CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS MATEMÁTICA

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REPRESENTAÇÂO DOS CONJUNTOS 
 
Os conjuntos são representados por letras 
maiúsculas e os elementos do mesmo são 
representados entre chaves. Assim, teríamos: 
 
O conjunto das letras do nosso alfabeto; L= 
{a, b, c, d,..., z}. 
 
O conjunto dos dias da semana: S= 
{segunda, terça,... domingo}. 
 
A representação de conjuntos pode ser feita 
de três maneiras: 
 
1º - Por extensão 
 
Um conjunto pode ser descrito por 
extensão: quando o número dos seus elementos for 
finito e suficientemente pequeno enumerando 
explicitamente todos os seus elementos colocados 
entre chaves e separados por vírgulas. 
 
Exemplos: 
 
A = {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril,..., 
Novembro, Dezembro} - Conjunto dos meses do 
ano. 
 
V = {a, e, i, o, u} - Conjunto das vogais. 
 
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…} Conjunto dos 
números pares positivos. 
 
2º - Por compreensão: 
 
Um conjunto é representado por 
compreensão quando: é enunciada uma 
propriedade característica dos seus elementos. Isto 
é, uma propriedade que os seus e só os seus 
elementos possuam. 
 
Exemplos: 
 
B(meses do ano) 
 
C= {letras do alfabeto} 
 
D= {os meus CDs de música} 
 
P = {p ∊ N: p = 2q para algum q ∊ N} 
 
Q = {x ∊ N: x é primo} 
 
R = {x: x é um número natural par e 
positivo} 
 
3º - Por diagramas (diagramas de Venn) 
 
Conjunto unitário 
 
É o conjunto que possui um único elemento. 
Assim, teríamos: 
A= {fevereiro}, B = {Número primo que é par}. 
 
Conjunto vazio 
 
É o conjunto que não possui elementos. 
 
É representado por: {} ou Ø 
 
Assim teríamos: A= {} ou A = Ø 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO – SUBCONJUNTOS 
 
Seja por exemplo, o conjunto das letras do 
nosso alfabeto: 
 
B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,..., z} 
 
Vemos que B é formado por um conjunto de 
vogais (V) e um conjunto de consoantes (C). Logo 
poderíamos dizer que o conjunto das vogais faz parte 
do conjunto das letras do nosso alfabeto, e indica-se 
por: 
 
V ⊂ B ou B ⊃ V 
 
Assim se lê cada um dos dois símbolos: 
 
⊂ ..... “Está contido em” 
 
⊃ ..... “Contém” 
 
Em caso contrário indicaríamos por: 
 
⊄ ..... “Não está contido em” 
 
⊅ ..... “Não contém” 
 
 
A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∊ A⇒ X ∊ B) 
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Observação importante: O conjunto vazio 
é o único conjunto que é subconjunto de qualquer 
conjunto 
 
RELAÇÃO DE IGUALDADE 
 
Dois conjuntos, M e N, dizem-se iguais 
quando todo elemento de M pertence a N, e todo 
elemento de N pertence a M, ou seja, M é 
subconjunto de N e N é subconjunto de M. 
 
Logo: Se M ⊂ N e M ⊃ N → M=N 
 
Exemplificando teríamos: 
 
M = {Márcia, Maria, Fábio} 
 
N = {Fábio, Maria, Márcia} 
 
Podemos ver que os elementos de M estão 
em N e que o mesmo acontece com os elementos 
de N, então podemos dizer que M=N. 
 
CONJUNTO UNIVERSO 
REPRESENTAÇÃO DE VENN 
 
Seja por exemplo, o conjunto dos dias da 
semana que começam com S. 
 
Logo: 
 
S={ segunda-feira, sexta-feira, sábado} 
 
Podemos verificar que esse conjunto é um 
subconjunto do conjunto D dos dias da semana. 
 
D={Terça-feira, quarta-feira, Quinta-feira, 
Domingo} 
 
Um modo prático e fácil de ilustrar este 
conjunto é representando-o através de 
REPRESENTAÇÃO DE VENN. 
 
Consiste em representar os elementos de 
um conjunto internamente a um retângulo 
(geralmente) e os elementos dos subconjuntos, 
limitados por uma linha fechada e não entrelaçada. 
 
Assim teríamos: 
 
 
 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
 
1) INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS: 
 
∩ É a operação que permite determinar 
conjunto dos elementos comuns a dois ou mais 
conjuntos. 
 
Indicação: ∩ 
 
Sejam dados: A={ 1, 2, 3, 4} e B={0, 1, 3 , 
5} 
 
Temos: A ∩ B = { 1, 2, 3, 4} ∩ {0, 1, 3 , 5} = 
{1, 3 } 
 
 
A ∩ B = {x/ x ∊ A e x ∊ B} 
 
2) UNIÃO DE CONJUNTOS: U 
 
É a operação que permite determinar o 
conjunto de todos os elementos pertencentes a dois 
ou mais conjuntos. 
 
Sejam dados: A = { 1, 2, 3, 4} e B = { 0, 1, 3, 
5} temos: 
 
A U B = { 1, 2, 3, 4} U { 0, 1, 3, 5} = { 0, 1, 2, 
3, 4, 5} 
 
Esquemáticamente teríamos: 
 
 
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A U B = {x/ x ∊ A ou x ∊ B} 
 
RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA E INCLUSÃO 
 
Quando um elemento está em um conjunto, 
dizemos que ele pertence a esse conjunto. 
Exemplos: 
 
F = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 
- lê-se: 2 pertence a F. 
- lê-se: 3 não pertence a F. 
Já entre conjuntos, é errado usar a relação 
de pertinência. Assim, utilizamos as relações de 
inclusão. 
G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
- lê-se: F está contido em G. 
- lê-se: G não está contido em F. 
- lê-se: G contém F. 
 
As principais operações com conjuntos são: 
União 
Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 
4, 5}, a união é o conjunto formado pela reunião dos 
elementos de A e de B. 
Representação: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 
 
Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 
4, 5}, a diferença entre A e B é o conjunto formado 
pelos elementos exclusivos de A, isto é, retira-se de 
A o que for comum com B. 
Representação: A - B = {0, 1}. 
CUIDADO: há um engano muito comum 
nessa operação, que é pensar em todos os 
elementos que aparecem, menos os repetidos, ou 
seja, achar que a diferença seria dada, nesse 
exemplo, por {0, 1, 4, 5}. 
Intersecção 
 
Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, a 
intersecção é o conjunto formado pelos elementos 
comuns de A e B, isto é, pelos elementos "repetidos". 
Representação: A B = { 2, 3}. 
Produto Cartesiano 
Exemplo: dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} 
e B = {3, 4, 5}, o produto cartesiano de A por B é o 
conjunto formado por todos os pares possíveis 
formados com os elementos de A e de B. Esses 
pares são chamados de ordenados, pois cada um é 
formado por um elemento de A e um elemento de B, 
nessa ordem. 
 
Representação: 
 
ou 
 
 
 
ou ainda no Plano Cartesiano: 
 
 
 
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Complementar 
É uma modalidade de diferença de 
conjuntos, que ocorre quando um conjunto está 
contido em outro. 
Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3}, 
o complementar de B em A é a diferença A - B. 
Representação: CAB = A - B = {0, 1}. 
Já o complementar de A em B é a diferença 
B - A. 
Representação: CBA = B - A= { }. 
Cardinalidade 
Cardinalidade é o número de elementos do 
conjunto. 
Representação: 
n(A) = 3 - (o número de elementos do 
conjunto A = {0, 1, 3} é 3) 
 
Cardinalidade da união: 
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A " B) 
O número de elementos da união de dois 
conjuntosé igual à soma do número de elementos 
de cada conjunto, menos a quantidade de 
elementos repetidos. 
 
NÚMEROS REAIS 
 
O conjunto dos números reais, por 
definição, é formado pela união dos números 
racionais com os irracionais. 
 
Vejamos, a seguir, cada um destes 
conjuntos numéricos. 
 
1. CONJUNTO DOS NÚMEROS 
NATURAIS (N) 
 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} 
 
2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
(Z) 
 
O conjunto dos números naturais reunidos 
com os números inteiros negativos forma o 
Conjunto dos Números Inteiros Relativos. 
 
