FENOMENOS DE TRASPORTE

Prévia do material em texto

Fenômenos de 
Transporte
Professor Dr. Rodrigo Orgeda 
Professor Esp. Henryck Cesar 
Massao Hungaro Yoshi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação
CEP 87050-900 - Maringá - Paraná
unicesumar.edu.br | 0800 600 6360
DIREÇÃO UNICESUMAR
Reitor Wilson de Matos Silva, Vice-Reitor e 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos 
Silva Filho, Pró-Reitor Executivo de EAD William 
Victor Kendrick de Matos Silva, Pró-Reitor de
Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin, Presidente
da Mantenedora Cláudio Ferdinandi. 
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James 
Prestes e Tiago Stachon; Diretoria de Graduação
e Pós-graduação Kátia Coelho; Diretoria de 
Permanência Leonardo Spaine; Diretoria de 
Design Educacional Débora Leite; Head de 
Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza 
Filho; Head de Metodologias Ativas Thuinie Daros; 
Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie 
Fukushima; Gerência de Projetos Especiais Daniel 
F. Hey; Gerência de Produção de Conteúdos
Diogo Ribeiro Garcia; Gerência de Curadoria
Carolina Abdalla Normann de Freitas; Supervisão
do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de
Almeida Toledo; Supervisão de Projetos Especiais
Yasminn Talyta Tavares Zagonel; Projeto
Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães
Cripaldi; Fotos Shutterstock
Coordenador de Conteúdo Fabio Augusto Genti-
line e Crislaine Rodrigues Galan.
Designer Educacional Janaina de Souza Pontes e 
e Amanda Peçanha dos Santos.
Revisão Textual Cintia Prezoto Ferreira e Erica 
Fernanda Ortega.
Editoração Lavígnia da Silva Santos.
Ilustração Welington Vainer Satin de Oliveira e 
Natalia de Souza Scalassara.
Realidade Aumentada Maicon Douglas Curriel, 
Thiago Marçal Surmani, Matheus Alexander de Oli-
veira Guandalini e Kleber Ribeiro da Silva.
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; YOSHI, Henryck Cesar Massao Hungaro; ORGEDA, 
Rodrigo. 
Fenômenos de Transporte. Henryck Cesar Massao Hungaro 
Yoshi; Rodrigo Orgeda. 
Maringá-PR.: Unicesumar, 2020. Reimpresso em 2024. 
368 p.
“Graduação - Híbridos”.
1. Fenomeno. 2. Transporte . 3. Química 4. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-2113-4
CDD - 22 ed. 541.3
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Impresso por:
PALAVRA DO REITOR
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-
mos com princípios éticos e profissionalismo, não 
somente para oferecer uma educação de qualida-
de, mas, acima de tudo, para gerar uma conversão 
integral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-
-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emo-
cional e espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois 
cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, temos 
mais de 100 mil estudantes espalhados em todo 
o Brasil: nos quatro campi presenciais (Maringá, 
Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 
300 polos EAD no país, com dezenas de cursos de 
graduação e pós-graduação. Produzimos e revi-
samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil 
exemplares por ano. Somos reconhecidos pelo 
MEC como uma instituição de excelência, com 
IGC 4 em 7 anos consecutivos. Estamos entre os 
10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos 
educadores soluções inteligentes para as ne-
cessidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter pelo menos 
três virtudes: inovação, coragem e compromisso 
com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, para 
os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as 
quais visam reunir o melhor do ensino presencial 
e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Prezado(a) Acadêmico(a), bem-vindo(a) à Co-
munidade do Conhecimento. 
Essa é a característica principal pela qual a 
Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu-
nos, professores e pela nossa sociedade. Porém, é 
importante destacar aqui que não estamos falando 
mais daquele conhecimento estático, repetitivo, 
local e elitizado, mas de um conhecimento dinâ-
mico, renovável em minutos, atemporal, global, 
democratizado, transformado pelas tecnologias 
digitais e virtuais.
De fato, as tecnologias de informação e comu-
nicação têm nos aproximado cada vez mais de 
pessoas, lugares, informações, da educação por 
meio da conectividade via internet, do acesso 
wireless em diferentes lugares e da mobilidade 
dos celulares. 
As redes sociais, os sites, blogs e os tablets ace-
leraram a informação e a produção do conheci-
mento, que não reconhece mais fuso horário e 
atravessa oceanos em segundos.
A apropriação dessa nova forma de conhecer 
transformou-se hoje em um dos principais fatores de 
agregação de valor, de superação das desigualdades, 
propagação de trabalho qualificado e de bem-estar. 
Logo, como agente social, convido você a saber 
cada vez mais, a conhecer, entender, selecionar e 
usar a tecnologia que temos e que está disponível. 
Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg 
modificou toda uma cultura e forma de conhecer, 
as tecnologias atuais e suas novas ferramentas, 
equipamentos e aplicações estão mudando a nossa 
cultura e transformando a todos nós. Então, prio-
rizar o conhecimento hoje, por meio da Educação 
a Distância (EAD), significa possibilitar o contato 
com ambientes cativantes, ricos em informações 
e interatividade. É um processo desafiador, que 
ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores 
oportunidades. Como já disse Sócrates, “a vida 
sem desafios não vale a pena ser vivida”. É isso que 
a EAD da Unicesumar se propõe a fazer.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você 
está iniciando um processo de transformação, 
pois quando investimos em nossa formação, seja 
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, 
consequentemente, transformamos também a so-
ciedade na qual estamos inseridos. De que forma 
o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabe-
lecendo mudanças capazes de alcançar um nível 
de desenvolvimento compatível com os desafios 
que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o 
Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompa-
nhará durante todo este processo, pois conforme 
Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na 
transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem 
dialógica e encontram-se integrados à proposta 
pedagógica, contribuindo no processo educa-
cional, complementando sua formação profis-
sional, desenvolvendo competências e habilida-
des, e aplicando conceitos teóricos em situação 
de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como 
principal objetivo “provocar uma aproximação 
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita 
o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação 
pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de 
crescimento e construção do conhecimento deve 
ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos 
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar 
lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Stu-
deo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas 
ao vivo e participe das discussões. Além disso, 
lembre-se que existe uma equipe de professores e 
tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de apren-
dizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquili-
dade e segurança sua trajetória acadêmica.
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), este livro iniciará seus estudos acerca dos chamados fenô-
menos de transporte, disciplina fundamental para a maioria dos cursos de 
engenharia, uma vez que busca explicar como a transferência de momento 
(mecânica dos fluidos), de calor e de massa acontecem na natureza. Este 
entendimento permite desenvolver processos e equipamentos para diversas 
aplicações, mas, mais do que isso, desenvolveráa habilidade de observar e 
analisar os fenômenos da natureza.
Suponha que você, buscando concentrar-se melhor na leitura deste livro, 
resolva preparar uma xícara de chá. Para isso, você precisará de água, a qual 
é fornecida até a sua casa através de longos sistemas de abastecimento que 
contam com tubulações, bombas, válvulas e caixas d’água. Entender quais 
são as energias associadas ao escoamento de um fluido (neste caso, o fluido 
é a água) é um clássico problema de mecânica dos fluidos.
Após colocar a água em um recipiente, será necessário aquecê-la. Isto pode 
ser feito de diferentes maneiras, mas consiste, essencialmente, em adicio-
nar energia à água, até alcançar a temperatura desejada – um problema de 
transferência de calor. Por fim, resta apenas colocar o saquinho de chá junto 
da água, iniciando um processo de infusão – moléculas que dão aroma e 
sabor saem das ervas do chá e são transportadas para a água. Tal processo 
está relacionado à transferência de massa.
Você poderia então se perguntar: que potência seria necessária para 
que a bomba seja capaz de escoar a água da estação de tratamento até 
as torneiras de casa? Haverá diferença se você fizer o chá em um dia 
mais frio ou em um dia mais quente? Quanto tempo levará até que a 
infusão esteja completa? Quanto o chá terá esfriado por estar exposto 
ao ambiente? O estudo dos fenômenos de transporte procura responder 
a perguntas como essas, estando presente desde situações mais simples 
do cotidiano até aplicações complexas por estar inseparavelmente li-
gado à natureza. 
O objetivo deste livro é dar um enfoque prático à disciplina de Fenô-
menos de Transporte, apontando os caminhos que você, futuro Enge-
nheiro(a), deverá seguir caso necessite se aprofundar em qualquer um 
dos assuntos aqui abordados. Assim, aproveite o processo de aprendi-
zagem e entenda que só não gostamos daquilo que sabemos pouco. 
Siga o fluxo de leitura mesmo que naquele momento você não tenha 
entendido algum termo. Lá na frente, ele fará sentido. E se mesmo lá 
na frente você não entender? Não hesite em buscar outras fontes. Saber 
pesquisar é uma das competências que esperamos de um profissional de 
Engenharia. Quando tudo se conectar na sua mente, você comprovará 
que o conhecimento é realmente libertador!
CURRÍCULO DOS PROFESSORES
Dr. Rodrigo Orgeda
Doutor em Engenharia Química pela UEM, em 2017, na qual trabalhou com simulação e oti-
mização de processos, conceito de biorrefinaria e análise integrada, considerando aspectos 
econômicos e ambientais em destilarias de etanol. Mestre em Engenharia Química (2013) na 
área de desenvolvimento de novos processos. Possui graduação em Engenharia de Alimentos 
(2010) e em Engenharia Química (2014) pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). Foi 
um dos candidatos aprovados, dentre alunos de diversos países, para participar do estágio 
de pesquisa do programa Mitacs Globalink, sob a supervisão de membros do corpo docente 
da Universidade de Guelph, no Canadá. Parte de sua pesquisa de doutorado foi realizada 
na Universidade Rovira i Virgili, na Espanha. Atualmente, trabalha como professor formador 
e conteudista dos cursos híbridos de Engenharia da Unicesumar, roteirizando práticas com 
metodologias ativas de aprendizagem em disciplinas técnicas e de gestão.
Currículo Lattes disponível em: http://lattes.cnpq.br/3174430075612030 
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Especialista em Gestão Industrial e Negócios pela Universidade Estadual de Londrina (2019). 
Graduado com láurea acadêmica em Engenharia Química pela Universidade Estadual de 
Maringá (2018). Foi membro bolsista do Programa de Educação Tutorial (PET – MEC/SESu) de 
2014 a 2017. Atualmente, é mestrando em Engenharia Química pela Universidade Estadual 
de Maringá, atuando principalmente na área de síntese e otimização de processos por meio 
de modelagem e simulação.
Currículo Lattes disponível em: http://lattes.cnpq.br/1729734963906608
Introdução aos 
Fenômenos 
de Transporte
13
Introdução à 
Mecânica 
dos Fluidos
61
Pressão e Estática 
dos Fluidos
97
Cinemática 
dos Fluidos
Equação da 
Energia no 
Regime Permanente
137
169
Escoamento em 
Condutos Forçados
209
Introdução à 
Transferência 
de Calor
Trocadores 
de Calor
297
Introdução à 
Transferência 
de Massa
331
257
113 Manômetro de Bourdon
188 Bombas e turbinas na equação da energia
219 Escoamento dos fluidos
281 Efeito do isolamento em tubos cilíndricos
304 Trocadores de calor de tubo e casco
Utilize o aplicativo 
Unicesumar Experience 
para visualizar a 
Realidade Aumentada.
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
• Definir o que são os fenômenos de transporte: transfe-
rência de momento (mecânica dos fluidos), calor e massa.
• Estruturar os conceitos básicos necessários para li-
dar com os problemas relacionados aos fenômenos 
de transporte, como conversão de unidades e fração 
mássica.
• Estudar o conceito de balanço material, abordando estraté-
gias de resolução e aplicações, como reciclo, bypass e purga.
Definindo os Fenômenos 
de Transporte
Conceitos Fundamentais
Balanço Material
Introdução aos 
Fenômenos 
de Transporte
Definindo 
os Fenômenos 
de Transporte
Iniciaremos a apresentação dos conceitos desta 
disciplina com uma notícia boa: os três fenômenos 
de transporte são estudados de forma conjunta, 
pois sua natureza é muito parecida, sendo, às 
vezes, até matematicamente similares (modelos 
matemáticos semelhantes para problemas análo-
gos). Isso quer dizer que, entendendo o conceito 
de um dos fenômenos, não será difícil entender 
o conceito dos outros. Um ponto fundamental 
neste aspecto são as chamadas leis de conservação.
15UNIDADE 1
Leis de Conservação: definem que uma propriedade de um sistema isolado não varia 
ao longo do tempo. Em outras palavras: a propriedade não se cria, nem é destruída. 
Dessa forma, para cada relação de conservação, há uma equação de balanço que 
é obedecida pelo sistema. Três dessas leis serão individualmente abordadas nos 
capítulos a seguir (veja o Quadro 1).
Fonte: adaptado de Welty, Rorrer e Foster (2017).
Quadro 1 - Leis de conservação e suas equações correspondentes
Lei Equação
Lei da Conservação da Massa Equação da Continuidade
Segunda Lei de Newton Teorema do Momento
Primeira Lei da Termodinâmica Equação da Energia
Fonte: adaptado de Welty, Rorrer e Foster (2017).
As leis de conservação são mais facilmente entendidas observando a forma genérica 
das equações de balanço:
Taxa de Entrada
no sistema
Taxa de Sa da
no sistema
Ta�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
í xxa de Ac mulo
no sistema
ú�
�
�
�
�
�
Exemplificando: imagine que o sistema em questão seja uma pia de cozinha. Ao abrir 
a torneira, você permite uma entrada de água no sistema. A água que desce pelo ralo, 
por sua vez, é a saída de água do sistema. Se você tampar o ralo, você fecha a saída 
do sistema, de modo que a pia começa a encher – este é o acúmulo do sistema. Esta 
situação ilustra a lei de conservação da massa.
Evidentemente, estamos desconsiderando outras possíveis saídas ou entradas de 
água (como a evaporação da água para a atmosfera), mas o intuito aqui é observar a 
natureza das leis de conservação: tudo que entra no sistema, ou sai, ou fica. Apesar de 
soar como um conceito bastante simples ou, até mesmo, óbvio, as leis de conservação 
são instrumentos essenciais para o entendimento dos fenômenos de transporte.
16 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Uma segunda observação fundamental acerca dos fenômenos de transporte é: 
se há um desequilíbrio de uma propriedade em um meio, a natureza tende a redis-
tribuí-la, até que um equilíbrio seja estabelecido – a esta tendência é dado o nome 
de força motriz, frequentemente descrita no contexto dos fenômenos de transporte 
como os “gradientes”:
• Mecânica dos Fluidos: gradiente de momento.
• Transferência de Calor: gradiente de temperatura.
• Transferência de Massa: gradiente de concentração.Caso o significado de “gradiente” ainda seja estranho a você, observe a Figura 1: 
Figura 1 - Gradiente de temperatura
O objeto em questão, semelhante a um cilindro metálico, tem duas extremidades, e a 
sua cor está representada de acordo com a temperatura em cada ponto do objeto. A 
parte azul está a uma temperatura menor, enquanto a parte avermelhada está a uma 
temperatura maior. A variação de temperatura ao longo da superfície é gradativa, 
aumentando da extremidade azul até a extremidade vermelha. Esta variação gradativa 
é o chamado gradiente de temperatura. Os gradientes de momento e concentração 
funcionam de maneira análoga.
17UNIDADE 1
Neste exemplo, a tendência da natureza é fazer com que a temperatura da super-
fície fique uniforme, transferindo energia da parte mais quente para a parte mais fria 
(considerando apenas a superfície, sem nenhuma interferência externa, promovendo 
o seu aquecimento ou resfriamento). Isto acontece molécula a molécula, por meio 
dos movimentos aleatórios e colisões entre elas – um processo de difusão molecular, 
que pode ser descrito por equações. A Tabela 1 compara as equações para as três 
propriedades em estudo.
Tabela 1 – Equações unidimensionais para os fenômenos de difusão
Propriedade Lei Equação
Momento Lei de Newton da Viscosidade
� ��
dv
dy
Calor Lei de Fourier da Condução Térmi-
ca q dT
dy
� ��
Massa Lei de Fick da Difusão
J D dC
dy
A AB� �
Fonte: adaptada de Hauke (2008). 
Neste momento, é importante que você note a semelhança entre as equações 
apresentadas na Tabela 1. Este é um exemplo do que foi dito no início: “modelos 
matemáticos semelhantes para problemas análogos”. Estão sendo aqui apresen-
tadas apenas para ilustrar esta relação e serão detalhadas nos capítulos a seguir.
Até aqui, você esteve apenas conhecendo o que são os chamados fenômenos de trans-
porte e de que maneira os observamos na natureza. A partir de agora, iniciaremos 
um estudo mais direcionado à definição de alguns conceitos básicos para entender e 
interpretar os problemas que você irá encontrar durante todo o curso. Aproveitaremos 
esta primeira unidade para tratar com mais rigor os chamados balanços materiais, 
conhecimento que irá ajudar você a se familiarizar com o uso das leis de conservação.
18 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Agora, revisaremos alguns conceitos que você cer-
tamente já teve algum contato quando estudou 
disciplinas básicas de química e física. O objetivo é 
fazer isto da forma mais objetiva e direta possível, 
para que você possa progredir no estudo dos fe-
nômenos de transporte com tranquilidade. Além 
disso, aproveite para se acostumar com alguns dos 
muitos termos e notações que serão utilizados até 
o fim deste material – literaturas e idiomas dife-
rentes frequentemente utilizam símbolos distintos 
para os mesmos parâmetros (como “m” ou “w” 
para massa, por exemplo).
Conceitos 
Fundamentais
19UNIDADE 1
Dimensões e Unidades de Medida
Quando se trata de problemas de engenharia, a resposta dificilmente será apenas um 
número – ela geralmente será um número acompanhado de uma unidade de medi-
da. Por exemplo: “a altura é de 9 metros”. Esta é uma resposta apropriada. Por outro 
lado, ao dizer “a altura é de 9”, você não define a sua unidade de medida, portanto, 
é uma resposta incompleta. Poderiam ser 9 centímetros, 9 metros ou, até mesmo, 9 
quilômetros.
Uma habilidade fundamental para um engenheiro é ter noção das grandezas que 
está trabalhando. Isto permite identificar quando algum valor parece errado e ajuda 
a fazer comparações entre situações distintas. Mais ainda, saber trabalhar com as di-
mensões ajuda a interpretar o problema e muitas das grandezas físicas fundamentais 
para a engenharia.
O primeiro passo para uma clara compreensão deste tópico é definir a diferença 
entre dimensão e unidade de medida.
Dimensão: refere-se à grandeza física em questão, como distância/altura, veloci-
dade, temperatura e tempo.
Unidade de medida: refere-se à forma de expressar as dimensões, como metros 
(para a distância/altura), quilômetros por hora (velocidade), graus Celsius (tempe-
ratura) e segundos (tempo).
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Ao longo deste material, usaremos preferencialmente as unidades do Sistema Inter-
nacional de Unidades (SI): metro (m) para distância, quilograma (kg) para massa, 
segundo (s) para tempo, Kelvin (K) para temperatura e mol (mol) para a quantidade 
de matéria. Possíveis exceções estarão presentes apenas quando importantes.
Você observará que os cálculos apresentados frequentemente terão os números 
acompanhados de suas unidades. É altamente recomendado que você passe a fazer 
o mesmo, para que tenha uma melhor compreensão das operações e variáveis que 
estiver trabalhando. Vejamos o exemplo a seguir:
20 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Temos os seguintes fatores de conversão: uma milha são 5280 pés; um pé são 12 
polegadas; uma polegada são 2,54 centímetros. Sabendo que a altura do Everest é de, 
aproximadamente, 5,49 milhas, converta este valor para metros.
Solução: 
Um método organizado e eficiente de converter unidades é multiplicar o número de 
unidade conhecida (no caso, 5,498 milhas) pelos fatores de conversão necessários 
(milha-pés, pé-polegadas, polegada-centímetros e, é claro, centímetros-metro). Para 
melhor visualização, separaremos cada fator de conversão por uma barra vertical, 
que você pode entender como um operador de multiplicação ou parênteses. Observe:
5 498 5280
1
29029 44, ,milhas pés
milha
pés=
29029 44 12
1
348353 28, ,pés polegadas
pé
polegadas=
348353 28 2 54
1
884817 33 1
100
8848, , ,polegadas cm
polegada
cm m
cm
m� �
Note que cada uma destas “frações” é igual a um: se uma milha equivale a 5280 pés, 
a divisão de 5280 pés por uma milha é igual a um. Isto comprova que não estamos 
alterando a altura (dimensão) do Monte Everest, apenas convertendo-a entre dife-
rentes unidades de medida.
Uma maneira prática de acompanhar se você está fazendo as conversões adequadas é 
escrever todas as conversões em uma única expressão e “cortar” as unidades que se “cance-
lam”, da mesma forma que provavelmente fez quando estudou matemática e física básicas:
5 498 5280
1
12
1
2 54
1
1
100
, ,milhas pés
milha
polegadas
pé
cm
polegada
m
ccm
m≈ 8848
Você pode estar se perguntando: todos estes cálculos não poderiam ter sido resolvidos 
por uma série de regra de três? A pergunta é fantástica e significa que seu raciocínio 
está no caminho certo! Apesar de podermos utilizar uma série de regra de três para 
chegarmos no mesmo resultado, a maneira prática apresentada anteriormente nos 
ajuda a visualizar como as unidades irão se cancelar e qual será nossa unidade final. 
Acredite, isso será muito útil em cálculos mais complexos, pois será um indicador 
para saber se o resultado está correto. Dessa forma, os demais exemplos e problemas 
presentes neste material serão preferencialmente resolvidos dessa maneira.
1 EXEMPLO
21UNIDADE 1
Este exemplo teve por objetivo demonstrar o trabalho com dimensões e unida-
des de medida, por meio de um problema de conversão de unidades. Contudo, 
note que o método descrito pode parecer problemático ao trabalhar com tem-
peraturas, pois suas diferentes unidades não estão relacionadas por fatores de 
conversão, mas sim por equações. Assim, o correto é avaliar a variação de tem-
peratura: uma variação de 1 °C equivale a uma variação de 1,8 °F, por exemplo.
Frações Mássicas e Molares
Na prática, ao tratar de processos, é fundamentalmente importante conhecer os 
componentes que estão presentes em cada uma de suas etapas. Mais do que isso, 
frequentemente encontraremos mais de um componente no processo, na forma de 
misturas e soluções. Conhecer as proporções em que cada componente se apresenta 
permite uma melhor compreensão do sistema, levando a melhores soluções para 
possíveis problemas. Para descrever estas proporções, utilizamos as chamadas frações 
molares e as frações mássicas.Fração mássica: a massa de uma substância dividida pela massa total de todos os 
componentes da mistura (ou solução) em que ela está presente.
fração mássica do componente A x massa de A
massa totalA
� �( )
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Vamos iniciar com um exemplo simples sobre fração mássica de uma solução com 
dois componentes.
22 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Uma solução contém os componentes A e B, sendo 360 g de A e 700 g de B. Qual é a 
composição mássica desta solução?
Solução:
fração mássica do componente A x massa de A
massa total
g
gA
� � �
�
360
360 7700
0 34
g
�
�
�
�
�
� � ,
fração mássica do componente B x massa de B
massa total
g
gB
� � �
�
700
360 7700
0 66
g
�
�
�
�
�
� � ,
Conhecendo a fração mássica do componente A, podemos utilizar outra maneira 
para determinar a fração mássica do componente B.
x xA B� �1
x xB A� � � � �1 1 0 34 0 66, ,
É fundamental notar que a somatória das frações mássicas ou molares deve 
sempre ser igual a 1, ou seja, a somatória das porcentagens deve ser igual a 100%. 
Matematicamente, para n componentes:
x x x x xn
i
n
n n
�
�� � � � � � �
1
1 2 1 1...
Uma vez compreendido o conceito de fração mássica, fica fácil entender o conceito 
de fração molar, pois são bastante semelhantes.
Fração molar: o número de mols de uma substância dividido pelo número total 
de mols da mistura (ou solução) em que ela está presente.
fração molar do componente A y mols de A
mols totaisA
� �
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
2 EXEMPLO
23UNIDADE 1
Qual é a composição molar de uma solução que contém os componentes A, B e C 
com 1 mol, 5 mols e 3 mols, respectivamente? 
Solução:
fração molar do componente A y mols de A
mols totais
mol
mol moA
� � �
�
1
1 5 lls mols�
�
�
�
�
�
� �3
0 11,
fração molar do componente B y mols de B
mols totais
mols
mol mB
� � �
�
5
1 5 ools mols�
�
�
�
�
�
� �3
0 55,
fração molar do componente C y mols de C
mols totais
mols
mol mC
� � �
�
3
1 5 ools mols�
�
�
�
�
�
� �3
0 33,
y y yA B C� � �1
Um tipo de cálculo importante consiste na conversão da fração mássica de uma 
solução para fração molar ou o contrário. Para que possamos realizar tal conversão, 
faz-se necessário uma informação adicional sobre a massa molar dos componentes 
presentes na solução. Além disso, precisamos saber que o número de mols (n) pode 
ser determinado pela razão entre a massa do composto (m) e sua massa molar (MM): 
n m
MM
=
A tabela a seguir mostra os dados de fração mássica e massa molar de cada composto 
presente em uma solução. Dessa forma, calcule a composição molar sabendo que a 
solução possui uma massa total de 100 g.
Solução:
Composto Massa Molar (g/gmol) Fração Mássica
A 50 0,20
B 40 0,30
C 20 0,45
D 25 0,05
Total - 1
3 EXEMPLO
4 EXEMPLO
24 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Para o composto A, temos que:
x massa de A
massa totalA
=
massa de A x massa totalA= .
massa de A g= =0 2 100 20, .
Em posse dos valores de massa e massa molar do composto A, podemos facilmente 
determinar o número de mols desse composto.
n m
MM
g
g
molsA A
A
= = =
20
50
0 40,
Utilizando o mesmo raciocínio para os outros compostos, chegamos ao seguinte 
resultado:
Composto Massa Molar (g/gmol)
Fração 
Mássica Massa (g)
Número de 
mols (mols)
A 50 0,20 20 0,40
B 40 0,30 30 0,75
C 20 0,45 45 2,25
D 25 0,05 5 0,20
Total - 1 100 3,60
Finalmente, podemos calcular a fração molar do composto A na solução. 
y
,
,
,A
mols de A
mols totais
mols
mols
= = =
0 40
3 6
0 111
Fazendo o mesmo cálculo para os outros compostos, obtemos a composição molar 
da solução.
Composto Massa Molar (g/gmol)
Fração 
Mássica Massa (g)
Número de 
mols (mols)
Fração 
molar
A 50 0,20 20 0,40 0,111
B 40 0,30 30 0,75 0,208
C 20 0,45 45 2,25 0,625
D 25 0,05 5 0,20 0,056
Total - 1 100 3,60 1
25UNIDADE 1
O objetivo é que você tenha entendido o raciocínio para realizar a conversão, e não 
memorizado os passos. Para isso, faça a seguinte pergunta para si mesmo: eu consigo 
converter de fração molar para fração mássica? Se a resposta for positiva, você está 
no caminho certo! Caso seja negativa, aconselho a analisar o exercício novamente.
Quando estiver trabalhando com soluções e misturas, há também a ideia de “massa 
molar média da mistura”, que nada mais é do que uma média ponderada das massas 
molares dos componentes, como na equação a seguir:
Massa molar da mistura = Massa total da mistura
N mero de mú ools total da mistura
Massa molar da mistura = Massa do Compponente 1 + ... + Massa do Componente n
Mols do Componente 1 + ... + Mols do componente n
MM m m m mmistura n�
� � � ��1 2 1... nn
n nn n n n1 2 1� � � ��...
Sabendo que:
n m
MM
n MM m� � �.
Temos que:
MM n MM n MM n MM n MM
n n n nmistura
n n n n
n n
�
� � � �
� � � �
� �
�
1 1 2 2 1 1
1 2 1
...
...
Veja que, se conhecemos a composição da mistura, podemos lançar mão de uma base 
de cálculo arbitrária para calcular a massa molar média da mistura. Tente calcular este 
valor para a mistura do exemplo anterior. O resultado procurado é de 27,78 g/mol, 
que também poderia ser calculado simplesmente dividindo a massa da mistura pelo 
número de mols (afinal, esta é a definição da qual partimos para o desenvolvimento 
da última equação). 
Ao longo deste material, a composição de gases sempre será assumida como dada 
em base molar, a menos que seja especificado o contrário. Da mesma maneira, a 
composição de líquidos e sólidos será assumida como dada em base mássica, como 
é geralmente usada na indústria, a menos que seja especificado o contrário.
26 Introdução aos Fenômenos de Transporte
A partir daqui, iremos começar a aplicar as leis 
de conservação discutidas no início da unidade, 
partindo do princípio de conservação da massa: 
a matéria não é nem criada, nem destruída. O 
assunto será tratado com certa profundidade, po-
rém, por ser um tópico de caráter introdutório, as-
pectos mais complexos não serão abordados (por 
exemplo, sistemas envolvendo reações químicas 
e outros que demandem o uso de métodos de 
cálculo numérico).
Balanço 
Material
27UNIDADE 1
A descoberta do princípio de conservação da massa é atribuída ao cientista francês 
Antoine Laurent Lavoisier, nascido no dia 26 de agosto de 1743, em Paris. Vindo de 
uma família rica, desde jovem estudou em instituições reconhecidas pelo ensino 
da ciência. Em 1771, casou-se com Marie Anne Pierrette Paulze, na época com 14 
anos. Mesmo jovem, Madame Lavoisier auxiliou em publicações com suas notáveis 
habilidades linguísticas e artísticas. Lavoisier publicou seu livro Tratado Elementar 
de Química em 1789, ano que deu início à revolução francesa. Devido aos seus 
envolvimentos com o estado, o cientista foi guilhotinado em 8 de maio de 1794.
Fonte: adaptado de Partington (1943).
Balanços materiais permitem uma melhor compreensão acerca de um processo, 
como uma indústria, por exemplo. Na essência, é semelhante à contabilidade, mas 
no lugar de dinheiro, usa-se matéria. Cálculos de balanço material são indispensáveis 
para se compreender problemas de fenômenos de transporte, tanto simples quanto 
complexos, e são sempre baseados na forma geral das equações de balanço. Assim, 
para a matéria:
Taxa de Entrada de
Mat ria no sistema
Taxa de Sa da de
Mat riaé
í
é
�
�
�
�
�
�
�
nno sistema
Taxa de Ac mulo de
Mat ria no sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ú
é
Sistemas
Vamos começar por um exemplo: considere um tanque contendo 100 kg de água, 
como o da figura a seguir:
100 kg H2O
Figura 2 - Sistema fechado
Fonte: os autores.
28 Introdução aos Fenômenos de Transporte
No contexto da engenharia, é comum o uso da palavra “sistema” para se referir a uma 
parte arbitrária do processo que você deseja analisar. Dessa forma, nosso sistema, aqui, 
coincide com o próprio tanque. É também usual se referir às “fronteiras do sistema”, 
linhas imaginárias (que podem coincidir com partes dos equipamentos e processos) 
que dãoforma ao seu sistema.
Ainda, um sistema pode ser dito aberto ou fechado: aberto, se existe matéria 
entrando ou saindo do sistema; fechado, se a matéria não entra nem sai do sistema. 
Nosso tanque é, portanto, um sistema fechado.
Nesse caso, se aplicarmos a equação de balanço material para nosso sistema, 
teremos:
0 0 0� �
Este resultado é, evidentemente, uma conclusão lógica simples. Se não entra nem sai 
água do tanque, não haverá variação na quantidade de água dentro dele. Em outras 
palavras, a taxa de acúmulo de matéria do sistema é nula.
Agora, suponha que este tanque faz parte de um processo industrial, que despeja 
dentro dele 50 kg de água por hora. Deste mesmo tanque, são também retirados 50 kg 
de água por hora.
100 kg H2O
Fronteira
do sistema
50 kg H2O/h50 kg H2O/h
Figura 3 - Sistema aberto
Fonte: os autores.
Pela definição dada anteriormente, nosso tanque agora é um sistema aberto, pois 
existe matéria cruzando a fronteira do sistema. Ao aplicar novamente a equação de 
balanço material, temos:
50 50 02 2kg H O
h
kg H O
h
� �
Como a vazão de entrada é igual à de saída, o acúmulo de água no sistema ainda é nulo. 
Sistemas nestas condições podem ser chamados de sistemas em estado estacionário.
29UNIDADE 1
Em processos no estado estacionário, parâmetros como temperatura, pressão, 
massa e vazão (entrada ou saída) permanecem constantes. Além disso, o processo 
pode também ser dito contínuo.
Sistema em Estado Estacionário (Regime Permanente): 
• As condições do sistema permanecem inalteradas ao longo do tempo.
• As correntes de entrada e saída permanecem inalteradas com o tempo.
Processo Contínuo: aquele em que a matéria entra ou sai do sistema sem inter-
rupções.
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Na sua maioria, os problemas abordados ao longo desta disciplina serão processos 
contínuos em estado estacionário, por serem naturalmente mais simples e objetivos 
no sentido de aprendizagem. Contudo, é importante observar que, no mundo real, 
não existe processo perfeitamente contínuo ou estacionário – as condições mudam 
ao longo do tempo, às vezes até mesmo por ação de forças que não somos capazes de 
controlar (clima, por exemplo). A natureza é essencialmente dinâmica, e o máximo 
que se pode fazer é se aproximar de uma condição estacionária.
Entretanto, você poderia propor a seguinte situação: e se a taxa de entrada de 
água no tanque fosse reduzida para 20 kg/h? Suponha a seguinte condição inicial 
para o sistema:
100 kg H2O
Fronteira
do sistema
50 kg H2O/h20 kg H2O/h
Figura 4 - Sistema aberto com acúmulo
Fonte: os autores.
30 Introdução aos Fenômenos de Transporte
É fácil concluir que, se sai mais água do que entra, a quantidade de água no tanque 
diminuirá com o tempo. Na equação de balanço:
20 50 302 2 2kg H O
h
kg H O
h
kg H O
h
� � �
Isto é, a taxa de acúmulo de água no sistema é de -30 kg H₂O por hora. Observe que, 
no contexto de balanços materiais, é comum o uso da palavra “acúmulo” tanto para 
valores positivos (que elevariam o nível de água do tanque) quanto negativos (que 
diminuem o nível de água no tanque). Com essa informação, você poderia, então, 
responder a seguinte pergunta: quanto tempo levará até que a quantidade de água 
no interior do tanque seja de 40 kg?
Vamos começar identificando a variação de água no interior do tanque:
Quantidade Final de
gua no tanque
Quantidade Inicial de
gá á
�
�
�
�
�
�
�
uua no tanque
Quantidade de gua que
 entra ou sai do s
�
�
�
�
�
�
�
á
iistema
�
�
�
�
�
�
40 100 602 2 2kg H O kg H O kg H O� � �
Para atingir uma quantidade de 40 kg de água dentro do tanque, deve-se retirar 60 kg. 
Por definição, temos que:
Vaz o M ssica Massa
Tempo
ã á =
Observe que a taxa de acúmulo de água do sistema é, evidentemente, uma vazão, pois 
tem dimensões de massa por tempo (estudaremos mais detalhadamente o conceito 
de vazão na Unidade 4). Podemos, portanto, aplicar a equação da seguinte forma:
-30 kg H O - 60 kg H O
Tempo
2 2
h
=
Tempo
kg H O
kg H O
2
2
�
�
�
60
30
h
Tempo = 2 h 
Evidentemente, não é absurdo chegar a esta conclusão sem fazer quaisquer contas 
no papel. Se existem 100 kg de água dentro de um tanque, do qual são removidos 30 
kg de água por hora (taxa de acúmulo negativa), o tempo necessário para que haja 
apenas 40 kg de água no tanque (remover 60 kg) é de 2 horas. Problemas de balanço 
material são resolvidos de maneira puramente lógica: não se trata de decorar equações, 
mas sim de ter habilidade em analisar o problema e saber como abordá-lo.
31UNIDADE 1
Sistemas como este último, em que a quantidade de água no sistema varia ao longo 
do tempo, podem ser chamados de sistemas em estado não estacionário.
Sistema em Estado Não Estacionário (Regime Transiente ou Variado): 
• Nem todas as condições do sistema permanecem inalteradas ao longo do 
tempo.
• As correntes de entrada e saída podem variar com o tempo.
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Agora que você compreende os princípios dos balanços materiais, iremos aprimorar 
as suas capacidades analíticas estudando processos mais complexos, com múltiplos 
componentes, etapas e correntes de processo.
Sistemas com Múltiplos Componentes
Imagine que estamos trabalhando com uma solução com concentração de 50% em 
massa de soda cáustica (NaOH em H₂O). Isto significa que em 1000 kg de solução 
há 500 kg de soda e 500 kg de água. Uma corrente de processo entra em um tanque, 
enquanto outra sai deste mesmo tanque, como na figura a seguir:
1000 kg
solução
Fronteira
do sistema
100 kg solução/h100 kg solução/h
Comp.
Água
Soda
Fração Más.
0,50
0,50
Comp.
Água
Soda
Fração Más.
0,50
0,50
Figura 5 - Sistema aberto de balanço multicomponente
Fonte: os autores.
32 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Observe que se trata de um sistema aberto em regime estacionário. Poderíamos 
analisar o sistema da seguinte forma:
• Dentro do tanque: 1000 kg de solução
• 500 kg de água + 500 kg de soda
• Entra no tanque: 100 kg de solução por hora
• 50 kg de água por hora + 50 kg de soda por hora
• Sai do tanque: 100 kg de solução por hora
• 50 kg de água por hora + 50 kg de soda por hora
É importante evidenciar estas informações, pois quando trabalharmos com múltiplos 
componentes, abordaremos os balanços materiais por duas perspectivas: o balanço 
global e os balanços por componente.
O balanço global considera inteiramente todas as correntes que entram e saem 
do sistema. Dessa forma, na equação:
Taxa de Entrada de
Mat ria no sistema
Taxa de Sa da de
Mat riaé
í
é
�
�
�
�
�
�
�
nno sistema
Taxa de Ac mulo de
Mat ria no sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ú
é
100 kg solu o 100 kg solu o 0çã
h
çã
h
� �
Evidentemente, estando em estado estacionário, a taxa de acúmulo é nula (a massa 
de solução dentro do tanque permanece a mesma ao longo do tempo).
O balanço por componente, por outro lado, considera apenas o componente em análise 
para todas as correntes. Por exemplo, fazendo o balanço material para a água, teremos:
Taxa de Entrada de
Água no sistema
Taxa de Saída de
Água no sist
�
�
�
�
�
�
�
eema
ú
Água no sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Taxa de Ac mulo de
50 50 0kg água
h
kg água
h
� �
Da mesma forma, para a soda:
Taxa de Entrada de
Soda no sistema Soda no sist
�
�
�
�
�
�
�
Taxa de Saída de
eema Soda no sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Taxa de Acúmulo de
50 kg soda 50 kg soda 0
h h
� �
Este é um raciocínio bastante valioso para solucionar problemas de balanço material. 
Observe o exemplo a seguir, em que passamos a trabalhar com mais de um compo-
nente e mais de duas correntes.
33UNIDADE 1
Em certa etapa de um processo industrial de balas e biscoitos, duas correntes contendo 
uma solução de açúcar (sacarose) em água devem ser misturadas. Para isto, elas são 
despejadas em um tanque de mistura que apresenta uma única saída, conforme mostra 
a figura a seguir. Conhecendo as correntes de entrada, admitindo que a mistura seja 
homogênea e que o processo operaem regime estacionário, qual a fração mássica de 
sacarose na corrente de saída?
30 kg solução/min 50 kg solução/min
15% Sacarose
85% Água
SAÍDA
A B
C
40% Sacarose
60% Água
Solução: 
Como conhecemos as correntes de entrada, podemos descrevê-las da seguinte ma-
neira:
• Corrente A: 30 kg solução/min
• 12 kg sacarose/min + 18 kg água/min
• Corrente B: 50 kg solução/min
• 7,5 kg sacarose/min + 42,5 kg água/min
Podemos, então, fazer o balanço global:
Entradas de
Solu o no sistema
Sa as de
Solu o no sistemaçã
íd
çã
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Ac mulo de
Solu no sistema
ú
ção
As entradas são as correntes A e B, enquanto a única saída é a corrente C, e não há 
acúmulo no sistema (regime estacionário). Dessa forma:
5 EXEMPLO
34 Introdução aos Fenômenos de Transporte
A B C� �- 0
30
min
 + 50
min
 - C = 0kg solução kg solução
C kg solução= 80
min
Agora, fazendo o balanço material para a sacarose:
Sacarose em A + Sacarose em B - Sacarose em C = 0
Sendo xsac,i a fração mássica de sacarose na corrente “i”, podemos escrever esta equação 
da seguinte forma:
x A x B x Csac A sac B sac C, , ,. . - .� � 0
0,40 kg sacarose 30
min
+0,15 kg sacarose
kg solução
kg solução
kg soluçção
kg solução x50
min
 - . C = 0sac,C
x Csac C, . , ,� � �12
kg sacarose
min
kg sacarose
min
kg sacarose
mi
7 5 19 5
nn
Como já calculamos o valor da vazão mássica da corrente C, temos que:
x
kg soluçãosac C,
,=19 5
80
kg sacarose
min
min
 
