Lei de Fick

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Disciplina: Fenômenos de Transportes 
Tema da aula: Leis básicas para transferência de 
massa, calor e quantidade de movimento 
 
Roteiro da aula 
 
- Princípios fundamentais 
- Leis básicas 
- Transferência de massa por difusão 
- Transferência de calor 
- Transferência de quantidade de 
movimento 
Princípios Fundamentais 
 Como pode uma propriedade física se 
transferir de um ponto a outro do espaço? 
 Há várias formas de isso ocorrer, de 
acordo com as diferentes causas. 
 Uma classificação dessas 
transferências, decorrentes de causas 
distintas, pode ser feita considerando os 
denominados "mecanismos de 
transferência". 
 
 
Difusão: A propriedade em estudo é 
transferida em razão de movimentos 
aleatórios de partículas do meio no sentido 
decrescente da "concentração" da 
propriedade transferida. 
 O termo "concentração" é aqui utilizado 
genericamente no sentido de quantificar a propriedade 
estudada que ocupa determinada região no espaço. 
Convecção: A propriedade é transferida em 
razão de um movimento preferencial (bem 
definido) do meio fluido (ou do fluido que 
compõe o meio). 
Radiação: A propriedade é transferida sem 
necessitar de um meio preenchido de 
matéria, por meio de ondas ele-
tromagnéticas. 
 
 Os mecanismos podem ser estudados 
isoladamente ou em conjunto. 
 Por exemplo, a transferência de calor 
no interior de uma barra de ferro é um caso 
de difusão molecular. Contudo, se 
considerar que parte do calor pode ser 
transferida ao ar que compõe o meio 
externo, e que este ar pode estar em 
movimento, tem-se, no sentido do 
movimento do ar, um transporte convectivo. 
 
 Pode-se imaginar, adicionalmente, que 
a barra de ferro seja aquecida tão 
intensamente que se torne vermelha ao 
longo do tempo. Nesse caso, estamos 
observando radiação, que já atinge o 
espectro da luz visível. Há, portanto, 
emissão de calor por radiação. Cada tipo de 
transporte está vinculado a uma causa 
distinta, mas todos os tipos de transporte 
podem participar de uma mesma situação 
observada. 
 
 Nesta aula apresentaremos uma 
formulação matematica, decorrente da 
observação da natureza. Sabendo-se que 
os fenómenos se desenvolvem buscando 
uma situação de equilíbrio, de 
homogeneidade, de distribuição uniforme no 
espaço 
 As equações fundamentais são aqui 
apresentadas por meio de uma visão mais 
intuitiva fisicamente. 
 
LEIS BÁSICAS: A CONSTRUÇÃO 
DE MODELOS 
O que significa Lei básica ? 
 É um modelo matemático que 
relaciona as grandezas consideradas 
relevantes em uma abstração da realidade 
física. Um modelo matemático procura 
traduzir para a linguagem simbólica, uma 
situação que é observável na natureza e 
que segue padrões semelhantes quando as 
condições do ambiente também são 
semelhantes. 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
POR DIFUSÃO 
Experimento: 
- Consideram-se duas salas geometricamente 
iguais separadas por uma parede na qual se 
podem instalar diversas portas. 
- A porta entre as salas é mantida fechada (a 
atmosfera das salas é igual) 
Figura 1 – Situação de trabalho para o 
desenvolvimento 
 
 
 
- No ambiente 1 (primeira sala) coloca-se um 
botijão de gás cuja válvula é aberta por um 
intervalo de tempo fixo e novamente fechada. 
- Libera-se um número N1 máximo de moléculas 
no ambiente 1, enquanto o ambiente 2 contém 
um número N1 mínimo de moléculas (no caso, 
igual a zero) 
- a porta entre as salas é aberta por um 
determinado intervalo de tempo e o gás 
novamente se expande na tentativa de ocupar 
também o ambiente 2 
- com um cronometro efetuam-se vários expe-
rimentos abrindo a porta e deixando-a aberta 
por tempos diferentes. 
- abrindo-se a porta durante um intervalo Δt1 e 
fechando-a novamente, um número ΔN1 de 
moléculas passa do ambiente 1 para o ambiente 
2 
- Depois disso, areja-se o ambiente 2 e abre-se a 
válvula do botijão no ambiente 1 para que o 
número de moléculas volte a atingir o valor 
máximo. 
- Repetindo-se o procedimento para tempos 
observa-se, verifica-se que um maior numero de 
moleculas atravessam a porta. 
Pode-se então dizer que : 
 ΔN α Δt 
Figura 2 – Arranjo com a área de 
passagem variável 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra informação pode ser obtida instalando-se 
mais portas na parede divisória 
 
