séries temporais vetor autoregressivo

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Econometria de Séries Temporais: Vetor Autorregressivo
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno
Outubro 2016
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 1 / 69
INTRODUÇÃO
O uso de modelos univariados é limitado para expressar modelos
econômicos.
O vetor autorregressivo permite que se expressem modelos
econômicos completos e se estimem os parâmetros desse modelo.
Os modelos em VAR de…nem restrições entre as equações do modelo.
Estudar essas restrições e usá-las para identi…car os parâmetros
estruturais do VAR constitui um objetivo fundamental da
metodologia.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 2 / 69
FORMA ESTRUTURAL
Pode-se expressar um modelo auto-regressivo de ordem p por um
vetor com n variáveis endógenas, Xt , conectadas entre si por meio de
uma matriz A:
AXt = B0 +
p
∑
i=1
BiXt�i + Bεt , (1)
em que
A é uma matriz n� n que de…ne as restrições contemporâneas entre as
variáveis que constituem o vetor n� 1, Xt ;
B0 é um vetor de constantes n� 1;
Bi são matrizes n� n;
B é uma matriz diagonal n� n de desvios padrão;
εt é um vetor n� 1 de perturbações aleatórias não correlacionadas entre si
contemporânea ou temporalmente, isto é:
εt � i .i .d . (0; In) .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 3 / 69
pc1993
Realce
pc1993
Realce
pc1993
Realce
pc1993
Realce
pc1993
Realce
pc1993
Realce
FORMA REDUZIDA
A equação (1) expressa as relações entre as variáveis endógenas, a
partir de um modelo econômico teoricamente estruturado: forma
estrutural.
Os choques εt são os choques estruturais porque afetam
individualmente cada uma das variáveis endógenas.
Os choques estruturais são considerados independentes entre si.
Esse modelo é normalmente estimado em sua forma reduzida:
Xt = A�1B0 +
p
∑
i=1
A�1BiXt�i + A�1Bεt =
= Φ0 +
p
∑
i=1
ΦiXt�i + et ,
em que
Φi � A�1Bi , i = 0, 1, . . . , p
Bεt � Aet .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 4 / 69
EXEMPLO
Seja um modelo bivariado de ordem 1:
yt = b10 � a12zt + b11yt�1 + b12zt�1 + σy εyt ;
zt = b20 � a21yt + b21yt�1 + b22zt�1 + σz εzt .
Não pode ser estimado diretamente, já que as variáveis
contemporâneas zt e yt são individualmente correlacionadas com os
erros εyt ou εzt .
O objetivo do VAR é desenvolver técnicas para evitar esse problema,
visando-se a encontrar a trajetória da variável de interesse ante um
choque estrutural.
Hipóteses:
a ) yt e zt são ambos estacionários;
b ) εyt � RB (0, 1) e εzt � RB (0, 1) ;
c ) εyt ? εzt =) Cov (εyt , εzt ) = 0.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 5 / 69
EXEMPLO
Em matrizes: �
1 a12
a21 1
�
| {z }
�A
�
yt
zt
�
| {z }
�Xt
=
�
b10
b20
�
| {z }
�B0
+
�
b11 b12
b21 b22
�
| {z }
�B1
�
yt�1
zt�1
�
+
�
σy 0
0 σz
�
| {z }
�B
�
εyt
εzt
�
| {z }
�εt
=)
AXt = B0 + B1Xt�1 + Bεt .
A forma reduzida desse modelo simpli…cado é:
Xt = Φ0 +Φ1Xt�1 + et ; (2)
Φ0 � A�1B0;
Φ1 � A�1B1;
Aet � Bεt .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 6 / 69
EXEMPLO
Condição de estabilidade: os autovalores de (I �Φ1L) fora do círculo
unitário.
Observe que: �
e1t
e2t
�
� A�1Bεt =
"
σy εyt�a12σz εzt
1�a12a21
σz εzt�a21σy εyt
1�a12a21
#
.
Logo:
E (et ) = 0;
Cov (et ) � Σ =
�
σ21 σ12
σ21 σ
2
2
�
=
24 σ2y+a212σ2z(1�a12a21)2 � a21σ2y+a12σ2z(1�a12a21)2
� a21σ2y+a12σ2z
(1�a12a21)2
σ2z+a
2
21σ
2
y
(1�a12a21)2
35 .
Os erros não são autocorrelacionados, pois:
Cov
�
eit , ei (t�j)
�
= E
��
σi εit � aσ�i ε�it
1� a12a21
��
σi εi (t�j) � aσ�i ε�i (t�j)
1� a12a21
��
= 0,
i = y , z ; j 6= 0; a = a12, a21;� representam negação.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 7 / 69
SIMULAÇÃO
-8
-4
0
4
8
-8
-4
0
4
8
50 100 150 200 250 300
Figura: VAR (1): séries superiores - eixo à direita: Φ0 = 0; φ11 = φ22 = 0, 6 e
φ12 = φ21 = 0, 2; séries inferiores: φ12 = φ21 = �0, 2. A série pontilhada: zt .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 8 / 69
SIMULAÇÃO
-15
-10
-5
0
5
10
-10
0
10
20
30
40
50 100 150 200 250 300
Figura: VAR (1): séries inferiores - eixo à esquerda: Φ = 0; φ11 = φ22 = 0, 7 e
φ12 = φ21 = 0, 3; séries superiores: φ10 = 0, 5. A série pontilhada: zt .
Note que basta uma das constantes ser diferente de zero para que ambas
as séries tenham um drift.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 9 / 69
VAR(P)
As séries yt e zt movimentam-se conjuntamente, mesmo na presença
de raiz unitária.
Concentramo-nos na discussão sobre o caso de variáveis estacionárias,
porém Sims (1980) e Sims, Stock e Watson (1990) admitem a
mistura de variáveis estacionárias e não estacionárias num modelo
VAR. O VAR é uma metodologia interessada nas inter-relações entre
as variáveis.