x
kg soluçãosac C,
,= 0 2437 kg sacarose
 
Isto é, a concentração de sacarose na corrente de saída é de 24,37% em massa. Note 
que, sem fazer o balanço material para a água, podemos concluir que a fração mássica 
de água na corrente de saída é de 75,625% – afinal, estamos trabalhando apenas com 
açúcar e água. Esta ideia tem fundamento no conceito de “graus de liberdade”, que 
talvez você se lembre das suas disciplinas de álgebra linear. Exploraremos esta ideia 
melhor no tópico seguinte, em que será desenvolvida uma estratégia para solucionar 
problemas de balanço material.
35UNIDADE 1
Como já mencionado, não trataremos situações envolvendo reações químicas 
no escopo deste material. Contudo, é importante observar que, nesses casos, os 
balanços por componente ficam mais complexos, uma vez que o componente que 
entra não, necessariamente, sai com a mesma forma – eles podem ser “consumi-
dos”, enquanto novas espécies químicas podem ser “geradas”.
Estratégias para Resolução de Problemas
Himmelblau e Riggs (2003) sugerem uma estratégia de 10 passos para a resolução 
de problemas de balanço material:
1. Leia e entenda o problema em questão.
2. Faça um esboço do processo e especifique a fronteira do sistema.
3. Anote todas as informações conhecidas no seu diagrama do processo, como 
vazões, composições e outras relações úteis. Atribua símbolos para os valores 
que você não conhecer.
4. Obtenha quaisquer informações necessárias para solucionar o problema que 
esteja faltando.
5. Adote uma base de cálculo (arbitrária), se necessário.
6. Determine o número de variáveis desconhecidas.
7. Determine o número de equações independentes e analise os graus de liber-
dade do problema.
8. Escreva as equações a serem resolvidas em termos das variáveis conhecidas 
e desconhecidas.
9. Resolva as equações e responda o que foi solicitado pelo problema.
10. Confira suas respostas.
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
36 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Na prática, você não é obrigado a seguir estes passos à risca nem os decorar, mas 
abordar os problemas de maneira ordenada e analítica ajuda a identificar possíveis 
pontos fracos, aprimorando suas habilidades de interpretação e resolução. Faremos, 
agora, um exemplo com uma complexidade maior aplicando esta estratégia.
Duas correntes de processo, F1 e F2, são misturadas. A corrente resultante (W) é então 
direcionada para uma segunda etapa, que visa a purificação de um dos componentes, 
obtendo, assim, duas correntes de produto, P1 e P2. Conhecendo as informações a 
seguir, qual a vazão e a composição da corrente F1? As composições estão dadas em 
quantidades mássicas.
• Corrente F2:
• Vazão: metade de F1
• Composição: 80% A, 20% B
• Corrente P1:
• Vazão: 1200 kg/h
• Composição: 60% A, 40% B
• Corrente P2:
• Vazão: 300 kg/h
• Composição: 5% B, 95% C
Solução: 
Passo 1: o problema é simples – conhecemos as saídas, queremos conhecer as entra-
das. Estamos trabalhando com três componentes (A, B e C), cinco correntes (F1, F2, 
W, P1 e P2) e duas etapas (E1 e E2). A etapa E1 une as correntes F1 e F2, formando a 
corrente W. Em seguida, a etapa E2 separa a corrente W nas correntes P1 e P2.
Passo 2: esboços podem, geralmente, ser feitos de forma bastante simples por meio de 
diagramas de blocos, em que as setas são as correntes de processo e os blocos são as etapas.
E1
F1
W
P1
F2 P2
E2
6 EXEMPLO
37UNIDADE 1
Quanto à fronteira do sistema, note que esta pode ser estabelecida de três diferentes 
formas: apenas o sistema 1, ou apenas o sistema 2, ou então analisar o processo de 
forma global. Veja o esquema a seguir:
E1
F1 P1
F2
Fronteira do
Sistema 1
Fronteira do
Sistema Global
Fronteira do
Sistema 2
P2
E2
W
• Fronteira do Sistema 1: 
• Correntes de entrada: F1 e F2
• Corrente de saída: W
• Fronteira do Sistema 2: 
• Corrente de entrada: W
• Correntes de saída: P1 e P2
• Fronteira do Sistema Global: 
• Correntes de entrada: F1 e F2
• Corrente de saída: P1 e P2
Note que a escolha de um sistema não invalida o outro – muito pelo contrário, talvez 
seja necessário estabelecer diferentes fronteiras até se obter os resultados procurados, 
os quais devem validar todos os sistemas possíveis de serem estabelecidos. Do con-
trário, o princípio da conservação da massa não seria obedecido, indicando alguma 
falha ou ineficiência do processo.
Passo 3: adicionamos os valores conhecidos ao esboço.
E1
F1 = ?
xA, F1 = ?
xB, F1 = ?
xC, F1 = ?
F2 = F1/2
xA, F2 = 80%
xB, F2 = 20%
W = ?
xA, W = ?
xB, W = ?
xC, W = ?
P1 = 1200 kg/h
xA, P1 = 60%
xB, P1 = 40%
P2 = 300 kg/h
xB, P2 = 5%
xC, P2 = 95%
E2
38 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Passo 4: a princípio, nenhuma informação parece faltar, pois não estamos preocu-
pados com quem são os componentes A, B ou C, nem com o que são, na prática, as 
etapas E1 e E2. Estamos preocupados apenas com valores de vazão e composição, 
então estas informações deverão ser suficientes.
Passo 5: como o problema já nos forneceu valores de vazão, não precisamos adotar 
uma base de cálculo. Caso o enunciado fosse “a vazão de P1 é quatro vezes a de P2”, 
poderíamos adotar um valor arbitrário para a vazão P2, e com ela chegaríamos às 
mesmas composições em todas as correntes. Contudo, a vazão de F1 mudaria para 
cada base de cálculo adotada.
Passo 6: nossas variáveis desconhecidas são as vazões e composições das correntes 
F1 e W, totalizando 8 variáveis desconhecidas.
Passo 7: para determinar o número de equações independentes, faremos os balanços 
nos sistemas e usaremos as relações fornecidas. Uma informação que facilita a análise 
é que, ao escrever as equações dos balanços para cada componente, uma delas sempre 
será dependente das demais.
• Na etapa E1:
F F W
x F x F x W
x F x F x W
x
A F A F AW
B F B F B W
C
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
,
. . .
. . .
FF C F C W
A F B F C F
AW BW C W
F x F x W
x x x
x x x
1 2
1 1 1
1 2
1
1
. . ., ,
, , ,
, , ,
� �
� � �
� � �
Nestas equações, temos as oito variáveis desconhecidas, junto de cinco equações 
independentes. Elas não são, portanto, suficientes para determinarmos todas as 
variáveis desconhecidas.
• Na etapa E2:
W P P
x W x P x P
x W x P x P
x
AW A P A P
B W B P B P
C
� �
� �
� �
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
, , ,
, , ,
,
. . .
. . .
WW C P C P
AW BW C W
W x P x P
x x x
. . ., ,
, , ,
� �
� � �
1 21 2
1
Aqui, temos quatro das variáveis desconhecidas (referentes à correnteW), junto de 
quatro equações independentes. Como nosso número de equações é igual ao número 
de incógnitas, o sistema é possível e determinado (graus de liberdade iguais a zero).
39UNIDADE 1
• Global:
F F P P
x F x F x P x P
x F x
A F A F A P A P
B F B
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1 2 1 2
1
� � �
� � �
�
, , , ,
, ,
. . . .
. FF B P B P
C F C F C P C P
F x P x P
x F x F x P x P
2 1 2
1 2 1 2
2 1 2
1 2 1
. . .
. . . .
, ,
, , , ,
� �
� � � 22
11 1 1x x xA F B F C F, , ,� � �
Observe que, para o balanço global, todas as variáveis referentes à corrente interme-
diária W não estão presentes. Temos apenas as quatro variáveis desconhecidas para a 
corrente F1, junto de quatro equações independentes. Isto é, como o problema solicita 
apenas a caracterização da corrente F1, podemos utilizar este sistema para que não 
precisemos trabalhar com a corrente intermediária W.
Passo 8: usando as equações para o sistema global (exceto uma das equações de ba-
lanço por componentes, por ser dependente das demais) e substituindo as variáveis 
conhecidas.
F F1 1
2
1200 300
x F FA F 1 0 80
1
2
0 60 1200 0 00 3001, . , . , . , .
x FB F1, . 11 0 20
1
2
0 40 1200 0 05 300, . , . , .F
11 1 1, , ,x x xA F B F C F
Passo 9: simplificando e resolvendo as equações, chegamos aos valores solicitados 
pelo problema – vazão e composições da corrente F1.
3
2
1 1500 1 1000
0 40 1 720
0 40 1000
1
1
F F kg h
x F
x
A F
A F
� � �
� �
� �
/
( , ) .
( , ) .
,
, 7720 0 320
0 10 1 495
0 10 1000 495
1
1
1
� �
� �
� � �
x
x F
x x
A F
B F
B F
,
,
,
,
( , ) .
( , ) . BB F
C F A F B F
C F C F
X X X
X X
,
, , ,
, ,
,
, , ,
1
1 1 1
1 1
0 395
1
1 0 32 0 395 0 2
�
� � �
� � � � � 885
40 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Passo 10: podemos conferir o resultado com a equação de balanço para o compo-
nente C, que não utilizamos.
x F x F x P x PC F C F C P C P, , , ,. . . .
, . . .
1 2 1 21 2 1 2
0 285 1000 0 1000
2
0 12
� � �
� � 000 0 95 300
285 285
�
�
, .
Note que o fato de o componente C estar presente somente em uma corrente de 
entrada e uma corrente de saída (no sistema global) facilita consideravelmente o 
problema, pois tudo o que estava saindo de C na corrente P2 estava entrando no 
sistema por meio da corrente F1.
Para praticar, você pode retornar aos balanços por etapas e caracterizar a corrente 
W. Conseguiu chegar aos seguintes resultados: vazão de 1500 kg/h, sendo 48% A, 
33% B e 19% C?
Reciclo, Bypass e Purga
Neste tópico final, abordaremos brevemente três aspectos importantes quando tra-
tamos dos balanços materiais em termos de aplicação industrial. Essencialmente, são 
manobras realizadas nas correntes de processo que permitem seu funcionamento 
de maneira eficiente, contínua e controlável. Os balanços materiais entram com o 
papel de mensurar estas manobras e passam a ter um nível de complexidade maior.
Reciclo: corrente do processo que é alimentada em uma etapa anterior àquela que 
a originou (veja Figura 6).
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Processo 1Alimentação
Reciclo
Processo 2 Produto
Figura 6 - Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo reciclo
Fonte: os autores.
41UNIDADE 1
Em processos envolvendo reação química, o uso de reciclo pode aumentar a conver-
são alcançada pelos reatores, retornando os reagentes não consumidos ao processo 
e garantindo que eles sejam transformados no produto desejado. Em operações de 
separação, como destilação ou filtração, o reciclo pode ser utilizado com uma ideia 
semelhante: aumentar a eficiência do processo e servir para manter alguma corrente 
dentro das suas especificações. 
Vejamos, a seguir, um exemplo de operação com uso de reciclos.
Deseja-se concentrar uma corrente (F) contendo uma solução de 10% Hidróxido de 
Sódio (NaOH) em água por meio de um processo integrado de evaporação, cristaliza-
ção e filtragem. Para atingir maior eficiência no processo, a corrente líquida que passa 
pelo filtro é retornada na forma de reciclo (R). O diagrama a seguir ilustra o processo 
e apresenta as concentrações em cada corrente. Qual a razão entre as vazões R e P?
Processo
AF
10% NaOH
90% H2O
P
96% NaOH
4% H2O
R
50% NaOH
50% H2O
E
30% NaOH
70% H2O
W
100% H2O
Passos 1, 2, 3 e 4: o diagrama fornecido pelo problema já é o resultado dos primeiros 
passos.
Passo 5: por praticidade ao trabalhar com porcentagens, adotaremos a base de cál-
culo de F = 100 kg/h.
Passo 6: nossas variáveis desconhecidas são as vazões P, R, E e W.
Passo 7: mais de um sistema pode ser avaliado. Aqui, faremos em dois deles: no ponto 
em que o reciclo é adicionado à alimentação (ponto A) e o global.
Passo 8: assim, teremos as seguintes equações:
7 EXEMPLO
42 Introdução aos Fenômenos de Transporte
• No ponto A:
F R E
x F x R x E
x F x R x
NaOH F NaOH R NaOH E
H O F H O R H O E
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. .
2 2 2
.. E
• Global:
F P W
x F x P x W
x F x P x
NaOH F NaOH P NaOH W
H O F H O P H OW
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. .
2 2 2
..W
Em ambos os casos, temos duas variáveis desconhecidas e duas equações indepen-
dentes. Portanto, temos graus de liberdade zero em ambas.
Passo 9: resolvendo as equações, chegamos nas respostas desejadas.
• No ponto A:
F R E
R E R E
x F x R x ENaOH F NaOH R NaOH E
� �
� � � � �
� �
�
100 100
0 10 100
, , ,. . .
, . 00 50 0 30
10 0 50 100 0 30
10 0 50 50 0 30
20
, . , .
, . ( ) , .
, , .
R E
E E
E E
E
�
� � �
� � �
� 00 100kg h R kg h/ /� �
Utilizando só o balanço por componente do hidróxido de sódio no ponto A foi 
suficiente para encontrar uma das variáveis desejadas (R). Caso tivéssemos usado 
o balanço por componente da água, chegaríamos no mesmo resultado. Se quiser, 
pode conferir. Aliás, você já deve ter percebido que este é um assunto que demanda 
curiosidade e exercita o raciocínio lógico. 
• Global:
F P W
P W
x F x P x W
P
NaOH F NaOH P NaOH W
� �
� �
� �
� �
100
0 10 100 0 96 0
, , ,. . .
, . , . ..
, / , /
W
P kg h W kg h� � �10 42 89 58
43UNIDADE 1
Assim:
R
P
kg h
kg h
� �
100
10 42
9 60/
, /
,
Passo 10: podemos conferir os resultados obtidos verificando as duas equações 
dependentes não utilizadas.
x F x R x EH O F H O R H O E2 2 2
0 90 100 0 50 100 0 70 200
140 14
, , ,. . .
, . . . , .
� �
� �
� 00
0 90 100 0 04 10 42 1 00 89 58
2 2 2
x F x P x WH O F H O P H OW, , ,. . .
, . , . , , . ,
� �
� �
990 90�
Um exercício interessante é repetir este balanço, mas sem a utilização de um reciclo: se 
quiséssemos obter exatamente o mesmo produto P (em vazão e composição), consi-
derando que a razão R/P é mantida (R/P ≈ 9,60), qual seria a alimentação necessária?
Processo
F
10% NaOH
90% H2O P = 10,42 kg/h
96% NaOH
4% H2O
R
50% NaOH
50% H2O
R/P ≈ 9,60
W
100% H2O
Temos o balanço material global e por componente:
F W R P
x F x W x R x P
x F x
NaOH F NaOH W NaOH R NaOH P
H O F H
� � �
� � �
�
, , , ,
,
. . . .
.
2 2OOW H O R H O PW x R x P, , ,. . .� �2 2
44 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Resolvendo as duas primeiras equações com os valores conhecidos, e utilizando a 
relação R/P ≈ 9,60:
F W R P
F W P P
F W F W
x F xNaOH F N
� � �
� � �
� � � � �
�
9 60
10 60 10 42 110 452
, .
, . , ,
., aaOH W NaOH R NaOH PW x R x P
F W P P
, , ,. . .
, . . , . , . , .
� �
� � �0 10 0 0 50 9 60 0 96
0,, . , . , . ,
, / , /
10 5 76 0 10 60 0192
600 192 489 74
10
F P F
F kg h W kg h
R
� � �
� � �
� 00 032, /kg h
Como você pode observar, para obter a mesma quantidade de produto, o processo 
sem reciclo exigiria uma alimentação seis vezes maior devido às perdas pela corrente 
R, que não foi reaproveitada. A indústria sempre irá buscar minimizar o desperdício.
Bypass: corrente do processo que pula uma ou mais etapas de um processo, 
unindo-se novamente em um estágio posterior. Pode ser usada, por exemplo, para 
controlar a composição de saída de uma etapa (Figura 7).
Purga: corrente retirada do processo com o objetivo de remover inertes (substân-
ciasque não reagem quimicamente) e materiais indesejados, os quais poderiam 
se acumular no sistema pelo uso de correntes de reciclo (Figura 8).
Fonte: adaptado de Himmelblau e Riggs (2003).
Bypass
ProcessoAlimentação Produto
Figura 7 - Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo bypass
Fonte: os autores.
45UNIDADE 1
ProcessoAlimentação
Reciclo
Separador Produto
Purga
Figura 8 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo bypass
Fonte: os autores.
Certo processo industrial é alimentado por uma corrente composta de 30% compo-
nente X e 70% componente Y. O processo é responsável por remover apenas com-
ponente Y, e a corrente de saída precisa sair com 80% de X e 20% de Y para atender 
às especificações de operação dos equipamentos. Contudo, um cliente solicita um 
produto contendo 60% X e 40% Y. Para atender a este pedido, o engenheiro de pro-
cessos sugere o uso de uma corrente de bypass, conforme o diagrama a seguir. Calcule 
a razão entre as vazões B e F que deve ser utilizada para atender ao pedido.
B
E
Processo
F
30% X
70% Y
P
60% X
40% YS
80% X
20% Y
W
100% Y
1 2
Solução:
Passos 1, 2, 3 e 4: o diagrama apresentado contém as informações necessárias. 
Observe que, no ponto 1, a corrente de alimentação se divide entre as correntes B e 
E – esta divisão é puramente física, ou seja, presume-se que as composições são as 
mesmas em ambas as correntes, diferenciando apenas em suas vazões. No ponto 2, 
a corrente de bypass retorna unindo-se à saída do processo (corrente S), formando 
o produto P na composição desejada.
Passo 5: adotaremos a base de cálculo de F = 100 kg/h.
Passo 6: como definimos um valor para F, as variáveis desconhecidas são agora as 
vazões B, E, W, S e P.
8 EXEMPLO
46 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Passo 7: os quatro principais sistemas que devemos prestar atenção são os pontos 1 
e 2, o processo e o sistema global.
Para o sistema global, temos as seguintes equações:
F P W
x F x P x W
x F x P x W
X F X P X W
Y F Y P Y W
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
Aqui temos duas variáveis desconhecidas e duas equações independentes. Dessa 
forma, conseguiremos determinar os valores de vazão para P e W.
Conhecido o valor de P, faz sentido analisar o ponto 2 como segundo sistema. 
Para ele, temos as equações:
B S P
x B x S x P
x B x S x P
X B X S X P
Y B Y S Y P
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
Portanto, teremos apenas duas variáveis desconhecidas (B e S) e duas equações 
independentes. Com isso, podemos determinar B e calcular a resposta pedida pelo 
problema. Traçar a estratégia correta para a resolução de um balanço é uma questão 
clássica para o engenheiro na indústria.
Passos 8 e 9: como proposto, vamos começar resolvendo as equações do sistema global.
F P W
P W
x F x P x W
P W
P
X F X P X W
� �
� �
� �
� �
�
100
0 30 100 0 60 0 00
50
, , ,. . .
, . , . , .
kkg h W kg h/ /� � 50
Agora, para as equações do ponto 2:
B S P
B S B S
x B x S x P
B S
X B X S X P
� �
� � � � �
� �
� �
50 50
0 30 0 80 0 60 5
, , ,. . .
, . , . , . 00
0 30 50 0 80 30
15 0 30 0 80 30
0 50 15
30
, . ( ) , .
, . , .
, .
/
� � �
� � �
�
�
S S
S S
S
S kg hh B kg h� � 20 /
Portando, a razão B/F = 0,20.
47UNIDADE 1
Passo 10: apesar de não ser de extrema necessidade, você poderia conferir o seu 
resultado verificando que os valores obtidos são válidos para calcular a vazão da 
corrente E (80 kg/h). Em seguida, ao fazer o balanço no processo, você observará 
que as equações são válidas.
Certo processo para a formação de água a partir dos gases hidrogênio (H2) e oxigênio 
(O2) foi implantado. Uma corrente (F), contendo ambos os componentes, é alimentada 
a um reator. Em seguida, a corrente de saída passa por um condensador, que remove 
água líquida do processo como produto.
Para evitar a perda de material, procurou-se utilizar os gases remanescentes (que 
não reagiram) como uma corrente de reciclo do processo. Contudo, ao testar a nova 
configuração, observou-se que os níveis de argônio (Ar) – que é um gás inerte – no 
processo começaram a subir. Isto aconteceu porque a corrente contendo hidrogênio 
e oxigênio apresentava, também, baixos traços do gás. Como forma de solucionar o 
problema, você, engenheiro de processos, sugere utilizar uma corrente de purga (P). 
Considerando o diagrama a seguir, qual deve ser a razão entre as vazões P e F, se a 
concentração de argônio na corrente de reciclo não pode ser superior a 7,5%?
F
99,7% H2 e O2
0,3% Ar
92,5% H2 e O2
7,5% Ar
Reciclo
CondensadorReator W
100% Água
P
Passos 1 a 4: o diagrama nos fornece todas as informações necessárias para analisar 
o problema. Note que, apesar de envolver um reator, o problema não está preocupado 
com a reação química, de modo que ela não será necessária. Além disso, é importante 
observar que o reciclo possui a mesma composição da purga, apesar de não estar 
especificado.
Passo 5: como estamos interessados principalmente nas correntes F e P, definiremos 
como base de cálculo o valor de F = 100 kg/h.
Passo 6: observe que os dados fornecidos são, essencialmente, as composições de 
entrada e saída do sistema global. Portanto, intuitivamente, parece fazer sentido 
analisá-lo. Assim, temos duas variáveis desconhecidas: P e W.
9 EXEMPLO
48 Introdução aos Fenômenos de Transporte
Passo 7: note que não conhecemos as composições de H2 e O2 separadamente. 
Contudo, se fizermos o balanço global e o balanço por componente para o argônio, 
teremos duas equações independentes:
F P W
x F x P x WAr F Ar P Ar W
� �
� �, , ,. . .
Logo, se temos duas equações independentes e duas variáveis desconhecidas, a solução 
do nosso problema é possível e determinada (grau de liberdade = 0).
Passos 8, 9 e 10: substituindo os valores conhecidos e resolvendo as duas equações 
do balanço global, podemos calcular o valor pedido pelo problema.
100
0 003 100 0 075 0 000
4 96
4
100
0
� �
� �
� � �
� �
P W
P W
P kg h W kg h
P
F
, . , . , .
/ /
,004 4� %
Isto é, para manter a concentração de argônio no reciclo igual a 7,5%, deve-se purgar 
uma vazão equivalente a 4% da vazão de alimentação.
Com isso, terminamos nossa introdução aos balanços materiais. Como você 
pode ter notado, apesar de não demandarem cálculos sofisticados, os balanços de 
massa trabalham fortes habilidades de interpretação do problema, análise crítica e 
organização. Aprimorar estas qualidades facilitará o seu estudo dos fenômenos de 
transporte, que começaremos propriamente na unidade a seguir.
49
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Um processo precisa produzir 300 libras de uma solução a 10% em massa de 
cloreto de potássio (KCl) em água. Para isso, deve-se misturar uma solução a 0,9% 
do sal e o próprio sal puro seco. Quais devem ser as quantidades misturadas? 
Apresente a resposta em quilogramas (1 kg ≈ 2,205 lb).
2. Deseja-se produzir 1000 kg/h de uma solução de soda cáustica, com concentra-
ção molar de 14,89%. Devido ao alto calor de dissolução da soda em água, este 
processo deve ser feito em duas etapas, de modo que parte da água alimentada 
siga por uma corrente de bypass e retorne no tanque de diluição. Considerando 
o diagrama a seguir, calcule a razão entre as vazões mássicas das correntes E 
e B. As porcentagens são todas molares. Considere que MMNaOH = 40 g/mol, 
MMH2O = 18 g/mol.
Tanque de
Dissolução
Tanque de
Diluição
B = ?
Água de
Alimentação
Soda Cáustica
Solução Produto
P = 1000 kg/h
14,89% NaOH
31,03%
NaOH
S = ?
100% NaOH
F = ?
100% H2O
E = ?
50
3. A dessalinização da água do mar e de águas salobras é comum em países de-
sérticos ou com pouca disponibilidade de água potável, como no Oriente Médio 
e na África. A dessalinização de água pode ser realizada por meio de processos 
de osmose reversa. Admitindo que estão presentes apenas sal e água e consi-
derando a figura a seguir, determine:
a) A vazão de água do mar necessária para alimentar o processo (F).
b) A vazão de salmoura removida(W).
c) A porcentagem da salmoura que sai das células de osmose reversa e é reciclada.
Células de
Osmose
Reversa
Reciclo de Salmoura
R = ?
Água do Mar Salmoura Removida
W = ?
5,25% Sal
S
Água Dessalinizada
P = 2000 kg/h
0,05% Sal
F = ?
3,1% Sal
E
4,0% Sal
51
Engenharia Química – Princípios e Cálculos 8ª Edição
Autor: David M. Himmelblau e James B. Riggs
Editora: LTC Editora – GEN | Grupo Editorial Nacional
Sinopse: uma obra consagrada pela excelente fundamentação de habilidades 
e conhecimentos básicos no contexto da engenharia química. Seu principal 
objeto de estudo são os balanços de massa e de energia, mas trata também da 
descrição de gases, vapores, líquidos e sólidos e diagramas de fases.
Comentário: as duas primeiras partes deste livro abordam os assuntos desta 
primeira unidade de maneira bastante extensiva, com vários exemplos aplicados. 
Além disso, são trabalhados os balanços materiais envolvendo reações quími-
cas, caso o aluno tenha a curiosidade e deseje aprender mais sobre processos 
químicos industriais.
LIVRO
52
HAUKE, G. An introduction to fluid mechanics and transport phenomena. 1. ed. Holanda: Springer 
Netherlands, 2008. 
HIMMELBLAU, D. M.; RIGGS, J. B. Engenharia química – princípios e cálculos. 7. ed. São Paulo: Editora 
LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2003. 
PARTINGTON, J. R. Antoine Laurent Lavoisier, 1743-1794. Nature, [S.l.], v. 152, p. 207-208, ago. 1943.
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de 
Massa. 6. ed. São Paulo: Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2017. 
53
1. O processo descrito pode ser resumido pelo diagrama:
M
100% KCI
P = 300 lb
10% KCI
90% H2O
F
0,9% KCI
99,1% H2O
Fazendo o balanço do processo, temos as equações:
F M P
x F x M x P
x F x M x P
KCl F KCl M KCl P
H O F H O M H O P
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
2 2 2
Temos duas variáveis desconhecidas e duas equações independentes. Substituindo os valores conhecidos e 
resolvendo as equações:
F M M F
F M
F F
� � � � �
� �
� � �
300 300
0 009 1 0 10 300
0 009 300 30
0 991
, . . , .
, . ( )
, ..
, ,
F
F lb M lb
�
� � �
270
272 45 27 55
Por fim, convertendo os resultados em quilogramas:
F lb kg
lb
kg
M lb kg
lb
kg
� �
� �
272 45 1
2 205
123 56
27 55 1
2 205
12 49
,
,
,
,
,
,
54
2. O diagrama contém todas as informações que conhecemos sobre o problema. Contudo, as composições 
das correntes de solução foram dadas em frações molares. Como estamos mais interessados em trabalhar 
com valores mássicos, calcularemos inicialmente as composições mássicas.
Para a corrente P, temos, em base molar, 14,89% NaOH e, portanto, 85,11% H2O. Assumindo a base de cálculo 
de 100 mol de solução P, podemos calcular a massa molar da solução P da seguinte forma:
MM n MM n MM n MM n MM
n n n nmistura
n n n n
n n
�
� � � �
� � � �
� �
�
1 1 2 2 1 1
1 2 1
...
...
MMM
n MM n MM
molP
NaOH NaOH H O H O�
�
2 2
100
Veja que, como conhecemos a composição molar para a base de cálculo empregada, teremos 14,89 mols de 
NaOH e 85,11 mols de H2O:
MM
mol MM mol MM
molP
NaOH H O�
�14 89 85 11
100
2
, . , .
Substituindo as massas molares:
MM
mol g
mol
mol g
mol
mol
MM g mol
P
P
�
�
�
14 89 40 85 11 40
100
21 2758
, . , .
, /
Este valor pode ser utilizado para converter a vazão mássica em molar:
P P
MM
kg
h
mol
g
mol
hmolar
mássica
P
� � �
1000
1
1
21 2758
47000
,
55
Como conhecemos as frações molares, temos as seguintes vazões por componente na corrente de produto:
P mol
h
mol
h
P
NaOH molar
H O molar
,
,
, .
, .
� �
�
0 1489 47000 7000
0 8511 470
2
000 40000mol
h
mol
h
�
Convertendo estes valores em vazões mássicas:
P mol
h
g
mol
kg
h
P mol
h
NaOH mássica
H O mássica
,
,
.= =
=
7000 40 280
40000
2
..18 720g
mol
kg
h
=
Isto é, a corrente de produto P possui 28% NaOH e 72% H2O em massa. Agora, podemos fazer o balanço no 
sistema global, em termos das vazões mássicas:
F S P
x F x S x P
x F x S x
NaOH F NaOH S NaOH P
H O F H O S H O P
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. .
2 2 2
.. P
Temos duas incógnitas (F e S) e duas equações independentes. Além disso, como F e S são correntes puras, a 
solução é bastante simples:
0 1 0 28 1000
280
1 0 0 72 1000
720
. . , .
/
. . , .
/
F S
S kg h
F S
F kg h
� �
�
� �
�
56
Agora, como conhecemos F, podemos fazer o balanço no tanque de dissolução, do qual sai a corrente interme-
diária I. Como não se sabe a composição e vazão mássica desta corrente, faz-se o balanço material em termos 
molares. Teremos o sistema:
E S I
X E X S X I
X E X S X
NaOH E NaOH S NaOH I
H O E H O S H O I
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. .
2 2 2
.. I
Podemos calcular a vazão molar de S:
S kg
h
mol
g
mol
h
= =280
40
7000
Substituindo os valores conhecidos nas duas primeiras equações do sistema, temos:
E I
E I
I I mol
h
E I
� �
� �
� � �
�
7000
0 1 7000 0 3103
7000 0 3103 22558 81
. . , .
, . ,
�� � �7000 15558 81E mol
h
,
Observe que também podemos calcular a vazão mássica de E, por ser uma corrente de água pura:
E mol
h
g
mol
kg
h
� �15558 81 18 280,
Fazendo o balanço no ponto em que a corrente F se divide, temos:
F B E
kg
h
B kg
h
B kg
h
� �
� �
�
720 280
440
57
Assim, podemos enfim calcular a razão pedida pelo problema:
E
B
� �
280
440
63 63, %
3. O diagrama nos fornece todas as composições das correntes e a vazão de água dessalinizada que deve ser 
atingida. Dessa forma, as únicas variáveis desconhecidas são as demais vazões.
Fazendo o balanço global, temos as equações:
F P W
x F x P x W
x F x P x W
Sal F Sal P Sal W
H O F H O P H OW
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
2 2 2
Portanto, temos duas equações independentes e duas variáveis desconhecidas (F e W). Resolvendo estas 
equações com os valores conhecidos, teremos:
F W
F W
W
� �
� �
� � �
2000
0 031 0 0005 2000 0 0525
0 031 2000 1 0 052
, . , . , .
, . ( ) , 55
62 0 031 1 0 0525
2837 21 4837 21
.
, . , .
, / , /
W
W W
W kg h F kg h
� � �
� � �
58
Com isso, chegamos às respostas pedidas nos itens (a) e (b).
Em seguida, para chegar à porcentagem da salmoura que é reciclada, precisamos definir sua vazão. Para isto, 
faremos um balanço no ponto em que o reciclo se une à alimentação do sistema, formando a corrente resul-
tante que entra na célula de osmose (E) com concentração de 4,0% em sal:
F R E
x F x R x E
x F x R x E
Sal F Sal R Sal E
H O F H O R H O E
� �
� �
� �
, , ,
, , ,
. . .
. . .
2 2 2
Como agora conhecemos F, temos novamente duas equações independentes e apenas duas variáveis desco-
nhecidas (R e E). Logo:
4837 21
0 031 4837 21 0 0525 0 04
149 95 0 0525 19
,
, . , , . , .
, , .
� �
� �
� �
R E
R E
R 33 49 0 04
3483 2 8320 41
, , .
, / , /
�
� � �
R
R kg h E kg h
Agora, precisamos apenas saber a vazão de saída de salmoura do processo (S). Ela pode ser obtida fazendo 
o balanço nas células de osmose reversa ou, até mesmo, no ponto que se divide entre o reciclo e a salmoura 
removida:
E P S
S
S kg h
S R W
S
S
� �
� �
�
� �
� �
�
8320 41 2000
6320 41
3483 2 2837 21
632
,
, /
, ,
00 41, /kg h
Finalmente, podemos calcular a resposta pedida no terceiro item:
R
S
� �
3483 2
6320 41
55 11,
,
, %
59
60
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Introduzir o estudo da mecânica dos fluidos por meio 
da conceptualização dos fluidos, seguida da definição da 
tensão de cisalhamento.
• Definir os conceitos de viscosidade absoluta (dinâmica), 
massa específica, peso específico e viscosidade cinemática. 
• Estudar a teoria matemática da análise dimensional, apre-
sentando sua aplicação na mecânica dos fluidos e os nú-
meros adimensionais.
Definindo os Fluidos
Propriedades dos Fluidos
Análise Dimensional
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Introdução à Mecânica 
dos Fluidos
Definindo 
os Fluidos
Em suas aulas de física, muito provavelmente, 
você estudou assuntos relacionados aos chama-
dos fluidos, comoo conceito de pressão e a Lei de 
Pascal, por exemplo. No contexto dos fenômenos 
de transporte, a mecânica dos fluidos busca levar 
este estudo adiante, explicando o comportamen-
to físico dos fluidos e as leis que o regem. Ela é, 
portanto, uma ciência fundamental em diversas 
vertentes da engenharia, pois possui aplicação 
prática a muitas situações, como escoamentos em 
tubulações, pressões em barragens, deslocamento 
de fluidos e, até mesmo, aerodinâmica (afinal, o 
próprio ar atmosférico é um fluido).
63UNIDADE 2
Podemos afirmar que a mecânica dos fluidos é uma das ciências básicas mais 
fundamentais para os engenheiros. A palavra “mecânica” remete ao estudo do com-
portamento de sistemas submetidos a uma ou mais forças. A palavra “fluido”, por 
outro lado, pode ser um pouco mais difícil de se definir. Vamos começar por uma 
definição mais elementar: fluido é uma substância que, ao ser colocada em um reci-
piente, assume o formato do recipiente, não possuindo forma própria. Baseado nesta 
definição, podemos, então, concluir que líquidos e gases são fluidos, diferentemente 
dos sólidos, como ilustra a Figura 1:
Superfície livre
LíquidoSólido
Fluidos
Gás
Figura 1 - Comparação entre fluidos e sólidos em um recipiente
Fonte: Brunetti (2008, p. 1).
É importante observar que, enquanto os gases ocupam todo o recipiente, os líquidos 
podem apresentar uma superfície livre caso o recipiente não esteja completamente 
cheio. 
Apesar de esta ser uma definição suficiente para dizer se uma substância é um 
fluido ou não, a mecânica dos fluidos faz mais sentido se partirmos de uma defi-
nição um pouco mais abstrata: fluido é qualquer substância capaz de fluir. Para 
desenvolvermos melhor esta ideia, descreveremos a observação prática chamada de 
“experiência das duas placas”.
Considere um sólido de material qualquer, preso entre duas placas planas, uma 
inferior e uma superior. É então exercida uma força sobre a placa tangencial ao sólido, 
na direção do plano da placa, como na Figura 2a. Mantendo a força constante, o que 
se observa é que o sólido é deformado de maneira angular até certo limite, no qual 
as tensões internas equilibram a força externa aplicada, atingindo uma condição de 
equilíbrio estático (Figura 2b). 
64 Introdução à Mecânica dos Fluidos
(a) (b)
F = ct
te F = ct
te
Figura 2 - Experiência das duas placas para um sólido
Fonte: Brunetti (2008, p. 2).
Dessa forma, podemos dizer que: ao aplicar uma força tangencial constante a um 
sólido, ele se deforma angularmente até atingir uma nova posição de equilíbrio 
estático.
Agora, vejamos o que acontece com um fluido submetido a esta mesma expe-
riência. Imagine que seja possível acompanhar cada unidade de fluido ao longo do 
experimento. Para facilitar a visualização, denominaremos o volume de ABCD, cada 
letra correspondendo a uma extremidade (Figura 3a). 
Ao aplicar a força tangencial à placa superior, ela passa a se deslocar a uma veloci-
dade v. O que se observa é que os pontos do fluido em contato com a placa superior 
(lado AD) adquirem esta mesma velocidade v, enquanto os pontos do fluido em 
contato com a placa inferior (lado BC) ficam parados junto dela (veja a Figura 3b). 
Surge, portanto, o princípio da aderência: quando em contato com uma superfície 
sólida, os pontos de um fluido aderem-se aos pontos desta superfície. 
Dessa forma, se a força tangencial for mantida sobre a placa superior, movendo-a 
à velocidade v, as partículas de fluido em contato também se moverão à velocidade v, 
na mesma direção e sentido. Isto significa que a condição de equilíbrio estático não 
será atingida, de modo que o volume de fluido poderá se deformar continuamente 
(veja a Figura 3c).
(a)
A
B
D
C
(b)
A
B B
D
C
F = ct
te
(c)
A D
C
F = ct
te
Figura 3 - Experiência das duas placas para um fluido
Fonte: Brunetti (2008, p. 2).
65UNIDADE 2
Essa experiência permite, portanto, diferenciar sólidos de fluidos sob a perspectiva da 
mecânica dos fluidos: quando submetidos a forças tangenciais, sólidos se deformam 
limitadamente, enquanto fluidos podem se deformar continuamente sem alcançar 
um novo equilíbrio estático. Nossa definição final de fluido será então:
Fluido: substância que se deforma continuamente quando submetida à ação de 
uma força tangencial constante qualquer.
Fonte: adaptado de Brunetti (2008).
Apesar de parecer exagero chegar a esta definição, você verá, em capítulos futuros, 
que o princípio da aderência é fundamental para compreender certos conceitos, 
como o de camada limite, que é essencial no estudo tanto da mecânica dos fluidos 
quanto dos demais fenômenos de transporte. Outra observação importante pode ser 
feita com relação à experiência de duas placas. Para tanto, é necessário antes definir 
o conceito de tensão de cisalhamento.
Tensão de Cisalhamento – Lei de Newton 
da Viscosidade
Considere uma superfície de área A, sobre a qual é aplicada uma força F . Podemos 
decompor esta força na sua componente tangencial (Ft ) e na sua componente normal 
à superfície (Fn), como mostra a Figura 4. Nesta unidade, discutiremos sobre a com-
ponente tangencial e, na próxima, analisaremos a componente normal.
A
Fn
Ft
F
Figura 4 - Ação de uma força sobre uma superfície e suas componentes normal e tangencial
Fonte: Brunetti (2008, p. 3).
66 Introdução à Mecânica dos Fluidos
A tensão de cisalhamento é definida como a razão entre o módulo da componente 
tangencial da força e a área da superfície em que é aplicada:
t =
F
A
t
Portanto, é a força tangencial por unidade de área, sendo dada, geralmente, em N/m² 
(SI), kgf/m² ou dina/cm².
Voltando à experiência de duas placas, note que, no caso dos fluidos, ao exercer 
a força tangencial sobre a placa, ela passa a ser acelerada da velocidade nula até uma 
velocidade finita, v0, que permanece constante ao longo do experimento. Isto é, a partir 
de um determinado momento, não há mais aceleração. Pela segunda Lei de Newton 
da dinâmica, isto significa que a resultante das forças deve ser nula (condição de 
equilíbrio dinâmico). Como não existem outras forças externas atuando no sistema, 
conclui-se que a força aplicada na placa é equilibrada por forças internas do fluido.
Para entender estas forças internas, podemos recorrer ao princípio da aderência. 
Na experiência, a camada de fluido junto à superfície superior move-se à velocidade 
v0, enquanto a camada de fluido junto à superfície inferior terá velocidade nula. As 
camadas intermediárias, por sua vez, passam a se mover conforme um gradiente de 
velocidades, indo de zero (na placa inferior) até v0 (na placa superior), como mostra 
a Figura 5a.
(a) (b)
(c)
Ft
A
y
y + dy
v + dv
v
B
Diagrama
de velocidades
v0
v0v
v1
v2
y
v2
v1
(v1 é maior
que v2)
� � �
Figura 5 - Gradiente de velocidade e tensões de cisalhamento entre as camadas de fluido na expe-
riência de duas placas
Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
67UNIDADE 2
Este deslizamento entre camadas (por estarem em velocidades diferentes) faz com 
que elas exerçam forças tangenciais umas sobre as outras, criando tensões de cisa-
lhamento (veja a Figura 5(b)), equilibrando a força externa Ft, e fazendo com que a 
placa superior fique com a velocidade constante v0. Newton evidenciou que, para a 
grande maioria dos fluidos, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente 
de velocidade (variação da velocidade v na coordenada y – veja a Figura 5(c)). Ma-
tematicamente, podemos escrever esta afirmação da seguinte forma:
τ α
τdv
dy
ou dv
dy
cte= .
Esta é a chamada lei de Newton da viscosidade. Fluidos que obedecem esta relação 
são chamados de fluidos newtonianos, como água, ar e óleos, por exemplo. Fluidos 
não newtonianos não serão trabalhados, pois são de menor interesse geral e pode 
ser bastante difícil descrever seu comportamento.
Sir Isaac Newton (4 de janeiro de 1643 – 31 de março de 1727) foi um físico e ma-
temático inglês reconhecido como o ícone da revolução científica do século XVII. 
A descoberta da decomposiçãoda luz branca, suas três leis da mecânica clássica, 
a lei da gravitação universal e suas contribuições no desenvolvimento do cálculo 
diferencial e integral são consideradas como alguns de seus principais trabalhos.
Fonte: Westfall (2018, on-line)1.
68 Introdução à Mecânica dos Fluidos
Vamos, agora, discutir algumas propriedades 
bastante importantes para a análise dos fluidos e 
escoamentos. A primeira delas é encontrada no 
tópico que você acabou de estudar: a lei de New-
ton da viscosidade; mas afinal, você saberia definir 
o que é a viscosidade?
Propriedades 
dos Fluidos
69UNIDADE 2
Quando um objeto sólido desliza em relação a outro, observamos o surgimento 
de uma força na superfície de contato, na direção oposta ao movimento – a chamada 
força de atrito. De forma análoga, quando um fluido se movimenta em relação a um 
sólido ou a outro fluido, observa-se que também existe uma resistência ao movimento. 
A propriedade que representa esta resistência é a viscosidade. Naturalmente, existem 
fluidos com maiores ou menores viscosidades, afinal, é muito mais fácil correr ao ar 
livre (onde estamos imersos em ar, um fluido) do que em uma piscina cheia de água.
Como vimos, para fluidos newtonianos, a tensão de cisalhamento é proporcional 
ao gradiente de velocidade. A constante de proporcionalidade é justamente a visco-
sidade dinâmica ou absoluta (m) do fluido:
τ
τ µdv
dy
cte dv
dy
� � �.
No SI, três formas comuns de expressar as unidades de viscosidade são: kg/(m.s), 
N.s/m² ou Pa.s (em que Pa é a unidade de pressão, pascal). Outra unidade comum 
é o poise (P), equivalente a 0,1 Pa.s, sendo também frequentemente utilizado como 
centipoise (cP, um centésimo de poise). A viscosidade da água a 20 ºC é de 1 cP, por 
isso a unidade serve como uma referência conveniente.
De forma prática, podemos dizer que a viscosidade é a propriedade que representa 
a dificuldade de o fluido escoar. Ela surge em nível microscópico, devido à coesão 
das moléculas e os choques entre elas. Por causa disso, ela é também variável com a 
temperatura. Você pode verificar este fenômeno fazendo a seguinte comparação: o 
óleo de cozinha espalha melhor antes ou depois de aquecê-lo? Em líquidos, o aumento 
da temperatura reduz a viscosidade, enquanto nos gases, o aumento da temperatura 
aumenta a viscosidade. 
A seguir, analisaremos um exemplo para nos apropriar melhor do assunto que 
estamos discutindo. Muitos dos exemplos abordados no livro são utilizados para que 
possamos, também, aprender conceitos novos. Por isso, não se preocupe se, neste 
momento, você não conseguir desenvolvê-lo sozinho. Às vezes a teoria é melhor 
compreendida quando utilizamos um exemplo prático, não é mesmo? 
70 Introdução à Mecânica dos Fluidos
É necessário substituir o lubrificante do pistão de certo equipamento. Você sabe que 
o pistão é cilíndrico, com massa de 500 g, diâmetro de 15 cm e altura de 6 cm. Ele 
trabalha dentro de um cilindro com 15,1 centímetros de diâmetro e deve cair com 
a velocidade constante de 1,4 m/s. Qual deve ser a viscosidade do lubrificante para 
atender a estas condições de operação? Considere uma aceleração da gravidade de 
10 m/s².
Solução:
Para facilitar a visualização, podemos fazer um esboço do problema:
Força Peso (P)
Lubrificante
h = 6 cm
D = 15,1 cmc
D = 15,0 cmp
�
Para que o pistão caia à velocidade constante, é necessário que ele esteja em equilíbrio 
dinâmico: há movimento, mas não há aceleração. Pela segunda lei de Newton, temos:

