f (x,y) uma função e c Imf. O conjunto de todos os pontos (x,y) de Df tais que f (x,y) = c, denomina-se
curva de nível ou curva de contorno de f. Correspondente ao nível z = c. Assim, f é constante sobre cada curva de nível.
Observações:
O grá�co de f é um subconjunto de R .
Uma curva de nível é um subconjunto do domínio de f, portanto, de R .
Exemplo 1: O grá�co da função constante k, neste exemplo k = 3, f(x,y) = 3, é um plano paralelo ao plano xy.
∈
3
2
Exemplo 2: Desenhe as curvas de nível e o grá�co de f (x,y) = x + y .
Lembre-se f (x,y) = z.
Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 1 = x + y
Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 4 = x + y
2 2
2 2
2 2
Observe que a curva de nível f (x,y) = c nada mais é que a projeção no plano
xy da interseção do grá�co de f com o plano z = c.
Saiba mais
Clique aqui para saber mais sobre curvas de nível.
 (Fonte: Antoine Dautry on Unsplash).
Limite
O conceito e as regras de limite para funções de uma variável real foram abordados na disciplina de cálculo anteriormente.
Neste momento, iremos estender esse conhecimento para funções de várias variáveis.
Atenção
Quando estudado anteriormente um ponto variável x, no eixo coordenado, para funções de uma variável, vimos que ele podia ser
aproximado de um ponto x0 de dois modos, à direita e à esquerda.
Como agora estamos trabalhando com funções de duas variáveis estendemos essa ideia da seguinte forma: um ponto variável
(x,y) no plano coordenado pode se aproximar de um ponto �xo (x , y ) por um número in�nito de caminhos, pois agora estamos
no espaço.
De�niremos que (x,y) se aproxima de um ponto �xo(x , y ) se a distância entre eles tende a zero, independente do percurso feito
por (x,y). Essa distância é dada por:
De forma análoga podemos de�nir f (x,y) de duas variáveis reais, quando (x,y) tende a um ponto �xo (x , y ), não sendo
necessário que f (x,y) esteja de�nida em (x , y ).
Com o mesmo raciocínio trabalhado em funções de uma variável, exigimos apenas que (x , y ) seja um ponto de acumulação
do domínio de f, isto é, que cada bola aberta de centro em (x , y ) e raio r > 0, denotada por Bt (x , y ), contenha pelo menos um
ponto de D distinto de (x , y ), onde:
0 0
0 0
(x, y)− (  ,  ) =
∥
∥
x
0
y
0
∥
∥
(x−   + (y−x
0
)
2
y
0
)
2
− −−−−−−−−−−−−−−−−
√
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
  ( )  = {( )  ∈     ||  (x, y)  −   ( ) ||  <  r}B
t
x
0 , 
y
0
x
0 , 
y
0
R
2
x
0 , 
y
0
Atenção
Em funções de uma variável podemos faltar do limite da f(x) quando x tende a x , mesmo quando f não esta de�nida em x .0 0
De modo formal temos:
De�nição – Sejam uma função, (x , y ) um ponto de acumulação de A e L um numero real.
De�nimos:
f :  A  ⊂ →R
2
0 0
Conheça a seguir cada propriedade:
1 Se f (x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) para 0 ǁ (𝑥,𝑦)− ǁ 𝑟 e lim (x,y) → h (x, y). Então, lim (x,y) → g (x, y)
= L
(Teorema do confronto)
Exemplo: Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e lim (x,y) → f (x, y) = 5 e lim (x,y) → h (x, y) = 5
Podemos concluir que lim (x,y) → g (x, y) = 5.
2 Se lim (x,y) → f (x, y) = 0 e se |g(x,y)| ≤ M para 0 ǁ(𝑥,𝑦)− ǁ<𝑟, onde r > 0 e M > 0 são reais �xos, então:
lim (x,y) → f (x, y) g (x, y) = 0
Exemplo: Suponha lim (x,y) → (0,0) xy = 0 e se |g(x,y)| ≤ M para 0 ǁ(𝑥,𝑦)− ǁ<𝑟, onde r > 0 e M > 0 são reais �xos,
então: lim(x,y) → (0,0) xy g (x,y) = 0
3 lim (x,y) → f (x, y) = 0 lim (x,y) → │ f (x, y) │ = 0
4 lim (x,y) → f (x, y) = L lim (x,y) → │ f (x, y) - L │ = 0
5 lim (x,y) → f (x, y) = L lim (h,k) → f (x0 + h,y0 + k) = L
6 Se lim (x,y) → f (x, y) = L lim (x,y) → g (x,y) = L então:
a) lim (x,y) → [ f (x, y) + g (x,y) ] = L + L
b) lim (x,y) → kf (x, y) = kL , k = constante
c) lim (x,y) → [ f (x, y) + g (x,y) ] = L L
lim (x,y) → , desde que 
< (x0,  y0) (x0,  y0) (x0,  y0)
(x0,  y0) (x0,  y0)
(x0,  y0)
(x0,  y0) < (x0,  y0)
(x0,  y0)
< (x0,  y0)
(x0,  y0) ⇔ (x0,  y0)
(x0,  y0) ⇔ (x0,  y0)
(x0,  y0) ⇔ (x0,  y0)
(x0,  y0) 1⇔ (x0,  y0) 2
(x0,  y0) 1 2
(x0,  y0) 1
(x0,  y0) 1 2
(x0,  y0) =
f(x,y)
g(x,y)
L
1
L
2
≠ 0L
2 
Atenção
1 – Estas regras são as mesmas aprendidas para funções de uma variável real.
