2a_Lista_de_Exercicios

Prévia do material em texto

Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 1 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
2ª LISTA de EXERCÍCIOS 
 
 
1. 1 . Um segmento de condutor é mostrado na figura abaixo. Obtenha a expressão para o campo 
magnético no ponto P (siga os mesmos procedimentos 
adotados em sala). 
{Resp.: B = (µoI/4pid)(senα1 + senα2) } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma espira condutora quadrada é mostrada na figura abaixo. Obtenha a expressão para o 
campo magnético no centro da espira (O). 
{Resp.: B = √2 (µoI / pid) } 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
4. 
5. 
3. Um enrolamento é constituído por 80 espiras bem compactadas na forma de um hexágono 
regular de 12 cm de lado e portador de uma corrente de 2A. Encontre o valor da intensidade 
do campo magnético em um ponto sobre o eixo e a 5 cm do plano estabelecido pelas espiras. 
(Resp. 550 A/m) 
 
 
4. Um elétron viaja com velocidade V ao longo do eixo x, quando encontra uma região de 
campo magnético onde B tem a direção do eixo z. Mostre que a trajetória do elétron será 
circular e derive a expressão para seu raio r e para a freqüência angular de rotação w. 
 (dica: no equilíbrio a força magnética é a força centrípeta ( meV2/r ), onde me é a massa do elétron. Para 
velocidade circular V = wr ,w e r são chamados freqüência e raio de Larmor respectivamente. Tente alguns 
cálculos com estas quantidades.) 
{Resp.: r = meV/eB, w = eB/me } 
 
 
 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 2 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
 
5. Uma espira condutora quadrada, portadora de corrente I, é colocada sobre o plano x-y como 
mostra a figura. Um campo magnético B, paralelo ao eixo y, é aplicado. Calcule a força 
(amplitude e direção) que atua nos vários segmentos da espira. 
{Resp.: em BC e DA a força é zero, em AB e CD é igual a B I ℓ, resultando num torque anti-horário.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Quatro condutores longos são mostrados na figura abaixo. A lei de Ampère é aplicada em 
cada uma das três curvas C1, C2 e C3, conforme figura. Obtenha para cada, caso a “corrente 
total” em cada curva. 
{Resp.: C1: ( I2-I1), C3: (I3-I4), C2: (-I1+I2-I3+2I4)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B
r
I1
I2
C1
I3
I4
C2
C3
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 3 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
 
7. Um condutor cilíndrico longo, de raio a, conduz uma corrente I. Encontre a fórmula para o 
campo magnético, válida para toda a extensão do espaço, nos casos seguinte: 
(a) a corrente flui uniformemente pela superfície do condutor; 
(b) a ocorrente flui uniformemente através da seção transversal do condutor. 
(c) para o caso quando I = 10 A, a = 2 mm e distribuição uniforme de corrente sobre a 
superfície do condutor, desenhe 3 linhas-B tal que o fluxo por metro entre linhas 
adjacentes seja igual a 2 µWb. 
(d) calcule o valor da indutância por metro do condutor descrita em (b). 
(Dica: Utilize integração (de área) nos itens (c) e (d) ) 
 
{Resp.: a) B(r) = µoI/ 2pir para r >> a, b) B(r) = µoIr/ 2pia2 para r < a, 
 c) Linhas-B em r = 2 mm, 5,44 mm, 14,8 mm, d) µo/4pi } 
 
8. Uma espira retangular de fio condutor é colocada nas proximidades de um fio condutor 
retilíneo, como mostra a figura. Derive a expressão 
para o fluxo Φ produzido pelo condutor retilíneo e 
associado com a espira retangular. Em seguida 
encontre a indutância mútua entre o condutor reto e a 
espira, definida como M = Φ/I . 
{Resp.: (µob/ 2pi) ln[ (d+a)/d ] } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Desenvolva uma expressão para a intensidade do campo magnético no interior de um 
condutor cilíndrico sólido (para r < a), devido a uma corrente 
uniformemente distribuída no interior do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b
d
I
a
I
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 4 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
 