F m a� � �. 0
Aqui, duas forças estão atuando: o próprio peso do pistão (P) e a força da tensão de ci-
salhamento (Ft), que é a resistência do lubrificante ao movimento. Assim, em módulo:
F Pt =
Lembre-se que, pela definição de tensão de cisalhamento:
t =
F
A
t
F At = t .
1 EXEMPLO
71UNIDADE 2
A tensão de cisalhamento (t ) pode ser avaliada por meio da lei de Newton da 
viscosidade, enquanto a área em questão é a área lateral do pistão. Lembre-se que o 
pistão é um cilindro, cuja área lateral é calculada pelo produto da sua circunferência 
e seu comprimento. Logo:
τ µ π= =
dv
dy
A D hp; . .
F A dv
dy
D h Pt p� �
�
�
�
�
�
� �τ µ π. . ( . . )
Note que, para calcularmos a viscosidade por meio desta equação, é necessário ava-
liarmos o gradiente de velocidades de alguma maneira. O procedimento rigoroso e 
de resultado mais preciso seria empregar coordenadas polares para resolver a integral. 
Entretanto, em algumas situações, é possível simplificar o gradiente de velocidade, 
assumindo a variação de velocidade como linear. Observe o diagrama a seguir:
�
y
dy
dy
v2
dv
v1
Nesta representação, uma variação dy na direção do eixo y corresponde a uma va-
riação dv na velocidade. Contudo, quando a distância (ε) entre as superfícies for 
relativamente pequena, é razoável considerar que esta variação é linear, como na 
figura a seguir:
�
y
dy
v0
dv
72 Introdução à Mecânica dos Fluidos
Assim, podemos simplificar a lei de Newton para a seguinte forma:
τ µ
ε
=
v0
Retornando ao exemplo, note que a distância ε da parede do cilindro ao pistão é 
correspondente a:
e �
�
�
D D
cmc p
2
0 05,
Esta é uma distância razoavelmente pequena para considerarmos um gradiente de 
velocidade linear. Assim:
µ
ε
π
v D h Pp0
�
�
�
�
�
� �. ( . . )
A força peso do pistão é dada por:
P m g= .
Portanto, isolando a viscosidade e admitindo uma aceleração da gravidade de 10 m/s², 
chegamos ao resultado desejado:
µ
ε
π
µ
�
�
m g
v D h
kg m s m
m s
p
. .
. . .
( , ) . ( / ²) . ( , )
( , / ) . ( ,
0
0 500 10 0 0005
1 4 3 114 0 15 0 06
6 32 10 2 3
) . ( , ) . ( , )
, .
. ².
².
m m
kg m s
s m
µ � �
A unidade base de Newton é N
kg m
s
=
.
2 . Assim, temos que:
� � �6 32 10 2 2, .
.N s
m
Apenas para fins comparativos, o resultado mais preciso para este problema (não consi-
derando o gradiente de velocidade linear) seria de, aproximadamente, 6,29.10-2 N.s/m². 
Isso indica um erro de 0,48%, que pode ser admitido como desprezível, comprovando 
a viabilidade da simplificação feita.
73UNIDADE 2
A viscosidade é uma das características mais importantes no momento de escolher 
o melhor óleo lubrificante para um carro. Na prática, o produto precisa ser viscoso o 
suficiente para criar uma película protetora entre as partes do motor, mas não pode 
ser tão viscoso a ponto de oferecer muita resistência ao movimento das peças, exigir 
mais força para ser bombeado e fluir lentamente pelo motor. Os menos viscosos 
circulam com mais facilidade, permitindo uma lubrificação mais rápida e que alcança 
cada centímetro das peças. Essa excelente fluidez faz com que nenhuma parte se 
desgaste mais do que outra, diminuindo a necessidade de pequenas manutenções.
Fonte: Stabelini ([2019], on-line)2.
As próximas propriedades que iremos abordar são relativamente simples, mas seus 
nomes podem causar certas confusões. Para evitar que isso ocorra, iremos caracteri-
zar: densidade, massa específica e peso específico. Nos seus estudos, os fluidos serão 
admitidos como meios contínuos e homogêneos, ou seja: as propriedades em cada 
ponto do fluido coincidem com as suas propriedades médias. Com isso em mente, 
vamos começar diferenciando densidade de massa específica.
Considere um corpo de massa ( m ) e volume total (V ), seja ele maciço ou oco. 
É possível definir, matematicamente, a densidade desse corpo por meio da seguinte 
relação: 
d m
V
=
Caso o corpo analisado seja maciço e homogêneo ou caso a parte oca seja descon-
siderada, a densidade é chamada de massa específica (ρ). Em geral, depende da 
temperatura e da pressão, sendo característica do fluido. No SI, a unidade é kg/m³.
r =
m
V
É também comum chamar a massa específica de “densidade absoluta”. Contudo, al-
guns materiais utilizam o termo “densidade” de forma mais genérica, referindo-se a 
corpos e objetos, em vez de substâncias específicas. Isso pode gerar dúvidas quando 
os objetos forem maciços ou ocos, por isso, será evitado ao longo deste material.
74 Introdução à Mecânicados Fluidos
Por sua vez, o peso específico (γ) segue uma lógica semelhante: é o peso (P) por 
unidade de volume (V). No SI, a unidade é N/m³, sendo comum também encontrá-la 
dada em kgf/m³:
g =
P
V
Como o peso é o produto da massa com a aceleração da gravidade, ou seja,P m g= . , 
é possível traçar uma relação entre peso específico e massa específica:
γ γ ρ� � �
m g
V
g. .
Para líquidos, estas duas propriedades são essencialmente constantes, pois podem ser 
consideradas substâncias incompressíveis, ou seja, uma variação na pressão não varia 
o seu volume. Para gases, os efeitos da pressão não podem ser desprezados. Vejamos, 
agora, um exemplo para esclarecer o que acabamos de estudar.
Você possui duas esferas, uma maciça e uma oca, feitas de um único e mesmo material. 
Conhecendo suas massas e volumes, calcule a massa específica e o peso específico 
deste material, e a densidade de cada esfera.
Esfera A
Maciça
Volume: 3 cm³
Massa: 9 g
Esfera B
Oca
Volume: 5 cm³
Volume vazio: 2 cm³
Massa: 9 g
Solução:
Ambas as esferas são do mesmo material. Calculando a massa específica do material 
para a esfera A, temos:
rA
A
A
m
V
g
cm
g cm kg m= = = =9
3
3 3000
³
/ ³ / ³
2 EXEMPLO
75UNIDADE 2
Ao fazer o mesmo para a esfera B, devemos nos atentar a utilizar apenas o volume 
de material, ou seja, descontando a parte oca. Dessa forma:
rB
B
B total B vazio
m
V V
g
cm cm
g cm kg m�
�
�
�
� �
, , ( ³ ³)
/ ³ /
9
5 2
3 3000 3
De fato, se o material de ambas as esferas é o mesmo, a massa específica deve ser a 
mesma. Considerando uma aceleração da gravidade de 10 m/s², podemos avaliar o 
peso específico facilmente:
γ ρ= = = =.
³
g kg
m
m
s
N
m
3000 10 30 300002 3
Agora, calculando a densidade da esfera A:
d m
V
g
cm
g
cm
kg
mA
A
A
= = = =
9
3
3 30003 3 3
Note que este resultado é igual à massa específica do material. Isto faz sentido pois 
ela é maciça. Por outro lado, ao calcularmos a densidade da esfera B, veremos que, 
apesar de ter massa e volume de material idênticos ao da esfera A, o fato dela ser oca 
faz com que sua densidade seja menor:
d m
V
g
cm
g
cm
kg
mB
B
B total
= = = =
,
,9
5
1 8 18003 3 3
Sabendo o que é viscosidade dinâmica/absoluta e a massa específica, podemos defi-
nir a chamada viscosidade cinemática (n ), obtida pela razão entre a viscosidade 
absoluta e a massa específica:
ν
µ
ρ
=
No SI, sua unidade é m²/s. Existe também outra unidade utilizada com frequência, o 
stoke (St), equivalente a cm²/s, sendo também frequentemente utilizado o centistoke 
(cSt). Este é um parâmetro importante para a mecânica dos fluidos, sendo também 
chamado de “difusividade de momento”.
Por fim, conhecidas estas propriedades, é importante definirmos dois conceitos 
fundamentais para o restante de seu estudo:
76 Introdução à Mecânica dos Fluidos
A seguir, abordaremos a técnica de análise dimen-
sional, importante para compreender as variáveis 
e grandezas fisicamente. Demonstraremos o seu 
uso com as propriedades que você acabou de es-
tudar neste tópico.
Fluido ideal: aquele cuja viscosidade é nula, sem 
perdas de energia por atrito e sendo também in-
compressível. Naturalmente, não existem fluidos 
ideais, mas às vezes este conceito é utilizado em 
problemas de mecânica dos fluidos.
Escoamento incompressível: escoamento de 
fluido, em que seu volume não varia ao modificar 
a pressão. Em geral, os escoamentos podem ser 
considerados incompressíveis, pois ou o fluido 
é um líquido ou as velocidades em questão são 
baixas.
Fonte: adaptado de Çengel e Cimbala (2015).
77UNIDADE 2
Muitos casos da engenharia na vida real não são 
viáveis de serem resolvidos de forma puramente 
analítica, seja porque não conhecemos ou não 
conseguimos resolver as equações ou, ainda, por-
que a quantidade de variáveis é muito grande. Por 
isso, às vezes, a experimentação é o único méto-
do que permite produzir modelos matemáticos 
capazes de descrever os fenômenos observados. 
Contudo, experimentos exigem tempo e dinheiro, 
sendo fundamental projetá-los de maneira en-
xuta, em que seus resultados são aproveitados de 
forma eficiente. A análise dimensional surge para 
alcançar esta eficiência, racionalizando a pesquisa 
e reduzindo custos e tempo.
Análise 
Dimensional
78 Introdução à Mecânica dos Fluidos
Os três principais propósitos da análise dimensional são:
• Desenvolver modelos matemáticos capazes de descrever o fenômeno em estudo.
• Elaborar parâmetros adimensionais (sem dimensão) que facilitam a interpre-
tação de resultados experimentais e o design de experimentos.
• Prever semelhanças entre parâmetros e fenômenos.
O objetivo aqui não é desenvolver matematicamente as estratégias de análise dimen-
sional, mas fornecer formas de utilização prática deste assunto. Para isso, começaremos 
com o conceito de equações dimensionais.
Equações Dimensionais
Na descrição de fenômenos físicos, encontramos diversos tipos de grandezas diferentes, 
por exemplo: força, aceleração, velocidade, energia, tempo e espaço. Como você bem sabe, 
cada uma destas grandezas é dada por dimensões e unidades diferentes. Contudo, ao ana-
lisá-las, podemos identificar que elas não são todas independentes entre si, uma vez que 
estão relacionadas por leis físicas e definições. Assim, podemos reduzir este conjunto de 
grandezas para apenas três grandezas independentes, a partir das quais podem ser obtidas 
todas as outras, sendo chamadas de base completa da Mecânica.
Por exemplo, a grandeza “velocidade” nada mais é do que uma combinação das 
grandezas “espaço” e “tempo”. Afinal, se um corpo percorre 20 metros (espaço) em 5 
segundos (tempo), podemos dizer que ele está se movendo a 4 metros por segundo 
(velocidade). Assim, a grandeza “velocidade” depende das grandezas independentes 
“espaço” e “tempo”.
As grandezas utilizadas como independentes podem ser escolhidas conforme a conve-
niência, mas, em geral, costumam ser: força, comprimento e tempo (base FLT). Esta será 
a base adotada ao longo deste material, mas fique atento, pois não é tão raro encontrar 
materiais que utilizem a base MLT: massa, comprimento e tempo. As demais grandezas 
que não fazem parte da sua base completa são denominadas grandezas derivadas.
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
79UNIDADE 2
Estabelecidos estes conceitos, podemos então definir o que são as chamadas 
equações dimensionais.
Equação dimensional: equação monômia (ou seja, de um único termo) que relaciona 
uma grandeza derivada com a base completa.
Fonte: Brunetti (2008).
Agora, vamos explorar o uso da análise dimensional por meio das propriedades dos 
fluidos que estudamos anteriormente.
Escreva a equação dimensional da viscosidade cinemática na base FLT.
Solução:
Sabemos que a viscosidade cinemática é dada pela razão entre a viscosidade dinâmica 
e a massa específica:
ν
µ
ρ
=
É necessário, inicialmente, analisar as dimensões destas duas propriedades. A massa 
específica, por definição, é a razão entre massa e volume:
r =
m
V
Note que estamos trabalhando com a base FLT: força, comprimento e tempo. Isso 
significa que a massa é uma de suas grandezas derivadas e deve ser escrita em função 
das grandezas fundamentais. A lei física que consegue expressar a massa nessa base 
é a segunda lei de Newton:
F m a m F
a
� � �.
3 EXEMPLO
80 Introdução à Mecânica dos Fluidos
A força (F) é uma de nossas grandezas fundamentais. Portanto, ao analisar sua di-
mensão, temos que [F] = F. A aceleração (a), por outro lado, tem unidades de compri-
mento dividido por tempo ao quadrado, como m/s², por exemplo. Suas dimensões 
são, portanto: [a] = L/T² = LT-2. Assim:
m F
a
m F
a
F
LT
FT
L
FT L� � � � � ��
�
[ ]
[ ]
[ ] 2
2
2 1
De forma semelhante, sabemos da geometria que volume (V) tem dimensões de 
comprimento ao cubo, ou seja: [V] = L³. Combinando [m] e [V], temos para a massa 
específica:
[ ]
[ ]
[ ]
r � � �
�
�m
V
FT L
L
FT L
2 1
3
2 4
Resta agora verificar as dimensõesda viscosidade absoluta. Pela lei de Newton da 
viscosidade, temos:
τ µ µ
τ
� � �
dv
dy dvdy
Como definimos anteriormente, a tensão de cisalhamento é:
t =
F
A
t
A força tangencial (Ft) é, evidentemente, uma força, portanto, uma grandeza funda-
mental: [Ft] = F. Por sua vez, da geometria sabemos que a área (A) tem dimensões de 
comprimento ao quadrado: [A] = L². Combinando-as, temos, então:
[ ]
[ ]
[ ]
t � � � �
F
A
F
L
FLt 2
2
O gradiente de velocidade dv dy� � também pode ser analisado da mesma maneira: 
são variações de velocidade (comprimento/tempo) por variações de posição (com-
primento). Assim:
dv
dy
v
y
LT
L
T�
�
�
�
�
� � � �
�
�[ ]
[ ]
1
1
81UNIDADE 2
Portanto, as dimensões da viscosidade absoluta são:
[ ]
[ ]
µ
τ
�
�
��
�
��
� �
�
�
�
dv
dy
FL
T
FL T
2
1
2
Finalmente, combinando a viscosidade absoluta e a massa específica, podemos es-
crever a equação dimensional da viscosidade cinemática na base FLT, que é o que 
desejamos:
[ ]
[ ]
[ ]
ν
µ
ρ
� � � �
�
�
� �FL T
FT L
F L T L T
2
2 4
0 2 1 2 1
O nome viscosidade “cinemática” é devido ao fato de suas dimensões não envolve-
rem força, apenas comprimento e tempo – as próprias grandezas fundamentais da 
cinemática, suficientes para relacionar todas as grandezas derivadas deste campo 
da física. Outros, como termodinâmica e eletromagnetismo, podem demandar mais 
do que três grandezas fundamentais.
Números Adimensionais
No estudo dos fenômenos de transporte, é comum nos depararmos com alguns nú-
meros que, apesar de possuírem grande significado prático e físico, não apresentam 
unidades. São os chamados números adimensionais, que independem de todas as 
grandezas fundamentais e costumam ser indicados pela letra grega π.
Para melhor ilustrar como eles funcionam, vamos começar por um dos números 
adimensionais mais fundamentais e conhecidos da mecânica dos fluidos: o número 
de Reynolds (Re).
Re
. . .
= =
ρ
µ ν
v D v D
Em que ρ é a massa específica do fluido, v é a velocidade do escoamento, D é o 
diâmetro da tubulação, µ é a viscosidade absoluta do fluido e n (letra grega) é a 
viscosidade cinemática.
82 Introdução à Mecânica dos Fluidos
Façamos, inicialmente, a análise dimensional desta equação. Nos exemplos ante-
riores, verificamos que [ ]r � �FT L2 4 e [ ]� � �FL T2 . Além disso, v é uma velocidade 
e D é um comprimento, então: [ ]v LT� �1 e [ ]D L= . Combinando-os na forma do 
número de Reynolds, teremos:
[Re]
[ ] .[ ] . [ ]
[ ]
. .
� � �
� �
�
ρ
µ
v D FT L LT L
FL T
F T L
2 4 1
2
0 0 0
Como todos os expoentes são iguais a zero, conclui-se que o número de Reynolds 
independe das grandezas fundamentais força, comprimento e tempo. Assim, por 
definição, é um número adimensional.
As utilidades do número de Reynolds serão mais bem discutidas nas unidades a 
seguir, mas já vale mencionar de antemão que seu principal uso é na caracterização 
de escoamentos de fluidos, como laminares ou turbulentos, sendo de grande impor-
tância tanto na mecânica dos fluidos quanto nos processos de transferência de calor 
e massa. Dessa forma, o número de Reynolds demonstra que este comportamento 
do escoamento depende de um conjunto de grandezas e não delas individualmente. 
Afinal, de onde surgem os números adimensionais e como eles têm tamanha 
significância? Neste material, você será poupado das raízes matemáticas rigorosas 
e exaustivas que existem por trás destes números, como o chamado Teorema Pi de 
Buckingham, utilizado na concepção de um número adimensional para um certo 
fenômeno. Em vez disso, faremos uma apresentação qualitativa em que seja mais fácil 
compreender o papel dos números adimensionais.
Brunetti (2008) sugere o seguinte exemplo: imagine que você deseja determinar 
a força F de resistência ao avanço de uma esfera lisa mergulhada em um fluido. Tal 
força costuma ser chamada de força de arrasto ou arraste.
Experimentalmente, observa-se que esta força é uma função de variáveis, como 
o diâmetro ( D ) e a velocidade ( v ) da esfera, e a massa específica (r ) e viscosidade 
(µ ) do fluido. Isto é:
F f D v= ( , , , )ρ µ
D
v
F
ρ, μ
Figura 6 - Representação do experimento para estudo da força de arraste
Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
83UNIDADE 2
Considere, agora, que você gostaria de testar, pelo menos, cinco valores distintos 
para cada variável. Isto seria o equivalente a 625 pontos experimentais (D, v, ρ, m), 
ou seja, por assim dizer, o experimento seria realizado 625 vezes. Da sua vivência 
com disciplinas experimentais, você deve ter noção que isto demandaria um grande 
tempo e possivelmente muitos recursos. Este número iria ainda mais longe se fossem 
consideradas mais variáveis ou se tentássemos mais valores para cada uma.
Além disso, há ainda outro problema fundamental: como você faria a representação 
gráfica de seus resultados? Se, por exemplo, inicialmente você optasse por fixar ρ e µ , você 
poderia construir um diagrama FxD com diferentes curvas para as diferentes velocidades, 
como representado na Figura 7.
F
vn v2
v1
D
ρ1, μ1
Figura 7 - Diagrama FxD para diferentes velocidades com massa específica e viscosidade constantes
Fonte: Brunetti (2008, p. 145).
Ainda seguindo nosso exemplo, observe quantos dos seus resultados seriam con-
templados por este diagrama:
• 1 valor de massa específica ( )r .
• 1 valor de viscosidade ( )µ .
• 5 valores de diâmetro ( )D .
• 5 valores de velocidade ( )v .
Isto é, um único diagrama destes contemplaria apenas 25 dos seus 625 resultados: 
cinco curvas, uma para cada velocidade, cada uma com cinco pontos para cada um 
dos diâmetros testados. Isto significa que seriam necessários 25 diagramas diferentes 
para representar todos os resultados, basicamente formando uma matriz ρ (linhas) 
x µ (colunas), em que cada elemento da matriz é um diagrama.
84 Introdução à Mecânica dos Fluidos
F
vn v2
v1
D
ρ1, μ1
ρ fixo
μ variável
F
vn v2
v1
D
ρ fixo
μ variável
ρ1, μn
F
vn v2
v1
D
ρn , μ1
F
vn v2
v1
D
ρn, μn
ρ variável
μ fixo
ρ variável
μ fixo
Figura 8 - Matriz de diagramas FxD para avaliação da força de arraste em diferentes diâmetros, velo-
cidades, massas específicas e viscosidades 
Fonte: Brunetti (2008, p. 145).
Como se isto tudo já não fosse exaustivo o bastante, reflita acerca de duas últimas 
perguntas: seria viável tentar identificar e descrever o comportamento desejado tendo 
que observar e analisar 625 diagramas diferentes simultaneamente? Se o número de 
variáveis ou de valores testados para cada uma fosse reduzido, visando simplificar o 
experimento e a análise, será que os resultados seriam realmente bons e suficientes 
para descrever um fenômeno físico rigorosamente?
Vamos verificar como os números adimensionais podem simplificar este experi-
mento. Considere os seguintes números:
π
ρ
π
ρ
µ1 2 2 2
= =
F
v D
e vD
Note que π2 é justamente o número de Reynolds. Caso queira praticar, você pode 
fazer a análise dimensional de π1 para verificar se ele é mesmo adimensional. O im-
portante neste momento é que você perceba que p1 e p2 , juntos, contemplam as 
quatro variáveis em estudo ( , , , )D v ρ µ .
Agora, voltemos para o experimento. Se utilizarmos uma única esfera de diâme-
tro D e um único fluido de massa específica r e viscosidade µ , pode-se variar a 
85UNIDADE 2
velocidade v e medir a força F . Isto é, teremos pares ( , )F v para um trio ( , , )D ρ µ 
fixo. Note que, se você conhece todos estes cinco valores em cada ponto experimen-
tal, você pode também avaliar p1 e p2 em cada um destes pontos. Assim, você po-
deria organizar a seguinte tabela:
Tabela 1 - Resultados para o experimento da força de arraste variando a velocidade
Ponto F v D ρ � π1 π2
1 F1 v1 D r µ π
ρ
1 1
1
2
1
2, =
F
v D
π
ρ
µ2 1
1
, =
v D
2 F2 v2 D r µ π
ρ
1 2
2
2
2
2, =
F
v D
π
ρ
µ2 2
2
, =
v D
3 F3 v3 D r µ π
ρ
1 3
3
2
3
2, =
F
v D
π
ρ
µ2 3
3
, =
v D
4 F4 v4 D r µ π
ρ
1 4
4
2
4
2, =
F
v D
π
ρ
µ2 4
4
, =
v D
5 F5 v5 D r µ π ρ
1 5
5
2
5
2, =
F
v D
π
ρ
µ2 5
5
,=
v D
Fonte: os autores.
Além disso, ambos os números adimensionais contêm a velocidade, que é o parâmetro 
que foi variado. Assim, é possível afirmar que para cada π1 existe um π2 correspon-
dente, sendo possível construir o diagrama π1 x π2:
ρv²D²
1,6
0,5
80 200
(80; 1,6)
(200; 0,5)
π1 = F
ρvD
π2 = µ
Figura 9 - Diagrama hipotético π1 x π2
Fonte: os autores.
Agora, é importante que você compreenda a seguinte afirmação: os pontos desta 
curva dependem do conjunto ( , , , , )ρ µv D F e não de seus valores individuais. Isto 
significa que o experimento foi genérico, e os resultados são válidos para outras 
86 Introdução à Mecânica dos Fluidos
esferas de diâmetros diferentes ou outros fluidos com massas específicas e viscosi-
dades diferentes. Por exemplo, o ponto (200; 0,5), na Figura 9, é válido para qualquer 
conjunto ( , , , , )ρ µv D F , desde que:
π
ρ
π
ρ
µ1 2 2 2
0 5 200= = = =F
v D
e vD,
Dessa forma, a curva contempla todas as infinitas combinações de valores das cin-
co variáveis, sendo capaz de descrever o fenômeno em estudo com versatilidade e 
economizando tempo e recursos. Diagramas como este são chamados de diagramas 
universais do fenômeno. Vamos fixar esta ideia por meio de um exemplo quantitativo.
Você possui um óleo cuja massa específica é 930 kg/m³ e a viscosidade dinâmica é de 
5,81x10-2 N.s/m². Se uma esfera de 1 centímetro de diâmetro se desloca neste fluido 
à velocidade de 0,5 m/s, qual a força de arrasto sobre ela? Considere o diagrama 
hipotético da Figura 9.
Solução:
Os parâmetros que conhecemos são suficientes para calcular o número adimensional 
π2:
π
ρ
µ2
3
2
2
930 0 5 0 01
5 81 10
80� � �
�
vD
kg
m
m
s
m
N s
m
. , . ,
, .
.
Pelo diagrama da Figura 9, quando π2 = 80, temos que π1 = 1,6. Assim, é possível 
calcular F:
π
ρ
π ρ1 2 2 1
2 2
2
21 6 930 0 5 0 01 3 7� � � � �
�
�
�
�
� � � �
F
v D
F v D kg
m
m
s
m. , .
³
. , . , , 22 10 2. � N
Como você deve ter notado, os números adimensionais podem facilitar bastante o 
estudo de leis e fenômenos físicos. Assim como o número de Reynolds, alguns núme-
ros que aparecem com certa frequência nos fenômenos de transporte recebem nomes 
próprios, como os números de Mach, Euler, Fourier, Biot, Nusselt, Prandtl, Schmidt, 
Sherwood e muitos outros. Uma vez que este material é de natureza introdutória, eles 
não serão todos abordados, mas caso você procure conhecê-los, certamente sua visão 
analítica acerca dos fenômenos de transporte ficará mais aguçada.
4 EXEMPLO
87
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Duas placas planas paralelas estão posicionadas a uma distância ε = 3 mm. O 
espaço entre elas é preenchido com um óleo de viscosidade cinemática de ν = 
0,2 St e massa específica ρ = 850 kg/m³. A placa inferior fica imóvel, enquanto 
a placa superior passa a se mover horizontalmente com velocidade v0 = 3 m/s. 
Qual a tensão de cisalhamento agindo sobre o óleo?
v0 = 3 m/s
3 mm
2. Uma película de óleo de 2,5 mm foi colocada sobre uma superfície plana inclinada 
em 45°. Em seguida, uma placa quadrada, com peso de 30 N e 1 metro de lado, 
foi colocada para deslizar sobre este plano. Observou-se que, ao longo de sua 
descida, a placa atingiu a velocidade de 4,2 m/s, que se manteve constante até 
o final do deslocamento. Qual a viscosidade dinâmica do óleo?
30 N
2,5 mm
45°
4,2 m/s
88
3. Sendo a pressão (p) em um ponto qualquer de um líquido em repouso dada 
pela equação:
p g h= r . .
Em que ρ é a massa específica, g é a aceleração da gravidade e h é a profundidade 
do ponto em relação à superfície livre do líquido. Escreva a equação dimensional 
da pressão na base FLT.
4. Deseja-se determinar a viscosidade cinemática do metanol a 20 °C. Sabe-se que, 
nesta temperatura, a massa específica deste fluido é de 788,4 kg/m³. Experimen-
talmente, você observou que, quando uma esfera de 1 centímetro de diâmetro 
se desloca no metanol à velocidade de 1,49x10-2 m/s, a força de arrasto sobre a 
esfera era de 8,75x10-6 N. Dessa forma, qual a viscosidade cinemática do meta-
nol? Considere, de maneira hipotética, que o diagrama da Figura 9 seja válido.
89
Mecânica dos Fluidos
Autor: Franco Brunetti
Editora: Pearson Prentice Hall
Sinopse: livro que se destaca por tratar a mecânica dos fluidos de maneira 
bastante didática e prática, por vezes evitando explorar as raízes matemáticas 
dos conceitos em prol de desenvolver no leitor a habilidade de usá-los. O con-
teúdo é organizado de maneira que o aluno se acostume mais facilmente com 
a disciplina, em grau crescente de dificuldade e realismo.
Comentário: este livro é uma das principais referências utilizadas neste material. 
Nesta unidade, tratamos de forma compacta e introdutória os conteúdos dos 
capítulos 1 e 6. De forma semelhante, as unidades futuras contemplarão também 
os conteúdos dos capítulos 2 e 7. Recomenda-se que o aluno, futuramente, faça 
a leitura do capítulo 8, que trata de instrumentação para medidas das proprie-
dades dos fluidos e escoamentos, mas que, para uma boa compreensão, exige 
alguns conceitos que ainda serão estudados nas próximas unidades.
LIVRO
90
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. Brasil: AMGH Edi-
tora, 2015. 
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de 
Massa. 6. ed. São Paulo: Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2017. 
REFERÊNCIAS ON-LINE
¹Em: https://www.britannica.com/biography/Isaac-Newton. Acesso em: 02 out. 2019. 
²Em: https://blog.texaco.com.br/havoline/viscosidade-do-oleo/. Acesso em: 02 out. 2019.
91
1. O problema pode ser resolvido utilizando a lei de Newton da viscosidade:
τ
τ µdv
dy
cte dv
dy
� � �.
Por conveniência, como a distância ε é relativamente pequena, é razoável considerar um gradiente de velocidade 
linear, conforme indicado na figura. Neste caso, podemos simplificar a expressão para a forma:
τ µ
ε
=
v0
Para utilizar esta equação, precisamos da viscosidade dinâmica do óleo, que pode ser calculada a partir da 
viscosidade cinemática e da massa específica, que foram fornecidas. Convertendo em unidades do SI:
n � �
�
�0 2 1
1
10
1
2 10
4 2
5
2
,
² /
²
.St cm s
St
m
cm
m
s
Calculando a viscosidade dinâmica:
ν
µ
ρ
µ ρ ν
µ
� � �
� � �� � �
.
. . , .
.
, .
.850 2 10 1 7 10 1 7 103
5
2
2 2
2
kg
m
m
s
kg
m s
N s
m
Então, a tensão de cisalhamento pode ser encontrada:
t
t
� �
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
1 7 10
3
3 10
17
2
2 3
2
, .
. /
.
/
N s
m
m s
m
N m
92
2. A viscosidade dinâmica pode ser encontrada por meio da avaliação da tensão de cisalhamento que atua 
sobre a placa. O primeiro passo é realizar o balanço de forças, decompondo a força peso (P) em uma com-
ponente normal (Pn) e uma tangente (Pt) à superfície inclinada, e indicando a força que impõe resistência 
ao movimento da placa (Ft):
45°
Pn
P
Pt
Ft
Se a velocidade da placa estava constante, significa que a aceleração na direção do deslocamento era nula. 
Portanto, pela segunda lei de Newton (F = m.a), a força resultante (FR) nessa direção também será nula, ou seja:
F P F
P F
R t t
t t
� � �
�
0
Como conhecemos G, a geometria nos possibilita determinar Gt, pois o ângulo interno  deve ser justamente 
a inclinação da superfície, 45°:
sen P
P
P P sen
P N sen P N
t
t
t t
q
q
�
�
� �� �
.
( ) . ,30 45 21 21
Portanto:
P F F Nt t t� � � 21 21,
Agora, pela definição de tensão de cisalhamento (t ), temos:
t =
F
A
t
93
Observe que a força Ft está atuando sobre toda a superfície inferior da placa, a qual está em contato com a 
película de óleo. Dessa forma, como é uma placa quadrada de um metro de lado, a área em questão será:
A l m m= = =2 2 21 1( )
Como conhecemos Ft e A, podemos determinar t :
t = = =
F
A
N
m
N
m
t 21 21
1
21 212 2
, ,
Em posse deste valor, podemos alcançar o objetivo da questão utilizandoa lei de Newton da viscosidade:
τ µ=
dv
dy
Precisamos, agora, determinar, de alguma maneira, o gradiente de velocidades. Note que a distância da placa 
à superfície (ε) é justamente a espessura da película: 2,5 mm. Por ser uma espessura pequena (afinal, é uma 
película), é razoável considerar um gradiente de velocidades linear. Assim:
τ µ µ τ τ
ε
� � � �
dv
dy
dy
dv v
. .
0
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
21 21 2 5 10
4 2
1 26 10
2
3
2
2
, .
, .
, /
, .
.
N
m
m
m s
N s
m
3. Nos Exemplos 3 e 4 desta unidade, já foi demonstrado que as dimensões da massa específica na base FLT 
são:
[ ]
[ ]
[ ]
r � � �
�
�m
V
FT L
L
FT L
2 1
3
2 4
Além disso, sabemos que g é a aceleração da gravidade e, portanto, possui dimensões de comprimento por 
tempo ao quadrado, como apresentado no Exemplo 4:
[ ]g L
T
LT� � �2
2
94
A última variável que resta, h, representa a profundidade do ponto. Logo, sua dimensão deve ser unicamente 
de comprimento:
[ ]h L=
Com estes três parâmetros, podemos fazer a análise dimensional da pressão conforme a equação enunciada:
[ ] [ ] . [ ] . [ ] . .p g h FT L LT L FL� � �� � �r 2 4 2 2
De fato, este resultado faz sentido, pois significa “força por unidade de área”, sendo compatível com unidades 
típicas de pressão como N/m² (ou Pa).
4. Conhecemos a massa específica (ρ) do metanol, o diâmetro (D) da esfera utilizada, a velocidade (v) e a força 
de arrasto (F) observadas no experimento. Considerando válido o diagrama hipotético da Figura 9, dois 
números adimensionais são importantes:
π
ρ
π
ρ
µ1 2 2 2
= =
F
v D
e vD
As informações que possuímos são suficientes para avaliar π1:
π
ρ
1 2 2
6
3
2
2
2 2
8 75 10
788 4 1 49 10 10
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
� �
F
v D
N
kg
m
m
s
m
, .
, . , . .
00 50,
Pela Figura 9, temos que quando π1 = 0,5, π2 = 200. Conhecendo este valor, é possível utilizar a equação de π2 
para determinar a viscosidade absoluta do metanol:
π
ρ
µ
µ
ρ
π2 2
3
2
4
788 4 1 49 10 0 01
200
5 87 10� � � � �
�
�vD vD
kg
m
m
s
m kg, . , . . ,
, .
mm s
kg
m s
N
kg m
s
N s
m
.
, .
. .
, .
.
µ � �� � �5 87 10
1
1
5 87 104
2
4
Cuidado, o exercício ainda não acabou! Foi solicitada a viscosidade cinemática e não a absoluta (dinâmica). 
Assim, para concluir a questão, basta dividir este último resultado pela massa específica:
ν
µ
ρ
� � �
�
�
5 87 10
788 4
7 45 10
4
2
3
7
2, .
.
,
, .
N s
m
kg
m
m
s
95
96
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Resgatar o estudo da pressão por meio da sua definição, 
do Teorema de Stevin, da Lei de Pascal e do conceito de 
carga de pressão.
• Determinar os diferentes referenciais físicos existentes 
para a medição da pressão e as principais unidades de 
medida empregadas. 
• Apresentar os principais instrumentos empregados para 
a medição de pressões em diferentes situações.
• Revisar a definição de empuxo.
Pressão
Escalas e Unidades 
de Pressão Empuxo
Medidores de Pressão
Dr. Rodrigo Orgeda 
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Pressão e Estática 
dos Fluidos
Pressão
Se você está cursando uma disciplina de fenô-
menos de transporte, é de se esperar que esteja 
familiarizado com algumas definições básicas de 
física, por exemplo pressão. Por via das dúvidas, 
vamos relembrar este conceito, que é um dos mais 
importantes para a mecânica dos fluidos: pressão 
é a força normal exercida por um fluido por uni-
dade de área. Repare que estamos falando apenas 
de líquidos e gases – geralmente, a “pressão” em 
corpos rígidos é chamada de tensão mecânica.
99UNIDADE 3
Sendo FN a força normal que atua numa superfície de área A , a pressão p é 
avaliada pela equação:
p F
A
N=
Uma vez que a pressão é definida como força sobre área, sua dimensão é de força 
por comprimento ao quadrado.
No SI, define-se então a unidade de medida Pascal (Pa):
[ ]
[ ]
[ ] ²
p F
A
F
L
N
m
PaN� � � �2
Assim, imagine dois recipientes, submetidos à mesma força, mas de dimensões dis-
tintas. 
p1 A1 = 5 cm² A2 = 2 cm²
(a) (b)
p2
10 N 10 N
Figura 1 - Recipientes distintos submetidos a forças semelhantes
Fonte: adaptada de Brunetti (2008). 
Evidentemente, a pressão em cada recipiente será diferente:
p F
A
N
cm
N
m
N
m
Pa1 1
1
2 4 2 2
10
5
10
5 10
20000 20000� � � � ��.
p F
A
N
cm
N
m
N
m
Pa2 2
2
2 4 2 2
10
2
10
2 10
50000 50000� � � � ��.
É importante notar que, enquanto no capítulo anterior nos interessamos pelas forças 
tangenciais (para definir a tensão de cisalhamento), neste capítulo o nosso foco será 
nas forças normais sobre o fluido. Por isso, será importante sempre ter em mente 
o chamado “plano horizontal de referência” (PHR) que, basicamente, é um plano 
horizontal arbitrário que marca a altura z = 0 de um sistema. Veja a figura a seguir:
100 Pressão e Estática dos Fluidos
B(1)
(0)
(2)
(3)
10 m
2 m
1 m
PHR
Figura 2 - Sistema de tubulações indicando o plano horizontal de referência
Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
Para o PHR identificado na figura, teremos:
• Altura da cota (0): z0 = 0 m.
• Altura da cota (1): z1 = 2 m.
• Altura da cota (2): z2 = 2 m + 10 m = 12 m.
• Altura da cota (3): z3 = 2 m + 10 m + 1 m = 13 m.
Esta será frequentemente uma de inúmeras considerações e hipóteses que serão 
adotadas a partir desta unidade para que seja possível analisar e solucionar os pro-
blemas. Ao longo das unidades e dos exemplos trabalhados, você verá que estas são 
ferramentas práticas e eficientes. 
Lei de Pascal
A unidade de pressão no SI descrita anteriormente, Pascal (Pa), é uma homenagem 
ao matemático e físico francês Blaise Pascal (1623–1662). De fato, uma de suas prin-
cipais contribuições à física foi a chamada Lei de Pascal, enunciada da seguinte forma: 
a pressão aplicada num ponto de um fluido confinado em repouso transmite-se 
integralmente a todos os pontos do fluido. Isto é uma consequência do fato de que a 
pressão em um fluido permanece constante na direção horizontal. Para ilustrar este 
fenômeno, observe o seguinte esquema:
101UNIDADE 3
(a) (b)
10 N
A = 5 m²
1 2
3
4
1 2
3
4
Figura 3 - Experimento evidenciando a Lei de Pascal
Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
Em (a), o recipiente apresenta uma superfície livre à atmosfera. Suponha que as 
pressões em cada um dos pontos seja:
p N m p N m p N m p N m1
2
2
2
3
2
4
22 2 4 5= = = =; ; ;
Em (b), o fluido no recipiente é então submetido a uma força, que corresponde à 
pressão de:
p F
A
N
m
N
m
= = =
10
5
22 2
Assim, as pressões nos pontos indicados passam a ser incrementadas deste valor:
p1 = 4 N/m²; p2 = 4 N/m²; p3 = 6 N/m²; p4 = 7 N/m²
Por fim, note que em ambos os casos as pressões nos pontos 1 e 2, aparentemente 
no mesmo nível (linha horizontal), são iguais.
Além desta importante definição para a estática dos fluidos, Pascal também ob-
servou que, uma vez que a pressão aplicada a um fluido é proporcional à superfície 
(área), seria possível conectar cilindros de áreas distintas, de modo que o menor 
poderia ser utilizado para exercer uma força superior no maior. Assim, um objeto 
pesado poderia ser levantado empregando uma força inferior. O exemplo a seguir 
ilustra este mecanismo.
102 Pressão e Estática dos Fluidos
Em uma oficina, é necessário fazer reparos em um carro de uma tonelada. A manuten-
ção deve ser feita na parte inferior do veículo e, para facilitar o trabalho do mecânico, 
deseja-se elevar o carro. Uma ferramenta que pode ser empregada para esta tarefa 
é o chamado elevador hidráulico, cujo funcionamento é baseado justamente na lei 
de Pascal. Supondo que, para levantar o veículo em questão, uma pessoa aplica uma 
força de 1000 N no macaco hidráulico, cujo pistão menor apresenta área de 10 cm², 
qual é a área do pistão maior?
Solução:
Podemos ilustrar o problema da seguinte maneira:
A1
p1
F1 = p1A1
F2 = p2A2
A2
p21 2
Figura 4 - Representação esquemática de um elevador hidráulico
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 61).
É razoável considerar que os pistões estão no mesmo nível, pois o efeito de pequenasdiferenças de altura é desprezível, especialmente em grandes pressões. Assim, temos 
que:
p p1 2=
Pela definição de pressão, podemos escrever:
F
A
F
A
1
1
2
2
=
1 EXEMPLO
103UNIDADE 3
Conhecemos três destes quatro parâmetros: F1 é a força aplicada pela pessoa, A1 é a 
área do pistão menor, e F2 deve ser, pelo menos, o peso do carro, para que o pistão seja 
capaz de movimentá-lo. Assim, considerando uma aceleração da gravidade de 10 m/s²:
1000
10
1000 10
100 100002
2
2
2
2
N
cm
kg m
s
A
N
cm
N
A
� � �
.
A cm2
2100=
A razão entre áreas A2/A1 é chamada de ganho mecânico ideal do elevador hidráulico. 
Esta denominação também pode ser entendida como: a razão entre a força exercida 
por um mecanismo e a força aplicada sobre ele. Neste caso, por exemplo, A2/A1 = 10, 
de modo que um objeto de 10000 N de peso pode ser levantado com uma força de 
apenas 1000 N.
Teorema de Stevin e Carga de Pressão
Outra importante ferramenta da estática dos fluidos que você já pode ter estudado 
em suas aulas de física é o Teorema de Stevin. O matemático holandês Simon Stevin 
(1548–1620) observou que, enquanto a pressão em um fluido em repouso é inde-
pendente da forma ou seção transversal do recipiente (sendo também constante na 
direção horizontal), ela varia com a distância vertical. Stevin publicou este princípio 
em 1586, e seu teorema pode ser enunciado da seguinte forma: a diferença de pressão 
entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do peso específico do 
fluido pela diferença de cotas dos dois pontos.
Este teorema pode ser escrito como a seguinte equação, sendo z as distâncias 
verticais em relação ao plano horizontal de referência e g o peso específico:
D D Dp z g z= =γ ρ. ( . ) .
Note que você talvez já esteja acostumado, de suas aulas de física, a utilizar esta relação 
na seguinte forma:
p g h= r . .
Por exemplo, sendo um recipiente aberto para a atmosfera com certo volume de 
fluido em repouso, pode-se esboçar o seguinte esquema:
104 Pressão e Estática dos Fluidos
p1 = patm
p2 = p + pghatm
1
2
h
Figura 5 - Representação verificando o Teorema de Stevin
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 70).
Se utilizarmos a equação do Teorema de Stevin à risca, teremos:
D D Dp z g z
p p g z z
p p g h
p p
� �
�� � � �� �
�� � � �� �
��
γ ρ
ρ
ρ
. ( . ) .
. .
. .
2 1 2 1
2 1
2 1
0
�� � ρ . .g h
De fato, o resultado faz sentido: enquanto a pressão na superfície do fluido é somente 
a pressão atmosférica, no ponto 2 ela é acrescida do peso da coluna de fluido. Você 
pode comparar esta situação com uma piscina, por exemplo: ao mergulhar, a água 
que está acima de você faz peso sobre o seu corpo. Dessa forma, quanto mais fundo 
você mergulhar, maior é a pressão sobre o seu corpo, pois maior será a quantidade de 
água sobre ele. É por isto que, às vezes, encontramos dispositivos, tais como relógios, 
que são ditos “à prova d’água” ou “resistentes a água” até uma determinada pressão 
ou profundidade.
Observe que o plano horizontal de referência pode ser entendido como a super-
fície do fluido. Neste caso, você poderia argumentar que a cota “h” teria um valor 
negativo, afinal, estaria abaixo do “zero” de referência. Contudo, se este valor fosse 
negativo, a equação indicaria que a pressão no ponto 2 seria menor que no ponto 
1, o que sabemos não ser verdade. Assim, para garantir resultados corretos, é im-
portante sempre analisar se o valor obtido faz sentido. 
105UNIDADE 3
É também comum encontrar a pressão sendo descrita por um parâmetro chamado 
de “carga de pressão”, dado em unidade de comprimento. De forma simples, você 
pode entender que a carga de pressão é o parâmetro h em:
p g h h h p
g
p
� � � � �ρ γ
ρ γ
. . .
.
Evidentemente, para que o conceito de carga de pressão faça sentido, deve-se co-
nhecer a massa específica (ou o peso específico) do fluido em questão. Entretanto, 
por que este parâmetro é importante a ponto de ser conveniente dar um nome mais 
particular a ele?
Imagine uma tubulação pela qual escoa um líquido de peso específico γ sob uma 
pressão p (Figura 6a). Agora, considere que seja feito um orifício na parte superior 
deste tubo, ao qual é ligado uma nova tubulação. Se a pressão p for maior que a 
pressão externa, parte do líquido vai subir por esta nova tubulação até alcançar uma 
altura h (veja a Figura 6b). 
pγ
(a)
pγ
(b)
h
Figura 6 - Representação esquemática da carga de pressão em tubulações
Fonte: Brunetti (2008, p. 23). 
Para que esta coluna de líquido fique em repouso, ela deverá equilibrar justamente 
a pressão P da tubulação, ou seja:
p htubo líquido coluna= g .
Isto é, a altura h é a própria carga de pressão da pressão p. Com isso, você pode con-
cluir que uma pressão qualquer p pode ser associada a uma altura h de fluido, dada 
por 
p
g
, chamada de carga de pressão.
106 Pressão e Estática dos Fluidos
Agora que conhecemos os principais conceitos e 
definições relacionados à pressão, fundamentais 
para o estudo da estática dos fluidos, é hora de 
aprimorar suas habilidades técnicas, compreen-
dendo como a pressão é medida e quais as prin-
cipais unidades que você poderá encontrar tanto 
em outros livros quanto em sua vida profissional.
Escalas de Pressão
Um ponto que frequentemente gera bastante con-
fusão é compreender que há duas referências para 
as medidas de pressão, classificando-as como: pres-
sões absolutas ou pressões manométricas (também 
chamadas de pressões efetivas). Para facilitar a com-
preensão, primeiro entenda a seguinte afirmação: a 
maioria dos aparelhos de medição de pressão (os 
chamados “manômetros”) são calibrados para regis-
trar valores nulos (zero) quando abertos à atmosfera. 
Em outras palavras, eles adotam a pressão atmos-
férica como seu valor nulo de referência. Assim, as 
pressões medidas nestes aparelhos são as chamadas 
pressões manométricas.
Escalas e 
Unidades de Pressão
107UNIDADE 3
Por outro lado, você sabe que, na prática, a pressão atmosférica não é nula, afinal 
de contas, a pressão ambiente varia até mesmo de acordo com a altitude. Então, para 
que as medições façam sentido, o valor nulo de referência adotado é o vácuo (ou zero 
absoluto), e por isso são chamadas de pressões absolutas.
Em resumo, de forma simples: se é medida em relação ao vácuo, é pressão absoluta; 
se é medida em relação à pressão atmosférica, é pressão manométrica. Se a pressão 
medida é menor que a atmosférica, é comum dizer que existe um “vácuo”, apesar de 
que o termo mais apropriado seria “depressão”. Estas definições são demonstradas no 
esquema a seguir, para duas pressões hipotéticas p1 e p2, em que pabs é a pressão abso-
luta, pman é a pressão manométrica, patm é a pressão atmosférica e pvácuo é a depressão:
p2
pman
patmpatm
patm
pabs
pabs
p = 0abs
p
p1
vácuo
Vácuo Vácuo
absolutoabsoluto
Figura 7 - Esquema indicando as diferenças entre as escalas de pressão
Fonte: adaptada de Çengel e Cimbala (2015). 
Acompanhando pela Figura 7, note que podemos escrever as seguintes equações. Para p1:
p p pvácuo atm abs� �
Para p2:
p p pman abs atm� �
Observe, ainda, que as pressões de vácuo são, basicamente, pressões manométricas 
negativas. Assim, apesar de os parâmetros das equações anteriores serem quantidades 
positivas, é possível falar sobre pressões negativas. Por exemplo, imagine que deseja-
mos calcular a pressão manométrica de p1. Como pabs,1 < patm, temos:
p p pman abs atm, ,1 1 0� � �
108 Pressão e Estática dos Fluidos
Logo, se multiplicarmos esta equação por (-1), o valor será positivo:
� � � � �p p pman abs atm, ,1 1 0
E, se compararmos com a equação da pressão de vácuo em p1 apresentada anterior-
mente, podemos observar que:
p p p pvácuo man atm abs, , ,1 1 1 0� � � � �
Dito isto, é importante que você entenda que, para ser capaz de compreender e tra-
balhar com pressão na vida profissional, em vez de tentar decorar equações lógicas, 
é muito mais valioso e eficiente que você compreenda os referenciais utilizados nas 
duas escalas. Mesmoque estas ideias ainda estejam nebulosas, um pouco de prática 
certamente fará com que você se acostume rapidamente.
Unidades de Pressão
Antes de praticarmos, vamos apenas tratar ainda de mais um tópico importante: 
unidades de pressão. Como já mencionado, no SI, a unidade é o N/m², equivalente ao 
Pascal (Pa). Além disso, sabemos que as pressões podem também ser descritas como 
cargas de pressão, as quais apresentam unidades de comprimento. Vejamos algumas 
das principais unidades empregadas e seus fatores de conversão:
a) Unidades de Pressão:
Essencialmente, são aquelas baseadas na razão força/área, apresentando dimensão 
de força por comprimento ao quadrado, como: N/m² = Pa, kgf/cm², kgf/m² e lb/pol² 
(equivalente ao inglês psi, pounds per square inches). Os fatores de conversão são:
1 kgf/cm² = 104 kgf/m² = 9,8.104 Pa = 14,2 psi
b) Unidades de Carga de Pressão:
Como já discutimos, são aquelas que correspondem à altura de uma coluna de 
determinado fluido, sendo os mais comuns o mercúrio (por ser um líquido pesado) 
e a água. Como já vimos, estas unidades são convenientes, pois nos permitem dizer 
imediatamente a que altura uma certa pressão é capaz de elevar um fluido. As uni-
dades mais típicas são: mmHg (milímetros de coluna de mercúrio) e mca (metros 
de coluna d’água). Para seu uso, é importante saber que:
g
g
água
Hg
N m
N m
=
=
10000
136000
3
3
/
/
109UNIDADE 3
Os fatores de conversão, com relação ao Pascal, são:
101325 Pa = 760 mmHg = 10,33 mca
Por fim, vale mencionar duas exceções: a unidade atmosfera (atm), que por de-
finição é a pressão capaz de elevar uma coluna de 760 mm de mercúrio, e o bar, que 
equivale a, exatamente, 100 000 Pascals (105 Pa). Com isso, temos os seguintes fatores 
de conversão:
1 atm = 760 mmHg = 1,01 bar = 101325 Pa = 10332,27 kgf/m² = 14,7 psi = 10,33 mca
Vamos, agora, trabalhar alguns exemplos para que você se familiarize com as 
escalas e unidades de pressão que trabalhamos neste tópico.
Um manômetro indica a pressão de 7 psi. Ainda na escala manométrica, converta este 
valor para as unidades mmHg e atm. Depois, converta este valor para as unidades 
Pa e mca, mas na escala absoluta. Considere a pressão atmosférica patm = 101325 Pa.
Solução:
A pressão indicada pelo manômetro está na escala manométrica, como o nome 
sugere. Assim, para atender à primeira parte do problema, basta utilizar os fatores 
de conversão conhecidos.
Primeiramente, convertendo de psi para mmHg:
7 760
14 7
361 91psi mmHg
psi
mmHg
,
,=
Depois, convertendo para atm:
7 1
14 7
0 48psi atm
psi
atm
,
,=
Em seguida, devemos fazer novas conversões, mas agora na escala absoluta. Para isso, 
devemos lembrar que a pressão absoluta pode ser avaliada por:
p p pabs man atm� �
2 EXEMPLO
110 Pressão e Estática dos Fluidos
Naturalmente, para que a soma faça sentido, a pressão manométrica e a pressão 
atmosférica devem estar nas mesmas unidades. Como a primeira unidade pedida 
é o Pa – a mesma unidade da pressão atmosférica dada – é conveniente converter a 
pressão manométrica:
7 101325
14 7
48250psi Pa
psi
Pa
,
=
Agora, passando para a escala absoluta:
p Pa Pa Paabs � � �48250 101325 149575
Fazendo o mesmo processo, mas agora para mca:
7 10 33
14 7
4 92psi mca
psi
mca,
,
,=
Convertendo a pressão atmosférica para mca:
101325 10 33
101325
10 33Pa mca
Pa
mca, ,=
E, então, na escala absoluta:
p mca mca mcaabs � � �4 92 10 33 15 25, , ,
É importante notar que poderíamos ter convertido diretamente o valor da pressão 
absoluta de Pa para mca:
149575 10 33
101325
15 25Pa mca
Pa
mca, ,=
Como os fatores de conversão estão listados com até 2 decimais, alguns dos resultados 
podem variar ligeiramente em relação aos valores reais.
111UNIDADE 3
Vejamos, agora, alguns dos principais instrumen-
tos capazes de medir pressões. Como estaremos 
mais focados em compreender os diferentes 
princípios de funcionamento, é natural que aqui 
eles pareçam de grande simplicidade, enquan-
to instrumentos comerciais poderão apresentar 
tecnologias mais sofisticadas e complexas, mas 
pautadas nestes mesmos princípios.
Barômetro
O barômetro é um dispositivo utilizado para me-
dir a pressão atmosférica – por causa disto, ela 
também é chamada, às vezes, de pressão baro-
métrica. Tal instrumento consiste basicamente 
em um tubo cheio de líquido invertido em uma 
vasilha cheia do mesmo líquido e aberta à atmos-
fera (veja na Figura 8). 
Medidores 
de Pressão
112 Pressão e Estática dos Fluidos
h
γ
vácuo
0
Patm
A
Figura 8 - Representação de um barômetro básico
Fonte: Brunetti (2008, p. 26). 
Observe que parte do conteúdo do tubo permanecerá nele, na forma de uma coluna de 
líquido. Talvez isto não pareça intuitivo, mas podemos dar uma explicação física com 
base nos tópicos que estudamos durante esta unidade. Primeiro, note que enquanto 
a vasilha está aberta à atmosfera, o tubo está fechado. Isto significa que a pressão 
atmosférica atua na superfície do líquido da vasilha, mas não atua na superfície da 
coluna de líquido no tubo. Em segundo lugar, lembre-se que, pelo Teorema de Stevin, 
a pressão no ponto 0 deve ser igual à pressão no ponto A. Isto é:
p pA0 =
Agora, note que a pressão em A é a própria pressão atmosférica, enquanto a pressão 
em 0 é justamente a pressão causada pela coluna de líquido no tubo. Assim:
p h p p p hlíq A atm atm líq0 � � � �g g. ; .
Em posse de um barômetro, se conhecermos o peso específico γ do líquido empre-
gado, podemos medir a altura h da coluna de líquido no tubo, e com isto calcular 
a pressão atmosférica. Geralmente, o líquido utilizado é o mercúrio, por apresentar 
peso específico elevado, de modo que a altura da coluna possa ser menor, facilitando a 
construção do dispositivo. A criação do barômetro é atribuída ao italiano Evangelista 
Torricelli (1608–1647) e, por isso, a unidade mmHg é também chamada de “torr”.
Manômetro de Bourdon
Outro dispositivo mecânico utilizado para a medição de pressões são os chamados 
manômetros de Bourdon, denominados assim em referência ao engenheiro e inventor 
francês Eugene Bourdon (1808–1884). Seu funcionamento é baseado na deformação 
113UNIDADE 3
de um tubo de metal oco quando submetido à pressão medida. A extremidade do 
tubo, então, movimenta-se, ligada a um sistema de alavancas e um ponteiro, que indica 
a pressão analogicamente em um mostrador, devidamente calibrado.
Fluido à pressão p
Tomada 
de pressão
Sistema de
ampliaçãoTubo
metálico
Figura 9 - Representação esquemática do funcionamento de um manômetro de Bourdon
Fonte: Brunetti (2008, p. 26). 
Piezômetro (Coluna Piezométrica)
O piezômetro é um instrumento que mede a carga de pressão, sendo de construção 
muito simples: apenas um tubo de vidro ligado ao reservatório que se deseja medir 
a pressão. Dessa forma, como no barômetro, é necessário conhecer o peso específico 
do fluido.
Manômetro de BourdonFigura 10 - Manômetro de Bourdon e diferentes 
tipos de tubos empregados
114 Pressão e Estática dos Fluidos
h = p/γ
Figura 11 - Representação esquemática de um piezômetro
Fonte: Brunetti (2008, p. 27). 
Seu uso, contudo, tem algumas limitações. Por exemplo, ele só funciona para pressões 
manométricas positivas: se houver uma depressão, o ar entra no reservatório, em vez 
de uma coluna de líquido subir. Em segundo lugar, não funciona para gases, pois 
obviamente eles escapariam sem formar uma coluna. Por fim, ele é útil somente para 
pequenas pressões: se forem muito elevadas, as colunas podem ser muito grandes e, 
diferentemente do barômetro, não é possível simplesmente escolher usar o mercúrio.
Tubo em U
É possível fazer uma pequena alteração para corrigir o problema do piezômetro de 
não conseguir medir depressões. Tais dispositivos são então os chamados tubos em U, 
cujo nome remete à sua forma. Neles, utiliza-se um fluido manométrico: um segundo 
fluido, cujas propriedades são melhores para utilização em manômetros – em geral, 
escolhe-se o mercúrio. Veja a Figura 12:
1 2
hGás
Figura 12 – Representaçãoesquemática de um manômetro de tubo em U
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 61).
O princípio é o mesmo do piezômetro: mede-a carga de pressão. Outra vantagem 
deste tipo de manômetro é a possibilidade de medir a pressão de gases, pois o fluido 
manométrico impede que eles escapem. Vejamos um exemplo.
115UNIDADE 3
Deseja-se avaliar a pressão em um reservatório de gás. Para isto, um manômetro de 
tubo em U é acoplado, cujo fluido manométrico é o mercúrio (γHg = 1,36.10⁵ N/m³). 
Se a pressão atmosférica no local é de 90 kPa, e considerando o esquema a seguir, 
determine a pressão desejada nas escalas absoluta e manométrica.
A B
PHR
h = 65 cm
p = 90 kPaatm
p = ?
Solução:
Sabemos que, por estarem na mesma linha horizontal do mesmo fluido, as pressões 
nos pontos A e B são iguais. Podemos desprezar a pequena coluna de gás acima do 
ponto A, o que é razoável, pois o peso específico de gases é pequeno. Assim, a única 
pressão que precisamos considerar é a do próprio reservatório. No ponto B, como o 
tubo está aberto para atmosfera, temos a ação da pressão atmosférica e do peso da 
coluna de fluido manométrico. Colocando estas informações em equações, temos:
p p
p p p p h
p p p p h
A
B atm coluna atm Hg
A B atm Hg
�
� � � �
� � � �
g
g
.
.
Com isso, fica fácil resolver o problema:
p kPa N
m
m
p Pa
� � �
�
�
�
�
�
�
90 1 36 10 0 65
178400
5
3, . . ( , )
Repare que esta é a pressão do reservatório na escala absoluta. Para verificar na escala 
manométrica, basta desconsiderar a pressão atmosférica:
p N
m
m
p Pa
� �
�
�
�
�
�
�
1 36 10 0 65
88400
5
3, . . ( , )
3 EXEMPLO
116 Pressão e Estática dos Fluidos
Os manômetros de tubo em U podem também ter uma configuração diferente: os 
chamados manômetros diferenciais, os quais são ligados a dois reservatórios, em vez 
de serem abertos para a atmosfera. No tópico a seguir, veremos como abordar estes 
manômetros matematicamente.
A B
A B
Figura 13 - Representação esquemática dos manômetros diferenciais
Fonte: Brunetti (2008, p. 28). 
Equação Manométrica
Denomina-se equação manométrica aquela que permite determinar a pressão de 
um reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios. Aqui, estaremos 
particularmente interessados no seu estudo aplicado aos manômetros diferenciais. 
Considere a figura a seguir:
h1
h2
h3 h4
γApA
pB
γM
γB
Figura 14 - Esquema genérico para a elaboração da equação manométrica de manômetros diferenciais
Fonte: Brunetti (2008, p. 28). 
Considerando o que você estudou sobre o Teorema de Stevin e a Lei de Pascal, ire-
mos avaliar a pressão na parte mais baixa do tubo (indicado pela linha sublinhada 
inferior), do lado esquerdo ( pe ) e do lado direito ( pd ). No lado esquerdo, temos 
que considerar: a pressão no reservatório A ( pA ), a pressão causada pela coluna de 
fluido A (cuja altura é h h1 2− ) e a pressão causada pela coluna de fluido manométrico 
(altura h2 ). Assim, podemos escrever a equação:
117UNIDADE 3
p p h h he A A M� � �� � �g g. .1 2 2
De forma semelhante, para o lado direito, temos: a pressão no reservatório B ( pB ), 
a pressão causada pela coluna de fluido B (de altura h h4 3− ) e a pressão da coluna 
de fluido manométrico (altura h3 ). Dessa forma:
p p h h hd B B M� � �� � �g g. .4 3 3
Se o sistema está em equilíbrio, por estarem no mesmo nível (direção horizontal), 
sabemos que ambas pressões devem ser iguais. Portanto:
p h h h p h h hA A M B B M� �� � � � � �� � �g g g g. . . .1 2 2 4 3 3
Agora, vamos analisar como esta equação pode ser utilizada. Primeiramente, é de se 
esperar que você conheça os pesos específicos dos três fluidos. Em segundo lugar, 
se você está olhando para o manômetro, deve ser capaz de medir as alturas de cada 
coluna. Com isso, os únicos dois parâmetros que você provavelmente não conhece 
são as pressões nos reservatórios ( pA e pB ). Dessa forma, como mencionado no 
início, você pode utilizar a equação manométrica para avaliar a diferença de pressão 
entre os reservatórios:
p p h h h h h hA B B M A� � �� � � � � �� �g g g. . ( ) .4 3 3 2 1 2
E, evidentemente, se você já conhecer a pressão de um dos reservatórios, será possível 
determinar a pressão do outro.
Existe também uma regra prática que pode facilitar seu uso da equação manométrica. 
Observe, na equação anterior, que cada peso específico sempre multiplica a altura da 
sua respectiva coluna. Agora, considere a figura a seguir:
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
118 Pressão e Estática dos Fluidos
h1
h2
h3
h4
h6
h5
γ1 γ4
γ6
γ3
γ2
γ5
pA
pB
Figura 15 - Representação de um manômetro genérico
Fonte: Brunetti (2008, p. 29).
É importante que as alturas sejam marcadas sempre na interface entre dois fluidos 
do manômetro. A regra funciona da seguinte forma: começando pela esquerda, so-
ma-se à pressão pA as pressões das colunas descendentes e subtrai-se as pressões das 
colunas ascendentes. Isto é, “tudo que está descendo soma, e tudo que está subindo 
subtrai”. Veja o esquema anterior simplificado da seguinte maneira:
h1
h2
h3
h4
h6
h5
pA
pB
+
+
+
–
–
–
Figura 16 - Representação simplificada de um manômetro
Fonte: Brunetti (2008, p. 29). 
Aplicando a regra, podemos escrever:
p h h h h h h pA B� � � � � � �g g g g g g1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6. . . . . .
A escolha de usar esta regra ou de igualar as pressões do lado esquerdo e direito pode 
ficar a seu critério. Vejamos alguns exemplos para colocar estes conceitos em prática. 
119UNIDADE 3
Considere o manômetro diferencial esquematizado a seguir. O fluido A é óleo, o 
fluido B é água e o fluido manométrico é mercúrio. Calcule a diferença de pressão 
entre os reservatórios, sabendo que h1 = 15 cm, h2 = 40 cm, h3 = 40 cm, h4 = 10 cm. 
Dados: γH₂O = 10000 N/m³; γHg = 136000 N/m³; γóleo = 8000 N/m³.
h1
h2 h3
h4
A
B
Solução:
Como estamos comparando as pressões entre dois reservatórios por meio de um 
manômetro diferencial, utilizaremos a equação manométrica para responder ao que 
é solicitado. Tendo como referência o nível mais baixo da tubulação (indicada na 
figura pela linha pontilhada inferior de h4), podemos escrever as seguintes equações 
para o lado esquerdo e o lado direito do tubo:
p p h h h
p p h h
e A óleo Hg
d B H O Hg
� � � �� �
� � �
g g
g g
. .
. .
1 2 4
3 42
Como você bem sabe, se o sistema está em equilíbrio, ambas pressões devem ser 
iguais. Igualando-as e remanejando a equação para que a diferença ( p pA B− ) fique 
isolada, temos:
p p h h h h h
p p h
A B H O Hg óleo Hg
A B H O ól
� � � � � �� �
� � �
g g g g
g g
2
2
3 4 1 2 4
3
. . . .
. eeo Hgh h. .1 2� g
Uma vez que todos os parâmetros do membro direito da equação são conhecidos, 
basta substituir os valores e calcular a diferença:
p p N
m
m N
m
m N
m
m
p p
A B
A B
� � � �
� � �
10000 0 40 8000 0 15 136000 0 40
5
3 3 3. , . , . ,
11600 51 6Pa kPa� � ,
Então, o problema está resolvido: a pressão no reservatório A é 51,6 kPa menor do 
que a pressão no reservatório B.
4 EXEMPLO
120 Pressão e Estática dos Fluidos
Poderíamos também aplicar a regra da equação manométrica para chegar à mesma 
equação facilmente:
p h h h p
p p h h h
A óleo Hg H O B
A B H O óleo Hg
� � � �
� � � �
g g g
g g g
. . .
. . .
1 2 3
3 1 2
2
2
Considerando o esquema da figura a seguir, determine a pressão indicada pelo manômetro. 
Em posse deste valor, calcule a força que age na parede superior interna do reservatório.
pM
patmγ0 = 8.000 N/m³
Área do topo = 20 m²
γ = 10.000 N/m³
H2O
ArAr
Óleo
Água
10 cm
20 cm
35 cm
30°
110 cm
Solução:
Apesar de talvez não parecer intuitivo, o problema pode ser solucionado utilizando 
a equação manométrica. É conveniente adotar a linha pontilhada como referência 
(afinal, é com relação a ela que conhecemos as dimensões do sistema). Do lado es-
querdo, teremos:
p p h h he M Ar Ar o o H O H O� � � �g g g. . .2 2
Do lado direito:
p p L send atm H O� � g 2 30. . º
Mais uma vez, comovocê já deve estar acostumado, por estarem no mesmo nível, a 
pressão do lado esquerdo deve ser igual à do lado direito. Com isso, podemos isolar 
o parâmetro que desejamos descobrir.
p h h h P L sen
p p
M Ar Ar o o H O H O atm H O
M atm H O
� � � � �
� �
g g g g
g
. . . . . º
.
2 2 2
2
30
LL sen h h hAr Ar o o H O H O. º . . .30 2 2� � �g g g
Veja que também poderíamos ter usado a regra da equação manométrica neste caso:
p h h h L sen pM Ar Ar o o H O H O H O atm� � � � � �g g g g. . . . .2 2 2 30
5 EXEMPLO
121UNIDADE 3
Agora, lembre-se que, já mencionamos que para solucionar problemas de fenômenos 
de transporte, é comum termos de fazer algumas considerações. Aqui, faremos duas:
1. O peso específico do ar é tão pequeno que podemos desprezar a pressão 
causada pela sua coluna.
2. O manômetro mede pressão manométrica e, portanto, está calibrado para 
indicar 0 para a pressão atmosférica. Assim, pode-se anular este termo na 
equação.
Com essas considerações, podemos simplificar a equação para a forma:
p L sen h hM H O o o H O H O� � �g g g2 2 230. . º . .
Agora, podemos substituir os valores (pois conhecemos todos) e chegar ao resultado 
procurado:
p N
m
m N
m
m N
mM
� �
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
� � � �10000 1 1 0 5 8000 0 20 100003 3. , . , . , 33
2
0 35
400
�
�
�
�
�
� � �
�
. , m
p N
mM
Com este resultado, é fácil calcular a força na parede do reservatório. Pela definição 
de pressão, temos que:
F p A
F N
m
m N
topo M
topo
�
� �
�
�
�
�
� �
.
.400 20 80002
2
Até aqui, estudamos somente medidores de pressão analógicos tradicionais e 
importantes no contexto da mecânica dos fluidos. Existem também sensores mais 
modernos, como os transdutores de pressão, que convertem os efeitos da pressão 
em algum efeito elétrico, como mudanças na tensão, resistência ou capacitância, 
por meio da deformação de um diafragma ou do efeito piezoelétrico (capacidade 
de uma substância cristalina gerar tensão elétrica quando sujeita à pressão mecâni-
ca). Em geral, são mais compactos e rápidos, podendo ser também mais sensíveis, 
confiáveis e precisos. 
Fonte: adaptado de Çengel e Cimbala (2015).
122 Pressão e Estática dos Fluidos
Veremos, agora, um último tópico que, particular-
mente, já se distancia um pouco dos conceitos de 
pressão que foram estudados nesta unidade, mas 
que é bastante importante para compreender o 
funcionamento de alguns mecanismos. Trata-se, 
novamente, de um conceito que você já pode ter 
estudado nas aulas de física: o empuxo.
Empuxo 
123UNIDADE 3
Este fenômeno está diretamente relacionado com aspectos, tais como flutuabi-
lidade e estabilidade de corpos rígidos em fluidos. Uma observação experimental 
bastante importante é que um objeto parece mais leve quando imerso em um líquido 
do que no ar. De fato, se você pesasse o objeto dentro da água (com uma balança 
à prova d’água), o peso indicado seria menor. Tal observação sugere que um fluido 
exerce uma força vertical para cima em corpos imersos nele. A esta força, damos o 
nome de empuxo. 
Aqui, estaremos mais interessados no uso deste conceito do que no desenvolvimen-
to e análise das forças envolvidas. Para isso, partiremos do Princípio de Arquimedes.
Princípio de Arquimedes: quando um corpo está total ou parcialmente imerso 
em um fluido, uma força vertical (chamada empuxo) age nele de baixo para cima, 
equivalente ao peso do volume de fluido deslocado.
Fonte: adaptado de Brunetti (2008).
Em posse deste enunciado, podemos escrever:
E g V Vf deslocado f deslocado= =ρ γ. . .
Em que “E” é o empuxo, “ρf” e “γf” são a massa e o peso específicos do fluido, “g” é a 
aceleração da gravidade e “Vdeslocado” é o volume de fluido deslocado. Caso esta última 
variável pareça confusa, entenda-a como: “volume do corpo rígido que está submerso”. 
Assim, se o sólido estiver completamente imerso no fluido, por exemplo, temos que:
V Vdeslocado corpo=
124 Pressão e Estática dos Fluidos
Como mencionado, o empuxo é particularmente importante para estabelecer a condição 
de flutuação de um corpo. Considere a figura a seguir, em que P é o peso do corpo:
E
P
Figura 17 - Forças atuando em um corpo rígido imerso em fluido
Fonte: adaptada de Brunetti (2008). 
Veja que, como apontado no início desta unidade, nosso foco está em forças verticais. 
Fazendo o balanço destas duas forças, podemos afirmar que, para que o corpo flutue:
E P≥
Utilizando a definição de empuxo e de força peso, podemos desenvolver ambos os 
termos deste critério:
g gf deslocado corpo corpoV V. .≥
Se o corpo for totalmente submerso, Vcorpo = Vdeslocado, o critério de flutuabilidade será:
g gf corpo≥
O matemático grego Arquimedes, que viveu, aproximadamente, de 287 a 212 a.C., 
é também reconhecido como o autor da expressão “Eureka!”. A lenda diz que ele 
estava tomando banho quando percebeu que poderia determinar a densidade da 
coroa do rei submergindo-a em água e medindo o volume deslocado. Com isso, 
poderia confirmar se ela era feita de ouro puro ou não. Os relatos são de que ele 
saiu correndo pelado pelas ruas gritando “Eureka!”, exclamação que ficou famosa 
mundialmente e que hoje significa algo como “Descobri!”.
Fonte: adaptado de Leslie (2004).
Vamos, agora, trabalhar um exemplo que mostra como o empuxo é importante até 
mesmo em tarefas simples de engenharia.
125UNIDADE 3
Em um projeto de construção civil submarina, um guindaste é utilizado para levar 
grandes blocos de concreto até o mar. Durante a operação, surge a suspeita de que 
um dos blocos está fora dos padrões exigidos. Como engenheiro, você sabe que, caso 
a massa específica do bloco esteja na faixa de 2100 a 2300 kg/m³, o bloco estará de 
acordo com as especificações necessárias. As únicas informações à sua disposição 
são a massa específica da água do mar (ρmar = 1040 kg/m³), a tensão na corda do 
guindaste segurando o bloco dentro da água (FT,água = 6,5 kN) e o volume do bloco 
(V = 0,64 m³). Adotando a aceleração da gravidade como g = 10 m/s², qual sua ava-
liação sobre o bloco?
Solução:
Para facilitar a visualização, o primeiro passo pode ser fazer o esboço do problema. 
Considere a situação em que o bloco está sendo levantado pelo guindaste na água:
Água
P
FT, Água
E
Agora, é importante ter seu objetivo bastante claro: desejamos verificar se a massa 
específica do bloco está na faixa de 2100 a 2300 kg/m³. Observe que, se conhecemos 
o volume do corpo, este parâmetro pode ser utilizado para calcular a força peso P:
P m g V gbloco bloco bloco= =. ( . ) .r
Assim, se conseguirmos calcular a força peso, será possível resolver o problema. 
Como conhecemos a massa específica da água do mar e a tensão da corda quando 
o bloco está submerso, temos informações suficientes para chegar até a força peso. 
Fazendo o balanço de forças na direção vertical:
For a Resultante na Dir o Vertical = For as para Cimaç eçã ç� � � �� � � - For as para Baixoç
6 EXEMPLO
126 Pressão e Estática dos Fluidos
Para o sistema em equilíbrio:
For a Resultante na Dire o Vertical = 0
For as para Baix
ç çã
ç
� �
oo For as para Cima� � � � �ç
E então:
P E FT água� � ,
Além disso, pelo princípio de Arquimedes:
P g V Ff deslocado T água� �r . . ,
Como o bloco está completamente submerso, Vdeslocado = Vbloco. Podemos então subs-
tituir todos os parâmetros:
P kg
m
m
s
m N
P N N
P N
� �
� �
�
1040 10 0 64 6500
6656 6500
13156
3 2
3
. . ,
Agora, retornando à definição da força peso:
r
r
bloco
bloco
bloco
P
V g
N
m m s
kg
m
= =
=
. , ³ . / ²
,
³
13156
0 64 10
2055 63
Dessa forma, podemos concluir que o bloco está, de fato, fora das especificações 
exigidas. Outro detalhe importante de se observar neste exemplo é o aparente efeito 
“redutor de peso” do empuxo: no ar, todo o peso do bloco estaria na forma de tração 
na corda, enquanto na água a tração caiu para menos da metade.
127
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Um pistão vertical cilíndrico opera acoplado a uma mola. Um manômetroé utili-
zado para verificar a pressão no gás que fica contido neste pistão. Considerando 
os parâmetros apresentados na figura a seguir, determine a pressão absoluta 
do gás e a massa do pistão. Adote a aceleração da gravidade como 10 m/s².
50 Np = 16 kPaman
p = 98 kPa
m = ?
A = 50 cm²
p = ?
atm
128
2. Considere o manômetro da figura a seguir. Sendo o fluido A um óleo e B um 
fluido manométrico de pesos específicos γóleo = 8800 N/m³ e γfluido = 120000 N/
m³, determine a pressão p1 na escala manométrica.
P1
B
10 cm
25 cm
18 cm
A
3. Um tubo em U é conectado a um tanque que contém diferentes fluidos. Determi-
ne a pressão manométrica no manômetro A, considerando os pesos específicos 
e as alturas das colunas de cada um dos fluidos indicados na figura a seguir. 
Qual a altura necessária de uma coluna de água para que ela cause uma pressão 
equivalente à indicada no manômetro A?
80 cm
120 cm
20 cm
A
40 cm
60 cm
Óleo
8500 N/m³
Água
10000 N/m³
Glicerina
12600 N/m³
129
Animação desenvolvida pelo TED-Ed que conta a história do barômetro e como 
ele funciona. Conteúdo em inglês, mas o vídeo apresenta legendas em portu-
guês disponíveis.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
Animação desenvolvida pelo TED-Ed que vai mais longe na história de Arquime-
des e comenta a lei da flutuabilidade. Conteúdo em inglês, mas o vídeo apresenta 
legendas em português disponíveis.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/2416
https://ed.ted.com/lessons/the-real-story-behind-archimedes-eureka-armand-d-angour
130
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. Brasil: AMGH Editora, 
2015. 
LESLIE, M. The First Eureka Moment. Science, [S.l.], v. 305, n. 5688, p. 1219, ago. 2004. Disponível em: 
http://science.sciencemag.org/content/sci/305/5688/1219.5.full.pdf. Acesso em: 3 out. 2019.
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de 
Massa. 6. ed. São Paulo: Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2017. 
131
1. O exercício pede dois resultados: a pressão absoluta no gás e a massa do pistão. O primeiro destes pode 
ser facilmente avaliado:
p p P
p kPa kPa kPa
abs man atm
abs
� �
� � �16 98 114
Agora, para calcular a massa do pistão, deve-se partir da definição de pressão:
p F
A
F p A� � � . 
Como já conhecemos a área, é necessário avaliar as forças atuando sobre o gás. Para isso, você poderia usar 
tanto a escala absoluta quanto a manométrica – por conveniência, utilizaremos a escala manométrica. Temos 
duas forças para analisar: a força exercida pela mola (Fmola) e a força peso (P):
F F P F m g
F m g p A
mola mola pistão
mola pistão man
� �� � � �
� �
.
. .
Isolando o termo que desejamos determinar (a massa do pistão) e substituindo os valores de cada parâmetro:
m p A F
g
m Pa m N
m s
m
pistão
man mola
pistão
pis
�
�
�
�
.
. , ²
/ ²
16000 0 005 50
10
ttão kg� 3
2. Para resolver este exercício, usamos a equação manométrica, adotando como plano horizontal de referência 
a parte mais baixa do manômetro. A pressão do lado esquerdo pode ser equacionada por:
p p h h
p p h
e A óleo óleo fluido fluido
e A óleo fluido
� � �
� � �
g g
g
. .
. (
,
,
1
2 hh hfluido fluido fluido, ,) .1 1� g
Do lado direito:
p p hd atm fluido fluido� � g . ,3
132
Se o sistema está em equilíbrio, é válido:
p h h h pA óleo fluido fluido fluido fluido atm flu� � � � �g g g. ( ) ., , ,2 1 1 iido fluido
A atm fluido fluido óleo fluido
h
p p h h h
.
. . (
,
, ,
3
3 2� � � �g g ffluido fluido fluido
A atm fluido fluido fl
h
p p h h
, ,
,
) .
. (
1 1
3
�
� � �
g
g uuido óleo fluido fluidoh h, , ,) . ( )1 2 1� �g
Esta mesma equação poderia ser alcançada utilizando a regra da equação manométrica:
p h h h hA óleo fluido fluido fluido fluido fluido� � � �g g. ( ) . (, , , ,2 1 3 11
3 1
)
. ( ) . (, ,
�
� � � �
p
p p h h h
atm
A atm fluido fluido fluido óleo fluig g ddo fluidoh, , )2 1�
Como estamos na escala manométrica, podemos desconsiderar o termo referente à pressão atmosférica. 
Substituindo os valores na equação:
p N
m
m m N
m
m m
p Pa
A
A
� � � �
�
120000 0 25 0 10 8800 0 18 0 10
17296
³
. ( , , )
³
. ( , , )
��17 30, kPa
3. Este exercício pode ser resolvido utilizando o conceito de equação manométrica. O usual seria utilizar como 
plano horizontal de referência o fundo do manômetro (a parte inferior do tubo na horizontal), contudo, 
pela configuração da figura, é conveniente utilizar outro plano: a interface água-glicerina no tanque. Veja 
o novo esquema:
80 cm
60 cm
A
40 cm
Óleo
8500 N/m³
Água
10000 N/m³
PHR
133
Esta aparente “simplificação” é válida porque, na prática, abaixo deste segmento do sistema, as colunas de 
glicerina são iguais de ambos os lados, logo, elas se anulariam na equação manométrica. Equacionando as 
pressões do lado esquerdo, temos:
p p h he atm óleo óleo água água� � �g g. .
Do lado direito: 
p p hd A glicerina glicerina� � g .
Igualando ambas e isolando o termo solicitado pelo problema, pA:
p p h h hA atm óleo óleo água água glicerina glicerina� � � �g g g. . .
A regra da equação manométrica ainda pode ser aplicada, e levaria a esta mesma equação.
Como estamos interessados na pressão manométrica, podemos desconsiderar a pressão atmosférica da equa-
ção. Com isso, basta substituir os valores dos pesos específicos e das alturas de cada coluna:
p N
m
m N
m
m N
m
m
p Pa
A
A
� � �
�
8500 0 8 10000 0 4 12600 0 6
3240
³
. ,
³
. ,
³
. ,
Por fim, o exercício solicita a altura necessária para que uma coluna de água causasse esta mesma pressão. Na 
prática, isso pode ser entendido como converter o resultado para alguma unidade apropriada, como metros 
de coluna d’água:
p Pa mca
Pa
mcaA = =3240
10 33
101325
0 33, ,
Veja que o mesmo resultado seria obtido utilizando o Teorema de Stevin:
h p PaN
m
h mca
água
A
água
água
'
'
³
,
= =
=
g
3240
10000
0 324
A pequena diferença observada é decorrente de aproximações no peso específico da água devido à acelera-
ção da gravidade empregada (10 m/s² em vez de um valor mais rigoroso, como 9,8 m/s²). Como observação 
final, sugere-se que você experimente resolver este exercício novamente, mas adotando a parte mais baixa do 
manômetro como plano horizontal de referência. Isto facilitará a compreensão da estratégia que foi utilizada 
nesta resolução.
134
135
136
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Revisitar os conceitos de regime permanente e transien-
te, apresentando as definições de escoamento laminar, 
turbulento e unidimensional.
• Trabalhar com a lei de conservação da massa para definir 
a equação da continuidade para o escoamento de fluidos 
em regime permanente.
Caracterização 
do Escoamento
Vazão e a Equação 
da Continuidade
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Cinemática dos Fluidos
Caracterização 
do Escoamento
Na Unidade 1, introduzimos conceitos impor-
tantes, como os regimes permanente e transiente, 
sistemas, leis de conservação e vazão. Na Unidade 
2, definimos a viscosidade, característica funda-
mental dos fluidos, e apontamos ligeiramente os 
conceitos de fluido ideal, escoamento incompres-
sível e do número de Reynolds. Na Unidade 3, 
trabalhamos os tópicos referentes à estática dos 
fluidos, ou seja, os aspectos importantes de serem 
analisados nos fluidos quando estão em repouso. 
Agora, iremos aprimorar estes conhecimentos ob-
servando nosso novo objeto de estudo: o movi-
mento dos fluidos, frequentemente chamado de 
escoamento.
Os problemas de mecânica dos fluidos po-
dem ser muito diversos, e por isso é conveniente 
classificá-los com respeito às suas caraterísticas 
para que possam ser estudados conforme sua se-
melhança. A seguir, você estudará algumas das 
principais classificações de problemas envolvendo 
escoamento.139UNIDADE 4
Viscoso ou Não Viscoso
Anteriormente, você estudou que a viscosidade é a propriedade que representa a 
resistência do fluido ao movimento. Em líquidos, a viscosidade é resultado das forças 
coesivas entre as moléculas, enquanto em gases ela é causada pelas colisões entre as 
moléculas. Ademais, vimos que a viscosidade nula é uma das condições necessárias 
para um fluido ser considerado ideal. Esta é uma aproximação útil, pois em diversos 
escoamentos existem regiões em que as forças viscosas são pequenas se comparadas 
às forças inerciais e de pressão, podendo ser consideradas desprezíveis. Nestas situa-
ções, pode-se ignorar os efeitos viscosos para simplificar a análise do escoamento 
sem perda considerável de precisão. É válido lembrar que, na prática, não existe fluido 
com viscosidade nula.
Dessa forma, o escoamento pode ser dito:
• Viscoso: se os efeitos viscosos são significantes.
• Não viscoso (invíscido): se os efeitos viscosos podem ser desprezados.
Por exemplo, lembre-se do princípio da aderência: quando em contato com uma 
superfície sólida, os pontos de um fluido aderem-se aos pontos desta superfície. 
Isto significa que a região do escoamento próxima a uma superfície sólida (como a 
parede de um tubo, por exemplo) é onde os efeitos viscosos estão mais acentuados 
(veja a Figura 1). Esta ideia será melhor abordada na Unidade 6, quando tratarmos 
da chamada camada limite.
Escoamento Uniforme
Região
não viscosa
Região viscosa
Superfície Sólida
v0 v(y)
Figura 1 - Perfil de velocidade v(y) de um escoamento uniforme sobre uma superfície sólida
Fonte: os autores.
140 Cinemática dos Fluidos
Interno ou Externo
Um escoamento pode ser dito interno ou externo de acordo com o local onde ele 
acontece: dentro de um conduto ou sobre uma superfície. Caso a palavra “conduto” 
soe estranha aos seus ouvidos, ela se refere a qualquer estrutura sólida destinada 
ao transporte de fluidos, como tubulações. Dessa forma, as definições são bastante 
simples – o escoamento pode ser dito:
• Interno: se o fluido escoa cercado por superfícies sólidas (como dentro de tubos).
• Externo: se o fluido escoa sobre superfícies, como placas, esferas ou, até mes-
mo, por fora de tubos.
Além disso, pode-se ainda dizer que os condutos são livres (ou abertos), se o fluido 
em movimento apresenta uma superfície livre (Figura 2b), ou forçados, quando o 
fluido preenche o conduto completamente sem apresentar superfície livre (Figura 2a).
(a) (b)
Superfície
livre
Superfície
livre
Figura 2 - Comparação entre condutos forçados (a) e condutos livres (b)
Fonte: Brunetti (2008, p. 164).
Compressível ou Incompressível
O conceito de escoamento incompressível foi estabelecido na Unidade 2. Lembran-
do: um escoamento é dito incompressível quando seu volume (ou densidade) não 
varia com a pressão. Assim como no caso dos escoamentos não viscosos, esta é uma 
aproximação: na prática, todo fluido apresenta alguma compressibilidade, mas nos 
casos em que ela é pequena o suficiente para ser desprezada, pode-se considerar 
que a densidade do fluido é constante – em geral, isto é verdade para os líquidos. A 
incompressibilidade é o segundo critério necessário para a condição de fluido ideal.
141UNIDADE 4
Por outro lado, gases são altamente compressíveis, sendo importante considerar as 
variações de densidade observadas em escoamentos gasosos com altas velocidades, 
como na análise de espaçonaves e foguetes, por exemplo. Nesses casos, a velocidade 
do escoamento é frequentemente descrita por meio do número de Mach, um número 
adimensional, definido pela expressão:
Ma v
c
Velocidade do Escoamento
Velocidade do Som
= =
O Número de Mach (Ma) é medida adimensional da velocidade, definida como a razão 
entre a velocidade do escoamento e a velocidade do som (346 m/s em ar nas condições 
ambiente de temperatura e pressão). O escoamento é dito sônico quando Ma = 1, subsônico 
quando Ma < 1, supersônico quando Ma > 1 e hipersônico quando Ma >> 1.
O número de Mach pode ser utilizado como parâmetro para avaliar se é razoável 
aproximar um escoamento gasoso como incompressível. Geralmente, para Ma < 0,3, 
as variações de densidade observadas são inferiores a 5%, podendo ser aproximado 
como incompressível. Assim, em condições ambientes, a compressibilidade pode ser 
desprezada em velocidades inferiores a cerca de 100 m/s.
Natural ou Forçado
Outra classificação diz respeito à origem do escoamento. Se o fluido começa a escoar 
devido à ação externa, como uma bomba ou um ventilador, ele é dito forçado. Em 
contrapartida, se o movimento do fluido acontece por causas naturais, como a convec-
ção (movimento ascendente ou descendente devido à diferença de densidade dentro 
do próprio fluido, especialmente por diferenças de temperatura), ele é dito natural.
Permanente ou Transiente
Na Unidade 1, conceituamos o estado estacionário (regime permanente) e o estado 
não estacionário (regime transiente) para os sistemas. Para os escoamentos, estas 
classificações terão significados análogos – o escoamento pode ser dito em regime:
• Permanente: as condições em todos os pontos do escoamento permanecem 
constantes ao longo do tempo (mas podem variar entre os pontos).
• Não Permanente (ou Transiente): as condições em um ou mais pontos do 
escoamento variam ao longo do tempo.
A Figura 3a apresenta um reservatório de grandes dimensões. Isso significa que, 
apesar de haver uma descarga do fluido, o nível do reservatório não varia de maneira 
142 Cinemática dos Fluidos
significativa com o tempo, podendo ser considerado regime permanente. A Figura 
3b mostra um reservatório em que o nível varia sensivelmente com o tempo, pois a 
seção transversal é relativamente pequena comparada à descarga do fluido, caracte-
rizando um regime transiente.
NC
(a)
Reservatório de
grandes dimensões
(regime permanente)
(b)
Nível variável
(regime variado)t2
t2
t3
t3
t1
t1
Figura 3 - Comparação entre regime permanente (a) e regime transiente (b)
Fonte: Brunetti (2008, p. 68). 
Repare que, na prática, os processos e escoamentos sempre terão alguma variação 
ao longo do tempo, por menor que seja. Com isso, pode-se entender como condi-
ções de regime permanente aquelas observadas em média ao longo do tempo (que 
se espera serem próximas das condições de operação planejadas). Uma das tarefas 
fundamentais de um engenheiro é determinar se um problema pode ser analisado 
aproximando-o para regime permanente ou se é necessário avaliar as variações ob-
servadas ao longo do tempo.
É importante observar que, apesar de o termo “transiente” ser frequentemente 
utilizado no lugar de “não permanente”, o mais apropriado é utilizar “transiente” 
para escoamentos que ainda estão se desenvolvendo. Por exemplo, ao dar partida 
em um carro, leva algum tempo para que o motor aqueça até suas condições de 
operação – este intervalo de transição é, como o nome sugere, transiente. Quando 
devidamente preparado, o motor pode passar a operar em condições constantes – 
regime permanente. 
Laminar ou Turbulento
Você certamente já notou que, ao abrir ligeiramente uma torneira, o fluxo é bastante 
suave e ordenado (Figura 4). Este tipo de escoamento é chamado de laminar, carac-
terizado pelo movimento suave entre as partículas de fluido em camadas (“lâminas”). 
Fluidos de viscosidade alta em baixas velocidades costumam escoar desta forma.
143UNIDADE 4
Figura 4 - Escoamento laminar
Por outro lado, se você abrir ainda mais a torneira, a velocidade e a vazão de água 
aumentam e o escoamento passa a ser mais desordenado. De fato, se você coletar 
esta água em um copo, verá que a formação de bolhas é muito mais intensa (Figura 
5). Este tipo de escoamento é chamado de turbulento, sendo comum em fluidos de 
baixa viscosidade em altas velocidades. 
Figura 5 - Escoamento turbulento
144 Cinemática dos Fluidos
Quando as condições de escoamento estão entre o laminar e o turbulento, diz-se 
que o escoamento está em regime de transição. O regime laminar ou turbulentoafeta consideravelmente diversos processos envolvendo fluidos, como a potência 
necessária para bombeamento ou a transferência de calor, por exemplo. Dessa forma, 
surge a necessidade de um parâmetro capaz de determinar se um escoamento será 
laminar ou turbulento. Este parâmetro é o número de Reynolds, que você conheceu 
na Unidade 2, definido pela seguinte relação:
Re
. . .
= = =
For as Inerciais
For as Viscosas
ç
ç
v D v Dρ
µ ν
Em que ρ é a massa específica do fluido, v é a velocidade do escoamento, D é o diâme-
tro da tubulação, μ é a viscosidade absoluta do fluido e n é a viscosidade cinemática.
Osborne Reynolds (1842-1912) foi o engenheiro britânico que observou a existência 
destes regimes de escoamento por meio do seguinte experimento: injetou corante em 
um tubo de vidro onde escoava um fluido, em diferentes velocidades. Para pequenas 
velocidades, o corante seguia o escoamento de forma ordenada (laminar, Figura 6a). 
Após passar um valor crítico de velocidade, o movimento do corante passava a ser 
bastante desordenado (turbulento, Figura 6b).
Corante
(a)
Injeção de Corante
vméd
Corante
(b)
Injeção de Corante
vméd
Figura 6 - Experimento de Reynolds
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 279).
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
145UNIDADE 4
Observa-se que a turbulência promove uma mistura intensa no fluido, aumentando a 
transferência de momento entre as partículas, resultando no aumento do atrito com as 
superfícies, o que demanda maior potência de bombeamento para deslocar o fluido.
Reynolds observou que o regime do escoamento dependia principalmente da 
razão entre as forças inerciais e as forças viscosas do fluido – o número de Reynolds. 
Para água em tubos cilíndricos, os seguintes limites são geralmente admitidos:
• Re < 2000: escoamento laminar
• 2000 < Re < 2400: escoamento de transição
• Re > 2400: escoamento turbulento
Por fim, é importante apontar que, em geral, o regime turbulento pode ser admitido 
como permanente, mesmo sendo caracterizado por flutuações na velocidade. Isto é 
razoável, pois as velocidades ficarão sempre em torno de um valor médio (Figura 7). 
De fato, alguns aparelhos sequer são capazes de indicar as flutuações com elevada 
precisão.
v
Flutuações
Tempo
Valor médio indicado
pelo aparelho medidor
de velocidade
Figura 7 - Flutuações na velocidade de um escoamento turbulento ao longo do tempo
Fonte: Brunetti (2008, p. 69). 
Unidimensional, Bidimensional 
ou Tridimensional
Uma das principais formas de descrever um escoamento é por meio de seu gradiente 
de velocidades. Podemos dizer que ele é uni-, bi- ou tridimensional se a velocidade 
varia com uma, duas ou três dimensões, respectivamente. Por exemplo: o escoamento 
é unidimensional quando precisamos de apenas uma coordenada para descrever 
sua velocidade, como na Figura 8, em que a velocidade depende apenas da posição 
x, ou seja, v = f(x).
146 Cinemática dos Fluidos
x1
(1) (2)
v1
v2
x2 x
Figura 8 - Escoamento unidimensional
Fonte: Brunetti (2008, p. 71). 
Se a velocidade também varia de acordo com a posição y, ela é dita bidimensional 
(v = f(x,y)):
x1
(1)
(2)
v = ƒ(x, y)
x2 x
y
y1 v1
Figura 9 - Escoamento bidimensional
Fonte: Brunetti (2008, p. 71). 
Ou, ainda, pode variar nas três dimensões ( ( , , ))v f x y z= :
v = ƒ(x, y, z)
z
y
x
Figura 10 - Escoamento tridimensional
Fonte: Brunetti (2008, p. 71). 
147UNIDADE 4
Naturalmente, quanto mais dimensões forem consideradas, maior será a complexi-
dade da análise. Em geral, procure sempre que possível descrever o escoamento de 
forma unidimensional, por conveniência, adotando uma velocidade média na seção 
(trataremos desta aproximação no próximo tópico).
É comum encontrar o escoamento sendo descrito como “uniforme”, que pode causar 
certa confusão ao comparar bibliografias e traduções diferentes. Por “uniforme”, 
entenda: sem variação com a posição em uma determinada região. O escoamento 
da Figura 8, por exemplo, pode ser dito: “uniforme na seção”, pois não varia com 
as posições y ou z para cada seção na posição x.
Trajetória e Linha de Corrente
Por fim, como estamos interessados em caracterizar o movimento do fluido (escoa-
mento), é fundamental saber descrever a direção deste. Assim, surgem os conceitos 
de trajetória e linha de corrente.
A trajetória é simplesmente o conjunto dos pontos ocupados por uma partícula 
em instantes sucessivos. Por exemplo, se registrássemos a posição de um corpo flu-
tuando ao longo do escoamento, poderíamos ter uma trajetória correspondente à 
linha pontilhada da figura a seguir:
Flutuante
t0
t1
t2 tn
Figura 11 - Trajetória de um corpo flutuante ao longo de um escoamento
Fonte: Brunetti (2008, p. 70).
A linha de corrente, por sua vez, é a curva tangente aos vetores da velocidade em 
diferentes pontos no mesmo instante, servindo como indicador da direção do es-
coamento naquele instante. Por exemplo, na Figura 12, as linhas pretas são as linhas 
de corrente para um escoamento bidimensional:
148 Cinemática dos Fluidos
5
4
3
2
1
0
-1
y
0 1 2 3 4 5
x
Figura 12 - Linhas de corrente para um escoamento bidimensional
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 111).
É possível desenvolver expressões algébricas para descrever as linhas de corrente a 
partir da sua definição, mas isto está fora do escopo deste material. O interesse aqui 
é que você compreenda como visualizar o movimento do fluido: se medirmos a 
velocidade em diferentes pontos do escoamento, podemos determinar as linhas de 
corrente, que coincidem geometricamente com as trajetórias no regime permanente.
Existem diversas formas e técnicas para visualizar o escoamento, muitas das quais 
são particularmente importantes para o desenvolvimento de soluções numéricas 
para problemas de escoamento. A simulação numérica destas soluções é chamada 
de fluidodinâmica computacional (CFD) e transforma números em imagens, provi-
denciando ao engenheiro uma perspectiva privilegiada do escoamento. Algumas 
técnicas modernas de análise do movimento de partículas em fluidos envolvem 
também métodos ópticos como a velocimetria por imagem de partículas (PIV), grá-
ficos de sombras, fotografia schlieren e interferometria. Isso é importante porque 
a mente humana é capaz de processar rapidamente uma quantidade enorme de 
informações visuais em vez de apenas listar dados quantitativos.
Fonte: adaptado de Çengel e Cimbala (2015). 
149UNIDADE 4
Agora que você sabe identificar as principais 
características de um escoamento, o passo se-
guinte é quantificá-lo quanto à vazão de fluido. 
De forma análoga ao desenvolvido na Unidade 
1, utilizaremos o conceito de vazão para então 
aplicar o princípio de conservação da massa aos 
escoamentos. O resultado será a chamada equação 
da continuidade.
Vazão e a Equação 
da Continuidade
150 Cinemática dos Fluidos
Vazão e Velocidade Média
Utilizamos a ideia de “vazão” na Unidade 1, mas sem dar atenção particular a ela. 
No contexto da mecânica dos fluidos, podemos entender esta expressão da seguinte 
forma: a quantidade de massa de fluido que atravessa uma determinada seção do 
escoamento por unidade de tempo. Por esta definição, sendo Qm o símbolo utilizado 
para representar a vazão mássica, m para massa e t para tempo, pode-se escrever
Vazão Mássica Massa
Tempo
Q m
tm
=
=
Como [ ]Q MTm �
�1 , unidades típicas para a vazão mássica são kg/h e o lb/h, por 
exemplo. Também é bastante comum pensar na vazão em termos do volume de fluido:
VazãoVolumétrica Volume
Tempo
Q V
t
=
=
Neste caso, [Q] = L³T-1, de modo que várias unidades são comuns: m³/s, m³/h, l/s, l/h, 
ft³/s. É importante observar que estas duas vazões se relacionam da seguinte maneira:
Q Qm = r .
Então, se, por exemplo, um chuveiro aberto gasta 150 litros de água durante um 
banho de 15 minutos, podemos dizer que a vazão é de 10 litros de água por minuto. 
Adotando a massa específica da água como 1000 kg/m³, isto corresponde à vazãomássica de 10 kg/min:
Q Q
Q kg
m
m
l
l kg
m
m
=
= =
r .
.
min min
1000
1
1
1000
10 103
3
151UNIDADE 4
Uma mangueira é utilizada para encher de água uma piscina com capacidade de 
12.000 litros. Sabendo que o tempo necessário para preenchê-la completamente foi 
de 40 minutos, qual a vazão da mangueira em volume e em massa? Apresente a res-
posta em unidades do SI e considere ρH2O = 1000 kg/m³. 
Solução:
Se a mangueira é a única fonte de água enchendo a piscina, podemos determinar a 
vazão de água com base na definição:
VazãoVolumétrica Volume
Tempo
l l
Q l
= = =
=
12000
40
300
300
min min
min
Agora, para atender à solicitação do enunciado, é necessário converter as unidades 
para o SI:
Q l m
l s
m
s
� � �300 1
1000
1
60
5 10
3
3
min
min
.
³
Conhecida a vazão volumétrica, pode-se calcular a vazão mássica:
Q m
s
kg
m
kg
sm
� ��5 10 1000 53 3.
³
Observe que, na definição dada para a vazão, é mencionada uma determinada seção 
do escoamento. Esta ideia é importante, pois possibilita relacionar a vazão em volu-
me com a velocidade do fluido. Imagine um fluido em movimento dentro de uma 
tubulação, em que atravessa a seção de área A no tempo t = 0, deslocando-se uma 
distância s em um intervalo de tempo t, como na Figura 13:
γ
A
γ
A
s
t = 0
t
Figura 13 - Vazão volumétrica de fluido em escoamento uniforme
Fonte: Brunetti (2008, p. 72).
1 EXEMPLO
152 Cinemática dos Fluidos
Agora, atente-se à seguinte afirmação: o volume (V) de fluido que atravessou a seção 
de área A no intervalo de tempo t é equivalente ao volume do cilindro de altura s e 
área da base A. Assim, temos matematicamente que:
V s A= .
Pela definição de vazão volumétrica:
Q V
t
s A
t
= =
.
Utilizando a definição de velocidade (v = s/t), podemos escrever, ainda, que:
Q v A= .
Em que v é a velocidade do escoamento.
Contudo, é fundamental observar que este raciocínio só faz sentido se estivermos 
considerando um perfil de velocidades uniforme na seção. Como já foi mencionado 
anteriormente, em situações práticas, o escoamento dificilmente será uniforme, mas 
é possível adotar uma velocidade média na seção para abordar o problema como se 
ele fosse, de fato, uniforme.
Veja, por exemplo, a Figura 14:
dA
v
A
Figura 14 - Vazão volumétrica de fluido em escoamento tridimensional
Fonte: Brunetti (2008, p. 73).
153UNIDADE 4
A velocidade (v) é diferente em cada ponto da seção (dA). A vazão (dQ) em cada um 
destes pontos pode ser escrita como:
dQ v dA= .
Então, a vazão na seção de área A pode ser avaliada por meio da integral:
Q v dA
A
� �
Agora, vamos considerar a seguinte definição para a velocidade média (vm): uma 
velocidade uniforme que, substituindo a velocidade real, resulta na mesma vazão 
por meio da seção:
Q v dA v A
A m
� �� .
Esta expressão pode ser arranjada conforme a devida definição de velocidade média 
na seção:
v
A
v dAm A� �
1
Isto é, em problemas em que o perfil de velocidades real (vreal) é variado, podemos 
adotar uma velocidade média (vm) uniforme na seção, que resulta na mesma vazão 
volumétrica (Q) por meio da seção (veja a Figura 15). Vejamos agora um exemplo 
para fixar os conceitos abordados.
vm vreal
Figura 15 - Perfil de velocidades (vreal) e velocidade uniforme média na seção (vm) que resultam em 
vazões volumétricas equivalentes por meio da seção
Fonte: Brunetti (2008, p. 73).
154 Cinemática dos Fluidos
Um óleo (ρ = 850 kg/m³) escoa em uma tubulação que apresenta seções de tamanhos 
diferentes: A1 = 30 cm² e A2 = 18 cm². Se a velocidade média na seção (1) é de v1 = 
6 m/s, determine as vazões em volume, em massa e a velocidade média na seção (2) 
em unidades do SI.
Solução:
(1)
(2)
v1
Inicialmente, é conveniente já converter as áreas conhecidas para o SI:
A cm m
A cm m
1
2 4 2
2
2 4 2
30 30 10
18 18 10
� �
� �
�
�
.
.
Como a velocidade média na seção (1) é fornecida, é possível calcular a vazão vo-
lumétrica:
Q v A m
s
m
Q m
s
� �
�
�
�
1 1
4 2
2
3
6 30 10
1 8 10
. . .
, .
Agora, como conhecemos a massa específica do óleo, podemos utilizá-la para calcular 
a vazão em massa:
Q Q kg
m
m
s
kg
sm
� � ��r . . , . ,850 1 8 10 15 303
2
3
Para calcular a velocidade média na seção (2), é necessário recorrer a um conceito 
que você estudou na Unidade 1: no regime permanente, tudo que entra no sistema 
tem de sair. Aqui, você pode entender a seção (1) como a entrada e a seção (2) como 
a saída do sistema. Isto é, a vazão de óleo que entra na seção (1) sai pela seção (2). 
Se a massa específica do óleo, uma substância líquida, não varia consideravelmente 
com a diminuição da área da seção, podemos afirmar que é um fluido incompressível. 
Assim, temos que:
Q Q
v A v A
v v A
A
1 2
1 1 2 2
2 1
1
2
=
=
=
. .
.
2 EXEMPLO
155UNIDADE 4
E com isso, a velocidade média na seção (2) pode ser avaliada:
v m
s
m
m
m
s2
4 2
4 26
30 10
18 10
10� �
�
�.
.
.
Caso esta última etapa não tenha sido tão clara para você, não se preocupe: na ver-
dade esta ideia será melhor desenvolvida a seguir, conhecendo a famosa equação da 
continuidade. 
Equação da Continuidade 
em Regime Permanente
Considere o escoamento de um fluido por um tubo, com formato e dimensões ge-
néricas (Figura 16). Este tubo será o sistema que analisaremos a seguir.
Qm2
Q A1
A2
v
m
m1
Figura 16 - Representação esquemática de um tubo de corrente genérico
Fonte Brunetti (2008, p. 75).
Na seção (1), de área A1, há uma vazão mássica de entrada Qm1. Na seção (2), de área 
A2, há uma vazão mássica de saída Qm2. Em regime permanente, as propriedades em 
cada ponto do fluido são constantes ao longo do tempo. Além disso, pelo princípio 
de conservação da massa, sabemos que Qm1 = Qm2 (do contrário, em algum ponto no 
interior do tubo haveria redução ou acúmulo de massa).
A chamada equação da continuidade para um fluido qualquer em regime perma-
nente é simplesmente esta relação, que, como vimos, pode ser escrita das seguintes 
formas:
Q Q ou Q Q ou v A v Am m1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2= = =r r r r. . . . . .
Ainda, se o fluido for incompressível (ρ1 = ρ2):
Q Q ou Q Q ou v A v Am m1 2 1 2 1 1 2 2= = =. .
156 Cinemática dos Fluidos
Por mais que este conceito talvez pareça simples demais para tanta ênfase, não o 
subestime: ele é fundamentalmente necessário para solução de diversos problemas 
de mecânica dos fluidos. Vejamos um exemplo a seguir.
Os tubos de Venturi são aparatos utilizados para medir a velocidade do escoamento 
por meio da variação de pressão. Para tanto, eles apresentam uma seção larga e depois 
outra mais estreita, como na figura a seguir. Um gás escoa em regime permanente 
por este trecho de tubulação e, devido à sua compressibilidade, apresenta diferentes 
massas específicas na entrada (ρe = 5 kg/m³) e na garganta (ρG = 10 kg/m³). Sendo 
Ae = 30 cm², AG = 10 cm² e ve = 40 m/s, qual a velocidade média do escoamento na 
garganta do tubo de Venturi? 
Venturi
Garganta
Ae
AG
Solução:
Em regime permanente, pelo princípio de conservação da massa, temos a equação 
da continuidade:
Q Q ou Q Q ou v A v Am m1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2= = =r r r r. . . . . .
Como o fluido em questão é compressível, não podemos fazer as simplificações com 
as massas específicas. Então, temos:
r re e e G G Gv A v A. . . .=
Isolando o termo que desejamos avaliar, basta substituir os valores conhecidos para 
chegar à resposta:
v v A
A
v m
s
kg
m
kg
m
cm
cm
v m
s
G e
e
G
e
G
G
G
=
=
=
.
.
r
r
40
5
10
30
10
60
3
3
2
2
3 EXEMPLO
157UNIDADE 4
Note que é intuitivo concluir que, ao comparar duas seções diferentes da tubulação 
de um mesmo escoamento, as velocidades médias e as áreas são inversamente pro-
porcionais. Isto é, na garganta do tubo de Venturi, a velocidade é maior, pois a área 
é menor. Você possivelmente já observou isso em seus experimentos de infância, 
apertando uma mangueira ou obstruindo uma torneira para que o jato de água saísse 
mais “forte” (rápido).
Além disso, tome um instante para lembrar que estamosno regime permanente: 
as condições em todos os pontos do escoamento permanecem constantes ao longo 
do tempo, mas podem variar entre os pontos! Aqui tivemos um bom exemplo disto: a 
massa específica na entrada era de 5 kg/m³, constante ao longo do tempo, enquanto a 
massa específica na garganta era de 10 kg/m³, também constante ao longo do tempo.
Por fim, é importantíssimo mencionar que nem sempre haverá apenas uma entrada 
e uma saída de fluido. Podemos generalizar a equação da continuidade como a soma 
das vazões de entrada (“e”) e a soma das vazões de saída (“s”):
Q Qm
e
m
s
�� �
E, de forma análoga, se o fluido for incompressível e homogêneo (ou seja, se não 
forem misturadas substâncias diferentes que sejam compressíveis ou que alterem as 
massas específicas presentes):
Q Q
e s
�� �
Com isto, podemos concluir mais uma etapa no seu estudo dos fenômenos de trans-
porte. Nesta unidade, você estudou os escoamentos (fluidos em movimento), como 
caracterizá-los e como aplicar o princípio de conservação da massa a eles. O próximo 
passo será aplicar o princípio de conservação da energia, que nos levará a mais uma 
das equações fundamentais da mecânica dos fluidos.
158
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Um tanque cilíndrico completamente cheio de água, com altura de 5 metros, 
leva 2.000 segundos para ser completamente esvaziado. Ele é descarregado 
por um tubo cuja vazão é de 50 litros/segundo, constante ao longo de todo o 
processo. Determine a área ocupada por este tanque e a velocidade de descida 
da superfície livre da água no tanque. Este processo opera em regime perma-
nente ou transiente?
2. Ar entra em um difusor à velocidade de 200 m/s, como na figura a seguir. A área 
da seção de entrada é de 20 cm², enquanto a área da seção de saída é de 50 
cm². Sabendo que a massa específica do ar na entrada e na saída é de 1,2 kg/m³ 
e 1,5 kg/m³, respectivamente, determine as vazões em volume e em massa e a 
velocidade média na saída. Avalie, também, o escoamento em ambas as seções 
de acordo com o número de Mach. Considere a velocidade do som de 346 m/s. 
Difusor
Ar
v1 = 200 m/s
(1)
(2)
159
3. Uma tubulação direciona água para dois reservatórios, ambos cúbicos, como 
representado na figura a seguir. O reservatório (1) leva 100 segundos para ser 
completamente preenchido, enquanto o reservatório (2) leva 180 segundos. 
Sabendo que a velocidade média do escoamento na seção (A) é de 1,25 m/s, 
determine o diâmetro da tubulação nesta mesma seção. Avalie o escoamento 
nessa seção de acordo com o número de Reynolds (considere ρH₂O = 1000 kg/
m³ e μH₂O = 1,00 x 10
-3 Pa.s).
(1)
(2)
6 m
4 m
(A) vA = 1,25 m/s
160
Animação desenvolvida pelo TED-Ed que aborda o número de Mach, os estron-
dos sônicos e os efeitos físicos por trás destes fenômenos. Conteúdo em inglês, 
com legendas disponíveis em português.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
O Monge e o Executivo
Vídeo do canal SciShow, que trata dos desafios da aviação com relação aos voos 
supersônicos e hipersônicos. Disponível apenas em inglês.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
http://
http://
161
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. Brasil: AMGH 
Editora, 2015.
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de 
Massa. 6. ed. São Paulo: Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2017. 
162
1. Para encontrar a área do tanque, basta unir os conceitos de vazão e de geometria. Note que a única vazão 
presente no sistema é justamente a corrente que descarrega o tanque, que permanece constante durante 
todo o processo. Convertendo-a para unidades do SI, temos:
Q l
s
m
l
m
s
� � �50 1
1000
5 10
3
2
3
. 
Agora, lembre-se da própria definição de vazão volumétrica: quantidade de volume por unidade de tempo. Se 
conhecemos a vazão e o tempo necessário para esvaziar completamente o tanque, é fácil calcular o volume total:
Q
V
t
V Q t� � �tanque total
descarga total
tanque total descarga tot. aal
tanque total
tanque total
V m
s
s
V m
�
�
�5 10 2000
100
2
3
3
. .
Da geometria, o volume de um cilindro pode ser calculado pelo produto da área da base com a sua altura. Então:
V A h A V
h
A m
m
m
cilindro base base
cilindro
base
� � �
� �
.
100
5
20
3
2
Uma vez que a vazão de saída é constante, a velocidade de descida da superfície livre da água no tanque, por 
sua vez, pode ser calculada utilizando a altura total do tanque e o tempo necessário para que ele esvazie com-
pletamente:
• No tempo t = 0 s, o tanque está completamente cheio (altura da superfície livre da água: 5 m).
• No tempo t = 2.000 s, o tanque está completamente vazio (altura da superfície livre da água: 0 m).
Pela definição tradicional de velocidade:
velocidade= var na posi o
intervalo de tempo
superf cie liv
iação çã
v í rre
superf cie livre
�
�
� �
0 5
2000
0 0025
m m
s
v m
sí
,
163
Naturalmente, o sinal negativo indica que a superfície livre está descendo (afinal, o tanque está sendo descar-
regado). Este mesmo resultado também poderia ser alcançado utilizando a área do tanque que calculamos 
anteriormente:
velocidade= vaz o volum trica
rea da base
erf cie l
ã é
á
Q
A
v
base
í
�
sup iivre �
�
� �
�5 10
20
0 0025
2
3
2
.
,
m
s
m
m
s
Esta operação faz sentido, pois considerando fluido incompressível, o volume de água que sai pela tubulação 
deve ser o volume de água que diminui no tanque. Dividindo pela área da base do tanque, sabemos a altura 
de coluna de água que é diminuída no tanque por unidade de tempo. Novamente, o sinal negativo indica que 
a água está saindo do tanque. Se o tanque passasse a ser alimentado por uma corrente de vazão maior que a 
da corrente de descarga, a água passaria a acumular no tanque, ou seja, a altura da superfície livre iria subir 
(ou, se completamente cheio, o tanque começaria a transbordar).
Por fim, devemos afirmar que este processo opera, por natureza, em regime transiente. Afinal, mesmo que a 
vazão de saída seja constante, o conteúdo de água no tanque está variando com o tempo. Dessa forma, um 
ponto do tanque em que t = 0 s existe água, em t = 2.000 s não teria nada, pois o tanque teria sido completa-
mente descarregado.
2. O ar entra no difusor em alta velocidade e deseja-se avaliar as vazões e velocidades do escoamento neste 
sistema. Admitindo condição de regime permanente, é possível resolver este problema por meio da equa-
ção da continuidade. Como o fluido em questão é compressível:
Q Q ou Q Q ou v A v Am m1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2= = =r r r r. . . . . .
Uma vez que a velocidade na entrada é conhecida, é conveniente determinar as vazões nesta seção. Para a 
vazão volumétrica:
Q v A
Q m
s
cm m
cm
m
s
�
� �
�
.
. ,1
2
4 2
2
3
200 20 10
1
0 4
Com isso, é fácil determinar a vazão mássica:
Q Q Q Q
Q kg
m
m
s
Q kg
s
m m
m
m
� � �
�
�
r r. .
, . ,
,
1 1 1
1 3
3
1
1 2 0 4
0 48
164
Novamente, pela equação da continuidade, sabemos que:
Q Q Q kg
sm m m1 2 2
0 48� � � ,
Assim, podemos fazer o processo inverso para chegar à vazão volumétrica e à velocidade média na seção de saída:
Q Q
Q
kg
s
kg
m
Q m
s
m
2
2
2
2
3
2
30 48
1 5
0 32
�
� � �
r
,
,
,
v Q
A
v
m
s
cm m
cm
v m
s
2
2
2
2
3
2
4 2
2
2
0 32
50 10
1
64
�
� � ��
,
Por fim, devemos avaliar o escoamento conforme o número de Mach, que é definido como:
Ma v
c
Velocidade do Escoamento
Velocidade do Som
= =
Para a velocidade do som de 346 m/s, chegamos aos seguintes valores na entrada e saída do difusor, respec-
tivamente:
Ma v
c
m
s
m
s
Ma v
c
m
s
m
s
1
1
2
2
200
346
0 578
64
346
0 185
= = =
= = =
,
,
Como Ma < 1 em ambos os casos, podemos dizer que o escoamento é subsônico em ambas as seções.
165
3. Este problema pode ser resolvido utilizando a equação da continuidade. Conhecemosas dimensões dos 
tanques, o tempo necessário para enchê-los e a velocidade na seção (A). O objetivo é encontrar o diâmetro 
da tubulação nesta mesma seção. Para isso, o primeiro passo será avaliar o volume dos reservatórios (1) 
e (2). Como são cúbicos, temos:
V l
V m m
V m m
cubo =
= =
= =
3
1
3 3
2
3 3
6 216
4 64
tanque
tanque
( )
( )
Agora, baseado na definição de vazão, como conhecemos o tempo necessário para enchê-los completamente, 
podemos determinar a vazão de alimentação em cada tanque:
Q
V
t
Q
V
t
m
=
= =
tanque total
carga total
tanque
carga total 1
1
1
3216
1000
2 16
64
180
0 36
3
2
2
3 3
s
m
s
Q
V
t
m
s
m
s
=
= = =
,
,tanque
carga total 2
Conhecidas estas vazões, podemos aplicar a equação da continuidade para calcular a vazão volumétrica na 
seção (A). Note que o sistema apresenta uma entrada e duas saídas. Com a condição de fluido incompressível 
e homogêneo ao longo da tubulação, teremos:
Q Q
Q Q Q
Q m
s
m
s
Q m
s
e s
A
A
A
�
� �
� �
�
� �
1 2
3 3
3
2 16 0 36
2 52
, ,
,
166
Em posse deste resultado, como conhecemos a velocidade média do escoamento na seção (A), é possível avaliar 
a área da tubulação nesta seção:
Q v A A Q
v
A Q
v
m
s
m
s
mA A
A
� � �
� � �
.
,
,
,
2 52
1 25
2 02
3
2
Agora, considerando um tubo de seção circular, é possível calcular o diâmetro da tubulação:
A D D A
D m mA
� �
�
�
�
�
� � �
� �
p
p
.
. ,
,
,
2
4
4 2 02
3 14
1 60
2
2
Por fim, pede-se uma avaliação do escoamento conforme o número de Reynolds. Para calculá-lo, temos a 
equação:
Re
. . .
= = =
For as Inerciais
For as Viscosas
ç
ç
v D v Dρ
µ ν
Utilizando os valores fornecidos de massa específica, viscosidade e velocidade média do escoamento e o diâ-
metro que foi calculado para a seção:
Re
. , . ,
, . .
.� ��
1000 1 25 1 60
1 00 10
2 10
3
3
6
kg
m
m
s
m
Pa s
Escoamentos com números de Reynolds nesta ordem de grandeza são turbulentos.
167
168
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Estudar o conceito de balanço de energia, definindo a 
terminologia empregada, conceitos e unidades.
• Definir a equação de Bernoulli a partir da análise das ener-
gias mecânicas associadas a um fluido em escoamento.
• Tratar do princípio de funcionamento da instrumentação 
para a medição de velocidade dos fluidos.
• Analisar os efeitos da presença de máquinas que realizam 
trabalho na equação da energia.
• Examinar a equação da energia sem a hipótese de fluido 
ideal, desenvolvendo o conceito de perda de carga.
Balanço de Energia
Equação de Bernoulli Bombas e Turbinas na 
Equação da Energia
Equação da Energia 
para Fluidos Reais
Medida da Velocidade 
com Tubo de Pitot
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Equação da Energia 
no Regime Permanente
Balanço 
de Energia
Na Unidade 1, vimos o conceito de balanço ma-
terial e também as leis de conservação, em que 
foi mencionado que propriedades, como massa 
e energia de um sistema (isolado), não variam ao 
longo do tempo. Na unidade anterior, aplicamos 
esta ideia de conservação de massa ao escoamento. 
Agora, é hora de conhecermos os balanços de 
energia e de analisar o escoamento sob esta nova 
perspectiva.
Aqui, iremos trabalhar com duas equações 
principais: a equação da energia propriamente 
dita (que representa o enunciado da conservação 
de energia) e a famosa equação de Bernoulli (que 
analisa as energias associadas ao escoamento por 
meio de hipóteses simplificadoras). No contexto 
da mecânica dos fluidos, a primeira importante 
observação a ser feita é quanto à relação entre 
energia mecânica e energia térmica – a conversão 
de energia mecânica em energia térmica se dá por 
meio de efeitos viscosos (atrito), significando uma 
perda de energia mecânica.
171UNIDADE 5
Com isso em mente, o primeiro passo é você conhecer o enunciado do princípio 
de conservação da energia: a primeira lei da termodinâmica. Durante um processo, 
para um sistema isolado, a energia não pode ser criada nem destruída, apenas trans-
formada. Um sistema fechado, por sua vez, pode perder ou ganhar energia do meio 
que o envolve. Assim, é razoável escrever:
 E E dE
dtentra sai
sistema� �
Em que Eentra é a taxa de energia que entra no sistema, Esai é a taxa de energia que 
sai do sistema e 
dE
dt
sistema é a taxa de variação de energia total do sistema. No regime 
permanente, a variação no tempo será nula e, então:
 
