APOSTILA EXPRESSAO GRAFICA MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL

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1-1 
 
 
 
 
Ministério da Educação 
Universidade Federal do Paraná 
Departamento de Expressão Gráfica 
 
 
 
 
 
NOÇÕES DE GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
Prof. Leandro Carlos Fernandes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agosto de 2019. 
Prezado estudante, este arquivo está configurado para ser 
impresso em folhas A4, frente e verso. 
1-2 
 
Esclarecimentos 
Aos estudantes e interessados, esclareço que esta apostila é destinada exclusivamente 
para servir como material de apoio para componentes curriculares semestrais (de curta 
duração), em fases iniciais de cursos de graduação em arquitetura e urbanismo, expressão 
gráfica, engenharia e correlatos. 
Nesta apostila, a geometria é entendida como um recurso (ferramenta) para a 
representação, objetivando o entendimento, a análise e a solução de problemas. 
Para além dos métodos para representação e resolução de problemas, há um esforço 
para apresentar termos e vocabulário que facilitem a futura comunicação profissional. 
Trata-se de material didático em construção e é utilizado juntamente com outros materiais, 
conforme a dinâmica de cada componente curricular. 
 
Sugestões são muito bem-vindas!! 
 
 
Prof. Dr. Leandro C. Fernandes 
fernandes.ufpr@gmail.com 
Arquiteto e Urbanista, Dr. em Tecnologia e Sociedade 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Construção Civil - PPGECC 
Departamento de Expressão Gráfica - DEGRAF - Setor de Exatas, UFPR 
Centro Politécnico, Jardim das Américas, Curitiba - PR, UFPR, 3361-3462 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Doctoral internship at the Bona Terra Department of Man in the Desert 
Jacob Blaustein Institutes for Desert Research (BIDR) 
Ben-Gurion University of the Negev (BGU), Israel 
 
http://lattes.cnpq.br/4611456016298388 
1-3 
 
Lista de conteúdos 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................... 1-8 
1.1 Geometria descritiva e arquitetura ........................................................... 1-8 
1.2 Estrutura do método ............................................................................. 1-11 
1.3 Formas de Notação ............................................................................. 1-13 
1.3.1 Notação cremoniana .................................................................................. 1-13 
1.3.2 Notação dos arquitetos ............................................................................... 1-14 
1.4 Conceitos fundamentais ....................................................................... 1-15 
1.4.1 Planos de projeção ..................................................................................... 1-15 
1.4.2 Semi-planos de projeção ............................................................................ 1-16 
1.4.3 Linha de Terra ............................................................................................ 1-17 
1.4.4 Diedro ........................................................................................................ 1-17 
1.4.5 Ângulo diedro ............................................................................................ 1-18 
1.4.6 Projeção ortogonal ..................................................................................... 1-18 
1.4.7 Projetante ou linha de projeção ................................................................... 1-19 
1.4.8 Épura ......................................................................................................... 1-19 
2 ESTUDO DOS ELEMENTOS FUNDAMENTAIS ....................................... 2-22 
2.1 O Ponto .............................................................................................. 2-22 
2.1.1 Posições de um ponto ................................................................................. 2-23 
2.1.1.1 Exercícios ........................................................................................... 2-25 
2.1.1.2 Gabarito ............................................................................................ 2-26 
2.2 A Reta ................................................................................................. 2-27 
2.2.1 Posições em relação aos planos de projeção ............................................... 2-27 
2.2.1.1 Reta qualquer (ou Mongeana) ............................................................. 2-27 
2.2.1.2 Reta horizontal (ou de nível) ................................................................ 2-28 
2.2.1.3 Reta frontal (ou de frente) ................................................................... 2-29 
2.2.1.4 Reta fronto-horizontal (ou paralela à linha de terra) ............................ 2-29 
2.2.1.5 Reta de topo ....................................................................................... 2-30 
2.2.1.6 Reta vertical ........................................................................................ 2-31 
2.2.1.7 Reta de perfil ...................................................................................... 2-31 
2.2.1.8 Exercícios ........................................................................................... 2-32 
2.2.1.9 Gabarito ............................................................................................ 2-33 
2.2.2 Posição relativa de duas retas ..................................................................... 2-34 
2.2.2.1 Retas paralelas ................................................................................... 2-34 
1-4 
 
