Aula 12 - Teste de Hipóteses IV

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Princípios de Estimação e Inferência Estatística para Finanças
Definições.
Testes
para Média Populacional.
para Igualdade de Duas Médias Populacionais.
para Proporção Populacional.
para Igualdade de Duas Proporções Populacionais.
Aplicações. 
	
4. Testes de Hipóteses
Testes de Hipóteses
Teste de uma amostra para proporções
 
Talvez a única distinção real entre os dois testes esteja na maneira de obter o desvio padrão da distribuição amostral. 
Recorde-se que a média e o desvio padrão de uma distribuição amostral de médias não estão relacionados, mas isto não é verdade quanto à média (p) e o desvio padrão de uma distribuição amostral de proporções. 
Todavia, ao contrário da técnica usada na estimação, onde a proporção amostral foi introduzida na fórmula, o valor de p usado para calcular o desvio padrão se baseia no valor indicado em H0.
Testes de Hipóteses
Teste de uma amostra para proporções
 
Por exemplo, a hipótese nula pode ser
Deve-se então usar o valor 0,20, juntamente com o tamanho amostral n (= 100, por exemplo):
Testes de Hipóteses
Teste de uma amostra para proporções
 
O símbolo po é usado para denotar o valor especificado em H0. O teste requer o cálculo da estatística teste z:
Compara-se então o valor calculado de z com o valor de z de uma tabela normal ao nível de significância escolhido.
Testes de Hipóteses
Teste de uma amostra para proporções
 
Exemplo: Um fabricante afirma que uma remessa de pregos contém menos de 1% de defeituosos. Uma amostra aleatória de 200 pregos acusa 4 (isto é, 2%) defeituosos. Teste a afirmação ao nível de 0,01.
Solução:
A hipótese nula é
A hipótese alternativa razoável poderá ser
pois desejamos evitar a aceitação de uma remessa com mais de 1% de defeituosos, mas nada há a objetar quanto ao fato de a remessa apresentar qualidade melhor que a alegada. 
Assim, usaremos um teste unilateral, com a linha divisória entre a aceitação de H0 e a rejeição de H0 na cauda direita.
Testes de Hipóteses
Teste de uma amostra para proporções
 
desvio padrão da distribuição amostral — se H0 é realmente verdadeira — é
 
Podemos agora calcular a estatística teste:
Testes de Hipóteses
Teste de uma amostra para proporções
 
O valor tabulado, utilizando o nível 0,01 e a tabela normal, é z = +2,33. Consequentemente, aceitamos H0, conforme ilustrado na figura abaixo.
 
Testes de Hipóteses
Teste de uma amostra para proporções
 
Exemplo: Um fabricante de doces afirma que a percentagem de sacos de pastilhas de chocolate mal cheios é inferior a 3%. Uma pesquisa aleatória acusa 4 sacos mal cheios em 50. A amostra foi extraída de uma remessa de 400 sacos. A evidencia amostral refuta a alegação do fabricante (isto e, mais de 3% mal cheios)?
Solução:
Cabe um teste unilateral à direita, pois queremos evitar um número muito grande de sacos mal cheios. Como não é dado o nível de significância, admitiremos 0,05. O desvio padrão da distribuição amostral é
Testes de Hipóteses
Teste de uma amostra para proporções
 
A estatística teste é
Ho é rejeitada, conforme se vê na figura abaixo.
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
A finalidade de um teste de duas amostras é decidir se as duas amostras independentes foram extraídas de duas populações, ambas com a mesma proporção de elementos com determinada característica. 
O teste focaliza a diferença relativa (diferença dividida pelo desvio padrão da distribuição amostral) entre as duas proporções amostrais. 
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Pequenas diferenças implicam apenas variação casual devida à amostragem (aceitação de H0), enquanto que grandes diferenças implicam precisamente o contrário (rejeição de H0). 
A estatística teste (diferença relativa) é comparada com um valor tabulado da distribuição normal, a fim de decidir pela aceitação ou rejeição de H0.
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Novamente aqui, este teste se assemelha muito ao teste de duas amostras para médias.
A hipótese nula num teste de duas amostras é
		H0 : p1 = p2
As hipóteses alternativas possíveis são
	H1 : p1 ≠ p2 ; H1 : p1 > p2 ou H1 : p1 < p2 ; 
Como de costume, a técnica é supor inicialmente H0 verdadeira e então usar uma distribuição amostral baseada nessa hipótese para fazer o teste.
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Todavia, ao contrário do teste de uma amostra, não há indicação do parâmetro populacional em H0 . 
Portanto, o valor de p a ser usado vai ser obtido de forma um pouco diferente. 
Note-se que se p1 é de fato igual a p2, então as duas amostras, extraídas de duas populações, podem ser encaradas como duas amostras da mesma população. 
Então, cada proporção amostral pode ser considerada como uma estimativa da mesma proporção populacional.
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Além disso, é razoável supor que a combinação das duas amostras dê uma estimativa ainda melhor do verdadeiro valor da proporção populacional (devido ao tamanho maior da amostra) . 
Assim, a estimativa combinada (“pooled”) de p pode ser calculada como segue:
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Este valor de p é usado para calcular o desvio padrão da proporção, que é semelhante às fórmulas prévias.
Exceto quanto ao fato de que, agora, ele deve ser “ponderado” pelos dois tamanhos de amostra:
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Exemplo: Considere a situação seguinte. Pergunta-se aos eleitores de duas cidades se eles são contra ou a favor de determinada lei em curso na legislatura do estado. Para determinar se os eleitores das duas cidades diferem em termos da percentagem dos que favorecem a lei, toma-se uma amostra de 100 eleitores em cada cidade. Numa delas, 30 são a favor da lei, na outra, apenas 20. Considere para o teste α = 0,01.
Estabeleçamos primeiro as hipóteses nula e alternativa:
		H0 : p1 = p2; H1 : p1 ≠ p2
Note que a exigência de um teste bilateral se dá porque o problema não explicita a suposição de que a percentagem numa cidade seja maior do que a percentagem na outra.
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
A estatística teste é
Temos então
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Como a estatística teste z tem seu valor dentro da região de aceitação, não podemos concluir que as duas cidades difiram em termos da percentagem dos que são favoráveis à aprovação do projeto. Veja a figura abaixo.
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Exemplo: Suponha, no exemplo precedente, que seja estabelecida a hipótese (H1) de que p1 > p2. Considere para o teste α = 0,05.
Estabeleçamos primeiro as hipóteses nula e alternativa:
		H0 : p1 = p2; H1 : p1 > p2
Note que a exigência de um teste unilateral se dá por hipótese assumida.
Testes de Hipóteses
Teste de duas amostras para proporções
 
Utilizando os mesmos valores amostrais, z seria ainda igual a 1,63. Logo, aceitaríamos H0 ao nível de 0,05 e não poderíamos concluir que a primeira cidade tivesse maior percentagem de eleitores favoráveis ao projeto. Veja figura abaixo.
Testes de Hipóteses
Lista de exercícios
3ª lista de exercícios: 4ª bateria. 
Pag. 285, exercícios 01 e 03.