 
E E
E E
entra sai
entra sai
� �
�
0
A energia de um sistema fechado (ou seja, de massa fixa) pode variar por meio de 
dois mecanismos: a transferência de calor (energia térmica, Q) e a transferência de 
trabalho (energia mecânica, W). Assim, escrevendo os termos na forma de taxas 
(grandeza por unidade de tempo), temos:
 Q W dE
dt
sistema� �
Em que Q é a taxa de transferência de calor (positiva quando calor é adicionado ao 
sistema pelo meio que o envolve) e W é a taxa de transferência de trabalho (positi-
va quando trabalho é realizado pelo meio sobre o sistema). Esta é a primeira lei da 
termodinâmica.
A literatura diverge bastante com relação ao sinal do trabalho na equação da pri-
meira lei da termodinâmica. Com o sinal negativo, você deve interpretar o parâme-
tro �W como “trabalho realizado pelo sistema sobre o meio”. Isto pode ser confuso 
no começo, mas com um pouco de prática, você rapidamente se familiarizará com 
este raciocínio.
172 Equação da Energia no Regime Permanente
Esta equação, apesar de carregar muito significado físico, não é exatamente convenien-
te para aplicação prática direta no estudo da mecânica dos fluidos. Por outro lado, ela 
serve como ponto de partida teórico fundamental para desenvolver raciocínios que 
terão maior prontidão para a solução de problemas. Aqui, o termo de transferência 
de calor tratará essencialmente das perdas de energia mecânica, enquanto os efeitos 
de trabalho serão analisados conforme os tipos de energias mecânicas associadas a 
um fluido, apresentadas a seguir.
Energia Potencial (EP )
Este é um conceito que você certamente aprendeu em aulas de física. A energia potencial de 
um sistema é a medida do seu potencial de realizar trabalho (E WP = ). Mecanicamente, 
ela é apresentada na sua forma gravitacional. Sabendo que, por definição:
Trabalho For Deslocamento= ça x
Considerando um sistema de peso P mg= , cujo centro de gravidade está localizado a 
uma altura z em relação ao plano horizontal de referência (PHR) considerado, temos:
z P = mg
PHR
CG
Figura 1 - Representação esquemática para avaliação da energia potencial gravitacional
Fonte: adaptada de Brunetti (2008). 
Assim, como E WP = :
W = mg . z = mgz
EP mgz=
Estaremos interessados principalmente nas diferenças de energias potenciais de um 
ponto a outro do fluido. Dessa forma, o PHR geralmente será adotado, por conve-
niência, no nível de um dos pontos que estão sendo comparados.
173UNIDADE 5
Energia Cinética (EC )
Outro conceito que você também viu em física é que a energia cinética é aquela 
associada ao movimento (nesta disciplina, estudaremos o movimento dos fluidos). 
Considere um sistema de massa m e velocidade v, como o da figura a seguir:
m
vCG
Figura 2 - Representação esquemática para avaliação da energia cinética
Fonte: Brunetti (2008, p. 86). 
A energia cinética associada a este movimento pode ser avaliada pela equação:
E mvC =
2
2
Energia de Pressão ( EPr )
De forma semelhante à energia potencial, é também possível analisar o trabalho 
potencial das forças de pressão presentes em um escoamento de fluido. Por exemplo, 
considere o elemento infinitesimal de fluido representado pela figura a seguir:
ds
dt
dV
A
p
F = p.A
Figura 3 - Representação esquemática para avaliação da energia de pressão
Fonte: Brunetti (2008, p. 86). 
174 Equação da Energia no Regime Permanente
Se a pressão p for uniforme na seção de área A, e 
considerando a definição de pressão, temos que 
F p A= . . Agora, se pela ação desta força F o flui-
do percorre umadistância ds em um intervalo 
de tempo dt, surge o seguinte termo de trabalho:
Trabalho For a Deslocamento=
= = =
ç x
dW F ds p A ds p dV. .
Por definição, temos que dEPr = dW, e, portanto:
dE p dVPr =
Integrando:
E p dV
VPr
� �
Energia Mecânica Total do 
Fluido (EM)
Podemos entender a energia mecânica total de um 
sistema de fluido como a somatória das energias 
associadas a ele, excluindo-se as energias térmi-
cas e mantendo apenas as causadas por efeitos 
mecânicos. Assim:
E E E E
E mgz mv p dV
M P C
M V
� � �
� � � �
Pr
2
2
Com estes conceitos definidos, podemos partir 
para a famosa equação de Bernoulli.
175UNIDADE 5
A equação de Bernoulli é, essencialmente, um 
balanço de energia entre dois pontos de um 
escoamento, que faz uso de diversas hipóteses 
simplificadoras para facilitar a interpretação dos 
problemas. Naturalmente, simplificar o proble-
ma tende a produzir resultados cada vez mais 
distantes da realidade, por isso, a importância 
desta equação se dá por dois aspectos: primeiro, 
apresenta grande significado conceitual sobre o 
escoamento de um fluido; e segundo, serve como 
etapa inicial para a elaboração de uma equação 
geral da energia mais rigorosa e detalhada.
Equação 
de Bernoulli
176 Equação da Energia no Regime Permanente
Seis hipóteses devem ser consideradas:
a) Condição de regime permanente.
b) Fluido ideal (viscosidade nula e, consequentemente, sem perdas por atrito).
c) Fluido incompressível.
d) Sem troca de calor.
e) Sem trabalho de eixo, ou seja, sem bombas, turbinas, ventiladores ou outros 
dispositivos que realizem trabalho (positivo ou negativo) no sistema.
f) Propriedades uniformes nas seções do escoamento.
Como mencionado, a equação de Bernoulli compara dois pontos do escoamento. 
Assim, para facilitar a visualização, considere o esquema a seguir, em que será consi-
derado um trecho infinitesimal do escoamento em duas seções distintas:
z2
v1
dm2
dV2
dV1
PHR
dt
v2p2
p1
dm1
z1
(1)
(2)
Figura 4 - Representação esquemática de um elemento infinitesimal do escoamento
Fonte: Brunetti (2008, p. 87). 
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
177UNIDADE 5
Primeiramente, vamos escrever a equação da energia mecânica, na forma infinitesi-
mal, para ambas as seções:
dE dm gz dm v p dV
dE dm gz dm v p dV
M
M
1 1 1
1 1
2
1 1
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
� � �
� � �
Agora, considerando as hipóteses descritas anteriormente, note que as hipóteses (b), 
(d) e (e) juntas significam que não é retirada nem fornecida energia ao fluido. Assim, 
para que a condição de regime permanente seja válida, o sistema deve obedecer à 
relação:
 
