FENOMENOS DE TRASPORTE

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Fenômenos de 
Transporte
Professor Dr. Rodrigo Orgeda 
Professor Esp. Henryck Cesar 
Massao Hungaro Yoshi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação
CEP 87050-900 - Maringá - Paraná
unicesumar.edu.br | 0800 600 6360
DIREÇÃO UNICESUMAR
Reitor Wilson de Matos Silva, Vice-Reitor e 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos 
Silva Filho, Pró-Reitor Executivo de EAD William 
Victor Kendrick de Matos Silva, Pró-Reitor de
Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin, Presidente
da Mantenedora Cláudio Ferdinandi. 
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James 
Prestes e Tiago Stachon; Diretoria de Graduação
e Pós-graduação Kátia Coelho; Diretoria de 
Permanência Leonardo Spaine; Diretoria de 
Design Educacional Débora Leite; Head de 
Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza 
Filho; Head de Metodologias Ativas Thuinie Daros; 
Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie 
Fukushima; Gerência de Projetos Especiais Daniel 
F. Hey; Gerência de Produção de Conteúdos
Diogo Ribeiro Garcia; Gerência de Curadoria
Carolina Abdalla Normann de Freitas; Supervisão
do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de
Almeida Toledo; Supervisão de Projetos Especiais
Yasminn Talyta Tavares Zagonel; Projeto
Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães
Cripaldi; Fotos Shutterstock
Coordenador de Conteúdo Fabio Augusto Genti-
line e Crislaine Rodrigues Galan.
Designer Educacional Janaina de Souza Pontes e 
e Amanda Peçanha dos Santos.
Revisão Textual Cintia Prezoto Ferreira e Erica 
Fernanda Ortega.
Editoração Lavígnia da Silva Santos.
Ilustração Welington Vainer Satin de Oliveira e 
Natalia de Souza Scalassara.
Realidade Aumentada Maicon Douglas Curriel, 
Thiago Marçal Surmani, Matheus Alexander de Oli-
veira Guandalini e Kleber Ribeiro da Silva.
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; YOSHI, Henryck Cesar Massao Hungaro; ORGEDA, 
Rodrigo. 
Fenômenos de Transporte. Henryck Cesar Massao Hungaro 
Yoshi; Rodrigo Orgeda. 
Maringá-PR.: Unicesumar, 2020. Reimpresso em 2024. 
368 p.
“Graduação - Híbridos”.
1. Fenomeno. 2. Transporte . 3. Química 4. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-2113-4
CDD - 22 ed. 541.3
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Impresso por:
PALAVRA DO REITOR
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-
mos com princípios éticos e profissionalismo, não 
somente para oferecer uma educação de qualida-
de, mas, acima de tudo, para gerar uma conversão 
integral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-
-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emo-
cional e espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois 
cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, temos 
mais de 100 mil estudantes espalhados em todo 
o Brasil: nos quatro campi presenciais (Maringá, 
Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 
300 polos EAD no país, com dezenas de cursos de 
graduação e pós-graduação. Produzimos e revi-
samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil 
exemplares por ano. Somos reconhecidos pelo 
MEC como uma instituição de excelência, com 
IGC 4 em 7 anos consecutivos. Estamos entre os 
10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos 
educadores soluções inteligentes para as ne-
cessidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter pelo menos 
três virtudes: inovação, coragem e compromisso 
com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, para 
os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as 
quais visam reunir o melhor do ensino presencial 
e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Prezado(a) Acadêmico(a), bem-vindo(a) à Co-
munidade do Conhecimento. 
Essa é a característica principal pela qual a 
Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu-
nos, professores e pela nossa sociedade. Porém, é 
importante destacar aqui que não estamos falando 
mais daquele conhecimento estático, repetitivo, 
local e elitizado, mas de um conhecimento dinâ-
mico, renovável em minutos, atemporal, global, 
democratizado, transformado pelas tecnologias 
digitais e virtuais.
De fato, as tecnologias de informação e comu-
nicação têm nos aproximado cada vez mais de 
pessoas, lugares, informações, da educação por 
meio da conectividade via internet, do acesso 
wireless em diferentes lugares e da mobilidade 
dos celulares. 
As redes sociais, os sites, blogs e os tablets ace-
leraram a informação e a produção do conheci-
mento, que não reconhece mais fuso horário e 
atravessa oceanos em segundos.
A apropriação dessa nova forma de conhecer 
transformou-se hoje em um dos principais fatores de 
agregação de valor, de superação das desigualdades, 
propagação de trabalho qualificado e de bem-estar. 
Logo, como agente social, convido você a saber 
cada vez mais, a conhecer, entender, selecionar e 
usar a tecnologia que temos e que está disponível. 
Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg 
modificou toda uma cultura e forma de conhecer, 
as tecnologias atuais e suas novas ferramentas, 
equipamentos e aplicações estão mudando a nossa 
cultura e transformando a todos nós. Então, prio-
rizar o conhecimento hoje, por meio da Educação 
a Distância (EAD), significa possibilitar o contato 
com ambientes cativantes, ricos em informações 
e interatividade. É um processo desafiador, que 
ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores 
oportunidades. Como já disse Sócrates, “a vida 
sem desafios não vale a pena ser vivida”. É isso que 
a EAD da Unicesumar se propõe a fazer.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você 
está iniciando um processo de transformação, 
pois quando investimos em nossa formação, seja 
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, 
consequentemente, transformamos também a so-
ciedade na qual estamos inseridos. De que forma 
o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabe-
lecendo mudanças capazes de alcançar um nível 
de desenvolvimento compatível com os desafios 
que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o 
Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompa-
nhará durante todo este processo, pois conforme 
Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na 
transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem 
dialógica e encontram-se integrados à proposta 
pedagógica, contribuindo no processo educa-
cional, complementando sua formação profis-
sional, desenvolvendo competências e habilida-
des, e aplicando conceitos teóricos em situação 
de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como 
principal objetivo “provocar uma aproximação 
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita 
o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação 
pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de 
crescimento e construção do conhecimento deve 
ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos 
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar 
lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Stu-
deo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas 
ao vivo e participe das discussões. Além disso, 
lembre-se que existe uma equipe de professores e 
tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de apren-
dizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquili-
dade e segurança sua trajetória acadêmica.
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), este livro iniciará seus estudos acerca dos chamados fenô-
menos de transporte, disciplina fundamental para a maioria dos cursos de 
engenharia, uma vez que busca explicar como a transferência de momento 
(mecânica dos fluidos), de calor e de massa acontecem na natureza. Este 
entendimento permite desenvolver processos e equipamentos para diversas 
aplicações, mas, mais do que isso, desenvolveráa habilidade de observar e 
analisar os fenômenos da natureza.
Suponha que você, buscando concentrar-se melhor na leitura deste livro, 
resolva preparar uma xícara de chá. Para isso, você precisará de água, a qual 
é fornecida até a sua casa através de longos sistemas de abastecimento que 
contam com tubulações, bombas, válvulas e caixas d’água. Entender quais 
são as energias associadas ao escoamento de um fluido (neste caso, o fluido 
é a água) é um clássico problema de mecânica dos fluidos.
Após colocar a água em um recipiente, será necessário aquecê-la. Isto pode 
ser feito de diferentes maneiras, mas consiste, essencialmente, em adicio-
nar energia à água, até alcançar a temperatura desejada – um problema de 
transferência de calor. Por fim, resta apenas colocar o saquinho de chá junto 
da água, iniciando um processo de infusão – moléculas que dão aroma e 
sabor saem das ervas do chá e são transportadas para a água. Tal processo 
está relacionado à transferência de massa.
Você poderia então se perguntar: que potência seria necessária para 
que a bomba seja capaz de escoar a água da estação de tratamento até 
as torneiras de casa? Haverá diferença se você fizer o chá em um dia 
mais frio ou em um dia mais quente? Quanto tempo levará até que a 
infusão esteja completa? Quanto o chá terá esfriado por estar exposto 
ao ambiente? O estudo dos fenômenos de transporte procura responder 
a perguntas como essas, estando presente desde situações mais simples 
do cotidiano até aplicações complexas por estar inseparavelmente li-
gado à natureza. 
O objetivo deste livro é dar um enfoque prático à disciplina de Fenô-
menos de Transporte, apontando os caminhos que você, futuro Enge-
nheiro(a), deverá seguir caso necessite se aprofundar em qualquer um 
dos assuntos aqui abordados. Assim, aproveite o processo de aprendi-
zagem e entenda que só não gostamos daquilo que sabemos pouco. 
Siga o fluxo de leitura mesmo que naquele momento você não tenha 
entendido algum termo. Lá na frente, ele fará sentido. E se mesmo lá 
na frente você não entender? Não hesite em buscar outras fontes. Saber 
pesquisar é uma das competências que esperamos de um profissional de 
Engenharia. Quando tudo se conectar na sua mente, você comprovará 
que o conhecimento é realmente libertador!
CURRÍCULO DOS PROFESSORES
Dr. Rodrigo Orgeda
Doutor em Engenharia Química pela UEM, em 2017, na qual trabalhou com simulação e oti-
mização de processos, conceito de biorrefinaria e análise integrada, considerando aspectos 
econômicos e ambientais em destilarias de etanol. Mestre em Engenharia Química (2013) na 
área de desenvolvimento de novos processos. Possui graduação em Engenharia de Alimentos 
(2010) e em Engenharia Química (2014) pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). Foi 
um dos candidatos aprovados, dentre alunos de diversos países, para participar do estágio 
de pesquisa do programa Mitacs Globalink, sob a supervisão de membros do corpo docente 
da Universidade de Guelph, no Canadá. Parte de sua pesquisa de doutorado foi realizada 
na Universidade Rovira i Virgili, na Espanha. Atualmente, trabalha como professor formador 
e conteudista dos cursos híbridos de Engenharia da Unicesumar, roteirizando práticas com 
metodologias ativas de aprendizagem em disciplinas técnicas e de gestão.
Currículo Lattes disponível em: http://lattes.cnpq.br/3174430075612030 
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Especialista em Gestão Industrial e Negócios pela Universidade Estadual de Londrina (2019). 
Graduado com láurea acadêmica em Engenharia Química pela Universidade Estadual de 
Maringá (2018). Foi membro bolsista do Programa de Educação Tutorial (PET – MEC/SESu) de 
2014 a 2017. Atualmente, é mestrando em Engenharia Química pela Universidade Estadual 
de Maringá, atuando principalmente na área de síntese e otimização de processos por meio 
de modelagem e simulação.
