Cap 7

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Mecânica Geral
Capítulo 4 (Seção 4.1) – Carregamento distribuído
Prof.: Kelvin Barbosa
E-mail: kelvincristien@ucl.br
Faculdade do Centro Leste Graduação – www.ucl.br
Forças distribuídas sobre viga – Seção 4.10
𝑝 = 𝑝 𝑥 = 𝑁/𝑚2 𝑤 = 𝑤 𝑥 = 𝑁/𝑚
Forças distribuídas sobre viga
Exemplo: Um carregamento distribuído com p = 800x Pa
atua no topo de uma superfície de uma viga, como mostrado
na figura. Determine a intensidade e a localização da força
resultante equivalente.
Mecânica Geral
Capítulo 7 – Forças Internas
Prof.: Kelvin Barbosa
E-mail: kelvincristien@ucl.br
Faculdade do Centro Leste Graduação – www.ucl.br
Objetivos
• Mostrar como utilizar o método das seções para determinar
as forças internas em um elemento.
• Generalizar esse procedimento pela formulação de equações
que podem ser traçadas graficamente, de modo que sejam
descritas as camadas internas e os momentos através de um
elemento.
Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
Para projetar um elemento estrutural ou mecânico há a
necessidade de uma investigação das cargas que atuam em
seu interior para a garantia que o material utilizado possa
resistir a tal carregamento.
O método das seções é utilizado para determinar os efeitos
internos.
Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
Inicialmente temos uma viga apoiada, onde há algumas forças
submetidas (𝑭𝟏 e 𝑭𝟐) as reações de apoio (𝑨𝒙, 𝑨𝒚 e 𝑩𝒚).
Para determinar as forças internas que atuam na seção reta em
C, deve-se fazer um secionamento imaginário da viga, dividindo a
viga em duas partes.
Ao cortar a viga, as forças internas ao corte tornam-se externas
no diagrama de corpo livre de cada parte secionada.
Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
Como ambas as partes (AC e CB) estavam em equilíbrio
antes da viga ser secionada, o equilíbrio de cada uma dessas
partes é mantido, desde que os componentes retangulares
das forças 𝑵𝒄 , 𝑽𝒄 e o momento resultante 𝑴𝒄 sejam
desenvolvidas nessa seção de corte.
A intensidade de cada uma das cargas internas podem ser
determinadas pela aplicação das três equações de equilíbrio
tanto no segmento AC quanto ao CB.
Mesma intensidade e 
sentidos opostos!
Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
Os componentes da força N, atuando normal à viga na região
de corte, e V, que atua tangente a essa região, são
denominados força normal ou axial e força de cisalhamento
ou esforço cortante, respectivamente. O momento M é
denominado momento fletor.
Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais
Exemplo de Diagrama de Corpo Livre
Exemplos
Ex.1: Um barra é fixada em sua
extremidade e é carregada como
mostra a figura. Determine as forças
normais internas nos pontos B e C.
Exemplos
Ex.2: O eixo circular está sujeito a três torques concentrados,
como mostra a figura. Determine os torques internos nos
pontos B e C.
Exemplos
Ex.3: A viga sustenta o carregamento, conforme a figura.
Determine as forças internas normal e de cisalhamento e o
momento fletor que atuam nos pontos B e C, localizados,
respectivamente, à esquerda e à direita do ponto de aplicação
da força de 6 kN.
Exemplos
Ex.4: Determine as forças
internas normal e de
cisalhamento e o momento
fletor atuando no ponto B da
estrutura de dois elementos
mostrada na figura.
Exemplos
Ex.5: Determine a força normal, a
força de cisalhamento e o
momento fletor que atuam no
ponto E da estrutura carregada,
como mostra a figura.
Equações e Diagramas de Forças de 
Cisalhamento e de Momentos Fletores
Vigas são elementos estruturais projetados para suportar
carregamentos.
O projeto real de uma viga requer um conhecimento detalhado
da variação da força de cisalhamento (V) e do momento fletor
(M) que atuam em cada ponto ao longo do eixo da viga.
Equações e Diagramas de Forças de 
Cisalhamento e de Momentos Fletores
As variações de V e M como funções da posição x ao longo do eixo
da viga podem ser obtidas utilizando-se o método das seções (visto
no início deste capítulo).
Se os resultados são colocados em gráficos, as variações de V e M
como função de x são denominadas diagrama de forças de
cisalhamento e diagrama de momentos fletores, respectivamente.
As funções de força de cisalhamento e de momento fletor são
descontínuas ou suas inclinações são descontínuas em pontos onde
ocorrem mudanças nas cargas distribuídas ou onde forças ou
momentos concentrados são aplicados. Dessa forma, essas funções
devem ser determinadas para cada segmento da viga, localizado
entre quaisquer descontinuidades de carregamentos.
Equações e Diagramas de Forças de 
Cisalhamento e de Momentos Fletores
Por exemplo, as seções localizadas em 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 deverão ser
usadas para descrever as variações de V e M ao longo de todo
o comprimento da viga.
Essas funções serão válidas somente nas regiões de O ate a
para 𝑥1, de a até b para 𝑥2 e de b até L para 𝑥3.