 
E E
E E
entra sai
entra sai
� �
�
0
Observe que a entrada do sistema é a seção 1, enquanto a saída é a seção 2. Dessa 
forma, podemos igualar as energias mecânicas dEM1 e dEM 2 :
dE dE
dm gz dm v p dV dm gz dm v p dV
M M1 2
1 1
1 1
2
1 1 2 2
2 2
2
2 22 2
�
� � � � �
Esta equação pode ser simplificada utilizando a definição de massa específica, que 
pode ser escrita da seguinte forma:
r
r
� � �
dm
dV
dV dm
Assim, substituindo dV1 e dV2:
dm gz dm v p dm dm gz dm v p dm1 1 1 1
2
1
1
1
2 2
2 2
2
2
2
22 2
� � � � �
r r
Como estamos considerando a hipótese de fluido incompressível, temos que ρ1 = 
ρ2. Além disso, como estamos em regime permanente, você sabe que o princípio 
de conservação da massa também deve ser válido. Assim, sabemos que dm1 = dm2. 
Simplificando:
gz v p gz v p1 1
2
1
2
2
2
2
2 2
� � � � �
r r
178 Equação da Energia no Regime Permanente
Na prática, esta já é a tão aguardada equação de Bernoulli. Por fim, as últimas simpli-
ficações desta equação podem ser feitas de duas maneiras. A primeira é multiplicando 
a equação por ρ:
r
r
r
rgz v p gz v p1 1
2
1 2
2
2
22 2
� � � � �
A segunda simplificação consiste em dividir a equação de Bernoulli por g e utilizar 
a relação do peso específico γ ρ= g :
z v
g
p z v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
� � � � �
g g
Qualquer uma destas três últimas formas são usos válidos da equação de Bernoulli. 
A importância destas simplificações distintas reside na interpretação de cada termo. 
Quanto à última simplificação da Equação de Bernoulli (que será a simplificação 
utilizada neste livro), os termos podem ser interpretados como “cargas” (assim como 
estudado na Unidade 3), pois possuem dimensão de comprimento.
• z é a carga de elevação; representa a energia potencial do fluido.
• vg
2
2 é a carga de velocidade, que corresponde à altura necessária para que um 
fluido atinja a velocidade v durante uma queda livre sem atrito.
• p
g
 é a carga de pressão que, conforme estudado na Unidade 3, equivale à altura 
de coluna de fluido necessária para produzir a pressão estática p.
Assim, pode-se afirmar que a equação de Bernoulli nesta forma calcula a carga total 
(H) do escoamento, a qual é constante ao longo de uma linha de corrente, conside-
rando as hipóteses simplificadoras pertinentes.
z v
g
p H� � � �
2
2 g
constante (ao longo de uma linha de corrente)
É importante também que você note que estes termos correspondem à energia por 
unidade de peso. Por exemplo:
z mgz
mg
E
P
z E
P
LP P� � � � �[ ] [ ]
[ ]
Caso se interesse, faça a análise dimensional dos termos v
g
2
2
 e p
g
, seguindo o mesmo 
raciocínio: você deseja chegar na razão energia/peso. Naturalmente, a análise dimen-
sional te confirmará que os termos possuem dimensão de comprimento.
179UNIDADE 5
Apesar de ser matematicamente simples e de estar sujeita a diversas simplificações, 
a Equação de Bernoulli não deve ser subestimada! Ela é uma ferramenta bastante 
eficiente e seus resultados podem ser úteis na prática para avaliações rápidas ou como 
estimativas iniciais. Contudo, fique atento: os problemas mais complexos exigem 
expertise do aluno em saber como abordá-los, quais pontos devem ser analisados e 
o que pode ser abstraído do sistema em estudo. Por isso, o próximo passo é colocar 
as mãos à obra!
Um manômetro diferencial, cujo fluido manométrico é mercúrio (γHg = 136000 N/
m³), é acoplado a um tubo de Venturi, em que a água (γH₂O = 10000 N/m³) escoa uni-
formemente em regime permanente, sob condições de fluido ideal e sem ganho ou 
perda de energia. Considerando a figura a seguir, se a seção (1) tem 30 cm² e a seção 
(2) tem 15 cm², qual a vazão de água escoando por este tubo? Adote g = 9,8 m/s².
h = 18 cmH2O
H2O
H2O
Hg
(2)
(1)
Solução:
Primeiramente, observe que as condições enunciadas permitem o uso da equação 
de Bernoulli. Em segundo lugar, foque no objetivo do problema: desejamos calcular 
a vazão do escoamento. A equação de Bernoulli por si só não trabalha com vazões 
diretamente; contudo, um dos parâmetros dela é a velocidade do escoamento, que 
pode ser usada para calcular a vazão.
Assim, sendo a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2:
z v
g
p z v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
� � � � �
g g
Observe que, independentemente do plano horizontal de referência que você definir, 
os pontos 1 e 2 estão à mesma altura z. Isto é, z1 = z2:
v
g
p v
g
p v v
g
p p1
2
1 2
2
2 2
2
1
2
1 2
2 2 2
� � � �
�
�
�
g g g
1 EXEMPLO
180 Equação da Energia no Regime Permanente
Como não conhecemos nenhuma das velocidades ou pressões, é necessário recorrer 
a outras equações para resolver o problema. Podemos usar a equação manométrica 
para avaliar a diferença de pressão p1 – p2. Partindo do ponto 1 e indo para o ponto 
2 por meio da equação manométrica:
p h h p
p p h h
p p N
m
H O Hg
Hg H O
1 2
1 2
1 2
2
2
136000 10000
� � �
� � �
� � �
g g
g g
. .
. .
( ) 33
1 2 2
0 18
22680
. , m
p p N
m
� �
Isto resolve duas das quatro incógnitas da equação de Bernoulli. Assim, é necessário 
mais uma equação para resolver o problema. Você tem algum palpite de qual seria? 
Se você pensou na equação da continuidade, acertou! Para as seções 1 e 2, como o 
escoamento é incompressível, a equação da continuidade pode ser escrita na forma 
volumétrica:Q Q
v A v A v v A
A
v v cm
cm
v
1 2
1 1 2 2 1 2
2
1
1 2
2
2
215
30 2
�
� � �
� �
.
.
181UNIDADE 5
Substituindo os resultados da equação manométrica e da equação da continuidade 
na equação de Bernoulli, podemos determinar as velocidades do escoamento em 
ambas as seções:
v v
g
p p v v g p p
v
2
2
1
2
1 2
2
2 2
2
1 2
2
2
2 2
2
3
4
2 9 8
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
g g
.
. ,
mm
s
N
m
N
m
v m
s
v m
s
v m
s
2
2
3
2
2
2
2
2 1
22680
10000
59 27
7 70 3 85
.
,
, ,
�
� � �
Finalmente, basta voltar este resultado à equação da continuidade que o problema 
estará resolvido:
Q v A m
s
cm m
cm
m
s
Q v A m
s
1 1 1
2
2
4 2
3
2 2 2
3 85 30 1
10
0 01155
7 70 1
= = =
= =
. , . ,
. , . 55 1
10
0 01155
0 01155 11 55
2
2
4 2
3
1 2
3
cm m
cm
m
s
Q Q m
s
L
s
=
= = =
,
, ,
Note que este exemplo abordou três grandes assuntos que você estudou até 
aqui: as equações manométricas, da continuidade e de Bernoulli. Isto é comum 
nos problemas de mecânica dos fluidos e por isso é importante que você tenha se 
apropriado dos conceitos abordados nas unidades anteriores para que não tenha 
dificuldades na resolução dos exercícios. Isso irá desenvolver as competências de 
visão macro e pensamento analítico, essenciais para o profissional de Engenharia.
182 Equação da Energia no Regime Permanente
Os tubos de Pitot são essencialmente pequenos 
tubos com sua extremidade aberta alinhada ao 
escoamento, dobrados em ângulo reto e geral-
mente acoplados a um piezômetro. Eles permi-
tem mensurar a velocidade do escoamento e são 
empregados tanto industrialmente quanto para 
medir a velocidade do ar em carros de corrida e 
jatos de combate da força aérea. Esta medição é 
feita com base justamente nas equações que você 
tem estudado até aqui. Vamos verificar isto por 
meio de um exemplo.
Medida da Velocidade 
com Tubo de Pitot
183UNIDADE 5
Água (γ = 10000 N/m³) escoa por um tubo de seção circular, cujo diâmetro é de 8 cm. 
Para avaliar a velocidade do escoamento no eixo do tubo, instala-se um tubo de Pitot, 
como representado na figura a seguir. Determine a vazão no tubo, considerando escoa-
mento uniforme. Adote g = 10 m/s² e γm = 136000 N/m³.
4 cm
γ = 104 N/m3
γ m = 1,36 x 105 N/m3
Solução:
Iremos estudar o problema por meio da equação de Bernoulli e da equação mano-
métrica. Considere a representação a seguir:
h
v
(1) (2)
γ m
γ
O fluido (água) está escoando pela tubulação, da esquerda para a direita, até que em 
uma determinada seção da tubulação (linha pontilhada) as partículas se deparam 
com a entrada de um tubo de Pitot e um piezômetro conectados entre si pelo fluido 
manométrico disposto em um manômetro de tubo em U. Como o piezômetro está 
posicionado tangente ao escoamento, ele medirá apenas a pressão estática do fluido. 
O tubo de Pitot, por outro lado, está posicionado diretamente no sentido do escoa-
mento do fluido, de modo que as partículas, ao incidirem no ponto (2), perdem toda 
sua velocidade, transformando sua energia cinética em efeito de pressão.
Basicamente: enquanto ambos os lados estão sujeitos à pressão estática do escoa-
mento, o fluido manométrico é mais empurrado para baixo no tubo de Pitot, pois 
as partículas de fluido perdem sua energia cinética se chocando continuamente no 
ponto (2), que por isto é chamado de “ponto de estagnação” ou “ponto de parada”.
2 EXEMPLO
184 Equação da Energia no Regime Permanente
Como os pontos (1) e (2) estão muito próximos, é razoável considerar que as perdas 
de energia entre eles sejam desprezíveis. Assim, assumindo que as demais hipóteses 
da equação de Bernoulli são válidas, pode-se escrever:
H H
z v
g
p z v
g
p
1 2
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
�
� � � � �
g g
Repare que, como estamos considerando que os pontos (1) e (2) estão no mesmo 
plano horizontal de referência ( z z1 2= ) e que no ponto de estagnação (2) observa-se 
v2 0= , a equação fica:
v
g
p p1
2
1 2
2
� �
g g
Lembre-se que o principal intuito de um tubo de Pitot é mensurar a velocidade do 
escoamento. Assim, pode-se isolar v1 nesta equação, para chegar à seguinte forma:
v g p p1 2 12�
��
�
�
�
�
�g
Como estão conectados pelo tubo em U, é possível relacionar p1 e p2 por meio da 
equação manométrica que, neste caso, é dada por:
p h h pm1 2� � �g g. .
Rearranjando esta equação, é possível escrever:
p p h
p p h
m
m
2 1
2 1 1
� � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
( ) .
.
g g
g
g
g
185UNIDADE 5
Substituindo este resultado na equação anterior para a velocidade do escoamento 
(v1), temos:
v g hm1 2 1� �
�
�
�
�
�
�
g
g
.
Estas duas equações para v1 são importantes, pois permitem determinar a velocidade 
do escoamento no ponto em que o tubo de Pitot está instalado de maneira simples 
e rápida, bastando conhecer os fluidos envolvidos e a diferença de pressão causada 
pela energia cinética do escoamento.
Em posse disto, é fácil resolver o exemplo em estudo. Verificando v1 :
v m
s
N
m
N
m
m
v m
s
1 2
3
3
1
2 10
136000
10000
1 0 04
3 17
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
. . ,
,
Como estamos considerando escoamento incompressível e uniforme, ou seja, em 
que a velocidade do escoamento é a mesma em todos os pontos da seção analisada, 
a vazão pode ser facilmente determinada:
Q m
s
m
Q m
s
� �
�
�
�
�
�
�
3 17 3 14 0 08
2
0 016
2
3
, . , .
,
,
186 Equação da Energia no Regime Permanente
É importante notar que, se o escoamento não fosse considerado uniforme, o tubo de 
Pitot poderia ser utilizado para medir a velocidade em diferentes pontos da seção, para 
montar um diagrama de velocidades (como na figura a seguir), o qual poderia ser 
utilizado para obter uma nova vazão média mais precisa e condizente com a realidade.
Figura 5 - Diagrama de velocidades de um escoamento em tubo cilíndrico
Fonte: adaptada de Brunetti (2008). 
Além disso, é importante mencionar que o tubo de Pitot também pode ser utilizado 
para medir a velocidade de fluidos compressíveis, mas os métodos para tanto são 
mais rigorosos e não serão tratados neste material.
No dia 01 de junho de 2009, o voo AF 447, que ia do Rio de Janeiro a Paris, caiu 
no Oceano Atlântico, matando 228 passageiros e membros da tripulação. Um dos 
problemas relatados foi a inconsistência nas medições de velocidade, que ocorreu 
devido ao congelamento e obstrução dos tubos de Pitot da aeronave por cristais 
de gelo.
Fonte: Laranjeira (2019, on-line)1.
Agora que você conhece a equação de Bernoulli e suas aplicações fundamentada em 
diversas hipóteses simplificadoras, é hora de remover uma destas hipóteses, para que 
você seja capaz de lidar com uma quantidade ainda maior de problemas cada vez 
mais próximos da realidade.
187UNIDADE 5
Nosso intuito agora será remover a hipótese (d): 
“sem trabalho de eixo, ou seja, sem bombas, tur-
binas, ventiladores ou outros dispositivos que rea-
lizem trabalho (positivo ou negativo) no sistema”. 
Isto significa que estaremos inserindo máquinas 
aos nossos problemas, as quais poderão fornecer 
ou retirar energia do escoamento.
O raciocínio a seguir será muito simples: ao 
adicionar máquinas ao sistema, devemos acres-
centar um termo na equação de Bernoulli, refe-
rente ao trabalho de eixo realizado ou retirado 
pela máquina. Considere o esquema:
M
(2)
(1)
H1
H2
Figura 6 - Representação esquemática de um sistema de 
escoamento com máquina
Fonte: Brunetti (2008, p. 91). 
Bombas e Turbinas 
na Equação da Energia
188 Equação da Energia no Regime Permanente
Se H1 e H2 são as cargas de pressão nas seções 1 e 2, respectivamente, 
a equação de Bernoulli (com suas hipóteses simplificadoras, ou seja, 
sem a máquina M) traz que:
z v
g
p H
H
� � � �
2
2 g
constante (ao longo de uma linha de corrente)
11 2� H
Como mencionado, a presença da máquina irá adicionar ou re-
mover energia do sistema. Iremos, então, incluir esta quantidade 
de energia (na forma de carga de pressão) na igualdade acima, 
indicando-a por HM:
H H HM1 2� �
Caso a máquinaem questão seja uma bomba ou um ventilador, por 
exemplo, o termo HM será positivo, pois estas máquinas fornecem 
energia para o fluido. Se a máquina for uma turbina, o termo HM 
será negativo, pois ela retira energia do fluido. Expandindo os ter-
mos anteriores com a equação de Bernoulli:
z v
g
p H z v
g
p
M1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
� � � � � �
g g
Antes de aplicar esta nova ideia, é importante que você compreen-
da o conceito destas máquinas de forma apropriada. Como você 
sabe, pelo princípio de conservação da energia, a energia fornecida 
por uma bomba não surge do nada. Da mesma forma, a energia 
retirada por uma turbina não simplesmente desaparece. Ambas 
passam por um processo de transformação de energia. Por exemplo, 
se estivermos considerando uma bomba que utiliza eletricidade, 
estamos transformando energia elétrica em energia mecânica ao 
fluido, assim como o processo inverso – uma turbina pode ser usada 
para transformar a energia mecânica do fluido em energia elétrica 
(como é o caso das usinas hidrelétricas).
Por causa disso, é razoável a ideia de que tais máquinas possuem 
um input (entrada) e um output (saída) de energia. Isto nos leva 
ao conceito de rendimento ou eficiência total (ηmáq) da máquina.
Bombas e turbinas na equação da 
energia
189UNIDADE 5
Eficiência (Rendimento): é a razão entre a potência fornecida e a potência recebida 
pela máquina. Naturalmente, deve ser um valor entre 0 e 1. Uma eficiência de 100% 
sugere que a conversão de energia foi perfeita, ou seja, sem efeitos de atrito ou 
outras irreversibilidades que convertam a energia elétrica ou mecânica em energia 
térmica.
Fonte: adaptado de Çengel e Cimbala (2015).
Dessa forma, podemos determinar o rendimento de uma máquina por meio da 
seguinte relação:
hmáq
á
á
=
Energia fornecida pela m quina
Energia recebida pela m qquina
Veja que, se pensarmos em uma bomba, podemos escrever:
hB
ê
ê
=
Pot ncia recebida pelo fluido
Pot ncia da bomba
Assim, se uma bomba com potência de 100 kW tem um rendimento de 80%, o fluido 
receberá 80 kW.
Para uma turbina, a relação pode ser escrita como:
hT
ê
ê
=
Pot ncia da turbina
Pot ncia cedida pelo fluido
Assim, se uma turbina com potência de 100 kW tem um rendimento de 80%, o fluido 
está cedendo 125 kW.
Alguns livros destrincham o rendimento com relação à eficiência mecânica e à efi-
ciência do motor/gerador da máquina. Apesar de importantes, na maior parte do 
tempo, você estará preocupado com o rendimento total da máquina e, por isso, 
estaremos trabalhando apenas com ele.
190 Equação da Energia no Regime Permanente
Utilizaremos a letra N para representar a potência da máquina, seja ela uma bomba 
ou turbina. Observe que, ao usar a equação de Bernoulli com o termo HM, que foi 
apresentado neste tópico, o resultado estará com dimensões de carga, ou seja, com-
primento. Como geralmente estamos habituados a lidar com potências em unidade 
de trabalho (energia) por unidade de tempo, a potência propriamente dita pode ser 
avaliada pela equação:
N Q HM= g . .
Em que γ é o peso específico do fluido e Q é a vazão volumétrica. No SI, trabalha-se 
com o watt (W = J/s = N.m/s). Outras unidades comuns são o cavalo-vapor (1 CV = 
735 W) e o horse power (1 HP = 1,014 CV).
Partiremos agora para um exemplo envolvendo máquinas. É natural que tudo 
pareça abstrato apenas no conceito, mas você verá que a prática faz sentido facilmente!
Considere um grande reservatório de água que, ligado a uma máquina e uma tubu-
lação, direciona seu conteúdo para um segundo tanque, a uma vazão de 0,03 m3/s. 
Se o sistema está configurado como na figura a seguir e sabendo que a área de seção 
da tubulação é de 15 cm², descubra se a máquina em questão é uma bomba ou uma 
turbina e, em seguida, determine a sua potência para um rendimento total de 80%. 
Adote γH2O = 10000 N/m³ e g = 10 m/s² e considere o fluido incompressível.
30 m 20 m
(2)
M
(1)
Solução:
Lembre-se sempre que o primeiro passo para resolver problemas de mecânica dos 
fluidos é verificar quais hipóteses simplificadoras você precisará adotar para resolver 
o problema de forma adequada. Primeiramente, serão consideradas as hipóteses 
necessárias para o uso da equação de Bernoulli, com exceção da ausência de uma 
máquina, permitindo escrever:
z v
g
p H z v
g
p
M1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
� � � � � �
g g
3 EXEMPLO
191UNIDADE 5
Em segundo lugar, serão considerados os pontos (1) e (2) na superfície livre do re-
servatório e na saída da tubulação, respectivamente, como identificado na figura. 
Evidentemente, por estar sendo descarregado, o nível do reservatório iria diminuir 
ao longo do tempo. Contudo, devido ao seu tamanho (grandes dimensões), é razoá-
vel considerar que, dentro de certo intervalo de tempo, o nível irá variar de forma 
desprezível, podendo ser considerado constante. Isso é necessário para a hipótese de 
regime permanente. Note que o mesmo raciocínio não é necessário para o segundo 
tanque, pois o limite do nosso sistema é a saída da tubulação, que não o inclui. Além 
disso, esta consideração de “grandes dimensões” também significa que a velocidade 
do fluido em 1 será praticamente nula ( v1 0= ).
z p H z v
g
p
M1
1
2
2
2
2
2
� � � � �
g g
Veja na figura que as cotas z1 e z2 estão dadas com relação a um plano horizontal 
de referência localizado praticamente na base da tubulação (as dimensões do tubo 
são pequenas perto das cotas em questão).
30 20
2
1 2
2
2m p H m v
g
p
M� � � � �g g
Como tanto o nível do tanque (1) quanto a saída da tubulação (2) estão abertos para 
a atmosfera, ambos os termos de carga de pressão se anulam:
p p p escala efetiva
m H m v
g
atm
M
1 2
2
2
0
30 20
2
� � �
� � �
( )
Tenha em mente que nosso objetivo com esta equação é determinar HM. Para isso, 
v2 pode ser avaliado por meio da equação da Continuidade:
v Q
A
v
m
s
m
m
s
2
2
2
3
2
0 03
0 0015
20
=
= =
,
,
192 Equação da Energia no Regime Permanente
Com isso, podemos retornar à equação anterior para calcular a carga fornecida 
ou removida pela máquina:
H m
m
s
m
s
m
H m
M
M
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
20
20
2 10
30
10
2
2.
Este resultado significa que a máquina é responsável por fornecer uma carga de pres-
são equivalente a 10 m ao escoamento. Do contrário, ele não teria energia suficiente 
para chegar à saída (2), na velocidade de 20 m/s. Como este valor é positivo (energia 
foi fornecida), a máquina em questão é uma bomba. 
O passo final é determinar a potência desta bomba – para isso, é necessário, pri-
meiro, converter este valor de carga em potência:
N Q H
N N
m
m
s
m W
M=
= =
g . .
. , .10000 0 03 10 30003
3
Tenha cuidado! Esta é a potência fornecida ao fluido. Para avaliar a potência da 
máquina, como solicitado pelo enunciado, é necessário utilizar o seu rendimento:
h
h
B
B
B
B
ê
ê
N
N
N
�
� �
Pot ncia recebida pelo fluido
Pot ncia da bomba
��
� �
�
N
N N W
N kW
B
B
B
B
h
h
3000
0 80
3 75
,
,
Isto significa que a bomba em questão consome uma potência de 3,75 kW para 
acrescentar uma potência de 3 kW ao escoamento.
Como você pode perceber, os exercícios vão se tornando mais extensos à medida 
que novos conceitos são integrados, e saber quais hipóteses simplificadoras são ade-
quadas para solucionar o problema é um aspecto vital para o sucesso do seu estudo e 
aprimoramento do conhecimento. Contudo, aguente firme, porque o passo seguinte 
é remover mais uma das considerações utilizadas na equação de Bernoulli!
193UNIDADE 5
Indo direto ao ponto: não iremos mais considerar 
o fluido como ideal. Isto significa que os efeitos da 
viscosidade (atrito) entram em jogo e precisam ser 
equacionados. Contudo, não se desespere, pois se-
rão mantidas as hipóteses de regime permanente, 
fluido incompressível, escoamento uniforme na 
seção e sem troca de calor com o meio.
O raciocínio é praticamente o mesmo que fize-
mos ao introduzir as máquinas no sistema: iremos 
incorporar um único termo à nossa equação, re-
ferente à dissipaçãode energia devido aos efeitos 
viscosos. Considere o sistema a seguir:
(1) (2)
H1
H2
Hp1, 2
Figura 7 - Representação da dissipação de energia em um 
escoamento
Fonte: Brunetti (2008, p. 95). 
Equação da Energia 
para Fluidos Reais
194 Equação da Energia no Regime Permanente
Como já vimos, em condições perfeitas, a equação de Bernoulli seria válida:
H H1 2=
Os efeitos viscosos removem energia do sistema, como indicado pela seta Hp1 2, na 
Figura 7. Fazendo o balanço de energia, na forma de carga de pressão:
H H Hp1 2 1 2� � ,
Por ser essencialmente uma perda de energia do escoamento, o termo Hp1 2, é 
geralmente chamado de “perda de carga”. Na prática, esta expressão é utilizada para 
se referir a diversas perdas de energia do escoamento relacionadas à tubulação, en-
globando outros fatores além do atrito, como curvas e cotovelos na tubulação ou a 
presença de válvulas e outros dispositivos.
Dessa forma, a partir da equação de Bernoulli, com a presença de uma máquina 
entre (1) e (2), e considerando a dissipação de energia por efeitos viscosos, podemos 
escrever a equação da energia:
z v
g
p H z v
g
p HM p1 1
2
1
2
2
2
2
2 2 1 2
� � � � � � �
g g ,
A perda de carga pode ser convertida para a forma de potência dissipada, assim como 
fizemos com a potência das máquinas:
N Q Hdiss p= g . . ,1 2
Uma bomba de 12 kW e eficiência de 78,5% é utilizada para levar a água de um lago 
até um tanque, como na figura a seguir. Se a vazão de operação é de 25 L/s, determine 
a perda de carga deste sistema. Adote γH₂O = 9800 N/m³ e g = 9,8 m/s² e considere 
que tanto o lago quanto o tanque apresentam grandes dimensões.
(1)
(2)
30 m
Tanque
Lago
4 EXEMPLO
195UNIDADE 5
Solução:
Este problema envolve a presença de uma máquina no escoamento e perda de carga 
na tubulação. Considerando as hipóteses de regime permanente, fluido incompres-
sível, propriedades uniformes na seção e sem troca de calor, podemos usar a equação 
da energia na forma:
z v
g
p H z v
g
p HM p1 1
2
1
2
2
2
2
2 2 1 2
� � � � � � �
g g ,
Adotando como ponto (1) a superfície do lago e como ponto (2) a superfície do 
tanque, podemos fazer mais algumas considerações. A primeira delas é com relação 
às pressões p1 e p2 que, por estarem abertas à atmosfera, podem ser aproximadas 
como a própria pressão atmosférica do ambiente:
p p p
z v
g
H z v
g
H
atm
M p
1 2
1
1
2
2
2
2
0
2 2 1 2
� � �
� � � � �
,
Podemos também considerar que as dimensões em questão são grandes o suficiente 
para que as variações nos níveis do lago e do tanque sejam desprezíveis, podendo as 
alturas z1 e z2 ser consideradas constantes, e as velocidades v1 e v2 nulas: 
v v
z H z HM p
1 2
1 2
0
1 2
� �
� � �
,
Veja que a cota fornecida na figura é conveniente para adotar como plano horizontal 
de referência a superfície do lago, de modo que:
z z m
H m HM p
1 20 30
30
1 2
� �
� �
;
( )
,
196 Equação da Energia no Regime Permanente
Agora, é necessário determinar HM. Como conhecemos a potência e a sua eficiência 
da bomba, basta determinar primeiro a potência fornecida pela bomba ao fluido e, 
então, converter este valor para uma carga:
η η
γ
γ
B
B
B B
M M
M
N
N
N N
N kW kW W
N Q H H N
Q
H
� � �
� � �
� � �
�
.
, . ,
. .
.
0 785 12 9 42 9420
99420
9800 0 025
38 45
3
3
W
N
m
m
s
m
. ,
,�
Retornando na equação da energia, determina-se a perda de carga:
( , ) ( )
,
,
,
38 45 30
8 45
1 2
1 2
m m H
H m
p
p
� �
�
Em termos de potência dissipada:
N Q H
N N
m
m
s
m
N W
diss p
diss
diss
�
�
� �
g . .
. , . ,
,
,1 2
9800 0 025 8 45
2070 25
3
3
22 07, kW
Agora, faremos uma última observação com relação à equação da energia. Assim 
como fizemos com a equação da continuidade, também podemos escrever a equa-
ção da energia para situações com mais de uma entrada ou uma saída. O raciocínio 
é o mesmo: deve-se fazer a somatória de todas as energias que entram e que saem 
e avaliar também a presença de uma (ou mais) máquinas e as perdas de carga. De 
forma genérica, considere o sistema a seguir, com n entradas e saídas:
M
N1e Ndiss
N2e
Nne Nns
(1e) (1s)
(2e)
N2s
N1s
(2s)
(n )e (n )sN
Figura 8 - Representação esquemática de um sistema com múltiplas entradas e saídas
Fonte Brunetti (2008, p. 101). 
197UNIDADE 5
O índice “e” remete às entradas, e o índice “s” às saídas. Seguindo os princípios de 
conservação de energia, como fizemos até o momento, podemos escrever, na forma 
de potência (energia por tempo):
g g. . . .Q H N Q H N
e s
diss� � � � � � �� �
Em que:
• H v
g
p z� � �
2
2 g
 em cada seção.
• N Q HM= g . . pode ser positivo (se for uma bomba) ou negativo (se for 
uma turbina).
• N Q Hdiss P��g . . com Q e HP referindo-se a cada trecho do escoamento.
Note-se que, mesmo com múltiplas entradas e saídas, as hipóteses consideradas até 
o momento para o desenvolvimento destas equações ainda devem ser válidas.
O objetivo desta unidade é fazer uma análise da energia dos escoamentos em 
regime permanente, baseada no princípio da conservação da energia. Em situações 
perfeitas, vimos que a equação de Bernoulli é aplicável – contudo, sabemos que a 
realidade nunca é perfeita e, por isso, removemos duas importantes simplificações 
da equação de Bernoulli em busca de uma equação da energia mais geral.
Com o que vimos até aqui, você já pode avaliar sistemas simples de tubulações e 
dizer se uma bomba será necessária ou não para levar o fluido de um ponto a outro, 
por exemplo. Poderíamos ir adiante e remover as hipóteses de escoamento uniforme 
e fluido incompressível, mas como isto iria além do escopo desta disciplina, os alunos 
que despertarem interesse podem recorrer à literatura de referência para encontrar 
desenvolvimentos matemáticos mais rigorosos em busca de uma equação da energia 
geral.
Na próxima unidade, nossos objetos de estudo serão os efeitos causados pela 
tubulação no escoamento. Esteja bem preparado e com o conteúdo visto até aqui 
bastante esclarecido, pois ele será vital para a continuação do seu aprendizado!
198
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Um grande tanque, cheio de água e aberto para atmosfera, é descarregado por 
uma saída próxima ao fundo do tanque. Determine a velocidade de saída da água 
se o nível do tanque em relação ao fundo é de 10 metros. Adote g = 9,8 m/s².
1
2
Água
10 m
V2
0
z
2. Tubos convergentes-divergentes podem ser utilizados para produzir vácuo. 
Como na figura a seguir, basta utilizar um fluido, tal como água, em uma vazão 
adequada para que uma depressão seja criada na garganta. Considerando a 
hipótese de fluido ideal e sem perda de carga, qual deve ser o diâmetro da gar-
ganta (2) para que uma vazão de 8 kg/s produza uma depressão equivalente a 
250 mmHg na câmara? Dados: D1 = 12 cm; ρH2O = 1000 kg/m³; ρHg = 13600 kg/
m³; g = 10 m/s².
CÂMARACÂMARA
Patm
(1) (2)
H2O
199
3. Certa turbina de uma usina hidrelétrica é capaz de produzir 60 MW de energia 
elétrica, com uma eficiência total de 80%. A movimentação desta turbina é 
feita com a captação de água localizada em um nível superior (1) que é então 
direcionada para um nível inferior (2), sendo ambos grandes corpos d’água. 
Considerando os dados da figura a seguir, calcule a perda de carga associada 
ao processo. Adote ρH2O = 1000 kg/m³; g = 9,8 m/s².
100 m
1
2
Q = 120 m3/s
H
Turbina
= 80%Turbina
= ?p1,2
η
200
Animação desenvolvida pelo TED-Ed que trata de como a energia se comporta 
na natureza e de como ela se conserva. Conteúdo em inglês, com legendas 
disponíveis em português.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
Vídeo desenvolvido pelo Portal Aeronáutico Trem de Pouso que explica o funcio-
namento do tubo de pitot e do sistema pitot-estático em aeronaves. Conteúdo 
em português.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
http://
http://
201
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M.Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. Brasil: AMGH 
Editora, 2015. 
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de 
Massa. 6. ed. São Paulo: Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2017. 
REFERÊNCIA ON-LINE
¹Em: https://aeromagazine.uol.com.br/artigo/conclusoes-sobre-o-voo-af447_4304.html. Acesso em: 07 out. 2019. 
202
1. Considerando que as hipóteses simplificadoras necessárias para o uso da equação de Bernoulli são válidas, 
e de que o tanque tem dimensões grandes o suficientes para considerar que z1 seja constante e que v1 = 0:
z v
g
p z v
g
p
z p z v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2 2
2
� � � � �
� � � �
g g
g g
Como tanto o tanque quanto o tubo de descarga estão abertos para a atmosfera, temos que p1 = p2 = patm = 0 
(escala efetiva) e, portanto:
z z v
g1 2
2
2
2
� �
Adotando o fundo do tanque como plano horizontal de referência e considerando que a distância do tubo de 
descarga ao fundo é desprezível, temos que z1 = 10 m e z2 = 0 m. Então, basta substituir estes valores na equação 
e resolver para a velocidade de descarga:
10 0
2 9 8
196
14
2
2
2
2
2 2
2
2
m m v m
s
m
s
v
v m
s
� �
�
�
. ,
2. Considerando que o problema atende às hipóteses simplificadoras da equação de Bernoulli (regime per-
manente, fluido ideal, ausência de máquina, sem troca de calor e escoamento uniforme), é possível utilizar 
a equação entre a saída do tubo (1) e a garganta (2):
z v
g
p z v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
� � � � �
g g
203
Independentemente do plano horizontal de referência adotado, os centros das seções (1) e (2) estarão locali-
zados à mesma altura z1 = z2. Assim:
v
g
p v
g
p1
2
1 2
2
2
2 2
� � �
g g
Sabemos que (1) está aberta para o ambiente, enquanto em (2) deve estar em depressão de 250 mmHg. Como 
visto nas unidades anteriores, o conceito de “depressão” indica o quanto a pressão mensurada está abaixo da 
pressão atmosférica. Então, pode-se escrever:
p p p p mmHg
p p mmHg mHg
v
g
p v
atm atm1 2
1 2
1
2
1 2
2
250
250 0 250
2
� � �
� � �
� �
;
,
g 22 2
2 1 2 2
2
1
2
g
p p p v v
g
� �
�
�
�
g g
Para converter a diferença de pressão (p1 – p2) de mmHg para o SI, pode-se utilizar a relação:
p g h
p kg
m
m
s
m
p p p Pa kPa
�
�
� � � �
r . .
. . ,
( )
13600 10 0 250
34000 34
3 2
1 2
Lembrando-se da definição de peso específico e substituindo os valores conhecidos:
γ ρ
ρ
�
�
� �
� �
� �
.
.
.
g
p p v v
Pa
kg
m
v v
v v m
2
2 34000
1000
68
1 2
2
2
1
2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
ss2
204
Como é fornecida a vazão mássica de água e o diâmetro da seção (1), considerando que a seção transversal da 
tubulação é circular, é possível avaliar v1:
Q v A A D
v Q
A
Q
D
v
kg
s
kg
m
m m
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
ρ π
ρ
ρ π
. . ; .
.
. .
2
2
8
1000
2
2
1
mm
m
v m
s
3
2 1
3 14 0 12
2
0 71
. , .
,
,
�
�
�
�
�
�
� �
Agora, é possível retornar e avaliar v2:
v m
s
m
s
v m
s
2
2
2 2
2
2
0 71 68
8 22
��
�
�
�
�
� �
�
,
,
Em posse deste resultado, basta retornar na equação utilizada para calcular v1, mas agora para a seção v2:
Q v A v D
D Q
v
kg
s
kg
m
m
m
H O
� � �
�
�
�
�
�
� �
ρ ρ π
ρ π
. . . . .
. .
. ,
2
4 4
8
1000 8 22
2
2
2
32
mm
s
D cm
. ,
,
3 14
3 52 �
3. O problema em questão pede a perda de carga do processo. Além disso, envolve uma máquina que retira 
trabalho do sistema – uma turbina. A equação que contempla todos estes efeitos é a equação da energia 
na forma:
z v
g
p H z v
g
p HM p1 1
2
1
2
2
2
2
2 2 1 2
� � � � � � �
g g , 
205
O uso desta equação considera algumas hipóteses, tais como regime permanente, fluido incompressível, es-
coamento uniforme e sem trocas de calor. Por serem dois grandes corpos d’água, pode-se considerar também 
que v1 = v2 = 0, com os níveis de água z1 e z2 permanecendo constantes. Além disso, ambos estão abertos para 
a atmosfera, de modo que p1 = p2 = patm = 0 (escala efetiva). Dessa forma, a equação simplificada fica:
100 0
1 2
m H m HM p� � � ,
Como o enunciado fornece a energia produzida por esta turbina e sua eficiência mecânica, é possível medir a 
potência removida do escoamento:
hT
TPotência da turbina
Potência cedida pelo fluido
N
N
� �
�
 
 
0 80, 660 75MW
N
N MW� �
Convertendo este valor na forma de carga:
N Q H H N
Q
N
g Q
H W
kg
m
m
s
m
s
H
M M
M
M
� � � �
�
�
γ
γ ρ
. .
. . .
.
. , .
75 10
1000 9 8 120
6
3 2
3
663 78, m
Agora, basta retornar este valor à equação da energia para chegar à perda de carga do sistema. Observe que, 
por se tratar de uma turbina, a carga HM é removida do escoamento pela turbina. Dessa forma, o termo na 
equação deve ser negativo:
100 63 78
36 22
1 2
1 2
m m H
H m
p
p
� �
�
,
,
,
,
206
207
208
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Introduzir o estudo para determinação da perda de carga 
e definir os termos: condutos, raio/diâmetro hidráulico e 
rugosidade.
• Desenvolver o conceito de camada limite, partindo da 
definição do número de Reynolds.
• Estudar a determinação das perdas de carga distribuídas 
e localizadas.
• Aplicar a equação da energia em sistemas envolvendo 
reservatórios, tubos, singularidades e máquinas.
Definições Iniciais
Camada Limite Instalações de Recalque
Perdas de Carga
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Escoamento em 
Condutos Forçados
Definições 
Iniciais
Na unidade anterior, você estudou os balanços de 
energia associados ao escoamento de fluidos em 
regime permanente. Naquele momento, partimos 
de uma situação em que seis hipóteses simplifica-
doras eram adotadas, resultando na Equação de 
Bernoulli. Em seguida, levamos esta equação da 
energia para uma forma mais genérica, incluindo 
a possibilidade de haver trabalho de eixo no sis-
tema e para situações com fluidos reais (presença 
de efeitos viscosos). Podemos combinar estas duas 
condições escrevendo a equação da energia na 
forma de carga de pressão da seguinte forma:
H H H HM p1 2 1 2� � � ,
211UNIDADE 6
Nesta unidade, nosso objetivo geral será aplicar esta equação em instalações hi-
dráulicas, a fim de que você adquira uma visão técnica dos seus aspectos técnicos 
fundamentais e desenvolva uma noção inicial do que é necessário para desenvolver 
um projeto de tubulação. Para isso, o primeiro passo é definir alguns dos principais 
termos a serem usados nesta unidade.
Chamaremos de conduto qualquer estrutura sólida destinada ao transporte de 
fluidos (BRUNETTI, 2008). Em outras palavras, condutos são tubulações ou canais 
por onde fluidos escoam. Eles podem ser classificados como forçados (quando o 
fluido o preenche totalmente) ou livres (quando o fluido apresenta uma superfície 
livre). Para melhor ilustrar estas definições, veja a Figura 1, em que (a) representa 
um conduto no qual o fluido está em contato com toda a sua parede interna e (b) 
apresenta dois condutos livres.
(a) (b)
Superfície
livre
Superfície
livre
Figura 1 - Condutos forçados (a) e condutos livres (b)
Fonte: Brunetti (2008, p. 164).
Uma característica fundamental dos condutos é o chamado raio hidráulico, definido 
como:
R AH = s
Em que “ A” é a área transversal de escoamento do fluido, e “s ” é o chamado perímetro 
“molhado” que, em outras palavras, é o perímetro da seção em que o fluido está em 
contato com a parede do conduto. Além disso, define-se também o chamado “diâmetro 
hidráulico” (DH ), dado por:
D RH H= 4
A tabela a seguir apresenta os exemplos mais comuns de condutos quanto aos seus 
parâmetros A , s , RH e DH . Caso esta definição tenha soado confusa, procure 
chegar você mesmo aos parâmetros RH e DH – é uma boa forma de exercitar o 
conceito e fixar o conhecimento.
212 Escoamento em Condutos Forçados
Tabela 1 - Principais condutos forçados e seus diâmetros hidráulicos
ab
ab
3a
 