10. Determine a intensidade do campo magnético no interior de um condutor cilíndrico oco, 
condutor de uma corrente axial I, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Determine a intensidade H de campo magnético no interior do núcleo de um toróide, sobre o 
qual estão montadas N espiras uniformemente enroladas, portadoras de uma corrente I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b
II
I
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 5 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
12. Uma bobina de 1000 espiras é enrolada sobre um núcleo de material ferromagnético, como 
indicado na figura. Calcule a indutância do enrolamento. 
{ Resp.: 0,117 H } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Um mecanismo atuador é mostrado na figura abaixo. Os itens 1 e 2 têm permeabilidade 
infinita. Todos os itens têm a mesma seção transversal S. Uma linha-B típica, pontilhada, é 
mostrada e assume-se que a fuga e o espalhamento são desprezíveis. Derive uma expressão 
para a indutância do enrolamento. {Resp.: L = µoSN2/ (g+x) } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 N : espiras 
 
 
 
 
 
 
14. Um mecanismo atuador é representado na figura. O material ferromagnético que constitui o 
núcleo e o núcleo móvel tem permeabilidade infinita. Obtenha uma expressão para a 
indutância do enrolamento. 
{Resp.: L = 2 µoSN2/ (g+x) } 
 
 
 
Escova plástica ( µr = 1) 
x 
g 
Fe 
Fe 
Item 1 
Item 2 
mmcmcm g 2;2;3 21 === lll
2
2
2
1 4;2 cmScmSS g ===
500;1000 == respirasN µ
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 6 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
 
 g g pistão 
 escovas plásticas 
 
 entre-ferro 
 
 2S 
 S S 
 
 
 
 Enrolamento Núcleo 
 
15. Um anel de material magnético composto é visto na figura. O material é constituído por um 
núcleo interno de baixo µ envolto por uma camada de µ alto. O comprimento médio do anel é 
igual a 2m. Calcule a fmm (ampere-espira = NI) do enrolamento, requerido para estabelecer 
uma densidade de fluxo de 0,2 T no material interno do núcleo, e calcule o fluxo total através 
do circuito magnético. Despreze as fugas e assuma que o campoé constante em cada material. 
 
{Resp.: 637 Ampere-espira, 4,6 x 10-4 Wb) 
 
 
 µr2 = 1000 / S2 = 8 cm2 
 
 A A 
 
 
Enrolamento µr1 = 500 / S1 = 7 cm2 
 
 Anel de material composto Seção transversal AA 
 
 
16. Um elétron-volt é a energia cinética adquirida por um elétron submetido a uma d.d.p. de 1V. 
Um elétron com energia de 104 eletron-volts é projetado perpendicularmente a uma região de 
campo magnético uniforme de densidade igual a 0,01 T. Determine a que distância do ponto 
de entrada se encontrará o elétron após 3 x 10-9 seg. 
{Resp.: 33 mm] 
 
17. Um elétron viaja com velocidade v ao longo do eixo x, quando encontra uma região de campo 
magnético B, tendo B a direção do eixo z. 
 
(a) Mostre que a trajetória do elétron será circular e encontre a expressão para seu raio (r) e 
para a frequência angular de rotação (w). 
 
(b) Sabemos que potencial elétrico (V) é a medida do trabalho realizado para deslocar uma 
carga de 1 coulomb ao longo de um caminho numa região de campo elétrico (E). Assim, 
se o valor da carga deslocada for multiplicado pelo valor do potencial elétrico, tem-se uma 
medida da energia (W) adquirida ou despendida pela carga neste deslocamento. Uma vez 
x 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 7 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
que o deslocamento de elétrons, provocado por uma diferença de potencial é muito 
comum, em certos equipamentos utiliza-se a unidade elétron-volt (eV) para quantificar-se 
a energia que o elétron adquire ou despende ao longo de seu deslocamento. A carga, e, do 
elétron multiplicada pela ddp, V, resulta então em um valor de energia em joules (J). 
 