Generalização:
Xt = Φ0 +
p
∑
i=1
ΦiXt�i + GZt + et ,
em que
Xt é um vetor n� 1 de variáveis endógenas, como anteriormente;
G é uma matriz de coe…cientes n� g ;
Zt é um vetor g � 1 de variáveis exógenas que pode incluir variáveis
determinísticas.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 10 / 69
VAR(P)
Diferentemente dos modelos univariados, o VAR busca responder qual
a trajetória da série, dado um choque estrutural.
Por trajetória, deseja-se conhecer o tempo que um choque afeta uma
série, se ela muda de patamar ou não, para que patamar vai, entre
outras informações.
O VAR resulta na estimação de uma in…nidade de coe…cientes. Um
VAR (p) , por exemplo, com n variáveis endógenas teria n+ n2p
coe…cientes a estimar, já que as matrizes Φi têm dimensão n� n e as
n primeiras variáveis referem-se à constante, sem contar ainda os
coe…cientes de possíveis variáveis exógenas.
Muitas vezes os coe…cientes estimados serão estatisticamente
insigni…cantes, até porque algumas variáveis são normalmente
colineares, entretanto deve-se evitar impor restrições sobre os
coe…cientes, sob pena de perder informações relevantes, a menos que
sejam restrições econômicas bem fundamentadas.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 11 / 69
pc1993
Nota
do pi0
pc1993
Lápis
pc1993
Nota
coeficientes da matriz de covariancia?
IDENTIFICAÇÃO
Como selecionar a ordem p de um modelo VAR? Que critérios podem
ser utilizados nessa tarefa?
Usar tantas defasagens quantas forem necessárias para obter
"resíduos brancos"em todas as variáveis endógenas.
Critério de informação: considere um VAR (m), em que
m = 0, 1, 2, . . . , pmax . O problema é escolher a ordem p que minimiza
a seguinte fórmula geral do critério de informação:
Cr (m) = ln
���bΓ0���+ cT ϕ (m) ,
em quebΓ0 = ∑Tt=1 betbe 0tT ;
cT é uma seqüência que depende do tamanho da amostra;
ϕ (m) é uma função que penaliza VAR de grandes ordens.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 12 / 69
IDENTIFICAÇÃO
O tamanho amostral tem de ser mantido constante para tornar o
critério de informação comparável. Logo, o tamanho da amostra,
comum a todas as ordens, será T � pmax.
A versão multivariada dos critérios AIC ,BIC e HQ é:
AIC (m) = ln
���bΓ0 (m)���+ 2T mn2;
BIC (m) = ln
���bΓ0 (m)���+ lnTT mn2;
HQ (m) = ln
���bΓ0 (m)���+ ln lnTT 2mn2,
em que mn2 é o número total de parâmetros estimados em todas as
equações.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro2016 13 / 69
IDENTIFICAÇÃO
Outra maneira de escolher a ordem de defasagem, é aplicar testes
seqüenciais para de…nir a ordem p do modelo VAR. Estabeleça o
pmax e considere H0 : Φpmax = 0�H1 : Φpmax 6= 0. Se o teste não for
rejeitado, repete-se o procedimento considerando pmax � 1. Quando a
nula for rejeitada, ter-se-á encontrada a ordem de defasagem do
modelo.
Problema: estabelecer pmax. Se pmax é muito pequeno, os resíduos
estimados não serão um ruído branco. Contudo, se pmax é muito
grande, o impacto sobre a probabilidade de erros como um todo
poderá ser severamente afetado, de modo que é difícil con…ar nos
intervalos de con…ança gerados.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 14 / 69
EXEMPLO
Seja Zt = [yt , et ,pit , it ], em que yt representa o hiato do produto, et a
variação cambial, pit a taxa de in‡ação e it a taxa de juros (Selic), todas
as variáveis em base mensal. Os critérios de Akaike e Schwarz são:
Defasagens Akaike Schwarz
1 �22, 088 �21, 451
2 �22, 498 �21, 342
3 �22, 026 �20, 343
4 �21, 366 �19, 146
5 �20, 943 �18, 179
6 �20, 788 �17, 470
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 15 / 69
EXEMPLO
Considere o exemplo de endogeneidade estudado no capítulo sobre GMM.
Por conveniência, lembre-se de que o modelo foi simulado da seguinte
forma:
yt = φyt�1 + εt ;
xt = δyt + νt ,
em que εt e νt são ambos ruídos brancos independentes.
Pode-se reescrever esse modelo na forma matricial:�
1 0
�δ 1
� �
yt
xt
�
=
�
φ 0
0 0
� �
yt�1
xt�1
�
+
�
εt
νt
�
.
Reescrevendo o modelo na forma reduzida, tem-se:�
yt
xt
�
=
�
φ 0
δφ 0
� �
yt�1
xt�1
�
+
�
eyt
ext
�
.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 16 / 69
EXEMPLO
Ao estimar o modelo, a matriz Φ1 conterá quatro coe…cientes estimados.
Espera-se que os coe…cientes da coluna 2 sejam insigni…cantes e que os
coe…cientes da 1 satisfaçam aproximadamente a seguinte restrição:
φ11,1 = φ;
φ21,1 = δφ,
em que δ e φ são valores usados na simulação. No caso da simulação,
de…niram-se δ = 0, 1 e φ = 0, 8.
Estimando-se o VAR (1), obtêm-se:
�
yt
xt
�
=
264 0, 794(0,035) 0, 097(0,063)0, 077
(0,032)
�0, 002
(0,058)
375 � yt�1xt�1
�
+
� beytbext
�
.
φ11,1 ' 0, 8;
φ21,1 ' 0, 1� 0, 8 = 0, 08.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 17 / 69
TESTANDO HIPÓTESES
Testar hipóteses em modelos multivariados é semelhante ao caso
univariado.
Diferença: em vez de calcular a soma dos quadrados dos resíduos,
calcula-se o determinante da matriz de covariância dos resíduos do
modelo restrito e do não restrito.
Seja
Xt = Φ0 +
p
∑
i=1
ΦiXt�i + GZt + et .