 Z = {... –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4...} 
 
OBS: O uso do asterisco (*) junto ao 
símbolo de um conjunto numérico qualquer que 
compreenda originalmente o elemento zero, indica 
que este elemento foi retirado do conjunto. 
 
Ex: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} 
 Z* = {... –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4...} 
 
3. CONJUNTO DOS NÚMEROS 
RACIONAIS (Q) 
 
É o conjunto dos números que podem ser 
escritos em forma de fração. A letra “Q” que 
representa o conjunto dos números racionais vem da 
palavra quociente, isto é, um número racional é o 
resultado do quociente (divisão) entre dois números 
inteiros. 
 
Q = {x x = a , sendo a Є Z e b Є Z*} 
 b 
 
Na divisão entre dois números inteiros, 
podem ocorrer três resultados: número inteiro, 
número decimal com casas decimais finitas, ou 
dízimas periódicas. 
 
3.1. Números Inteiros 
 
O número inteiro é racional, uma vez que 
pode ser o resultado de uma divisão de dois números 
inteiros e, portanto, pela definição, faz parte do 
conjunto dos racionais. 
Ex: 15 = 3, 8 = 4, –16 = –4, 21 = –7 
 5 2 4 –3 
 
 
3.2. Números Decimais Finitos 
 
Todos os números em sua forma decimal, 
que contenham uma quantidade finita de algarismos 
após a vírgula, também são resultado de uma fração 
entre dois números inteiros. 
Ex: 
 3 = 1,5 5 = 0,5 326 = 0,326 1 = 0,125 
 2 10 1000 8 
 
 
3.3. Dízimas Periódicas 
 
São números decimais com uma infinidade 
de números após a vírgula, os quais se repetem. A 
parte que se repete é chamada de período. Estes 
números também resultam de uma fração entre dois 
inteiros. 
 
Ex: 2/9 = 0,222..., 1/3 = 0,3333..., 2/3= 
0,6666... 
 
 
4. CONJUNTO DOS NÚMEROS 
IRRACIONAIS (I) 
 
I = {x x não é quociente de números inteiros} 
 
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Q 
Z 
 I 
N 
São os números decimais que possuem 
infinitos algarismos após a vírgula sem formar um 
período. 
 
Ex: √2 = 1,41421356... 
 
 = 3,1415926535... 
 
 
5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) 
 
É a união dos conjuntos dos números 
Racionais (Q) com o conjunto dos números 
Irracionais (I). 
 
 R = Q  I 
N  Z Q  R 
I  R 
Q  R 
 
 
 
 
Podemos dizer que existe uma 
correspondência biunívoca entre os números reais 
e os pontos de uma reta. Temos assim a reta real, 
na qual colocamos apenas alguns números reais: 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
Operações com Números Racionais 
A adição (soma) 
A adição é uma das quatro operações 
básicas da álgebra. Consiste em combinar dois 
números (chamados de termos, somandos ou 
parcelas) em um único número, a soma. Para se 
adicionar mais números, basta repetir a operação. 
Em termos mais simples, podemos pensar na 
operação de adição quando nosso desejo é juntar 
coisas que estão separadas. 
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
Em um colégio, existem 3 turmas. A 
primeira turma tem 14 alunos, a segunda tem 19 
alunos e a terceira tem 15 alunos. Quantos alunos o 
colégio possui? 
Para determinarmos a quantidade de 
alunos que o colégio possui, basta juntarmos os 
alunos de todas as turmas. Isto é: somar a 
quantidade de alunos de cada turma. 
14 + 19 + 15 = 48 
Portanto, existem 48 alunos neste colégio. 
 
ADIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS 
Em seu aniversário de 7 anos, Leonardo 
recebeu presentes em dinheiro. Seu pai lhe deu R$ 
15,50, sua mãe R$ 7,65 e seu irmão R$ 8,28. Qual o 
valor total recebido por Leonardo? 
Para calcularmos o valor total recebido por 
Leonardo, basta somarmos todos os valores 
recebidos. 
Para realizar a adição de números decimais, 
as parcelas são dispostas de modo que se tenha 
vírgula sobre vírgula. 
 
A soma é feita por colunas, da direita para a 
esquerda. Caso a soma da coluna ultrapasse o valor 
9 (nove), somente preencheremos o campo de 
resultado com o dígito direito do resultado obtido. Os 
dígitos restantes ficarão acima da coluna 
imediatamente à esquerda da coluna somada. No 
caso da coluna somada ser a última, todos os dígitos 
poderão ser incluídos no campo de resultado. 
Neste exemplo, a primeira coluna a ser 
somada tem os seguintes valores: 0, 5 e 8. Portanto, 
0 + 5 + 8 = 13. Como o resultado ultrapassou o valor 
9, preencheremos o campo de resultado somente 
com o o dígito direito do resultado obtido (neste caso, 
o número 3). O dígito 1 será incluído acima da coluna 
imediatamente à esquerda da coluna calculada. 
 
Na segunda coluna, os valores a serem 
somados incluem o número 1 colocado acima desta 
coluna. Portanto, 1 + 5 + 6 + 2 = 14. O mesmo 
procedimento é utilizado até calcularmos todas as 
colunas, obtendo-se assim a soma desejada. 
 
Com este resultado, sabemos que o valor 
total recebido por Leonardo é R$ 31,43. 
 
ADIÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
Podemos definir as frações como partes de 
um todo. Por exemplo, teremos de uma pizza se 
dividirmos esta pizza em 8 pedaços iguais e 
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tomarmos 3 destas partes. Também definimos a 
fração como o resultado da divisão de dois 
números. Por exemplo, a fração é o resultado da 
divisão de 3 por 8. 
Para somar frações que tenham o mesmo 
denominador, basta somar seus numeradores, 
como no exemplo abaixo: 
 
No caso de frações com denominadores 
diferentes, devemos seguir alguns passos. Para 
entendermos este processo, calcularemos a 
seguinte soma de frações: 
 
1.º Passo: Encontrar um número que seja 
múltiplo de todos os denominadores (para isto, 
podemos utilizar o M.M.C., que será detalhado em 
outro tópico). Este número será o novo 
denominador. 
Podemos utilizar, neste exemplo, o número 30 
como múltiplo de todos os denominadores. 
2.º Passo: Representar todas as frações da 
adição com este mesmo denominador. Para 
representar cada fração com este novo 
denominador, basta dividirmos este novo 
denominador pelo numerador da fração, e então 
multiplicar o resultado obtido pelo numerador desta 
mesma fração, obtendo assim o novo numerador 
desta fração. 
Nas frações de nosso exemplo as contas 
são: 30 ÷ 3 × 7 = 70, 30 ÷ 2 × 4 = 60 e 30 ÷ 5 × 4 = 
24. Portanto, temos: 
 
Apenas simplificando, temos: 
 
Propriedades Importantes da Adição 
Comutatividade: A ordem das parcelas 
não altera o resultado final da operação. Assim, se 
x + y = z, logo y + x = z. 
Associatividade: O agrupamento das 
parcelas não altera o resultado. Assim, se (x + y) + 
z = w, logo x + (y +z) = w. 
Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não 
altera o resultado das demais parcelas. O zero é 
chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se x 
+ y = z, logo x + y + 0 = z. 
Fechamento: A soma de dois números 
naturais será sempre um número natural. 
Anulação: A soma de qualquer número e o 
seu oposto é zero. Exemplo: 2 + (-2) = 0. 
 
A SUBTRAÇÃO 
A subtração pode ser considerada como o 
oposto da adição. Pensamos em subtração quando 
queremos tirar um valor de outro, para saber quanto 
restará. Por exemplo, temos: 
a - b = c 
Nesta subtração, temos que: a é o 
minuendo, b é o subtraendo e c é a diferença (ou 
resto). 
Subtração de Números Inteiros 
Um carteiro, de nome Francisco, deve 
entregar 100 correspondências por dia. Se em 
determinado dia, até seu almoço, Francisco entregar 
63 correspondências, quantas ele deverá entregar 
após o almoço para atingir sua meta? 
Para determinarmos a quantidade de 
correspondências que devem ser entregues após o 
almoço, devemos subtrair o número de 
correspondências já entregues. Ou seja, subtrair 63 
de 100: 
100 - 63 = 37 
Portanto, Francisco deverá entregar 37 
correspondências após o almoço. 
Subtração de Números Decimais 
Marta foi à feira e levou R$ 43,50. Durante 
suas compras, Marta gastou 31,23. Com quanto 
dinheiro Marta voltou para casa? 
Para calcularmos o valor restante, basta 
subtrairmos o valor gasto do valor inicial. 
Para realizar a subtração de números decimais, as 
parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula 
sobre vírgula. 
 
