Modelo VAR

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Modelo VAR
Motivação e Definições:
· O que o VAR traz de novo para nós? 
· Para fazer previsão univariada (uma única série ou variável) usamos o modelo ARMA.
· Para fazer análise de sensibilidade (ex.: de em em ) contemporânea (num único período de tempo ) usamos o modelo de regressão.
· O VAR faz previsão conjunta para e ao mesmo tempo, quando e tem feedback no tempo.
· Exemplo de um VAR simples com 3 variáveis Considere a seguinte relação entre é inflação, é o hiato do produto e a taxa nominal de juros
Podemos rescrever este sistema de equação na forma matricial como
onde definimos
Ou seja, 
· é simplesmente um modelo para vetores: Seja um vetor com variáveis . O modelo na forma reduzida coloca todas as variáveis como função dos valores passados de todas elas na forma
onde é um vetor de tamanho e cada é uma matrix quadrada dos coeficientes. Ou, usando o polinômio matricial no operador lag 
onde 
· Ruído Branco Vetorial: O vetor de erros é uma variável aleatória multivariada, ou seja, um vetor aleatório com as seguintes propriedades:
· Todos os erros tem média zero, , .
· Todas as variâncias são constantes, 
· Não tem correlação no tempo .
· Mas podem ter correlação contemporânea entre eles 
· Em notação vetorial podemos resumir as propriedades acima dizendo que é um ruído branco vetorial, ou seja: 
onde é uma matriz positiva definida.
VAR Forma Reduzida vs. Forma Estrutural:
· VAR Forma Reduzida vs. Forma Estrutural: Note que, na nossa definição de VAR, somente relações lineares entre uma variável e o passado de todas as outras (incluindo o passado dela mesma) podem ser modeladas. 
Ou seja (e isso é IMPORTANTE!) não modelamos explicitamente relações contemporâneas entre as variáveis (Ex.: afeta ou vice-versa?). Esse formato é conhecido como VAR na forma reduzida (ou simplesmente VAR). 
	Uma outra abordagem (chamada de VAR na forma estrutural, ou SVAR) toma a seguinte forma 
onde modela as possíveis relações contemporâneas entre as variáveis.
· Exemplo de um SVAR: Considere o seguinte modelo de oferta e demanda 
Podemos reescrever como , onde
Ou seja,
Considerando que B é invertível (), teríamos 
onde e .
· VAR Forma Reduzida vs. Forma Estrutural: A diferença entre um VAR na forma reduzida e na forma estrutural se resume às restrições impostas nas matrizes (na forma reduzida não existem restrições!) .
Muitas vezes a teoria econômica diz alguma coisa a respeito dos coeficientes:
· Variáveis monetárias não podem ter efeito no longo prazo;
· Equação de estoque no modelo de oferta e demanda;
· Função de reação do banco central;
· Quando impomos essas restrições o modelo passa a ser chamado de VAR na forma estrutural;
· Por enquanto vamos focar na forma reduzida, que é ateórica e tem como função primordial a previsão conjunta. Trataremos de modelos SVAR em detalhes no futuro.
VAR = Correlação; SVAR = Causalidade
Propriedades e Estimação
· como um : Considere um padrão dado por
Podemos representar esse modelo sem perda de generalidade como um . Isso facilita em algumas demonstrações. Para ver isso, note que o modelo acima é equivalente à
onde é o vetor que empilha as variáveis na forma
 e e
são definidos de maneira apropriada (exemplo no próximo slide).
· Representação de um : Na forma :
Onde
Note que a primeira equação (matricial) é o próprio e as demais são apenas identidades do tipo para .
· Condição de Estacionariedade: Na forma temos . Fazendo substituição recursiva idênticas a que fizemos para o 
Suponha que todos autovalores de são menores que em módulo. Então . estacionariedade
· Para entender esse ponto suponha que é diagonalizável. Então temos 
onde é a matriz diagonal contendo todos autovalores de e é a matriz dos autovetores correspondentes.
· E se F não for diagonalizável?
· Momentos de um Estacionário: Sob estas condições temos que o tem um representação na forma
assim fica fácil calcular a média e a estrutura de covariância
onde é uma matriz com um bloco com a diagonal dada por .
· Estacionariedade do VAR:
· Condição de estacionariedade do VAR: quando os autovalores da matriz forem todos menores do que em módulo, o processo será fracamente estacionário.
· Isso é equivalente a dizer que todas as “raízes” do polinômio matricial na representação estão fora do círculo unitário.
· Caso algum autovalor é análogo a presença de raiz unitária em um . Distribuição multivariada não trivial. Nunca é testado na prática conjuntamente. As pessoas testam cada série individualmente (não é a mesma coisa!)