2
4
Dπ
4
D 
 
4
a 
 2
( )
ab
a b+
2
ab
a b+
4
2
ab
a b�
2 3
4
a 3
12
a
4a
Dπa2 a
D
2a + b
2(a + b)
3
3
a
2
ab
(a b)+
a
a
a
b
a
a
a
a
D
A RH DHσ
Fonte: Brunetti (2008, p. 164).
Outra característica importante dos condutos que influenciam no escoamento dos 
fluidos é a sua rugosidade: pequenas variações de altura na superfície do conduto que 
contribuem para a perda de carga. É usual definirmos uma “rugosidade uniforme”, 
para fins de simplificação, que é representada pela letra grega ε e possui dimensões 
de comprimento. A Figura 2 ilustra este conceito.
aspereza
εε
Figura 2 - Representação geométrica da rugosidade em um conduto circular
Fonte: Brunetti (2008, p. 168).
213UNIDADE 6
Dessa forma, a rugosidade costuma ser dada como uma característica do material do 
conduto. Alguns valores considerados comuns estão apresentados na tabela a seguir 
para diversos materiais:
Tabela 2 - Valores típicos de rugosidade uniforme para materiais comuns de condutos
Material
Rugosidade (ε)
ft mm
Vidro, plástico 0 0
Concreto 0,003 – 0,03 0,9 - 9
Madeira 0,0016 0,5
Borracha, alisada 0,000033 0,01
Cobre ou latão 0,000005 0,0015
Ferro fundido 0,00085 0,26
Ferro galvanizado 0,0005 0,15
Ferro forjado 0,00015 0,046
Aço inoxidável 0,000007 0,002
Aço comercial 0,00015 0,045
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 295). 
Em geral, o parâmetro de interesse é, na verdade, a chamada rugosidade relativa, 
dada pela razão:
Rugosidade Relativa = DH
e
Feitas estas definições, podemos finalmente introduzir um conceito muito importante 
para os fenômenos de transporte em geral: a camada limite.
214 Escoamento em Condutos Forçados
Um conceito importantíssimo no estudo da me-
cânica dos fluidos é a chamada camada limite 
– essencialmente, a camada de fluido de um es-
coamento que fica junto à superfície sólida. Ve-
remos, a seguir, os aspectos essenciais que regem 
este fenômeno, sendo importante até mesmo para 
compreender o escoamento do ar nas asas de um 
avião.
Camada 
Limite
215UNIDADE 6
Camada Limite em uma Placa Plana
Mais uma vez, consideremos uma placa plana de pequena espessura, posicionada 
paralelamente ao escoamento uniforme de um fluido em regime permanente com 
velocidade v0 (Figura 3). A experiência nos mostra que o perfil de velocidade do 
escoamento muda ao se encontrar com a placa devido ao princípio da aderência 
(discutido na Unidade 2), de modo que a velocidade junto à placa é nula.
bordo de fugabordo de ataque
seção ao longe
x
(1)
O
V0
(2) (3)
A
B
C
Figura 3 - Desenvolvimento do escoamento sobre uma placa plana
Fonte: Brunetti (2008, p. 165). 
Observe, pela Figura 3, que quanto mais o fluido escoa ao longo da placa (seções 1, 
2 e 3), mais o princípio da aderência afeta o perfil de velocidades do escoamento (os 
pontos A, B e C indicam a primeira camada de fluido que ainda está na velocidade 
original do escoamento, v0 ).
Evidentemente, estão sendo representados apenas os pontos referentes a três 
seções do escoamento. Na realidade, para qualquer seção que observarmos sobre a 
placa, haverá um primeiro ponto indicando a primeira camada de fluido que ainda 
está na velocidade v0 . Se traçarmos uma linha imaginária que passa por todos estes 
pontos, podemos dividir o escoamento em duas regiões, como na figura a seguir:
216 Escoamento em Condutos Forçados
bordo de fugabordo de ataque
seção ao longe
x
(1)
O
V0
(2) (3)
A
B
C
Figura 4 - Linha conectando todos os primeiros pontos em que a velocidade do escoamento é v0
Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
A região acima da linha, chamada de “fluido livre”, é onde o escoamento tem velocida-
de v0 , ou seja, onde ele não é influenciado pela presença da superfície sólida. A região 
abaixo da linha, por sua vez, é a chamada camada limite – região do escoamento em 
que os efeitos viscosos e variações na velocidade são significantes. De forma mais 
simplificada, podemos representar a Figura 4 da seguinte forma:
�uido
livre
x
V0
camada
limite
Figura 5 - Camada limite sobre uma placa plana
Fonte: Brunetti (2008, p. 165). 
217UNIDADE 6
Para este experimento, a observação nos mostra, ainda, que a espessura ℓ é função 
do número de Reynolds:
Re
. . .
= = =
For as Inerciais
For as Viscosas
ç
ç
v D v Dρ
µ ν
Para este caso, pode ser adaptado na forma:
Re
. . .
x
v x v x
= =
ρ
µ ν
0 0
Na prática, o que se observa é que, para Rex < 5 10
5x , as forças viscosas na camada 
limite são significantes, de modo que o escoamento é laminar, enquanto acima deste 
valor o escoamento passa para um comportamento turbulento. Por causa disto, é 
comum chamar este valor de “número de Reynolds crítico”:
Recr � �5 10
5
Note que os parâmetros ρ µ γ, , são característicos do fluido, enquanto v0 é carac-
terístico do escoamento. Isto significa que o número de Reynolds atinge seu valor 
crítico para um valor de x suficientemente grande (também chamado de “crítico”):
Re
. .
.
.
cr
cr
cr
v x
x
v
� � �
� �
ρ
µ
µ
ρ
0 5
5
0
5 10
5 10
Além disso, duas observações adicionais podem ser feitas. A primeira é de que a 
espessura da camada limite aumenta repentinamente quando ela passa do regime 
laminar para o turbulento. A segunda é de que, mesmo após atingir a turbulência, 
uma camada de espessura (d ) muito fina junto à placa ainda se mostra em compor-
tamento laminar, sendo, por vezes, chamada de “subcamada limite laminar”. Todas 
estas observações estão representadas na figura a seguir:
218 Escoamento em Condutos Forçados
CL laminar
x
V0
CL turbulenta
subcamada limite
laminar
xcr
δ
δ
Figura 6 - Comportamento das camadas limite laminar e turbulenta
Fonte: Brunetti (2008, p. 166). 
A camada limite tem implicações importantes em todo o estudo dos fenômenos de 
transporte. Aqui, iremos, inicialmente, estudá-la no contexto dos condutos forçados.
Camada Limite em Condutos
O mesmo comportamento observado para o escoamento sobre uma placa é também 
presente para o escoamento em condutos, sendo que a única diferença é que devemos 
analisá-lo de forma radial.
Imagine que um fluido livre passa a escoar por uma tubulação. O efeito que se 
observa é o mesmo: o princípio da aderência faz as camadas de fluido próximas das 
paredes do conduto terem sua velocidade reduzida, e quanto mais o fluido entra na 
tubulação, maior é este efeito. Isto acontece progressivamente: atingir o comprimen-
to ( Lh ) em que a camada limite preenche todo o conduto, de modo que o perfil de 
velocidades atinge valores constantes – então, diz-se que o escoamento está “dina-
micamente estabelecido”.
�uido
livre
Lh camada limite
r R
diagrama
variável
regime dinamicamente
estabelecido
Entrada da tubulação
Região de
escoamento
irrotacional
V
V xmax
Figura 7 - Desenvolvimento da camada limite em condutos forçados
Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
219UNIDADE 6
Para condutos de seção circular, o escoamento será laminar para:
Re � �
ρ
µ
vD 2000
Nestes casos, o perfil de velocidades observado é parabólico, da forma:
v v r
R
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
max 1
2
Para o escoamento turbulento (Re > 2400 ), o regime dinamicamente estabelecido 
geralmente apresenta um perfil aproximado da forma:
v v r
R
� ��
�
�
�
�
�max 1
1
7
Sendo frequentemente chamado de “perfil da lei de potência 1/7”.
Agora que você sabe como o escoamento acontece dentro dos condutos forçados, 
é hora de dar o próximo passo no nosso estudo da equação da energia: conhecer as 
perdas de carga existentes em instalações hidráulicas.
Escoamento dos fluidos
Comprimento de Entrada (Lh): também cha-
mado de comprimento crítico, é aquele que vai 
desde a entrada do conduto até a junção das 
camadas limites no centro dele. Esta região é 
também chamada de “região de entrada”, e a 
partir desde comprimento, o escoamento é dito 
“completamente desenvolvido” ou “dinamica-
mente estabelecido”.
Fonte: adaptado de Çengel e Cimbala (2015).
220 Escoamento em Condutos Forçados
Como estudamos anteriormente, chamamosde 
“perda de carga” as perdas de energia de um escoa-
mento na forma de energia por unidade de peso 
do fluido (ou seja, com dimensões de compri-
mento). No contexto das instalações hidráulicas, 
é comum estudar a perda de carga separando-a 
em dois grupos:
• Perda de Carga Distribuída ( h f ): aquela 
que surge devido aos efeitos de atrito ao 
longo do escoamento, sendo mais signifi-
cante na presença de trechos relativamente 
longos de tubulação.
• Perda de Carga Singular ( hs ): aquelas 
que acontecem devido à presença de “sin-
gularidades”, sendo elas válvulas, obstácu-
los, estreitamentos, curvas e cotovelos (mu-
danças de direção) na linha, entre outros.
Perdas 
de Carga
221UNIDADE 6
Por exemplo, veja o esquema a seguir:
(0)
(1)
(3)
(2)
(4) (5)
(6)
Figura 8 - Representação das perdas de carga em uma instalação hidráulica arbitrária
Fonte: Brunetti (2008, p. 168). 
As perdas distribuídas, como o nome sugere, estão distribuídas ao longo de todo 
o comprimento da tubulação (1 a 6). As perdas localizadas, por sua vez, estão nos 
estreitamentos (1) e (4), nos cotovelos (2) e (3), e na válvula (5).
De forma genérica, podemos representar o termo de perda de carga da equação 
da energia (Hp1 2, ) matematicamente como a soma das perdas de carga distribuídas 
com as perdas de carga localizadas:
H h hp f s1 2, � �� �
Perda de Carga Distribuída
Assim como feito frequentemente nas unidades anteriores, o estudo das perdas de 
carga distribuídas requer que algumas hipóteses sejam estabelecidas. São elas:
a) Regime permanente e fluido incompressível.
b) Condutos longos.
c) Condutos cilíndricos (seção transversal constante).
d) Escoamento dinamicamente estabelecido (completamente desenvolvido).
e) Rugosidade uniforme.
f) Ausência de máquinas (dispositivos que realizam trabalhos).
222 Escoamento em Condutos Forçados
Matematicamente, podemos partir das equações fundamentais que estudamos até o 
momento para tentar expressar (e mensurar) a perda de carga distribuída. Da equação 
da continuidade, como pela hipótese (c), a seção transversal (área) é constante e, pela 
hipótese (a), o fluido é incompressível, temos:
Q Q v A v A
A A v v cte
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
� � �
� � � � .
Da equação da energia, com base nas hipóteses descritas, H hp1 2 1 2, ,= f , e, então, por 
definição:
h H H Hf1 2 1 2, � � �D
Sendo:
H v
g
p z� � �
2
2 g
Temos:
h v v
g
p p z zf1 2
1
2
2
2
1 2
1 22,
�
�
�
�
� �
g
Contudo, como as velocidades v1 e v2 são iguais:
h p z p zf1 2
1
1
2
2, � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�g g
Em que a soma 
p z
g
�
�
�
�
�
�
� é chamada de “carga piezométrica”, pois pode ser medida 
com o uso de um piezômetro.
Note que nosso objetivo é encontrar uma relação entre a perda de carga distribuída 
e o comprimento do conduto. Os próximos passos deste desenvolvimento levam a 
equações cujo uso não é conveniente (por exemplo, por exigirem a determinação da 
tensão de cisalhamento na parede do conduto, o que é de difícil determinação prá-
tica). Alternativamente, o uso de técnicas de análise dimensional pode levar a uma 
dedução mais interessante e com fins práticos mais apropriados.
223UNIDADE 6
A título de curiosidade, esta dedução parte da consideração de que a perda de carga 
é função da massa específica e da viscosidade do fluido, do diâmetro hidráulico, do 
comprimento e da rugosidade do conduto, e da velocidade do escoamento. Então, 
podemos escrever a função representativa:
γ ρ µ εh f D L vf H= ( , , , , , )
Ao determinar os devidos adimensionais, obtém-se a equação:
h L
D
v
gf H
= f
2
2
Em que f é o chamado “coeficiente da perda de carga distribuída” (ou “fator de atrito”), 
o qual é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa:
f = f DHRe,
e
�
�
�
�
�
�
Nesta equação para a perda de carga distribuída hf, o único parâmetro que não é 
diretamente mensurável de forma experimental é justamente o coeficiente da perda 
de carga distribuída. Contudo, como ele é função de dois números adimensionais 
(note que DH e é adimensional), o coeficiente f pode ser obtido por meio da cons-
trução de um diagrama universal, que pode ser aplicado a qualquer escoamento, de 
qualquer fluido, em qualquer conduto (afinal, estamos preocupados apenas com os 
números adimensionais, pois são estes que caracterizam o problema).
Diversos estudiosos trabalharam no desenvolvimento deste diagrama, como 
Nikuradse e Colebrook, até chegar ao chamado Diagrama de Moody-Rouse (Figura 
9). O uso desse diagrama pode ser classificado em três casos:
• 1º Caso: determinar hf, conhecendo L D Q vH, , , ,e .
• 2º Caso: determinar Q, conhecendo L D h vH, , , ,f e .
• 3º Caso: determinar DH, conhecendo L Q h v, , , ,f e .
Apenas trataremos do primeiro caso, pois os demais são mais complexos, podendo 
envolver métodos iterativos com o diagrama, além de que o primeiro caso é o mais 
importante conceitualmente. Faremos isso a partir de dois exemplos.
224 Escoamento em Condutos Forçados
Figura 9 - Diagrama de Moody-Rouse
Fonte: adaptada de Brunetti (2008) e Çengel e Cimbala (2015). 
225UNIDADE 6
Água a 10 °C (ρ = 999,77 kg/m³, μ = 1,308x10-3 Pa.s) escoa por meio de um fino tubo 
horizontal de seção circular (D = 0,3 cm, L = 3 m) continuamente, com velocidade 
média de 0,8 m/s. Determine a perda de carga nesta linha. Qual é a queda de pressão 
correspondente? Adote g = 9,8 m/s².
Solução:
Estamos considerando condições de operação em regime permanente, sem troca 
térmica com o ambiente, fluido incompressível, escoamento completamente de-
senvolvido e sem a presença de máquinas ou singularidades. Com isso em mente, 
o primeiro passo é lembrar-se da equação da energia, na forma da perda de carga:
H H H HM p1 2 1 2� � � ,
Queremos determinar o termo Hp1 2, . Além disso, das nossas considerações, sabemos 
que para este caso podemos escrever:
H h L
D
v
gp f H1 2
2
2,
= = f
Observe que conhecemos todos os parâmetros desta equação, exceto pelo coeficien-
te de perda de carga distribuída (f). Para determiná-lo, o passo inicial é calcular o 
número de Reynolds:
Re
. .
, . , . , .
, . .
Re
� �
�
�
�
ρ
µ
v D
kg
m
m
s
m
Pa s
H
999 77 0 8 0 3 10
1 308 10
1834
3
2
3
,,44
Para este valor de Reynolds, sabemos que o escoamento é laminar (<2000). Lembre-
-se que, para usar o diagrama de Moody-Rouse, é necessário também conhecer a 
rugosidade relativa da tubulação. Entretanto, ao analisarmos o diagrama, é possível 
notar que o escoamento laminar (região à esquerda) obedece a equação:
f = 64
Re
Isto significa que, para escoamentos laminares, o fator de atrito é função apenas do 
número de Reynolds e independe da rugosidade da tubulação. Com isso, podemos 
calculá-lo:
f = =64
1834 44
0 0349
,
,
1 EXEMPLO
226 Escoamento em Condutos Forçados
Em posse disto, a perda de carga é facilmente calculada:
h L
D
v
g
m
m
m
s
m
s
h m
f
H
f
� �
� �
�
�f
2
2
2
22
0 0349 3
0 3 10
0 8
2 9 8
1 14
,
, .
.
,
. ,
,
Para converter este valor em queda de pressão, basta multiplicá-lo pelo peso espe-
cífico do fluido:
D
D
D
p h g h
p kg
m
m
s
m
p N
m
f f� �
�
� �
γ ρ. . .
, . , . ,
, ,
999 77 9 8 1 14
11169 43 11
3 2
2 117 kPa
Atenção! Note que mais uma vez estamos relacionando os conceitos de perda de 
carga e queda de pressão. O sentido físico é o mesmo: as forças viscosas atuando 
no fluido fazem com que parte da sua energia seja dissipada. Se medíssemos a 
carga piezométrica no início e no final da tubulação, a diferença seria justamente 
a altura hf.
Considere o escoamento de um óleo (μ/ρ = 6,75.10-6 m²/s) com a velocidade de 3 
m/s, por um conduto de seção circular de aço comercial com D = 0,18 m. Determine 
a perda de carga por quilômetro de tubulação. Adote g = 10 m/s².
Solução:
Partindo das mesmas hipóteses do exemplo anterior, desejamos resolver a equação:
h L
D
v
gf H
= f
2
2
Com base nos dados fornecidos, trata-se de um problema do 1º caso para a utilização 
do Diagrama de Moody-Rouse. Veja que foram fornecidosa velocidade v do escoa-
mento e o diâmetro hidráulico DH da tubulação (equivalente ao próprio diâmetro 
2 EXEMPLO
227UNIDADE 6
D para seções circulares, vide Tabela 1), e a aceleração da gravidade foi definida. 
Além disso, como desejamos conhecer a perda de carga distribuída por quilômetro 
de tubulação, devemos avaliar a equação com L m=1000 .
Dessa forma, o único parâmetro que nos resta determinar é o fator de atrito f. Para 
isso, o primeiro passo é calcular o número de Reynolds:
Re
.
. ,
, .
Re
� �
�
�
v D
m
s
m
m
s
H
µ
ρ
3 0 18
6 75 10
80000
6
2
Em seguida, calcula-se a rugosidade relativa. Para isso, na Tabela 2, temos que a ru-
gosidade nominal para o aço comercial é de 0,045 mm. Então:
D m
m
H
e
� ��
0 18
0 045 10
40003
,
, .
Agora, basta procurar o ponto do diagrama em que (Re = 80000 , DH e = 4000 ). 
Para compreender como fazer isto, acompanhe pela figura a seguir. Na parte superior do 
diagrama, estão linhas do número de Reynolds (na forma de curvas, pois a escala do eixo 
não é linear). À direta, o eixo vertical corresponde aos fatores de atrito, dados por linhas 
horizontais. Além das curvas de Reynolds e das horizontais de fator de atrito, note que 
o diagrama é composto por um conjunto de curvas, cada uma correspondente a uma 
rugosidade relativa. O procedimento, então, é o seguinte:
f
f = 0,02
fRe
DH/ε = 4000
Re104 8 x 104
Figura 10 - Representação esquemática do Diagrama de Moody
Fonte: adaptada de Brunetti (2008). 
228 Escoamento em Condutos Forçados
1. No eixo horizontal superior, encontre a curva referente ao número de Rey-
nolds desejado (no caso, Re = 8 104x ).
2. Caminhe pela curva do número de Reynolds, saindo do eixo superior até 
encontrar a curva do diagrama referente à rugosidade relativa do conduto 
em questão (aqui, DH e = 4000 ).
3. A partir desta intersecção da curva do número de Reynolds com a curva da 
rugosidade relativa, caminhe na horizontal até o eixo da direita e faça a leitura 
do fator de atrito f (para os valores do exemplo, f = 0 02, ).
Feito isto, basta substituir os valores na equação da perda de carga:
h m
m
m
s
m s
mf �
� �
�0 02 1000
0 18
3
2 10
50
2
2, . ,
.
.
A cada quilômetro de tubulação, a perda de carga será de 50 metros.
Perda de Carga Localizada (Singular)
Na prática, as perdas de carga localizadas são aquelas decorrentes de perturbações 
bruscas no escoamento, sendo geralmente causadas nas chamadas “singularidades” 
(válvulas, obstáculos, estreitamentos, curvas, cotovelos e outros).
Assim como para as perdas de carga distribuídas, a expressão para o cálculo das 
perdas de carga singulares é obtida por meio de análise dimensional e tem forma 
análoga:
h k v
gs s
= .
2
2
Em que ks é o “coeficiente da perda de carga singular”, função do número de Rey-
nolds e das características geométricas da singularidade. Por praticidade, alguns livros 
apresentam tabelas de valores de ks para tipos distintos de singularidades, como a 
apresentada a seguir.
229UNIDADE 6
Quadro 1 - Singularidades comuns e seus coeficientes de perda
Alagarmento
Estreitamento
Singularidade Representação ks
A1
A2 >> A1
A1 A2
A2
A1 >> A2
d DV θ
dD Vθ
0,5
1
1 _ A1 / A2
(onde v = v1)
k s = 0,04 para θ = 45° 
k s = 0,02 para θ = 20° 
k s = 0,07 para θ = 60° 
(expansão gradual; v = v1)
A1 / A2
A1 A2
k s = 0,30 para d/D = 0,2 
k s = 0,25 para d/D = 0,4 
k s = 0,15 para d/D = 0,6 
k s = 0,10 para d/D = 0,8
(contração gradual com 
θ = 20°; v = v1)
230 Escoamento em Condutos Forçados
haste
com rosca
gaveta
Válvula tipo
globo
Válvula de
gaveta
Válvula de 
retenção
Cotovelo 90°
0,5
10
(totalmente aberta)
0,2
(totalmente aberta)
0,9
Fonte: adaptado de Brunetti (2008) e Çengel e Cimbala (2015).
Em geral, assume-se que estes valores são aproximações razoáveis para escoamentos 
com número de Reynolds elevados, mas o processo rigoroso e mais adequado é con-
sultar manuais específicos das singularidades em questão ou catálogos de fabricantes.
Há, ainda, um segundo método para determinar as perdas de carga singulares, 
chamado de “método dos comprimentos equivalentes”.
Comprimento Equivalente é um comprimento fictício que, para uma tubulação de 
seção constante de mesmo diâmetro que a singularidade, produziria uma perda de 
carga distribuída equivalente à perda de carga da própria singularidade.
Fonte: adaptado de Brunetti (2008).
231UNIDADE 6
Em outras palavras, este método calcula hs por meio da equação de hf. O primeiro 
passo é igualar ambas:
f
L
D
v
g
k v
g
L k D
f
eq
H
s
eq s
H
2 2
2 2
=
=
.
.
Com isso, pode-se avaliar a perda de carga total do sistema pela soma:
H h h
H L
D
v
g
L
D
v
g
H
L L
p f s
p
real
H
eq
H
p
real e
1 2
1 2
1 2
2 2
2 2
,
,
,
(
� �
� �
�
�
� �
f f
f qq
HD
v
g
) 2
2
Este é um método conveniente de ser empregado quando o fabricante da singulari-
dade fornece os comprimentos equivalentes de forma tabelada. Vejamos um exemplo 
em que empregamos ambos os métodos.
Água (ρ = 1000 kg/m³, μ = 1,308x10-3 Pa.s) escoa por uma tubulação circular de aço 
inoxidável com 10 cm de diâmetro, quando passa por uma expansão gradual com Ѳ 
= 60° para um diâmetro de 15 cm. Antes da expansão, a velocidade média do escoa-
mento era de 3 m/s, a uma pressão de 140 kPa. Determine a perda de carga devido a 
esta singularidade usando o valor tabelado do coeficiente de perda de carga singular. 
Qual é a pressão do escoamento após o alargamento? Resolva o problema novamente 
usando o valor nominal de comprimento equivalente fornecido pelo fabricante de 
Leq = 0,45 m. Admita a aceleração da gravidade g = 9,8 m/s².
1 2
10 cm 15 cm
Água
3m/s
140 kPa
3 EXEMPLO
232 Escoamento em Condutos Forçados
Solução:
Iremos resolver o problema primeiramente usando os valores de ks tabelados. Nossas 
considerações iniciais são: regime permanente, escoamento incompressível e com-
pletamente desenvolvido, sem trocas de calor ou presença de máquinas.
No Quadro 1, temos que o coeficiente de perda de carga singular para um alar-
gamento gradual com q � �60 é de ks = 0 07, . A perda de carga propriamente dita, 
por sua vez, é calculada pela expressão a seguir, em que v v= 1 :
h k v
gs s
= .
2
2
Substituindo os valores conhecidos:
h
m
s
m
s
ms �
� �
�0 07
3
2 9 8
0 032
2
2
, .
. ,
,
É pedida também a pressão do escoamento na seção 2. Isto pode ser obtido por meio 
da equação da energia:
H H H H h
p
g
v
g
p
g
v
g
h
p s
s
1 2 2
1 1
2
2 2
2
1 2
2 2
� � � �
� � � �
,
. .r r
Multiplicando a equação por “r.g ” e isolando a pressão na seção (2), temos que: 
p p v v g hs2 1 1
2
2
2
2
� �
�
�r r
( )
. .
Para resolver esta equação, é necessário calcular a velocidade v2. Da equação da con-
tinuidade, para escoamento incompressível, temos:
Q Q v A v A
v A
A
v D
D
v m
m
m
s
v
1 2 1 1 2 2
2
1
2
1
1
2
2
2 1
2
2
2
0 1
0 15
3
1 3
� � �
� � �
�
( , )
( , )
, 33 m
s
233UNIDADE 6
Agora, resolvendo para p2:
p Pa kg
m
m
s
m
s kg
m2 3
2 2
3140000 1000
3 1 33
2
1000� �
� � � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�.
,
.99 8 0 032
143301 95 143 3
2
2
, . ,
, ,
m
s
m
p Pa kPa� �
Encontramos a pressão na seção (2) utilizando o primeiro método para perda de 
carga singular. Agora, iremos resolver o problema utilizando o segundo método: 
comprimento equivalente. Para isso, temos que usar o valor fornecido de Leq pelo 
fabricante na equação:
H h h
H L
D
v
g
L
D
v
g
H
L L
p f s
p
real
H
eq
H
p
real e
1 2
1 2
1 2
2 2
2 2
,
,
,
(
� �
� �
�
�
� �
f f
f qq
HD
v
g
) 2
2
Como estamos trabalhando apenas com a singularidade, podemos assumir Lreal = 0 . 
Para resolver esta equação, devemos calcular o número de Reynolds no escoamento:
Re
. . ,
, . .
,� � ��
ρ
µ
vD
kg
m
m
s
m
Pa s
1000 3 0 1
1 308 10
229357 8
3
3
Isto é, o escoamento é turbulento (Re > 2400 ). Em seguida, avaliamos a rugosida-
de relativa da tubulação. Como o material é aço inoxidável, da Tabela 2, temos quee � �2 10 6x m . Então:
D m
m
H
e
� ��
0 1
2 10
500006
,
.
Em posse destes valores, busca-se o ponto do Diagrama de Moody-Rouse, em que 
Re ,≈ 2 3 105x e DH e = 50000 . Para estas condições, o ponto encontrado apresenta 
f ≈ 0 0155, . Com isso, é possível avaliar a perda de carga pela expressão anterior:
h
L
D
v
g
m
m
m
s
m
s
h m
s
eq
s
� �
� �
�
�
f
1
1
2
2
2
0 0155 0 45
0 1
3
2 9 8
0 032
. , .
,
,
.
. ,
,
234 Escoamento em Condutos Forçados
Que é o mesmo valor obtido pelo método dos 
coeficientes de perda de carga singulares tabe-
lados (na realidade, os valores divergem muito 
pouco, sendo estas diferenças desprezadas nas 
aproximações). Evidentemente, como a perda de 
carga é a mesma nos dois casos, o uso da equação 
da energia com este último resultado também 
trará que p kPa2 143 3≈ , .
Note que, neste exemplo, a pressão do escoa-
mento aumentou ao sofrer a perda de carga, o 
que pode parecer incoerente, pois até o momen-
to sempre associamos perdas de carga a quedas 
na pressão. Na realidade, este fenômeno está fi-
sicamente correto e acontece devido à conversão 
da pressão dinâmica em pressão estática – em 
outras palavras, ao perder velocidade na seção 
mais larga, a pressão estática aumenta.
235UNIDADE 6
Estamos quase no final de mais uma unidade. Res-
ta apenas mais um passo: combinar os conceitos 
que vimos até aqui no estudo das chamadas “insta-
lações de recalque”. De alguma forma, você já deve 
ter ouvido falar sobre elas, que nada mais são do 
que sistemas compostos por reservatórios, tubos, 
máquinas (bombas, turbinas) e singularidades, ou 
seja, instalações hidráulicas em que aplicaremos a 
equação da energia para determinar parâmetros 
fundamentais de projeto.
Instalações 
de Recalque
236 Escoamento em Condutos Forçados
Figura 11 - Descarga de água por tubulações em um reservatório aberto
Em geral, podemos esquematizar uma instalação de recalque de forma genérica da 
seguinte forma:
recalque
válvula de
retenção
registro
globo
sucção
válvula
de pé
(1)
(2)
(e)
(s)
B
ze
Figura 12 - Representação esquemática de uma instalação de recalque
Fonte: Brunetti (2008, p. 187). 
De maneira simples, o sistema é composto por dois reservatórios (um sendo des-
carregado e o outro carregado), uma bomba (responsável por levar o tubo de um 
tanque ao outro), a tubulação de sucção (antes da bomba) e a tubulação de recalque 
(depois da bomba). Estão representados também válvulas que evitam a entrada de 
sedimentos (não permitem que o fluxo de fluido seja invertido) e um registro para 
o controle da vazão.
237UNIDADE 6
Na maior parte dos casos, estaremos interessados em determinar a potência ne-
cessária para o bombeamento de um tanque para o outro, utilizando a equação da 
energia e considerando as perdas de carga na linha. Para melhor ilustrar, iremos 
direto ao ponto, resolvendo um exemplo de um sistema bem detalhado. Vale a pena 
ressaltar que já estamos trabalhando com exemplos bastante próximos da realidade 
de um Engenheiro.
Considere o sistema a seguir. Para uma vazão de 0,05 m³/s de água (γ = 10000 N/m³; 
ν = 1x10-6 m²/s), determine a potência da bomba (rendimento ηB = 0,75) e a pressão 
na entrada dela (seção (e)), para que a pressão p8 = 550 kPa seja mantida constante. 
Considere que a tubulação é de aço comercial (ε = 4,5x10-5 m), com seção circular, 
sendo os diâmetros da tubulação de sucção DS = 18 cm e da tubulação de recalque 
DR = 9 cm. São dados: ks1 = 15; ks2 = ks6 = 0,9; ks3 = ks5 = 10; ks4 = 0,5; ks7 = 1; patm = 101 
kPa; g = 10 m/s², pvap,H₂O = 1,96 kPa (absoluta).
(2)
B
(0)
(1)
(3)
(5)
(4)
(s)
(e)
(6)
(7)
(8)( )88)
3 m
2 m
9 m9 m
25 m 1 m
P8
(1) - válvula de pé com crivo
(2) e (6) - cotovelos
(3) e (5) - registros tipo globo
(4) - válvula de retenção
(7) - alargamento brusco
4 EXEMPLO
238 Escoamento em Condutos Forçados
Solução:
Nosso objetivo é resolver a equação da energia. Partiremos das considerações fun-
damentais de costume: regime permanente, fluido incompressível, escoamento com-
pletamente desenvolvido e sem trocas de calor. Assim, temos:
H H H HB p0 8 0 8� � � ,
O problema pede a potência da bomba, que pode ser calculada se conhecermos HB. 
Os termos H0 e H8 são mais fáceis de avaliar. Considerando pressões manométricas, 
lembre-se que:
H p v
g
z� � �
g
2
2
Adotando como plano horizontal de referência (PHR) o nível do ponto (0) e baseado 
nas nossas considerações, como fizemos nas unidades anteriores (velocidade nula na 
superfície, pressão superfície livre, sendo a pressão atmosférica):
H
g
H p v
g
z N
m
m
s
m
0
2
8
8 8
2
8
3 2
0 0
2
0 0
2
550000
10000
0
2 10
2
� � � �
� � � � � � �
g
g .
( 99 1
678
m m
H m
�
�
)
Agora, resta determinar o termo Hp0,8, referente às perdas de carga (distribuídas e 
singulares) da instalação. Podemos escrever da seguinte forma:
H h hp f s0 8, � �� �
Como a tubulação de sucção (antes da bomba) apresenta diâmetro diferente da tu-
bulação de recalque (depois da bomba), precisamos avaliá-las separadamente.
H H Hp p pe s0 8 0 8, , ,� �
239UNIDADE 6
Primeiro, quanto à tubulação de sucção:
H h hp f se e e0 0 0, , ,� �
Temos que:
h L
D
v
g
h k v
gf H
s s= =f
2 2
2 2
; .
Assim, o primeiro passo é determinar a velocidade do escoamento para o diâmetro 
de sucção, pois ela é necessária para calcular tanto hf quanto hs. Da equação da con-
tinuidade, temos:
Q v A v D v Q
D
v
m
s
m
m
S
� � �
�
�
�
�
� � �
� �
. . .
.
.
. ,
. ( , )
,
p
p
p
2
4
4 0 05
0 18
1 965
2
2
3
2 ss
Para avaliar a perda de carga distribuída na seção de sucção, deve-se calcular o nú-
mero de Reynolds do escoamento:
Re
.
=
v D
n
Re
, . ,
.
S
m
s
m
m
s
� �
�
1 965 0 18
1 10
353700
6 2
Agora, avalia-se a rugosidade relativa da tubulação de sucção:
D m
m
H
e
� ��
0 18
4 5 10
40005
,
, .
Com o valor do número de Reynolds e da rugosidade relativa, utiliza-se o Diagrama de 
Moody-Rouse para encontrar o fator de atrito. Pela leitura, temos que f ≈ 0 0165, . Po-
demos então calcular cada termo hf da tubulação de sucção. Para clareza, organizaremos 
as informações na forma de uma tabela:
240 Escoamento em Condutos Forçados
Perdas de Carga Distribuídas na Sucção
h L
D
v
gf H
= f
2
2
, com f = 0,0165, DH = 0,18 m, vs = 1,965 m/s, g = 10 m/s²
Trecho De (1) a (2) De (2) a (e)
Comprimento (L) 3 m 9 m
hf 0,0531 m 0,1593 m
hf e0, 0,2124 m
Feito isso, o passo seguinte é determinar as perdas de carga singulares na sucção. 
Também organizaremos o cálculo na forma de tabela:
Perdas de Carga Singulares na Sucção
h k v
gs s
= .
2
2
, com vs = 1,965 m/s, g = 10 m/s²
Singularidade (1) (2) (3)
ks 15 0,9 10
hs 2,8959 m 0,1737 m 1,9306 m
hs e0, 5,0002 m
Exatamente os mesmos passos devem ser realizados para a tubulação de recalque. 
Aqui, apresentaremos os resultados resumidamente, mas é recomendado que você 
faça os cálculos para praticar, apropriar-se dos conceitos, garantindo, assim, que 
consiga determinar as perdas de cargas distribuídas e localizadas por conta própria.
v m s
D
R
R
H
�
�
�
�
7 863
707670
2000
0 0175
,
Re
,
e
f
241UNIDADE 6
Perdas de Cargas Distribuídas no Recalque
h L
D
v
gf H
= f
2
2
, com f = 0,0175, DH = 0,09 m, vR = 7,863 m/s, g = 10 m/s²
Trecho De (s) a (6) De (6) a (7)
Comprimento (L) 9 m 25 m
hf 5,4098 m 15,0273 m
hfs,8 20,4371 m
Perdas de Carga Singulares no Recalque
h k v
gs s
= .
2
2
, com vR = 7,863 m/s, g = 10 m/s²
Singularidade (4) (5) (6) (7)
ks 0,5 10 0,9 1
hs 1,5457 m 30,9134 m 2,7822 m 3,0913 m
hss,8 38,3326 m
Enfim, podemos avaliar a perda de carga total do sistema:
H H H h h h h
H m
p p p f s f s
p
e s e e s s0 8 0 8 0 0 8 8
0 8
0 2124 5 0
, , , , , , ,
,
, ,
� � � � � �
� � 0002 20 4371 38 3326
63 9823 64
0 8
m m m
H m mp
� �
� �
, ,
,
,
Agora, voltando à equação da energia, basta resolver para HB:
H H H m m
H m
B p
B
� � � �
�
8 0 8 67 64
131
,
Para determinar a potência da bomba, usamos a equação estudadana unidade an-
terior, considerando a eficiência (hB = 0 75, ):
N Q H
N
m
m
s
m
N W kW
B
B
B
� �
� �
γ
η
. .
. , .
,
, ,
10000 0 05 131
0 75
87333 33 87 33
3
3
242 Escoamento em Condutos Forçados
Espere! O exercício ainda não acabou. Ainda nos é pedida a pressão na entrada da 
bomba, e este é um ponto importante para desenvolvermos o conceito que será apre-
sentado a seguir. Utilizando a equação da energia entre os pontos (0) e (e):
H H H H h he p e f se e e0 0 0 0� � � � �, , ,
Para as considerações que utilizamos, H0 0= , os termos de perda de carga distribuída 
e localizada no trecho de (0) a (e) já foram avaliados:
H H h h
H m m m
e f s
e
e e
� � �
� � � � �
0 0 0
0 0 2124 5 0002 5 2126
, ,
, , ,
Desmembrando He e tendo em mente que a velocidade nesta seção é justamente a 
velocidade na tubulação de sucção vS , temos:
p m
m
s
m
s
m N
m
p
e
e
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
5 2126
1 965
2 10
2 10000
740
2
2
3,
,
.
.
556 61 74 1, ,Pa kPa� �
Em termos de pressão absoluta, como patm = 101 kPa:
p p p kPae abs e atm, ,� � � 26 9
Ufa! Enfim resolvemos o problema. Agora, vamos analisar a importância da pressão 
absoluta na entrada da bomba. Talvez você tenha reparado, mas o enunciado do 
exercício deu uma informação que até agora não havíamos discutido: a pressão de 
vapor da água, pvap H O, 2 (absoluta). De uma forma científica, pressão de vapor é a 
pressão exercida por um vapor quando este está em equilíbrio termodinâmico com 
o líquido que lhe deu origem, ou seja, a quantidade de líquido que evapora é a mesma 
que se condensa. A importância disto é que nas condições de temperatura em questão, 
se a pressão absoluta do fluido caísse até pvap H O, 2 (decorrente das perdas de carga, 
por exemplo), o fluido começaria a evaporar. A formação de vapor em tubulações e 
máquinas hidráulicas leva a um fenômeno chamado de cavitação, muito preocupante 
para a engenharia quanto a garantir o bom funcionamento de instalações hidráulicas. 
243UNIDADE 6
A cavitação ocorre quando há bolhas de vapor em tubulações ou máquinas hidráu-
licas, sendo prejudicial para o seu funcionamento. As bolhas, ao alcançarem pontos 
de maior pressão, condensam bruscamente e implodem com grande liberação de 
energia. Além de causar vibrações intensas, isto acarreta na erosão das paredes 
devido ao choque das partículas de líquido, danificando o equipamento e reduzindo 
sua vida útil consideravelmente. Estes efeitos combinados fazem, ainda, com que 
o rendimento atingido pelas máquinas seja sempre muito baixo, aumentando o 
gasto energético.
Fonte: adaptado de Brunetti (2008).
 
Para evitar que a cavitação aconteça, é necessário garantir que a pressão em todos os 
pontos dentro da bomba esteja acima da pressão de vapor. Como forma de fazer isso, 
os fabricantes de bombas fornecem um parâmetro denominado NPSH (do inglês 
“net positive suscito head”, que pode ser traduzido como “carga de sucção positiva 
líquida”). Ele é calculado fazendo a diferença entre a carga de pressão de estagnação 
na entrada da bomba e a carga da pressão de vapor:
NPSH p v
g
p
e
vap� �
�
�
��
�
�
�� �g g
2
2
Os valores fornecidos pelos fabricantes são dados em função da vazão, e tratam-se dos 
valores mínimos de NPSH que devem ser operados para evitar a cavitação na bomba.
Com isto, terminamos mais uma unidade – a última referente à mecânica dos 
fluidos! A partir da Unidade 7, trataremos dos fenômenos de transferência de calor, 
também fundamentais para todas as aplicações de engenharia. Aproveite o momento 
para respirar e abrir a cabeça para os novos conceitos que estão por vir!
244
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Considere o trecho de tubulação a seguir, em que (2) é uma válvula de gaveta, (3) 
é uma válvula tipo globo e (4) é um cotovelo. O fabricante destas peças fornece 
os seguintes comprimentos equivalentes:
D = 10 cm Válvula de gaveta Válvula tipo globo Cotovelo
Leq (m) 0,352 16,94 3,91
O conduto é de ferro galvanizado (ε = 1,5x10-4 m), de seção circular (diâmetro D 
= 15 cm), com um comprimento entre (1) e (5) de 20 m. Determine a perda de 
carga neste trecho, considerando uma vazão de 18 L/s. Adote ν = 1x10-6 m²/s 
e g = 9,8 m/s².
(2)
(1)
(3)
(5)
(4)
Fonte: Brunetti (2008). 
245
2. Considere o sistema a seguir.
Estreitamento
Cotovelos
em 90°
Válvula de gaveta
totalmente aberta
Alargamento
D = 6 cm
75 m
10 m
z1 = ?
z2 = 8 m2
1
Fonte: adaptada de Çengel e Cimbala (2015). 
O fluido escoando é água a 10 °C (ρ = 999,7 kg/m³; μ = 1,307x10-3 Pa.s), a uma 
vazão de 9 litros por segundo. A tubulação é de seção circular, feita em ferro 
galvanizado (ε = 1,5x10-4 m). Determine a altura z1. Adote g = 9,8 m/s² e consulte 
valores tabelados para os coeficientes de perda das singularidades.
246
3. Considere a instalação de recalque a seguir:
(2) B
(1)
(3)
(5)
(4)
(6)
(7)
(8)
3 m
2 m
1 m
2 m
10 m
40 m
5 m
(0)
(9)p = 0,3 MPa
Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
Calcule a potência da bomba B, sabendo que seu rendimento é de 76%, para 
uma vazão de 20 L/s. O diâmetro da tubulação de sucção é de 6,5 cm, enquanto 
o da tubulação de recalque é 12 cm. As tubulações são todas de seção circular 
e ferro fundido (ε = 2,6x10-4 m). São dados: ν = 10-6 m²/s; γ = 104 N/m³; Leq1 = 20 
m; Leq2 = 2 m; Leq6 = Leq7 = 1 m; ks5 = 10; ks8 = 1; g = 10 m/s².
247
 Vídeo desenvolvido pelo canal Engenharia & Cia, em que são apresentados os 
conceitos de pressão de vapor, cavitação e o seu impacto na vida útil de equi-
pamentos e instalações.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
Vídeo desenvolvido pelo canal Engenharia & Cia, em que são apresentados os 
conceitos relacionados às instalações de recalque.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
 Vídeo desenvolvido pelo canal Smarter Every Day, que faz uma análise de bioe-
ngenharia acerca das lagostas-boxeadoras – crustáceos capazes de dar socos à 
velocidade de um tiro calibre .22, que acabam provocando cavitação na água para 
quebrar carapaças, conchas e vidros. Áudio em inglês com legendas em inglês.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
http://
http://
http://
248
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. Brasil: AMGH 
Editora, 2015. 
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de 
Massa. 6. ed. São Paulo: Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2017. 
249
1. Este é um problema típico para cálculo da perda de carga distribuída e da perda de carga localizada pelo 
método do comprimento equivalente. Para isto, temos a equação:
H
L L
D
v
gp
real eq
H
�
�
f
( ) 2
2
 
Avaliando a velocidade:
v Q
A
Q
D
L
s
m
m
L
m
s
� � � �
4 4 18
0 15
1
1000
1 022 2
3
.
.
.
. ( , )
,
p p
Número de Reynolds:
Re
.
, . ,
.
� � �
�
v D
m
s
m
m
s
n
1 02 0 15
1 10
153000
6 2
Logo, o escoamento é turbulento. Avaliando a rugosidade relativa:
D m
m
H
e
� ��
0 15
1 5 10
10004
,
, .
Pelo Diagrama de Moody-Rouse, para estes valores, temos o fator de atrito f = 0,022. Agora, como sabemos que 
Lreal = 20 m e que Leq = 0,352 m + 16,94 m + 3,91 m = 21,202 m, basta substituir na equação:
H m m
m
m
s
m
s
H m
p
p
�
�
�
0 022 20 21 202
0 15
1 02
2 9 8
0 32
2
2
, .
( , )
,
.
( , )
. ,
,
2. Feitas as devidas considerações (regime permanente, fluido incompressível, escoamento completamente 
desenvolvido, velocidade nula na superfície), faz-se o balanço de energia na forma de cargas:
H H Hp1 2� �
250
Em que, baseado nas considerações básicas para o problema:
H p v
g
z
H p
g
z H p
g
z
p z p
atm atm
atm atm
� � �
� � � � � �
� �
g
g g
g g
2
1
2
1 2
2
2
1
2
0
2
0
2
;
�� �
� �
z H
z z H
p
p
2
1 2
Como já é dado z2 = 8 m (adotando como PHR o fundo de ambos os reservatórios), deve-se calcular Hp:
H hhp f s� �
Avaliando primeiramente as perdas de carga distribuídas:
h L
D
v
gf H
= f
2
2
Observe que o desenho indica um comprimento de tubulação L = 10 m + 75 m = 85 m. Para avaliar a velocidade, 
usa-se a equação da continuidade para o fluido incompressível:
v Q
A
Q
D
L
s
m
m
L
m
s
� � � �
4 4 9
0 06
1
1000
3 182 2
3
.
.
.
. ( , )
,
p p
Resta definir f, que é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa:
Re
. .
, . , . ,
, . .
,� � ��
ρ
µ
v D
kg
m
m
s
m
Pa s
DH
999 7 3 18 0 06
1 307 10
145939 37
3
3
εε
� ��
0 06
1 5 10
4004
,
, .
m
m
Para estes valores, pelo Diagrama de Moody-Rouse: f = 0,027.
251
Então:
h m
m
m
s
m
s
mf � �0,027
85
0 06
3 18
2 9 8
19 73
2
2,
( , )
. ,
,
Agora, o próximo passo é calcular as perdas de carga singulares. Utilizando os valores tabelados de ks e orga-
nizando os cálculos em forma de tabela:
Perdas de Cargas Singulares
h k v
gs s
= .
2
2 , com v = 3,18 m/s, g = 9,8 m/s²
Singularidade Estreitamento Cotovelo
90° (1)
Cotovelo
90° (2)
Válvula de 
gaveta
Alargamento
ks 0,5 0,9 0,9 0,2 1
hs 0,2580 m 0,4643 m 0,4643 m 0,1032 m 0,5159 m
hs 1,8057 m
Com isso, o problema é resolvido:
H m m m
z m m
z m
p � � �
� �
�
19 73 1 81 21 54
8 21 54
29 54
1
1
, , ,
,
,
252
3. Partindo das considerações fundamentais de costume (regime permanente, fluido incompressível, es-
coamento completamente desenvolvido, sem trocas de calor), objetivo é resolver a equação da energia:
H H H H
p
g
v
g
z H p
g
v
g
z H
B p
B p
0 9
0 0
2
0
9 9
2
9
1 8
1 82 2
� � �
� � � � � � �
,
,. .r r
Com as devidas considerações feitas:
p
g
H
p
g
z Hatm B
abs
pr r. .
,
,
� � � �9 9 1 8
Em termos de pressões manométricas:
H p
g
z HB p� � �9 9 1 8r . ,
O termo referente às perdas de carga é a única incógnita. Como os diâmetros da tubulação de sucção e de 
recalque são diferentes, devemos calcular as duas seções separadamente:
H H Hp p p1 8 1 3 4 8, , ,� �
Para a sucção, as duas singularidades presentes estão expressas em comprimento equivalente. Logo:
H
L L
D
v
gp
real eq
H
1 3
2
2,
( )
�
�
f
É necessário determinar o fator de atrito f e a velocidade de sucção vR:
v Q
D
v m
s
v D
D
S
S
H
� � �
� �
�
�
4 6 03
391766
250
0 028
2
.
.
,
Re
.
,
π
ν
ε
f
253
Então, resolvendo a equação:
H m m
m
m
s
m
s
H m
p
p
1 3
1 3
9 22
0 065
6 03
2 10
24 28
2
2
,
,
( )
,
,
.
,
�
� � �
�
0,028
Agora, para o recalque, como os cotovelos estão dados em comprimento equivalente e as outras duas singu-
laridades estão dadas pelo seu ks, é conveniente usar a forma combinada:
H
L L
D
v
g
k k v
g
H
L L
D
p
real eq
H
s s
p
real eq
4 8 5 8
4 8
2 2
2 2,
,
( )
( ) .
( )
�
�
� �
�
�
f
f
HH
s sk k
v
g
� �
�
�
�
�
�
�5 8
2
2
.
Para isso, é necessário calcular o fator de atrito para o recalque. Partindo da equação da continuidade e pelo 
Diagrama de Moody-Rouse:
v m
s
v D
D
R
R
H
�
� �
�
�
1 77
212314 23
461 54
0 025
,
Re
.
,
,
,
ν
ε
f
254
Então:
H m m
m
m
s
m
s
H
p
p
4 8
4 8
52 2
0 12
10 1
1 77
2 10
3
2
,
,
( )
,
.
,
.
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
0,025
,,49 m
Feito isso, podemos somar os dois termos para ter a perda de carga total do sistema:
H H H mp p p1 8 1 3 4 8 27 77, , , ,� � �
Com isso, pode-se voltar à equação da energia para determinar HB:
H PaN
m
m m
H m
B
B
� � �
�
0 3 10
10
15 27 77
72 77
6
4
3
, .
,
,
Enfim, pode-se então calcular a potência da bomba, considerando o seu rendimento:
N Q H
N
m
m
s
m
N W kW
B
B
B
= =
= =
γ
η
. .
. , . ,
,
,
10000 0 02 72 77
0 76
19150 19 15
3
3
255
256
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Definir o que é a transferência de calor e seus principais 
processos: condução, convecção e radiação.
• Estudar a transferência de calor por difusão por meio da 
Lei de Fourier da Condução, das definições de condutivida-
de e difusividade térmicas, e dos conceitos de resistência 
e circuitos térmicos.
• Desenvolver o conceito de camada limite térmica por meio 
do estudo da convecção por meio da definição da Lei de 
Newton do Resfriamento.
• Conhecer o mecanismo de radiação térmica com base na 
Lei de Stefan-Boltzmann da Radiação Térmica.
Conceitos Fundamentais
Condução Radiação
Convecção
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Introdução à 
Transferência de Calor
Conceitos 
Fundamentais
Prezado(a) aluno(a)! Esperamos que você esteja 
preparado para mudar o assunto principal dos nos-
sos estudos, pois a partir deste capítulo, iremos sair 
da perspectiva da mecânica dos fluidos e adentrar 
os conceitos de transferência de calor; mas não se 
engane, ambas são partes fundamentais no estudo 
dos fenômenos de transporte e muitos de seus efei-
tos são análogos e intrinsecamente relacionados.
O primeiro passo neste estudo é diferenciar os 
conceitos de “termodinâmica” e de “transferência 
de calor”, duas disciplinas básicas para diversas 
engenharias. Esta diferença pode não ser óbvia 
para quem está iniciando os estudos nestas áreas, 
mas pode ser definida de forma bastante simples 
e objetiva. 
259UNIDADE 7
A termodinâmica está preocupada com a quantidade de calor que um sistema 
perde ou recebe ao passar por um processo que o leva de uma condição de equilí-
brio a outra. Assim, em geral, a forma como essa troca de calor acontece não é uma 
preocupação. Enquanto isso, a transferência de calor está preocupada especificamente 
com a taxa de transferência de calor de um processo, ou seja, qual o tempo que esse 
calor leva para ser trocado e quais são os parâmetros que influenciam nesta troca 
(por exemplo: aspectos geométricos e propriedades do material).
Observando o mundo desde uma forma casual e até uma perspectiva de engenha-
ria, poderíamos fazer, por exemplo, as seguintes perguntas: quanto tempo levará até 
que a água gelada dentro de uma garrafa térmica esfrie à temperatura ambiente? Como 
peças de computador podem ser construídas buscando evitar superaquecimento? 
Qual a potência necessária para que um aquecedor mantenha uma sala quente num 
dia de frio intenso? Como pode ser feito o isolamento térmico desta mesma sala? 
Todas estas são perguntas que a transferência de calor está interessada em responder.
Todo fenômeno de transporte acontece devido à existência de uma força motriz e 
é mitigado pela presença de uma resistência ao fenômeno. Na mecânica dos fluidos, 
vimos que esta força motriz era uma diferença (ou gradiente) de velocidades, muitas 
vezes causada por uma diferença de pressão, e a resistência eram os efeitos viscosos 
do escoamento. Para a transferência de calor, a força motriz será uma diferença de 
temperatura, e a resistência será dada por aspectos geométricos e propriedades do 
material (veremos em mais detalhes a seguir).
Observe a Figura 1. Nela, as temperaturas de uma casa são avaliadas usando um 
leitor de temperaturas por infravermelho. Isto é útil, por exemplo, para identificar 
quais cômodos da casa ficarão mais quentes ou frios em dias comuns.
Figura 1 - Visão térmica em infravermelho de uma casa
260 Introdução à Transferência de Calor
Numa perspectiva industrial, uma possível preocupação seria a perda de energia em 
sistemas de tubulações para o ambiente, por não estarem com isolamento térmico 
adequado (veja a Figura 2). Dependendo do processo em questão, isto pode significar 
prejuízo à eficiência energética do processo, que por sua vez é traduzido em maior 
custo e, portanto, menor lucro.
Figura 2 - Visão térmica de uma tubulação sem o isolamento térmico
O isolamento de tubulações é só um dos muitos problemas de engenharia relacio-
nados à transferência de calor. Por exemplo, diversos equipamentos industriais estão 
pautados na troca de energia entre dois meios, como trocadores de calor, aquece-
dores, resfriadores, caldeiras, condensadores, evaporadores e muitos outros. Com 
isso, geralmente estaremos preocupados com dois aspectos: qual a troca de calorde 
um sistema operando a uma dada diferença de temperatura e quais as dimensões 
do sistema para que uma troca de calor especificada os mantenha nas condições de 
temperatura desejadas.
Para darmos sequência aos nossos estudos, é preciso primeiro definir uma pro-
priedade da matéria muito importante para a transferência de calor.
261UNIDADE 7
Calor Específico: energia necessária para aumentar a temperatura em um grau de 
uma unidade de massa de uma dada substância.
Fonte: Çengel e Ghajar (2012, p. 7).
Para facilitar o entendimento deste conceito, imagine o sistema a seguir, em que há 
a entrada de 5 kJ de energia. Este sistema é formado por 1 kg de uma substância, a 
qual apresenta um calor específico c � �� �5 kJ/ kg. C . Isto pode ser lido da seguinte 
maneira: “para aumentar 1 °C na temperatura de 1 kg de substância, é necessário 
fornecer 5 kJ de energia a ela”.
5 kJ
m = 1 kg
∆T = 1 °C
Calor especí�co = 5 kJ/kg.°C 
Figura 3 - Efeito do calor específico na variação de temperatura de uma substância
Fonte: adaptada de Çengel e Ghajar (2012). 
É importante mencionar que o calor específico é uma propriedade da matéria que 
pode variar de acordo com o seu estado físico e suas condições de temperatura e 
pressão. Ainda, é comum nos referirmos a dois tipos de calor específico: ao volume 
constante ( cv ) ou à pressão constante ( cp ), sendo o segundo sempre maior que o 
primeiro. Para gases ideais, o calor específico depende apenas da temperatura, e a 
seguinte equação é válida, em que R é a constante dos gases ideais, 8 31, J mol.K� � :
c c Rp V� �
Para substâncias incompressíveis (sólidos e líquidos), pode-se assumir que ambos os 
calores específicos são iguais e, por simplicidade, serão representados pela letra “c”. 
Além disso, os calores específicos de substâncias incompressíveis dependem apenas 
da temperatura. Assim, quando desejarmos avaliar a energia que deve ser fornecida 
para variar a temperatura de sólidos e líquidos, sem que haja mudança de fase, po-
demos utilizar a seguinte equação:
Q m c T m c T T� � � �� �. . . . 2 1
262 Introdução à Transferência de Calor
Em que c é o calor específico médio entre as temperaturas T2 e T1 (por isso, frequen-
temente também pode ser chamado de cméd ), m é a massa da substância e Q é a 
quantidade de calor.
Em geral, trabalharemos com a unidade do calor específico no SI: kJ/(kg.K). Contudo, 
repare que esta unidade é idêntica a kJ/(kg.°C), uma vez que ΔT(°C) = ΔT(K), ou seja, 
uma variação de 1 °C equivale a uma variação de 1 K. Outras unidades comuns são 
cal/(g.°C) e Btu/(lbm.°F).
Na equação anterior, note que o termo Q tem dimensão de energia (uma possível 
unidade seria o J, por exemplo). No estudo dos fenômenos de transporte, frequente-
mente são usados os termos taxa e fluxo. A “taxa de transferência de calor” é frequen-
temente denotada por Q e tem dimensões de energia por tempo (uma unidade é o 
W, por exemplo). O “fluxo de calor”, por sua vez, tem uma definição um pouco menos 
intuitiva: é a taxa de transferência de calor por unidade de área, sendo denotada por 
q . Este conceito será mais bem explorado e ilustrado nos próximos tópicos.



Q Q
t
q Q
A
�
�
�|
Além disso, é importante definir também o chamado calor latente que, de forma 
simplificada, é a energia necessária para que ocorra uma mudança de fase. Para 
substâncias puras, a mudança de fase ocorre a temperaturas constantes e pode-se 
usar a equação:
Q m L= .
Em que L é o calor latente referente à mudança de fase em questão, dado em dimen-
sões de energia por unidade de massa.
Definidos estes conceitos, lembre-se de que a lei de conservação da energia deve perma-
necer válida, ou seja, podemos fazer balanços de energia seguindo uma lógica semelhante 
ao que fizemos nas Unidades 1 e 5, analisando as entradas, saídas, acúmulos e gerações 
de energia que acontecem no sistema. Dito isso, nossa abordagem será mais focada nos 
mecanismos de transferência de calor: condução, convecção e radiação.
263UNIDADE 7
Considere as seguintes situações: ao colocar a 
ponta de uma faca de metal no fogo, a extremida-
de oposta também ficará quente após certo tempo; 
ao ligar o aquecedor em uma casa durante um dia 
frio, o lado interno da parede fica mais quente 
do que o lado externo, apesar de a parede toda 
esquentar. Ambos os casos são exemplos de con-
dução de calor, em que as partículas com maior 
temperatura (maior energia) de uma substância 
transferem energia para as partículas vizinhas 
com menor temperatura (menos energia).
Condução 
264 Introdução à Transferência de Calor
Condução Unidimensional 
 em Regime Permanente
Os exemplos anteriores ilustram a transferência de calor por condução em situa-
ções comuns do cotidiano. Em uma perspectiva de engenharia, elas podem tomar 
escalas consideráveis, como a perda de calor pelas paredes de um forno industrial 
ou o perfil de temperaturas nas paredes de um equipamento. É importante observar 
que a condução acontece em todos os estados da matéria – em sólidos, por meio das 
vibrações das moléculas e dos elétrons livres entre elas; em líquidos e gases, por meio 
das colisões e difusões dos movimentos aleatórios das moléculas.
Experimentalmente, observa-se que a condução de calor depende de quatro as-
pectos: a diferença de temperatura, a substância, a geometria e a espessura do sistema. 
A relação entre estas grandezas foi estudada e estabelecida pela primeira vez por J. 
Fourier (1768-1830), matemático e físico francês que desenvolveu a equação que 
ficou denominada como Lei de Fourier da Condução Térmica:
Q k A dT
dxcond
� � . .
Em que “k” é a chamada condutividade térmica, característica do material, que re-
presenta a capacidade do material de conduzir calor. Por exemplo, em tempera-
tura ambiente, a água apresenta k W m Kágua = 0 607, ( . ) , enquanto o ferro tem 
k W m Kferro = 80 2, ( . ) . Estes números condizem o que somos capazes de observar 
experimentalmente: o ferro é um condutor de calor muito melhor do que a água. Mais 
valores de condutividade térmica estão apresentados na tabela a seguir:
Tabela 1 – Condutividade térmica de alguns materiais em temperatura ambiente
Material k W mK. Material k 
W
mK. Material k 
W
mK.
Diamante 2300 Ferro 80,2 Pele humana 0,37
Prata 429 Mercúrio 8,54 Madeira 0,17
Cobre 401 Vidro 0,78 Fibra de vidro 0,043
Ouro 317 Tijolo 0,72 Ar 0,026
Alumínio 237 Água 0,607 Uretano 0,026
Fonte: Çengel e Ghajar (2012, p. 20).
265UNIDADE 7
A equação anterior expressa a condução de calor na forma de taxa, em que a área A 
é sempre normal à direção da transferência de calor. Para o fluxo, como definimos 
anteriormente, ela pode ser escrita como:
q k dT
dxcond
� � .
Volte à Tabela 2 da Unidade 1 e observe a semelhança entre os fenômenos da trans-
ferência de momento e a transferência de calor. O gradiente de temperaturas é a 
força motriz que causa o fenômeno, e a condutividade térmica é onde o fenômeno 
é resistido pelas características do material. 
Para melhor ilustrar a Lei de Fourier, vamos para um exemplo!
Considere a parede de um forno industrial feita em tijolo, com 0,20 m de espessura. 
O lado interno está a 1150 °C e o lado externo a 900 °C. Sabendo que as dimensões 
da parede são 1,5 m (comprimento) por 1,0 m (altura), determine a taxa de calor 
perdida através desta parede.
Solução:
Considerando que o sistema em questão opera em regime permanente, que a pa-
rede é perfeitamente plana e de condutividade térmica constante, e que a temperatura 
varia só ao longo da sua espessura (ou seja, a transferência de calor é unidimensional; 
as temperaturas não variam ao longo da largura e da altura), podemos usar a Lei de 
Fourier da condução:
Q k A dT
dxcond
� � . .
Quando trabalhamos com a Lei de Newton da Viscosidade, para simplificar a solução 
do problema, assumimos que o diagrama de velocidades era linear com a espessura 
do escoamento. Aqui, as condições de estado estacionário nos permitem fazer uma 
simplificação análoga, admitindoo diagrama de temperatura linear com a espessura 
da parede (como esquematizado na Figura 4):
1 EXEMPLO
266 Introdução à Transferência de Calor
cond,xQ�
T
T(x)
T2
x
∆x
T1
Figura 4 - Representação esquemática da condução de calor unidimensional em regime permanente
Fonte: adaptada de Incropera e Dewitt (2008).
Com isso, podemos escrever a Lei de Fourier na forma:
Q k A T
xcond
� �
�
�
. .
Da Tabela 1, temos que k W m Ktijolo = 0 72, ( . ). Como a parede é perfeitamente plana, 
podemos calcular a área simplesmente como a área de um retângulo:
A m m m� � � � � �1 5 1 0 1 5 2, . , ,
O problema pode ser esquematizado da seguinte forma:
cond,xQ�
x
L
cond,xQ�
Área da parede, A
H = 1,0 m
W = 1,5 m
k = 0,72 W /(m.K)
x
L = 0,20 m
T1 = 1150 K T2 = 900 K
Figura 5 - Representação esquemática do problema de condução de calor unidimensional em parede plana
Fonte: adaptada de Incropera e Dewitt (2008).
267UNIDADE 7
Então, basta substituir os valores para determinar a taxa de transferência de calor 
pela parede:


Q W
m K
m C C
m
Q
cond
con
�
�
�
�
�
�
� � � � � ��
�
�
�
�
�0 72 1 5
1150 900
0 20
2
,
.
. , .
,
dd W�1350
Se quiséssemos conhecer o fluxo de calor, bastaria fazer:


q k T
x
Q
A
W
m
W
mcond
cond� �
�
�
� � �.
,
1350
1 5
9002 2
Em alguns livros, o uso do sinal negativo na equação às vezes é ocultado, uma vez 
que a função dele é meramente indicar o sentido da transferência de calor (sai do 
ponto de temperatura mais alta para o ponto de temperatura mais baixa). Aqui, se a 
taxa de transferência de calor for positiva significa que a direção da seta representada 
no esquema da Figura 5 aponta corretamente a direção do fenômeno (o calor vai da 
face interna da parede para a face externa). Esta observação também é válida para as 
demais equações dos fenômenos de transporte, como a Lei de Newton da Viscosidade 
que você estudou anteriormente.
Além da condutividade térmica, existe outra característica dos materiais que apa-
rece frequentemente no estudo da transferência de calor. É a chamada difusividade 
térmica (a ), definida pela equação:
α
ρ
= =
Condu o de Calor
Armazenamento de Calor
çã k
cp.
No SI, a difusividade térmica é expressa em m²/s. O produto r.cp representa a capa-
cidade de armazenamento de calor por unidade de volume do material. Dessa forma, 
a difusividade térmica pode ser entendida como a razão entre o calor conduzido e o 
calor armazenado por um material – quanto maior, mais o calor se propaga no meio; 
quanto menor, mais o calor é absorvido e armazenado pelo material.
Resistência Térmica
As analogias entre os fenômenos de transporte vão além das questões de momento, 
calor e massa. Em algum momento de suas aulas de física, você provavelmente estudou 
sobre sistemas de resistências elétricas, em que uma diferença de potencial (V V2 1− ) 
promovia o surgimento de uma corrente elétrica (i) através de uma resistência (Re), 
como no esquema a seguir:
268 Introdução à Transferência de Calor
i
Re
V1 V2
A relação entre as grandezas é dada por:
i V V
Re
�
�1 2
Agora, veja a Lei de Fourier da Condução como utilizamos no exemplo do tópico 
anterior:
Q k A T
x
k A T T
xcond
� �
�
�
�
�
�
. . . . 1 2
Podemos combinar a condutividade térmica do material e as suas características 
geométricas na forma de uma chamada resistência térmica (R):
R x
k Acond
�
�
.
Com isso, a Lei de Fourier fica exatamente semelhante à equação para cálculo da 
corrente elétrica:
Q T T
Rcond cond
�
�1 2
Dessa forma, podemos representar o fenômeno da transferência de calor por con-
dução com o seguinte esquema:
T1 T2
condQ�
condR
Não somente a representação pode ser feita de forma análoga, mas também os proble-
mas envolvendo sistemas de resistências. Por exemplo, um problema de transferência 
de calor envolvendo múltiplas camadas de materiais diferentes pode ser esquemati-
zado como um sistema de resistências em série:
269UNIDADE 7
T1
T2
T3
T4
∆xA ∆xB ∆xC
kA kB kC
A B C
T1 T2 T3 T4qx
∆x A ∆xB ∆xC
x
k k kA B C.A .A .A
Figura 6 - Circuito térmico para uma parede multicamadas
Fonte: adaptada de Incropera e Dewitt (2008). 
A taxa de transferência de calor da parede composta pode ser determinada avaliando a taxa 
em cada parede. Assim, os circuitos térmicos podem ser calculados da mesma forma como 
os circuitos elétricos. Para a condução em três paredes em série, como a Figura 6, temos:
Q T T
R
T T
R
T T
Rcond cond cond
�
�
�
�
�
�1 2
1
2 3
2
3 4
3, , ,
Além disso, bem como é feito com circuitos elétricos, é conveniente trabalhar com 
um coeficiente global de transferência de calor (U), análogo ao uso de uma resistência 
equivalente para os circuitos elétricos:
U A
R
Q U A T T
Rtotal total
. | . .� � � �
�1