Equações e Diagramas de Forças de 
Cisalhamento e de Momentos Fletores
Convenção de Sinais:
As direções positivas são denotadas por uma força interna de
cisalhamento que provoca no elemento em que atua rotação no
sentido horário e por um momento fletor interno que causa
compressão na parte superior do elemento.
Exemplos
Ex. 6: Desenhe os diagramas de forças de cisalhamento e de
momentos fletores para o eixo mostrado na figura. O apoio em
A é um mancal axial e o apoio em C é um mancal radial.
Exemplos
Ex. 7: Desenhe os diagramas de forças de cisalhamento e de
momento fletores para a viga mostrada na figura.
Relação entre Carregamento Distribuído, Força de 
Cisalhamento e Momento Fletor
Quando a viga está submetida a várias cargas concentradas,
momentos e carregamentos distribuídos, o método de
construção de diagramas visto anteriormente pode ser muito
cansativo.
Veremos agora, uma forma mais simples de construir esses
diagramas – um método baseado em relações diferenciais que
existem entre o carregamento, força cisalhante e o momento
fletor.
Relação entre Carregamento Distribuído, Força de 
Cisalhamento e Momento Fletor
Carga Distribuída:
A carga distribuída será considerada positiva quando o
carregamento atuar para baixo.
Fazendo o diagrama de corpo livre para um pequeno
comprimento (∆𝑥) da viga onde não ocorre forças nem
momentos concentrados, temos:
Qualquer resultado obtido não será aplicado a pontos
onde se localizam os carregamentos concentrados.
Relação entre Carregamento Distribuído, Força de 
Cisalhamento e Momento Fletor
Carga Distribuída:
Dividindo as expressões anteriores de variação de força
cisalhante e de momento fletor por ∆𝑥 e tomando o limite para
∆𝑥 → 0, chegaremos as seguintes equações:
Equação (1)
Equação (2)
Relação entre Carregamento Distribuído, Força de 
Cisalhamento e Momento Fletor
Carga Distribuída:
A equação (1) determina a inclinação no diagrama de forças de
cisalhamento e é igual ao negativo da intensidade da carga
distribuída.
Já a equação (2) estabelece a inclinação no diagrama dos
momentos fletores e é igual à força de cisalhamento.
Em particular, se uma força de cisalhamento é nula,
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 0,
indica que um ponto de força de cisalhamento igual a zero
corresponde a um ponto de máximo (ou mínimo) momento
fletor.
Relação entre Carregamento Distribuído, Força de 
Cisalhamento e Momento Fletor
Carga Distribuída:
As equações (1) e (2) podem ser reescritas em formas de
cálculos de áreas. Baseando-se na figura, podemos integrar
entre dois pontos B e C para obtermos a área.
Equação (3)
Equação (4)
Relação entre Carregamento Distribuído, Força de 
Cisalhamento e Momento Fletor
Carga Distribuída:
A equação (3) determina que a variação das forças de
cisalhamentoentre os pontos B e C é igual ao negativo da área
sob a curva de carregamento distribuído entre esses dois
pontos.
Já a equação (4) determina a variação dos momentos fletores
entre B e C é igual à área sob a curva no diagrama de forças
de cisalhamento, na região compreendida por BC.
Dessa forma, podemos estabelecer que, se a curva de
carregamento 𝑤 = 𝑤(𝑥) é um polinômio de grau 𝑛, então 𝑉 =
𝑉(𝑥) será uma curva de grau 𝑛 + 1 e M = 𝑀(𝑥) será uma curva
de grau 𝑛 + 2.
Relação entre Carregamento Distribuído, Força de 
Cisalhamento e Momento Fletor
Força Concentrada:
Fazendo um diagrama de corpo livre de um
pequeno seguimento da viga que envolve o ponto
de aplicação de uma das forças.
Para a condição de equilíbrio de forças, temos:
Logo, a variação na força de cisalhamento é negativa e no
diagrama de força de cisalhamento ocorrerá uma ‘queda’
quando F atuar na viga, forçando-a para baixo. E ocorrerá o
contrário se F for para cima.
Relação entre Carregamento Distribuído, Força de 
Cisalhamento e Momento Fletor
Momento Concentrado:
Fazendo um diagrama de corpo livre de um
pequeno seguimento da viga que envolva a
aplicação de um momento fletor.
Fazendo ∆𝑥 → 0, para a condição de equilíbrio do momento, 
temos:
Logo, a variação no momento fletor é positiva, ou o diagrama
de momentos fletores sofrerá uma ‘elevação brusca’, ou ainda
sofrerá uma descontinuidade para cima se 𝑴𝒐 atuar no sentido
horário. Quando 𝑴𝒐 atuar no sentido anti-horário a
descontinuidade (∆𝑀) será para baixo.
Exemplos
Ex. 8: Represente o diagrama de forças de cisalhamento e de
momentos fletores para a viga mostrada na figura.
Exemplos
Ex. 9: Construa os diagramas de forças de cisalhamento e de
momentos fletores para a viga mostrada na figura.
Exemplos
Ex. 10: Construa os diagramas de forças de cisalhamento e de
momentos fletores para o eixo na figura. O apoio em A é um
mancal axial e o apoio em B é um mancal radial.
Exemplos
Ex. 11: Esboce os diagramas de forças de cisalhamento e de
momentos fletores para a viga mostrada na figura.