2.2.2.2 Retas concorrentes .............................................................................. 2-39 
2.2.2.3 Retas coincidentes .............................................................................. 2-40 
2.2.2.4 Retas reversas ..................................................................................... 2-40 
2.2.2.5 Retas ortogonais ................................................................................. 2-41 
2.2.3 Traços de uma reta ..................................................................................... 2-41 
2.2.3.1 Exercícios ........................................................................................... 2-41 
2.2.3.2 Gabarito ............................................................................................ 2-43 
2.3 O Plano ............................................................................................... 2-44 
2.3.1 Formas para representação de um plano .................................................... 2-44 
2.3.2 Posições de um plano em relação a outro plano ......................................... 2-45 
2.3.3 Posições do plano em relação aos planos de projeção ................................ 2-46 
2.3.4 Determinação dos traços de um plano nos planos de projeção .................... 2-49 
2.3.4.1 Conceito e procedimentos .................................................................. 2-49 
2.3.4.2 Exercícios ........................................................................................... 2-51 
2.3.4.3 Gabarito ............................................................................................ 2-55 
2.3.5 Principais retas de um plano ....................................................................... 2-57 
2.3.5.1 Reta de maior declive (ou de maior declividade) .................................. 2-57 
2.3.5.2 Retas de maior inclinação em relação ao plano vertical de projeção .... 2-61 
3 MÉTODOS DESCRITIVOS (OU DESLOCAMENTOS) ................................3-64 
3.1 Mudança de plano de projeção (MPP) .................................................... 3-64 
3.1.1 Mudança do plano vertical .........................................................................3-64 
3.1.2 Mudança do plano horizontal ..................................................................... 3-66 
3.1.3 Aplicações da Mudança do Plano de Projeção (MPP) ................................... 3-67 
3.1.3.1 Obtenção da distância entre dois pontos com a mudança do plano de 
projeção VERTICAL ............................................................................................. 3-67 
3.1.3.2 Obtenção da distância entre dois pontos com a mudança do plano de 
projeção HORIZONTAL ...................................................................................... 3-68 
3.1.3.3 Exercícios ........................................................................................... 3-69 
3.1.3.4 Gabarito ............................................................................................ 3-70 
3.1.3.5 Obtenção da projeção acumulada de uma reta .................................. 3-71 
3.1.4 Obtenção da VG de uma figura plana com a mudança do plano de projeção 
(MPP) 3-72 
3.1.4.1 Exercícios ........................................................................................... 3-73 
3.1.4.2 Gabarito ............................................................................................ 3-76 
3.2 Rotação ............................................................................................... 3-78 
3.2.1 Rotação sobre eixo VERTICAL ...................................................................... 3-78 
3.2.2 Rotação sobre eixo de TOPO ...................................................................... 3-79 
1-5 
 
3.2.3 Exercícios ................................................................................................... 3-80 
3.2.4 Gabarito .................................................................................................... 3-82 
3.3 Rebatimento ........................................................................................ 3-84 
3.3.1 Quando o plano rebatido apresenta projeção acumulada ........................... 3-84 
3.3.2 Quando o plano rebatido apresenta projeções reduzidas ............................ 3-88 
4 PERTINÊNCIA .................................................................................... 4-97 
4.1 Pertinência à reta ................................................................................. 4-97 
4.2 Pertinência ao plano ............................................................................ 4-98 
4.2.1 Pertinência da reta ao plano ....................................................................... 4-98 
4.2.2 Pertinência do ponto ao plano .................................................................... 4-99 
5 INTERSECÇÃO ................................................................................ 5-102 
5.1 Interseção entre retas .......................................................................... 5-102 
5.2 Interseção entre reta e plano ................................................................ 5-102 
5.2.1 Interseção de reta com plano com projeção acumulada ............................ 5-102 
5.2.2 Interseção de reta com plano com projeções reduzidas ............................. 5-103 
5.3 Interseção entre planos ........................................................................ 5-106 
5.3.1 Planos com projeções acumuladas no mesmo plano de projeção .............. 5-106 
5.3.2 Planos com projeções acumuladas, mas em planos de projeção diferentes 5-108 
5.3.3 Quando um dos planos possui projeção acumulada ................................. 5-109 
5.3.4 Quando os dois planos possuem projeções reduzidas ............................... 5-111 
5.3.4.1 Solução utilizando mudança de plano de projeção (MPP): ................. 5-111 
5.3.4.2 Solução utilizando o “Método dos Planos Auxiliares” ......................... 5-113 
5.3.4.3 Exercícios ......................................................................................... 5-117 
5.3.4.4 Gabarito .......................................................................................... 5-125 
6 PROBLEMAS DE POSIÇÃO ................................................................ 6-129 
6.1 Paralelismo ........................................................................................ 6-129 
6.1.1 Paralelismo entre retas .............................................................................. 6-129 
6.1.2 Paralelismo entre retas e planos ................................................................ 6-129 
6.1.3 Paralelismo entre planos ........................................................................... 6-129 
6.2 Perpendicularismo............................................................................... 6-129 
6.2.1 Perpendicularidade entre retas .................................................................. 6-129 
6.2.1.1 Solução imediata .............................................................................. 6-129 
1-6 
 
6.2.1.2 Solução genérica .............................................................................. 6-130 
6.2.2 Perpendicularidade entre reta e plano ....................................................... 6-131 
6.2.2.1 Planos com projeções acumuladas .................................................... 6-132 
6.2.2.2 Planos com projeções reduzidas ....................................................... 6-133 
6.2.3 Perpendicularidade entre planos ............................................................... 6-134 
7 PROBLEMAS MÉTRICOS .................................................................... 7-135 
7.1 Distâncias .......................................................................................... 7-135 
7.1.1 Distância entre dois pontos ....................................................................... 7-135 
7.1.2 Distância entre ponto e reta ...................................................................... 7-135 
7.1.3 Distância entre retas ................................................................................. 7-136 
7.1.3.1 Retas concorrentes ............................................................................ 7-136 
7.1.3.2 Retas paralelas ................................................................................. 7-136 
7.1.3.3 Retas reversas e ortogonais (soluções similares) ................................. 7-137 
7.1.4 Distância entre ponto e plano ................................................................... 7-139 
7.1.4.1 Quando o plano possui uma projeção acumulada ............................ 7-139 
7.1.4.2 Quando as projeções do plano são reduzidas ................................... 7-140 
7.1.5 Distância entre reta e plano ...................................................................... 7-141 
7.1.6 Distância entre planos .............................................................................. 7-142 
7.2 Ângulos ............................................................................................. 7-144 
7.2.1 Ângulos entre duas retas ........................................................................... 7-144 
7.2.2 Ângulo entre reta e plano ......................................................................... 7-144 
7.2.3 Ângulo entre planos ................................................................................. 7-144 
8 SÓLIDOS ........................................................................................ 8-145 
8.1 Seções planas em sólidos .................................................................... 8-149 
8.1.1 Exercícios ................................................................................................. 8-150 
8.1.2 Gabarito .................................................................................................. 8-154 
8.2 Interseção de prismas .........................................................................8-158 
8.2.1 Exercícios ................................................................................................. 8-159 
8.2.2 Gabarito .................................................................................................. 8-161 
8.3 Interseção de prisma com pirâmide ...................................................... 8-162 
8.3.1 Exercícios ................................................................................................. 8-163 
8.3.2 Gabarito .................................................................................................. 8-165 
8.4 Desenvolvimento de sólidos ................................................................. 8-167 
1-7 
 