A subtração é feita por colunas, da direita 
para a esquerda, onde devemos retirar do dígito do 
minuendo o dígito do subtraendo. Caso o dígito do 
minuendo seja menor do que o dígito do subtraendo, 
devemos retirar uma unidade do dígito do minuendo 
imediatamente à esquerda do dígito que está sendo 
calculado, e somar 10 (dez) ao dígito do minuendo do 
cálculo atual. 
Neste exemplo, a primeira coluna a ser 
subtraída apresenta os seguintes valores: 0 (dígito do 
minuendo) e 3 (dígito do subtraendo). Como o dígito 
do minuendo é menor que o dígito do subtraendo, 
precisamos retirar 1 (um) do dígito do minuendo à 
esquerda (neste caso, o dígito 5). Após isto, devemos 
somar 10 (dez) ao dígito do minuendo do cálculo 
atual. Portanto, o dígito 5 passa a valer 4, e o dígito 0 
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passa a valer 10. Veja abaixo como ficou a 
subtração após o cálculo da primeira coluna: 
 
O mesmo procedimento é utilizado até 
calcularmos todas as colunas, obtendo-se assim a 
subtração desejada. 
 
Com este resultado, sabemos que Marta 
voltou para casa com R$ 12,27. 
 
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
Para subtrair frações que tenham o mesmo 
denominador, basta subtrair seus numeradores, 
como no exemplo abaixo: 
 
No caso de frações com denominadores 
diferentes, devemos seguir alguns passos. Para 
entendermos este processo, calcularemos a 
seguinte subtração de frações: 
 
1.º Passo: Encontrar um número que seja 
múltiplo de todos os denominadores (para isto, 
podemos utilizar o M.M.C., que será detalhado em 
outro tópico). Este número será o novo 
denominador. 
Podemos utilizar, neste exemplo, o número 
30 como múltiplo de todos os denominadores. 
2.º Passo: Representar todas as frações da 
subtração com este mesmo denominador. Para 
representar cada fração com este novo 
denominador, basta dividirmos este novo 
denominador pelo numerador da fração, e então 
multiplicar o resultado obtido pelo numerador desta 
mesma fração, obtendo assim o novo numerador 
desta fração. 
Nas frações de nosso exemplo as contas 
são: 30 ÷ 15 × 13 = 26 e 30 ÷ 2 × 1 = 15. Portanto, 
temos: 
 
Propriedades Importantes da Subtração 
3) Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não 
altera o resultado das demais parcelas. O zero é 
chamado "elemento neutro" da adição. Assim, x - 0 = 
x, y - 0 = y e x - 0 - y = x - y. 
4) Fechamento: A diferença de dois 
números naturais será sempre um número natural. 
5) Anulação: Quando o minuendo é igual ao 
subtraendo, a diferença será 0 (zero). Exemplo: 2 - 2 
= 0. 
A MULTIPLICAÇÃO 
Em sua forma mais simples, a multiplicação 
nada mais é do que uma simples forma de se somar 
uma quantidade finita de números iguais. Na 
multiplicação cada número é chamado de fator, e o 
resultado da multiplicação é chamado de produto. 
A multiplicação pode ser escrita de diversas 
formas, todas elas equivalentes: 3 × 4 = 3 . 4 = 3 * 4. 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação de números inteiros pode ser 
considerada como uma soma de parcelas iguais. Por 
exemplo: 
4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 
O número 3 apareceu 4 vezes. Portanto, 4 
vezes 3 é igual a 12. Da mesma forma temos: 
3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12 
Neste caso, o número 4 apareceu 3 vezes. 
Então, 3 vezes 4 é igual a 12. 
Problema: Sabemos que Patrícia treina 
natação durante 45 horas a cada mês. Quantas 
horas Patrícia treina durante um ano? 
Para determinarmos quantas horas de 
treinamento Patrícia realiza em um ano, devemos 
multiplicar a quantidade de horas de treinamento em 
um mês (15) pela quantidade de meses em um ano 
(12). 
Temos, portanto, a seguinte multiplicação a 
ser realizada: 15 × 12. 
Para realizarmos a multiplicação, montamos 
a conta da seguinte maneira: 
 
Da direita para esquerda, devemos 
multiplicar cada dígito do segundo fator por todos os 
dígitos do primeiro fator. 
A disposição do resultado se dará da direita 
para a esquerda, iniciando-se abaixo do dígito do 
segundo fator que está sendo calculado. 
Caso a multiplicação de dois dígitos 
ultrapasse o valor 9 (nove), somente preencheremos 
o campo de resultado com o dígito direito do 
resultado obtido. Os dígitos restantes ficarão acima 
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do dígito do primeiro fator, imediatamente à 
esquerda do dígito calculado. No caso do dígito da 
esquerda do primeiro fator, todos os dígitos 
poderão ser incluídos no campo de resultado. 
Neste exemplo, temos a seguinte 
multiplicação: 2 × 5 = 10. Portanto, o 0 (zero) fica 
abaixo do 2, e o 1 fica acima do dígito 1 do primeiro 
fator. 
 
Quando o dígito do primeiro fator estiver 
sendo multiplicado e tiver herdado um número 
acima, será feita a multiplicação normalmente, e 
após isto será somado o valor que estiver acima 
deste dígito, conforme mostra o exemplo abaixo, 
onde 2 × 1 + 1 = 3 
 
Decomposição em fatores primos 
 Todo número natural, maior que 1, pode ser 
decomposto num produto de dois ou mais 
fatores. 
 Decomposição do número 24 num produto: 
 24 = 4 x 6 
 24 = 2 x 2 x 6 
 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2
3
 x 3 
 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são 
primos. 
 Chamamos de fatoração de 24 a 
decomposição de 24 num produto de fatores 
primos. Então a fatoração de 24 é 2
3
 x 3. 
De um modo geral, chamamos de 
fatoração de um número natural, 
maior 
que 1, a sua decomposição num 
produto de fatores primos. 
 Regra prática para a fatoração 
 Existe um dispositivo prático para fatorar um 
número. Acompanhe, no exemplo, os passos para 
montar esse dispositivo: 
 
1º) Dividimos o número pelo 
seu menor divisor primo;2º) a seguir, dividimos o 
quociente obtido pelo menor 
divisor primo desse 
quociente e assim 
sucessivamente até obter o 
quociente 1. 
A figura ao lado mostra a 
fatoração do número 630. 
 Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 
 630 = 2 x 3
2
 x 5 x 7. 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
Diz-se que um número m é múltiplo comum 
dos número a e b se m é múltiplo de a e também é 
múltiplo de b, ou seja. 
m = k × a e m = w × b 
onde k e w números naturais. 
Exemplos: Múltiplos comuns 
(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8. 
(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5. 
Determinaremos agora todos os números 
que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo 
que obter todos os divisores naturais de 18. 
18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18 
18 é múltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x9 
18 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6 
O número 18 é múltiplo comum de todos os 
seus divisores, logo: 
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 } 
Agora obteremos os múltiplos comuns dos 
números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o 
conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos 
múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os 
conjuntos M(a) e M(b). 
Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5. 
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,
42,45,...} 
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...} 
M(3) M(5)={0,15,30,45,...} 
Como estamos considerando 0 (zero) como 
número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de 
todos os múltiplos de números naturais e será 
sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, 
o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais 
números naturais é o menor múltiplo comum a esses 
números que é diferente de zero. Logo, no conjunto: 
M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...} 
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o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é 
igual a 15. 
Ao trabalhar com dois números a e b, 
utilizamos a notação MMC(a,b) para representar o 
Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais 
a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo 
comum deve ser diferente de zero. Por exemplo: 
M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...} 
M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...} 
MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12 
O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é 
igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b. 
Por exemplo, se a=3 e b=5: 
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...} 
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...} 
M(3) M(5)={0,15,30,45,...} 
M(15)={0,15,30,45,60,...} 
Observe que M(15)=M(3) M(5) 
 
Método prático para obter o MMC 
Do ponto de vista didático, o processo 
acima é excelente para mostrar o significado do 
MMC mas existe um método prático para realizar tal 
tarefa sem trabalhar com conjuntos. 
 