Currículo Lattes disponível em: http://lattes.cnpq.br/1729734963906608
Introdução aos 
Fenômenos 
de Transporte
13
Introdução à 
Mecânica 
dos Fluidos
61
Pressão e Estática 
dos Fluidos
97
Cinemática 
dos Fluidos
Equação da 
Energia no 
Regime Permanente
137
169
Escoamento em 
Condutos Forçados
209
Introdução à 
Transferência 
de Calor
Trocadores 
de Calor
297
Introdução à 
Transferência 
de Massa
331
257
113 Manômetro de Bourdon
188 Bombas e turbinas na equação da energia
219 Escoamento dos fluidos
281 Efeito do isolamento em tubos cilíndricos
304 Trocadores de calor de tubo e casco
Utilize o aplicativo 
Unicesumar Experience 
para visualizar a 
Realidade Aumentada.
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
• Definir o que são os fenômenos de transporte: transfe-
rência de momento (mecânica dos fluidos), calor e massa.
• Estruturar os conceitos básicos necessários para li-
dar com os problemas relacionados aos fenômenos 
de transporte, como conversão de unidades e fração 
mássica.
• Estudar o conceito de balanço material, abordando estraté-
gias de resolução e aplicações, como reciclo, bypass e purga.
Definindo os Fenômenos 
de Transporte
Conceitos Fundamentais
Balanço Material
Introdução aos 
Fenômenos 
de Transporte
Definindo 
os Fenômenos 
de Transporte
Iniciaremos a apresentação dos conceitos desta 
disciplina com uma notícia boa: os três fenômenos 
de transporte são estudados de forma conjunta, 
pois sua natureza é muito parecida, sendo, às 
vezes, até matematicamente similares (modelos 
matemáticos semelhantes para problemas análo-
gos). Isso quer dizer que, entendendo o conceito 
de um dos fenômenos, não será difícil entender 
o conceito dos outros. Um ponto fundamental 
neste aspecto são as chamadas leis de conservação.
15UNIDADE 1
Leis de Conservação: definem que uma propriedade de um sistema isolado não varia 
ao longo do tempo. Em outras palavras: a propriedade não se cria, nem é destruída. 
Dessa forma, para cada relação de conservação, há uma equação de balanço que 
é obedecida pelo sistema. Três dessas leis serão individualmente abordadas nos 
capítulos a seguir (veja o Quadro 1).
Fonte: adaptado de Welty, Rorrer e Foster (2017).
Quadro 1 - Leis de conservação e suas equações correspondentes
Lei Equação
Lei da Conservação da Massa Equação da Continuidade
Segunda Lei de Newton Teorema do Momento
Primeira Lei da Termodinâmica Equação da Energia
Fonte: adaptado de Welty, Rorrer e Foster (2017).
As leis de conservação são mais facilmente entendidas observando a forma genérica 
das equações de balanço:
Taxa de Entrada
no sistema
Taxa de Sa da
no sistema
Ta�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
í xxa de Ac mulo
no sistema
ú�
�
�
�
�
�
Exemplificando: imagine que o sistema em questão seja uma pia de cozinha. Ao abrir 
a torneira, você permite uma entrada de água no sistema. A água que desce pelo ralo, 
por sua vez, é a saída de água do sistema. Se você tampar o ralo, você fecha a saída 
do sistema, de modo que a pia começa a encher – este é o acúmulo do sistema. Esta 
situação ilustra a lei de conservação da massa.
Evidentemente, estamos desconsiderando outras possíveis saídas ou entradas de 
água (como a evaporação da água para a atmosfera), mas o intuito aqui é observar a 
natureza das leis de conservação: tudo que entra no sistema, ou sai, ou fica. Apesar de 
soar como um conceito bastante simples ou, até mesmo, óbvio, as leis de conservação 
são instrumentos essenciais para o entendimento dos fenômenos de transporte.
16 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Uma segunda observação fundamental acerca dos fenômenos de transporte é: 
se há um desequilíbrio de uma propriedade em um meio, a natureza tende a redis-
tribuí-la, até que um equilíbrio seja estabelecido – a esta tendência é dado o nome 
de força motriz, frequentemente descrita no contexto dos fenômenos de transporte 
como os “gradientes”:
• Mecânica dos Fluidos: gradiente de momento.
• Transferência de Calor: gradiente de temperatura.
• Transferência de Massa: gradiente de concentração.Caso o significado de “gradiente” ainda seja estranho a você, observe a Figura 1: 
Figura 1 - Gradiente de temperatura
O objeto em questão, semelhante a um cilindro metálico, tem duas extremidades, e a 
sua cor está representada de acordo com a temperatura em cada ponto do objeto. A 
parte azul está a uma temperatura menor, enquanto a parte avermelhada está a uma 
temperatura maior. A variação de temperatura ao longo da superfície é gradativa, 
aumentando da extremidade azul até a extremidade vermelha. Esta variação gradativa 
é o chamado gradiente de temperatura. Os gradientes de momento e concentração 
funcionam de maneira análoga.
17UNIDADE 1
Neste exemplo, a tendência da natureza é fazer com que a temperatura da super-
fície fique uniforme, transferindo energia da parte mais quente para a parte mais fria 
(considerando apenas a superfície, sem nenhuma interferência externa, promovendo 
o seu aquecimento ou resfriamento). Isto acontece molécula a molécula, por meio 
dos movimentos aleatórios e colisões entre elas – um processo de difusão molecular, 
que pode ser descrito por equações. A Tabela 1 compara as equações para as três 
propriedades em estudo.
Tabela 1 – Equações unidimensionais para os fenômenos de difusão
Propriedade Lei Equação
Momento Lei de Newton da Viscosidade
� ��
dv
dy
Calor Lei de Fourier da Condução Térmi-
ca q dT
dy
� ��
Massa Lei de Fick da Difusão
J D dC
dy
A AB� �
Fonte: adaptada de Hauke (2008). 
Neste momento, é importante que você note a semelhança entre as equações 
apresentadas na Tabela 1. Este é um exemplo do que foi dito no início: “modelos 
matemáticos semelhantes para problemas análogos”. Estão sendo aqui apresen-
tadas apenas para ilustrar esta relação e serão detalhadas nos capítulos a seguir.
Até aqui, você esteve apenas conhecendo o que são os chamados fenômenos de trans-
porte e de que maneira os observamos na natureza. A partir de agora, iniciaremos 
um estudo mais direcionado à definição de alguns conceitos básicos para entender e 
interpretar os problemas que você irá encontrar durante todo o curso. Aproveitaremos 
esta primeira unidade para tratar com mais rigor os chamados balanços materiais, 
conhecimento que irá ajudar você a se familiarizar com o uso das leis de conservação.
18 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Agora, revisaremos alguns conceitos que você cer-
tamente já teve algum contato quando estudou 
disciplinas básicas de química e física. O objetivo é 
fazer isto da forma mais objetiva e direta possível, 
para que você possa progredir no estudo dos fe-
nômenos de transporte com tranquilidade. Além 
disso, aproveite para se acostumar com alguns dos 
muitos termos e notações que serão utilizados até 
o fim deste material – literaturas e idiomas dife-
rentes frequentemente utilizam símbolos distintos 
para os mesmos parâmetros (como “m” ou “w” 
para massa, por exemplo).
Conceitos 
Fundamentais
19UNIDADE 1
Dimensões e Unidades de Medida
Quando se trata de problemas de engenharia, a resposta dificilmente será apenas um 
número – ela geralmente será um número acompanhado de uma unidade de medi-
da. Por exemplo: “a altura é de 9 metros”. Esta é uma resposta apropriada. Por outro 
lado, ao dizer “a altura é de 9”, você não define a sua unidade de medida, portanto, 
é uma resposta incompleta. Poderiam ser 9 centímetros, 9 metros ou, até mesmo, 9 
quilômetros.
Uma habilidade fundamental para um engenheiro é ter noção das grandezas que 
está trabalhando. Isto permite identificar quando algum valor parece errado e ajuda 
a fazer comparações entre situações distintas. Mais ainda, saber trabalhar com as di-
mensões ajuda a interpretar o problema e muitas das grandezas físicas fundamentais 
para a engenharia.
O primeiro passo para uma clara compreensão deste tópico é definir a diferença 
entre dimensão e unidade de medida.
Dimensão: refere-se à grandeza física em questão, como distância/altura, veloci-
dade, temperatura e tempo.
Unidade de medida: refere-se à forma de expressar as dimensões, como metros 
(para a distância/altura), quilômetros por hora (velocidade), graus Celsius (tempe-
ratura) e segundos (tempo).
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Ao longo deste material, usaremos preferencialmente as unidades do Sistema Inter-
nacional de Unidades (SI): metro (m) para distância, quilograma (kg) para massa, 
segundo (s) para tempo, Kelvin (K) para temperatura e mol (mol) para a quantidade 
de matéria. Possíveis exceções estarão presentes apenas quando importantes.
Você observará que os cálculos apresentados frequentemente terão os números 
acompanhados de suas unidades. É altamente recomendado que você passe a fazer 
o mesmo, para que tenha uma melhor compreensão das operações e variáveis que 
estiver trabalhando. Vejamos o exemplo a seguir:
20 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Temos os seguintes fatores de conversão: uma milha são 5280 pés; um pé são 12 
polegadas; uma polegada são 2,54 centímetros. Sabendo que a altura do Everest é de, 
aproximadamente, 5,49 milhas, converta este valor para metros.
Solução: 
Um método organizado e eficiente de converter unidades é multiplicar o número de 
unidade conhecida (no caso, 5,498 milhas) pelos fatores de conversão necessários 
(milha-pés, pé-polegadas, polegada-centímetros e, é claro, centímetros-metro). Para 
melhor visualização, separaremos cada fator de conversão por uma barra vertical, 
que você pode entender como um operador de multiplicação ou parênteses. Observe:
5 498 5280
1
29029 44, ,milhas pés
milha
pés=
29029 44 12
1
348353 28, ,pés polegadas
pé
polegadas=
348353 28 2 54
1
884817 33 1
100
8848, , ,polegadas cm
polegada
cm m
cm
m� �
Note que cada uma destas “frações” é igual a um: se uma milha equivale a 5280 pés, 
a divisão de 5280 pés por uma milha é igual a um. Isto comprova que não estamos 
alterando a altura (dimensão) do Monte Everest, apenas convertendo-a entre dife-
rentes unidades de medida.