8.4.1 Exercícios: ................................................................................................ 8-169 
8.4.2 Gabarito .................................................................................................. 8-172 
8.5 Vistas Ortogonais ................................................................................ 8-174 
BIBLIOGRAFIA .................................................................................... 8-181 
 
1-8 
 
1 INTRODUÇÃO 
O método de Monge também é denominado “método mongenano” ou “método da dupla 
projeção ortogonal”. Foi criado por Gaspard Monge1 e aperfeiçoado por diversos geômetras2. 
Por sua impressionante simplicidade, difundiu-se rapidamente e é grandemente utilizado, 
principalmente para o desenvolvimento da capacidade de visualização tridimensional de 
estudantes de áreas técnicas, como arquitetura, engenharia e design. 
1.1 Geometria descritiva e arquitetura 
Geometria descritiva é um ramo da geometria que tem como objetivo representar objetos 
de três dimensões em um plano bidimensional e, a partir das projeções, determinar distâncias, 
ângulos, áreas e volumes em suas verdadeiras grandezas (WIKIPEDIA). 
A geometria descritiva é a base teórica sobre a qual são estruturados diferentes tipos de 
desenhos técnicos. Dentre eles, o desenho arquitetônico. É a partir dos conceitos e ferramentas 
da geometria descritiva que são produzidas as vistas, plantas baixas e cortes das edificações 
(Figura 1). 
 
1 Gaspard Monge: “(...) foi no final do século XVIII, a serviço do Exército Francês de Napoleão, que o 
matemático Gaspard Monge (1746-1818), dotado de extraordinária habilidade como desenhista, criou, utilizando 
projeções ortogonais, um sistema com correspondência entre os elementos do plano e do espaço. Este sistema foi 
segredo militar durante quinze anos, somente em 1795 Monge publicou seu tratado “Geometrie Descriptive”, fruto 
das aulas dadas na Ecole Normale, em Paris. Nesse documento ele define o objetivo da Geometria Descritiva: 
Representar com exatidão, sobre desenhos que só têm duas dimensões, os objetos que na realidade têm três e 
que são susceptíveis de uma definição rigorosa.” (SILVA, [S.d.], p. 4) 
 Fonte: (WIKIPÉDIA, 2018) 
2 Outros geômetras que aperfeiçoaram o método de Monge... desenvolver! 
1-9 
 
Figura 1 – Representação de uma edificação unifamiliar. 
 
Em arquitetura, trabalha-se com formas geométricas complexas, com diferentes níveis de 
dificuldade para representação e produção. Em alguns casos, essas edificações apresentam 
componentes em planos nem paralelos nem ortogonais. Para facilitar a execução de tais 
componentes, usualmente, procede-se à fragmentação da edificação em partes menores. Por 
sua vez, estas partes menores são representadas a partir de novas vistas e cortes. Esse 
procedimento demanda habilidades relativas à geometria descritiva. 
Como exemplo, apresenta-se a seguir a sede da Televisão Central da China, CCTV 
(OMA/Rem Koolhaas3), Beijing, com 234 metros de altura e 44 andares, no centro financeiro 
de Pequim, na República Popular da China (Figura 2, Figura 3 e Figura 4). Observe que as 
superfícies externas dessa edificação não são paralelas ou ortogonais ao plano horizontal. 
 
 
3 Veja https://pt.wikipedia.org/wiki/Rem_Koolhaas. 
1-10 
 
Figura 2 - Televisão Central da China, CCTV Beijing 
 
 
Fonte: https://www.designbuild-network.com/projects/cctv/ 
 
Figura 3 – A fabricação de cada painel da fachada demanda que este seja planificado. 
 
Fonte: https://www.floornature.com/omarem-koolhaas-cctv-building-in-beijing-8001/ 
 
 
 
1-11 
 
Figura 4 – Planta baixa do pavimento N. 
 
 
1.2 Estrutura do método 
Estrutura-se a partir de dois planos de projeção ortogonais entre si, com centro projetivo 
impróprio e linhas projetantes ortogonais aos referidos planos (Figura 5). 
 
Figura 5 - Representação dos planos horizontal e vertical, do objeto e das linhas projetantes 
 
Fonte: Autoria própria 
Obviamente, o plano horizontal e o vertical não estão limitados à área da Figura 5. São, 
ambos, infinitos. 
Após sua popularização, o método de Monge foi aprimorado. Entre as aprimorações cita-
se a notação (nomenclatura) cremoniana. 
1-12 
 
A inserção de outros planos gerou sistemas de projeção derivados. Obviamente, não mais 
nomeados como “dupla projeção ortogonal”, pois a projeção passava a ser tripla (Figura 6), 
quádrupla, e assim por diante. 
 