1. Em um papel faça um traço vertical, 
de forma que sobre espaço livre tanto à direita 
como à esquerda do traço. 
 
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2. À esquerda do traço escreva os 
números naturais como uma lista, separados por 
vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, 
tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço 
vertical e do lado direito do traço poremos o menor 
número primo que divide algum dos números da 
lista que está à esquerda. Aqui usamos o 2. 
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3. Dividimos todos os números da lista 
da esquerda, que são múltiplos do número primo que 
está à direita do traço, criando uma nova lista 
debaixo da lista anterior com os valores resultantes 
das divisões (possíveis) e com os números que não 
foram divididos. 
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2
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4. Repetimos a partir do passo 3 até 
que os valores da lista que está do lado esquerdo do 
traço se tornem todos iguais a um. 
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24 
 
5. O MMC é o produto dos números 
primos que colocamos do lado direito do traço e 
neste caso: MMC(12,22,28)=924. Exemplo: Obtemos 
o MMC dos números 12 e 15, com a tabela: 
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e depois dividimos todos os números da 
lista da esquerda pelos números primos (quando a 
divisão for possível), criando novas listas sob as 
listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de 
todos os números primos que colocamos do lado 
direito do traço. 
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5 
3 
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0 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
Para obter o Máximo Divisor Comum 
devemos introduzir o conceito de divisor comum a 
vários números naturais. Um número d é divisor 
comum de outros dois números naturais a e b se, d 
divide a e d divide b simultaneamente. Isto significa 
que devem existir k1 e k2 naturais tal que: 
a = k1 × d e b = k2 × d 
Exemplos: Divisores comuns. 
(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 
56=7x8. 
(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 
36=12x3. 
Observação: Um número d é divisor de 
todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores 
comuns de dois números é finito, pois o conjunto 
dos divisores de um número é finito. O conjunto dos 
divisores de um número natural y, será denotado 
por D(y). 
Obteremos agora os divisores comuns aos 
números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção 
entre os conjunto D(16) e D(24). 
D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 } 
D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } 
D(16) D(24)={1, 2, 4, 8} 
Ocorre que o menor divisor comum entre os 
números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor 
divisor comum mas sim o maior divisor que pertence 
simultaneamente aos dois conjuntos de divisores. 
Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo 
Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por 
exemplo, tomemos os conjuntos de divisores 
D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então: 
MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8 
Método prático para obter o MDC 
De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), 
temos também um procedimento prático para 
determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais, 
pois encontrar conjuntos de divisores para cada 
número pode ser trabalhoso. Para introduzir este 
método, determinaremos o MDC entre os números 
30 e 72, a título de exemplo. 
1. Construímos uma grade com 3 linhas 
e algumas colunas, pondo os números dados na 
linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior 
deles e na segunda coluna o menor. 
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2 
3
0 
 
 
2. Realizamos a divisão do maior pelo 
menor colocando o quociente no espaço sobre o 
número menor na primeira linha e o resto da divisão 
no espaço logo abaixo do maior número na terceira 
linha. 
 
2 
 
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2 
 
 
3. Passamos o resto da divisão para o 
espaço localizado à direita do menor número na linha 
central. 
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4. Realizamos agora a divisão do 
número 30, pelo resto obtido anteriormente que é12. Novamente, o quociente será colocado sobre o 
número 12 e o resto da divisão ficará localizado 
abaixo do número 30. 
 
2 2 
 
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2 
3
0 
1
2 
 
1
2 
6 
 
 
5. Realizamos agora a (última!) 
divisão do número 12, pelo resto obtido 
anteriormente que é 6. De novo, o quociente será 
posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará 
localizado abaixo do número 12. 
 
2 2 2 
 
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2 
3
0 
1
2 
6 
 
1
2 
6 0 
 
 
6. Como o resto da última divisão é 0 
(zero), o último quociente obtido representa o MDC 
entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por: 
MDC(30,72) = 6 
 
RELAÇÃO ENTRE O MMC E MDC 
Uma relação importante e bastante útil 
entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) 
multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a 
por b, isto é: 
MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b 
MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15 
Esta relação é útil quando precisamos obter o 
MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um 
deles e usar a relação acima. 
 
Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o 
MDC(15,20), o primeiro passo é obter o que for 
possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta 
lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e 
fazer: 
5 × MMC(15,20) = 300 
de onde se obtém que MMC(15,20)=60. 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
INTEIROS 
números inteiros 
Na época do Renascimento, os matemáticos 
sentiram cada vez mais a necessidade de um novo 
tipo de número, que pudesse ser a solução de 
equações tão simples como: 
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0 
As Ciências precisavam de símbolos para 
representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por 
exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma 
linguagem matemática para expressar a atração 
entre dois corpos. 
 
Quando um corpo age com uma força sobre 
outro corpo, este reage com uma força de mesma 
intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não 
ficava somente em criar um novo número, era preciso 
encontrar um símbolo que permitisse operar com 
esse número criado, de modo prático e eficiente. 
Sobre a origem dos sinais 
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes 
da época. Os matemáticos encontraram a melhor 
notação para expressar esse novo tipo de número. 
Veja como faziam tais comerciantes: 
Suponha que um deles tivesse em seu 
armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se 
esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, 
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ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante 
ao atual sinal de menos) na frente para não se 
esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão. 
Mas se ele resolvesse despejar no outro 
saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 
com dois traços cruzados (semelhante ao atual 
sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no 
saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade 
inicial. 
Com essa nova notação,os matemáticos 
poderiam, não somente indicar as quantidades, 
mas também representar o ganho ou a perda 
dessas quantidades, através de números, com sinal 
positivo ou negativo. 
O conjunto Z dos Números Inteiros 
Definimos o conjunto dos números inteiros 
como a reunião do conjunto dos números naturais, 
o conjunto dos opostos dos números naturais e o 
zero. Este conjunto é denotado pela letra Z 
(Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode 
ser escrito por: 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z 
(a) Conjunto dos números inteiros excluído 
o número zero: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} 
(b) Conjunto dos números inteiros não 
negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
(c) Conjunto dos números inteiros não 
positivos: 
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} 
Observação: Não existe padronização para 
estas notações. 
 
Reta Numerada 
Uma forma de representar 
geometricamente o conjunto Z é construir uma reta 
numerada, considerar o número 0 como a origem e 
o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de 
medida como a distância entre 0 e 1 e por os 
números inteiros da seguinte maneira: 
 
Ao observar a reta numerada notamos que 
a ordem que os números inteiros obedecem é 
crescente da esquerda para a direita, razão pela 
qual indicamos com uma seta para a direita. Esta 
consideração é adotada por convenção, o que nos 
permite pensar que se fosse adotada outra forma, 
não haveria qualquer problema. 
Baseando-se ainda na reta numerada 
podemos afirmar que todos os números inteiros 
possuem um e somente um antecessor e também um 
e somente um sucessor. 
 
Ordem e simetria no conjunto Z 
O sucessor de um número inteiro é o número 
que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e 
o antecessor de um número inteiro é o número que 
está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z). 
Exemplos: 
(a) 3 é sucessor de 2 
(b) 2 é antecessor de 3 
(c) -5 é antecessor de -4 
(d) -4 é sucessor de -5 
(e) 0 é antecessor de 1 
(f) 1 é sucessor de 0 
(g) -1 é sucessor de -2 
(h) -2 é antecessor de -1 
Todo número inteiro exceto o zero, possui um 
elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é 
caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -
z estão à mesma distância da origem do conjunto Z 
que é 0. 
Exemplos: 
(a) O oposto de ganhar é perder, logo o 
oposto de +3 é -3. 
(b) O oposto de perder é ganhar, logo o 
oposto de -5 é +5. 
Módulo de um número Inteiro 
O módulo ou valor absoluto de um número 
Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) 
entre um número e seu elemento oposto e pode ser 
denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim: 
 
|x| = max{-x,x} 
 
Exemplos: 
(a) |0| = 0 
(b) |8| = 8 
(c) |-6| = 6 
Observação: Do ponto de vista geométrico, o 
módulo de um número inteiro corresponde à distância 
deste número até a origem (zero) na reta numérica 
inteira. 
 
