Trigonometria no Triângulo Retângulo

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: TrigonoMeTria no Triângulo reTângulo, arcos noTáveis
frente: MaTeMáTica i
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AULAS 01 E 02 
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Razões Trigonométricas
Se é um ângulo de um triângulo retângulo, firmamos as 
definições a seguir:
sen
m
m
m
α α α
α
= → =
=
−
(cateto oposto)
(hipotenusa)
(sen )
cos
(c
1 cossec
aateto )
(hipotenusa)
(cos ) sec
(cateto opo
adjacente
m
tg
m
→ =
=
−α α
α
1
ssto)
( )
( ) cotg
m cateto adjacente
tg→ =−α α1
Pondo em prática as definições acima, dispomos de:
a
a
b
cA
C
B
a: hipotenusa
b: cateto oposto a 
c: cateto adjacente a a
sen
b
a
a
b
c
a
a
c
tg
b
c
g
c
b
α α
α α
α α
= → =
= → =
= → =
cossec
cos sec
cot
Consequentemente,
• + = →



 +



 = → + =
• =
b c a
b
a
c
a
sen
sen
b
a
c
2 2 2
2 2
2 21 1α α
α
α
cos
cos
aa
b
c
tg
sen
= → =α
α
αcos
Ângulos notáveis
Os ângulos agudos especiais de 30º, 37º, 45º, 53º e 60º têm 
razões trigonométricas cujos valores podem ser calculados de modo 
exato ou aproximado, a partir dos triângulos retângulos a seguir:
2k
k
30º
60º
(ângulos exatos) (ângulos exatos) (ângulos aproximados)
k 3
5k
3k
37º
53º
k 4k
k
45º
45º k 2
Tabela Trigonométrica
Razões
Trigonométricas
Notação 30º 37º 45º 53º 60º
seno sen
1
2
3
5
2
2
4
5
3
2
cosseno cos
3
2
4
5
2
2
3
5
1
2
tangente tg
3
3
3
4
1
4
3
3
cotangente cotg 3
4
3
1
3
4
3
3
secante sec
2 3
3
5
4
2
5
3
2
cossecante cossec 2
5
3
2
5
4
2 3
3
Exercícios
01. A área de um triângulo é dada pela fórmula A
a b
=
+2 2
4
 onde 
a e b são dois de seus lados. Determine (em graus) a medida do 
maior dos ângulos do triângulo.
A) 120º B) 90º
C) 75º D) 60º
E) 45º
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Módulo de estudo
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02. Calcule o valor de cossec6 10º – cotg6 10º – 3 · cossec2 10º · cotg2 10º.
A) 1 B) –1
C) 2 D) 1
2
E) 
1
3
03. Observe a figura a seguir.
C
α θ
A D
B
O
 Nessa figura, O é o centro do semicírculo de diâmetro AD, 
AC = CO, BAD = e BCD = .
Demonstre que
1 1
2
2
tg tg tgα α θ
+ = .
04. Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e 
ângulo internos α = CÂB, β = ABC e γ = BCA. Sabendo-se que a 
equação x2 – 2bx cos a + b2 – a2 = 0, admite c como raiz dupla, 
pode-se afirmar que
A) a = 90º
B) β = 60º
C) γ = 60º
D) O triângulo é retângulo apenas se a = 45º.
E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
05. Considere a figura a seguir.
B
A d
1
d
2
CD
α β
A área do triângulo BDC é
A) 
d d1 2+
−cotg cotgα β
B) 
d d1 2
2
⋅
+(cotg cotg )α β 
C) 
d d
g g
1 2
2
+
−(cot cot )α β 
D) 
d d1 2
2
⋅
−cotg cotgα β 
E) 
d d1 2
2
⋅
−(cotg cotg )α β 
06. Em um triângulo ABC retângulo em A, seja D a projeção de A sobre CB. 
Sabendo que o segmento BD mede l cm e que o ângulo DÂC 
mede θ graus, então a área do triângulo ABC vale:
A) 
l2
2
sec θ θ⋅ tg
B) 
l2 2
2
sec θ θ⋅ tg
C) 
l2 2
2
sec θ θ⋅ tg
D) 
l2
2
cossec θ θ⋅ cotg
E) 
l2 2
2
cossec θ θ⋅ cotg 
07. Se em um quadrilátero convexo de área S, o ângulo agudo entre 
as diagonais mede 
pi
6
 radianos, então o produto do comprimento 
dessas diagonais é igual a
A) S 
B) 2S 
C) 3S 
D) 4S
E) 5S 
08. Um triângulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B e C  
são, respectivamente, os ângulos opostos aos lados b e c, o valor 
de 
tgB
tgC