Figura 6 - Representação dos planos horizontal, vertical e lateral direito, do objeto e das linhas projetantes 
 
Fonte: Autoria própria 
 
No entanto, o objetivo desses métodos derivados continua sendo representar em um plano 
bidimensional formas consideradas no espaço tridimensional. 
Para tanto, rebate-se as projeções nos planos verticais sobre o plano horizontal (Figura 
7). 
Figura 7 - Rebatimento dos planos de projeção verticais sobre o plano de projeção horizontal 
 
Fonte: Autoria própria 
Ao resultado desse processo de rebatimento se dá o nome de épura (Figura 8) (conforme 
visto em Expressão Gráfica I!). 
1-13 
 
Figura 8 - Épura resultante 
 
Fonte: Autoria própria 
 
1.3 Formas de Notação4 
Para facilitar o entendimento e uso do método de Monge, sempre buscando formas mais 
objetivas/práticas e didáticas, criaram-se diferentes formas de notação (nomenclatura). 
Consultando diferentes bibliografias, o estudante perceberá as diferenças. Os autores 
costumam adaptar a notação segunda sua visão do que seja mais didático. 
Neste tópico são apresentadas duas formas de notação bastante utilizadas. 
1.3.1 Notação cremoniana 
Uma das formas de notação mais utilizadas em obras didáticas sobre o método da dupla 
projeção ortogonal é a Notação Cremoniana. Seu desenvolvimento é atribuído a Luigi de 
Cremona5. Nesta notação, objetivando estabelecer convenções para representar as projeções 
em geral, são dotados os símbolos apresentados na Tabela 1. 
 
4 Notação: é uma linguagem cuja grafia se utiliza de símbolos. 
5 Luigi de Cremona: Italian mathematician who was an originator of graphical statics, the use of graphical 
methods to study forces in equilibrium. He was professor and mathematical researcher. In 1877 he attained the 
chair of higher mathematics at the University of Rome, and in 1879 he became a corresponding member of the 
Royal Society of London (ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA, 2018). 
Also, in 1879, he was made a senator of the Kingdom of Italy. In 1898 he was briefly Minister for Education. 
The Royal Swedish Academy of Sciences elected Cremona as member in 1901. The following year, he was awarded 
the German Pour le Mérite for Sciences and Arts (WIKIPEDIA, [s.d.]). 
1-14 
 
 
Tabela 1 - Elementos e símbolos utilizados na Notação Cremoniana 
Elemento Convenção adotada 
Representação 
objetiva 
Em épura, no 
plano de 
projeção 
horizontal 
Em épura, no 
plano de 
projeção 
vertical 
Ponto letra latina maiúscula P P’ P” 
Reta letra latina minúscula r r’ r’’ 
Plano horizontal 
de projeção- PHP 
letra grega π minúscula, 
com tarja 
- π’ - 
Plano vertical de 
projeção - PVP 
letra grega π minúscula, 
com tarja dupla 
- π” - 
Linha de terra 
duas letras π, uma com 
tarja simples e outra 
dupla 
- π’π” - 
Planos/superfícies Letra grega minúscula α α' α’’ 
Interseções 
planos/superfícies 
letra latina minúscula I I’ I’’ 
Interseções 
plano/plano 
Letras que identificam 
cada um 
πα πα' πα'’ 
Fonte: Autoria própria 
 
1.3.2 Notação dos arquitetos 
É difícil definir a origem desta forma de notação. No entanto, é adotada com frequência 
por profissionais do ensino superior nas áreas de arquitetura e urbanismo, desenho industrial 
e engenharia civil. Na Tabela 2, são apresentados os símbolos desta forma de notação. 
 
 
 Fonte: (ALCHETRON, [s.d.]) 
1-15 
 
Tabela 2 - Elementos e símbolos utilizados na Notação dos Arquitetos 
Elemento Convenção adotada 
Representação 
objetiva 
Em épura, no 
plano de 
projeção 
horizontal 
Em épura, no 
plano de 
projeção 
vertical 
Ponto letra latina maiúscula P P’ P” 
Reta letra latina minúscula r r’ r’’ 
Plano horizontal de 
projeção - PHP 
letra grega π minúscula, 
com tarja 
PH PH PH” 
Plano vertical de 
projeção - PVP 
letra grega π minúscula, 
com tarja dupla 
PV PV’ PV 
Linha de terra 
duas letras π, uma com 
tarja simples e outra dupla 
LT LT LT 
Planos/superfícies Letra grega minúscula α α' α” 
Interseções 
planos/superfícies 
letra latina minúscula I I’ I’’ 
Interseções 
plano/plano 
Letras que identificam 
cada um 
πα πα' πα'’ 
Fonte: Autoria própria 
 
 
1.4 Conceitos fundamentais 
Apresentam-se a seguir alguns elementos do sistema de Monge: 
1.4.1 Planos de projeção 
Estruturam o sistema: Plano Horizontal (PH), também identificado por π’; e Plano Vertical 
(PV), também identificado por π’’. 
 