Em que U tem unidades como 
W
m K2. (no SI). Nesta unidade, nosso foco estará 
mais centrado na resistência total (Rtotal ), mas o coeficiente global de transferência 
de calor será importante na unidade a seguir.
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
270 Introdução à Transferência de Calor
Definido o conceito de resistência térmica, é fácil compreender o conceito de isolante 
térmico: materiais que apresentam elevada resistência térmica, ou seja, são péssimos 
condutores (sua condutividade térmica é extremamente baixa). O isolamento térmico 
de uma tubulação, por exemplo, é feito revestindo o conduto com um material de 
baixa condutividade.
Uma janela de painel duplo é composta de duas placas de vidro separadas por um 
espaço de ar estagnado. Este tipo de janelas é popular em climas mais frios, porque 
a camada de ar entre os vidros garante uma resistência térmica maior, de modo a 
evitar a perda de calor do interior do ambiente para o exterior. Considere o esquema 
a seguir, sendo um painel de 1,0 de altura por 1,5 m de largura. Se T1 = 20 °C e T4 = 
-10 °C, qual a taxa de transferência de calor por meio desta janela de painel duplo? 
Determine também as temperaturas T2 e T3.
R2R1 R3
T3
T2T1
T4
Ar
VidroVidro
10 °C
20 °C
10 mm 5 mm5 mm
Solução:
Estamos considerando que o sistema está em regime permanente, de modo que 
as temperaturas permaneçam constantes nos valores especificados. Além disso, assu-
me-se que a transferência de calor é unidimensional e que condutividades térmicas 
do ar e do vidro são constantes.
2 EXEMPLO
271UNIDADE 7
Da Tabela 1, temos: k W m Kvidro = 0 78, ( . ) e k W m Kar = 0 026, ( . ) .
A área do painel é facilmente calculada:
A m m m= =( , ) . ( , ) ,1 5 1 0 1 5 2
As resistências R1, R2 e R3 podem ser calculadas individualmente:
R x
k A
m
W
m K m
K
Wvidro
1
1
3
2
35 10
0 78 1 5
4 27 10 4 27 10� � �
� �
� �
�
�
.
.
,
.
. ,
, . , .
��
�
�
�
�
�
�
� �
� �
3
2
2
3
2
310 10
0 026 1 5
256 41 10
C
W
R x
k A
m
W
m K m
K
War .
.
,
.
. ,
, . 2256 41 10
5 10
0 78 1 5
4 27
3
3
3
3
2
, .
.
.
,
.
. ,
,
�
�
�
�
�
�
� �
�
C
W
R x
k A
m
W
m K mvidro
.. , .10 4 27 103 3� �� �K
W
C
W
O sistema pode ser entendido como uma parede multicamadas com resistências em 
série. Dessa forma, a resistência total pode ser calculada como a soma das resistências:
R R R R C
Wtotal
� � � �
��
1 2 3
3264 95 10, .
Com isso, a taxa de transferência de calor pode ser determinada:
Q T
R
C C
C
W
W
total
�
�
�
� � � �
�
��
20 10
264 95 10
113 233
( )
, .
,
Para determinar as temperaturas T2 e T3, basta utilizar a taxa de transferência de calor 
individualmente em cada resistência. Assim, para a primeira placa de vidro:
 Q T T
R
T T Q R
T C W C
W
�
�
� � �
� � �
��
�
�
�
�
�
�
1 2
1
2 1 1
2
320 113 23 4 27 10
.
( , ) . , . �� �19 52, C
Para a camada de ar estagnado:
 Q T T
R
T T Q R
T C W C
W
�
�
� � �
� � �
�� �
2 3
2
3 2 2
3
319 52 113 23 256 41 10
.
, ( , ) . , .
��
�
�
�
� � � �9 51, C
272 Introdução à Transferência de Calor
Por meio dos cálculos, foi possível observar que a camada de ar atua como isolante, 
poisapresenta uma resistência térmica relativamente elevada. Se ela não estivesse 
presente, a taxa de transferência de calor seria consideravelmente maior (pois a 
resistência seria menor). Caso uma resistência ainda maior fosse necessária, seria 
possível até mesmo utilizar janelas de painel triplo. Note que tanto a perda de calor 
no inverno quanto o ganho de calor no verão são reduzidos, ou seja, por meio do 
isolamento das janelas, os gastos com aquecedores e aparelhos de ar condicionado 
podem ser reduzidos, garantindo uma melhor eficiência energética do ambiente.
Conhecidos os problemas de paredes multicamadas em série, é natural imaginar 
que uma ideia parecida também seja aplicável a multicamadas em paralelo, como 
representado na figura a seguir:
A C D
B
kC
DB C
T2T1
x
kA kD
kB
∆x ∆x ∆x ∆xA =
Figura 7 - Parede composta série-paralela
Fonte: adaptada de Incropera e Dewitt (2008). 
De fato, tal abordagem existe, mas passa a se tratar de um sistema com escoamento 
de calor multidimensional (o que foge do escopo deste material). Dito isso, a hipótese 
de condições unidimensionais é frequentemente razoável; conduto, dois diferentes 
circuitos térmicos podem ser usados. No primeiro, considera-se que os perfis de 
temperatura em B e C sejam iguais, ou seja, as superfícies normais à direção x são 
isotérmicas. Assim, o seguinte circuito térmico pode ser representado:
273UNIDADE 7
T2T1
∆xA
kA .A
∆xD
kD .A
∆xB
kB . A 2
∆xC
k.C . A 2
Qx
.
Figura 8 - Primeiro circuito térmico de uma parede composta série-paralela
Fonte: adaptada de Incropera e Dewitt (2008).
No segundo, divide-se a parede horizontalmente de modo a formar duas (ou mais) 
séries de resistências em paralelo. Desta forma, faz-se a suposição de que as superfícies 
paralelas à direção x sejam adiabáticas (ou seja, não trocam calor na direção vertical, 
mantendo o escoamento unidimensional). A representação deste circuito é a seguinte:
T2T1
∆xB
kB . A 2
Qx
.
∆xA
kA . A 2
∆xD
kD . A 2
∆xC
kC . A 2
∆xA
kA . A 2
∆xD
kD . A 2
Figura 9 - Segundo circuito térmico de uma parede composta série-paralela
Fonte: adaptada de Incropera e Dewitt (2008).
Os valores obtidos das resistências totais Rtotal dos circuitos das Figuras 8 e 9 são 
distintos, sendo que ambos são aproximações. O valor exato está, na verdade, entre 
os valores previstos pelos dois casos. Quanto maior for o efeito multidimensional 
(ou seja, quanto maior a diferença entre kC e kB ), maior será a diferença entre os 
“Rtotal ” estimados.
274 Introdução à Transferência de Calor
O segundo dos três mecanismos de transferência 
de calor que iremos estudar é a chamada con-
vecção, que aborda o fenômeno de troca térmica 
por meio do movimento de fluidos com uma su-
perfície sólida. Evidentemente, o escoamento de 
fluidos foi o tema central da maioria das unidades 
anteriores e por isso estará intrinsecamente pre-
sente neste tópico.
A primeira observação que se faz com relação 
ao movimento de fluido é que o seu movimen-
to pode ser natural (o fluido mais quente sobe e 
o mais frio desce por diferença de densidades) 
ou forçado (mediante o uso de uma bomba ou 
ventilador, por exemplo). Assim, classifica-se a 
convecção como natural (ou livre) ou forçada. 
Além disso, ela também é classificada como exter-
na (escoamento sobre uma superfície) ou interna 
(escoamento dentro de um conduto). Ambas as 
classificações são justamente semelhantes às que 
foram usadas para descrever o escoamento de 
fluidos anteriormente.
Convecção 
275UNIDADE 7
Lei de Newton do Resfriamento
Em termos matemáticos, a descrição do fenômeno de convecção apresenta certo 
grau de complexidade, pois envolve o movimento do fluido e a própria condução 
de calor entre as moléculas. Apesar disso, verifica-se experimentalmente que a taxa 
de transferência de calor por convecção pode ser muito bem representada pela sua 
equação mais fundamental, a chamada Lei de Newton do Resfriamento:

Q h A T T q h T Tconv s conv s� �� � � �� �� �. . | .
Em que h é denominado “coeficiente de transferência de calor por convecção” (no SI: 
W
m K2. ), A é a área de transferência de calor, Ts é a temperatura da superfície sólida 
e T∞ é a temperatura do fluido longe da superfície (em outras palavras, é a tempera-
tura do fluido sem a interferência da troca térmica com a superfície). Vejamos um 
exemplo para ilustrar o uso desta equação.
Um fio elétrico com 1,5 m de comprimento e 3 mm de diâmetro está em uma sala 
que é mantida a 15 °C. A passagem de corrente elétrica por esse fio faz com que ele 
esquente até uma temperatura de 135 °C na superfície, o que equivale a uma potência 
de 75 W. Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a 
superfície do fio e o ar na sala.
Solução:
Considerando condições de regime permanente e propriedades constantes, po-
demos fazer uma esquematização simples do problema:
T∞ = 15°C
i
135 °C
3 mm
1,5 m
Repare que a potência de 75 W pode ser entendida como uma geração de energia neste 
sistema. Nas condições de regime permanente, esta deve ser a taxa de transferência 
de energia por convecção que sai do fio para a sala (do contrário, as temperaturas 
não estariam constantes/estacionárias).
3 EXEMPLO
276 Introdução à Transferência de Calor
A área superficial do fio é facilmente calculada como a área de um cilindro da 
seguinte forma:
A r L
A m m m
�
� �
�
�
�
�
� �
�
2
2 0 003
2
1 5 1 414 10 2 2
. . .
. .
,
. , , .
p
p
Para determinar o coeficiente, basta utilizar a Lei de Newton do Resfriamento:


Q h A T T h Q
A T T
h W
m
conv s
conv
s
� �� � � �
�� �
�
�
�
�
�
. .
.
, . .
75
1 414 10 1352 2 CC C
h W
m C
� �� �
�
�
15
44 20 2,
.
Camada Limite Térmica
Evidentemente, a Lei de Newton do Resfriamento é matematicamente bastante 
simples. Contudo, a verdadeira complexidade dos problemas de convecção está 
em determinar o coeficiente h, que depende de características do escoamento, das 
propriedades do fluido, da geometria e da rugosidade da superfície sólida. Por ser 
dependente de tantas variáveis, diversos números adimensionais surgem para ten-
tar descrever o fenômeno da convecção – o primeiro deles que mencionaremos é o 
número de Nusselt (Nu):
Nu h L
k
C=
.
Em que k é a condutividade térmica do fluido e LC é o comprimento característico. 
O significado físico do número de Nusselt pode ser mais bem entendido conside-
rando o esquema a seguir, em que uma camada de fluido troca calor por convecção 
se estiver em movimento ou por condução se estiver imóvel.
277UNIDADE 7
T2
T1
Q
.
∆T = T2 - T1
Camada 
de �uido L
Figura 10 - Transferência de calor através de uma camada de fluido
Fonte: Çengel e Ghajar (2012, p. 377). 
Da Lei de Fourier da Condução e da Lei de Resfriamento de Newton, temos as 
equações:
 Q k A T
L
Q h A Tcond conv�
�
� �. . | . .
Dividindo o calor por convecção pelo calor por condução:


Q
Q
h A T
k A T L
h L
k
Nuconv
cond
�
�
�
� �
. .
. .
.
Isto é, o número de Nusselt indica o aumento da transferência de calor como re-
sultado da convecção frente à transferência de calor obtida por condução. Quanto 
maior for o número de Nusselt, maior o calor que o fluido trocará com o ambiente 
por convecção. É por isso que utilizamos a convecção forçada em nosso cotidiano: 
usamos ventiladores para maior resfriamento do ambiente ou mexemos e sopramos 
caldos, sopas e bebidas para resfriá-las, por exemplo. A convecção natural também 
atua com o mesmo sentido: a sensação térmica em um dia frio com ventos fortes faz 
parecer muito mais frio do que realmente está.
O segundo número adimensional que estaremos interessados é o chamado número 
de Prandtl, definido como:
Pr =
difusividade molecular de momento
difusividade molecular t rmicaé k c
c
k
p
p= = =
ν
α
µ
ρ
ρ
µ
.
.
Como sua definição sugere, o número de Prandtl compara a difusão de momento com a 
difusão térmica. Isto fica mais claro quando nos lembramos de um conceito estudado na 
unidade anterior: a camadalimite hidrodinâmica, em que vimos que quando um escoa-
278 Introdução à Transferência de Calor
mento livre passa a escoar sobre uma superfície sólida, começa-se a desenvolver um perfil 
de velocidades devido aos efeitos viscosos decorrentes do princípio do não deslizamento. 
De maneira análoga, quando um fluido a uma dada temperatura passa a escoar sobre uma 
superfície com temperatura diferente, observa-se a formação de um perfil de temperaturas 
e, com isto, a chamada camada limite térmica.
Observe o esquema a seguir, que mostra a formação da camada limite térmica em 
um escoamento inicialmente uniforme a T∞ , que passa a escoar sobre uma superfí-
cie à temperatura Ts . A espessura da camada limite térmica (dt ) é definida como a 
distância da superfície em que a diferença de temperatura T T T Ts s� � ��0 99, ( ) . 
Em outras palavras, a camada limite térmica é formada pelos pontos em que a tem-
peratura do escoamento é afetada pela temperatura da placa.
T∞T∞
T∞
Tsx
δ1
Escoamento livre
Camada
limite
térmica
Ts + 0,99(T∞ Ts )
Figura 11 - Camada limite térmica sobre uma placa plana (T Ts� � )
Fonte: Çengel e Ghajar (2012, p. 383). 
Como você pode imaginar, a velocidade do fluido tem forte influência em como esta 
camada limite térmica irá se desenvolver e, por consequência, na transferência de 
calor por convecção.
Convecção em Circuitos Térmicos
Anteriormente, fizemos o desenvolvimento do conceito de circuitos e resistências 
térmicas para a condução do calor. De forma bastante simples, isso pode ser feito 
para a convecção, baseando-se na Lei de Newton do Resfriamento:


Q h A T h A T T
R
h A
Q T T
R
conv s
conv conv
s
conv
� � � �� �
� � �
�
�
�
. . . .
.
1
Com isso, problemas envolvendo paredes planas multicamadas com convecção nas 
superfícies podem ser resolvidos como circuitos térmicos com relativa facilidade 
(desde que sejam conhecidos os coeficientes de transferência de calor por convecção). 
279UNIDADE 7
Quando tratamos apenas da condução, resolvemos o problema da perda de calor 
através de uma janela de painel duplo, em que, na verdade, aproximamos a tempe-
ratura das superfícies para as temperaturas dos ambientes (20 °C e -10 °C, interna 
e externa). Vejamos o problema agora para a janela de painel único, onde vamos 
poder determinar corretamente as temperaturas das superfícies.
Uma janela de painel único tem 1,0 m de altura por 1,5 m de largura e 10 mm de es-
pessura. Em um dia frio, o ambiente interno desta janela é mantido à temperatura de 
20 °C, enquanto o ambiente externo está a uma temperatura de -10 °C. Sabendo que os 
coeficientes de convecção interno e externo são hi = 12 W/(m².K) e he = 36 W/(m².K), 
determine a taxa de transferência de calor e a temperatura das superfícies interna e 
externa da janela.
Solução:
Novamente, estamos considerando que o sistema está em regime permanente, de 
modo que as temperaturas permaneçam constantes nos valores especificados. Além 
disso, assume-se que a transferência de calor é unidimensional e que a condutividade 
térmica do vidro é constante. O problema pode ser esquematizado da seguinte forma:
Vidro
10 °C
20 °C
Te
Ti
Ti Te
T∞1 T∞2
RvidroRi Re
∆x = 10 mm
hi = 12 m2 . K 
W he = 36 m2 . K 
W
4 EXEMPLO
280 Introdução à Transferência de Calor
O primeiro passo é avaliar a área da janela:
A m m m= =1 0 1 5 1 5 2, . , ,
Sabendo que k W m Kvidro = 0 78, ( . ) (veja na Tabela 1), as resistências térmicas são:
R R
h A W
m K
m
C
W
R
i conv i
i
vidro
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
.
.
. ,
, .
1 1
12 1 5
5 56 10
2
2
2
xx
k A
m
W
m K m
C
W
R R
vidro
e conv e
.
.
,
.
. ,
, .
,
�
� �
�
�
�
�
�10 10
0 78 1 5
8 55 10
3
2
3
�� �
�
�
�
�
�
�
�
��1 1
36 1 5
1 85 10
2
2
2
h A W
m K
m
C
We .
.
. ,
, .
Como estão em série, a resistência total é dada pela soma das resistências, logo:
R R R R C
Wtotal i vidro e
� � � �
��8 265 10 2, .
Agora, basta substituir na equação para a taxa de transferência de calor para a resis-
tência total do circuito:
Q T
R
T T
R
C
C Wtotal total
�
�
�
�
�
� � �
�
�� � �
1 2
2
20 10
8 265 10
362 98[ ( )]
, .
, WW
Em posse disto, é fácil determinar as temperaturas nas superfícies interna e externa. 
Para a primeira resistência:
 Q T T
R
T T Q R
T C W C
W
i
i
i i
i
�
�
� � �
� � �
�
� �
�
�
�
1
1
220 362 98 5 56 10 0 18
.
, . , . , ��C
Para a segunda resistência:
 Q T T
R
T T Q R
T C W
i e
vidro
e i vidro
e
�
�
� � �
� � � � �
.
, , . , .0 18 362 98 8 55 10 3 �� � � �C
W
C3 29,
281UNIDADE 7
Veja como estes resultados diferem dos observados no exemplo para o painel duplo. 
Evidentemente, no primeiro exemplo, os devidos efeitos de convecção não foram 
considerados, contudo, a diferença observada é decorrente principalmente da ausência 
da camada de ar estagnado, que atua como isolante. Para a janela de painel único, 
apesar de a temperatura da sala ser de 20 °C, a superfície interna está a -0,18 °C, de 
modo que, se a umidade do ambiente for suficiente, poderá haver a condensação 
sobre a superfície interna do vidro, deixando-o embaçado.
Uma última observação deve ser feita quanto às resistências térmicas e uso de 
isolantes térmicos. Imagine que você está fazendo o isolamento de uma tubulação 
cilíndrica. Repare que, quanto mais espessa for a camada de isolante em torno da 
tubulação, maior será a área superficial exposta aos efeitos de convecção. Isto sugere 
a existência do chamado raio crítico de isolamento, definido para um cilindro como:
r k
hcr cilindro
isolamento
, =
Considere o esquema e o diagrama a seguir:
Q
.
Q
.
Q
.
Q
.
max
0 r1 r2rcr = k/h
r2
r1 h
k
sem
isolamento
Figura 12 - Efeito do isolamento em tubos cilíndricos
Fonte: Çengel e Ghajar (2012, p. 161). 
Efeito do isolamento em 
tubos cilíndricos
282 Introdução à Transferência de Calor
Como mostra o gráfico, se r r rcr1 2< < , a taxa de transferência de calor aumenta 
com a adição de isolamento, atingindo um máximo em r rcr2 = , e passa a diminuir 
para r rcr2 > . Isto é, até uma dada espessura, usar isolamento estará aumentando a 
perda de calor em vez de mitigá-la, pois a convecção será o efeito dominante. Dito 
isso, a experiência demonstra, em geral, que o raio crítico será de, no máximo, 1 cm. 
Portanto, podemos isolar a maioria das tubulações sem grandes preocupações com a 
possibilidade de estarmos, na verdade, aumentando a transferência de calor. A título 
de curiosidade, o raio crítico de isolamento para esferas é dado por:
r k
hcr esfera
isolamento
,
.
=
2
Talvez você já tenha reparado que alguns equipamentos apresentam superfícies 
estendidas feitas de materiais altamente condutores (como o alumínio), tais como 
radiadores de carro e componentes de computadores. Estas superfícies são cha-
madas aletas e tem como objetivo aumentar a transferência de calor por meio do 
aumento da superfície exposta à troca térmica (principalmente por convecção). Esta 
estratégia é observada até mesmo na natureza – por exemplo, as placas ósseas 
presentes nas costas dos estegossauros serviam como radiadores para resfriamento 
do sangue que fluía através delas.
Fonte: adaptado de Çengel e Ghajar (2012). 
283UNIDADE 7
Finalmente, falta apenas tratarmos sobre o terceiro 
mecanismo de transferência de calor: a radiação. 
Este mecanismo é particularmente interessante, 
pois a energia é transferida na forma de ondas 
eletromagnéticas resultantes das mudanças nos 
elétrons de átomos ou moléculas. Portanto, ela 
não depende de um meio para se propagar – ela 
é, afinal, a forma como a energia do Sol chega até 
a Terra, após percorrer distâncias planetárias em 
condições de vácuo.
Repare que a radiação térmica (ou seja, emiti-
da pela temperatura dos corpos) é diferente das 
outras formas de radiação eletromagnética (como 
raios X, micro-ondas e ondas de rádio). Todo só-
lido, líquido ou gás que esteja a uma temperatura 
superior ao zero absoluto (0 K) emite, absorve ou 
Radiação 
284 Introduçãoà Transferência de Calor
transmite radiação. A equação que determina a taxa máxima de radiação que pode ser 
emitida por uma superfície à temperatura Ts é a chamada Lei de Stefan-Boltzmann 
da radiação térmica:
Q A Trad s,max . .= s
4
Em que s � � �5 670 10 8 2 4, ( . )W m K é a constante de Stefan-Boltzmann e Ts é a 
temperatura termodinâmica (ou seja, em Kelvin ou Rankine) da superfície.
Na prática, esta radiação máxima é emitida somente por uma superfície idealiza-
da chamada de corpo negro. Para superfícies reais, utiliza-se um parâmetro 
e e( )0 1≤ ≤ que é chamado de emissividade da superfície. Assim:
Q A Trad s= ε σ. . .
4
Quando estivermos tratando de uma pequena superfície à temperatura Ts comple-
tamente envolvida por uma vizinhança de superfície isotérmica à temperatura Tviz , 
e separadas por um gás que não influencia na radiação (como o ar), a taxa líquida de 
transferência de calor por radiação entre essas duas superfícies pode ser determinada 
por:
Q A T Trad s viz� �ε σ. . . ( )
4 4
Na Tabela 2, são apresentadas as emissividades típicas para algumas superfícies.
Tabela 2 - Emissividade de alguns materiais a 300 K 
Material ε Material ε Material ε
Alumínio
em folhas
0,07 Pintura preta 0,98 Pele humana 0,95
Alumínio 
anodizado 0,82 Pintura branca 0,90 Madeira 0,82-0,92
Cobre polido 0,03 Papel branco 0,92-0,97 Terra 0,93-0,96
Ouro polido 0,03 Pavimento asfáltico 0,85-0,93 Água 0,96
Prata polida 0,02 Tijolo vermelho 0,93-0,96 Vegetação 0,92-0,96
Aço inoxidável 
polido 0,17
Fonte: Çengel e Ghajar (2012, p. 28). 
285UNIDADE 7
Imagine que em um dia frio de inverno as superfícies interiores das paredes, do piso e 
do teto do seu quarto estejam a uma temperatura de 12 °C. De forma semelhante, em 
um dia quente de verão, elas estão à temperatura de 28 °C. Apesar destas temperaturas, 
em ambos os casos, o interior da sala é mantida na temperatura de 20 °C. Considerando 
que a superfície exposta do seu corpo seja de 1,5 m², com uma temperatura de 32 °C, 
determine a taxa de transferência de calor por radiação entre você e as superfícies do 
seu quarto para ambas as situações.
Solução:
Considerando apenas a troca térmica por radiação, que todas as temperaturas 
estão uniformes como descritas e que o corpo se encontra totalmente cercado pelas 
superfícies interiores do quarto, basta utilizar a equação da taxa líquida de transfe-
rência de calor por radiação, sendo que o corpo, por estar a uma temperatura maior 
(32 °C = 305,15 K), transfere energia para as paredes.
Assim, adotando uma emissividade para a pele humana de 0,95 (conforme Tabela 
2), para o dia frio:
Q A T Trad s viz� �ε σ. . . ( )
4 4
Q W
m K
mrad frio, , . ,
.
. , . ( , )� ��
�
� �
�
� � � ��0 95 5 670 10 1 5 32 273 158 2 4 2 44 4 412 273 15
166 39
� ���
�
�
�
( , )
,,
K
Q Wrad frio
5 EXEMPLO
286 Introdução à Transferência de Calor
Para o dia quente:
Q A T Trad s viz� �ε σ. . . ( )
4 4
Q W
m K
mrad quente, , . ,
.
. , . ( ,� ��
�
� �
�
� � � ��0 95 5 670 10 1 5 32 273 18 2 4 2 55 28 273 15
36 02
4 4 4
) ( , )
,,
� ���
�
�
�
K
Q Wrad quente
A diferença entre estas taxas de transferência demonstra justamente o motivo de 
sentirmos frio no inverno mesmo com a temperatura do ambiente controlada como 
a de um dia quente no verão: os efeitos de radiação fazem com que a superfície do 
nosso corpo perca mais calor para o ambiente em função da temperatura das super-
fícies internas do quarto.
Uma última observação importante deve ser feita quanto à radiação. Por conve-
niência, frequentemente se faz uso de um coeficiente combinado de transferência 
de calor (h), mesmo que de maneira implícita, que inclui tanto os efeitos da radiação 
quanto o da convecção – ou seja, ao utilizar este coeficiente combinado no cálculo 
da taxa de transferência de calor por convecção, os efeitos da radiação já estão con-
tabilizados. É relativamente razoável ignorar a radiação em problemas de convecção 
forçada (especialmente se a emissividade da superfície for baixa), mas em problemas 
de condução ou convecção natural, a radiação tem participação significativa.
Enfim, terminamos esta unidade sobre os fenômenos da transferência de calor! 
As analogias entre os fenômenos começaram a aparecer e ficarão ainda mais nítidas 
quando chegarmos em nossa nona e última unidade, em que estudaremos sobre o 
fenômeno da transferência de massa. Antes disso, iremos continuar na perspectiva 
da transferência de calor, estudando um pouco mais sobre equipamentos de extrema 
importância industrial: os trocadores de calor.
287
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. O telhado de uma casa apresenta dimensões 7,5 m x 10,0 m, com 0,30 m de espes-
sura, e consiste basicamente em uma placa plana de concreto (k = 0,8 W/m.K). Este 
telhado conta com um sistema de aquecimento elétrico que, ao longo de uma noite 
(período de 10 horas), é capaz de manter a temperatura da sua superfície interior 
em 18 °C, enquanto a superfície exterior é mantida em 6 °C. Determine a taxa de 
perda de calor através do telhado e o custo dessa perda (considere R$ 0,42/kWh).
Telhado de concreto
8 m
6 m
0,25 m
15 °C
4 °C
Telhado de concreto
10,0 m
7,5 m
0,30 m
18 °C
6 °C
Fonte: adaptada de Çengel e Ghajar (2012). 
2. Refaça o problema da janela de painel duplo, agora considerando devidamente 
os efeitos convectivos no interior e exterior. Considere que os painéis têm 1,0 m 
de altura por 1,5 m de largura e estão dispostos como esquematizado a seguir. 
Adote k W m Kvidro = 0 78, ( . ) e k W m Kar = 0 026, ( . ) .
10 °C
20 °C
TeTi
hi = 36 m2 . K 
W
T2T1
Ar
VidroVidro
10 mm 5 mm5 mm
T3 T
4
R2R1 R3
hi = 12 m2 . K 
W
ReRi
Fonte: adaptada de Çengel e Ghajar (2012). 
288
3. Considere a seguinte parede plana composta:
T2T1
T0
isolante
A B
q’’
LA
LB
= 60 mm
= 20 mm
kB
qB
= 120 W/(m.K)
= 0 W/m3
Água
T∞ = 25°C
h = 1000 W/(m2.K)
qA = 1,5 x 106W/m3
kA = 75 W/(m.K)
No material A, ocorre geração de calor uniforme ( q x=1 5 106 3, W m ) e sua 
superfície interna está perfeitamente isolada. A superfície B, que não apresenta 
geração de calor, é resfriada por uma corrente de água a 25 °C. Determine as 
temperaturas T0, T1 e T2. Considere uma área superficial unitária ( A m=1
2 ).
289
Transferência de Calor e Massa – Uma Abordagem Prática (4ª Edição)
Autor: Yunus A. Çengel e Afshin J. Ghajar
Editora: McGraw Hill
Sinopse: é uma das obras mais consagradas, tanto como livro-texto básico para 
estudantes de graduação em engenharia quanto como referência para enge-
nheiros que já atuam no mercado profissional. Faz uma abordagem extensa 
dos fenômenos de transferência de calor e massa, com riqueza de exemplos e 
contextualização histórica.
Comentário: é uma das principais referências globais sobre transferência de calor 
e massa, que você pode utilizar para se aprofundar no estudo da condução e 
convecção, bem como na analogia entre os fenômenos de transporte. Também 
conta com diversas tabelas e gráficos de propriedades para uma grande varie-
dade de componentes, com unidades no SI (na versão Brasileira).
LIVRO
290
ÇENGEL, Y. A.; GHAJAR, A. J. Transferência de Calor e Massa: uma abordagem prática. 4. ed. Porto Alegre: 
AMGH Editora, 2012. 
INCROPERA, F. P.; DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed. Rio de Janeiro: 
Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2008. 
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de 
Massa. 6. ed. São Paulo: Editora LTC – GEN (Grupo Editorial Nacional), 2017. 
291
1. Estamos considerando que o sistema permanece em regime permanente durante o período de 10 horas 
descrito, ao longo do qual suas propriedades são constantes e o escoamento de calor é unidimensional. 
Trata-se, portanto, de um problema de condução em que há geração de energia (no caso, devido ao sistema 
de aquecimento por eletricidade).
Para solucionar o problema, o primeiro passo é avaliar a área de trocado telhado:
A m m m= =7 5 10 0 75 0 2, . , ,
Com isso, como conhecemos também a condutividade térmica do telhado (k = 0,8 W/m.K), sua espessura (0,30 m) 
e a diferença de temperatura entre as superfícies interna e externa, pode-se calcular o calor perdido através do 
telhado pela Lei de Fourier da Condução Térmica:


Q k A T T
x
W
m K
m C
m
Q
i e�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �� �
�
. . ,
.
. , .
( )
,
0 8 75 0 18 6
0 30
24
2
000 2 4W kW� ,
Para calcular o custo, precisamos calcular a quantidade de energia em um período de 10 horas. Assim, temos:
Q Q t kW h
Q kWh
� � � � � � �
�
 . , .2 4 10
24
Logo, o custo correspondente a essa perda é de:
Custo = Quantidade de Energia . Custo Unit rio da Energia� � � � � �á
Custoo kWh kWh
Custo
� � � � �
�
24 0 42
10 08
. , /
,
R$
R$
292
2. Como o próprio esquema apresentado sugere, o problema pode ser resolvido por meio da determinação 
das resistências térmicas do sistema. Para isso, primeiro, determina-se a área de troca térmica de cada 
superfície do painel, dada por:
A m m m= =( , ) . ( , ) ,1 5 1 0 1 5 2
Em seguida, determinam-se as resistências, sendo Ri e Re resistências de convecção, enquanto R1, R2 e R3 são 
resistências de condução. Logo:
R x
k A
R
h A
R R
h A W
m K
m
cond conv
i conv i
i
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
.
|
.
.
.
. ,
,
1
1 1
12 1 52
22
2
1
1
3
2
5 56 10
5 10
0 78 1 5
4 27
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
, .
.
.
,
.
. ,
,
C
W
R x
k A
m
W
m K mvidro
.. , .
.
.
,
.
. ,
10 4 27 10
10 10
0 026 1 5
3 3
2
2
3
2
� �
�
�
�
�
�
�
� �
K
W
C
W
R x
k A
m
W
m K mar
�� �
�
�
�
�
� �
�
256 41 10 256 41 10
5 10
0 78
3 3
3
3
3
, . , .
.
.
,
K
W
C
W
R x
k A
m
W
mvidro .. . ,
, . , .
.
,
K m
K
W
C
W
R R
h A W
m
e conv e
e
� �
� �
�
� � �
� �
1 5
4 27 10 4 27 10
1 1
36
2
3 3
22
2
2
1 5
1 85 10
.
. ,
, .
K
m
C
W�
�
�
�
�
�
�
��
Como todas estas resistências estão em série, a resistência total é:
R R R R R R C
Wtotal i e
� � � � � �
��
1 2 3
3339 05 10, .
293
Logo, a taxa de transferência de calor pode ser determinada:


 

Q h A T T
Q q V q A L
Q
conv s
gerado A A A A
gerado
� �� �
� �
�
�. .
. . .
, .1 5 106 WW
m
m m W
Q Q qgerado conv gerado
3
2 31 6 10 9000�
�
�
�
�
� �
� �
�
. ( ) . ( . )
|   qq
Q h A T T q h T T
Q h A T T
conv
conv s conv s
conv



� �� � � �� �
� ��
� �
�
. . | .
. . 2 �� � � �
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�T
Q
h A
T
T W
W
m K
m
C T
conv
2
2
2
2
2
90000
1000 1
25 1

.
.
. ( )
115 �C
Conhecendo a taxa, pode-se calcular as temperaturas T1, T2, T3 e T4 fazendo a equação de cada uma das resis-
tências térmicas:
 Q T T
R
T T Q R
T C W C
W
i
i
i i�
�
� � �
� � �
��
�
�
�
�
� �
�
1
1
1
220 88 48 5 56 10
.
( , ) . , . 115 08
15 08 88 48 4 27 10
1 2
1
2 1 1
2
,
.
, ( , ) . , .
�
�
�
� � �
� � � �
C
Q T T
R
T T Q R
T C W
 
33
2 3
2
3 2 2
3
14 70
14 70 88 48
��
�
�
�
�
� � �
�
�
� � �
� � �
C
W
C
Q T T
R
T T Q R
T C
,
.
, ( ,
 
WW C
W
C
Q T T
R
T T Q R
T
) . , . ,
.
256 41 10 7 993
3 4
3
4 3 3
4
� ��
�
�
�
�
� � � �
�
�
� � �
� �
 
77 99 88 48 4 27 10 8 373, ( , ) . , . ,� � ��
�
�
�
�
� � � �
�C W C
W
C
Estes resultados são muito mais condizentes com o que se espera observar na prática do que com as aproxi-
mações feitas no exemplo original.
294
3. Considere condições de regime estacionário, com propriedades constantes, em que o escoamento de calor 
ocorre unidimensionalmente na direção x.
Podemos avaliar o calor total gerado:

 

Q q V q A L
Q W
m
m
gerado A A A A
gerado
� �
� �
�
�
�
�
�
. . .
, . . ( ) . (1 5 10 1 66 3
2 00 10 900003. )� �m W
Em regime estacionário, as temperaturas devem estar constantes, e o calor gerado no material A deve ser justa-
mente igual ao calor removido pela convecção no material B, uma vez que o outro lado do material A está isolado.
 
 Q Q q qgerado conv gerado conv= =|
Assim, podemos utilizar a Lei de Newton do Resfriamento para avaliar a temperatura da superfície externa (T2):




Q h A T T q h T T
Q h A T T T
conv s conv s
conv
� �� � � �� �
� �� � � �
� �
�
. . | .
. . 2 2
QQ
h A
T
T W
W
m K
m
C T C
conv
.
.
. ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
�
2
2
2
2
90000
1000 1
25 115
Conhecendo T2, pode-se determinar T1 por meio da Lei de Fourier da Condução, uma vez que, no regime per-
manente, o calor gerado também deve ser equivalente ao calor conduzido através da camada B:


Q k A T T
L
T Q L
k A
T
T W
cond B
B
cond B
B
�
�
� � �
�
�
. .
( ) .
.
. .
1 2
1 2
1
390000 20 10 mm
W
m K
m
C T C
120 1
115 130
2
1
.
. ( )
�
�
�
�
�
�
� � � � �
O mesmo pode ser feito com a camada A para determinar T0:


Q k A T T
L
T Q L
k A
T
T W
cond A
A
cond A
A
�
�
� � �
�
�
. .
( ) .
.
. .
0 1
0 1
0
390000 60 10 mm
W
m K
m
C T C
75 1
130 202
2
0
.
. ( )
�
�
�
�
�
�
� � � � �
295
296
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Apresentar os diversos tipos de dispositivos e configura-
ções de equipamentos de transferência de calor.
• Estudar o conceito de média logarítmica das temperaturas 
junto do coeficiente global de transferência de calor.
• Abordar os principais aspectos a serem considerados ao 
analisar um trocador de calor.
Tipos de Trocadores 
de Calor
Transferência de Calor 
em Trocadores
Análise de Trocadores 
de Calor
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
Trocadores de Calor
Tipos de Trocadores 
de Calor
Prezado(a) aluno(a), agora que você já aprendeu 
os fundamentos sobre os fenômenos da transfe-
rência de calor, dedicaremos esta unidade ao es-
tudo dos chamados trocadores de calor – equipa-
mentos utilizados para promover a troca térmica 
entre dois fluidos bastante utilizados na indústria. 
Perceba que, baseado nesta definição, equipamen-
tos que aquecem uma corrente através de fogo 
direto, resistências elétricas e demais processos 
são chamados apenas de aquecedores, pois não 
envolvem duas correntes de fluidos.
Evidentemente, para que haja troca térmica, é 
necessário ter diferença de temperatura entre os 
dois fluidos. Assim, um trocador de calor envolve 
um fluido quente (aquele que fornece calor) e um 
fluido frio (aquele que recebe calor). Apesar de 
parecer óbvio, isto tem implicações significantes 
no desempenho energético de um processo, pois 
o calor pode ser recuperado.
299UNIDADE 8
Para deixar este conceito mais claro, imagine a seguinte situação: você possui 
duas correntes, A e B. A corrente A está a uma temperatura de 100 °C e precisa ser 
resfriada. Paralelamente, a corrente B está a uma temperatura de 30 °C e precisa ser 
aquecida. Então, sendo a corrente A o fluido quente e a corrente B o fluido frio, um 
trocador de calor pode ser utilizado para recuperar parte da energia da corrente A, 
transferindo-a para a corrente B. Esta manobra leva a uma economia de energia no 
processo, reduzindo a demanda de correntes de utilidades (água de resfriamento e 
vapor de aquecimento, por exemplo).
Note que diversos equipamentos, apesar de serem frequentemente chamados por 
outros nomes, são essencialmente trocadores de calor, como os condensadores e re-
fervedores de colunas de destilação, que promovem troca de calor latente, geralmente 
utilizando água (fluido frio do condensador) e vapor (fluido quente do refervedor).
Dito isso, nosso foco estará mais direcionado em estudar os trocadores de calor 
que promovem troca térmica apenas entre correntes de processo (ou seja: sem o uso 
de correntes de utilidades e outros mecanismos, não englobando os equipamentos 
mencionados anteriormente), os quais são comercialmente chamados de “trocadores 
de calor”, de fato.
Figura 1 - Trocadores de calor em uma refinaria
300 Trocadores de Calor
Geralmente, a transferência de calor em trocadores acontece por meio de dois meca-
nismos: pela convecção em cada fluido e pela condução na parede queos separa. Como 
estudamos, a área de troca térmica é um aspecto chave neste fenômeno (lembre-se das 
equações da Lei de Fourier da Condução e da Lei de Newton do Resfriamento), de 
modo que conhecer a configuração estrutural dos trocadores de calor é fundamental 
para uma análise do seu funcionamento e desempenho.
Antes de classificarmos os principais tipos de trocadores existentes, vamos tomar 
um momento para ponderar o contexto em que nos encontramos. A indústria, no ge-
ral, trabalha com diversos fluidos, cada um com suas propriedades (como viscosidade, 
densidade e calor específico). Ainda, cada processo apresenta uma dada finalidade (por 
exemplo, para produção alimentícia, química ou farmacêutica), e o engenheiro não deve 
estar somente preocupado com o desempenho e lucratividade do processo, mas também 
com relação a aspectos, como segurança, viabilidade técnica, necessidade de manutenção 
dos equipamentos e muitos outros detalhes intrínsecos a cada indústria.
Com isso em mente, é razoável concluir que diferentes configurações de processos 
e equipamentos são criadas para melhor atender necessidades específicas. Natural-
mente, isto também é válido para os trocadores de calor, sendo que sua principal 
diferenciação é dada em termos de sua geometria, destacando-se os trocadores dos 
tipos: tubo duplo (“double pipe”), casco e tubo (“shell and tube”) e de placas (“plate”).
O modelo mais simples de trocador de calor é o chamado trocador de tubo duplo, 
que consiste essencialmente em dois tubos concêntricos (veja a Figura 2), em que um 
dos fluidos escoa pelo tubo de diâmetro menor e o outro escoa pelo espaço anular 
entre os dois tubos. Geralmente, este tipo de trocador apresenta dois trechos retos 
com conexões nas extremidades dos tubos.
Bucha BuchaBuchaCurva de retorno
Cabeçote de retorno Tê
Figura 2 - Trocador de calor tubo duplo
Fonte: Araújo (2002, p. 7).
Orientando-se pela figura, repare que não há mistura entre os dois fluidos, de modo 
que a transferência de calor ocorre através da parede do tubo interno. Esta formação 
estrutural em “U” é, às vezes, chamada de “grampo” (em inglês hairpin), e conectando 
vários destes em sequência, pode-se alcançar uma área de troca térmica considerável.
301UNIDADE 8
Além disso, repare que duas formas de escoamento são possíveis: o escoamento 
paralelo, em que ambos os fluidos entram no trocador pela mesma extremidade ou o 
escoamento contracorrente, em que os fluidos entram no trocador por extremidades 
opostas entre si. Talvez não seja imediatamente intuitivo, mas é crucial perceber que 
o desempenho e o funcionamento do trocador serão diferentes para os dois tipos 
de escoamento.
Para o escoamento paralelo, as temperaturas dos dois fluidos tendem a se aproxi-
mar e a diferença de temperatura ao longo do trocador diminui significativamente. Por 
outro lado, para o escoamento contracorrente, o fluido frio pode sair do equipamento 
mais quente do que o próprio fluido quente sai, e as diferenças de temperatura entre os 
dois fluidos ao longo do trocador apresentam menor variação. A Figura 3 representa 
de forma simplificada estas duas situações. Nos diagramas de temperatura, repare 
que a seta nas curvas serve para indicar a direção dos escoamentos.
T
Fluído quente
Fluíd
o frio
T
Fluído quente
Fluído frio
Quente
entra
Quente
sai
Frio
entra
Frio
sai
Quente
entra
Quente
sai
Frio
sai
Frio
entra
(a) Escoamente paralelo (b) Escoamente contracorrente
Figura 3 - Arranjos de escoamento em trocadores de tubo duplo e seus perfis de temperatura associados
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 630).
302 Trocadores de Calor
Os trocadores de tubo duplo se destacam pela sua facilidade de construção, manuten-
ção e ampliação da área de troca térmica, sendo geralmente construídos em dimensões 
padronizadas, chegando a ter de 1,5 a 7,5 metros de comprimento, geralmente. Há, 
entretanto, outros modelos de trocadores que ocupam menos espaço físico e fornecem 
maior área de troca térmica, de modo que os trocadores de tubo duplo costumam 
ser economicamente viáveis quando os demais não são interessantes e para áreas de 
troca térmica de até 30 m².
Um segundo tipo de trocador de calor, um dos mais comumente encontrado em 
indústrias, é o trocador casco e tubo. Como o nome sugere, este tipo de equipamento 
de troca térmica possui diversos tubos (até mesmo centenas) colocados paralelamen-
te ao eixo longitudinal de um casco cilíndrico (veja a figura a seguir para facilitar a 
visualização). A transferência de calor ocorre através da parede destes tubos, em que 
um fluido escoa por dentro deles e o outro percorre o exterior dos tubos ao longo 
da casca. É comum classificá-los com relação ao número de “passes” que acontecem 
no casco e nos tubos, como na Figura 4: 
 
Saída
Fluído do lado
dos tubos
Saída
Entrada Entrada
Saída
Entrada do �uído
do lado do casco
Entrada do �uído
do lado do casco
Fluído do
lado dos
tubos
Saída
(b) Dois passes no casco e quatro passes nos tubos(a) Um passe no casco e dois passes nos tubos
Figura 4 - Diferentes configurações de trocadores de calor casco e tubo
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 632).
Evidentemente, as representações anteriores são bastante simplistas do ponto de vista 
estrutural do equipamento. As extremidades dos tubos são ainda presas aos chama-
dos espelhos (placas perfuradas), em que cada furo corresponde a um tubo do feixe. 
Dentro do casco, podem também ser colocadas as chamadas chicanas – placas que são 
atravessadas pelos tubos e que servem tanto para direcionar o escoamento do fluido 
no casco quanto para dar suporte estrutural aos tubos. Além disso, as chicanas têm 
a função de melhorar a transferência de calor entre os fluidos. Veja a figura a seguir:
303UNIDADE 8
1
9
3
5
6
8
2
4 7 3
8
5
6
9
1 - Casco ou carcaça
2 - Tubos
3 - Espelho
4 - Chicanas
5 - Carretel
6 - Tampa do carretel
7 - Espaçadores de chicanas
8 - Bocal (lado tubo)
9 - Bocal (lado casco)
Figura 5 – Representação das partes constituintes de um trocador casco e tubos
Fonte: Araújo (2002, p. 16).
O ponto forte deste modelo é que ele pode ser projetado para extensas faixas de pres-
são, temperatura e vazão, podendo alcançar grandes áreas de troca térmica (até acima 
de 5000 m²). Em geral, é o modelo de trocador mais versátil e, por isso, a sua popula-
ridade na indústria. Algumas exceções ao seu uso são, por exemplo, em automóveis 
e aeronaves, principalmente devido ao tamanho e ao peso destes tipos de trocador.
Figura 6 - Trocador de calor tipo casco e tubo
304 Trocadores de Calor
O terceiro e último tipo de trocador que iremos tratar é o chamado 
trocador de calor de placas, utilizados especialmente na indústria 
de alimentos pela facilidade de manutenção e limpeza. Estes tro-
cadores consistem, essencialmente, em uma sequência de placas, 
com os fluidos escoando intercaladamente entre elas, de modo que 
uma camada de fluido frio está trocando calor com duas camadas 
de fluido quente, o que leva a uma troca térmica bastante eficiente. 
São geralmente utilizados quando os dois fluidos são líquidos em 
pressões próximas, destacando-se pela facilidade em aumentar ou 
diminuir a área de troca térmica, se necessário (pela adição ou re-
moção de placas). Entretanto, são equipamentos que não suportam 
pressões muito altas, quando comparados aos trocadores tubulares.
Figura 7 - Trocador de calor de placas típico de indústrias de alimentos
Trocadores de calor de tubo e casco
305UNIDADE 8
Conhecidos os principais tipos de trocadores de 
calor industriais, iremos, agora, abordar os fun-
damentos dos cálculos de projeto e análise de 
trocadores de calor. Note que estaremos particu-
larmente interessados na perspectiva da transfe-
rência de calor, que é nosso objeto de estudo – os 
métodos de projeto completo de trocadores de 
calor são muito extensos e complexos para serem 
abordados aqui, cabendo apenas as disciplinas 
mais específicas.
Transferência 
de Calor 
em Trocadores
306 Trocadores de CalorMédia Logarítmica das Temperaturas
Na unidade anterior, utilizamos a Lei de Fourier da Condução Térmica e a Lei de 
Newton do Resfriamento para descrever os fenômenos de condução e convecção, 
respectivamente. Lembre-se que as equações que descrevem essas leis são (na forma 
integral para a Lei de Fourier):
Q k A T
xcond
� � . . D
D
 e Q h A T Tconv s� �� ��. .
Como já abordado na unidade anterior, ambos os mecanismos estão baseados em 
diferenças de temperatura. Nos trocadores de calor, é importante perceber que esta 
diferença de temperatura pode mudar ao longo do equipamento (como foi demons-
trado ao discutir o escoamento em paralelo ou contracorrente – ver Figura 3). Por-
tanto, é evidente que para avaliar a transferência de calor no trocador, é necessário 
descrever as diferenças de temperaturas entre os fluidos quente e frio no interior do 
trocador de alguma maneira. Para isso, recorremos ao conceito de média logarítmica.
Considera-se, por exemplo, um trocador de calor puramente contracorrente, como 
o representado de forma simplificada pela Figura 8.
Tqen
Tfen
Tqsai
Tfsai
Figura 8 - Trocador de calor com escoamento puramente contracorrente
Fonte: os autores.
O terminal no qual entra a corrente quente e sai a corrente fria aquecida é chamado 
terminal quente. Denominando-se q1 a diferença de temperatura entre estas duas 
correntes, então, a diferença de temperaturas no terminal quente é dada por:
q1 � �T Tq fen sai
No outro extremo do trocador está o terminal frio, no qual entra a corrente fria e sai 
a corrente quente resfriada. A diferença de temperaturas entre estas duas correntes, 
no terminal frio, será dita q2 , e é dada por:
q2 � �T Tq fsai en
307UNIDADE 8
A integração entre as equações de projeto se faz de forma que a transferência de calor 
esteja relacionada com a média logarítmica das diferenças de temperaturas (MLDT), 
a qual é calculada utilizando as diferenças de temperatura nos extremos do trocador 
(q1 e q2 ), dada por: 
MLDT � �q q
q
q
1 2
1
2
ln
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Aqui, definimos MLDT com base no escoamento contracorrente. Exatamente o 
mesmo raciocínio poderia ser desenvolvido para o escoamento em paralelo, sendo 
diferente somente no cálculo dos termos θ1 e θ2, em que o primeiro será a dife-
rença entre as temperaturas de entrada e o segundo será na saída, para ambos os 
fluidos (quente e frio).
Coeficiente Global de Transferência de Calor
Como já foi mencionado, a transferência de calor em trocadores acontece por meio 
de dois mecanismos: pela convecção em cada fluido e pela condução na parede que 
os separa. Na unidade anterior, você aprendeu a analisar sistemas de troca térmica 
por meio da estratégia dos circuitos térmicos. Naquele momento, mencionamos que 
é conveniente trabalhar com um coeficiente global de transferência de calor (repre-
sentado pela letra “U”), que junto da área de troca térmica pode ser descrito como a 
resistência total do sistema:
U A
R
Q U A T T
Rtotal total
. | . .� � � �
�1