· Se a condição de estacionariedade acima for satisfeita, a LLN e o CLT para vetores se aplicam de maneira análoga ao caso univariado na presença de algum tipo de ergodicidade.
· Estimação de VAR na Forma Reduzida: 
· Estimado por quasi-verossimilhança (assume ).
· Como sempre em modelos lineares, isso se traduz em minimizar a soma do quadrado dos resíduos 
· O caso de estimador de OLS com heterocedasticidade desconhecida.
· Em tese estimaríamos por FGLS, mas no caso em que todas as equações tem exatamente os mesmos regressores, FGLS é numericamente igual ao OLS, equação a equação.
· É possível provar que existe uma bijeção dos erros originais para uma forma alternativa, onde a matriz Σ é diagonal (detalhes em Hamilton pag 260-261).
· Na prática, então, podemos estimar por OLS cada equação do VAR e obter as matrizes .
· Calculamos, então, os resíduos de cada equação e obtemos um estimador para como sendo 
· E se o lag foi subestimado no VAR, o que acontece?
· Estimação se torna inconsistente pela mesma razão discutida do .
· É importante escolhermos a ordem do VAR portanto. Como fazer?
· Encontrando a ordem do VAR: Usamos novamente os critérios de informação 
onde é o determinante neste caso. 
· Seguimos novamente o protocolo 
1. Escolhe um grande o suficiente.
2. Calcula o e/ou e/ou para todo .
3. Escolhe com o menor e/ou e/ou .
Previsão e Causalidade Granger
· Causalidade de Granger: a variável Granger-causa a variável se a variável pode ser usada para melhorar as previsões futuras de . Em termos matemáticos:
A ideia de Granger ao propor esse teste é que se um evento é a causa de um evento , então o evento deveria preceder o evento . O que vocês acham disso? 
· Antes de explorar mais a parte “filosófica” dessa “causalidade”, vamos discutir como testar isso! Pensem em um . Alguma ideia?
· Para testar a hipótese nula de não-causalidade de Granger, basta testar a restrição nos parâmetros das matrizes fora da diagonal via um teste !
· Causalidade de Granger: Exemplos (1) 
· Seja e o preço de um ativo e seu total de dividendos em e a taxa de juros. Considere o modelo padrão de precificação de ativos
Seja e dois ruídos brancos e que os dividendos se comportem da seguinte maneira
Logo: . Substituindo acima:
Em palavras: preço do ativo é a soma de um ruído branco com uma constante e logo não pode ser previsto pelo passado. Porém, isolando na equação de e aplicando temos: 
Assim, substituindo a equação acima na de dividendos temos: 
Ou seja, rejeitaríamos que Granger-causa mas não o contrário, o que é o oposto do que a teoria nos diz! Alguma intuição do porque isso acontece? 
Aqui reage ao valor futuro esperado de ! Ou seja, o preço carrega informação sobre dividendos futuros. O teste de causalidade de Granger seria um teste de mercados eficientes e não de causalidade em si!
· Causalidade de Granger: Exemplos (2): Considere o seguinte modelo de variáveis onde os erros de cada equação são homocedásticos e não autocorrelacionados
Ou seja, não melhora a projeção nem de ou , além do que conseguimos usando lags dessas variáveis. Mas o que aconteceria se testássemos causalidade no sentido de Granger entre e ?
	Como é correlacionado com e com não rejeitariamos causalidade no sentido de Granger (ainda que a causalidade no sentido convencional não existisse). Problema aqui é o clássico variável omitida.
· Causalidade de Granger – Notas: Os exemplos mostram que causalidadee causalidade de Granger são coisas bem distintas. Isso quer dizer que o conceito é inútil? Não necessariamente. Pense no exemplo de choques do petróleo e atividade econômica. Podemos verificar que a primeira Granger-causa a segunda e a segunda não Granger-causa a primeira. Nesse caso parece fazer sentido pensar em “causalidade”. Isso posto, só faz sentido estimar VAR se houver causalidade de Granger. Um com variáveis sem causalidade de Granger é equivalente a “independentes”.
· Previsão com VAR: É muito tedioso e complicado fazer previsão diretamente no . É bem mais fácil trabalhar com sua representação 
Previsão pontual se faz como no , ou seja, para um horizonte de tempo dado informação até temos
O erro de previsão populacional para o horizonte é definido como e, é dado, em analogia com o caso , por
Assim a variância do erro de previsão de um á dada por 
· Se os erros forem normalmente distribuídos, podemos seguir os mesmos passos da aula para ver que assintóticamente
Onde é o estimador de .
· Se os erros não forem normalmente distribuídos, temos que usar Bootstrap.
· Se quiser retornar à variável original, basta definir
tal que e portanto