Uma maneira prática de acompanhar se você está fazendo as conversões adequadas é 
escrever todas as conversões em uma única expressão e “cortar” as unidades que se “cance-
lam”, da mesma forma que provavelmente fez quando estudou matemática e física básicas:
5 498 5280
1
12
1
2 54
1
1
100
, ,milhas pés
milha
polegadas
pé
cm
polegada
m
ccm
m≈ 8848
Você pode estar se perguntando: todos estes cálculos não poderiam ter sido resolvidos 
por uma série de regra de três? A pergunta é fantástica e significa que seu raciocínio 
está no caminho certo! Apesar de podermos utilizar uma série de regra de três para 
chegarmos no mesmo resultado, a maneira prática apresentada anteriormente nos 
ajuda a visualizar como as unidades irão se cancelar e qual será nossa unidade final. 
Acredite, isso será muito útil em cálculos mais complexos, pois será um indicador 
para saber se o resultado está correto. Dessa forma, os demais exemplos e problemas 
presentes neste material serão preferencialmente resolvidos dessa maneira.
1 EXEMPLO
21UNIDADE 1
Este exemplo teve por objetivo demonstrar o trabalho com dimensões e unida-
des de medida, por meio de um problema de conversão de unidades. Contudo, 
note que o método descrito pode parecer problemático ao trabalhar com tem-
peraturas, pois suas diferentes unidades não estão relacionadas por fatores de 
conversão, mas sim por equações. Assim, o correto é avaliar a variação de tem-
peratura: uma variação de 1 °C equivale a uma variação de 1,8 °F, por exemplo.
Frações Mássicas e Molares
Na prática, ao tratar de processos, é fundamentalmente importante conhecer os 
componentes que estão presentes em cada uma de suas etapas. Mais do que isso, 
frequentemente encontraremos mais de um componente no processo, na forma de 
misturas e soluções. Conhecer as proporções em que cada componente se apresenta 
permite uma melhor compreensão do sistema, levando a melhores soluções para 
possíveis problemas. Para descrever estas proporções, utilizamos as chamadas frações 
molares e as frações mássicas.Fração mássica: a massa de uma substância dividida pela massa total de todos os 
componentes da mistura (ou solução) em que ela está presente.
fração mássica do componente A x massa de A
massa totalA
� �( )
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Vamos iniciar com um exemplo simples sobre fração mássica de uma solução com 
dois componentes.
22 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Uma solução contém os componentes A e B, sendo 360 g de A e 700 g de B. Qual é a 
composição mássica desta solução?
Solução:
fração mássica do componente A x massa de A
massa total
g
gA
� � �
�
360
360 7700
0 34
g
�
�
�
�
�
� � ,
fração mássica do componente B x massa de B
massa total
g
gB
� � �
�
700
360 7700
0 66
g
�
�
�
�
�
� � ,
Conhecendo a fração mássica do componente A, podemos utilizar outra maneira 
para determinar a fração mássica do componente B.
x xA B� �1
x xB A� � � � �1 1 0 34 0 66, ,
É fundamental notar que a somatória das frações mássicas ou molares deve 
sempre ser igual a 1, ou seja, a somatória das porcentagens deve ser igual a 100%. 
Matematicamente, para n componentes:
x x x x xn
i
n
n n
�
�� � � � � � �
1
1 2 1 1...
Uma vez compreendido o conceito de fração mássica, fica fácil entender o conceito 
de fração molar, pois são bastante semelhantes.
Fração molar: o número de mols de uma substância dividido pelo número total 
de mols da mistura (ou solução) em que ela está presente.
fração molar do componente A y mols de A
mols totaisA
� �
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
2 EXEMPLO
23UNIDADE 1
Qual é a composição molar de uma solução que contém os componentes A, B e C 
com 1 mol, 5 mols e 3 mols, respectivamente? 
Solução:
fração molar do componente A y mols de A
mols totais
mol
mol moA
� � �
�
1
1 5 lls mols�
�
�
�
�
�
� �3
0 11,
fração molar do componente B y mols de B
mols totais
mols
mol mB
� � �
�
5
1 5 ools mols�
�
�
�
�
�
� �3
0 55,
fração molar do componente C y mols de C
mols totais
mols
mol mC
� � �
�
3
1 5 ools mols�
�
�
�
�
�
� �3
0 33,
y y yA B C� � �1
Um tipo de cálculo importante consiste na conversão da fração mássica de uma 
solução para fração molar ou o contrário. Para que possamos realizar tal conversão, 
faz-se necessário uma informação adicional sobre a massa molar dos componentes 
presentes na solução. Além disso, precisamos saber que o número de mols (n) pode 
ser determinado pela razão entre a massa do composto (m) e sua massa molar (MM): 
n m
MM
=
A tabela a seguir mostra os dados de fração mássica e massa molar de cada composto 
presente em uma solução. Dessa forma, calcule a composição molar sabendo que a 
solução possui uma massa total de 100 g.
Solução:
Composto Massa Molar (g/gmol) Fração Mássica
A 50 0,20
B 40 0,30
C 20 0,45
D 25 0,05
Total - 1
3 EXEMPLO
4 EXEMPLO
24 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Para o composto A, temos que:
x massa de A
massa totalA
=
massa de A x massa totalA= .
massa de A g= =0 2 100 20, .
Em posse dos valores de massa e massa molar do composto A, podemos facilmente 
determinar o número de mols desse composto.
n m
MM
g
g
molsA A
A
= = =
20
50
0 40,
Utilizando o mesmo raciocínio para os outros compostos, chegamos ao seguinte 
resultado:
Composto Massa Molar (g/gmol)
Fração 
Mássica Massa (g)
Número de 
mols (mols)
A 50 0,20 20 0,40
B 40 0,30 30 0,75
C 20 0,45 45 2,25
D 25 0,05 5 0,20
Total - 1 100 3,60
Finalmente, podemos calcular a fração molar do composto A na solução. 
y
,
,
,A
mols de A
mols totais
mols
mols
= = =
0 40
3 6
0 111
Fazendo o mesmo cálculo para os outros compostos, obtemos a composição molar 
da solução.
Composto Massa Molar (g/gmol)
Fração 
Mássica Massa (g)
Número de 
mols (mols)
Fração 
molar
A 50 0,20 20 0,40 0,111
B 40 0,30 30 0,75 0,208
C 20 0,45 45 2,25 0,625
D 25 0,05 5 0,20 0,056
Total - 1 100 3,60 1
25UNIDADE 1
O objetivo é que você tenha entendido o raciocínio para realizar a conversão, e não 
memorizado os passos. Para isso, faça a seguinte pergunta para si mesmo: eu consigo 
converter de fração molar para fração mássica? Se a resposta for positiva, você está 
no caminho certo! Caso seja negativa, aconselho a analisar o exercício novamente.
Quando estiver trabalhando com soluções e misturas, há também a ideia de “massa 
molar média da mistura”, que nada mais é do que uma média ponderada das massas 
molares dos componentes, como na equação a seguir:
Massa molar da mistura = Massa total da mistura
N mero de mú ools total da mistura
Massa molar da mistura = Massa do Compponente 1 + ... + Massa do Componente n
Mols do Componente 1 + ... + Mols do componente n
MM m m m mmistura n�
� � � ��1 2 1... nn
n nn n n n1 2 1� � � ��...
Sabendo que:
n m
MM
n MM m� � �.
Temos que:
MM n MM n MM n MM n MM
n n n nmistura
n n n n
n n
�
� � � �
� � � �
� �
�
1 1 2 2 1 1
1 2 1
...
...
Veja que, se conhecemos a composição da mistura, podemos lançar mão de uma base 
de cálculo arbitrária para calcular a massa molar média da mistura. Tente calcular este 
valor para a mistura do exemplo anterior. O resultado procurado é de 27,78 g/mol, 
que também poderia ser calculado simplesmente dividindo a massa da mistura pelo 
número de mols (afinal, esta é a definição da qual partimos para o desenvolvimento 
da última equação). 
Ao longo deste material, a composição de gases sempre será assumida como dada 
em base molar, a menos que seja especificado o contrário. Da mesma maneira, a 
composição de líquidos e sólidos será assumida como dada em base mássica, como 
é geralmente usada na indústria, a menos que seja especificado o contrário.
26 Introdução aos Fenômenos de Transporte
A partir daqui, iremos começar a aplicar as leis 
de conservação discutidas no início da unidade, 
partindo do princípio de conservação da massa: 
a matéria não é nem criada, nem destruída. O 
assunto será tratado com certa profundidade, po-
rém, por ser um tópico de caráter introdutório, as-
pectos mais complexos não serão abordados (por 
exemplo, sistemas envolvendo reações químicas 
e outros que demandem o uso de métodos de 
cálculo numérico).
Balanço 
Material
27UNIDADE 1
A descoberta do princípio de conservação da massa é atribuída ao cientista francês 
Antoine Laurent Lavoisier, nascido no dia 26 de agosto de 1743, em Paris. Vindo de 
uma família rica, desde jovem estudou em instituições reconhecidas pelo ensino 
da ciência. Em 1771, casou-se com Marie Anne Pierrette Paulze, na época com 14 
anos. Mesmo jovem, Madame Lavoisier auxiliou em publicações com suas notáveis 
habilidades linguísticas e artísticas. Lavoisier publicou seu livro Tratado Elementar 
de Química em 1789, ano que deu início à revolução francesa. Devido aos seus 
envolvimentos com o estado, o cientista foi guilhotinado em 8 de maio de 1794.
Fonte: adaptado de Partington (1943).
Balanços materiais permitem uma melhor compreensão acerca de um processo, 
como uma indústria, por exemplo. Na essência, é semelhante à contabilidade, mas 
no lugar de dinheiro, usa-se matéria. Cálculos de balanço material são indispensáveis 
para se compreender problemas de fenômenos de transporte, tanto simples quanto 
complexos, e são sempre baseados na forma geral das equações de balanço. Assim, 
para a matéria:
Taxa de Entrada de
Mat ria no sistema
Taxa de Sa da de
Mat riaé
í
é
�
�
�
�
�
�
�
nno sistema
Taxa de Ac mulo de
Mat ria no sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ú
é
Sistemas
Vamos começar por um exemplo: considere um tanque contendo 100 kg de água, 
como o da figura a seguir:
100 kg H2O
Figura 2 - Sistema fechado
Fonte: os autores.
28 Introdução aos Fenômenos de Transporte
No contexto da engenharia, é comum o uso da palavra “sistema” para se referir a uma 
parte arbitrária do processo que você deseja analisar. Dessa forma, nosso sistema, aqui, 
coincide com o próprio tanque. É também usual se referir às “fronteiras do sistema”, 
linhas imaginárias (que podem coincidir com partes dos equipamentos e processos) 
que dãoforma ao seu sistema.
Ainda, um sistema pode ser dito aberto ou fechado: aberto, se existe matéria 
entrando ou saindo do sistema; fechado, se a matéria não entra nem sai do sistema. 