Soma (adição) de números inteiros 
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Para melhor entendimento desta operação, 
associaremos aos números inteiros positivos a idéia 
de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia 
de perder. 
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) 
perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) 
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) 
perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) 
Atenção: O sinal (+) antes do número 
positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes 
do número negativo nunca pode ser dispensado. 
Exemplos: 
(a) -3 + 3 = 0 
(b) +6 + 3 = 9 
(c) +5 - 1 = 4 
Propriedades da adição de números 
inteiros 
Fecho: O conjunto Z é fechado para a 
adição, isto é, a soma de dois números inteiros 
ainda é um número inteiro. 
Associativa: Para todos a,b,c em Z: 
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7 
Comutativa: Para todos a,b em Z: 
a + b = b + a 
3 + 7 = 7 + 3 
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que 
adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, 
isto é: 
z + 0 = z 
7 + 0 = 7 
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe 
(-z) em Z, tal que 
z + (-z) = 0 
9 + (-9) = 0 
 
Multiplicação (produto) de números 
inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma 
simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o 
fato de estarmosganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 
30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e 
esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, 
obteremos: 
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, 
obteremos: 
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60 
Observamos que a multiplicação é um caso 
particular da adição onde os valores são repetidos. 
Na multiplicação o produto dos números a e 
b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
Para realizar a multiplicação de números 
inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de 
sinais: 
(+1) × (+1) = (+1) 
(+1) × (-1) = (-1) 
(-1) × (+1) = (-1) 
(-1) × (-1) = (+1) 
Com o uso das regras acima, podemos 
concluir que: 
Sinais dos números Resultado do produto 
iguais positivo 
diferentes negativo 
 
Propriedades da multiplicação de 
números inteiros 
Fecho: O conjunto Z é fechado para a 
multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números 
inteiros ainda é um número inteiro. 
Associativa: Para todos a,b,c em Z: 
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c 
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7 
Comutativa: Para todos a,b em Z: 
a x b = b x a 
3 x 7 = 7 x 3 
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que 
multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, 
isto é: 
z x 1 = z 
7 x 1 = 7 
Elemento inverso: Para todo inteiro z 
diferente de zero, existe um inverso z
-1
=1/z em Z, tal 
que 
z x z
-1
 = z x (1/z) = 1 
9 x 9
-1
 = 9 x (1/9) = 1 
 
Propriedade mista (distributiva) 
Distributiva: Para todos a,b,c em Z: 
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ) 
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 ) 
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Potenciação de números inteiros 
A potência a
n
 do número inteiro a, é 
definida como um produto de n fatores iguais. O 
número a é denominado a base e o número n é o 
expoente. 
a
n
 = a × a × a × a × ... × a 
a é multiplicado por a n vezes 
Exemplos: 
a. 2
5
 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 
b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8 
c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25 
d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25 
com os exemplos acima, podemos observar 
que a potência de todo número inteiro elevado a um 
expoente par é um número positivo e a potência de 
todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é 
um número que conserva o seu sinal. 
 
Observação: Quando o expoente é n=2, a 
potência a² pode ser lida como: "a elevado ao 
quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência 
a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais 
leituras são provenientes do fato que área do 
quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a 
medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido 
por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo. 
 
Radiciação de números inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número 
inteiro a é a operação que resulta em um outro 
número inteiro não negativo b que elevado à 
potência n fornece o número a. O número n é o 
índice da raiz enquanto que o número a é o 
radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a 
observação seguinte para entender as razões pelas 
quais não uso o símbolo de radical neste trabalho. 
Observação: Por deficiência da linguagem 
HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz 
n-ésima, usarei R
n
[a] para indicar a raiz n-ésima de 
a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de 
ordem 2 de um número inteiro a como R[a]. 
Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e 
somente se, a=b
n
, isto é: 
b=R
n
[a] se, e somente se, a=b
n
 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um 
número inteiro a é a operação que resulta em um 
outro número inteiro não negativo que elevado ao 
quadrado coincide com o número a. 
Observação: Não existe a raiz quadrada de 
um número inteiro negativo no conjunto dos 
números inteiros. A existência de um número cujo 
quadrado é igual a um número negativo só será 
estudada mais tarde no contexto dos números 
complexos. 
Erro comum: Frequentemente lemos em 
materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas 
aulas aparecimento de: 
R[9] = ±3 
mas isto está errado. O certo é: 
R[9] = +3 
Observamos que não existe um número 
inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo 
resulte em um número negativo. 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número 
inteiro a é a operação que resulta em um outro 
número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao 
número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos 
somente aos números não negativos. 
Exemplos: 
(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8. 
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8. 
(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27. 
(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27. 
Observação: Ao obedecer a regra dos sinais 
para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz 
de número inteiro negativo. 
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível 
extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
RACIONAIS 
Um número racional é o que pode ser escrito 
na forma 
m 
 
n 
onde m e n são números inteiros, sendo que 
n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de 
zero. Frequentemente usamos m/n para significar a 
divisão de m por n. Quando não existe possibilidade 
de divisão, simplesmente usamos uma letra como q 
para entender que este número é um número 
racional. 
Como podemos observar, números racionais 
podem ser obtidos através da razão (em Latim: 
ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os 
números racionais é denotado por Q. Assim, é 
comum encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero} 
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Quando há interesse, indicamos Q+ para 
entender o conjunto dos números racionais 
positivos e Q_ o conjunto dos números racionais 
negativos. O número zero é também um número 
racional. 
No nosso link Frações já detalhamos o 
estudo de frações e como todo número racional 
pode ser posto na forma de uma fração, então 
todas as propriedades válidas para frações são 
também válidas para números racionais. Para 
simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a 
palavra racionais para nos referirmos aos números 
racionais. 
 
Dízima periódica 
Uma dízima periódica é um número real da 
forma: 
m,npppp... 
onde m, n e p são números inteiros, sendo 
que o número p se repete indefinidamente, razão 
pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. 
A parte que se repete é denominada período. 
Em alguns livros é comum o uso de uma 
barra sobre o período ou uma barra debaixo do 
período ou o período dentro de parênteses, mas, 
para nossa facilidade de escrita na montagem desta 
Página, usaremos o período sublinhado. 
 
Exemplos: Dízimas periódicas 
1. 0,3333333... = 0,3 
2. 1,6666666... = 1,6 
3. 12,121212... = 12,12 
4. 0,9999999... = 0,9 
5. 7,1333333... = 7,13 
Uma dízima periódica é simples se a parte 
decimal é formada apenas pelo período. Alguns 
exemplos são: 
1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3 
2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63 
Uma dízima periódica é composta se possui 
uma parte que não se repete entrea parte inteira e 
o período. Por exemplo: 
1. 0,83333333... = 0,83 
2. 0,72535353... = 0,7253 
Uma dízima periódica é uma soma infinita 
de números decimais. Alguns exemplos: 
1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 
0,0003 +... 
2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 
0,0003 + ... 
3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ... 
A conexão entre números racionais e 
números reais 
Um fato importante que relaciona os números 
racionais com os números reais é que todo número 
real que pode ser escrito como uma dízima periódica 
é um número racional. Isto significa que podemos 
transformar uma dízima periódica em uma fração. 
O processo para realizar esta tarefa será 
mostrado na sequência com alguns exemplos 
numéricos. Para pessoas interessadas num estudo 
mais aprofundado sobre a justificativa para o que 
fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo 
de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou 
mesmo estudar números racionais do ponto de vista 
do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na 
Reta no âmbito do Ensino Superior. 
 
