1a_Lista_de_Exercicios

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FURB – Universidade Regional de Blumenau Departamento de Engenharia Elétrica e de Telecomunicações 
Disciplina: Eletromagnetismo 1-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
1ª Lista de Exercícios 
 
(Todos os exercícios do Capítulo I do livro Eletromagnetismo, autor Edminister compõem esta lista) 
 
1. Dois pontos de carga Q1 = 2 µC e Q2 = -3 µC são mantidos a parte conforme figura. 
Um terceiro ponto de carga Q3 = 1,5 µC é colocado sobre o ponto A . 
(a) Calcule a amplitude e direção da força que age sobre Q3 utilizando a lei de 
Coulomb. 
(b) Calcule o campo elétrico em A devido as cargas Q1 e Q2. Confirme que a força 
calculada pela equação EQF
rr
= é a mesma que a encontrada em (a). 
 
2. Calcule o campo elétrico E
r
 devido as condições abaixo, utilizando a lei de Gauss: 
(a) uma carga Q uniformemente distribuída sobre uma superfície esférica de raio a; 
(b) uma carga Q uniformemente distribuída dentro de um volume esférico de raio a; 
(c) uma superfície grande, fina e plana de carga, onde a densidade de carga é uniforme 
e igual a qs em C/m2 
 (Resposta: (a) 24/ rQ opiε , (b) 24/ rQ opiε , (c) osq ε2/ ) 
 
 
3. A carga CQ µ501 = encontra-se fixa no ponto (0,0,0). A carga CQ µ302 −= 
encontra-se fixa no ponto (-2, 0, -3)cm. 1Q e 2Q são cargas puntiformes. Encontre o 
campo elétrico no ponto (2, 3, 3)cm. 
 
 y 
 
 
 x 
 
 z 
 
 
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Disciplina: Eletromagnetismo 2-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
4. Uma carga de 5nC está situada no ponto ( zr ,,ϕ ) = (2 m, 115o, 4 m) e outra carga de 
5 nC está no ponto (2 m, -25o , 4 m). Encontre Er na origem. 
 
5. Três pontos de carga QQ =1 , QQ 22 = , QQ =3 estão situados nas pontas de um 
triangulo eqüilátero de lado D. Determine o campo elétrico no centro do triângulo, 
como uma função de Q e D 
 
 
6. No fio condutor da figura abaixo, de comprimento B, tem-se a carga total Q, 
uniformemente distribuída ao longo do comprimento. Calcule o campo E
r
 no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
7. Dois pontos de carga Q1 = 10-6 C e Q2 = -5 x 10-6 C são colocados em x = 0 e x=0,1 
metros respectivamente. Calcule: 
(a) a diferença de potencial VP1P2; 
(b) o trabalho realizado por um experimentador que movimente uma carga q = -10-7 C 
do ponto P1 até P2. Indique com clareza se o experimentador está realizando ou 
recebendo trabalho. 
 
 
 Q1 P1 P2 Q2 
 
 0,00 0,02 0,04 0,10 x(m) 
 
 
(Respostas : (a) -412 kV (P2 tem um potencial mais baixo que P1) (b) 41,2 mJ - o experimentador 
realiza trabalho) 
 
 
8. Um disco fino de raio a possui uma densidade superficial de carga qs. Calcule o 
campo elétrico E
r
 em um ponto situado a distância b, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Resp.: )/(
50
.5
2
0
mVa
R
QE yy
r
εpi
= ) 
 
B A 
P 
b 
a 
P 
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Disciplina: Eletromagnetismo 3-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
9. Um ponto de carga Q é colocado no ponto (1,0) como indicado na figura. 
(a) Determine o campo elétrico em função de Q no ponto (0,1). 
(b) Obtenha a função V(x,y) que descreve o potencial devido à Q e, em seguida, derive 
a expressão para o campo elétrico em (0,1). Confirme que os resultados para o 
campo são idênticos em (a) e (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. (a) Utilizando a equação do potencial elétrico devido a um ponto de carga, 
obtenha a equação do potencial no ponto A com respeito ao ponto B, devido a 
um ponto de carga + Q, como indicado na figura. 
(b) Obtenha um equação para o campo elétrico e calcule a diferença de potencial 
VAB através de integração. Confirme que os resultados são identicos aos obtidos 
em (a). 
 
Dica: escolha um caminho de integração que simplifique os cálculos. Tente o 
caminho A A’ B. 
 