 
- Repetindo-se o experimento, porem desta vez 
fixando-se Δt e aumentando-se o numero de 
portas abertas (area A), observa-se um maior 
numero de moléculas atravessando o ambiente 
no mesmo tempo. 
- Desta forma podemos deduzir: 
ΔN α A 
 
 Podem-se efetuar experimentos mantendo a 
porta entre os dois ambientes aberta e 
quantificando o número de moléculas que passa 
entre os dois ambientes em um tempo fixo (por 
exemplo, cinco segundos) em diferentes 
momentos do processo de passagem do gás 
através da abertura entre os dois ambientes 
(desta vez sem realimentar o ambiente 1 com o 
gás). 
 
 Num primeiro instante da abertura da porta, 
o numero liquido de moleculas que passa é 
maximo. 
 Com o passar do tempo observa-se que este 
numero de moleculas que atravessa do ambiente 
1 para o ambiente 2 diminui, ou seja ΔN2<ΔN1 
Percebe-se que no equilibrio ΔNn = 0 
Nota-se que, sendo maior a diferença do número 
de moléculas entre os dois ambientes, mantendo 
constantes todas as demais condições, um 
número líquido maior de moléculas passa do 
ambiente 1 para o ambiente 2, então: 
ΔN α ( N1-N2 ) 
 
 
 
Figura 3 – Arranjo com ambientes não 
contíguos 
 Para um intervalo de tempo fixo, abre-se a 
porta de um corredor com Δx = 0, permitindo a 
passagem de um número ΔN1 de moléculas entre 
os dois ambientes. Após o experimento, areja-se o 
ambiente 2 e abre-se a válvula do botijão de gás 
no ambiente 1, de forma a atingir novamente o 
número máximo de moléculas nesse ambiente. 
Repete-se o experimento para o mesmo Δt porém 
agora introduzindo um corredor entre os dois 
ambientes, com comprimento Ax > 0. 
Observa-se que, quando as moléculas de gás 
passam de uma sala para a outra, encontram, no 
segundo caso, mais moléculas de ar que 
compõem a atmosfera, chocando-se com elas e 
atrasando o movimento médio entre as salas. 
Assim, tem-se a passagem de úm número menor 
de moléculas de gás entre os dois ambientes. 
Observa-se, neste caso que: 
 ΔN2<ΔN1 
Então podemos dizer que: 
ΔN α (1/Δx) 
 
Destes experimentos obteve-se 4 
proporcionalidades (com uma variavel valida, e 
demais inalteradas) 
 As quatro proporcionalidades, de forma 
isolada, são de pouca utilidade, porém indicam a 
possibilidade de haver uma função que liga ΔN a 
essas variáveis. Utilizando uma função genérica f, 
tem-se, então: 
ΔN = f (Δt, A, ( N1-N2 ), Δx) 
As proporcionalidades individuais de cada 
variável, geradas na discussão anterior, podem 
ser introduzidas nesta Equação. Assim, como foi 
verificado que algumas variaveis sao diretamente 
proporcionais , então pode-se escrever: 
 Assim, como foi verificado que algumas 
variaveis sao diretamente proporcionais , então 
pode-se escrever: 
 ΔN = Δt f1 (A, ( N1-N2 ), Δx) 
 ΔN = Δt .A f2 (( N1-N2 ), Δx) 
 ΔN = Δt .A .( N1-N2 ), f3 (Δx) 
 
Para manter o sinal de igualdade considerar a 
última proporcionalidade (com Δx), é preciso 
introduzir uma constante de proporcionalidade, w). 
Tem-se, então: 
 ΔN = w.Δt .A .( N1-N2 ). (1/Δx) 
Multiplicando a massa molecular M, temos: 
 Δm = w.Δt .A .(m1-m2 ). (1/Δx)Em que m expressa a massa de gas em cada 
ambiente (Δm: massa transferida) 
 
 Como o volume V e igual nos dois 
ambientes, podemos multiplicar e dividir o 
segundo membro da equação: 
Δm = (wV).Δt .A .(C1-C2 ). (1/Δx) 
 Definindo C (m/V) como concentração. 
Como wV é uma constante, chamaremos 
simplesmente por D, então: 
 Δm/ Δt = D.A .(C1-C2 ). (1/Δx) 
 
 É usual representar o primeiro termo da 
equação (chamado de descarga de massa) por Ṁ. 
 Adicionalmente, a fração do segundo 
membro pode ser apresentada de forma mais 
elegante quando, considerada a hipótese do 
contínuo, calcula-se seu limite para Δx —> 0. 
Neste caso. pela definição da derivada, obtém-se: 
 Ṁ = D.A. dC/dx 
Sabendo-se que Ṁ e A sao dependentes entre si 
de forma linear segundo a geometria estudada, 
podemos representar a razão Ṁ/A por ṁ (fluxo de 
massa), então: 
ṁ = D. dC/dx 
 