Nosso tanque é, portanto, um sistema fechado.
Nesse caso, se aplicarmos a equação de balanço material para nosso sistema, 
teremos:
0 0 0� �
Este resultado é, evidentemente, uma conclusão lógica simples. Se não entra nem sai 
água do tanque, não haverá variação na quantidade de água dentro dele. Em outras 
palavras, a taxa de acúmulo de matéria do sistema é nula.
Agora, suponha que este tanque faz parte de um processo industrial, que despeja 
dentro dele 50 kg de água por hora. Deste mesmo tanque, são também retirados 50 kg 
de água por hora.
100 kg H2O
Fronteira
do sistema
50 kg H2O/h50 kg H2O/h
Figura 3 - Sistema aberto
Fonte: os autores.
Pela definição dada anteriormente, nosso tanque agora é um sistema aberto, pois 
existe matéria cruzando a fronteira do sistema. Ao aplicar novamente a equação de 
balanço material, temos:
50 50 02 2kg H O
h
kg H O
h
� �
Como a vazão de entrada é igual à de saída, o acúmulo de água no sistema ainda é nulo. 
Sistemas nestas condições podem ser chamados de sistemas em estado estacionário.
29UNIDADE 1
Em processos no estado estacionário, parâmetros como temperatura, pressão, 
massa e vazão (entrada ou saída) permanecem constantes. Além disso, o processo 
pode também ser dito contínuo.
Sistema em Estado Estacionário (Regime Permanente): 
• As condições do sistema permanecem inalteradas ao longo do tempo.
• As correntes de entrada e saída permanecem inalteradas com o tempo.
Processo Contínuo: aquele em que a matéria entra ou sai do sistema sem inter-
rupções.
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Na sua maioria, os problemas abordados ao longo desta disciplina serão processos 
contínuos em estado estacionário, por serem naturalmente mais simples e objetivos 
no sentido de aprendizagem. Contudo, é importante observar que, no mundo real, 
não existe processo perfeitamente contínuo ou estacionário – as condições mudam 
ao longo do tempo, às vezes até mesmo por ação de forças que não somos capazes de 
controlar (clima, por exemplo). A natureza é essencialmente dinâmica, e o máximo 
que se pode fazer é se aproximar de uma condição estacionária.
Entretanto, você poderia propor a seguinte situação: e se a taxa de entrada de 
água no tanque fosse reduzida para 20 kg/h? Suponha a seguinte condição inicial 
para o sistema:
100 kg H2O
Fronteira
do sistema
50 kg H2O/h20 kg H2O/h
Figura 4 - Sistema aberto com acúmulo
Fonte: os autores.
30 Introdução aos Fenômenos de Transporte
É fácil concluir que, se sai mais água do que entra, a quantidade de água no tanque 
diminuirá com o tempo. Na equação de balanço:
20 50 302 2 2kg H O
h
kg H O
h
kg H O
h
� � �
Isto é, a taxa de acúmulo de água no sistema é de -30 kg H₂O por hora. Observe que, 
no contexto de balanços materiais, é comum o uso da palavra “acúmulo” tanto para 
valores positivos (que elevariam o nível de água do tanque) quanto negativos (que 
diminuem o nível de água no tanque). Com essa informação, você poderia, então, 
responder a seguinte pergunta: quanto tempo levará até que a quantidade de água 
no interior do tanque seja de 40 kg?
Vamos começar identificando a variação de água no interior do tanque:
Quantidade Final de
gua no tanque
Quantidade Inicial de
gá á
�
�
�
�
�
�
�
uua no tanque
Quantidade de gua que
 entra ou sai do s
�
�
�
�
�
�
�
á
iistema
�
�
�
�
�
�
40 100 602 2 2kg H O kg H O kg H O� � �
Para atingir uma quantidade de 40 kg de água dentro do tanque, deve-se retirar 60 kg. 
Por definição, temos que:
Vaz o M ssica Massa
Tempo
ã á =
Observe que a taxa de acúmulo de água do sistema é, evidentemente, uma vazão, pois 
tem dimensões de massa por tempo (estudaremos mais detalhadamente o conceito 
de vazão na Unidade 4). Podemos, portanto, aplicar a equação da seguinte forma:
-30 kg H O - 60 kg H O
Tempo
2 2
h
=
Tempo
kg H O
kg H O
2
2
�
�
�
60
30
h
Tempo = 2 h 
Evidentemente, não é absurdo chegar a esta conclusão sem fazer quaisquer contas 
no papel. Se existem 100 kg de água dentro de um tanque, do qual são removidos 30 
kg de água por hora (taxa de acúmulo negativa), o tempo necessário para que haja 
apenas 40 kg de água no tanque (remover 60 kg) é de 2 horas. Problemas de balanço 
material são resolvidos de maneira puramente lógica: não se trata de decorar equações, 
mas sim de ter habilidade em analisar o problema e saber como abordá-lo.
31UNIDADE 1
Sistemas como este último, em que a quantidade de água no sistema varia ao longo 
do tempo, podem ser chamados de sistemas em estado não estacionário.
Sistema em Estado Não Estacionário (Regime Transiente ou Variado): 
• Nem todas as condições do sistema permanecem inalteradas ao longo do 
tempo.
• As correntes de entrada e saída podem variar com o tempo.
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Agora que você compreende os princípios dos balanços materiais, iremos aprimorar 
as suas capacidades analíticas estudando processos mais complexos, com múltiplos 
componentes, etapas e correntes de processo.
Sistemas com Múltiplos Componentes
Imagine que estamos trabalhando com uma solução com concentração de 50% em 
massa de soda cáustica (NaOH em H₂O). Isto significa que em 1000 kg de solução 
há 500 kg de soda e 500 kg de água. Uma corrente de processo entra em um tanque, 
enquanto outra sai deste mesmo tanque, como na figura a seguir:
1000 kg
solução
Fronteira
do sistema
100 kg solução/h100 kg solução/h
Comp.
Água
Soda
Fração Más.
0,50
0,50
Comp.
Água
Soda
Fração Más.
0,50
0,50
Figura 5 - Sistema aberto de balanço multicomponente
Fonte: os autores.
32 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Observe que se trata de um sistema aberto em regime estacionário. Poderíamos 
analisar o sistema da seguinte forma:
• Dentro do tanque: 1000 kg de solução
• 500 kg de água + 500 kg de soda
• Entra no tanque: 100 kg de solução por hora
• 50 kg de água por hora + 50 kg de soda por hora
• Sai do tanque: 100 kg de solução por hora
• 50 kg de água por hora + 50 kg de soda por hora
É importante evidenciar estas informações, pois quando trabalharmos com múltiplos 
componentes, abordaremos os balanços materiais por duas perspectivas: o balanço 
global e os balanços por componente.
O balanço global considera inteiramente todas as correntes que entram e saem 
do sistema. Dessa forma, na equação:
Taxa de Entrada de
Mat ria no sistema
Taxa de Sa da de
Mat riaé
í
é
�
�
�
�
�
�
�
nno sistema
Taxa de Ac mulo de
Mat ria no sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ú
é
100 kg solu o 100 kg solu o 0çã
h
çã
h
� �
Evidentemente, estando em estado estacionário, a taxa de acúmulo é nula (a massa 
de solução dentro do tanque permanece a mesma ao longo do tempo).
O balanço por componente, por outro lado, considera apenas o componente em análise 
para todas as correntes. Por exemplo, fazendo o balanço material para a água, teremos:
Taxa de Entrada de
Água no sistema
Taxa de Saída de
Água no sist
�
�
�
�
�
�
�
eema
ú
Água no sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Taxa de Ac mulo de
50 50 0kg água
h
kg água
h
� �
Da mesma forma, para a soda:
Taxa de Entrada de
Soda no sistema Soda no sist
�
�
�
�
�
�
�
Taxa de Saída de
eema Soda no sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Taxa de Acúmulo de
50 kg soda 50 kg soda 0
h h
� �
Este é um raciocínio bastante valioso para solucionar problemas de balanço material. 
Observe o exemplo a seguir, em que passamos a trabalhar com mais de um compo-
nente e mais de duas correntes.
33UNIDADE 1
Em certa etapa de um processo industrial de balas e biscoitos, duas correntes contendo 
uma solução de açúcar (sacarose) em água devem ser misturadas. Para isto, elas são 
despejadas em um tanque de mistura que apresenta uma única saída, conforme mostra 
a figura a seguir. Conhecendo as correntes de entrada, admitindo que a mistura seja 
homogênea e que o processo operaem regime estacionário, qual a fração mássica de 
sacarose na corrente de saída?
30 kg solução/min 50 kg solução/min
15% Sacarose
85% Água
SAÍDA
A B
C
40% Sacarose
60% Água
Solução: 
Como conhecemos as correntes de entrada, podemos descrevê-las da seguinte ma-
neira:
• Corrente A: 30 kg solução/min
• 12 kg sacarose/min + 18 kg água/min
• Corrente B: 50 kg solução/min
• 7,5 kg sacarose/min + 42,5 kg água/min
Podemos, então, fazer o balanço global:
Entradas de
Solu o no sistema
Sa as de
Solu o no sistemaçã
íd
çã
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Ac mulo de
Solu no sistema
ú
ção
As entradas são as correntes A e B, enquanto a única saída é a corrente C, e não há 
acúmulo no sistema (regime estacionário). Dessa forma:
5 EXEMPLO
34 Introdução aos Fenômenos de Transporte
A B C� �- 0
30
min
 + 50
min
 - C = 0kg solução kg solução
C kg solução= 80
min
Agora, fazendo o balanço material para a sacarose:
Sacarose em A + Sacarose em B - Sacarose em C = 0
Sendo xsac,i a fração mássica de sacarose na corrente “i”, podemos escrever esta equação 
da seguinte forma:
x A x B x Csac A sac B sac C, , ,. . - .� � 0
0,40 kg sacarose 30
min
+0,15 kg sacarose
kg solução
kg solução
kg soluçção
kg solução x50
min
 - . C = 0sac,C
x Csac C, . , ,� � �12
kg sacarose
min
kg sacarose
min
kg sacarose
mi
7 5 19 5
nn
Como já calculamos o valor da vazão mássica da corrente C, temos que:
x
kg soluçãosac C,
,=19 5
80
kg sacarose
min
min
 
x
kg soluçãosac C,
,= 0 2437 kg sacarose
 
Isto é, a concentração de sacarose na corrente de saída é de 24,37% em massa. Note 
que, sem fazer o balanço material para a água, podemos concluir que a fração mássica 
de água na corrente de saída é de 75,625% – afinal, estamos trabalhando apenas com 
açúcar e água. Esta ideia tem fundamento no conceito de “graus de liberdade”, que 
talvez você se lembre das suas disciplinas de álgebra linear. Exploraremos esta ideia 
melhor no tópico seguinte, em que será desenvolvida uma estratégia para solucionar 
problemas de balanço material.