 A 
 ra 
 
 A’ 
 
 
 Q(+) B 
 rb 
 
 
( Resposta: 





−=
bao
AB
rr
QV 11
4piε
 ) 
 
 
 
y 
x Q 
r 
(x, y) 
(1,0) 
0 x(m) 
 
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Disciplina: Eletromagnetismo 4-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
11. Dois pontos de carga Q1 e Q2 são colocados conforme indicado na figura. Uma 
carga q é transportada do ponto A até o ponto B. Calcule o trabalho realizado no 
deslocamento da carga. O agente que movimenta a carga precisa realizar 
trabalho? 
 
(Resposta: - 44,9 µJ, o agente ganha) 
 
 
 q = -12 nC 
 0,01 m A 
 0,02 m 
 B 
 Q1 = 15 nC 
 
 0,02 m 
 
 0,03 m 
 
 
 Q2 = -20 nC 
 
12. (a) Obtenha a expressão para a capacitância por metro, entre dois condutores 
paralelos, como indicado na figura. Assuma que cargas de valor +q e –q estejam 
uniformemente distribuídas ao longo dos condutores. 
(b) Calcule a ddp entre os pontos A e B. 
 E1 
 
 A 
 
 E 
 
 E2r1 
 r2 
 
 
 
 a P1 P P2 a -qe 
 +qe 
 
 x 
 d 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Eletromagnetismo 5-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
13. A situação abaixo representa dois condutores cilíndricos paralelos, assuma que 
as cargas +2 x 10-3 C/m e – 2 x 10-3 C /m são linearmente distribuídas nos dois 
condutores. 
 A 
 
 
 
 
 
 r1 
 r2 
 εo 
 
 
 a P1 P P2 a 
 +q -q 
 
 x 
 d 
 
 
com: a = 15 mm, d = 1,5 m, r1 = 2 m, r2 = 1,4 m 
 
Calcule: 
(a) Calcule o valor do campo elétrico no ponto A. 
(b) Calcule a ddp entre os condutores. 
(c) Calcule a capacitância entre os condutores por unidade de comprimento. 
(d) Calcule a ddp entre o ponto A e o ponto P, com x = d/2. 
 
 
14. Quatro pontos de carga Q1, Q2, Q3 e Q4 estão fixas nos pontos P1(7,0,0); 
P2(0,8,0); P3(0,0,6) e P4(7,8,6) respectivamente, sendo metro a unidade das 
distâncias. As cargas tem os seguintes valores: Q1 = +2 x 10-6 C; Q2 = +2 x 10-6 
C ; Q3 = +2 x 10-6 C e Q4 = -2 x 10-6 C. 
 
(a) Calcule a força que atua sobre a carga Q4. 
(b) Calcule o campo elétrico no ponto P4 devido as cargas Q1, Q2 e Q3. 
(c) Calcule a ddp entre os pontos P5(0,8,6) metros e P6(7,8,0) metros. 
(d) Calcule o trabalho realizado por um agente que movimente uma carga q = +1 x 10-6 
C do ponto P5 ao ponto P6, indicando se o experimentador realiza ou recebe o 
trabalho. 
 
15. Derive a expressão da capacitância entre duas esferas concêntricas condutoras de 
raio r1 e r2 (r2 >r1). Derive a expressão para a capacitância de uma única esfera 
isolada de raio r1. 
 
(Resp.: C = 4piε/(1/r1 – 1/r2), C = 4piεr1) 
 
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Disciplina: Eletromagnetismo 6-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
16. Dois cilindros condutores longos são separados por duas camadas de dielétricos 
perfeitos, como mostrado na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r1 = 1 mm ε1 = εo 
r2 = 5 mm ε2 = 5εo 
d = 2 mm 
 
(a) Encontre a fórmula do campo elétrico entre os dois cilindros condutores. 
(b) Calcule a capacitância total por metro. 
(c) Calcule o valor máximo do campo elétrico E entre os cilindros quando uma ddp 
igual a 100 V é aplicada entre as duas placas coaxiais. 
 
(Resp.: (a) primeira camada: E = q/2piε1r ; segunda camada: E = q/2piε2r – (b) C = 63,4 pF/m ; Emax = 114 
kV/m ) 
 
 
17. Um condutor cilíndrico longo de raio a corre paralelamente a uma altura h 
(h>>a) acima de um plano condutor infinito, como indicado na figura: (Método 
das imagens!) 
 