De…nition
O modelo anterior é estacionário se os autovalores da polinomial
∑pi=1 ΦiL
i estiverem dentro do círculo unitário.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 18 / 69
TESTANDO HIPÓTESES
1 Estima-se o modelo sem restrição e calcula-se a matriz de covariância
dos resíduos, bΣu ;
2 Estima-se o modelo com restrição, excluindo k � g variáveis
exógenas e/ou m defasagens, e calcula-se bΣr ;
3 Calcula-se a razão de verossimilhança da seguinte forma:
LR = (T � c)
�
log
���bΣr ���� log ���bΣu ����! χ2r ,
em que
T é o número de observações utilizadas na regressão;
c = 1+ g + np é o número de parâmetros estimados em cada
equação do sistema não restrito, incluindo a constante e as variáveis
exógenas ;
r = mn2 + kn é o número de restrições no sistema.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 19 / 69
INFERÊNCIA
A inferência sobre os coe…cientes estimados em modelos multivariados
tem algumas particularidades bastante diferentes dos modelos
univariados.
Pode-se proceder a inferências estatísticas sobre os coe…cientes
individual ou coletivamente, mesmo ante a existência de variáveis
endógenas não estacionárias de ordem 1, sempre que o modelo puder
ser reescrito de maneira que os coe…cientes sob inspeção passem a
multiplicar variáveis estacionárias (veja Sims, Stock e Watson, 1990).
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 20 / 69
EXEMPLO
Sejam yt � I (1) e zt � I (1) da primeira linha de um VAR (2) bivariado:
yt = φ11,1yt�1 + φ12,1zt�1 + φ11,2yt�2 + φ12,2zt�2 + εyt .
É possível fazer inferências sobre os coe…cientes φ11,2 e φ12,2 desse
modelo. Para isso, adicione e subtraia φ11,2yt�1 e φ12,2zt�1:
yt = φ11,1yt�1 + φ11,2yt�1 + φ12,1zt�1 + φ12,2zt�1+
+φ11,2yt�2 � φ11,2yt�1 + φ12,2zt�2 � φ12,2zt�1 + εzt =
=
�
φ11,1 + φ11,2
�
yt�1 +
�
φ12,1 + φ12,2
�
zt�1+
�φ11,2∆yt�1 � φ12,2∆zt�1 + εyt .
Como ∆yt�1 e ∆zt�1 são variáveis estacionárias, pode-se testar
conjuntamente por F � Snedecor a hipótese φ11,2 = φ12,2 = 0.
Pouco se pode dizer a respeito dos coe…cientes que multiplicam as
variáveis não estacionárias yt�1 e zt�1 depois da transformação.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 21 / 69
EXEMPLO
Sob condições convencionais, a matriz de coe…cientes estimadosbΦ = hbΦ1 : bΦ2 : � � � : bΦpi satisfaz:
p
Tvec
�bΦ�Φ� d! N �0,ΣbΦ� .
Por que se podem testar normalmente os coe…cientes individuais de
um modelo multivariado não estacionário?
A não-estacionaridade emerge quando um dos autovalores da matriz
de coe…cientes está sobre ou fora do círculo unitário.
Exemplo: Considere o seguinte VAR (1)
Xt =
�
0, 7 0, 3
0, 3 0, 7
�
Xt�1 + εt .
Os autovalores de Φ1 são 1 e 0, 4. Trata-se de um modelo não
estacionário. Esses autovalores estão associados aos coe…cientes da
matriz Φ1 indiretamente. Logo, a estatística t permanece válida para
a inferência individual dos coe…cientes.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 22 / 69
VERIFICAÇÃO:
TESTE DE LJUNG-BOX
Generalização dos testes de resíduos dos modelos univariados
H0 : E
�
ete 0t�j
�
= 0, para todo j = 1, 2, . . . , J > p.
versus
H1 : E
�
ete 0t�j
� 6= 0, para algum j .
A estatística do teste é parecida com a de Ljung-Box:
Q = T
J
∑
j=1
tr
�bΓ0jbΓ�10 bΓ0jbΓ�10 � d! χ2n2(J�p),
em que bΓj = ∑Tt=j+1 betbe 0t�jT é a autocovariância na defasagem j .
Alternativamente, usa-se a estatística de Ljung-Box ajustada:
Q = T 2
J
∑
j=1
1
T � j tr
�bΓ0jbΓ�10 bΓjbΓ�10 � d! χ2n2(J�p).
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 23 / 69
pc1993
Realce
pc1993
Realce
pc1993
Realce
pc1993
Realce
pc1993
Realce
pc1993
Realce
EXEMPLO:
TESTE DE LJUNG-BOX
Considere o modelo não estacionário sem drift já simulado. O Eviews
permite calcular os valores do testes automaticamente:
Defasagens Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df
1 0, 196 NA 0, 197 NA NA
3 7, 057 0, 531 7, 121 0, 524 8
9 22, 362 0, 897 22, 751 0, 886 32
12 32, 360 0, 903 33, 139 0, 884 44
df representa o número de graus de liberdade para a distribuição χ2.
Embora o modelo seja não estacionário, as autocorrelações caem
rapidamente.
Se J é muito pequeno, a aproximação à distribuição será bastante
pobre, ao passo que um valor alto para J pode resultar em perda de
poder.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 24 / 69
pc1993
Realce
VERIFICAÇÃO:
TESTE DE BREUSCH-GODFREY
O objetivo é testar se existe autocorrelação de resíduos no modelo:bet = Θ1bet�1 +Θ2bet�2 + � � �+Θhbet�h + ut
e veri…car se:
H0 : Θ1 = Θ2 = � � � = Θh = 0�H1 : Θ1 6= 0_Θ2 6= 0_ � � � _Θh 6= 0.
Utiliza-se a regressão auxiliar:bet = Φ1Xt�1 +Φ2Xt�2 + � � �+ΦpXt�p +
+Θ1bet�1 +Θ2bet�2 + � � �+Θhbet�h + ut .
Trata-se de um teste LM. Para executá-lo, é necessárioestimar bet
contra o gradiente da função de verossimilhança. Aqui, esse gradiente
é dado pela matriz [Xt�1 Xt�2 � � � Xt�p bet�1 bet�2 � � � bet�h ].
Johnston e Dinardo comentam que uma importante característica
desse teste é funcionar simultaneamente contra a hipótese alternativa
de um processo MA (q) para os resíduos.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 25 / 69
VERIFICAÇÃO:
TESTE DE BREUSCH-GODFREY
No primeiro estágio, estima-se o modelo completo por MQO, de
forma que os bets em que t < 0 são substituídos por zero. E calcula-se:
bΣu = ∑Tt=1 butbu0tT .