308 Trocadores de Calor
Esta será exatamente a abordagem que utilizaremos com os trocadores de calor. 
Veja que a área de troca térmica (A) é um parâmetro característico da estrutura do 
equipamento (conforme vimos para os diferentes tipos de trocadores no início desta 
unidade). Vamos avaliar, então, o circuito térmico associado a um trocador de tubo 
duplo, em que um fluido percorre o interior do tubo e o outro percorre a região 
ao redor do tubo. Considere, por exemplo, que no interior do tubo esteja o fluido 
quente (por consequência, o fluido frio está percorrendo por fora do tubo). Podemos 
representar este circuito como duas resistências de convecção e uma resistência de 
condução entre elas (veja a figura e o circuito a seguir):
Fluído 
frio
Fluído
quente
Fluído 
frio
Fluído quente
Transferência
de calor
Ti
To
hi
Ai
hO
A
Rparede1 1
Ri
Ti To
Ro= = hO AO.
hi Ai.
Parede
Figura 9 - Circuito térmico associado a um trocador de calor de tubo duplo
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 633). 
Conhecendo também a condutividade térmica do material do tubo (k), o seu com-
primento (L) e os seus diâmetros interno e externo (Di e Do ), a resistência da parede 
será:
R
D
D
k Lparede
o
i�
�
�
� �
�
�ln
. . .2 p
309UNIDADE 8
Então, a resistência térmica total é:
R R R R
h A
D
D
k L h Atotal i parede o i i
o
i
o o
� � � � �
�
�
� �
�
�
�
1
2
1
.
ln
. . . .p
Agora, utilizando o conceito de coeficiente global de transferência de calor, teremos:
U A
R
R
U A h A
R
h Atotal
total
i i
parede
o o
.
. . .
� � � � � �
1 1 1 1
Note que, na equação anterior, temos três áreas sendo representadas. É evidente que a área 
interna do tubo ( Ai ) é diferente da área externa ( Ao ). Ao mesmo tempo, vimos que a 
área “A” é justamente a área de troca térmica característica da estrutura do equipamento; 
mas afinal, quem é esta área de troca térmica, Ai ou Ao ? A resposta não é tão intuitiva: 
na verdade, o mais sensato é abordar este problema considerando que o trocador de calor 
apresenta dois coeficientes globais de troca térmica, Ui e Uo , numericamente diferentes 
entre si, de modo que:
1 1 1
U A U A U A
R
i i o o
total. . .
= = =
Dessa forma, se você conhece o coeficiente global de transferência de calor para um 
determinado trocador, é fundamental você saber também qual é a área a que ele diz 
respeito. Dito isto, poderemos desconsiderar esta diferença em um caso específico: 
quando a espessura do tubo for muito pequena (de modo que as áreas Ai e Ao serão 
quase as mesmas) e o material do tubo for um excelente condutor de calor. Nestas 
condições, a resistência térmica da parede (Rparede) tenderá a zero, podendo ser despre-
zada. Isto simplifica a equação da resistência total do sistema para a seguinte forma:
R
U A h A h A
A A A
U h h
total
i i o o
i o
i o
� � �
� � � � �
1 1 1
1 1 1
. . .
Repare que, portanto, neste caso também podemos dizer que:
U U Ui o≈ ≈
Esta é uma aproximação razoável para muitos trocadores de calor. Na tabela a seguir, 
são apresentados alguns valores representativos para os coeficientes globais de troca 
térmica de trocadores típicos envolvendo diferentes pares de fluidos.
310 Trocadores de Calor
Tabela 1 - Valores representativos do coeficiente global de transferência de calor em trocadores de calor 
Fluidos de processo U (W/m².K)
Água-água 850 – 1700
Água-óleo 100 – 350
Água-gasolina ou querosene 300 – 1000
Aquecedores de água 
de alimentação 1000 – 8500
Vapor-óleo combustível leve 200 – 400
Vapor-óleo combustível pesado 50 – 200
Condensador de vapor 1000 – 6000
Condensador de freon 
(resfriado à água) 300 – 1000
Condensador de amônia 
(resfriado à água) 800 – 1400
Condensadores de álcool 
(resfriados à água) 250 – 700
Gás-gás 10 – 40
Água-ar em tubos aletados 
(água nos tubos)
30 – 60 (p/ superfície do lado do ar)
400 – 850 (p/ superfície do lado da água)
Vapor-ar em tubos aletados 
(vapor nos tubos)
30 – 300 (p/ superfície do lado do ar)
400 – 4000 (p/ superfície do lado do vapor)
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 634). 
Conhecendo o cálculo de MLDT e o conceito de coeficiente global de transferência de 
calor, você já tem recursos suficientes para começar a lidar com problemas envolven-
do trocadores de calor. Antes disso, discutiremos ainda mais um aspecto importante 
acerca destes equipamentos: a incrustação – depósitos de materiais indesejáveis nas 
superfícies de troca térmica, que acarretam no aumento da resistência à transferência 
de calor no equipamento.
Para ilustrar esse efeito, imagine que você tenha um bule que utiliza com fre-
quência para esquentar água. Se não for feita a devida limpeza, é possível identificar 
que alguns minerais (como o cálcio) se acumulam sobre as superfícies. O mesmo 
ocorre com os trocadores – seja por sedimentação, corrosão, cristalização ou outros 
mecanismos – estas camadas de sólidos aumentam a resistência térmica daparede 
dos tubos, prejudicando o desempenho do equipamento.
311UNIDADE 8
Figura 10 - Incrustação no feixe de um trocador casco e tubo
Em termos matemáticos, podemos entender as camadas de incrustação como termos 
adicionais de resistência térmica. Geralmente, utilizamos a letra “f ” para indicar estas 
resistências (devido ao termo em inglês para incrustação, “fouling”). Dessa forma, 
sendo R f,i e R f,o os chamados fatores de incrustação das superfícies interna e externa, 
respectivamente, podemos ajustar a expressão para o cálculo da resistência total da 
seguinte forma:
R
h A
R
A
D
D
k L
R
A h Atotal i i
f i
i
o
i f o
o o o
� � �
�
�
� �
�
�
� �
1
2
1
.
ln
. . . .
, ,
p
Na tabela a seguir, alguns valores representativos de fatores de incrustação por unidade 
de área são apresentados. Evidentemente, estes valores servem apenas como estimativa 
para prever os possíveis efeitos na transferência de calor. Tabelas mais completas e 
detalhadas podem ser encontradas em manuais mais específicos.
Tabela 2 - Fatores de incrustação representativos por unidade de área
Fluido Rf (m².K/W)
Água (destilada, marinha, fluvial)
0,0001 (abaixo de 50 °C)
0,0002 (acima de 50 °C)
Óleo combustível 0,0009
Vapor 0,0001
Refrigerantes líquidos 0,0002
Refrigerantes gasosos 0,0004
Vapores de álcool 0,0001
Ar 0,0004
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, p. 636). 
312 Trocadores de Calor
Agora que temos nossos conceitos básicos definidos, vamos resolver um exemplo 
para ilustrar estes cálculos. Ao longo desta unidade, estaremos sempre considerando 
condições de regime permanente, propriedades constantes, com escoamento com-
pletamente desenvolvido e sem perda de carga.
Considere um trocador de calor tubo duplo feito de aço inoxidável (k = 15,1 W/m.K), 
cujos tubos possuem um diâmetro interno Di = 1,7 cm e diâmetro externo Do = 2,0 cm. 
Sabe-se que os coeficientes de transferência de calor são hi = 750 W/m².K na superfície 
interna e ho = 1250 W/m2.K na externa. O fluido quente entra a 110 °C e sai a 70 °C, 
enquanto o fluido frio entra a 30 °C e sai a 60 °C, operando em contracorrente. Admi-
tindo os fatores de incrustação Rf,i = 0,0003 m².K/W e Rf,o = 0,0001 m².K/W, determine: 
(a) a resistência térmica total do trocador de calor por unidade de comprimento (L = 1 
m); (b) os coeficientes globais de transferência de calor Ui e Uo; (c) a média logarítmica 
das diferenças de temperatura ao longo do equipamento (MLDT).
Solução:
O primeiro passo é fazer uma representação do sistema:
Fluido frio
Rf ,o
hO
DO
hi
Di
Fluido frio
Fluido quente
Fluido quente
Camada externa de incrustação
Parede do tubo
Camada interna de incrustação
Rf ,i
= 2,0 cm
= 1,7 cm
= 750
m2 .K
W
= 0,0003 m
2.K
W
= 0,0001 m
2.K
W
= 1250
m2 .K
W
1 EXEMPLO
313UNIDADE 8
Para responder o item (a), basta resolver a equação:
R
h A
R
A
D
D
k L
R
A h Atotal i i
f i
i
o
i f o
o o o
� � �
�
�
� �
�
�
� �
1
2
1
.
ln
. . . .
, ,
p
Os únicos parâmetros não conhecidos são as áreas Ai e Ao , que podem ser facilmente 
calculadas como a superfície de um cilindro:
A R L D L m m A m
A
i i i i
o
� � � � �
�
� �2 1 7 10 1 5 34 10
2
2 2 2
. . . . . . ( , . ) . ( ) , .
.
p p p
p .. . . . . ( , . ) . ( ) , .R L D L m m A mo o o� � � �
� �p p 2 0 10 1 6 28 102 2 2
Então, resolvendo a equação:
R
W
m K
m
m K
W
mtotal
�
�
�
� �
�
� � �
�
� �
1
750 5 34 10
0 0003
5 34 10
2
2 2
2
2
.
. , .
, .
, .
22
2
2 2
2 0
1 7
2 15 1 1
0 0001
6 28 10
1
125
�
� �
� �
� ��
ln
,
,
. . ,
.
.
, .
, .
p W mK m
m K
W
m 00 6 28 10
0 0466
2
2 2W
m K
m
R K
Wtotal
.
. , .
,
�
�
� �
�
� � �
� �
�
Em posse deste valor, basta recorrer à definição do coeficiente global de transferência 
de calor para circuitos térmicos para responder ao item (b):
U A
R
U
R A
U
R A K
W
total total
i
total i
.
.
. , . , .
� � �
� �
� � �
1 1
1 1
0 0466 5 34 10 2 mm
W
m K
U
R A K
W m
o
total o
2 2
2 2
401 86
1 1
0 0466 6 28 10
3
� �
�
� �
� � � �
�
�
,
.
. , . , .
441 71 2,
.
W
m K
314 Trocadores de Calor
Enfim, para o item (c), precisamos somente das temperaturas de entrada e saída 
dos fluidos quente e frio, seguindo a definição de MLDT (note que o trocador está 
operando em contracorrente):
q q
q q
q
q
q
1 2
1 2
1
2
1 110 60
� � � � �
�
� � � �
T T T T MLDT
C
q f q fen sai sai en| |
ln
( ) qq
q q
1
2 2
50
70 30 40
50 40
50
40
44 8
� �
� � � � � �
�
� � �
� �
C
C C
MLDT C C MLDT
( )
ln
, 11 �C
Pronto! Acabamos de calcular alguns dos principais parâmetros acerca de trocadores 
de calor. É um bom ponto de partida para aprimorar os seus conhecimentos acerca 
desse conceito na engenharia. Como sugestão, procure levar o seu estudo um passo 
adiante: refaça este exemplo sem considerar os fatores de incrustação (ou seja, como 
se o trocador fosse novo, com R Rf,i f,o= = 0 ) e observe a diferença obtida nos coefi-
cientes globais de transferência de calor. Você notará que o impacto das incrustações 
é considerável e não pode ser menosprezado.
A essa altura, considerando trocadores de tubo duplo ou de casco e tubo, cabe o 
questionamento: se temos um fluido quente e um fluido frio, qual deles deve escoar 
pelo interior do tubo? Não existe uma resposta definitiva para esta pergunta, pois 
vários aspectos devem ser considerados. Costuma-se, por exemplo, alocar fluidos 
corrosivos nos tubos, os quais deverão ser feitos de materiais resistentes à corro-
são (geralmente mais caros). Se fosse colocado no casco, tanto os tubos quanto o 
casco estariam sujeitos à corrosão. Outros aspectos, como incrustação, pressão e 
turbulência também são chaves para esta decisão.
Fonte: adaptado de Araújo (2002). 
315UNIDADE 8
Vamos, agora, à etapa final do nosso estudo sobre 
trocadores de calor. Até então, discutimos o funcio-
namento dos trocadores em seu nível mais funda-
mental, no contexto dos fenômenos de transporte. 
Na prática, o engenheiro estará, geralmente, preo-
cupado com duas questões: projetar/selecionar um 
trocador capaz de atender a uma determinada de-
manda do processo ou, então, prever as temperaturas 
de saída das correntes quente e fria em um trocador 
já definido. Este segundo caso é muito comum de 
acontecer quando as indústrias já possuírem troca-
dores de calor antigos que podem ser aproveitados 
em outra etapa do processo. Saber identificar o tro-
cador de calor que melhor atende a necessidade da 
planta é uma tarefa clássica de um engenheiro que 
trabalha com processos industriais. 
Análise de 
de Trocadores 
de Calor
316 Trocadores de Calor
Como já foi mencionado, o projeto completo de trocadores de calor é uma ativida-
de bastante complexa. Aqui, iremos discutir o método MLDT de análise de trocadores, 
que permite determinar um trocador de forma simples com os conceitos que vimos 
até aqui. Acompanhe o desenvolvimento do exemplo a seguir.
Em determinada indústria, um reservatório contém água a 25 °C. Para ser utilizada 
no processo, é necessário que ela seja aquecida até 75 °C, com uma vazão de 1,5 kg/s. 
O engenheiro opta pelo uso de um aquecedor, que consiste em um trocador de calor 
de tubo duplo em contracorrente, em que o fluido quente será vapor superaquecido a 
150 °C, disponível a uma vazão de 2 kg/s. O tubo interno possui parede de espessura 
muito pequena, de modo que o seu diâmetro (interno e externo) pode ser considera-
do como 2,0 cm. Determine o comprimento necessário para este trocador de calor, 
admitindo que para esta aplicação o coeficiente global de transferência de calor é de 
1000 W/(m².K). Adote: cágua = 4,18 kJ/(kg.K); cvapor = 2,00 kJ/(kg.K).
Solução:
Primeiramente, note que não conhecemos a temperatura de saída do fluido quente, 
informação que é necessária para o cálculo de MLDT. Em seguida, perceba que agora 
estamos trabalhando com vazões mássicas, de modo que os calores específicos podem 
ser utilizados para calcular a quantidade de calor trocado entre os fluidos. Vimos esta 
definição na unidadeanterior, dada pela equação (na forma de vazão):

 Q m c T m c T T� � � �� �. . . . 2 1
Com isso, podemos avaliar o calor que deve ser fornecido ao fluido frio:



Q m c T kg s
kJ
kg K C C
Q
água água água� � � � � � � � � �. . , . , . . ( )1 5 4 18 75 25
�� �313 5 313 5, ,kJ s kW
Respeitando a conservação de energia, esta deve ser a taxa de calor cedido pelo fluido 
quente. Então, podemos calcular a temperatura de saída do fluido quente conside-
rando que não há mudança de fase:




Q m c T T T Q
m c
T
T
kW
q
vapor vapor
q
q
� �� � � � �
�
�� �
. .
.
,
, ,
,
2 1 2 1
2
313 5
2,, . ,
.
,,
0 2 00
150 71 62kg
s
kJ
kg K
C T Cq� � � �
� � � � �
2 EXEMPLO
317UNIDADE 8
Observe que o sinal negativo indica que o calor saiu do fluido quente (a temperatura 
de saída tem que ser menor que a de entrada). Agora, o MLDT é facilmente calculado 
pela definição. Em contracorrente:
q q
q
1 1
2
150 75 75
71 6 25
� � � � � � � � �
� � � � � � �
T T C C C
T T C C
q f
q f
en sai
sai en
, qq
q q
q
q
2
1 2
1
2
46 6
75 46 6
75
46 6
59 7
� �
�
�
�
� � �
� � �
,
ln
,
ln
,
,
C
MLDT C C MLDT C
Então, pode-se calcular a área de troca térmica necessária para o trocador com base 
no conceito de coeficiente global de transferência de calor:


Q U A T U A MLDT A Q
U MLDT
A W
W
m K
� � � � �
�
�
�
� �
�
�
. . . .
.
.
. ,
313500
1000 59 72 ��
� �
C
A m5 25 2,
Por fim, sabemos que se trata de um trocador de calor de tubo duplo. Logo, esta área 
A pode ser calculada como a área superficial de um cilindro. Utilizando esta ideia, 
podemos chegar ao comprimento do tubo, que é o nosso parâmetro procurado:
A D L L A
D
L m
m
L m
� � �
� � �
p
p
p
. .
.
,
. ,
,
5 25
0 02
83 56
2
Agora, analise este resultado por um momento: para cumprir a troca térmica desejada, 
é necessário que o trocador tenha mais de 80 metros de comprimento, o que é impra-
ticável. Neste caso, trocadores de placas ou de casco e tubo seriam mais adequados.
Como visto, é relativamente fácil fazer estimativas simples acerca dos parâmetros 
de um trocador de calor de tubo duplo, devido, principalmente, à sua simplicidade 
geométrica, que facilita a descrição da transferência de calor. Até agora, nossa atenção 
esteve voltada para os trocadores de escoamento em contracorrente em trocadores 
de tubo duplo, mas ideias semelhantes podem ser trabalhadas para os trocadores de 
casco e tubo.
Volte à Figura 4, em que mencionamos que os trocadores de casco e tubo são 
classificados quanto aos seus “passes”. Vamos, então, definir isto mais claramente: um 
passe é o percurso do fluido de um lado a outro do trocador de calor. Se o fluido que 
escoa pelo tubo entra através de um bocal, percorre o trocador de ponta a ponta uma 
318 Trocadores de Calor
única vez e sai pelo outro bocal. Este trocador terá uma passagem ou um passe no 
lado do tubo. O mesmo raciocínio vale para o casco, mesmo que o percurso cruze o 
feixe várias vezes. Por convenção, um trocador de calor casco e tubo n-m implica n 
passagens no casco e m passagens no tubo.
Embora o escoamento puramente contracorrente seja o tipo de escoamento que 
apresenta maior eficiência para efeitos de troca térmica, pode ocorrer, no entanto, que 
seja interessante utilizar configurações de trocadores de calor nas quais o fluido que 
escoa nos tubos possa passar, antes de sair do equipamento, duas vezes no interior 
do trocador. Neste caso, o equipamento é chamado trocador 1-2. Ao analisarmos os 
perfis de temperatura, podemos compará-lo com um trocador 1-1 pelo diagrama 
da figura a seguir:
T
Comprimento
Tfsai
Tqen
Tqsai
Tfen
Trocador 1-1
T
Comprimento
Tfsai
Tqen
Tqsai
Tfen
Trocador 1-2
Figura 11 - Perfis de temperatura para um trocador 1-1 e um trocador 1-2
Fonte: os autores.
No primeiro caso, temos o trocador 1-1 em contracorrente. A curva superior repre-
senta a queda de temperatura da corrente quente ao longo do trocador. O inverso 
ocorre com a corrente fria, representada na curva inferior. No segundo caso, temos o 
trocador 1-2 e duas passagens do fluido frio nos tubos do trocador. Nestas condições, 
a corrente fria tem um comportamento diferenciado, sendo acrescida até um valor 
intermediário e, posteriormente, a um outro valor mais elevado. A corrente quente 
tem um comportamento semelhante ao primeiro caso. 
Se houver duas passagens no lado tubo, uma delas estará em paralelo com o fluido do 
casco, enquanto a outra estará em contracorrente. Portanto, para o trocador de calor 1-2, 
a velocidade do fluido será o dobro da obtida no trocador 1-1. O aumento da velocidade 
acarreta aumento do coeficiente de transferência por convecção (h) e do coeficiente 
global (U), resultando em menor área de troca e promovendo a redução de incrustação. 
Contudo, a perda de carga será maior, o que pode dificultar a configuração da instalação.
319UNIDADE 8
Nas situações em que os trocadores de calor apresentam mais de uma passagem 
nos tubos, a verdadeira diferença de temperaturas já não é mais calculada razoavel-
mente apenas pelo método MLDT, sendo necessário utilizar um fator de correção 
(F) para encontrá-la:
DT F MLDTreal = .
A interpretação física deste fator F é a seguinte: havendo mais de uma passagem nos 
tubos, o escoamento é parcialmente contracorrente e parcialmente paralelo. Com 
isso, se MLDT é a diferença média de temperatura no escoamento contracorrente (o 
mais eficiente em termos de troca térmica), então a diferença média real de tempe-
ratura deve ser menor do que MLDT. Por isso, o valor de F varia de 0 a 1, adotando 
um valor mínimo de 0,8 – caso o trocador em estudo apresente valor de F inferior, 
seu uso é inviabilizado e busca-se uma configuração melhor, pois utilizar trocadores 
com valores de F abaixo de 0,75 pode implicar problemas operacionais no caso de 
pequenas variações de temperatura.
O fator de correção F depende da geometria do trocador de calor e das tempe-
raturas de entrada e saída dos fluidos quente e frio. Aqui, não iremos nos preocupar 
em mostrar e utilizar estes diagramas, mas eles são relativamente simples e podem 
ser encontrados no livro escrito por Kern (1980, p. 649 a 654) ou em conteúdos dis-
ponibilizados pela TEMA (Tubular Exchangers Manufacturer Association).
Dito isso, podemos calcular a taxa de transferência de calor pela seguinte relação:
Q U A T U A F MLDTreal� � �. . . . .
Ilustraremos o uso desta equação com nosso último exemplo desta unidade!
Um trocador de casco tubo 2-4 (leia-se: duas passagens no casco e quatro passagens 
nos tubos) é utilizado para resfriar um óleo na temperatura de 90 °C para 50 °C, uti-
lizando água como fluido de resfriamento, a qual entra no equipamento a 30 °C e sai 
a 60 °C. A espessura da parede do tubo é muito fina, de modo que um único diâmetro 
pode ser considerado (D = 1,5 cm). Além disso, o comprimento total do tubo é de 75 
m. Para as vazões empregadas, estas condições de temperatura fornecem coeficientes 
convectivos de hc = 30 W/m².K para o fluido no casco e ht = 150 W/m².K para o fluido 
no interior dos tubos. Determine a taxa de transferência de calor no trocador. Após um 
certo tempo de uso, uma incrustação externa com Rf,o = 0,0006 m².K/W é formada. 
Qual a nova taxa de transferência de calor? Em ambos os casos, adote F = 0,91.
3 EXEMPLO
320 Trocadores de Calor
Solução:
Óleo
quente
Água de
resfriamento
60°C
90°C
50°C
30°C
Primeiramente, tenha em mente que nosso objetivo é resolver a equação:
Q U A F MLDT= . . .
Como já nos foi dado F, restam três termos a serem determinados. Começando pela 
área, é razoável calculá-la como a superfície de um tubo cilíndrico:
A D L m m A m� � � � � �p p. . . , . ( ) ,0 015 75 3 53 2
Em seguida, como conhecemos todas as temperaturas de operação, podemos calcular 
o MLDT:
q q
q q
1 1
2 2
90 60 30
50 30
� � � � � � � � �
� � � � � � � �
T T C C C
T T C C
q f
q f
en sai
sai en
220
30 20
30
20
24 661 2
1
2
�
�
�
�
� � �
� � �
C
MLDT C C MLDT Cqq
q
q
ln ln
,
Então, resta calcular o coeficiente global de troca térmica do trocador. Como a parede 
do tubo é muito fina, podemos desprezar a resistência térmica da parede, de modo 
que a seguinte equação é válida:
1 1 1
U h h
U h h
h ht c
t c
t c
� � � �
�
.
Resolvendo, temos:
U
W
m K
W
m K
W
m K
W
m K
�
�
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
�
�
� �
�
� � �
�
� �
�
�
150 30
150 30
2 2
2 2
.
.
.
. .
�� �U W
m K
25 2.
321UNIDADE 8
Agora, basta substituir na equação para calcular a taxa de transferência de calor:
 Q W
m K
m C Q W� �
�
� �
�
� � � �� � � �25 3 53 0 91 24 66 1980 382 2
.
. , . , . , ,
Feito isso, devemos avaliar o caso com incrustação. Consideraremos que a área e o 
MLDT são os mesmos, de modo que a única diferença será no cálculo do coeficiente 
global de transferência de calor, em que devemos acrescentar o termo de resistência 
da incrustação:
1 1 1 1 1
1
150
0 0006
1
2
U h
R
h
U
h
R
h
U
W
m K
t
f
c t
f
c
� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
.
,
mm K
W W
m K
U W
m K
2
2
1
2
1
30
24 63.
.
,
.
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
� �
�
E então:
 Q W
m K
m C Q W� �
�
� �
�
� � � �� � � �24 63 3 53 0 91 24 66 19512 2,
.
. , . , . ,
Como esperado, a taxa de transferência de calor diminui devido à presença da in-
crustação. Contudo, esta queda foi relativamente pequena – fato este que ocorre 
principalmente devido aos coeficientes de convecção serem relativamente baixos.
Mais uma unidade chega ao fim! Aqui, utilizamos os conhecimentos obtidos na 
unidade anterior para conhecer mais sobre os trocadores de calor, equipamentos 
importantíssimos para a indústria e para a rotina do engenheiro. Obviamente, um 
projeto completo de um trocador de calor iria além da abordagem da transferência 
de calor: é importante também avaliar aspectos, tais como as perdas de cargas do 
processo, limitações de espaço físico, facilidade de manutenção e limpeza, a natureza 
dos fluidos que serão utilizados (quanto à corrosão e incrustação, por exemplo) e, até 
mesmo, a distância entre os tubos de um feixe influencia nos coeficientes convectivos 
alcançados. Para finalizar nosso estudo dos fenômenos de transporte, iremos dedicar 
a última unidade deste material para o estudo da transferência de massa!
322
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Um experimento em laboratório emprega um trocador de calor duplo tubo 
que trabalha com água no tubo interno (temperatura média de 30 °C) e óleo na 
região anular (temperatura média de 75 °C). O tubo interno é feito em cobre, 
com uma espessura de parede muito fina, de modo que o seu diâmetro pode 
ser aproximado para 1,5 cm. Com os dados do experimento, verifica-se que o 
número de Nusselt no tubo interno é de, aproximadamente, Nui = 250, e na 
região anular é de Nuo = 10. Determine o coeficiente global de troca térmica 
deste trocador, sabendo que: kágua = 0,65 W/(m.K) e kóleo = 0,15 W/(m.K).
2. Os condensadores – equipamentos destinados à remoção de calor latente de um 
vapor – são, essencialmente, trocadores de calor. Condensadores são utilizados, 
por exemplo, em colunas de destilação para a produção de etanol combustível. 
Considere o condensador representado na figura a seguir, em que o vapor é 
condensado utilizando uma corrente de água como fluido frio. Sabendo que a 
área de troca térmica dos tubos é de A = 30 m2 e que o coeficiente global de 
transferência de calor para este equipamento é de U = 3500 W/(m2.K), nesse 
contexto, determine a vazão mássica necessária de água de refrigeração. São 
dados: calor específico da água c = 4,18 kJ/kg.K; calor latente de vaporização da 
água L = 2256 kJ/kg.
40°C
40°C
15°C
25°C
Vapor
Água de
resfriamento
Fonte: adaptada de Çengel e Cimbala (2015).
323
3. Um radiador automotivo funciona como um trocador de calor em escoamento 
cruzado (ou seja, nem contracorrente nem em paralelo, como no esquema a 
seguir), em que os fluidos são água e ar. Esta peça possui 35 tubos cujo diâmetro 
interno é de 0,5 cm, cada um com comprimento de 70 cm e distribuídos ao longo 
de uma matriz de placas aletadas. Considerando que a vazão mássica de água 
(fluido quente) é de 0,5 kg/s, determine o coeficiente global de transferência 
de calor deste radiador com relação à superfície interna dos tubos (Ui). Adote 
o calor específico da água como 4,18 kJ/kg.K e um fator de correção F = 0,95.
60°C
85°C
45°C
25°C
Água
Ar
Fonte: adaptada de Çengel e Cimbala (2015).
324
Trocadores de Calor
Autor: Everaldo Cesar da Costa Araujo
Editora: Editora da Universidade Federal de São Carlos (EdUFSCar)
Sinopse: essa obra apresenta os fundamentos sobre os tipos e o projeto de 
trocadores de calor, focando principalmente nos modelos “casco e tubo”. Serve 
como texto de apoio didático sobre o assunto para alunos em nível de graduação 
e pós-graduação.
Comentário: escrito com base na experiência de anos ministrando o tópico “Tro-
cadores de Calor” para o curso de Engenharia Química da UFSCar, este material 
é utilizado como referência em diversos cursos de engenharia do Brasil, sendo 
um excelente recurso escrito originalmente em português para conhecer mais 
sobre estes equipamentos fundamentais para a indústria.
LIVRO
325
ARAÚJO, E. C. da C. Trocador de Calor. 1. ed. São Carlos: Editora da Universidade Federal de São Carlos 
(EdUFSCar), 2002. 
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. Brasil: AMGH 
Editora, 2015. 
KERN, D. Q. Processo de transmissão de calor. Tradução de Horácio Macedo. Rio de Janeiro: Guanabara 
Dois, 1980.
326
1. Como a espessura da parede do tubo pode ser desprezada, a seguinte relação é válida:
1 1 1
U h hi o
� � 
Para determinar os coeficientes convectivos hi e ho, devemos lembrar da definição do número de Nusselt, 
apresentado na unidade anterior:
Nu h L
k
C=
.
No caso de tubos cilíndricos, o comprimento característico LC é o próprio diâmetro do tubo. Então, podemos 
rearranjar a equação para calcular cada coeficiente convectivo, uma vez que conhecemos as condutividades 
térmicas dos dois fluidos (kágua e kóleo):
h Nu k
D
h
Nu k
D
W
m K
m
h W
m K
h
i
i água
i
�
� �
� �
� �
.
. . , .
,
,
.
250 0 65
0 015
10833 3 2
oo
o óleo
o
Nu k
D
W
m K
m
h W
m K
� �
� �
� �
. . , .
, .
10 0 15
0 015
100 2
Agora, basta retornar na primeira equação para determinar o coeficiente global de transferência de calor U:
U W
m K
W
m K
U W
m K
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� �
�
1
10833 3
1
100
99 1
2 2
1
2
,
. .
,
.
Observa-se que U ≈ ho porque hi >> ho. Isto indica que a troca térmica é limitada pela convecção no casco.
327
2. A resolução deste exercício está pautada na conservação de energia: o calor latente que sai do vapor deve 
ser equivalente ao calor sensível adicionado à água de refrigeração. Para quantificar este calor, recorremos 
à expressão típica dos trocadores de calor:
Q U A MLDT= . .
O coeficiente global U e a área de troca térmica A foram fornecidos. MLDT pode ser facilmente avaliada pela 
sua definição, uma vez que as temperaturas de entrada e saída estão identificadas no desenho:
q q
q q
1 1
2 2
40 25 15
40 15
� � � � � � � � �
� � � � � � � �
T T C C C
T T C C
q f
q f
en sai
sai en
225
15 25
15
25
19 581 2
1
2
�
�
�
�
� � �
� � �
C
MLDT C C MLDT Cq q
q
q
ln ln
,
Com isso, podemos avaliar a taxa de calor trocado:
 Q W
m K
m C Q kW� �
�
� �
�
� � � �� � � �3500 30 19 58 20562 2
.
. . ,
Pela definição do calor sensível, chega-se à vazão mássica necessária de água de refrigeração:

 


Q m c T T m Q
c T T
m kW
kJ
água
f f
água
sai en
� �� � � �
�� �
�
. .
.
,
2 1
2056
4 18 kkg K C C
m kg ságua
.
.
,
� � � � �� �
� �
25 15
49 19
Encontramos a vazão solicitada pelo exercício (aproximadamente 50 kg/s). Caso necessário, poderíamos calcular 
também a vazão de vapor utilizando a definição da conservação de energia: o calor latente que sai do vapordeve ser equivalente ao calor sensível adicionado à água de refrigeração. Assim, temos que:

 

 
Q m L m Q
L
m kWkJ
kg
m kg
s
vapor
vapor vapor
� � �
� � �
.
,
2056
2256
0 911
328
3. O parâmetro solicitado pelo exercício é o coeficiente global de transferência de calor do radiador com base 
na superfície interna dos tubos (Ui). Além disso, como o escoamento não é perfeitamente em contracor-
rente, utiliza-se um fator de correção já fornecido. Com isso, para calcular Ui, devemos usar a equação:
Q U A F MLDTi i= . . .
Em que a área de troca térmica Ai é calculada com base no diâmetro interno dos tubos. Como são 35 tubos 
cilíndricos, esta área pode ser calculada como:
A n D L m m
A m
i i
i
� �
�
. . . . . ( , ) . ( , )
,
p p35 0 005 0 70
0 385 2
Como conhecemos as temperaturas de entrada e saída de ambos os fluidos, o cálculo de MLDT é imediato:
q q
q q
1 1
2 2
85 45 40
60 25
� � � � � � � � �
� � � � � � � �
T T C C C
T T C C
q f
q f
en sai
sai en
335
40 35
40
35
37 441 2
1
2
�
�
�
�
� � �
� � �
C
MLDT C C MLDT Cq q
q
q
ln ln
,
Resta apenas determinar a taxa de transferência de calor. Para fazer isso, como conhecemos a vazão mássica 
de água e o seu calor específico, é razoável afirmar que o calor trocado deve ser igual ao calor removido da 
água, fazendo:



Q m c T T kg s
kJ
kg C C C
Q
q qent sai� �� � � � � �� � � � �� �. . , . , . .0 5 4 18 85 60
�� �52 25 52250, kW W
Enfim, basta retornar à primeira equação para verificar Ui:
U Q
A F MLDT
W
m C
U W
m K
i
i
i
� �
� � �
�

. . , . , . ,
,
.
52250
0 385 0 95 37 44
3816 72
2
2
329
330
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Rodrigo Orgeda
Esp. Henryck Cesar Massao Hungaro Yoshi
• Definir os conceitos básicos nos quais o fenômeno da 
transferência de massa está pautado.
• Empregar a Lei de Fick da Difusão e as condições de con-
torno envolvidas na análise da transferência de massa 
unidimensional em regime permanente.
• Estudar a transferência de massa entre uma superfície e 
um fluido em movimento, definindo os devidos números 
adimensionais.
• Conhecer como os três fenômenos de transporte estuda-
dos ao longo da disciplina se relacionam.
Conceitos Fundamentais
Difusão Mássica Analogia entre os Fenômenos de Transporte
Convecção de Massa
Introdução à 
Transferência de Massa
Conceitos 
Fundamentais
Caro(a) aluno(a), enfim chegamos à nossa últi-
ma unidade, em que estudaremos o fenômeno 
da transferência de massa! Lembre-se que lá no 
início, na Unidade 1, mencionamos os três fe-
nômenos que você estudaria: a transferência de 
momento (na forma da mecânica dos fluidos), a 
transferência de calor e a transferência de massa. 
Ainda, afirmamos que a natureza destes fenôme-
nos é muito parecida, sendo possível empregar 
modelos matemáticos análogos para descrevê-los.
Talvez isto ainda não esteja tão evidente para 
você, em função de dois fatores: primeiro, por 
termos abordado a transferência de momento 
por uma perspectiva macroscópica, avaliando os 
efeitos das forças associadas ao escoamento de 
fluidos; segundo, porque guardamos o estudo das 
chamadas analogias entre os fenômenos para o 
final deste material, quando você já terá todos os 
conceitos essenciais de cada fenômeno delineados 
em seu conhecimento, facilitando a visualização 
de como estão relacionados.
333UNIDADE 9
Para iniciarmos o estudo da transferência de massa, vamos começar com algumas 
situações comuns da vida real que ilustram esse fenômeno. Primeiramente, imagine 
que você derruba um pouco de água em cima de uma superfície sólida (como na 
Figura 1). Sabemos, por questões de vivência e experiência, que eventualmente esta 
pequena poça vai secar. Contudo, um observador (que não conhece bem o fenôme-
no da transferência de massa) poderia perguntar: se em condições normais a água 
evapora a aproximadamente 100 °C, a água não deveria permanecer líquida sobre 
a superfície? De fato, em uma primeira análise, esta pergunta parece fazer completo 
sentido, afinal, se a substância não está em seu ponto de ebulição, é de se esperar que 
ela não evapore. Então, por que isso acontece?
Figura 1 - Água derramada sobre uma superfície sólida
Para explicar este fenômeno, vamos imaginar mais uma situação. Você pega um copo 
e coloca duas colheres de sal dentro dele. Em seguida, você o preenche com água. 
Com isso, sabemos que a quantidade de sal no copo vai parecer diminuir, pois parte 
dele se dissolverá na água. Se deixarmos o copo em repouso por bastante tempo, ou 
se utilizarmos uma colher para mexer e misturar o conteúdo, veremos que ainda mais 
do sal “desaparecerá”, ou seja, ficará dissolvido na água (veja a Figura 2).
Água
a) Antes b) Depois
Água
com sal
Sal
Figura 2 - Dissolução de sal em água
Fonte: adaptada de Çengel e Ghajar (2012).
334 Introdução à Transferência de Massa
Isto acontece porque a natureza tende a equilibrar este sistema: como há uma diferença 
de concentração, surge um fluxo de sal (fase sólida) para a água (fase líquida), até que 
esta fique completamente saturada. Em outras palavras: a diferença de concentração 
é a força motriz do fenômeno da transferência de massa. Fazendo um paralelo com 
a transferência de calor, deixar o copo em repouso (de modo que o sal vai gradual-
mente se dissolvendo até a água ficar saturada) seria a chamada difusão mássica, 
semelhante à condução de calor (o transporte acontece molécula a molécula). Por 
outro lado, mexer o conteúdo do copo com o objetivo de misturá-lo é justamente o 
transporte convectivo de massa (devido ao movimento do fluido), sendo mais rápido 
de atingir o equilíbrio.
Com isso em mente, voltemos ao exemplo da pequena poça de água sobre uma 
superfície sólida. Se a temperatura está em condições ambiente, por que a água even-
tualmente evapora? A resposta é semelhante ao que discutimos para o copo de água 
com sal: por causa da concentração de água no ar. Se o ar não está saturado de água, 
ou seja, úmido como em dias de chuva, a natureza busca o equilíbrio do sistema, 
criando um fluxo de água da poça (fase líquida) para o ar (fase gasosa). Caso não 
haja movimento do ar em torno da poça, podemos dizer que o processo é difusivo. 
Se quisermos acelerar essa evaporação, podemos ligar um ventilador direcionado à 
poça – o processo passa a ser então convectivo e, caracteristicamente, mais rápido.
Nestes dois exemplos ilustrativos, é fundamental que você perceba como o fenô-
meno da transferência de massa é análogo à transferência de calor. O exemplo do 
copo de água com sal em repouso é equivalente a colocar dois corpos com diferentes 
temperaturas em contato – são situações de difusão mássica e condução térmica. 
Ligar o ventilador para que a poça evapore mais rápido é equivalente a direcionar 
um ventilador a um corpo quente para que ele esfrie mais rápido – são exemplos de 
convecção mássica e convecção térmica.
De fato, muitos problemas que envolvem a transferência de calor, no fundo, tam-
bém envolvem questões de transferência de massa. Vamos considerar um terceiro 
exemplo ilustrativo: a transpiração em corpos humanos. Dentre suas diversas funções, 
é de conhecimento geral que o suor serve para promover a perda de calor (ou seja, 
resfriamento do corpo); mas como isso acontece? De maneira relativamente simplista, 
podemos entender este problema como uma mistura dos dois exemplos anteriores: 
são gotículas de água sobre uma superfície que evaporam para o ar atmosférico 
devido à diferença de concentração.
335UNIDADE 9
Figura 3 - Suor do corpo humano
Com isso em mente, baseado no que discutimos até aqui, a transferência de massa 
parece evidente: se o ar não está saturado (úmido, chovendo), a água do suor que 
está sobre a pele irá evaporar. E quanto à transferência de calor? Na realidade, ela 
acontece por meio de uma forma discreta, mas importantíssima: através do calor 
latente de vaporização. “Discreta”, porque este é um mecanismo de transferência de 
calor que não está pautado,essencialmente, em diferenças de temperatura (lembre-se 
que, para substâncias puras em geral, a mudança de fase acontece a temperaturas 
constantes). “Importantíssima”, porque é capaz de remover calor do corpo mesmo 
quando a temperatura ambiente é maior que a da pele.
Por causa destes aspectos, a transpiração humana não é somente um mecanismo 
incrível de regulação de temperatura dos nossos corpos, mas também um excelente 
exemplo de como os fenômenos de transporte atuam em conjunto na natureza. Se 
quiséssemos, poderíamos ir mais adiante: ficar na frente de um ventilador quando 
estamos suados promove um resfriamento intenso do corpo, devido à convecção. 
Ainda, quanto maior for a velocidade do ventilador, maior será a vazão mássica de ar 
passando sobre o corpo e mais turbulento será o escoamento (lembre-se do número 
de Reynolds), amplificando ainda mais os fenômenos de transferência de momento, 
calor e massa.
336 Introdução à Transferência de Massa
O corpo humano perde calor por três mecanismos: condução, irradiação e evapo-
ração do suor. Se o ar ambiente estiver a uma temperatura maior que a da pele 
(regulada metabolicamente em torno de 33 °C), a condução e a irradiação irão es-
quentar o corpo em vez de resfriá-lo, de modo que a evaporação do suor passa a 
ser a única forma de dissipar o calor gerado pelo metabolismo corporal, regulando 
a temperatura corporal interna em torno de 37 °C. A própria pele pode apresentar 
diferenças de temperatura consideráveis – em um dia de neve, um homem registrou 
as temperaturas de sua pele enquanto subia uma montanha, indicando cerca de 
15 °C em seus pés enquanto seu peito estava a 32 °C.
Fonte: adaptado de Farzana (2001, on-line)1.
Estes exemplos devem ser suficientes para você começar a enxergar a transferência 
de massa em situações do cotidiano. Como toda área da engenharia, agora que con-
seguimos observar o fenômeno, o passo seguinte é encontrar formas de equacioná-lo. 
O objetivo deste material é fazer isso de forma bastante pragmática e introdutória – se 
você consultar livros-texto mais tradicionais e específicos de fenômenos de transpor-
te, é comum encontrar uma abordagem muito mais extensa, rígida e minuciosa do 
assunto, fazendo balanços de massa em diferentes geometrias, com reações químicas 
heterogêneas e homogêneas e, até mesmo, trabalhando sistemas em regime transiente; 
mas não se preocupe! Para cumprir com o escopo deste material, o fundamental é 
apenas que você esteja bem situado com cálculos de concentração e frações mássicas 
e molares, semelhante ao que foi abordado na Unidade 1. Sem mais delongas, vamos 
dar sequência ao nosso trabalho!
337UNIDADE 9
Assim como tínhamos a Lei de Newton da Vis-
cosidade para a transferência de momento e a Lei 
de Fourier da Condução para a transferência de 
calor, na transferência de massa, teremos a Lei de 
Fick da Difusão. Para uma mistura binária, ou seja, 
que envolve duas espécies distintas A e B (como 
água no ar, por exemplo), a Lei de Fick pode ser 
expressa pelas equações:
j
m
A
D dw
dx
j
n
A
C D dy
dx
AB
A
AB
A
dif,A
dif,A
dif,A
dif,A
� � �
� � �


r . .
. .
Difusão 
Mássica
338 Introdução à Transferência de Massa
Em que a primeira está expressa em termos de massa e a segunda em termos do 
número de mols. Os parâmetros presentes são:
• jdif,A : fluxo mássico do componente A por difusão – dimensão de massa por 
unidade de tempo por unidade de área, por exemplo: kg m s2.
�
�
�
�
�
� .
• jdif,A : fluxo molar do componente A por difusão – dimensão de mols por 
unidade de tempo por unidade de área, por exemplo: mol m s2.
�
�
�
�
�
� .
• mdif,A e ndif,A : vazões mássica e molar do componente A por difusão – dimen-
são de massa por unidade de tempo, por exemplo: kg s� � , mol s� � .
• A : área normal à direção da transferência de massa (conceito análogo ao 
desenvolvido na transferência de calor) – dimensões de área: m2� � .
• r : densidade da mistura binária r r r� �A B , com dimensões de massa por 
unidade de volume, como por exemplo: kg
m3
�
�
� �
�
� .
• C : concentração molar da mistura binária C C CA B� � , com dimensões de mols 
por unidade de volume, como por exemplo: mol m3
�
�
� �
�
� .
• DAB : difusividade mássica (também chamada de coeficiente de difusão) da 
espécie A na mistura binária A+B, com dimensões de comprimento ao qua-
drado por unidade de tempo, como por exemplo: m s
2�
�
� �
�
� .
• dw
dx
A e dy
dx
A : gradientes de fração mássica e molar na direção x, respectivamente, 
cujas unidades podem ser, por exemplo: 1m� � .
Caso estes termos não tenham ficado tão claros para você, procure fazer a análise 
dimensional de cada equação utilizando as unidades fornecidas. Essencialmente, o 
significado físico da Lei de Fick da Difusão é em uma mistura de dois componentes 
A e B. Havendo um gradiente de concentração, haverá um movimento das moléculas 
dos componentes, da região de maior concentração para a de menor concentração – a 
intensidade deste fluxo de massa será proporcional ao próprio gradiente e a constante 
de proporcionalidade da equação é a difusividade mássica DAB .
Repare que as dimensões da difusividade mássica (comprimento ao quadrado por 
unidade de tempo) são idênticas às dimensões da difusividade térmica (α) e da difu-
sividade de momento (ν), que chamamos anteriormente de viscosidade cinemática. 
A unidade do SI para as três grandezas é justamente (m2/s).
339UNIDADE 9
Para as situações em que a densidade (r ) e a concentração molar (C) da mistura forem 
constantes, podemos também escrever as equações da Lei de Fick da Difusão nas formas:
j D d
dx
j D dC
dx
AB
A
AB
A
dif,A
dif,A
� �
� �
.
.
r
Esta simplificação costuma ser razoável para soluções sólidas ou soluções líquidas 
bem diluídas. Além disso, é importante deixar claro que estamos tratando apenas da 
difusão mássica unidirecional, assim como fizemos anteriormente para a transferência 
de calor. Sistemas bidimensionais ou tridimensionais também podem ser estudados 
pela Lei de Fick, mas fogem ao escopo desta unidade.
Antes de utilizarmos a Lei de Fick da Difusão em um exemplo, é importante mencionar 
que os coeficientes de difusão DAB são geralmente determinados experimentalmente, 
para condições bem definidas de temperatura, pressão e composição das misturas. Çengel 
e Ghajar (2012) reuniram dados de diferentes trabalhos e obras, que estão sumarizados 
nas quatro tabelas a seguir. Em geral, pode-se afirmar que a difusividade aumenta com a 
temperatura e que é maior em gases e menor em sólidos. Além disso, em misturas binárias 
de gases ideais, a difusividade DAB é igual à difusividade DBA .
Tabela 1 - Coeficientes de difusão binária de alguns gases em ar a 1 atm de pressão 
Coeficientes de difusão binária (m2/s × 105)
T (K) O2 CO2 H2 NO
200 0,95 0,74 3,75 0,88
300 1,88 1,57 7,77 1,80
400 5,25 2,63 12,5 3,03
500 4,75 3,85 17,1 4,43
600 6,46 5,37 24,4 6,03
700 8,38 6,84 31,7 7,82
800 10,5 8,57 39,3 9,78
900 12,6 10,5 47,7 11,8
1000 15,2 12,4 56,9 14,1
1200 20,6 16,9 77,7 19,2
1400 26,6 21,7 99,0 24,5
1600 33,2 27,5 125 30,4
1800 40,3 32,8 152 37,0
2000 48,0 39,4 180 44,8
Fonte: Çengel e Ghajar (2015, p. 802). 
340 Introdução à Transferência de Massa
Tabela 2 - Coeficientes de difusão binária de misturas de gases diluídos a 1 atm 
Substâncias T DAB Substâncias T DAB
A B (K) (×10-5 m2/s) A B (K) (×10-5 m2/s)
Ar Acetona 273 1,1 Argônio Nitrogênio 293 1,9
Ar Amônia 298 2,6 Dióxido de 
Carbono
Benzeno 318 0,72
Ar Benzeno 298 0,88 Dióxido de 
Carbono
Hidrogênio 273 5,5
Ar Dióxido de 
Carbono
298 1,6 Dióxido de 
Carbono
Nitrogênio 293 1,6
Ar Cloro 273 1,2 Dióxido de 
Carbono
Oxigênio 273 1,4
Ar Etanol 298 1,2 Dióxido de 
Carbono
Vapor de 
Água
298 1,6
Ar Éter etílico 298 0,93 Hidrogênio Nitrogênio 273 6,8
Ar Hélio 298 7,2 Hidrogênio Oxigênio 273 7,0
Ar Hidrogênio 298 7,2 Oxigênio Amônia 293 2,5
Ar Iodo 298 0,83 Oxigênio Benzeno 296 0,39
Ar Metanol 298 1,6 Oxigênio Nitrogênio 273 1,8Ar Mercúrio 614 4,7 Oxigênio Vapor de 
Água
298 2,5
Ar Naftalina 300 0,62 Vapor de 
Água
Argônio 298 2,4
Ar Oxigênio 298 2,1 Vapor de 
Água
Hélio 298 9,2
Ar Vapor de 
Água
298 2,5 Vapor de 
Água
Nitrogênio 298 2,5
Fonte: Çengel e Ghajar (2015, p. 803). 
341UNIDADE 9
Tabela 3 - Coeficientes de difusão binária de soluções de líquidos diluídos e soluções sólidas a 1 atm
Substâncias T DAB Substâncias T DAB
A (soluto)
B
(solven-
te)
(K) (m2/s)
A
(soluto)
B 
(solvente) (K) (×10-5 m2/s)
Amônia Água 285 1,6 × 10-9 Dióxido de Carbono
Borracha 
Natural 298 1,1 × 10-10
Benzeno Água 293 1,0 × 10-9 Nitrogênio Borracha Natural 298 1,5 × 10-10
Dióxido de 
Carbono Água 298 2,0 × 10
-9 Oxigênio Borracha Natural 298 2,1 × 10-10
Cloro Água 295 1,4 × 10-9 Hélio Pyrex® 773 2,0 × 10-12
Etanol Água 283 0,84 × 10-9 Hélio Pyrex® 293 4,5 × 10-15
Etanol Água 288 1,0 × 10-9 Hélio Dióxido de Silício 298 4,0 × 10-14
Etanol Água 298 1,2 × 10-9 Hidrogênio Ferro 298 2,6 × 10-13
Glicose Água 298 0,69 × 10-9 Hidrogênio Níquel 358 1,2 × 10-12
Hidrogênio Água 298 6,3 × 10-9 Hidrogênio Níquel 438 1,0 × 10-11
Metano Água 275 0,85 × 10-9 Cádmio Cobre 293 2,7 × 10-19
Metano Água 293 1,5 × 10-9 Zinco Cobre 773 4,0 × 10-18
Metano Água 333 3,6 × 10-9 Zinco Cobre 1273 5,0 × 10-13
Metanol Água 288 1,3 × 10-9 Antimônio Prata 293 3,5 × 10-25
Nitrogênio Água 298 2,6 × 10-9 Bismuto Chumbo 293 1,1 × 10-20
Oxigênio Água 298 2,4 × 10-9 Mercúrio Chumbo 293 2,5 × 10-19
Água Etanol 298 1,2 × 10-9 Cobre Alumínio 773 4,0 × 10-14
Água Etileno glicol 298 0,18 × 10
-9 Cobre Alumínio 1273 1,0 × 10-10
Água Meta-nol 298 1,8 × 10
-9 Carbono Ferro 773 5,0 × 10-15
Clorofór-
mio
Meta-
nol 288 2,1 × 10
-9 Carbono Ferro 1273 3,0 × 10-11
Fonte: Çengel e Ghajar (2015, p. 804). 
342 Introdução à Transferência de Massa
Tabela 4 - Coeficientes de difusividade binária da água em ar a 1 atm 
T (°C)
DH2O-Ar
(m2/s)
0 2,09 × 10-5
5 2,17 × 10-5
10 2,25 × 10-5
15 2,33 × 10-5
20 2,42 × 10-5
25 2,50 × 10-5
30 2,59 × 10-5
35 2,68 × 10-5
40 2,77 × 10-5
50 2,96 × 10-5
100 3,99 × 10-5
150 5,18 × 10-5
Fonte: Çengel e Ghajar (2015, p. 804). 
Desejamos comparar a difusão de dióxido de carbono (espécie A) em três meios dis-
tintos: ar, água e borracha natural (espécies B), a uma temperatura de 298 K e pressão 
de 1 atm. Para tanto, calcule os fluxos mássicos da espécie A no ponto em que dCA/dx 
= -1 kmol/(m3.m). Considere que a mistura esteja suficientemente diluída para que 
a concentração molar total (C) possa ser admitida como constante. A massa molar 
do CO2 é MMCO2 = 44 kg/kmol.
Solução:
Das Tabelas 1 e 3, podemos obter as difusividades para os três casos (aproximando 
para o valor de T = 300 K na Tabela 1):
D m s
D m s
D
Água
CO -Ar
CO -
CO -Borracha
2
2
2
�
�
�
�
�
1 57 10
2 00 10
1
5 2
9 2
, .
, .
,110 10 10
2
.
� m
s
Como C é uma constante, podemos usar a Lei de Fick da Difusão como:
j D dC
dxAB
A
dif,A � � .
1 EXEMPLO
343UNIDADE 9
Conhecidos os coeficientes DAB, resta apenas conhecer também a taxa de variação da 
concentração molar da espécie A ao longo da direção x. O enunciado nos fornece o 
valor dC dx kmol (m .m)A
3� �1 , mas é importante ter claro o que este valor significa. 
Considere o esquema a seguir:
C
Espécie BEspécie A
A
dC
dx
AX
Note que a concentração de CO2 (indicada no esquema por CA ) decresce ao longo 
da direção x, afinal, estamos cada vez mais distantes da fonte da espécie A. Dessa 
forma, o valor da variação dC dxA deve ser negativo. Além disso, a unidade kmol/
(m3.m), apesar de não parecer intuitiva, é simplesmente o resultado da divisão dos 
valores infinitesimais:
dC
dx
kmol
m
m
kmol
m m
A�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
3.
Com isso, podemos calcular os valores desejados. Por exemplo, para a difusão do 
CO2 em ar, teremos o fluxo molar:
j m s
kmol
m m
j
dif, CO -Ar
dif, CO
2
2
� ��
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�1 57 10 15
2
3, . .
.
--Ar �
�1 57 10 5 2, .
.
kmol
m s
344 Introdução à Transferência de Massa
Podemos entender este resultado fisicamente como: uma vazão de 1 57 10 5, x − kmol 
de CO2 por segundo atravessa cada metro quadrado de interface CO2 – ar. Agora, 
podemos utilizar a massa molar do CO2 para determinar o fluxo mássico, por meio 
da relação:
j MM jAdif,A dif,A= .
Então, para o CO2 em ar:
j MM j kg
kmol
kmol
m sCOdif, CO -Ar dif, CO -Ar2 2
� � �
2
44 1 57 10 5 2. . , .
.
jj kg
m sdif, CO -Ar2
� �6 91 10 4 2, .
.
De forma semelhante, fazendo para a água e a borracha natural como espécies B, 
teremos os fluxos mássicos:
j kg
m s
j
Águadif, CO -
dif, CO -Borracha
2
2
�
�
�
�
8 80 10
4 84 10
8
2
9
, .
.
, .
kkg
m s2.
Como se pode observar, para um mesmo gradiente de concentração, o fluxo mássico 
é bastante superior no meio gasoso em relação a meios líquidos e sólidos.
No contexto da transferência de massa, vários outros conceitos de física e química 
podem nos ajudar a compreender e solucionar os problemas. No estudo de misturas de 
gases a baixas pressões, por exemplo, podemos considerar a condição de gases ideais 
e, com isso, podemos empregar a Lei de Dalton das Pressões Parciais com facilidade. 
Caso não se lembre, esta lei diz que a pressão total (p) de uma mistura de gases é igual 
à soma das pressões parciais (pi) dos gases individuais da mistura:
p pi��
Para gases ideais, é fundamental que você se lembre da relação:
p V n R T. . .=
345UNIDADE 9
Em que p é a pressão, V é o volume, n é o número de mols, T é a temperatura e R é a 
constante dos gases ideais ( 8,314 J mol K( . ) ). Isolando p nesta equação, podemos 
avaliar a “fração de pressão” do componente i ( y p pi i= ) na mistura:
p
p
n R T
V
n R T
V
n
n
yi
i
i
i= = =
. .
. .
Em outras palavras, esta relação demonstra que a fração de pressão do componente i 
em uma mistura de gases ideais é equivalente à fração molar desta espécie na mistura.
Dessa forma, pressões são parâmetros importantíssimos quando estudamos a 
transferência de massa envolvendo gases. Isto é verdade não somente para misturas 
de gases, mas também para interfaces gás-líquido em soluções diluídas, em que as 
frações molares de uma espécie i nas fases líquida e gasosa são proporcionais entre si:
y yá íi,g s i,l quidoa
Como acabamos de ver, para uma mistura de gases ideais à pressão total p, podemos 
expressar a fração molar da espécie i na fase gasosa como:
y
p
pá
i gás
i,g s =
,
Combinando estas duas equações, podemos escrever:
p p yi gás í, .a i,l quido
Com isso, podemos utilizar uma constante de proporcionalidade (c) para transformar 
esta relação em uma igualdade:
p c p yi gás í, . .= i,l quido
Enfim, define-se a constante H c p= . , a qual é chamada de constante de Henry, 
característica da espécie em questão e função apenas da temperatura para baixas 
pressões (abaixo de 5 atm). Observe que este parâmetro tem dimensões de pres-
são. Alguns valores da constante de Henry para diferentes soluções aquosas estão 
apresentados na Tabela 5. Então, podemos rearranjar a equação anterior na forma 
conhecida como Lei de Henry:
y
p
Hí
i gás
i,l quido =
,
346 Introdução à Transferência de Massa
Tabela 5 - Constantes de Henry (em bar) para alguns gases em água a baixas e médias pressões 
Soluto 290 K 300 K 310 K 320 K 330 K 340 K
H2S 440 560 700 830 980 1140
CO2 1280 1710 2170 2720 3220 -
O2 38000 45000 52000 57000 61000 65000
H2 67000 72000 75000 76000 77000 76000
CO 51000 60000 67000 74000 80000 84000
Ar 62000 74000 84000 92000 99000 104000
N2 76000 89000 101000 110000 118000 124000
Fonte: Çengel e Ghajar (2015, p. 807). 
Algumas observações podem ser feitas sobre a Lei de Henry e os valores da Tabela 5. 
A primeira delas é a de que quanto maior a constante de Henry, menor a concentração 
de gás no líquido (são inversamente proporcionais). Por outro lado, quanto maior 
a pressão parcial do gás, maior é a fração molar yi,líquido, de modo que pressurizar o 
gás aumenta a quantidade de gás dissolvido no líquido.