 é
A) 
a b c
a b c
c
b
2 2 2
2 2 2
− +
+ −
⋅ 
B) 
a b c
a b c
2 2 2
2 2 2
+ −
− +
 
C) 
a b c
a b c
2 2 2
2 2 2
– +
+ −
 
D) 
a b c
a b c
c
b
2 2 2
2 2 2
+
− +
⋅
–
E) 
b
c
09. Em um triângulo de vértice A, B e C são dados B C = =
pi pi
2 3
, e o 
lado BC = 1 cm. Se o lado AB é o diâmetro de uma circunferência, 
então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, 
em cm2, é
A) 
pi
8
3 3
16
− B) 
5 3
4 2
−
pi
C) 
5
8
3 3
4
pi
− D) 
5 3
16 8
−
pi
 
E) 
5
8
3 3
16
pi
−
 
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Módulo de estudo
10. Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano 
cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como 
a figura a seguir, e suponha que o ponto P percorra, no sentido 
anti-horário, uma distância d < r sobre a circunferência.
r
Q
P
x
y
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por
A) r sen
d
r
1−




B) r
d
r
1−



cos
C) r tg
d
r
1−




D) r sen
r
d




E) r
r
d
cos




11. Em uma coroa circular (conforme a figura a seguir) estão inscritas 
n circunferências, cada uma tangente às duas vizinhas. Se o raio 
da circunferência interna da coroa mede 1, então o raio da 
circunferência externa da coroa mede 
A) 
1
1
+
−
sen
sen
pi
pi
/n
/n
B) 
1
1
+
−
cos pi
pi
/n
/nsen
C) 
1 2
1 2
+
−
sen
sen
pi
pi
/n
/n
D) 
1 2
1 2
+
−
cos
cos
pi
pi
/n
/n
E) 
1 2
1 2
+
−
cos pi
pi
/n
/nsen
12. Em um triângulo retângulo ABC (Â = 90º), tem-se cotgC + cotgB = 4, 
então o valor de 16sen B · sen C · cos B · cos C é igual a
A) 
1
2
 B) 1
C) 2 D) 
1
3
E) 3
13. Na figura a seguir, sabe-se que: AD = CD = a e AB = b.
B
D θ
A C
 Expresse cotg θ
4



 em função de a e b.
A) 
b ab
ab b
+
−
2
2 2
 B) 
b ab
ab b
+
−
2
 
C) 
a b
a b
+
−
 D) 
b ab
a ab
+
+
E) 
b
a
14. Se x é um ângulo agudo e 
 
sec sen ... sen
cos cos ... cos
3 15
2
10 20 80
10 20
x sen− °( )
=
° + ° + + °
° + ° + + 880º
, então x é igual a
A) 15º
B) 12,5º
C) 16º
D) 37º
E) 25º
15. Se ABCD é um quadrado, com m(EBA) = 53º, m(DCE) = a, 
m(BEA) = 90º, então o valor de 5 10 ⋅cosα é
DC
A
E
B
A) 18
B) 15
C) 12
D) 9
E) 6
4F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
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Gabarito
01 02 03 04 05
B A E E E
06 07 08 09 10
B D B D B
11 12 13 14 15
A B A E D
– Demonstração
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
Dig.: Aníbal – Rev.: SARAH