35UNIDADE 1
Como já mencionado, não trataremos situações envolvendo reações químicas 
no escopo deste material. Contudo, é importante observar que, nesses casos, os 
balanços por componente ficam mais complexos, uma vez que o componente que 
entra não, necessariamente, sai com a mesma forma – eles podem ser “consumi-
dos”, enquanto novas espécies químicas podem ser “geradas”.
Estratégias para Resolução de Problemas
Himmelblau e Riggs (2003) sugerem uma estratégia de 10 passos para a resolução 
de problemas de balanço material:
1. Leia e entenda o problema em questão.
2. Faça um esboço do processo e especifique a fronteira do sistema.
3. Anote todas as informações conhecidas no seu diagrama do processo, como 
vazões, composições e outras relações úteis. Atribua símbolos para os valores 
que você não conhecer.
4. Obtenha quaisquer informações necessárias para solucionar o problema que 
esteja faltando.
5. Adote uma base de cálculo (arbitrária), se necessário.
6. Determine o número de variáveis desconhecidas.
7. Determine o número de equações independentes e analise os graus de liber-
dade do problema.
8. Escreva as equações a serem resolvidas em termos das variáveis conhecidas 
e desconhecidas.
9. Resolva as equações e responda o que foi solicitado pelo problema.
10. Confira suas respostas.
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
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36 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Na prática, você não é obrigado a seguir estes passos à risca nem os decorar, mas 
abordar os problemas de maneira ordenada e analítica ajuda a identificar possíveis 
pontos fracos, aprimorando suas habilidades de interpretação e resolução. Faremos, 
agora, um exemplo com uma complexidade maior aplicando esta estratégia.
Duas correntes de processo, F1 e F2, são misturadas. A corrente resultante (W) é então 
direcionada para uma segunda etapa, que visa a purificação de um dos componentes, 
obtendo, assim, duas correntes de produto, P1 e P2. Conhecendo as informações a 
seguir, qual a vazão e a composição da corrente F1? As composições estão dadas em 
quantidades mássicas.
• Corrente F2:
• Vazão: metade de F1
• Composição: 80% A, 20% B
• Corrente P1:
• Vazão: 1200 kg/h
• Composição: 60% A, 40% B
• Corrente P2:
• Vazão: 300 kg/h
• Composição: 5% B, 95% C
Solução: 
Passo 1: o problema é simples – conhecemos as saídas, queremos conhecer as entra-
das. Estamos trabalhando com três componentes (A, B e C), cinco correntes (F1, F2, 
W, P1 e P2) e duas etapas (E1 e E2). A etapa E1 une as correntes F1 e F2, formando a 
corrente W. Em seguida, a etapa E2 separa a corrente W nas correntes P1 e P2.
Passo 2: esboços podem, geralmente, ser feitos de forma bastante simples por meio de 
diagramas de blocos, em que as setas são as correntes de processo e os blocos são as etapas.
E1
F1
W
P1
F2 P2
E2
6 EXEMPLO
37UNIDADE 1
Quanto à fronteira do sistema, note que esta pode ser estabelecida de três diferentes 
formas: apenas o sistema 1, ou apenas o sistema 2, ou então analisar o processo de 
forma global. Veja o esquema a seguir:
E1
F1 P1
F2
Fronteira do
Sistema 1
Fronteira do
Sistema Global
Fronteira do
Sistema 2
P2
E2
W
• Fronteira do Sistema 1: 
• Correntes de entrada: F1 e F2
• Corrente de saída: W
• Fronteira do Sistema 2: 
• Corrente de entrada: W
• Correntes de saída: P1 e P2
• Fronteira do Sistema Global: 
• Correntes de entrada: F1 e F2
• Corrente de saída: P1 e P2
Note que a escolha de um sistema não invalida o outro – muito pelo contrário, talvez 
seja necessário estabelecer diferentes fronteiras até se obter os resultados procurados, 
os quais devem validar todos os sistemas possíveis de serem estabelecidos. Do con-
trário, o princípio da conservação da massa não seria obedecido, indicando alguma 
falha ou ineficiência do processo.
Passo 3: adicionamos os valores conhecidos ao esboço.
E1
F1 = ?
xA, F1 = ?
xB, F1 = ?
xC, F1 = ?
F2 = F1/2
xA, F2 = 80%
xB, F2 = 20%
W = ?
xA, W = ?
xB, W = ?
xC, W = ?
P1 = 1200 kg/h
xA, P1 = 60%
xB, P1 = 40%
P2 = 300 kg/h
xB, P2 = 5%
xC, P2 = 95%
E2
38 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Passo 4: a princípio, nenhuma informação parece faltar, pois não estamos preocu-
pados com quem são os componentes A, B ou C, nem com o que são, na prática, as 
etapas E1 e E2. Estamos preocupados apenas com valores de vazão e composição, 
então estas informações deverão ser suficientes.
Passo 5: como o problema já nos forneceu valores de vazão, não precisamos adotar 
uma base de cálculo. Caso o enunciado fosse “a vazão de P1 é quatro vezes a de P2”, 
poderíamos adotar um valor arbitrário para a vazão P2, e com ela chegaríamos às 
mesmas composições em todas as correntes. Contudo, a vazão de F1 mudaria para 
cada base de cálculo adotada.
Passo 6: nossas variáveis desconhecidas são as vazões e composições das correntes 
F1 e W, totalizando 8 variáveis desconhecidas.
Passo 7: para determinar o número de equações independentes, faremos os balanços 
nos sistemas e usaremos as relações fornecidas. Uma informação que facilita a análise 
é que, ao escrever as equações dos balanços para cada componente, uma delas sempre 
será dependente das demais.
• Na etapa E1:
F F W
x F x F x W
x F x F x W
x
A F A F AW
B F B F B W
C
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
,
. . .
. . .
FF C F C W
A F B F C F
AW BW C W
F x F x W
x x x
x x x
1 2
1 1 1
1 2
1
1
. . ., ,
, , ,
, , ,
� �
� � �
� � �
Nestas equações, temos as oito variáveis desconhecidas, junto de cinco equações 
independentes. Elas não são, portanto, suficientes para determinarmos todas as 
variáveis desconhecidas.
• Na etapa E2:
W P P
x W x P x P
x W x P x P
x
AW A P A P
B W B P B P
C
� �
� �
� �
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
, , ,
, , ,
,
. . .
. . .
WW C P C P
AW BW C W
W x P x P
x x x
. . ., ,
, , ,
� �
� � �
1 21 2
1
Aqui, temos quatro das variáveis desconhecidas (referentes à correnteW), junto de 
quatro equações independentes. Como nosso número de equações é igual ao número 
de incógnitas, o sistema é possível e determinado (graus de liberdade iguais a zero).
39UNIDADE 1
• Global:
F F P P
x F x F x P x P
x F x
A F A F A P A P
B F B
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1 2 1 2
1
� � �
� � �
�
, , , ,
, ,
. . . .
. FF B P B P
C F C F C P C P
F x P x P
x F x F x P x P
2 1 2
1 2 1 2
2 1 2
1 2 1
. . .
. . . .
, ,
, , , ,
� �
� � � 22
11 1 1x x xA F B F C F, , ,� � �
Observe que, para o balanço global, todas as variáveis referentes à corrente interme-
diária W não estão presentes. Temos apenas as quatro variáveis desconhecidas para a 
corrente F1, junto de quatro equações independentes. Isto é, como o problema solicita 
apenas a caracterização da corrente F1, podemos utilizar este sistema para que não 
precisemos trabalhar com a corrente intermediária W.
Passo 8: usando as equações para o sistema global (exceto uma das equações de ba-
lanço por componentes, por ser dependente das demais) e substituindo as variáveis 
conhecidas.
F F1 1
2
1200 300
x F FA F 1 0 80
1
2
0 60 1200 0 00 3001, . , . , . , .
x FB F1, . 11 0 20
1
2
0 40 1200 0 05 300, . , . , .F
11 1 1, , ,x x xA F B F C F
Passo 9: simplificando e resolvendo as equações, chegamos aos valores solicitados 
pelo problema – vazão e composições da corrente F1.
3
2
1 1500 1 1000
0 40 1 720
0 40 1000
1
1
F F kg h
x F
x
A F
A F
� � �
� �
� �
/
( , ) .
( , ) .
,
, 7720 0 320
0 10 1 495
0 10 1000 495
1
1
1
� �
� �
� � �
x
x F
x x
A F
B F
B F
,
,
,
,
( , ) .
( , ) . BB F
C F A F B F
C F C F
X X X
X X
,
, , ,
, ,
,
, , ,
1
1 1 1
1 1
0 395
1
1 0 32 0 395 0 2
�
� � �
� � � � � 885
40 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Passo 10: podemos conferir o resultado com a equação de balanço para o compo-
nente C, que não utilizamos.
x F x F x P x PC F C F C P C P, , , ,. . . .
, . . .
1 2 1 21 2 1 2
0 285 1000 0 1000
2
0 12
� � �
� � 000 0 95 300
285 285
�
�
, .
Note que o fato de o componente C estar presente somente em uma corrente de 
entrada e uma corrente de saída (no sistema global) facilita consideravelmente o 
problema, pois tudo o que estava saindo de C na corrente P2 estava entrando no 
sistema por meio da corrente F1.
Para praticar, você pode retornar aos balanços por etapas e caracterizar a corrente 
W. Conseguiu chegar aos seguintes resultados: vazão de 1500 kg/h, sendo 48% A, 
33% B e 19% C?
Reciclo, Bypass e Purga
Neste tópico final, abordaremos brevemente três aspectos importantes quando tra-
tamos dos balanços materiais em termos de aplicação industrial. Essencialmente, são 
manobras realizadas nas correntes de processo que permitem seu funcionamento 
de maneira eficiente, contínua e controlável. Os balanços materiais entram com o 
papel de mensurar estas manobras e passam a ter um nível de complexidade maior.
Reciclo: corrente do processo que é alimentada em uma etapa anterior àquela que 
a originou (veja Figura 6).
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Processo 1Alimentação
Reciclo
Processo 2 Produto
Figura 6 - Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo reciclo
Fonte: os autores.