A geratriz de uma dízima periódica 
Dada uma dízima periódica, qual será a 
fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de 
fato um número racional denominado a geratriz da 
dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima 
periódica devemos trabalhar com o número dado 
pensado como uma soma infinita de números 
decimais. Para mostrar como funciona o método, 
utilizaremos diversos exemplos numéricos. 
1. Seja S a dízima periódica 
0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período 
tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este 
número como uma soma de infinitos números 
decimais da forma: 
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +... 
Multiplicando esta soma "infinita" por 10
1
=10 
(o período tem 1 algarismo), obteremos: 
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... 
Observe que são iguais as duas últimas 
expressões que aparecem em cor vermelha! 
Subtraindo membro a membro a penúltima 
expressão da última, obtemos: 
10 S - S = 3 
donde segue que 
9 S = 3 
Simplificando, obtemos: 
S = 
1 
 
3 
= 0,33333... = 0,3 
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Exercício: Usando o mesmo argumento que 
antes, você saberia mostrar que: 
0,99999... = 0,9 = 1 
 
2. Vamos tomar agora a dízima 
periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe 
que o período tem agora 2 algarismos. Iremos 
escrever este número como uma soma de infinitos 
números decimais da forma: 
T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... 
Multiplicando esta soma "infinita" por 
10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos: 
100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... 
Observe que são iguais as duas últimas 
expressões que aparecem em cor vermelha, assim: 
100 T = 31 + T 
de onde segue que 
99 T = 31 
e simplificando, temos que 
T = 
31 
 
99 
= 0,31313131... = 0,31 
3. Um terceiro tipo de dízima periódica 
é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe 
um número com 1 algarismo após a vírgula 
enquanto que o período tem também 1 algarismo. 
Escreveremos este número como uma soma de 
infinitos números decimais da forma: 
R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... 
Manipule a soma "infinita" como se fosse 
um número comum e passe a parte que não se 
repete para o primeiro membro para obter: 
R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... 
Multiplique agora a soma "infinita" por 
10
1
=10 (o período tem 1 algarismo), para obter: 
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... 
Observe que são iguais as duas últimas 
expressões que aparecem em cor vermelha! 
Subtraia membro a membro a penúltima 
expressão da última para obter: 
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8 
Assim: 
10R - 71 - R + 7,1 = 0,8 
Para evitar os números decimais, 
multiplicamos toda a expressão por 10 e 
simplificamos para obter: 
90 R = 647 
Obtemos então: 
T = 
647 
 
90 
= 7,1888... = 7,18 
4. Um quarto tipo de dízima periódica é 
T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o 
período tem 3 algarismos, sendo que os dois 
primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não 
nulo. Decomporemos este número como uma soma 
de infinitos números decimais da forma: 
U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... 
Manipule a soma "infinita" como se fosse um 
número comum e passe a parte que não se repete 
para o primeiro membro para obter: 
U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... 
Multiplique agora a soma "infinita" por 
10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter: 
1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... 
Observe que são iguais as duas últimas 
expressões que aparecem em cor vermelha! 
Subtraia membro a membro a penúltima 
expressão da última para obter: 
1000(U-7) - (U-7) = 4 
Assim: 
1000U - 7000 - U + 7 = 4 
Obtemos então 
999 U = 6997 
que pode ser escrita na forma: 
T = 
6997 
 
999 
= 7,004004... = 7,004 
Números irracionais 
Um número real é dito um número irracional 
se ele não pode ser escrito na forma de uma fração 
ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma 
dízima periódica. 
Exemplo: O número real abaixo é um número 
irracional, embora pareça uma dízima periódica: 
x=0,10100100010000100000... 
Observe que o número de zeros após o 
algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos 
números reais que não são dízimas periódicas e dois 
números irracionais muito importantes, são: 
e = 2,718281828459045..., 
Pi = 3,141592653589793238462643... 
que são utilizados nas mais diversas 
aplicações práticas como: cálculos de áreas, 
volumes, centros de gravidade, previsão 
populacional, etc... 
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Exercício: Determinar a medida da diagonal 
de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O 
resultado numérico é um número irracional e pode 
ser obtido através da relação de Pitágoras. O 
resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por 
R[2] para simplificar as notações estranhas. 
 
Representação, ordem e simetria dos 
racionais 
Podemos representar geometricamente o 
conjunto Q dos números racionais através de uma 
reta numerada. Consideramos o número 0 como a 
origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a 
unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e 
por os números racionais da seguinte maneira: 
 
Ao observar a reta numerada notamos que 
a ordem que os números racionais obedecem é 
crescente da esquerda para a direita, razão pela 
qual indicamos com uma seta para a direita. Esta 
consideração é adotada por convenção, o que nos 
permite pensar em outras possibilidades. 
Dizemos que um número racional r é menor 
do que outro número racional s se a diferença r-s é 
positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, 
dizemos que o número r é maior do que s. Para 
indicar que r é menor do que s, escrevemos: 
r < s 
Do ponto de vista geométrico, um número 
que está à esquerda é menor do que um número 
que está à direita na reta numerada. 
Todo número racional q exceto o zero, 
possui um elemento denominado simétrico ou 
oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico 
que tanto q como -q estão à mesma distância da 
origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, 
temos que: 
(a) O oposto de 3/4 é -3/4. 
(b) O oposto de 5 é -5. 
Do ponto de vista geométrico, o simétricofunciona como a imagem virtual de algo colocado 
na frente de um espelho que está localizado na 
origem. A distância do ponto real q ao espelho é a 
mesma que a distância do ponto virtual -q ao 
espelho. 
 
Módulo de um número racional 
O módulo ou valor absoluto de um número 
racional q é maior valor entre o número q e seu 
elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de 
duas barras verticais | |, por: 
|q| = max{-q,q} 
Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7. 
Do ponto de vista geométrico, o módulo de 
um número racional q é a distância comum do ponto 
q até a origem (zero) que é a mesma distância do 
ponto -q à origem, na reta numérica racional. 
 
 
A soma (adição) de números racionais 
Como todo número racional é uma fração ou 
pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a 
adição entre os números racionais a/b e c/d, da 
mesma forma que a soma de frações, através de: 
a 
 
b 
+ 
c 
 
d 
= 
ad+bc 
 
bd 
 
Propriedades da adição de números 
racionais 
Fecho: O conjunto Q é fechado para a 
operação de adição, isto é, a soma de dois números 
racionais ainda é um número racional. 
Associativa: Para todos a, b, c em Q: 
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
Comutativa: Para todos a, b em Q: 
a + b = b + a 
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que 
adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, 
isto é: 
q + 0 = q 
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q 
em Q, tal que 
q + (-q) = 0 
Subtração de números racionais:A subtração 
de dois números racionais p e q é a própria operação 
de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
p - q = p + (-q) 
Na verdade, esta é uma operação 
desnecessária no conjunto dos números racionais. 
 
A Multiplicação (produto) de números racionais 
Como todo número racional é uma fração ou 
pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o 
produto de dois números racionais a/b e c/d, da 
mesma forma que o produto de frações, através de: 
a 
 
× 
c 
 
= 
ac 
 
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b d bd 
 
O produto dos números racionais a e b 
também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou 
ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. 
Para realizar a multiplicação de números 
racionais, devemos obedecer à mesma regra de 
sinais que vale em toda a Matemática: 
(+1) × (+1) = (+1) 
(+1) × (-1) = (-1) 
(-1) × (+1) = (-1) 
(-1) × (-1) = (+1) 
Podemos assim concluir que o produto de 
dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é 
negativo. 
Propriedades da multiplicação de números 
racionais 
Fecho: O conjunto Q é fechado para a 
multiplicação, isto é, o produto de dois números 
racionais ainda é um número racional. 
Associativa: Para todos a, b, c em Q: 
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 
Comutativa: Para todos a, b em Q: 
a × b = b × a 
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que 
multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio 
q, isto é: 
q × 1 = q 
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q 
diferente de zero, existe q
-1
=b/a em Q, tal que 
q × q
-1
 = 1 
Esta última propriedade pode ser escrita 
como: 
a 
 
b 
× 
b 
 
a 
= 1 
Divisão de números racionais: A divisão de 
dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto 
é: 
p ÷ q = p × q
-1
 
Provavelmente você já deve ter sido 
questionado: Porque a divisão de uma fração da 
forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o 
produto da primeira pelo inverso da segunda? 
A divisão de números racionais esclarece a 
questão: 
a
 
 
b 
÷ 
c 
 
d 
= 
a 
 
b 
× 
d 
 
c 
= 
ad 
 
bc 
Na verdade, a divisão é um produto de um 
número racional pelo inverso do outro, assim esta 
operação é também desnecessária no conjunto dos 
números racionais. 
 