2 –Teorema: Seja ɣ uma curva em R contínua e contínua em t . Se ocorrer e 
 com L L então, lim (x,y) → f (x, y) não existe.
p
Da mesma forma, tal limite não existirá se um dos limites não existir.
Clique aqui para ver um exemplo.
2
>0  f (  (t))  =  limt→t0 ɣ1 L1
 f (  (t))  =  lim
t→t0
ɣ
2
L
2 1≠ 2 (x0,  y0)
Concluindo
Como vimos anteriormente, existem in�nitos caminhos para se tomar, pois estamos no espaço.
Porém quando estudamos uma função f (x,y) no ponto (x,y), quando este tende a (x0,y0) tomando dois caminhos diferentes,
que possuem limites diferentes, como o exemplo anterior, poderemos concluir que a função não possui limite no ponto
estudado.
Questionamentos
As perguntas que se seguem são:
Sempre calcularemos por caminhos o limite?
Quantos caminhos devo tentar?
O que fazer quando tentei vários caminhos e não
obtive limites diferentes?
Sempre calcularemos por caminhos o limite?
Clique aqui para saber as respostas.
Continuidade
Seja f uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja Df, com ponto de acumulação de Df.
De�nimos: f contínua em lim 𝑓(𝑥,𝑦) =𝑓
(x0,  y0) ∈ (x0,  y0)
(x0,  y0)⇔ (𝑥,𝑦)→ (x0,  y0) (x0,  y0)
Se f for contínua em todos os pontos de um subconjunto A de Df,
diremos que f é contínua em A. Diremos, simplesmente, que f é
contínua se o for em todos os pontos de seu domínio.
4
Calculamos anteriormente o limite, e concluímos que este existia e seu valor era zero.
Assim, a função f(x,y) é contínua no (0,0).
Observação: O produto, o quociente, a soma e a diferença de funções contínuas de várias variáveis são funções contínuas, isto é
consequência das propriedades listadas anteriormente.
Veja, a seguir, exemplos:
1 A função constante f(x,y) = k
f(x,y) = k é contínua , pois lim 𝑓(𝑥,𝑦)=k =𝑓 para todo em R
2 A função f(x,y) = x é contínua, pois
lim 𝑓(𝑥,𝑦)= lim
3
Calculamos anteriormente o limite, 
Observe que no ponto (0,0) a função não está de�nida, portanto calculamos o limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada
caminho estipulado e concluímos que o 
Logo, não é contínua no ponto (0,0).
(𝑥,𝑦)→ (x0,  y0) (x0,  y0) (x0,  y0)
2
(𝑥,𝑦)→ (x0,  y0) (𝑥,𝑦)→ x = x =𝑓(x0,  y0) 0 para todo (x0,  y0) em R(x0,  y0) 2
li  m
(x,y)→(0,0)
− + x
3
y
3
+ x
3
y
3
li  m
(x,y)→(0,0)
− + x
3
y
3
+ x
3
y
3
li  m
(x,y)→(0,0)
yx
2
+ x
2
y
2
Notas
observações 1
Estas observações foram vistas na disciplina de cálculo vetorial.Referências
AYRES JR, Frank. Teoria e Problemas de Cálculo.4ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz.Curso de Cálculo.5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 4.v.
GONÇALVES, Marcelo dos Anjos e Silva; FLEMING, Diva Maria.Cálculo C: funções vetoriais, integrais curvilíneas, integrais de
superfície 3ª ed São Paulo: Makron 2004
superfície.3ª ed. São Paulo: Makron, 2004.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nílson José.Fundamentos de Matemática Elementar, 8; limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: Atual, 2001.
LEITHOLD, Louis.Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2v.
PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Candida Ferreira.Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. 3ª ed. Rio de
Janeiro: UFRJ, 2005.
SAFIER, Fred.Teoria e Problemas de Pré-Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007.
STEWART, James.Cálculo. 5ª ed. São Paulo: Pioneira, 2001-2006.
Próxima aula
Continuaremos a trabalhar com funções de várias variáveis;
Derivadas parciais e a diferenciabilidade.
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