1-16 
 
Figura 9 - Representação dos planos de projeção segundo diferentes sistemas de notação 
a) Utilizado por arquitetos 
 
b) Utilizado por matemáticos e engenheiros 
 
Fonte: Autoria própria 
 
1.4.2 Semi-planos de projeção 
Resultam da divisão dos planos Vertical e Horizontal de Projeção pela própria interseção 
entre eles (Figura 10). 
O plano horizontal de projeção apresenta-se dividido em dois semi-planos, o Semi-Plano 
Horizontal Anterior (SPHA ou π’A) e o Semi-Plano Horizontal Posterior (SPHP ou π’P). 
O plano vertical de projeção divide-se em Semi-Plano Vertical Superior (SPVS ou π’’S) e 
Semi-Plano Vertical Inferior (SPVI ou π’’I). 
 
Figura 10 - Semi-planos de projeção 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
1-17 
 
1.4.3 Linha de Terra 
Chama-se linha de terra a interseção do plano vertical com o horizontal. Pode-se 
identificá-la por LT (Figura 11) ou através dos símbolos dos planos que a geraram, π’π’’. 
 
Figura 11 - Linha de terra definida pela interseção dos planos horizontal e vertical de projeção 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
1.4.4 Diedro 
Dá-se o nome de diedro às regiões do espaço delimitada por dois semi-planos de 
projeção. Ao todo são 4 diedros. 
Figura 12 - Diedros e planos de projeção que os delimitam 
 
Fonte: Autoria própria 
 
A Figura 13 mostra cada um dos diedros em separado. 
1-18 
 
 
Figura 13 - Representações isoladas de cada um dos quatro diedros 
1º diedro 2º diedro 3º diedro 4º diedro 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
1.4.5 Ângulo diedro 
Ângulo formado por dois semi-planos que se interceptam (Figura 14). 
Figura 14 - Ângulo formado pela interseção dos semi-planos “Semi-Plano Horizontal Anterior (SPHA ou π’A)” e o 
“Semi-Plano Vertical Superior (SPVS ou π’’S)” 
 
Fonte: Autoria própria 
1.4.6 Projeção ortogonal 
É a figura geométrica projetada sobre o plano de projeção. 
Ex: No caso do plano horizontal de projeção (PHP), é o “pé” da perpendicular traçada do 
ponto no espaço ao plano de projeção. Dado o ponto A (Figura 15), sua projeção ortogonal 
no plano horizontal de projeção será A’ e sua projeção no plano vertical de projeção será A’’. 
1-19 
 
Figura 15 - Projeções ortogonais de um ponto A qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
 
1.4.7 Projetante ou linha de projeção 
É a reta perpendicular ao plano de projeção, ligando o ponto no espaço (A) à sua 
projeção ortogonal no plano (A’ ou A’’). 
 
1.4.8 Épura 
É a representação conjunta, em um mesmo plano, das projeções horizontal e vertical de 
um objeto (Figura 16 e Figura 17). Para isso, rebate-se o plano vertical de projeção sobre o 
plano horizontal de projeção. O rebatimento se dá em torno da linha de terra (π’π’’), em sentido 
anti-horário. Como o plano rebatido leva consigo as projeções do objeto projetado, a épura 
também pode ser entendida como a representação conjunta, em um plano horizontal, das 
vistas frontal e superior de um objeto do ambiente tridimensional. 
 
1-20 
 
Figura 16 - Representação do processo de rebatimento do plano vertical de projeção sobre o plano horizontal 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 17 - Épura de um ponto A qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
Note que, quando rebatemos π” (PVP) sobre π’ (PHP), deixamos de representar o ponto A 
propriamente dito para representarmos apenas suas projeções, A’ e A’’. 
Ainda, em Épura, vê-se o sistema perpendicularmente (Figura 18) e não mais sob a forma 
de projeção isométrica ou perspectiva. Ou seja, a representação do objeto (ponto A, no 
exemplo) agora se dá através de vistas ortogonais. 
 
1-21 
 
Figura 18 - Épura de um ponto A qualquer 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2-22 
 
2 ESTUDO DOS ELEMENTOS FUNDAMENTAIS 
Neste tópico, apresentam-se questões pertinentes à representação e à solução de 
problemas de geometria relativos aos elementos fundamentais: ponto, reta e plano. 
2.1 O Ponto 
Para representar um ponto em Épura, precisamos imaginar sua localização no espaço 
segundo um sistema de coordenadas tridimensional. 
Esse sistema de coordenadas é estruturado por 3 eixos: X, Y e Z. 
Sendo: 
• X (abscissa) Distância medida sobre a linha de terra (LT), na qual se estabelece 
um ponto zero, convertendo a LT em um eixo. Esse ponto zero na 
LT corresponde ao ponto de interseção da LT com um terceiro 
plano imaginário, plano lateral direito de projeção, PLDP (π’’’). 
Usualmente, à esquerda do ponto zero temos o sentido positivo do 
eixo (LT) e à direita o sentido negativo. 
• Y (afastamento) Distância do objeto ao plano vertical de projeção. É medida sobre 
a reta de interseção entre o plano horizontal de projeção e o plano 
lateral direito de projeção (π’’’). 
• Z (cota) Distância do objeto ao plano horizontal. 
A marcação das coordenadas é feita considerando a NBR 10067: Princípios gerais de 
representação em desenho técnico (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT, 
1995). 
Exemplo: representação do ponto A (X=4, Y=2, Z=6) (Figura 19). 
2-23 
 
Figura 19 - Representação de um ponto qualquer A em uma isométrica (a) e em épura (b) 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.1.1 Posições de um ponto 
Um ponto poderá ocupar nove posições diferentes em relação aos planos de projeção. 
Tais posições estão exemplificadas na Tabela 3. 
 