Propriedade distributiva (mista) 
Distributiva: Para todos a, b, c em Q: 
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 
 
 
Potenciação de números racionais 
A potência q
n
 do número racional q é um 
produto de n fatores iguais. O número q é 
denominado a base e o número n é o expoente. 
q
n
 = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
Exemplos: 
(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125 
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8 
(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25 
(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25 
Observação: Se o expoente é n=2, a 
potência q² pode ser lida como: q elevado ao 
quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode 
ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente 
do fato que área do quadrado pode ser obtida por 
A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o 
volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a 
medida da aresta do cubo. 
 
Raízes de números racionais 
A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um 
número racional q é a operação que resulta em um 
outro número racional r que elevado à potência n 
fornece o número q. O número n é o índice da raiz 
enquanto que o número q é o radicando (que fica sob 
o estranho sinal de radical). 
Leia a observação seguinte para entender as 
razões pelas quais evito usar o símbolo de radical 
neste trabalho. Assim: 
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r = R
n
[q] equivale a q = r
n
 
Por deficiência da linguagem HTML, que 
ainda não implementou sinais matemáticos, 
denotarei aqui a raiz n-ésima de q por R
n
[q]. 
Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz 
quadrada (de ordem 2) de um número racional q 
por R[q]. 
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um 
número racional q é a operação que resulta em um 
outro número racional r não negativo que elevado 
ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q. 
Não tem sentido R[-1] no conjunto dos 
números racionais. 
Exemplos: 
(a) R³[125] = 5 pois 5³=125. 
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125. 
(c) R[144] = 12 pois 12²=144. 
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-
12)²=144. 
Observação: Não existe a raiz quadrada de 
um número racional negativo no conjunto dos 
números racionais. A existência de um número cujo 
quadrado seja igual a um número negativo só será 
estudada mais tarde no contexto dos Números 
Complexos. 
Erro comum: Frequentemente lemos em 
materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas 
aulas o aparecimento de: 
R[9] = ±3 
mas isto está errado. O certo é: 
R[9] = +3 
Não existe um número racional não 
negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em 
um número negativo. 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número 
racional q é a operação que resulta na obtenção de 
um um outro número racional que elevado ao cubo 
seja igual ao número q. Aqui não restringimos os 
nossos cálculos são válidos para números 
positivos, negativos ou o próprio zero. 
Exemplos: 
(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8. 
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8. 
(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27. 
(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27. 
Observação: Obedecendo à regra dos sinais 
para a multiplicação de números racionais, 
concluímos que: 
(1) Se o índice n da raiz for par, não existe 
raiz de número racional negativo. 
(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível 
extrair a raiz de qualquer número racional. 
 
 
Média aritmética e média ponderadaMédia aritmética: Seja uma coleção formada 
por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média 
aritmética entre esses n números é a soma dos 
mesmos dividida por n, isto é: 
A= 
x1 + x2 + x3 +...+ xn 
 
n 
 
 
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as 
idades: 
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33 
então a idade média do grupo pode ser 
calculada pela média aritmética: 
A
= 
12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 
 
9 
= 
352 
 
9 
= 39,11 
 
o que significa que a idade média está 
próxima de 39 anos. 
Média aritmética ponderada:Consideremos 
uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, 
x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um 
peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. 
A média aritmética ponderada desses n números é a 
soma dos produtos de cada um por seu peso, 
dividida por n, isto é: 
P= 
x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn 
 
p1 + p2 + p3 +...+ pn 
 
 
Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que 
trabalha (com salário por dia), em uma empresa é 
formado por sub-grupos com as seguintes 
características: 
12 ganham R$ 50,00 
10 ganham R$ 60,00 
20 ganham R$ 25,00 
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15 ganham R$ 90,00 
 7 ganham R$ 120,00 
Para calcular a média salarial (por dia) de 
todo o grupo devemos usar a média aritmética 
ponderada: 
P= 
50×12 + 60×10 + 25×20 + 
90×15 + 120×7 
 
12 + 10 + 20 + 15 + 7 
= 
389
0 
 
64 
=60,7
8 
 
 
 
Médias geométrica e harmônica 
Média geométrica: Consideremos 
umacoleção formada por n números racionais não 
negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica 
entre esses n números é a raiz n-ésima do produto 
entre esses números, isto é: 
G = R
n
[x1 x2 x3 ... xn] 
Exemplo: A a média geométrica entre os 
números 12, 64, 126 e 345, é dada por: 
G = R
4
[12 ×64×126×345] = 76,013 
 
Aplicação prática: Dentre todos os 
retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o 
retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, 
o mais econômico? A resposta a este tipo de 
questão é dada pela média geométrica entre as 
medidas do comprimento a e da largura b, uma vez 
que a.b=64. 
A média geométrica G entre a e b fornece a 
medida desejada. 
G = R[a × b] = R[64] = 8 
Resposta: É o retângulo cujo comprimento 
mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 
cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro 
neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação 
em que as medidas dos comprimentos forem 
diferentes das alturas, teremos perímetros maiores 
do que 32 cm. 
Interpretação gráfica: A média geométrica 
entre dois segmentos de reta pode ser obtida 
geometricamente de uma forma bastante simples. 
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace 
um segmento de reta que contenha a junção dos 
segmentos AB e BC, de forma que eles formem 
segmentos consecutivos sobre a mesma reta. 
 
Dessa junção aparecerá um novo segmento 
AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com 
um compasso centrado em O e raio OA, trace uma 
semi-circunferencia começando em A e terminando 
em C. O segmento vertical traçado para cima a partir 
de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A 
medida do segmento BD corresponde à média 
geométrica das medidas dos segmentos AB e BC. 
Média harmônica: Seja uma coleção formada 
por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A 
média harmônica H entre esses n números é a 
divisão de n pela soma dos inversos desses n 
números, isto é: 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
O conjunto dos números reais surge para 
designar a união do conjunto dos números racionais 
e o conjunto dos números irracionais. É importante 
lembrar que o conjunto dos números racionais é 
formado pelos seguintes conjuntos: Números 
Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os 
conjuntos que unidos formam os números reais. Veja: 
Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, .... 
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –
3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... 
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4, 
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 
1,32365498...., 3,141592.... 
Podemos concluir que o conjunto dos 
números reais é a união dos seguintes conjuntos: 
N U Z U Q U I = R ou Q U I = R 
Os números reais podem ser representados 
por qualquer número pertencente aos conjuntos da 
união acima. Essas designações de conjuntos 
numéricos existem no intuito de criar condições de 
resolução de equações e funções. As soluções 
devem ser dadas obedecendo padrões matemáticos 
e de acordo com a condição de existência da 
incógnita na expressão. 
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Todo número decimal é um número 
irracional? Para as pessoas que têm dúvida quanto 
a isso, veremos, neste artigo, como definir o 
conjunto dos números irracionais e observaremos 
alguns exemplos de números importantes na 
matemática, que são “constantes irracionais”. 
Os números irracionais são aqueles que 
não podem ser representados por meio de uma 
fração. O surgimento desses números veio de um 
antigo problema que Pitágoras se recusava a 
aceitar, que era o cálculo da diagonal de um 
quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta 
que mede √2. Este número deu início ao estudo de 
um novo conjunto, representado pelos números 
irracionais. 
Encontrando a diagonal do quadrado 
Hoje em dia, pensamos: “Nossa, mas 
encontrar o valor de √2 é tão fácil, basta usarmos a 
calculadora”. Entretanto, na época em que 
começaram estes estudos, o único mecanismo para 
encontrar os valores das raízes quadradas envolvia 
os números quadrados (√2²,√3²,√4², …). 
Com o estudo contínuo dos elementos da 
matemática, os matemáticos se depararam com a 
necessidade de calcular o comprimento de uma 
circunferência; e com cálculos contínuos, notaram 
que um número se repetia para qualquer que fosse 
a circunferência, número este que outrora foi 
denominado de número pi (π). 
Esse número é encontrado através da 
razão do comprimento pelo diâmetro da 
circunferência. 
Razão para o valor do número pi 
Esse é um dos números que foi citado no 
início do texto: a constante π é de fundamental 
importância para a área de geometria e 
trigonometria. 
Veremos alguns exemplos de números 
irracionais e notaremos que a sua parte decimal 
não possui nenhuma estrutura que possa ser 
fundamentada em forma de fração, assim como 
ocorre em frações periódicas. 
Constantes irracionais ou números 
transcendentais: 
Números irracionais 
Números irracionais obtidos pela raiz 
quadrada de um número: 
Números irracionais obtidos pela radiciação 
Estes são os números irracionais, cujo valor 
da última casa decimal nunca saberemos. 
Com isso, podemos falar que números 
irracionais são aqueles que em sua forma decimal 
são números decimais infinitos e não periódicos. 
Em outras palavras, são aqueles números que 
possuem infinitas casas decimais e em nenhuma 
delas obteremos um período de repetição. 
O conjunto dos números irracionais é 
representado pela letra I ( i maiúscula) . 
O conjunto dos números reais é formado a 
partir da união dos seguintes conjuntos: 
Números Naturais: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,....) 
Números Inteiros:(....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....) 
Números Racionais: (números na forma de 
a/b, com b≠0 e decimais periódicos. Ex: 
1/2; 3/5; 0,25; 0,33333.....) 
Números Irracionais: (números decimais não 
periódicos. Ex. 0,2354658752485879.....) 
Intervalo Real 
Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , 
{xЄR/a < x < b} 
Aberto à esquerda e aberto à direita 
 
