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ESTADOS-LIMITES DE SERVIÇO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO IBRACON, CT-301, atualizado em outubro de 2015 Autor: Libânio M. Pinheiro (1); Revisor da primeira edição: José Martins Laginha (2) Revisor da segunda edição: Daniel Miranda dos Santos (3) (1) Prof. Dr., USP, Escola de Engenharia de São Carlos. E-mail: libanio@sc.usp.br (2) Eng. Civil, GTP Grupo Técnico de Projetos. E-mail: projeto@gtp.com.br (3) Eng. Civil, EGT Engenharia Ltda. E-mail: danielmiranda@usp.br 1. Dados iniciais Apresenta-se a verificação dos estados limites de serviço para a viga biapoiada de um edifício residencial, indicada na Figura 1, com seção de 22 cm x 40 cm, vão equivalente ℓ = 410 cm, concreto C25, aço CA-50, armadura longitudinal 4 16 (8,04 cm2), d = 35,5 cm, classe II de agressividade ambiental (c = 3 cm, conforme o item 7.4, tabela 7.2). Os itens e as tabelas aqui indicadas referem-se à NBR 6118:2014. Serão admitidos os valores característicos das ações: gk = 28 kN/m, qk = 7 kN/m, pk = gk +qk = 35 kN/m Figura 1 – Viga biapoiada 2. Estado-limite último (ELU) de flexão O momento de cálculo é: ��� = 1,4 ∙ 35 ∙ 4,1� 8 = 102,96 �� ∙ � A posição da linha neutra e a armadura relativa ao ELU de flexão resultam: � = 1,25 ∙ 35,5���1 −�1 − 10296�� ∙ �� ∙ 1,4 0,425 ∙ 22�� ∙ 35,5���� ∙ 2,5 �� ���⁄ � = 12,66 �� � �⁄ = 0,36 < 0,45 (��) – item 14.6.4.3 �� = 102,96 (0,355 − 0,4 ∙ 0,1266) ∙ 43,5 = 7,78 ��� (4 ∅ 16) 3. Momento de fissuração O cálculo do momento de fissuração é indicado no item 17.3.1: t cct r y If M (1) = 1,5 (seção retangular) 2 4 33 c cm333117 12 4022 12 hb I (2) cmt 20 2 40 2 h y (3) 3.1 Formação de fissuras No estado-limite de formação de fissuras (ELS-F), segundo o item 17.3.1, deve ser usado o fck,inf (8.2.5 da Norma): 23/23/2 ,inf / 1795,0 795,12521,0f3,07,0ff cmkNMPackctkct (4) mkNcmkNr . 80,15. 1580 20 1173331795,05,1 M (5) 3.2 Deformação excessiva No estado-limite de deformação excessiva (ELS-DEF), deve ser usado o fct,m (8.2.5 da Norma): 23/23/2 / 2565,0 565,2253,0f 3,0ff cmkNMPackctmct (6) mkNcmkNr . 57,22. 2257 20 1173332565,05,1 M (7) 4. Cálculo em serviço para seção fissurada Neste item são consideradas as combinações de serviço, as posições da linha neutra e o momento de inércia. 4.1 Combinações de serviço Como se trata de elemento estrutural de concreto armado de uma edificação residencial, os estados-limites de serviço a serem verificados são o ELS-W (abertura de fissura) e o ELS-DEF (deformação excessiva). A combinação de ação a ser considerada para a verificação do ELS-W é a combinação frequente (tabela 13.4). No caso do ELS-DEF, as flechas são, usualmente, verificadas com a combinação quase permanente (item 11.8.3.1a). No entanto, em casos especiais em que os elementos não estruturais (como vedações) são sensíveis às deformações da estrutura, o ELS-DEF pode ser verificado com a combinação frequente (11.8.3.1b). Combinação quase permanente Para edifícios residenciais, 2 = 0,3 (conforme 11.7.1, tabela 11.2). Neste exemplo, a única ação variável é a carga de uso e, portanto, a combinação quase permanente das ações é (tabela 11.4): mkNkkCQP / 1,3073,028qgpp 2 (8) O momento da combinação quase permanente é: mkN. 25,63 8 10,41,30 M 2 CQP (9) 3 Combinação frequente Para edifícios residenciais, 1 = 0,4 (tabela 11.2, edifícios residenciais), obtêm-se (tabela 11.4): mkNkkCF / 8,3074,028qgpp 1 (10) mkN. 72,64 8 10,48,30 M 2 CF (11) Como MCQP = 63,25 kN.m > Mr = 22,6 kN.m, ou seja, há fissuras e é necessário calcular a posição da linha neutra (xII) e o momento de inércia ( III) no estádio II, para ambas as verificações (ELS-W e ELS-DEF). 