Em seguida, estima-se o modelo impondo a hipótese nula para obter
os resíduos restritos, burt , e calcula-se:
bΣr = ∑Tt=1 burt bur 0tT .
O teste LM é de…nido como:
LMh = T
h
n� tr
�bΣu bΣ�1r �i d! χ2hn2 .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 26 / 69
EXEMPLO:
TESTE DE BREUSCH-GODFREY
Continuando com o exemplo anterior. Estimado o modelo,
veri…cam-se os resíduos usando o teste LM:
Defasagens Q-Stat Prob. df
1 1, 678 0, 795 4
3 6, 523 0, 887 12
9 4, 208 1, 000 36
12 4, 282 1, 000 48
O Eviews reporta o resultado das probabilidades com n2 graus de
liberdade. Por isso, é preciso olhar a tabela correta. A tabela anterior
contém as probabilidades corretas, mas, se fossem usados n2, a
hipótese nula não seria rejeitada. No caso do exemplo, como não se
rejeita a nula com menos graus de liberdade do que seria correto, com
mais razão não se rejeitaria se o número de graus de liberdade fosse
ainda maior.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 27 / 69
VERIFICAÇÃO:
TESTE DE NORMALIDADE
A assimetria e a curtose têm distribuição normal. De…na os
momentos 3 e 4 conforme segue:
m3 = (m31,m32, . . . ,m3n)
0 , com m3i =
∑Tt=1 ε3it
T
;
m4 = (m41,m42, . . . ,m4n)
0 , com m4i =
∑Tt=1 ε4it
T
.
Essas medidas têm a seguinte distribuição:
p
T
�
m3
m4 � 3n
�
� N
�
0;
�
6In 0
0 24In
��
,
em que 3n = (3, 3, . . . , 3)
0 é um vetor n� 1 de 3s.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 28 / 69
VERIFICAÇÃO:
TESTE DE NORMALIDADE
Na prática, primeiro deve-se obter a matriz de covariância dos
resíduos estimados:
bΣe = ∑Tt=1
�bet � bet� �bet � bet�0
T
.
Calcule a matriz raiz quadrada: bΣ 12e , para padronizar os resíduos:
best = b� 12e �bet � bet� .
Calcule a assimetria, m3, e a curtose, m4, dos n resíduos:
bm3 = (bm31, bm32, . . . , bm3n)0 , com bm3i = ∑Tt=1 (besit )3T ;
bm4 = (bm41, bm42, . . . , bm4n)0 , com bm4i = ∑Tt=1 (besit )4T .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 29 / 69
VERIFICAÇÃO:
TESTE DE NORMALIDADE
As estatísticas são dadas por:
s23 = T
bm03 bm3
6
; s24 = T
(bm4 � 3n)0 (bm4 � 3n)
24
.
Ambas as estatísticas têm distribuição χ2n sob a nula: s
2
3 = s
2
4 = 0.
Alternativamente, pode-se usar a distribuição conjunta de ambos os
testes, JB2n = s23 + s
2
4 :
JB2n = s23 + s
2
4
d! χ22n.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 30 / 69
PREVISÃO
Análoga aos processos univariados.
Quando se conhece o processo gerador de dados, a previsão h passos
à frente é dada por:
E (Xt+h jIt ) � Xt+hjt = Φ1Xt+h�1jt +Φ2Xt+h�2jt + � � �+ΦpXt+h�pjt ,
em que Xt+j jt = Xt+j para j � 0 .
Transformando Xt num modelo de médias móveis in…nito:
Xt+h =
 
I �
p
∑
j=1
ΦjLj
!�1
et+h = et+h+Ψ1et+h�1+Ψpet+h�2+ � � �
Conseqüentemente, a previsão correspondente é dada por:
Xt+hjt =
∞
∑
j=h
Ψjet+h�j .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 31 / 69
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PREVISÃO
Desse modo, o erro de previsão será obtido extraindo-se de Xt+h o
termo Xt+hjt :
Xt+h � Xt+hjt =
h�1
∑
j=0
Ψjet+h�j ,
em que Ψ0 = In.
A expectativa de previsão dos erros é zero. O EQM é dado por:
Σx (h) = E
�
Xt+h � Xt+hjt
� �
Xt+h � Xt+hjt
�0
=
h�1
∑
j=0
ΨjΣΨ0j .
No processo é estacionário, a incerteza da previsão é limitada. Os
processos integrados têm erro de previsão indeterminado em
horizontes longos, mas isso não exclui a possibilidade de que a
previsão de alguns componentes de variáveis integradas tenha o erro
de previsão limitado também.
Na presença de variáveis exógenas, entre as quais algumas
determinísticas, pode-se estender a fórmula anterior facilmente.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 32 / 69
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PREVISÃO
Considere o VAR (1) estimado a partir do modelo simulado sem drift:
Xt =
�
0, 694 0, 332
0, 298 0, 676
�
Xt�1.
Prevendo 20 passos à frente na Figura 3:
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
280 285 290 295 300 305 310 315 320
Y Z
Figura: Previsão de y e z 20 passos à frente.
As variáveis são não estacionárias e convergem para a previsão
multivariada do último valor.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 33 / 69
PREVISÃO
Em contraposição, considere o seguinte modelo VAR (1), estimado a
partir do modelo simulado estacionário:
Xt =
�
0, 578 0, 186
0, 284 0, 611
�
Xt�1.
Prevendo 20 passos à frente, a Figura 4 mostra que a convergência para a
média de longo prazo.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
280 285 290 295 300 305 310 315 320
Y Z
Figura: Previsão de y e z 20 passos à frente.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 34 / 69
FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO
O modelo VAR não permite identi…car todos os parâmetros da forma
estrutural, a menos que se imponham restrições adicionais.
Para ver isso, observe que no sistema restrito dado pela equação (2)
conseguem-se estimar os seis parâmetros na equação da média,
Var (e1) ,Var (e2) e Cov (e1, e2). No sistema primitivo há dez
parâmetros a calcular: além dos oito coe…cientes estruturais, há ainda
as variâncias de cada um dos choques.