 
Intervalo aberto em a e fechado em b, 
]a,b], {xЄR/a < x ≤ b} 
Aberto à esquerda e fechado à direita 
 
Intervalo fechado em a e aberto em b, 
[a,b[, {xЄR/a ≤ x < b} 
Fechado à esquerda e aberto à direita 
 
 
Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], 
{xЄR/a ≤ x ≤ b} 
Fechado à esquerda e fechado à direita 
 
 
Intervalos infinitos 
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{xЄR/x > a} 
 
{xЄR/x<a} 
 
{xЄR/x≥a} 
 
 
{xЄR/≤a} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORIAL 
Ao produto dos números naturais começando 
em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial 
de n e representamos por n!. 
Segundo tal definição, o fatorial de 5 é 
representado por 5! e lê-se 5 fatorial. 
5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, 
assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, 
como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é 
igual a 2 . 1 que é igual a 2. 
Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 
1. 
Abaixo, no final da página, temos uma tabela 
com os 28 primeiros fatoriais. Repare que apesar do 
número 27 ser relativamente baixo, o seu fatorial 
possui 29 dígitos! 
 Escrevendo um fatorial a partir de um 
outro fatorial menor 
Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, 
mas note que também podemos escrevê-lo de outras 
formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 
3! e 2!: 
1. 5! = 5 . 4! 
2. 5! = 5 . 4 . 3! 
3. 5! = 5 . 4 . 3 . 2! 
 
Para um fatorial genérico temos: 
n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n -
 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! 
Observe atentamente os exemplos seguintes: 
1. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)! 
2. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)! 
3. (n + 1)! = (n + 1) . n! 
 
Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para 
termos uma visão mais clara destas sentenças: 
1. 9! = 9 . 8! 
2. 9! = 9 . 8 . 7! 
3. 7! = 7 . 6! 
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Estes conceitos são utilizados em muitos 
dos problemas envolvendo fatoriais. 
1.1 Simplificação envolvendo fatoriais 
Observe a fração abaixo: 
 
Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. 
Então podemos escrever a fração da seguinte 
forma: 
 
Agora podemos simplificar o 3! do 
numerador com o 3! do denominador. Temos então: 
 
Veja outros exemplos: 
Gerando uma sequência de números 
compostos consecutivos a partir de um fatorial 
Na página onde falamos sobre múltiplos de 
um número natural foi explicado que se a um 
número que é múltiplo de n, somarmos n ou 
qualquer um dos seus múltiplos, iremos obter como 
resultado um número que também é múltiplo de n. 
3! + 2 = 3 . 2 . 1 + 2 = 6 + 2 = 8 
3! + 3 = 3 . 2 . 1 + 3 = 6 + 3 = 9 
Repare que 8, resultado da soma de 6 com 
2, é divisível por 2, assim como 6. O mesmo 
ocorrendo com 9, resultado da soma de 6 com 3, 
que também é divisível por 3. 
Como 8 e 9 são múltiplos de algum fator de 
3!, temos que eles formam uma sequência de dois 
números compostos (não primos) consecutivos a 
partir do fatorial de três. 
3! possui três fatores, mas só podemos 
considerar os fatores maiores que 1, por isto só 
pudemos somar dois e três. Note neste exemplo, 
que se somássemos 3! + 1, iríamos obter 7, que 
não é um número composto. Sete é um número 
primo. 
 Exemplos de problemas envolvendo 
fatoriais 
Qual deve ser o valor numérico de n para 
que a equação (n + 2)! = 20 . n! seja verdadeira? 
O primeiro passo na resolução deste 
problema consiste em escrevermos (n + 2)! em 
função de n!, em busca de uma equação que não 
mais contenha fatoriais: 
Conforme explicado na página onde tratamos 
sobre o cálculo rápido das raízes de equações do 
segundo grau, podemos resolver rapidamente esta 
equação respondendo à seguinte pergunta: Quais 
são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo 
produto é igual -18? 
Rapidamente concluímos que as raízes 
procuradas são -6 e 3, mas como não existe fatorial 
de números negativos, já que eles não pertencem ao 
conjunto dos números naturais, ficamos apenas com 
a raiz igual a 3. 
Portanto: 
O valor numérico de n para que a equação 
seja verdadeira é igual a 3. 
A partir de fatoriais, obtenha uma 
sequência com sete números compostos 
consecutivos. 
Como eu devo obter 7 números compostos 
consecutivos na sequência, eu preciso partir ao 
menos de 8!: 
8! = 8 . 7 . 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320 
Como 8! é igual a 40320, o primeiro número 
da sequência será 40320 + 2 = 40322 e o último 
será 40320 + 8 = 40328. 
Logo: 
A sequência 40322, 40323, 40324, 40325, 
40326, 40327 e 40328 satisfaz as condições do 
enunciado. 
Tabela com os fatorais de 0 a 27 
n n! 
0 1 
1 1 
2 2 
3 6 
4 24 
5 120 
6 720 
7 5040 
8 40320 
9 362880 
10 3628800 
11 39916800 
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12 479001600 
13 6227020800 
14 87178291200 
15 1307674368000 
16 20922789888000 
17 355687428096000 
18 6402373705728000 
19 121645100408832000 
20 2432902008176640000 
21 51090942171709440000 
22 1124000727777607680000 
23 25852016738884976640000 
24 620448401733239439360000 
25 15511210043330985984000000 
26 403291461126605635584000000 
27 10888869450418352160768000000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DA CONTAGEM 
Em uma carteira escolar temos quatro livros 
de diferentes matérias, empilhados de cima para 
baixo nesta exata ordem: 
Português, matemática, história e geografia. 
 
Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras 
no total podemos empilhar tais livros nesta carteira? 
Vamos pensar sobre o problema. 
Na escolha do primeiro livro a ser colocado 
na carteira temos 4 possibilidades, pois ainda não 
colocamos nenhum livro nela, temos então quatro 
livros a escolher: Português, matemática, história e 
geografia. 
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Se começarmos a pilha com o livro de 
português, na escolha do próximo livro a ser 
colocado sobre ele, temos 3 possibilidades: 
matemática, história e geografia. 
Se escolhermos o livro de história como o 
segundo livro da pilha, para o terceiro livro temos 2 
possibilidades apenas: matemática