 
 
 
 h h >> a 
 
 
 
 
 
 
(a) Calcule a capacitância por unidade de comprimento entre o cilindro e o plano. 
(b) Calcule o campo elétrico Er e a densidade superficial de carga nos pontos A e B, 
quando uma ddp Vo se estabelece entre o cilindro e o plano. 
(Resp.: (a) C = 2piε/ ln[ (2h-a)/a ] 
 
r1 
r2 
d 
ε1 
ε2 
A 
B 
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Disciplina: Eletromagnetismo 7-12 
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18. Um capacitor de placas paralelas é isolado por três camadas de dielétricos ideais, 
conforme figura. O máximo valor de campo elétrico admissível em cada camada 
é: E1,max = 300 kV/cm ; E2,max = 100 kV/cm ; E3,max = 10 kV/cm. Calcule a 
energia máxima por m2 de área de eletrodo que pode ser armazenada neste 
capacitor sem que se ultrapasse o valor máximo de campo elétrico (rigidez 
dielétrica) em nenhum dos materiais. Desconsidere o efeito das bordas. 
 
(Resp.: 45, 7 µJ/m2) 
 
 
 
 
 εr1 = 5 d1 = 10 µm 
 
 
 εr2 = 3 d2 = 10 µm 
 
 
 εr3 = 1 d3 = 5 µm 
 
 
 
 
 
19. Dois eletrodos de placas paralelas são imersos em um dielétrico fluido e a ddp 
Vo é aplicada, como indicado na figura. A densidade de massa do fluido é ρm e a 
aceleração da gravidade é g. Forças por atrito e tensão de superfície no fluido e 
efeito das bordas são desprezíveis. Derive a expressão para a altura x a qual o 
fluido entre os eletrodos assumirá. 
{Resp.: x = 0,5(ε - εo)(Vo2/s2 ρm g) } 
 
 Vo t = profundidade 
 
 
 
 
 d 
 x 
 
 
 
 
 Fluido dielétrico 
 
 
 
 
 
 
εo 
ε
 
εo 
εo 
ε
 
ε
 
S
 
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Disciplina: Eletromagnetismo 8-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
20. As duas placas do capacitor estão desalinhadas como mostrado. Efeito das 
bordas pode ser desprezado, e o campo elétrico entre as duas placas podem ser 
considerado uniforme no volume ABCDA’B’C’D’. A diferença de potencial V é 
aplicadaentre os eletrodos. Derive a fórmula para: 
(a) a força que atua na placa móvel na direção y (indique se é repulsiva ou atrativa); 
(b) ]a força que atua na placa móvel na direção de x (indique se a força está no sentido 
de alinhar ou desalinhar as placas). 
{ Resp.: (a) -εo xdv2/2t2 atrativa, (b) εo dv2/2t alinhar) 
 
 placa fixa 
 A’ B’ 
 
 
d D’ C’ 
 
 
 
 A B 
 placa móvel 
 t y 
 
 
 D Fy C 
 
 
 Fx x 
 
 
21. Um condutor cilíndrico de raio igual a 1 cm corre ao longo de uma cavidade 
condutora cilíndrica de raio igual a 2 cm, coaxialmente a mesma (veja figura). 
Uma ddp Vo é aplicada entre A e B. Desprezando o efeito das bordas, calcule o 
campo elétrico máximo no dielétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r1 = 1 cm r2 = 2 cm ℓ = 5 cm 
 
A 
B 
r1 
r2 
ε
 
ℓ
 
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Disciplina: Eletromagnetismo 9-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
22. Uma nuvem de trovoada típica pode ser simulada por um capacitor de placas 
paralelas; com as placas posicionadas horizontalmente, área das placas igual a 
10 km2, separadas entre si por uma distância vertical de 5 km. A placa superior 
homogeneamente e positivamente carregada com 200 C e a inferior com carga 
de igual valor mas de sinal contrário. 
a) Calcule a energia eletrostática armazenada na nuvem. 
b) Qual a ddp entre os pontos superiores e inferiores da nuvem? 
c) Qual o valor médio do campo elétrico na nuvem? 
d) Comente os resultados considerando que a rigidez dielétrica do ar seco é 
aproximadamente igual a 3 x 106 V/m. 
 
 
23. Dois condutores coaxiais são indicados na figura. O espaço entre os condutores é 
preenchido por ar com exceção de uma seção de comprimento x a qual é preenchida por 
um dielétrico sólido. Despreze o efeito das bordas. 
(a) Obtenha a equação para a capacitância total C(x) entre os eletrodos. 
(b) Um ddp igual a Vo é aplicada entre os eletrodos. Obtenha a expressão da força que 
age sobre o dielétrico sólido. 
 