Sims (1980) sugere um sistema recursivo para identi…car o modelo.
Trata-se de impor que alguns coe…cientes sejam iguais a zero.
Geralmente, usam-se argumentos econômicos para de…nir quais deles
são iguais a zero.
Sims impõe que o efeito feedback seja limitado. No caso mais
simples, de um modelo bivariado, impor-se-ia, por exemplo, que
a12 = 0:
yt = b10 + b11yt�1 + b12zt�1 + εyt ;
zt = b20 � a21yt + b21yt�1 + b22zt�1 + εzt .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 35 / 69
FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO
Essa restrição é importante porque torna os parâmetros estruturais
restantes identi…cáveis, conforme se observa no exemplo bivariado:
A�1 =
�
1 0
�a21 1
�
=)
�
yt
zt
�
=
�
1 0
�a21 1
� �
b10
b20
�
+�
1 0
�a21 1
� �
b11 b12
b21 b22
� �
yt�1
zt�1
�
+
+
�
1 0
�a21 1
� �
σy 0
0 σz
� �
εyt
εzt
�
.
Sabendo-se ainda que a12 = 0, então os erros reduzidos …cam�
e1t
e2t
�
=
�
σy εyt
σz εzt � a21σy εyt
�
,
de modo que
var (e1) = σ2y ;
cov (e1, e2) = �a21σ2y ; e var (e2) = σ2z + a221σ2y .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 36 / 69
FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO
Essas três equações combinam-se com as demais estimativas para
identi…car o modelo:
φ10 = b10; φ20 = b20 � b10a21;
φ11 = b11; φ12 = b12;
φ21 = �a21b11 + b21; φ22 = �a21b12 + b22.
A metodologia proposta por Sims pode ser generalizada para um
vetor com n variáveis endógenas. Trata-se de uma maneira triangularde decompor os resíduos, chamada de decomposição de Choleski.
No caso de n variáveis endógenas, a matriz de covariância é de
dimensão n� n. As condições de identi…cação requerem a imposição
de n
2�n
2 restrições. O problema dessa imposição é de…nir a ordenação
das variáveis, que é arbitrária, ainda que atribuída a razões
econômicas. A ordenação das variáveis de…ne a forma das restrições,
de modo que diferentes ordenações geram diferentes restrições.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 37 / 69
FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO
Se os autovalores da polinomial
�
I �∑pi=1 ΦiLi
�
estiverem fora do
círculo unitário, pode-se escrever um VAR (p) como um vetor de
médias móveis in…nito VMA (∞):
Xt � X =
∞
∑
i=0
Φi1et�i =
∞
∑
i=0
Φi1
1� a12a21
�
1 �a12
�a21 1
� �
σy εyt�i
σz εzt�i
�
,
em que X � (I �Φ1)�1 Φ0 é a média de longo prazo.
Seja:
Ψi =
Φi1
1� a12a21
�
1 �a12
�a21 1
�
.
Desse modo:
Xt = X +
∞
∑
i=0
ΨiBεt�i =
= X +
∞
∑
i=0
�
ψi ,11 ψi ,12
ψi ,21 ψi ,22
� �
σy εyt�i
σz εzt�i
�
.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 38 / 69
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FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO
Os elementos da matriz Ψi são os multiplicadores de impacto de um
choque sobre as variáveis endógenas. Assim, o impacto total de um
choque de εyt sobre yt+h é dado pela soma dos coe…cientes ψi ,11,
i = 0, 1, 2, . . . , h.
Veja os grá…cos da função resposta ao impulso. Inicialmente,
impõe-se à simulação que a12 = 0 e a21 = 0, 8. Em seguida,
estima-se o modelo simulado e gera-se a função resposta ao impulso
usando a decomposição de Choleski que assume a12 = 0.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 39 / 69
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INTERVALO DE CONFIANÇA
A função resposta ao impulso é calculada mediante coe…cientes
estimados. Logo, é claro que há um intervalo de con…ança a ser
considerado nessas estimativas. Esse intervalo pode ser calculado de
forma analítica ou por métodos de experimentos de Monte Carlo.
O método analítico torna-se bem complicado quando se imagina um
problema multivariado, em razão das covariâncias cruzadas.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 40 / 69
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INTERVALO DE CONFIANÇA
1 Estime o modelo multivariado e armazene os resíduos estimados,
fbetg;
2 Sorteie os resíduos armazenados com reposição e simule uma nova
série usando as matrizes Φ estimadas no passo anterior. Por exemplo,
no caso de um VAR (1):
bXt = bΦ0 + bΦ1 bXt�1 + bet ;
3 Reestime o modelo e a nova função resposta ao impulso;
4 Repita o processo milhares de vezes;
5 Para construir um intervalo com 95% de con…ança, exclua 2, 5% das
menores e maiores respostas.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 41 / 69
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Nota
experimentos de monte carlonull
DECOMPOSIÇÃO DA VARIÂNCIA
Considere o exemplo das seções anteriores, VAR (1) com duas variáveis
endógenas, y e z :
Xt+h = X +
∞
∑
i=0
Ψi εt+h�i .
Calcule o erro de previsão:
Xt+h � Et (Xt+h) =
h�1
∑
i=0
Ψi εt+h�i .
Esmiuçando apenas yt+h:
yt+h � Et (yt+h) = ψ0,11εyt+h + ψ1,11εyt+h�1 + � � �+ ψh�1,11εyt+1 +
+ψ0,12εzt+h + ψ1,12εzt+h�1 + � � �+ ψh�1,12εzt+1.
Logo:
σ2y (h) = σ
2
y
�
ψ20,11 + ψ
2
1,11 + � � �+ ψ2h�1,11
�
+
+σ2z
�
ψ20,12 + ψ
2
1,12 + � � �+ ψ2h�1,12
�
.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 42 / 69
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DECOMPOSIÇÃO DA VARIÂNCIA
Agora, pode-se decompor a variância do erro de previsão em seus diversos
elementos. Dividindo-se ambos os lados por σ2y (h):
1 =
σ2y
�
ψ20,11 + ψ
2
1,11 + � � �+ ψ2h�1,11
�
σ2y (h)
+
+
σ2z
�
ψ20,12 + ψ
2
1,12 + � � �+ ψ2h�1,12
�
σ2y (h)
.