 
Finalmente, verifica-se que a massa se desloca da 
maior para a menor concentração. Para levar esse 
fato em conta na Equação anterior, que considera 
a variação de concentração e o fluxo de massa ao 
longo de um eixo x, de forma que o fluxo calculado 
tenha o sentido correto, introduz-se o sinal 
negativo na equação, resultando: 
ṁ = - D. dC/dx 
 
 Esta equação representa o fluxo de massa 
como proporcional à derivada da concentração em 
relação a uma dimensão (o gradiente de concen-
tração). A constante de proporcionalidade, 
representada pela letra D, recebe o nome de 
"difusividade molecular“ 
 Esta equação conhecida como LEI DE FICK 
para transferência de massa. 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
POR CONDUÇÃO 
 Da mesma forma apresentada no item 
anterior, repetiremos os mesmos experimentos, 
porem agora analisando as partículas aquecidas 
(pela chama de butijão de gas no ambiente 1). 
 O gas aquecido se expande na atmostera do 
ambiente 1 de forma homogênea 
Para obter a primeira informação acerca da 
passagem de calor (energia térmica em 
movimento) de um ambiente para o outro, com um 
cronometro efetuam-se vários experimentos 
abrindo a porta e deixando-a aberta por tempos 
diferentes. Assim, abrindo-se a porta durante um 
intervalo Δt1 e fechando-a novamente, um número 
ΔN1 de moléculas aquecidas passa do ambiente 1 
para o ambiente 2. Ou seja, uma quantidade de 
calor ΔQ1. 
Com a observação dos resultados podemos 
propor que: 
ΔQ α Δt 
No experimento onde pode-se variar o numero de 
portas abertas nos ambientes (intervalo de tempo 
fixo), temos: 
ΔQ α A 
 
Sem realimentar o ambiente 1 com ar aquecido e 
mantendo-se as portas abertas, medindo-se as 
moléculas aquecidas em transito num tempo fixo 
em diferentes momentos, podemos escrever: 
ΔQ α ( T1-T2 ) 
Ou seja, sendo maior a diferença de temperaturas 
entre os dois ambientes, mantendo constantes 
todas as demais condições, mais calor passa do 
ambiente 1 para o ambiente 2 
Finalmente observa-se o mesmo comportamento 
(que no caso de transferência de massa), quando 
os ambientes são ligados de forma que Δx possa 
ser variado, ou seja: 
ΔQ α (1/Δx) 
Com estas quatro proporcionalidades, e fazendo a 
mesma analise de funções já demonstrada, 
podemos escrever: 
Ǭ = k.A.dT/dx 
 Onde Ǭ (ΔQ/Δt) é chamado de descarga 
termica, e matematicamente K é a constante de 
proporcionalidade introduzida na expressão que 
continha a função (para manter o sinal de 
igualdade). Esta constante fisicamente significa a 
condutividade térmica do material. 
 Na equação anterior, levando-se em 
consideração que o calor flui da região de maior 
temperatura para de menor temperatura, e 
dividindo a descarga pela area (fluxo termico ǭ), 
temos: 
Ǭ = - k.dT/dx 
 
 Essa equação representa o fluxo térmico 
como proporcional à derivada da temperatura em 
relação a uma dimensão (o gradiente de 
temperatura). 
 Esta equação conhecida como LEI DE 
Fourier para transferência de calor. 
 
TRANSFERÊNCIA DE 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 Adota-se aqui a situação de um escoamento 
gerado pelo deslocamento relativo de duas placas 
planas paralelas, conforme mostrado na Figura a 
seguir. A placa inferior tem velocidade V1 = 0 e a 
placa superior tem velocidade V2, na direção do 
eixox. As duas placas apresentam uma distância 
Δy entre si, medida ao longo do eixoy 
Figura 4 – Placas paralelas 
 Admite-se que as placas deslizam 
continuamente uma sobre a outra, com a camada 
de fluido entre elas, não havendo situações 
transientes 
 Todas as partículas do fluido no espaço 
entre as placas atingiram sua própria velocidade 
constante (ainda que possam ser diferentes de 
ponto a ponto do espaço). 
 O deslocamento da placa superior induz 
movimento no fluido, por meio dos choques 
moleculares do fluido com essa placa. 
 As moléculas aceleradas na direção do 
deslocamento chocam-se com moléculas mais 
distantes da placa superior e também as aceleram 
na direção do deslocamento da placa superior. 
 Assim, sucessivamente, o movimento é 
mantido em todo o fluido em razão desses 
choques moleculares internos. Finalmente, junto à 
placa inferior, as moléculas se chocam contra sua 
superfície e, como esta não se movimenta, sofrem 
ação de desaceleração na direção do 
escoamento. 
Em outras palavras, as moléculas transferem 
parte de sua quantidade de movimento na direção 
do escoamento para a placa inferior. E esta 
transferência de quantidade de movimento ΔQM 
que se pretende quantificar. 
 