4.2 Linha neutra Para seção retangular com armadura simples, xII é obtido com a equação: 0sese 2 dA x A x 2 b (12) Es = 210 GPa = 210000 MPa (conforme 8.3.5) (13) Ecs = 24000 MPa (conforme 8.2.8, tabela 8.1) (14) No caso do ELS-DEF, a relação entre os módulos é dada por: 758 24000 210000 E E , cs s e (conforme 17.3.2.1.1) (15) Logo, 05,3504,875,8x04,875,8x 2 22 2 11x2 + 70,35 x – 2497,425 = 0 xII = 12,21 cm (a raiz negativa é ignorada) (16) No entanto, para a avaliação da abertura de fissura, o cálculo no estádio II pode ser feito considerando a relação e entre os módulos igual a 15 (NBR 6118, item 17.3.3.2). Logo, para a avaliação da abertura de fissura, a linha neutra no estádio II pode ser considerada como sendo: 05.3504,815x04,815x 2 22 2 11x2 + 120,6 x – 4281,3 = 0 xII = 14,99 cm (a raiz negativa é ignorada) (17) 4.3 Momento de inércia Para seção retangular com armadura simples, III é dado por: 2 IIse 3 II II )( 3 xd A x b I (18) 4 Para avaliação do ELS-DEF, tem-se: 4 II 2 3 51509I)21,125,35( 04,875,8 3 21,1222 I cmII (19) Para avaliação do ELS-W, tem-se: 4 II 2 3 75432I)99,145,35( 04,815 3 99,14.22 I cmII (20) 5. Estado limite de deformação excessiva Como a seção está fissurada, antes do cálculo das flechas, é necessário calcular o momento de inércia equivalente. 5.1 Momento de inércia equivalente Com base em 17.3.2.1.1: II a r c a r eq I M M 1I M M I 33 (21) São conhecidos os valores: Mr = 22,57 kN.m (ELS - DEF) (equação 7) Ma = MCQP = 63,25 kN.m (equação 9) Ic = 117333 cm 4 (equação 2) III = 51509 cm 4 (equação 19) Resulta: 4 33 5450015095 25,63 57,22 1333 117 25,63 57,22 II cmeq (22) 5.2 Flecha imediata Para viga biapoiada, a flecha imediata (assumida elástica) é dada pela expressão: IE p a 4 i 384 5 (23) E = Ecs = 24000 MPa = 2400 kN/cm 2 (equação 14) Substituindo, na equação 23, ℓ = 410 cm e os valores obtidos nas equações 8, 14 e 22, resulta: cmii 85,0a 54500.2400 410 100 1,30 384 5 a 4 (24) 5.3 Flecha diferida De acordo com 17.3.2.1.2: 5 '501 f (25) 32,168,02 mês1 meses70 0 t t (tabela 17.1) (26) ’ = 0 (armadura simples) 32,1 1 32,1 f (27) af = f . ai = 1,32 . 0,85 af = 1,12 cm (28) 5.4 Flecha total A flecha total pode ser obtida conforme indicado no final em 17.3.2.1.2: at = ai (1+f) = 0,85 (1+1,32) at = 1,97 cm (29) 5.5 Flecha limite Para aceitabilidade visual, da maneira indicada em 13.3, tabela 13.3: cm64,1 250 410 250 lim a (30) Há necessidade de contraflecha, pois: at = 1,97 cm > alim=1,64 cm 5.6 Contraflecha Pode ser adotada uma contaflecha da ordem da flecha imediata: cmic 85,0aa (31)A contraflecha, também, pode ser um pouco maior que a flecha imediata. Porém, a NBR6118, em sua tabela 13.3, não permite contraflecha maior que o valor: ac,lim cm17,1 350 410 350 (32) Como é usual adotar um valor múltiplo de 0,5 cm, pode-se adotar contraflecha de 1,0 cm, menor que o limite de 1,17 cm, e que acarretaria uma flecha final de 0,97 cm, menor que alim = 1,64 cm. 5.7 Outras providências Quando forem necessárias, há outras providências que podem ser adotadas para diminuir as deformações. As mais comuns são: aumentar a seção transversal (b ou h), aumentar As ou adotar armadura de compressão A’s. Deve-se ressaltar que aumentar h é a alternativa mais eficiente. 