17-Probabilidade Condicional-3

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3. Regra da Multiplicação Para Probabilidade 
 
 Para obter a probabilidade de dois eventos ocorrerem 
em sequência, pode-se usar a Regra da Multiplicação. 
 
 Essa probabilidade é: P(A e B) = P(A) . P(B\A) 
 
Se os eventos A e B são independentes, a regra pode ser 
simplificada para: 
 
P(A e B) = P(A) . P(B) 
 
Essa regra simplificada pode ser estendida para qualquer 
número de eventos independentes. 
 
Exemplo 04: Duas cartas foram selecionadas de um baralho, 
sem a reposição da primeira. Obtenha a probabilidade de se 
escolher um rei (K) e depois escolher uma dama (Q). 
 
Solução: Uma vez que não há reposição da primeira carta, 
os eventos são dependentes. 
 P(K e Q) = P(K) . P(Q\K) =
52
4
 .
51
4
 =
652.2
16
 ≈ 0,006 
 
que é a probabilidade de se escolher um rei 
e então escolher uma dama. 
 
Exemplo 05: São lançados uma moeda e um dado. Encontre 
a probabilidade de se obter cara (C) e então a face 4. 
 
Solução: Os eventos são independentes. 
 
P(C e 4) = P(C) . P(4) = 
2
1
 . 
6
1
 = 
12
1
 ≈ 0,083 
 (que é a probabilidade de se obter cara e então uma face 4) 
 
 
4. Regra (ou Teorema) de Bayes 
 
A lógica do teorema de Thomas Bayes implica em encontrar 
uma probabilidade condicional desconhecida, digamos 
P(A\B), a partir de uma probabilidade condicional conhecida, 
digamos P(B\A). 
 
A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que o evento 
B ocorreu, é: 
 
)'\()'()\()(
)\()(
)\(
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP



 
 
(onde P(A’) é o complemento de P(A) => P(A’) = 1 – P(A) 
 
Exemplo 06: 
 
Se P(A) = 
3
2
 , P(A’) =
3
1
 , P(B\A) =
5
1
 e P(B\A’) =
2
1
 
 
 Então use o Teorema de Bayes para determinar P(A\B) 
 
 Solução: 
2/13/15/13/2
5/13/2
)\(


BAP
 
 
 = 
6/115/2
15/2

 = 
10/3
15/2
 = 
45
20
 = 
9
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ESTATÍSTICA - Prof. Erisson M. Moreira - 17 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1. Probabilidade Condicional 
 
 É a probabilidade de ocorrer um evento, dado que um 
outro evento já ocorreu. A probabilidade condicional de o 
evento B ocorrer, dado que o evento A já ocorreu, é dado por 
P(B\A); ou seja, lê-se “probabilidade de B, dado A”. 
 
Exemplo 01: Duas cartas de um baralho (de 52 cartas) são 
selecionadas em sequência. Determine a probabilidade de a 
segunda carta ser uma dama, dado que a primeira foi um rei. 
(Considere que o rei não foi recolocado.) 
 
Solução: Uma vez que a primeira carta foi um rei e não foi 
reposta, restou um baralho com 51 cartas, quatro delas sendo 
damas. Desta forma: 
 
P(B\A) = 
51
4
 ≈ 0,078 
 
 
2. Eventos Independentes e Dependentes 
 
Podemos usar a probabilidade condicional para determinar se 
os eventos são dependentes ou independentes. 
 
Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles 
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Ou seja: 
 
Se P(B\A) = P(B) [ou se P(A\B) = P(A)], 
 
então, a probabilidade de B ocorrer não é afetada pela 
ocorrência ou não de A. Neste caso, dizemos que A e B são 
eventos independentes. 
 
Assim, os eventos que não forem independentes serão 
dependentes. Para determinar se A e B são independentes, 
devemos determinar P(B) e P(B\A). Se os valores forem 
iguais, ou seja, P(B) = P(B\A), os eventos serão 
independentes. Caso contrário, se P(B) ≠ P(B\A), então A e 
B serão eventos dependentes. 
 
Exemplo 02: Lançar uma moeda e obter cara (A); e jogar 
um dado e obter a face 4 (B) 
Solução: Sem a ocorrência de A, temos P(B) =
6
1
, 
mesmo P(A) =
2
1
 , ainda temos P(B) =
6
1
. 
Como P(B\A) =
6
1
 [e, portanto, P(B\A) = P(B)], então a 
ocorrência de A não modifica a probabilidade da ocorrência 
de B. Neste caso, concluímos que os eventos são 
independentes. 
 
Exemplo 03: Escolher um rei de um baralho (A), não o 
repondo, e selecionar uma dama do mesmo baralho (B). 
Solução: Sem a ocorrência de A, temos P(B) =
52
4
 . Porém, 
com a ocorrência de P(A) =
52
4
 , temos P(B\A) =
51
4
 . 
 
 Como P(B\A) ≠ P(B) , então a ocorrência de A 
modifica a probabilidade da ocorrência de B . 
 
 Neste caso, portanto, concluímos que os eventos 
são dependentes. 
 
 
 
 
 
 
	ESTATÍSTICA - Prof. Erisson M. Moreira - 17 -