Tabela 3 - Posições de um ponto em relação aos planos de projeção 
Posição Cota Afastamento Épura 
Pertencente ao 1º Diedro + + 
 
Pertencente ao 2º Diedro + - 
 
2-24 
 
Pertencente ao 3º Diedro - - 
 
Pertencente ao 4º Diedro - + 
 
Pertencente ao π’ A 
Semi-plano horizontal anterior 
0 + 
 
Pertencente ao π’ P 
Semi-plano horizontal posterior 
0 - 
 
Pertencente ao π’’ S 
Semi-plano vertical superior+ 0 
 
2-25 
 
Pertencente ao π’’ I 
Semi-plano vertical inferior 
- 0 
 
Pertencente à linha de terra (LT 
ou π’π’’) 
0 0 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
2.1.1.1 Exercícios 
Represente em épura os seguintes pontos: 
A (1,3,5) 
B (4,2,1) 
C (-2,5,-3) 
D (5,-4,6) 
E (2,-3,-3) 
F (3,-7,1) 
 
2-26 
 
2.1.1.2 Gabarito 
 
 
 
2-27 
 
2.2 A Reta 
Neste tópico são abordados os seguintes temas: posições da reta em relação aos planos 
de projeção; posições relativas entre duas retas; e traços de uma retas. 
 
Generalidades: 
• Dois pontos são suficientes para determinar uma reta. Por extensão, também serão 
suficientes para determinar suas projeções. 
• Pontos pertencentes a uma reta terão suas projeções sobre as projeções desta reta. 
• A projeção de uma reta sobre um plano não perpendicular a ela é uma reta. 
 
2.2.1 Posições em relação aos planos de projeção 
Neste tópico são classificadas as diferentes posições que uma reta pode ocupar em 
relação aos planos de projeção. 
2.2.1.1 Reta qualquer (ou Mongeana) 
Nesta classificação, a reta ocupa posição oblíqua (inclinada) em relação aos dois planos 
de projeção e em relação à linha de terra (LT). 
Não se projeta em verdadeira grandeza (VG) em nenhum plano. 
A Figura 20 e a Figura 21 apresentam exemplos para essa posição. 
 
Figura 20 – Épura (a) e isométrica (b) das projeções do segmento AB, suporte de uma reta qualquer 
a) 
 
a) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2-28 
 
Figura 21 – Épura (a) e isométrica (b) das projeções do segmento AB, suporte de uma reta qualquer 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.2.1.2 Reta horizontal (ou de nível) 
Reta horizontal é uma reta paralela ao plano horizontal de projeção (Figura 22). 
Propriedades: 
- todos os pontos pertencentes à reta horizontal possuem a mesma cota; 
- a projeção vertical é paralela à linha de terra; 
- a projeção horizontal acha-se em verdadeira grandeza (VG); 
 
Figura 22 - Épura (a) e isométrica (b) das projeções do segmento AB, suporte de uma reta horizontal 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
A'
B'=B''
p ’p ’’
A'
A''
p ’p ’’
B''
2-29 
 
2.2.1.3 Reta frontal (ou de frente) 
Reta frontal é toda reta paralela ao pano vertical (Figura 23). 
Propriedades: 
- todos os pontos da reta frontal têm o mesmo afastamento; 
- portanto, a projeção horizontal é paralela à linha de terra; 
 
Figura 23 - Épura (a) e isométrica (b) das projeções do segmento AB, suporte de uma reta frontal 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.2.1.4 Reta fronto-horizontal (ou paralela à linha de terra) 
Reta paralela à linha de terra e, consequentemente, paralela aos planos vertical e 
horizontal (Figura 24). 
Propriedades: 
- projeta-se em VG no plano horizontal e no vertical; 
- todos os seus pontos possuem o mesmo afastamento e a mesma cota. 
 
A''
p ’p ’’
2-30 
 
Figura 24 - Épura (a) e isométrica (b) das projeções do segmento AB, suporte de uma reta fronto-horizontal 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
2.2.1.5 Reta de topo 
Reta perpendicular ao plano vertical de projeção (Figura 25). 
Propriedades: 
- a projeção horizontal é perpendicular à linha de terra e está em VG; 
- sua projeção vertical é apenas um ponto; 
Figura 25 - Épura (a) e isométrica (b) das projeções do segmento AB, suporte de uma reta de topo 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
p ’p ’’
B'=B''
p ’p ’’
2-31 
 
2.2.1.6 Reta vertical 
Toda reta perpendicular ao plano horizontal (Figura 26). 
Propriedades: 
- sua projeção vertical é perpendicular à LT; 
- sua projeção horizontal é reduzida a um ponto; 
 
Figura 26 - Épura (a) e isométrica (b) das projeções do segmento AB, suporte de uma reta vertical 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.2.1.7 Reta de perfil 
Reta perpendicular à linha de terra (LT) sem ser paralela ao plano horizontal ou ao vertical. 
2-32 
 
Figura 27 - Épura (a) e isométrica (b) das projeções do segmento AB, suporte de uma reta de perfil 
a) 
 
b) 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.2.1.8 Exercícios 
Trace os segmentos de reta a seguir e informe quais os tipos de retas que estes suportam: 
a) AB A(2,4,2) B(-3,2,8) 
b) CD C(3,6,1) D(7,-2,3) 
c) EF E(3,4,3) F(3,5,7) 
d) GH G(1,4,5) H(7,2,5) 
e) IJ I(2,5,8) J(8,5,2) 
f) KL K(2,4,3) L(8,4,3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-33 
 
2.2.1.9 Gabarito 
a) Reta qualquer 
 
b) Reta qualquer 
 
 
 
 
2-34 
 
2.2.2 Posição relativa de duas retas 
Duas retas podem estar em um mesmo plano ou não (ser coplanares ou não coplanares) 
Se coplanares, podem ser concorrentes, paralelas ou coincidentes. 
Se não estiverem em um mesmo plano, podem ser ortogonais ou reversas. 
 
