ALGEBRA AULA 3 TE

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DICIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
CURSO: TE – 2017.1 
PROF. Me Miguel Aquino de Lacerda Neto 
ALUNO(a): _____________________________ 
AULA N3: 1. DETERMINANTE; 
 2. MENOR COMPLEMENTAR; 
 3.COFATOR 
 
1. DETERMINANTES 
 
►Definição: Determinante é um número associado a 
uma matriz quadrada. 
 
►Aplicações dos determinantes na matemática: 
 
- Cálculo da matriz inversa; 
- Resolução de alguns tipos de sistemas de 
equações lineares; 
- Cálculo da área de um triângulo, quando são 
conhecidas as coordenadas dos vértices. 
 
1.1.Determinante de primeira ordem 
 
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=
 11a
, 
chamamos de determinante associado à matriz M o 
número real 
11a
. 
 
 Notação: det M ou 
11a
 = 
11a
 
 
Exemplos: 
1. 
  55ou 5Mdet5M 11 
 
2. 
  33-ou 3Mdet3M 12 
 
 
1.2. Determinante de segunda ordem 
 Dada a matriz M=






2221
1211
aa
aa , de ordem 2, por 
definição, temos que o determinante associado a essa 
matriz, ou seja, o determinante de 2ª ordem é dado por: 
 21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
Mdet 






 
 
Assim: 
 21122211 aaaaMdet 
 
 
Exemplo: Sendo M=






54
32 , então: 
 det M=
212104352
54
32

 
 
 Logo: det M = -2 
 
 
Conclusão: 
O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela 
diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
 
1.3.REGRA DE SARRUS 
 Dispositivo prático para calcular o determinante de 3ª 
ordem. 
Exemplo: Calcular o seguinte determinante através da 
Regra de Sarrus. 
 
D=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
2. MENOR COMPLEMENTAR 
 
Chamamos de menor complementar relativo ao 
elemento 
ija
 de uma matriz M, quadrada e de ordem 
dada por n > 1, o determinante 
ijMC
, de ordem n – 1, 
associado à matriz obtida de M quando suprimos a 
linha e a coluna que passam por 
ija
. 
Exemplo : Dada a matriz M=






2221
1211
aa
aa , de ordem 2, 
para determinarmos o menor complementar relativo ao 
elemento 
11a
 (
11MC
), retiramos a linha 1 e a coluna 1; 
 
MC = menor complementar 
 
 






2221
1211
aa
aa , logo, 
222211 aaMC 
 
 
 Da mesma forma temos que o MC relativo ao 
elemento 
12a
 é dado por:






2221
1211
aa
aa , logo, 
212112 aaMC 
 e assim por diante. 
Exemplo 2: Dada a matriz M=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, de 
ordem 3, vamos determinar: 
a)
11MC
 b)
12MC
 c)
13MC
 d)
21MC
 
 
Solução: 
 
OBS.: 
Vamos denotar “menor complementar” por MC 
 
a)retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, temos que: 
11MC
=
 32233322
3332
2322
aaaa
aa
aa





 
 
b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada 
acima, temos que: 
 
12MC
=






3331
2321
aa
aa =
 31233321 aaaa 
 
 
c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada 
acima, temos que: 
 
13MC
=






3231
2221
aa
aa =
 31223221 aaaa 
 
 
 
d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada 
acima, temos que: 
 
21MC
=






3332
1312
aa
aa =
 32133312 aaaa 
 
 
 
4. Cofator 
 Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) 
relativo ao elemento 
ija
 de uma matriz quadrada de 
ordem n o número 
ijA
, tal que 
ij
ji
ij MC)1(A 

. 
Exemplo 1: Dada M=






2221
1211
aa
aa , os cofatores 
relativos a todos os elementos da matriz M são: 
 
 2222
2
MC
22
11
11 aa)1(a)1(A
11
 
; 
 2121
3
MC
21
21
12 aa)1(a)1(A
12
 
; 
 1212
3
MC
12
12
21 aa)1(a)1(A
21
 
; 
 1111
4
MC
11
22
22 aa)1(a)1(A
22
 
. 
 
Assim, podemos também determinar a matriz 
dos cofatores (que será denotada por 
A
) como 
sendo: 
 















1112
2122
2221
1211
a a
aa 
AA
AA
A
 
 
Exemplo 2: Sendo M=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, vamos 
calcular os cofatores 
312322 A e A ,A
: 
     3113331131133311
4
3331
131122
22 aaaa)1(aaaa)1(
aa
aa
)1(A 





 
; 
     3112321131123211
5
3231
121132
23 aaaa)1(aaaa)1(
aa
aa
)1(A 





 
; 
     2213231222132312
4
2322
131213
31 aaaa)1(aaaa)1(
aa
aa
)1(A 





 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1.Calcule os seguintes determinantes: 
a) 






3- 1
8 4- b) 








7- 3
3 8 c)










 8 3 1
6 4 3-
9- 6 4-
 
 
2. Se a = 
4 3
1 2

, b = 
1 3
7 21

 e c = 
3 5
2- 1- , 
determine A = a2 + b – c2. 
 
3. Resolva a equação 
 x5
x x = -6. 
 
4. Se A = 






4 3
3 2 , encontre o valor do determinante 
de A2. 
 
5. Sendo A=






33 b 
b a
a
, calcule o valor do 
determinante de A e em seguida calcule o valor 
numérico desse determinante para a = 2 e b = 3. 
 
6. Calcule o valor do determinante da matriz dada por: 
A = 










3 1 2
6 7 5
0 1- 4
 
7. Resolva a equação 
2- 
1 4
2- 1 3 
5 1 
3 2 1
x
x
x


 
 
8. Foi realizada uma pesquisa, num bairro de 
determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 
3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da 
idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), 
em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz 
A, em que: 
3
2
 2 0
x- 0 3
1 1- 1
, com base na fórmula p(x) = 
det A, determine: 
 
a)o peso médio de uma criança de 7 anos 
 
b)a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 
30 kg. 
 
 
9. Calcule o valor do determinante da matriz dada por 
A= 






sen x- x cos
 xcos- x sen . 
 
10. Resolva a equação 
1- 1 - 
1 3 
x
= 3. 
 
11. Determine o determinante da matriz expressa por: 
 
M = 






 sen x 2 x 2
 xcos sen x 
co
. 
 
12. Determine a solução da equação: 
x- 2
8 x 3

= 0. 
 
13. Resolver a equação 
4 4 
 4 x x 
 xx x 
x
= 0 
 
14. Resolva as equações: 
 
a) 
2 1 3
 x4 2
1 4 2
= 0 
 
b) 
3- x 2
 x 1 0
2- 3 2
= 2 
 
 
c) 
1- x2 
1 x 3 
 x3 1
x
x 
= 0 
 
15. Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det 
At. 
 
16. Sejam as matrizes 














34
001,0log
Be
51,0log
23
A
. Calcule: 
a)o determinante da matriz 
b)o determinante da matriz B 
 
c)o determinanteda matriz A-1