41UNIDADE 1
Em processos envolvendo reação química, o uso de reciclo pode aumentar a conver-
são alcançada pelos reatores, retornando os reagentes não consumidos ao processo 
e garantindo que eles sejam transformados no produto desejado. Em operações de 
separação, como destilação ou filtração, o reciclo pode ser utilizado com uma ideia 
semelhante: aumentar a eficiência do processo e servir para manter alguma corrente 
dentro das suas especificações. 
Vejamos, a seguir, um exemplo de operação com uso de reciclos.
Deseja-se concentrar uma corrente (F) contendo uma solução de 10% Hidróxido de 
Sódio (NaOH) em água por meio de um processo integrado de evaporação, cristaliza-
ção e filtragem. Para atingir maior eficiência no processo, a corrente líquida que passa 
pelo filtro é retornada na forma de reciclo (R). O diagrama a seguir ilustra o processo 
e apresenta as concentrações em cada corrente. Qual a razão entre as vazões R e P?
Processo
AF
10% NaOH
90% H2O
P
96% NaOH
4% H2O
R
50% NaOH
50% H2O
E
30% NaOH
70% H2O
W
100% H2O
Passos 1, 2, 3 e 4: o diagrama fornecido pelo problema já é o resultado dos primeiros 
passos.
Passo 5: por praticidade ao trabalhar com porcentagens, adotaremos a base de cál-
culo de F = 100 kg/h.
Passo 6: nossas variáveis desconhecidas são as vazões P, R, E e W.
Passo 7: mais de um sistema pode ser avaliado. Aqui, faremos em dois deles: no ponto 
em que o reciclo é adicionado à alimentação (ponto A) e o global.
Passo 8: assim, teremos as seguintes equações:
7 EXEMPLO
42 Introdução aos Fenômenos de Transporte
• No ponto A:
F R E
x F x R x E
x F x R x
NaOH F NaOH R NaOH E
H O F H O R H O E
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. .
2 2 2
.. E
• Global:
F P W
x F x P x W
x F x P x
NaOH F NaOH P NaOH W
H O F H O P H OW
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. .
2 2 2
..W
Em ambos os casos, temos duas variáveis desconhecidas e duas equações indepen-
dentes. Portanto, temos graus de liberdade zero em ambas.
Passo 9: resolvendo as equações, chegamos nas respostas desejadas.
• No ponto A:
F R E
R E R E
x F x R x ENaOH F NaOH R NaOH E
� �
� � � � �
� �
�
100 100
0 10 100
, , ,. . .
, . 00 50 0 30
10 0 50 100 0 30
10 0 50 50 0 30
20
, . , .
, . ( ) , .
, , .
R E
E E
E E
E
�
� � �
� � �
� 00 100kg h R kg h/ /� �
Utilizando só o balanço por componente do hidróxido de sódio no ponto A foi 
suficiente para encontrar uma das variáveis desejadas (R). Caso tivéssemos usado 
o balanço por componente da água, chegaríamos no mesmo resultado. Se quiser, 
pode conferir. Aliás, você já deve ter percebido que este é um assunto que demanda 
curiosidade e exercita o raciocínio lógico. 
• Global:
F P W
P W
x F x P x W
P
NaOH F NaOH P NaOH W
� �
� �
� �
� �
100
0 10 100 0 96 0
, , ,. . .
, . , . ..
, / , /
W
P kg h W kg h� � �10 42 89 58
43UNIDADE 1
Assim:
R
P
kg h
kg h
� �
100
10 42
9 60/
, /
,
Passo 10: podemos conferir os resultados obtidos verificando as duas equações 
dependentes não utilizadas.
x F x R x EH O F H O R H O E2 2 2
0 90 100 0 50 100 0 70 200
140 14
, , ,. . .
, . . . , .
� �
� �
� 00
0 90 100 0 04 10 42 1 00 89 58
2 2 2
x F x P x WH O F H O P H OW, , ,. . .
, . , . , , . ,
� �
� �
990 90�
Um exercício interessante é repetir este balanço, mas sem a utilização de um reciclo: se 
quiséssemos obter exatamente o mesmo produto P (em vazão e composição), consi-
derando que a razão R/P é mantida (R/P ≈ 9,60), qual seria a alimentação necessária?
Processo
F
10% NaOH
90% H2O P = 10,42 kg/h
96% NaOH
4% H2O
R
50% NaOH
50% H2O
R/P ≈ 9,60
W
100% H2O
Temos o balanço material global e por componente:
F W R P
x F x W x R x P
x F x
NaOH F NaOH W NaOH R NaOH P
H O F H
� � �
� � �
�
, , , ,
,
. . . .
.
2 2OOW H O R H O PW x R x P, , ,. . .� �2 2
44 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Resolvendo as duas primeiras equações com os valores conhecidos, e utilizando a 
relação R/P ≈ 9,60:
F W R P
F W P P
F W F W
x F xNaOH F N
� � �
� � �
� � � � �
�
9 60
10 60 10 42 110 452
, .
, . , ,
., aaOH W NaOH R NaOH PW x R x P
F W P P
, , ,. . .
, . . , . , . , .
� �
� � �0 10 0 0 50 9 60 0 96
0,, . , . , . ,
, / , /
10 5 76 0 10 60 0192
600 192 489 74
10
F P F
F kg h W kg h
R
� � �
� � �
� 00 032, /kg h
Como você pode observar, para obter a mesma quantidade de produto, o processo 
sem reciclo exigiria uma alimentação seis vezes maior devido às perdas pela corrente 
R, que não foi reaproveitada. A indústria sempre irá buscar minimizar o desperdício.
Bypass: corrente do processo que pula uma ou mais etapas de um processo, 
unindo-se novamente em um estágio posterior. Pode ser usada, por exemplo, para 
controlar a composição de saída de uma etapa (Figura 7).
Purga: corrente retirada do processo com o objetivo de remover inertes (substân-
ciasque não reagem quimicamente) e materiais indesejados, os quais poderiam 
se acumular no sistema pelo uso de correntes de reciclo (Figura 8).
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Bypass
ProcessoAlimentação Produto
Figura 7 - Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo bypass
Fonte: os autores.
45UNIDADE 1
ProcessoAlimentação
Reciclo
Separador Produto
Purga
Figura 8 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo bypass
Fonte: os autores.
Certo processo industrial é alimentado por uma corrente composta de 30% compo-
nente X e 70% componente Y. O processo é responsável por remover apenas com-
ponente Y, e a corrente de saída precisa sair com 80% de X e 20% de Y para atender 
às especificações de operação dos equipamentos. Contudo, um cliente solicita um 
produto contendo 60% X e 40% Y. Para atender a este pedido, o engenheiro de pro-
cessos sugere o uso de uma corrente de bypass, conforme o diagrama a seguir. Calcule 
a razão entre as vazões B e F que deve ser utilizada para atender ao pedido.
B
E
Processo
F
30% X
70% Y
P
60% X
40% YS
80% X
20% Y
W
100% Y
1 2
Solução:
Passos 1, 2, 3 e 4: o diagrama apresentado contém as informações necessárias. 
Observe que, no ponto 1, a corrente de alimentação se divide entre as correntes B e 
E – esta divisão é puramente física, ou seja, presume-se que as composições são as 
mesmas em ambas as correntes, diferenciando apenas em suas vazões. No ponto 2, 
a corrente de bypass retorna unindo-se à saída do processo (corrente S), formando 
o produto P na composição desejada.
Passo 5: adotaremos a base de cálculo de F = 100 kg/h.
Passo 6: como definimos um valor para F, as variáveis desconhecidas são agora as 
vazões B, E, W, S e P.
8 EXEMPLO
46 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Passo 7: os quatro principais sistemas que devemos prestar atenção são os pontos 1 
e 2, o processo e o sistema global.
Para o sistema global, temos as seguintes equações:
F P W
x F x P x W
x F x P x W
X F X P X W
Y F Y P Y W
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
Aqui temos duas variáveis desconhecidas e duas equações independentes. Dessa 
forma, conseguiremos determinar os valores de vazão para P e W.
Conhecido o valor de P, faz sentido analisar o ponto 2 como segundo sistema. 
Para ele, temos as equações:
B S P
x B x S x P
x B x S x P
X B X S X P
Y B Y S Y P
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
Portanto, teremos apenas duas variáveis desconhecidas (B e S) e duas equações 
independentes. Com isso, podemos determinar B e calcular a resposta pedida pelo 
problema. Traçar a estratégia correta para a resolução de um balanço é uma questão 
clássica para o engenheiro na indústria.
Passos 8 e 9: como proposto, vamos começar resolvendo as equações do sistema global.
F P W
P W
x F x P x W
P W
P
X F X P X W
� �
� �
� �
� �
�
100
0 30 100 0 60 0 00
50
, , ,. . .
, . , . , .
kkg h W kg h/ /� � 50
Agora, para as equações do ponto 2:
B S P
B S B S
x B x S x P
B S
X B X S X P
� �
� � � � �
� �
� �
50 50
0 30 0 80 0 60 5
, , ,. . .
, . , . , . 00
0 30 50 0 80 30
15 0 30 0 80 30
0 50 15
30
, . ( ) , .
, . , .
, .
/
� � �
� � �
�
�
S S
S S
S
S kg hh B kg h� � 20 /
Portando, a razão B/F = 0,20.
47UNIDADE 1
Passo 10: apesar de não ser de extrema necessidade, você poderia conferir o seu 
resultado verificando que os valores obtidos são válidos para calcular a vazão da 
corrente E (80 kg/h). Em seguida, ao fazer o balanço no processo, você observará 
que as equações são válidas.
Certo processo para a formação de água a partir dos gases hidrogênio (H2) e oxigênio 
(O2) foi implantado. Uma corrente (F), contendo ambos os componentes, é alimentada 
a um reator. Em seguida, a corrente de saída passa por um condensador, que remove 
água líquida do processo como produto.
Para evitar a perda de material, procurou-se utilizar os gases remanescentes (que 
não reagiram) como uma corrente de reciclo do processo. Contudo, ao testar a nova 
configuração, observou-se que os níveis de argônio (Ar) – que é um gás inerte – no 
processo começaram a subir. Isto aconteceu porque a corrente contendo hidrogênio 
e oxigênio apresentava, também, baixos traços do gás. Como forma de solucionar o 
problema, você, engenheiro de processos, sugere utilizar uma corrente de purga (P). 
Considerando o diagrama a seguir, qual deve ser a razão entre as vazões P e F, se a 
concentração de argônio na corrente de reciclo não pode ser superior a 7,5%?