2.2.2.1 Retas paralelas 
Duas retas (ou segmentos de retas) são paralelas quando satisfazem uma das seguintes 
condições: 
 
1ª condição: as projeções no plano vertical e no horizontal são paralelas. 
Quando as duas retas forem dos tipos frontal ou qualquer, não é necessário verificar as 
projeções no terceiro plano de projeção. Se as projeções forem paralelas em dois planos (no 
vertical e no horizontal), também serão no terceiro. 
Exemplo 1. Quando as duas retas são do tipo frontal (Figura 28). 
Figura 28 - Retas paralelas do tipo frontal 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2) Quando as duas retas são do tipo qualquer (Figura 29). 
2-35 
 
Figura 29 - Retas paralelas do tipo qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
 
No caso das retas de perfil, a projeção em um terceiro plano pode auxiliar na confirmação 
ou não do paralelismo. 
Exemplo 3) Segmentos de retas paralelas do tipo de perfil (Figura 30). 
 
Figura 30 - Retas paralelas do tipo de perfil 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
Novamente abordando as retas de perfil, projeções coincidentes em um terceiro plano 
também confirmarão o paralelismo. 
2-36 
 
Exemplo 4) Segmentos de retas paralelas do tipo de perfil (Figura 31). 
 
Figura 31 - Retas paralelas do tipo de perfil 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exemplo 5) Segmentos de retas não paralelas do tipo de perfil (Figura 32). 
 
Figura 32 - Retas não paralelas do tipo de perfil 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2ª condição: as projeções são paralelas em um plano e coincidentes no outro 
2-37 
 
Este caso se aplica aos pares de retas dos tipos frontal, qualquer, horizontal e fronto-
horizontal. 
Ex. 1) Retas frontais, paralelas em uma projeção e coincidentes na outra (Figura 33). 
 
Figura 33 – Par de retas paralelas do tipo frontal 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
Ex. 2) Par de retas do tipo qualquer, paralelas em uma projeção e coincidentes na outra 
 
Figura 34 - Par de retas do tipo qualquer, paralelas em uma projeção e coincidentes na outra 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
Ex. 3) Par de retas do tipo horizontal, paralelas em uma projeção e coincidentes na outra 
(Figura 35) 
2-38 
 
 
Figura 35 - Par de retas do tipo horizontal, paralelas em uma projeção e coincidentes na outra 
 
 
Ex.4) Par de retas do tipo fronto-horizontal, paralelas em uma projeção e coincidentes na 
outra (Figura 36) 
 
Figura 36 - Par de retas do tipo fronto-horizontal, paralelas em uma projeção e coincidentes na outra 
 
Fonte: Autoria própria 
 
3ª condição: quando as projeções em um plano são paralelas e no outro acumuladas em 
dois pontos. 
Essa condição é encontrada em paresde retas do tipo de topo (Figura 37). 
Figura 37 - Par de retas de topo 
 
Fonte: Autoria própria 
2-39 
 
2.2.2.2 Retas concorrentes 
Duas ou mais retas serão concorrentes quando estiverem contidas no mesmo plano e 
possuírem um ponto em comum. Podem ser perpendiculares (formam ângulos retos) ou 
oblíquas (formam ângulos diferentes de 90°). 
Precisam satisfazer uma das seguintes condições: 
1ª condição – As projeções no plano horizontal de projeção e no vertical são concorrentes 
e o ponto de encontro entre as retas situa-se sobre a mesma linha de chamada (mesma 
abscissa, mesmo valor para X) (Figura 38). 
Figura 38 - Retas concorrentes 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2ª condição – As projeções em um plano são concorrentes e no outro coincidentes (Figura 
39). 
Figura 39 - Retas concorrentes com uma das projeções coincidente 
 
Fonte: Autoria própria 
3ª condição - As projeções em um plano são concorrentes e no outro coincidentes, sendo 
uma delas acumulada (pontual) (Figura 40). 
2-40 
 
Figura 40 - Retas concorrentes com uma das tetas com projeção acumulada 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.2.2.3 Retas coincidentes 
Retas coincidentes são retas cujos pontos são comuns. Suas projeções também serão 
comuns (Figura 41). 
Figura 41 - Retas coincidentes 
 
Fonte: Autoria própria 
2.2.2.4 Retas reversas 
São retas contidas em planos diferentes, fazendo entre si ângulos diferentes de 90° (Figura 
42). 
Figura 42 - Par de retas reversas 
 