Decomposição da variância de yt+h � Et (yt+h)
h σy (h)
σ2y (ψ20,11+ψ21,11+���+ψ2h�1,11)
σ2y (h)
σ2z(ψ20,12+ψ21,12+���+ψ2h�1,12)
σ2y (h)
1 0, 956 100, 00 0, 00
2 1, 063 94, 53 5, 47
3 1, 116 88, 09 11, 91
4 1, 152 83, 24 16, 76
5 1, 176 80, 03 19, 97
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DECOMPOSIÇÃO DA VARIÂNCIA
O mesmo é feito com a variável zt+h:
Decomposição da variância de zt+h � Et (zt+h)
h σz (h)
σ2y (ψ20,21+ψ21,21+���+ψ2h�1,21)
σ2z (h)
σ2z(ψ20,22+ψ21,22+���+ψ2h�1,22)
σ2z (h)
1 1, 244 32, 96 67, 04
2 1, 404 25, 51 74, 49
3 1, 462 29, 04 70, 96
4 1, 490 27, 07 72, 93
5 1, 506 26, 06 73, 94
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 44 / 69
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TESTE DE GRANGER-CAUSALIDADE
uma variável é capaz de prever outra? em que condições? Em outras
palavras, a questão fundamental é saber se o escalar y ajuda a prever
o escalar z . Se isso não acontece, então diz-se que
y não-Granger-causa z .
O teste tem o sentido de previsão, não de causalidade econômica,
apesar do nome.
A forma de responder a essa pergunta é usando um teste F
convencional, válido quando os coe…cientes de interesse puderem ser
escritos de modo a multiplicar variáveis estacionárias.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 45 / 69
TESTE DE GRANGER-CAUSALIDADE
O teste é feito da seguinte maneira:
1 Estime zt = φ20 +∑
p
i=1 φi ,21yt�i +∑
p
i=1 φi ,22zt�i + e2t ;
2 Teste se y não-Granger-causa z usando o teste de F , sob:
H0 : φ1,21 = φ2,21 = � � � = φp,21 = 0�H1 : φi ,21 6= 0, i = 1, 2, . . . , p,
em que a estatística do teste é dada por:
S1 =
(e2r �e2u)
p
e2u
T�2p�1
d! F (p,T � 2p � 1) ,
em que r representa restrito e u, não restrito. Se S1 > F 5%, rejeita-se
a hipótese nula de que y não-Granger-causa z .
3 Um teste equivalente é:
S2 =
T
�
e2r � e2u
�
e2u
d! χ2p .
Rejeita-se a nula se S2 > χ2p (5%).
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 46 / 69
TESTE DE GRANGER-CAUSALIDADE
Teste de causalidade de Granger não é a mesma coisa que teste de
exogeneidade. Para que zt seja exógeno a yt , é preciso que zt não
seja afetado contemporaneamente por yt . A forma reduzida do VAR
não permite que se faça esse tipo de teste. O teste de causalidade de
Granger inclui, pois, valores correntes e passados de yt sobre zt .
Pode-se fazer o mesmo teste em contextos de mais variáveis, cujo
nome é teste de bloco-exogeneidade. Estima-se o modelo com e sem
restrição e utiliza-se o teste F , como visto anteriormente.
É importante observar que, em sistemas com n > 2 , o teste de
causalidade é mais complicado de ser feito, e a interpretação necessita
de maiores cuidados. O problema que pode ocorrer ao não rejeitar a
nula é não perceber a dinâmica mais complicada do modelo em que
uma variável, apesar de não causar diretamente outra (por exemplo,
y2t não Granger-causa y1t), pode causá-la indiretamente. Isso
ocorrerá quando y2t causar y3t , que, por sua vez, causa y1t . O teste
de Granger-causalidade não foi desenvolvido para esse tipo de caso.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 47 / 69
EXEMPLO
Se o Banco Central, de fato, determina a taxa Selic, então alterações na
taxa efetiva praticada no mercado …nanceiro deveriam responder às
alterações na meta de…nida pelo Banco Central. Por outro lado, não há
razões para acreditar que alterações nas taxas de mercado afetem a meta
de…nida pelo Banco Central.
Teste Ng-Perron
MZa MZt MSB MPT
Meta - Nível �5, 706 �1, 440 0, 252 5, 030
Meta - Primeira Diferença �943, 032 �21, 714 0,023 0, 025
Efetiva - Nível �5, 153 �1, 345 0, 261 5, 420
Efetiva - Primeira Diferença �14, 426 �2, 685 0, 186 1, 698
1% �13, 800 �2, 580 0, 174 1, 780
5% �8, 100 �1, 980 0, 233 3, 170
10% �5, 700 �1, 620 0, 275 4, 450
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 48 / 69
EXEMPLO
Como os dados são diários e apenas os para dias úteis, utilizam-se 20
defasagens de cada variável. As variáveis estão em primeira diferença,
então os resultados informam se a variação de uma variável ajuda a
explicar a variação da outra defasagem.
Teste de Causalidade de Granger
Hipótese Nula Obs Estatística F Probabilidade
META não-Granger-causa EFETIVA 1858 4, 503 0, 000
EFETIVA não-Granger-causa META 0, 395 0, 992
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 49 / 69
VAR ESTRUTURAL
Existem outras formas de de…nir restrições sobre a matriz A, de modo
a identi…car os parâmetros estruturais. Usa-se a teoria econômica
para de…nir as restrições da matriz A completamente, com risco de
sobreidenti…cação.
Para entender o procedimento, considere um VAR (1) com n variáveis:
AXt = B0 + B1Xt�1 + Bεt .
Quando se estima a forma reduzida, obtêm-se os resíduos bet , tal que:
Bbεt = Abet .
O problema é restringir o sistema, de forma a recuperar εt conforme a
hipótese de que cada resíduo do sistema estrutural é independente um
do outro.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 50 / 69
VAR ESTRUTURAL
Considere a matriz de covariância dos erros da forma reduzida:
Σ =
26664
σ11 σ12 � � � σ1n
σ21 σ22 � � � σ2n
...