 Eletrodos cilíndricos 
dielétricos 
 
 Externo 
 
 Interno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Dois pontos de carga, Q1 = 72 pC e Q2 = 36 pC, estão fixos nos pontos P1(-1,5 ; 
1,5; -2,0) e P2(3,3 ; -4,0 ; 3,0) respectivamente, sendo as distâncias dadas em 
centímetros. 
a. Calcule a força sobre a carga Q1. 
b. Calcule o potencial no ponto P0(0,0 ; 0,0 ; 0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
r1 
r2 
εo 
x
 
d
 
εεεεrεεεεo 
εεεεrεεεεo 
x 
z 
y 
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Disciplina: Eletromagnetismo 10-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
24. Entre duas placas planas condutoras foi inserido um material dielétrico, tal que o 
mesmo distancia-se das placas por duas camadas de ar, como indicado na figura. A 
ddp entre as placas, V = 100 kV, é mantida por uma fonte contínua. Despreze o efeito 
das bordas e calcule: 
a. Os campos elétricos nas três regiões entre as placas. 
b. A capacitância do conjunto 
c. Responda se haverá ruptura em alguma das camadas de dielétrico e justifique. 
 
Dados: 
mFxo /1085,8
12−
=ε 5=rε 
ardodielétricarigidezkVcmK o →=
−1300 
materialdodielétricarigidezkVmmK →= −14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. Calcule a força que atua sobre o dielétrico parcialmente inserido entre as placas 
paralelas do capacitor da figura. 
 
Profundidade dentro do papel = t 
 
 
 
 
 
 
 Fe εo d 
 
 
 
 
 
 x 
 
 L 
{ Res. )(
22 0
22
εεεε −=





−=
d
tv
d
t
d
tvF oe } 
2 mm 1 mm 2 cm 
εo εo 
εr 
εr 
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Disciplina: Eletromagnetismo 11-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD 1a lista de exercícios 
26. Um pequeno eletrodo móvel A é colocado entre as placas de um eletrodo fixo B e 
pode rotacionar em torno do eixo OO’, como mostrado na figura, onde (a) é a 
vista transversal do arranjo e (b) a vista superior. Uma ddp V é aplicada entre os 
dois eletrodos sendo que o eletrodo interno é mantido a potencial positivo. 
(a) Utilizando simplificações, obtenha a expressão para a capacitância entre os dois 
eletrodos para diferentes valores de θ, o ângulo de superposição. 
(b) Obtenha uma expressão para o torque que age no eletrodo interno. 
 
 
 O’ 
 Placa fixa, B 
 
 
 Placa móvel, A 
 
 
 
 
 O 
Campo elétrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Te 
 
 
 
 
 
{ Resp.: 
d
VRRTe o
22
1
2
2 )( −
=
ε } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R1 
θ 
R2 
Te 
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Disciplina: Eletromagnetismo 12-12 
Profa Elisete Ternes Pereira, PhD1a lista de exercícios 
FORMULÁRIO 
 
εo = 8,85 x 10-12 F/m EQF
rr
=
 22
1
4
Q
r
Q
F
o






=
piε
 
 
QsdD
S
=•∫
rr
 
ED o
rr
ε=
 
 
∫ −=•−=
b
a
aVbVdEtrabalho )()(l
rr
 ∫ −=•−=
b
a
aVbVdEpdD )()(.. l
rr
 
 
r
Q
rV
o
1
.
4
)(
piε
=
 





+=
2
2
1
1
4
1)(
r
Q
r
Q
rV
opiε
 
 
 
dx
VEx
∂
−=
 dy
VEy
∂
−=
 
dz
VEz
∂
−=
 
222
zyx EEEE ++= 
 
Cvq =
 ∫ ∫
= =
=
======
Q
oq
Q
q
Q
q
QVCV
C
Q
C
qdq
C
q
vdqW
0
2
2
0
2
2
1
2
1
22 
 
 
 
2
2
1 Ewe ε= (J/m3) )( dxFvdqdW ee −+= 
 
 
 
dxqxFdqqxvqxdW ee ),(),(),( −= dxvxFvxvdqvxdW ee ),(),(),( −= 
 
x
qxWqxF ee ∂
∂
−=
),(),(
 
vqvxWvxW ee =+ ),(),( ' 
q
qxWqxv e
∂
∂
=
),(),(
 
x
vxW
vxF ee ∂
∂
=
),(),(
'
 
 
ϑ
ϑϑ
∂
∂
=
),(),(
'
vW
vT ee ϑ
ϑϑ
∂
∂
−=
),(),( qWqT ee