Sabemos também, da mecânica, que a energia envolvida no deslocamento de uma massa 
é dada pela expressão: 2
2
1
mvW = onde, m é a massa e v a velocidade de 
deslocamento. 
 
Considere agora que, um elétron acelerado por uma ddp de 900 V penetra perpendicularmente 
em uma região de campo magnético, onde B = 10 mT. Descreva e quantifique o movimento 
do elétron. 
 
 
18. Um gerador elementar é mostrado na figura. Uma espira retangular, dimensões a, b, 100 
espiras) é rotacionado com freqüência angular constante, w = 314 rad/s. 
(a) Desprezando as fugas e assumindo um campo magnético uniforme no entre ferro, calcule 
a densidade de fluxo Bg no entre-ferro. 
(b) Derive a expressão para a tensão V(t) induzida na espira. 
 
{Resp.: (a) Bg = 50 mT, (b) V(t) = 0,62 cos (314t) V } 
Dados: 
 
l1 = 2 cm , l2 = 10 cm , lg = 2 cm 
a = b = 2 cm µr = 1000 
N1 = 500 , N2 = 100, I = 2A 
 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 8 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
19. Para o circuito magnético da figura abaixo calcule a corrente que deve fluir no enrolamento 
para que uma densidade de fluxo igual a 0,82 T se estabeleça. Calcule o fator de aumento da 
corrente para que a densidade de fluxo dobre para 1,64 T. 
{Resp.: 6,91 A, fator de 2,41) 
 
 
 A = 1 cm2 
 
 
 
 li = 6 cm 
 
 
 
 
N = 100 espiras lg = 1 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B (T) 
 
 
 1,5 
 
 
 
 1,0 
 
 
 
 
 0,5 
 
 
 
 H (kA/m) 
 1 2 3 4 5 6 
 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 9 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
20. No circuito magnético da figura a porção de material ferro magnético tem as características 
fornecidas pela curva B-H. O enrolamento tem 100 espiras. Calcule: 
(a) Primeiro, a corrente necessária para produzir uma densidade de fluxo magnético igual a 
0,6 T no entre-ferro. 
(b) Em seguida, a indutância do enrolamento. 
 
 0,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 cm2 2,7 cm 4,7 cm 
 
 
 1 cm2 
 
 
 
 
 
 1 cm 
 
 1,5 cm 2 cm 
 
 
 B (T) 
 
 1,2 
 
 1,0 
 
 0,8 
 
 0,6 
 
 0,4 
 
 0,2 
 
 H (A/m) 
 200 400 600 800 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 10 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
21. Observe o diagrama abaixo, onde uma bobina de 4 espiras está presa no prato direito da 
balança e tem sua parte inferior submetida a um campo magnético, cuja densidade de fluxo é 
perpendicular ao plano das espiras. Quando uma corrente de 170 mA percorre a bobina no 
sentido horário a balança sai do equilíbrio, o qual é restaurado por uma massa de 16,4 gramas 
colocada no prato esquerdo. Determine o valor da densidade de fluxo B, expresso em gauss. 
 
Dado � 1 Wb/m2 = 104 gauss 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prato Prato 
 Esquerdo Direito 
 
 
 
 
 
 L=10cm 
 Bobina 
 (enrolamento 
 de 4 espiras) 
 C = 60 cm 
 
 Campo magnético, B ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 
 (perpendicular ao papel, ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 
 entrando) ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 
 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 11 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
22. O núcleo do circuito magnético da figura é constituído por material cuja curva B-H é 
fornecida. O enrolamento tem 1500 espiras e por ele flui uma corrente de 20 mA . Calcule a 
densidade de fluxo magnético em cada entre-ferro.Obs.: todas as medidas na figura estão em centímetros. 
 