 Com um cronometro mede-se determinado 
intervalo de tempo, no qual a quantidade de 
movimento transferida para a área escolhida é 
ΔQM1. Torna-se a repetir a medida do tempo, 
agora para um intervalo de Δt2 > Δt1. Espera-se, 
evidentemente, que uma quantidade ΔQM2 > 
ΔQM1 seja transferida para a placa. Pode-se 
sugerir, então, uma proporcionalidade da forma: 
ΔQM α Δt 
 Em outro experimento (ainda com V1=0) 
variando-se a area A (placa inferior), mantendo o 
tempo fixo, verifica-se que: ΔQM α A 
Se placa superior tiver sua velocidade diminuída, 
haverá menos transferência de quantidade de 
movimento na direção de seu deslocamento para 
as moléculas adjacentes, e assim por diante, até 
chegar à placa inferior. Quanto menor a diferença 
entre a velocidade da placa superior e da placa 
inferior, menor será, portanto, essa transferência 
de quantidade de movimento, então: 
ΔQM α (V2x - V1x) 
E com relação a distancia entre as placas: 
ΔQM α (1/Δy) 
Utilizando-se os mesmos procedimentos 
matematicos já apresentados, temos: 
ΔQM/ Δt = µ A ΔVx / Δy 
 
 A unidade de trabalho do primeiro membro é 
de força. Para verificar essa semelhança 
dimensional, basta lembrar que F = ma, ou F = 
mdV/dt, ou ainda F = d(mV)/dt. Como o produto 
mV é a quantidade de movimento, a semelhança é 
evidente. Assim, o primeiro membro também 
representa a força tangencial aplicada na direção 
do escoamento que atua sobre a placa inferior. 
Essa grandeza, que é uma "descarga de 
quantidade de movimento", é mais facilmente 
assimilada como a força tangencial F. 
Chamando-se a razão entre esta força e a area de 
τ, e aplicando-se o limite para Δy=0, resulta em: 
Τ = µ dVx/dy 
 
Onde µ é a viscosidade dinâmica 
Esta equação conhecida como LEI DE 
VISCOSIDADE DE NEWTON. 
 
 Nota-se duas direções envolvidas, uma para 
a velocidade e outra para o eixo ao longo da qual 
a velocidade varia. Assim, observa-se que a 
tensão de cisalhamento considera uma grandeza 
vetorial (a velocidade) em sua formulação, 
enquanto as leis básicas anteriores consideravamgrandezas escalares . 
 Percebe-se tambem a ausencia do sinal de 
menos (quando comparamos com as leis 
anteriores) 
 Essa ausência é consequência do fato da 
transferência de quantidade de movimento ser 
relativa ao referencial adotado. Por exemplo, toda 
a discussão aqui conduzida considerou a placa 
superior em movimento e a inferior parada. Ou 
seja, como observadores nos colocamos junto à 
placa inferior e esta recebeu quantidade de 
movimento das moléculas. 
Bibliografia utilizada 
• INCROPERA, F. P., Witt, D. P. - Fundamentos da 
Transferência de Calor e Massa, John Wiley, 1998 
 
• HOLMAN, Jack Philip. Transferência de calor. São 
Paulo: McGraw-Hill do Brasil,1983. 
 
• PITTS,D.; SISSOM, Leighton. Fenômenos de transporte: 
transferência de calor,momento e massa. São Paulo: 
McGraw-Hill do Brasil, 1981. 
 
 
 
Obrigado pela atenção! 
 
Exemplo: 
A parede da fornalha de uma caldeira é construída de tijolos 
refratários com 0,20m de espessura e condutividade 
térmica de 1,3 W/mK. A temperatura da parede interna é de 
1127oC e a temperatura da parede externa é de 827oC. 
Determinar a taxa de calor perdido através de uma parede 
com 1,8m por 2,0 m. 
 
 
20,0
8271127
6,3.3,1q
x
TT
Akq ei





Dados: Solução 
x = 0,20 m 
k = 1,3 [W/moC] 
Ti = 1127 oC 
Te = 827 oC 
A = 1,8.2,0 = 3,6 m2 
W7020q 