...
. . .
...
σn1 σn2 � � � σnn
37775 ,
bσij = 1T T∑t=1 beitbejt .
Σ é simétrica ! n(n+1)2 elementos diferentes. Elementos da diagonal
de A são unitários ! �n2 � n� elementos desconhecidos.
Desconhecem-se as n variâncias de ε. Logo, há n2 elementos
desconhecidos e n(n+1)2 conhecidos.
Restrições a impor: n2 � n(n+1)2 = n(n�1)2 , embora insu…ciente para
identi…cação exata, pois existem não-linearidades no sistema de
equações.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 51 / 69
Exemplo
Logo:
BB 0 = Var (Aet ) = AVar (et )A0.
Suponha o seguinte sistema de equações, em que se admite conhecer
a matriz de covariância de et :�
σ2ε1 0
0 σ2ε2
�
=
�
1 a12
a21 1
� �
0, 5 0, 4
0, 4 0, 6
� �
1 a21
a12 1
�
=
=
�
0, 5+ 0, 4a12 0, 4+ 0, 6a12
0, 5a21 + 0, 4 0, 4a21 + 0, 6
� �
1 a21
a12 1
�
=
�
0, 5+ 0, 8a12+0, 6a212 0, 5a21+0, 4a12a21+0, 4+ 0, 6a12
0, 5a21+0, 4+ 0, 4a12a21+0, 6a12 0, 5a221+0, 8a21+0, 6
�
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 52 / 69
Exemplo
Há três equações independentes com quatro incógnitas
(a12, a21, σ2ε1 , σ
2
ε2):
σ2ε1 = 0, 5+ 0, 8a12 + 0, 6a
2
12;
0 = 0, 5a21 + 0, 4+ 0, 4a12a21 + 0, 6a12;
σ2ε2 = 0, 5a
2
21 + 0, 8a21 + 0, 6.
Impondo a restrição de Choleski, a12 = 0, calculam-se:
σ2ε1 = 0, 5;
0 = 0, 5a21 + 0, 4 =) a21 = �0, 8
σ2ε2 = 0, 5a
2
21 + 0, 8a21 + 0, 6 =) σ2ε2 = 0, 28.
A função resposta ao impulso. No caso de um VAR (1) bivariado,
essa função é:
Ψi = Φi1
�
1 0
�a21 1
�
.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 53 / 69
Exemplo
Outra restrição: uma inovação em ε2t pode ter um efeito unitário em y1t
! a12 = 1:
σ2ε1 = 1, 9;
a21 = �109 ;
σ2ε2 = 0, 5
100
81
� 0, 810
9
+ 0, 6 = 0, 328.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 54 / 69
Exemplo
Há casos em que as restrições podem não gerar resultados únicos. Por
exemplo: a correlação cruzada no modelo bivariado estrutural é única,
a12 = a21 = a:
0 = 1, 1a+ 0, 4+ 0, 4a2 =) a =
� �0.173
�0.928 ;
σ2ε1 = 0, 5+ 0, 8a+ 0, 6a
2 =) σ2ε1 =
�
0.414
0.460
;
σ2ε2 = 0, 5a
2 + 0, 8a+ 0, 6 =) σ2ε2 =
�
0.477
0.288
.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 55 / 69
DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Forma de identi…cação com base em restrições determinadas pela
teoria econômica.
Imposição de restrições a respeito do comportamento de longo prazo
de uma variável a partir do choque estrutural em uma outra variável.
Suponha um vetor Xt = (∆yt , ut )
0, em que yt representa o logaritmo
do produto, e ut , a taxa de desemprego.
As variáveis respondem a um vetor de choques dado por
εt = (εt ,d , εt ,s ).
O produto é afetado por choques de demanda, e o desemprego, por
choques de oferta.
Os choques entre oferta e demanda não são correlacionados.
Os choques de demanda têm efeitos temporários; os choques de
oferta têm efeitos permanentes.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 56 / 69
DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Normalizando B = I , considere
AXt =
p
∑
j=1
BjXt�j + εt ,
em que var (εt ) = I .
O modelo na forma reduzida …ca:
Xt =
p
∑
j=1
A�1BjXt�j + A�1εt =
p
∑
j=1
ΦjXt�j + et ,
em que
A�1Bj � Φj ;
Aet = εt .
Há duas representações equivalentes de Xt , dependendo de o modelo
partir da forma reduzida ou estrutural.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 57 / 69
DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Partindo da forma reduzida, pode-se escrevê-lo como: 
I �
p
∑
j=1
ΦjLj
!
Xt = et =) Xt =
 
I �
p
∑
j=1
ΦjLj
!�1
et =)
Xt =
 
∞
∑
j=0
CjLj
!
et , (3)
em que
C0 � I ;�
I �∑pj=1 ΦjLj
��1 � ∑∞j=0 CjLj ;
var (et ) = Σ.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 58 / 69
DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Partindo da forma estrutural, obtém-se: 
A�
p
∑
j=1
BjLj
!
Xt = εt =) Xt =
 
A�
p
∑
j=1
BjLj
!�1
εt =)
Xt =
 
∞
∑
j=0
AjLj
!
εt , (4)
em que
�
A�∑pj=1 BjLj
��1 � ∑∞j=0 AjLj .
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 59 / 69
DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Dado que C0 = I , das equações (4) e (3) resultam as seguintes relações:
A0εt = et =) A0εt�j = et�j ;
Aj εt�j = Cjet�j =) Aj εt�j = CjA0εt�j )
Aj = CjA0, j > 0.
Além disso,
A0εt = et =) A0εt = A�1εt =) A0 = A�1.
Essa relação é importante porque vão ser impostas restrições à matriz A0.
Rodrigo De Losso da Silveira Bueno () Capítulo 6: Vetor Autorregressivo Outubro 2016 60 / 69
DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Do termo A0εt , veri…ca-se que:
A0εt = et =)
A0A00 = Σ.
Esse sistema de equações resulta, como já foi visto, em n(n+1)2 equações.