 
 B (mT) 
 
 7 
 
 6 
 
 5 
 
 4 
 
 3 
 
 2 
 
 H (A/m) 
 100 200 300 400 
 
 
 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 12 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
 
23. Os elementos de um auto-falante são representados na figura abaixo. O enrolamento de voz é 
montado sobre um cone, como indicado. O Item 1 é feito de ferro doce (µr = 500) enquanto 
que o Item 2 é feito de material imã permanente (i-p). A curva do imã permanente (i-p) é uma 
linha reta definida pelos ponto Br = 1T e Hc = -5 x 104 A/m. Após fazer as simplificações 
necessárias calcule a densidade fluxo magnético produzida pelo i-p no entre-ferro. Se o 
enrolamento de voz é feito por 1 metro de fio condutor e por ele flui uma corrente de 125 mA, 
calcule a força axial que atua sobre o enrolamento de voz devido ao campo produzido pelo i-
p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área transversal: Ai = Ag = Am/2 
 li = 6 cm, lm = 2 cm, lg = 1 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imã permanente 
lm 
Item 2 
Item 1 
Enrolamento de voz 
lg 
li 
µr = 500 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 13 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
24. Um circuito magnético constituído por um imã permanente, ferro doce e entre-ferro é 
mostrado na figura (a) abaixo. Um linha-B típica ABCDEFA é também mostrada. Fugas e 
espalhamento são desprezíveis. A parte relevante da curva B-H aparece na figura (b). Detalhe 
dimensionais são apresentados na tabela abaixo: 
 
 
 
Comprimento (m) Área transversal (m2) 
AB 0,06 2 X 10-4 
BC 0,02 1 X 10-4 
CD 0,001 1 X 10-4 
DE 0,02 1 X 10-4 
EF 0,06 2 X 10-4 
FA 0,03 2 X 10-4 
 
Calcule a densidade de fluxo magnético no entre-ferro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Imã permanente entre-ferro 
 
 
 
 
 
 
 
 Fe, µr = 500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C 
D 
E F 
B(T) 
H(kA/m) 
0,6 
-80 
B = 0,6+7,5x10-6 H 
Curso: Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia 14 
Profa Dra Elisete Ternes Pereira Notas de aula 
Formulário – Capítulo 3 
 
g = 9,8 m/s2 
 
me = 0,91 x 10-30 kg e = 1,6 x 10–19 C Ej
rr
σ=
 
 
wrv =
 
HB o
rr
µ=
 µo = 4pi x 10-7 
 
 
)( BxIF
r
l
rr
=
 
)( BxvqF
rrr
=
 
)( BxVEqF
rrrr
+=
 
 
r
mvFcentripeta
2
=
 
S
B Φ=
 T (= Wb/m2 ) 24
)(
R
âxdIBd o
pi
µ l
r
r
=
 
 
∫ ∫
−
==
2
1
cos
4
ϕ
ϕ
ϕϕ
pi
µ d
d
IdBB o
 
HB
rr
µ=
 
 
CeminclusatotalcorrentedH
C
∫ =• l
rr
 I
L
λ
=
 (H) 
 






=ℜ Aorm µµ
l
 
Φ= Nλ
 
m
NI
ℜ
=Φ
 
 
fw pi2=
 
 
dt
dVind
λ
=
 
2
2
1
om LIwarmazenadaenergia == 
 
iww mm λ=+ ' 
x
xiw
F mm ∂
∂
=
),('
 ϑ
ϑ
∂
∂
=
),(' iwT m
 
 
2111 MiiL +=λ 





∂
∂
=
x
xiLiFm
),(5,0 2
 






∂
∂
=
ϑ
ϑ),(5,0 2 iLiT
 
 
25,05,0' Liiww mm === λ