F
99,7% H2 e O2
0,3% Ar
92,5% H2 e O2
7,5% Ar
Reciclo
CondensadorReator W
100% Água
P
Passos 1 a 4: o diagrama nos fornece todas as informações necessárias para analisar 
o problema. Note que, apesar de envolver um reator, o problema não está preocupado 
com a reação química, de modo que ela não será necessária. Além disso, é importante 
observar que o reciclo possui a mesma composição da purga, apesar de não estar 
especificado.
Passo 5: como estamos interessados principalmente nas correntes F e P, definiremos 
como base de cálculo o valor de F = 100 kg/h.
Passo 6: observe que os dados fornecidos são, essencialmente, as composições de 
entrada e saída do sistema global. Portanto, intuitivamente, parece fazer sentido 
analisá-lo. Assim, temos duas variáveis desconhecidas: P e W.
9 EXEMPLO
48 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Passo 7: note que não conhecemos as composições de H2 e O2 separadamente. 
Contudo, se fizermos o balanço global e o balanço por componente para o argônio, 
teremos duas equações independentes:
F P W
x F x P x WAr F Ar P Ar W
� �
� �, , ,. . .
Logo, se temos duas equações independentes e duas variáveis desconhecidas, a solução 
do nosso problema é possível e determinada (grau de liberdade = 0).
Passos 8, 9 e 10: substituindo os valores conhecidos e resolvendo as duas equações 
do balanço global, podemos calcular o valor pedido pelo problema.
100
0 003 100 0 075 0 000
4 96
4
100
0
� �
� �
� � �
� �
P W
P W
P kg h W kg h
P
F
, . , . , .
/ /
,004 4� %
Isto é, para manter a concentração de argônio no reciclo igual a 7,5%, deve-se purgar 
uma vazão equivalente a 4% da vazão de alimentação.
Com isso, terminamos nossa introdução aos balanços materiais. Como você 
pode ter notado, apesar de não demandarem cálculos sofisticados, os balanços de 
massa trabalham fortes habilidades de interpretação do problema, análise crítica e 
organização. Aprimorar estas qualidades facilitará o seu estudo dos fenômenos de 
transporte, que começaremos propriamente na unidade a seguir.
49
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Um processo precisa produzir 300 libras de uma solução a 10% em massa de 
cloreto de potássio (KCl) em água. Para isso, deve-se misturar uma solução a 0,9% 
do sal e o próprio sal puro seco. Quais devem ser as quantidades misturadas? 
Apresente a resposta em quilogramas (1 kg ≈ 2,205 lb).
2. Deseja-se produzir 1000 kg/h de uma solução de soda cáustica, com concentra-
ção molar de 14,89%. Devido ao alto calor de dissolução da soda em água, este 
processo deve ser feito em duas etapas, de modo que parte da água alimentada 
siga por uma corrente de bypass e retorne no tanque de diluição. Considerando 
o diagrama a seguir, calcule a razão entre as vazões mássicas das correntes E 
e B. As porcentagens são todas molares. Considere que MMNaOH = 40 g/mol, 
MMH2O = 18 g/mol.
Tanque de
Dissolução
Tanque de
Diluição
B = ?
Água de
Alimentação
Soda Cáustica
Solução Produto
P = 1000 kg/h
14,89% NaOH
31,03%
NaOH
S = ?
100% NaOH
F = ?
100% H2O
E = ?
50
3. A dessalinização da água do mar e de águas salobras é comum em países de-
sérticos ou com pouca disponibilidade de água potável, como no Oriente Médio 
e na África. A dessalinização de água pode ser realizada por meio de processos 
de osmose reversa. Admitindo que estão presentes apenas sal e água e consi-
derando a figura a seguir, determine:
a) A vazão de água do mar necessária para alimentar o processo (F).
b) A vazão de salmoura removida(W).
c) A porcentagem da salmoura que sai das células de osmose reversa e é reciclada.
Células de
Osmose
Reversa
Reciclo de Salmoura
R = ?
Água do Mar Salmoura Removida
W = ?
5,25% Sal
S
Água Dessalinizada
P = 2000 kg/h
0,05% Sal
F = ?
3,1% Sal
E
4,0% Sal
51
Engenharia Química – Princípios e Cálculos 8ª Edição
Autor: David M. Himmelblau e James B. Riggs
Editora: LTC Editora – GEN | Grupo Editorial Nacional
Sinopse: uma obra consagrada pela excelente fundamentação de habilidades 
e conhecimentos básicos no contexto da engenharia química. Seu principal 
objeto de estudo são os balanços de massa e de energia, mas trata também da 
descrição de gases, vapores, líquidos e sólidos e diagramas de fases.
Comentário: as duas primeiras partes deste livro abordam os assuntos desta 
primeira unidade de maneira bastante extensiva, com vários exemplos aplicados. 
Além disso, são trabalhados os balanços materiais envolvendo reações quími-
cas, caso o aluno tenha a curiosidade e deseje aprender mais sobre processos 
químicos industriais.
LIVRO
52
HAUKE, G. An introduction to fluid mechanics and transport phenomena. 1. ed. Holanda: Springer 
Netherlands, 2008. 
HIMMELBLAU, D. M.; RIGGS, J. B. Engenharia química – princípios e cálculos. 7. ed. São Paulo: Editora 
LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2003. 
PARTINGTON, J. R. Antoine Laurent Lavoisier, 1743-1794. Nature, [S.l.], v. 152, p. 207-208, ago. 1943.
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de 
Massa. 6. ed. São Paulo: Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2017. 
53
1. O processo descrito pode ser resumido pelo diagrama:
M
100% KCI
P = 300 lb
10% KCI
90% H2O
F
0,9% KCI
99,1% H2O
Fazendo o balanço do processo, temos as equações:
F M P
x F x M x P
x F x M x P
KCl F KCl M KCl P
H O F H O M H O P
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
2 2 2
Temos duas variáveis desconhecidas e duas equações independentes. Substituindo os valores conhecidos e 
resolvendo as equações:
F M M F
F M
F F
� � � � �
� �
� � �
300 300
0 009 1 0 10 300
0 009 300 30
0 991
, . . , .
, . ( )
, ..
, ,
F
F lb M lb
�
� � �
270
272 45 27 55
Por fim, convertendo os resultados em quilogramas:
F lb kg
lb
kg
M lb kg
lb
kg
� �
� �
272 45 1
2 205
123 56
27 55 1
2 205
12 49
,
,
,
,
,
,
54
2. O diagrama contém todas as informações que conhecemos sobre o problema. Contudo, as composições 
das correntes de solução foram dadas em frações molares. Como estamos mais interessados em trabalhar 
com valores mássicos, calcularemos inicialmente as composições mássicas.
Para a corrente P, temos, em base molar, 14,89% NaOH e, portanto, 85,11% H2O. Assumindo a base de cálculo 
de 100 mol de solução P, podemos calcular a massa molar da solução P da seguinte forma:
MM n MM n MM n MM n MM
n n n nmistura
n n n n
n n
�
� � � �
� � � �
� �
�
1 1 2 2 1 1
1 2 1
...
...
MMM
n MM n MM
molP
NaOH NaOH H O H O�
�
2 2
100
Veja que, como conhecemos a composição molar para a base de cálculo empregada, teremos 14,89 mols de 
NaOH e 85,11 mols de H2O:
MM
mol MM mol MM
molP
NaOH H O�
�14 89 85 11
100
2
, . , .
Substituindo as massas molares:
MM
mol g
mol
mol g
mol
mol
MM g mol
P
P
�
�
�
14 89 40 85 11 40
100
21 2758
, . , .
, /
Este valor pode ser utilizado para converter a vazão mássica em molar:
P P
MM
kg
h
mol
g
mol
hmolar
mássica
P
� � �
1000
1
1
21 2758
47000
,
55
Como conhecemos as frações molares, temos as seguintes vazões por componente na corrente de produto:
P mol
h
mol
h
P
NaOH molar
H O molar
,
,
, .
, .
� �
�
0 1489 47000 7000
0 8511 470
2
000 40000mol
h
mol
h
�
Convertendo estes valores em vazões mássicas:
P mol
h
g
mol
kg
h
P mol
h
NaOH mássica
H O mássica
,
,
.= =
=
7000 40 280
40000
2
..18 720g
mol
kg
h
=
Isto é, a corrente de produto P possui 28% NaOH e 72% H2O em massa. Agora, podemos fazer o balanço no 
sistema global, em termos das vazões mássicas:
F S P
x F x S x P
x F x S x
NaOH F NaOH S NaOH P
H O F H O S H O P
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. .
2 2 2
.. P
Temos duas incógnitas (F e S) e duas equações independentes. Além disso, como F e S são correntes puras, a 
solução é bastante simples:
0 1 0 28 1000
280
1 0 0 72 1000
720
. . , .
/
. . , .
/
F S
S kg h
F S
F kg h
� �
�
� �
�
56
Agora, como conhecemos F, podemos fazer o balanço no tanque de dissolução, do qual sai a corrente interme-
diária I. Como não se sabe a composição e vazão mássica desta corrente, faz-se o balanço material em termos 
molares. Teremos o sistema:
E S I
X E X S X I
X E X S X
NaOH E NaOH S NaOH I
H O E H O S H O I
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. .
2 2 2
.. I
Podemos calcular a vazão molar de S:
S kg
h
mol
g
mol
h
= =280
40
7000
Substituindo os valores conhecidos nas duas primeiras equações do sistema, temos:
E I
E I
I I mol
h
E I
� �
� �
� � �
�
7000
0 1 7000 0 3103
7000 0 3103 22558 81
. . , .
, . ,
�� � �7000 15558 81E mol
h
,
Observe que também podemos calcular a vazão mássica de E, por ser uma corrente de água pura:
E mol
h
g
mol
kg
h
� �15558 81 18 280,
Fazendo o balanço no ponto em que a corrente F se divide, temos:
F B E
kg
h
B kg
h
B kg
h
� �
� �
�
720 280
440
57
Assim, podemos enfim calcular a razão pedida pelo problema:
E
B
� �
280
440
63 63, %
3. O diagrama nos fornece todas as composições das correntes e a vazão de água dessalinizada que deve ser 
atingida. Dessa forma, as únicas variáveis desconhecidas são as demais vazões.
Fazendo o balanço global, temos as equações:
F P W
x F x P x W
x F x P x W
Sal F Sal P Sal W
H O F H O P H OW
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
2 2 2
Portanto, temos duas equações independentes e duas variáveis desconhecidas (F e W). Resolvendo estas 
equações com os valores conhecidos, teremos:
F W
F W
W
� �
� �
� � �
2000
0 031 0 0005 2000 0 0525
0 031 2000 1 0 052
, . , . , .
, . ( ) , 55
62 0 031 1 0 0525
2837 21 4837 21
.
, . , .