No caso bivariado, são explicitamente dadas por:
a211,0 + a
2
12,0 = var (e1) ;
a11,0a21,0 + a12,0a22,0 = cov (e1, e2) ;
a221,0 + a
2
22,0 = var (e2) .
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DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Aqui introduzem-se as restrições de longo prazo. Considere a equação (4)
no modelo bivariado:
Xt =
∞
∑
j=0
�
a11,j a12,j
a21,j a22,j
�
εt�j .
Para que o choque de demanda não tenha efeitos de longo prazo sobre o
produto, impõe-se:
∞
∑
j=0
a11,j = 0.
Tendo-se A0 e Cj , este obtido da estimação do modelo reduzido, e valendo
a relação Aj = CjA0, pode-se obter Aj .
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DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Para operacionalizar o procedimento:
1 Estime o modelo VAR (p) e obtenha as matrizes bΦj ;
2 Obtenha as matrizes Cj resolvendo: 
∞
∑
j=0
bCjLj
!
=
 
I �
p
∑
j=1
bΦjLj
!�1
;
3 Sabendo que Aj = CjA0, imponha a restrição de longo prazo;
4 Resolva o sistema de equações e encontre os coecientes de A0.
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EXEMPLO
�
a11,j a12,j
a21,j a22,j
�
=
�
c11,j c12,j
c21,j c22,j
� �
a11,0 a12,0
a21,0 a22,0
�
=
=
�
a11,0c11,j + a21,0c12,j a12,0c11,j + a22,0c12,j
a11,0c21,j + a21,0c22,j a12,0c21,j + a22,0c22,j
�
Impondo a restrição de longo prazo:
∞
∑
j=0
a11,j = 0 = a11,0
∞
∑
j=0
c11,j + a21,0
∞
∑
j=0
c12,j .
Logo, as equações a serem resolvidas para obter os coe…cientes de A0 são:
a211,0 + a
2
12,0 = var (e1) ;
a11,0a21,0 + a12,0a22,0 = cov (e1, e2) ;
a221,0 + a
2
22,0 = var (e2) ;
a11,0
∞
∑
j=0
c11,j + a21,0
∞
∑
j=0
c12,j = 0.
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DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
Uma vez obtida a matriz A0, podem-se recuperar os erros estruturais
da seguinte relação:
εt = A�10 et ,
e, assim, encontrar a função resposta ao impulso e a decomposição da
variância.
Não se devem associar choques de demanda ao componente
transitório do ciclo de negócios, e choques de oferta, ao componente
permanente de tendência. O componente transitório pode ocorrer
devido a uma combinação de choques na oferta e demanda, assim
como choques de oferta afetarão simultaneamente os componentes
cíclico e permanente da economia.
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ESTIMAÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL*
Considere mais uma vez o modelo estrutural:
AXt =
p
∑
i=1
BiXt�i + Bεt , εt � i .i .d .N (0, In) .
Empilham-se as matrizes Xi s, de modo que
Yt =
�
X 0t�1 X 0t�2 � � � X 0t�p
�0
,A = A�1 [B1,B2, . . . ,Bp ]:
Xt = AYt + A�1Bεt ,
em que B é a matriz de desvio padrão de dimensão n� n.
A função de verossimilhança será dada por:
ln (A,A,B) = �n (T � p)
2
ln 2pi � (T � p)
2
ln
��A�1BB 0A�10���
�1
2
T
∑
t=p+1
(Xt �AYt )0
�
A�1BB 0A�10
��1
(Xt �AYt ) .
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ESTIMAÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL*
T
∑
t=p+1
(Xt �AYt )0
�
A�1BB 0A�10
��1
(Xt �AYt ) =
= (T � p)tr
h
(X �AZ )0 �A�1BB 0A�10��1 (X �AZ )i
em que X =
h
X 0p+1,X 0p+2, . . . ,X 0T
i0
e Z =
h
Y 0p+1,Y 0p+2, . . . ,Y 0T
i0
. Logo
ln (A,A,B) = constante +
(T � p)
2
�
ln jAj2 � ln jB j2
�
�
� (T � p)
2
tr
�
A0B 0�1B�1A (X �AZ )0 (X �AZ )� .
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ESTIMAÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL*
Se não houver restrições sobre as matrizes A e B, pode-se estimarbΣ = (X�bAZ )(X�bAZ )0T , em que �X � bAZ� são os resíduos do VAR
reduzido, bA = XZ 0 (ZZ 0)�1. Daí, é possível concentrar a função anterior
para maximizar:
lnc (A,B) = constante +
(T � p)
2
�
ln jAj2 � ln jB j2
�
�
� (T � p)
2
tr
h
A0B 0�1B�1AbΣi .
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TESTE LR PARA SOBREIDENTIFICAÇÃO
1 Estimada a matriz de covariância não restrita, bΣ, e como se sabe que
BB 0 = AbΣA0, reescrever bΣ:bΣ = A�1BB 0A0�1.
2 Imponha as restrições sobre A e B e maximize :
�T2 ln
��A�1BB 0A0�1��� 12 ∑Tt=1 be 0t �A�1BB 0A0�1��1 bet .
3 Calcule a nova matriz de covariância restrita: bΣr = bA�1bB bB 0bA0�1.
4 Proceda ao teste estatístico de razão de verossimilhança dado por:
LR = T
�
ln
���bΣr ���� ln ���bΣ���� d�! χ2q ,
em que q é o número de restrições acima de n(n�1)2 .
5 Se há dois conjuntos de restrições tais que q1 > q2, pode-se testar a
hipótese de as restrições serem equivalentes pelo teste:
LR = T
�
ln
���bΣr1 ���� ln ���bΣr2 ���� d�! χ2q1�q2 .
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	INTRODUÇÃO
	ESPECIFICAÇÃO DE MODELO
	TESTANDO HIPÓTESES
	INFERÊNCIA
	VERIFICAÇÃO
	PREVISÃO
	FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO
	DECOMPOSIÇÃO DA VARIÂNCIA
	TESTE DE GRANGER - CAUSALIDADE
	VAR ESTRUTURAL
	DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH
	ESTIMAÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL*
	TESTE LR PARA SOBREIDENTIFICAÇÃO