6 Abertura de fissuras A verificação do ELS-W pode ser feita com base no item 17.3.3 da Norma. 6 6.1 Dados iniciais = 16 mm = 2,25 (Barras nervuradas, CA-50, 9.3.2.1 e tabela 8.3) Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm 2 (equação 13) sA = 8,04 cm 2 (4 16) fct,m = 0,2565 kN/cm 2 (equação 6) 6.2 Taxa de armadura Será considerada a taxa de armadura de tração em relação à área da região de envolvimento Acr (Figura 2). Para b = 22 cm, c = 3,0 cm, t = 0,63 cm e ℓ = 1,6 cm, resulta: Acr = b (d’ + 7,5 ℓ) = 22 (4,5 + 7,5 x 1,6) = 363 cm 2 (33) %21,20221,0 363 04,8 A A cr s r (34) Figura 2 - Área Acr 6.3 Cálculo de s no estádio II com e = 15 2/ 40,26 75432 )99,145,35(647215 I )xd(M cmkN II IICFe s (35) CFM (equação 11); IIx (equação 17) e III (equação 20) 6.4 Cálculo de s no estádio II com e = Es/Ec = 8,75 Para comparar os resultados, será considerado e = Es/Ecs = 8,75 (equação 15). Nessas condições tem-se: xII = 12,21 cm (equação 16) e III = 51509 cm 4 (equação 19). Resulta: 7 2/ 61,25 51509 )21,125,35(647275,8 I )xd(M cmkN II IICFe s (36) Como este valor é muito próximo do obtido no item anterior (3% menor), parece não haver diferença significativa em se considerar e = Es/Ecs = 8,75, em vez de e = 15, como preconiza a Norma. 6.5 Cálculo aproximado de s Para seção retangular com armadura simples, no estádio II, um valor aproximado de s pode ser obtido com a expressão: 2/ 68,26 04,85,3585,0 6472 85,0 M cmkN Ad s CF s (37) Nota-se que este valor de s é muito próximo dos obtidos nos dois itens anteriores. Em relação ao obtido com e = 15, ele resultou pouco mais de 1% maior, e 4,2% maior que o relativo a e= 8,75. Portanto, em um cálculo preliminar, a verificação pode ser feita com a tensão s obtida com este cálculo aproximado. 6.6 Cálculo de wk Com as expressões indicadas em 17.3.3.2, fctm dado pela equação 6, s = 26,40 kN/cm 2 e com os demais valores obtidos nos itens anteriores, obtêm-se: 45 4 5,12 3 5,12 risi si 1 i 2 ctm si si si 1 i 1 k E w fE w w (38) mm22,0 2565,0 40,263 21000 40,26 25,25,12 16 w1 mm16,045 0221,0 4 21000 40,26 25,25,12 16 w 2 Como se considera o menor valor entre w1 e w2, resulta: wk = 0,16 mm (39) 6.7 Verificação da abertura limite A abertura limite é dada na tabela 13.4 (item 13.4.2). Para concreto armado e classe de agressividade ambiental II, tem-se: wlim = 0,3 mm. Portanto: wk = 0,16 mm < wim = 0,3 mm OK! (40) Constata-se que a verificação ocorre com folga, o que justificaria o emprego do cálculo aproximado para determinação de s. 8 6.8 Providências Caso a verificação de abertura de fissuras não seja atendida, as principais providências são: diminuir o diâmetro das barras da armadura de tração (respeitando-se As,nec); aumentar a quantidade de armadura (diminuir s); aumentar a seção transversal (b ou h). Agradecimentos À colaboração de: Ana Maria da Silva Brandão, Anastácio Cantisani de Carvalho, Cassiane Daniele Muzardo, Lezzir Ferreira Rodrigues, Marcos Vinícius Natal Moreira Rafaela Montefusco e Sandro Pinheiro Santos. Referência ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014. Projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro.