Lista 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
UNIDADE ACADEMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 2
2017.1 – Lista 1 (func¸o˜es de va´rias varia´veis, limite e continuidade)
1. Encontre uma func¸a˜o de va´rias varia´veis que descreva:
(a) O volume de a´gua necessa´rio para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y
metros de altura.
(b) A quantidade, em me´tros quadrados, de papel de parede necessa´rio para revestir as pare-
des laterais de um quarto retangular de x metros de largura e y metros de comprimento,
se a altura do quarto e´ z metros.
(c) O volume de um paralep´ıpedo retaˆngulo de dimenso˜es x, y e z.
2. Calcule os valores das func¸o˜es nos pontos dados.
(a) f(x, y) =
x + y
x− y
i. f(−3, 4) ii. f(1
2
, 1
3
) iii. f(x + 1, y − 1)
(b) f(x, y) =
√
x2 − y
i. f(3, 5) ii. f(x + 2, 4y + 4) iii. f
(
1
x
,
−3
x2
)
(c) f(x, y) =
4
x2 + y2 + z2 − 9
i. f
(−2
x
,
2
x
,
−1
x
)
ii. f(x + 2, 1, x− 2) iii. f
(
1
x
,
−3
x2
)
3. Determine o domi´ınio das func¸o˜es e fac¸a o seu esboc¸o.
(a) f(x, y) = x2 − y2
(b) f(x, y) =
√
y − x− 2
(c) f(x, y) = ln (x2 + y2 − 4)
(d) f(x, y) =
(x− 1)(y + 2)
(y − x)(y − x3)
(e) f(x, y) =
sinxy
x2 + y2 − 25
(f) f(x, y) = cos−1 (y − x2)
(g) f(x, y) = 4x2 + 9y2
(h) f(x, y) =
√
(x2 − 4)(y2 − 9)
(i) f(x, y) =
√
16− x2 − 4y2
(j) f(x, y) =
√
x2 − y2 − 1
(k) f(x, y) = 6− 2x + 3y
(l) f(x, y) =
√
x2 − 4y2 + 16
(m) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1
(n) f(x, y) =
1√
1− x2 − y2
(o) f(x, y) =
1√
16− x2 − 4y2
(p) f(x, y) =
x4 − y4
x2 − y2
(q) f(x, y) = cos−1 (x− y)
(r) f(x, y) = sin−1 (x + y)
(s) f(x, y) = ln xy − 1
(t) f(x, y, z) = cos−1 x + cos−1 y + cos−1 z
(u) f(x, y, z) = lnx + ln y + ln z
(v) f(x, y, z) =
3
x2 + 2y2 + 3z2
(w) f(x, y, z) = 12− x + 4y − 3z2
(x) f(x, y, z) =
1√
9− x2 − y2 − z2
(y) f(u, v, w) =
√
5− u2 − v2 − w2
(z) f(x, y, z) =
√
1− x2 + √1− y2 +√
1− z2
4. Determine as curvas de n´ıvel Ck para os valores de k indicados e fac¸a o seu esboc¸o.
(a) f(x, y) = x2 − y2; k = 0, 1, 2, 3
(b) f(x, y) = y2 − x2; k = 0, 1, 2, 3
(c) f(x, y) = 2− x2 − y2; k = −3,−2,−1, 0, 1, 2
(d) f(m,n) = 1
2
√
m2 + n2; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
(e) f(x, y) = 2x2 + y2; k = 2, 3, 4, 8
5. Determine a imagem e esboce algumas curvas de n´ıvel das func¸o˜es dadas.
(a) f(x, y) = (y − 2x)2
(b) f(x, y) =
x− y
x + y
(c) f(x, y) = y = lnx
(d) f(x, y) =
y
x− 2
(e) f(x, y) = yex
(f) f(x, y) = x2 − y2
(g) f(x, y) = ey/x
6. Determine a imagem e sescreva as superf´ıcies de n´ıvel das func¸o˜es.
(a) f(x, y, z) = x + 4y + 7z
(b) f(x, y, z) = x
(c) f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 7z2
(d) f(x, y, z) = y
(e) f(x, y, z) = x2 − y2 + z2
(f) f(x, y, z) = z
(g) f(x, y, z) = x2 − y2
7. Duas curvas de n´ıvel podem se interseptar? Justifique.
8. Duas superf´ıcies de n´ıvel podem se interseptar? Justifique.
9. Determine o limite ou mostre que eles na˜o existe:
(a) lim
(x,y)→(1,2)
(x2 − 2xy + 5y2 − 17) cos
(
1
x + y − 3
)
(b) lim
(x,y)→(2,3)
3x2 + xy − 2y2
(c) lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4
x2 + (y − 1)2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
y4
x4 + 3y4
(e) lim
(x,y)→(1,1)
(x− 1)4/3 − (y − 1)4/3
(x− 1)2/3 − (y − 1)2/3
(f) lim
(x,y)→(2,4)
y
√
x3 + 2y
(g) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
(h) lim
(x,y)→(2,−1)
3x− 2y
x + 4y
(i) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x2 + y2
(j) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz2 + xz2
x2 + y2 + z4
(k) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + sen2y
2x2 + y2
(l) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + 2xy√
x2 + y2
(m) lim
(x,y)→(0,0)
6x3y
2x4 + y4
(n) lim
(x,y)→(0,0)
ex + ey
cosx + cos y
(o) lim
(x,y)→(0,0)
sen2x + cos2 y
e2x + e2y
(p) lim
(x,y)→(0,0)
x2y4
x4 + y4
(q) lim
(x,y)→(0,0)
x2y + xy2
x2 + y2
(r) lim
(x,y)→(0,0)
x2sen2y
x2 + 2y2
(s) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2√
x2 + y2 + 1− 1
10. Determine o maior conjunto em que a func¸a˜o e´ cont´ınua.
(a) f(x, y) = 5xy3 + 2x2y2 + y − 8
(b) f(x, y) =
x2 + 3xy
x2 − y2
(c) f(x, y) = cos (x− y)−√x + y + 1
(d) f(x, y) = cos (x− y)−√25− x2 − y2
(e) f(x, y, z) =
√
y
x2 + y2 + z2
(f) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 − 9)
(g) f(x, y) =

x4 − y4
x2 − y2 , se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
(h) f(x, y, z) =

x2 − y2 + z2
x2 + 3y2 + z2
, se (x, y) 6= (0, 0)
3 , se (x, y) = (0, 0)
11. Determine h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto no qual h e´ cont´ınua.
(a) g(t) =
√
t, f(x, y) = x2 + y2
(b) g(t) =
1
t
, f(x, y) = x2 − y2
(c) g(t) = t2 + ln t, f(x, y) =
xy
1 + x2 + y4