, / , /
W
W W
W kg h F kg h
� � �
� � �
58
Com isso, chegamos às respostas pedidas nos itens (a) e (b).
Em seguida, para chegar à porcentagem da salmoura que é reciclada, precisamos definir sua vazão. Para isto, 
faremos um balanço no ponto em que o reciclo se une à alimentação do sistema, formando a corrente resul-
tante que entra na célula de osmose (E) com concentração de 4,0% em sal:
F R E
x F x R x E
x F x R x E
Sal F Sal R Sal E
H O F H O R H O E
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
2 2 2
Como agora conhecemos F, temos novamente duas equações independentes e apenas duas variáveis desco-
nhecidas (R e E). Logo:
4837 21
0 031 4837 21 0 0525 0 04
149 95 0 0525 19
,
, . , , . , .
, , .
� �
� �
� �
R E
R E
R 33 49 0 04
3483 2 8320 41
, , .
, / , /
�
� � �
R
R kg h E kg h
Agora, precisamos apenas saber a vazão de saída de salmoura do processo (S). Ela pode ser obtida fazendo 
o balanço nas células de osmose reversa ou, até mesmo, no ponto que se divide entre o reciclo e a salmoura 
removida:
E P S
S
S kg h
S R W
S
S
� �
� �
�
� �
� �
�
8320 41 2000
6320 41
3483 2 2837 21
632
,
, /
, ,
00 41, /kg h
Finalmente, podemos calcular a resposta pedida no terceiro item:
R
S
� �
3483 2
6320 41
55 11,
,
, %
59
60
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Introduzir o estudo da mecânica dos fluidos por meio 
da conceptualização dos fluidos, seguida da definição da 
tensão de cisalhamento.
• Definir os conceitos de viscosidade absoluta (dinâmica), 
massa específica, peso específico e viscosidade cinemática. 
• Estudar a teoria matemática da análise dimensional, apre-
sentando sua aplicação na mecânica dos fluidos e os nú-
meros adimensionais.
Definindo os Fluidos
Propriedades dos Fluidos
Análise Dimensional
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Introdução à Mecânica 
dos Fluidos
Definindo 
os Fluidos
Em suas aulas de física, muito provavelmente, 
você estudou assuntos relacionados aos chama-
dos fluidos, comoo conceito de pressão e a Lei de 
Pascal, por exemplo. No contexto dos fenômenos 
de transporte, a mecânica dos fluidos busca levar 
este estudo adiante, explicando o comportamen-
to físico dos fluidos e as leis que o regem. Ela é, 
portanto, uma ciência fundamental em diversas 
vertentes da engenharia, pois possui aplicação 
prática a muitas situações, como escoamentos em 
tubulações, pressões em barragens, deslocamento 
de fluidos e, até mesmo, aerodinâmica (afinal, o 
próprio ar atmosférico é um fluido).
63UNIDADE 2
Podemos afirmar que a mecânica dos fluidos é uma das ciências básicas mais 
fundamentais para os engenheiros. A palavra “mecânica” remete ao estudo do com-
portamento de sistemas submetidos a uma ou mais forças. A palavra “fluido”, por 
outro lado, pode ser um pouco mais difícil de se definir. Vamos começar por uma 
definição mais elementar: fluido é uma substância que, ao ser colocada em um reci-
piente, assume o formato do recipiente, não possuindo forma própria. Baseado nesta 
definição, podemos, então, concluir que líquidos e gases são fluidos, diferentemente 
dos sólidos, como ilustra a Figura 1:
Superfície livre
LíquidoSólido
Fluidos
Gás
Figura 1 - Comparação entre fluidos e sólidos em um recipiente
Fonte: Brunetti (2008, p. 1).
É importante observar que, enquanto os gases ocupam todo o recipiente, os líquidos 
podem apresentar uma superfície livre caso o recipiente não esteja completamente 
cheio. 
Apesar de esta ser uma definição suficiente para dizer se uma substância é um 
fluido ou não, a mecânica dos fluidos faz mais sentido se partirmos de uma defi-
nição um pouco mais abstrata: fluido é qualquer substância capaz de fluir. Para 
desenvolvermos melhor esta ideia, descreveremos a observação prática chamada de 
“experiência das duas placas”.
Considere um sólido de material qualquer, preso entre duas placas planas, uma 
inferior e uma superior. É então exercida uma força sobre a placa tangencial ao sólido, 
na direção do plano da placa, como na Figura 2a. Mantendo a força constante, o que 
se observa é que o sólido é deformado de maneira angular até certo limite, no qual 
as tensões internas equilibram a força externa aplicada, atingindo uma condição de 
equilíbrio estático (Figura 2b). 
64 Introdução à Mecânica dos Fluidos
(a) (b)
F = ct
te F = ct
te
Figura 2 - Experiência das duas placas para um sólido
Fonte: Brunetti (2008, p. 2).
Dessa forma, podemos dizer que: ao aplicar uma força tangencial constante a um 
sólido, ele se deforma angularmente até atingir uma nova posição de equilíbrio 
estático.
Agora, vejamos o que acontece com um fluido submetido a esta mesma expe-
riência. Imagine que seja possível acompanhar cada unidade de fluido ao longo do 
experimento. Para facilitar a visualização, denominaremos o volume de ABCD, cada 
letra correspondendo a uma extremidade (Figura 3a). 
Ao aplicar a força tangencial à placa superior, ela passa a se deslocar a uma veloci-
dade v. O que se observa é que os pontos do fluido em contato com a placa superior 
(lado AD) adquirem esta mesma velocidade v, enquanto os pontos do fluido em 
contato com a placa inferior (lado BC) ficam parados junto dela (veja a Figura 3b). 
Surge, portanto, o princípio da aderência: quando em contato com uma superfície 
sólida, os pontos de um fluido aderem-se aos pontos desta superfície. 
Dessa forma, se a força tangencial for mantida sobre a placa superior, movendo-a 
à velocidade v, as partículas de fluido em contato também se moverão à velocidade v, 
na mesma direção e sentido. Isto significa que a condição de equilíbrio estático não 
será atingida, de modo que o volume de fluido poderá se deformar continuamente 
(veja a Figura 3c).
(a)
A
B
D
C
(b)
A
B B
D
C
F = ct
te
(c)
A D
C
F = ct
te
Figura 3 - Experiência das duas placas para um fluido
Fonte: Brunetti (2008, p. 2).
65UNIDADE 2
Essa experiência permite, portanto, diferenciar sólidos de fluidos sob a perspectiva da 
mecânica dos fluidos: quando submetidos a forças tangenciais, sólidos se deformam 
limitadamente, enquanto fluidos podem se deformar continuamente sem alcançar 
um novo equilíbrio estático. Nossa definição final de fluido será então:
Fluido: substância que se deforma continuamente quando submetida à ação de 
uma força tangencial constante qualquer.
Fonte: adaptado de Brunetti (2008).
Apesar de parecer exagero chegar a esta definição, você verá, em capítulos futuros, 
que o princípio da aderência é fundamental para compreender certos conceitos, 
como o de camada limite, que é essencial no estudo tanto da mecânica dos fluidos 
quanto dos demais fenômenos de transporte. Outra observação importante pode ser 
feita com relação à experiência de duas placas. Para tanto, é necessário antes definir 
o conceito de tensão de cisalhamento.
Tensão de Cisalhamento – Lei de Newton 
da Viscosidade
Considere uma superfície de área A, sobre a qual é aplicada uma força F . Podemos 
decompor esta força na sua componente tangencial (Ft ) e na sua componente normal 
à superfície (Fn), como mostra a Figura 4. Nesta unidade, discutiremos sobre a com-
ponente tangencial e, na próxima, analisaremos a componente normal.
A
Fn
Ft
F
Figura 4 - Ação de uma força sobre uma superfície e suas componentes normal e tangencial
Fonte: Brunetti (2008, p. 3).
66 Introdução à Mecânica dos Fluidos
A tensão de cisalhamento é definida como a razão entre o módulo da componente 
tangencial da força e a área da superfície em que é aplicada:
t =
F
A
t
Portanto, é a força tangencial por unidade de área, sendo dada, geralmente, em N/m² 
(SI), kgf/m² ou dina/cm².
Voltando à experiência de duas placas, note que, no caso dos fluidos, ao exercer 
a força tangencial sobre a placa, ela passa a ser acelerada da velocidade nula até uma 
velocidade finita, v0, que permanece constante ao longo do experimento. Isto é, a partir 
de um determinado momento, não há mais aceleração. Pela segunda Lei de Newton 
da dinâmica, isto significa que a resultante das forças deve ser nula (condição de 
equilíbrio dinâmico). Como não existem outras forças externas atuando no sistema, 
conclui-se que a força aplicada na placa é equilibrada por forças internas do fluido.
Para entender estas forças internas, podemos recorrer ao princípio da aderência. 
Na experiência, a camada de fluido junto à superfície superior move-se à velocidade 
v0, enquanto a camada de fluido junto à superfície inferior terá velocidade nula. As 
camadas intermediárias, por sua vez, passam a se mover conforme um gradiente de 
velocidades, indo de zero (na placa inferior) até v0 (na placa superior), como mostra 
a Figura 5a.
(a) (b)
(c)
Ft
A
y
y + dy
v + dv
v
B
Diagrama
de velocidades
v0
v0v
v1
v2
y
v2
v1
(v1 é maior
que v2)
� � �
Figura 5 - Gradiente de velocidade e tensões de cisalhamento entre as camadas de fluido na expe-
riência de duas placas
Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
67UNIDADE 2
Este deslizamento entre camadas (por estarem em velocidades diferentes) faz com 
que elas exerçam forças tangenciais umas sobre as outras, criando tensões de cisa-
lhamento (veja a Figura 5(b)), equilibrando a força externa Ft, e fazendo com que a 
placa superior fique com a velocidade constante v0. Newton evidenciou que, para a 
grande maioria dos fluidos, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente 
de velocidade (variação da velocidade v na coordenada y – veja a Figura 5(c)). Ma-
tematicamente, podemos escrever esta afirmação da seguinte forma:
τ α
τdv
dy
ou dv
dy
cte= .
Esta é a chamada lei de Newton da viscosidade. Fluidos que obedecem esta relação 
são chamados de fluidos newtonianos, como água, ar e óleos, por exemplo. Fluidos 
não newtonianos não serão trabalhados, pois são de menor interesse geral e pode 
ser bastante difícil descrever seu comportamento.
Sir Isaac Newton (4 de janeiro de 1643 – 31 de março de 1727) foi um físico e ma-
temático inglês reconhecido como o ícone da revolução científica do século XVII. 
A descoberta da decomposição