Fonte: Autoria própria 
2-41 
 
2.2.2.5 Retas ortogonais 
Estão contidas em planos diferentes, mas fazem entre si ângulos de 90º. 
Figura 43 - Par de retas ortogonais 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.2.3 Traços de uma reta 
São os pontos em que a reta cruza outro elemento. Que pode ser uma reta (neste caso o 
traço também pode ser chamado ponto de concorrência) ou um plano (um plano do espaço 
ou um dos planos de projeção). 
Os traços no plano vertical serão nominados por TV (traço vertical). 
Os traços no plano horizontal serão nominados por TH (traço horizontal). 
Para encontrar os TV e TH de uma reta, basta prolongar suas projeções até tocarem os 
planos de projeção. 
2.2.3.1 Exercícios 
Localize os traços verticais e horizontais das retas suportadas pelos segmentos 
apresentados a seguir. 
a) 
 
 
 
2-42 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
2-43 
 
2.2.3.2 Gabarito 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
2-44 
 
2.3 O Plano 
Neste tópico serão abordados os seguintes temas: representação de um plano; posições 
relativas de um plano em relação a outro; posições de um plano em relação aos planos de 
projeção; determinação das retas de um plano; e principais retas de um plano. 
 
2.3.1 Formas para representação de um plano 
Um plano pode ser representado por: 
- Três pontos não colineares (Figura 44); 
Figura 44 - Plano representado por três pontos não colineares 
 
Fonte: Autoria própria 
 
- Seus traços (Figura 45); 
Figura 45 - Plano representado por seus traços 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
- Por uma reta e um ponto fora desta (Figura 46); 
2-45 
 
Figura 46 - Plano representado por uma reta e um ponto fora desta 
 
Fonte: Autoria própria 
- Por duas retas concorrentes (que se encontram) (Figura 47); 
Figura 47 - Plano representado por duas retas concorrentes 
 
Fonte: Autoria própria 
 
- Por duas retas paralelas (Figura 48) 
Figura 48 - Plano representado por duas retas paralelas 
 
Fonte: Autoria própria 
 
- Por uma reta pertencente ao plano e com a maior inclinação em relação ao plano 
vertical (reta de maior inclinação) 
- Por uma reta pertencente ao plano e com a maior inclinação em relação ao plano 
horizontal (reta de nível) 
2.3.2 Posições de um plano em relação a outro plano 
Em relação a outro plano, um plano pode ser: 
2-46 
 
a) Perpendicular (Figura 49) 
Figura 49 - Planos perpendiculares entre si 
 
Fonte: Autoria própria 
b) Paralelo 
Figura 50 - Planos paralelos entre si 
 
Fonte: Autoria própria 
c) Oblíquo 
Figura 51 - Planos oblíquos entre si 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.3.3 Posições do plano em relação aos planos de projeção 
a) Plano horizontal (ou de nível) (Figura 52) 
2-47 
 
Figura 52 - Plano horizontal 
 
Fonte: Autoria própria 
 
b) Plano frontal (ou de frente) (Figura 53) 
Figura 53 - Plano frontal 
 
Fonte: Autoria própria 
 
c) Plano vertical (Figura 54) 
Figura 54 - Plano vertical 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
d) Plano de topo (Figura 55) 
2-48 
 
Figura 55 - Plano de topo 
 
Fonte: Autoria própria 
 
e) Plano de Perfil (Figura 56) 
Figura 56 - Plano de perfil 
 
Fonte: Autoria própria 
 
f) Plano de rampa 
Plano paralelo à linha de terra (Figura 57). 
Figura 57 - Plano de rampa 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
g) Plano oblíquo (plano genérico ou qualquer) 
2-49 
 
Inclinado em relação aos planos de projeção e em relação à linha de terra (Figura 58). 
Figura 58 - Plano qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.3.4 Determinação dos traços de um plano nos planos de projeção 
2.3.4.1 Conceito e procedimentos 
Os traços de um plano nos planos de projeção são as interseções desse plano com os 
referidos planos de projeção. 
Exemplo 1. Determine os traços do plano dado (Figura 59) nos planos de projeção vertical 
e horizontal. 
Figura 59 - Projeções de um plano qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
Para a de terminação dos traços dos planos, determinam-se os traços de retas 
pertencentes ao plano e, a partir destes, os traços almejados (Figura 60). 
2-50 
 
Figura 60 - Traços de um plano qualquer nos planos de projeção 
 
Fonte: Autoria própria 
Exemplo 2. Determine os traços do plano dado () nos planos de projeção vertical e 
horizontal (Figura 61). 
Figura 61 - Projeções de um plano qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Resposta: Figura 62. 
2-51 
 
Figura 62 - Traços de um plano qualquer nos planos de projeção 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
2.3.4.2 Exercícios 
Exercício 1: Dado o plano definido pelos pontos ABC, defina seus traços em π’ e π’’. 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exercício 2: Dado o plano definido pelos pontos ABC, defina seus traços em π’ e π’’. 
2-52 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
Exercício 3: Dado o plano definido pelos pontos ABC, defina seus traços em π’ e π’’. 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
Exercício 4: Dado o plano definido pelos pontos ABC, defina seus traços em π’ e π’’. 
2-53 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
Exercício 5: Dado o plano definido pelos pontos ABC, defina seus traços em π’ e π’’. 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
2-54 
 
Exercício 6: Dado o plano definido pelos pontos ABC, defina seus traços em π’ e π’’. 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
Exercício 7: Dado o plano definido pelos pontos ABC, defina seus traços em π’ e π’’. 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2-55 
 
Exercício 8: Dado o plano definido pelos pontos ABC, defina seus traços em π’ e π’’. 
 
 
Fonte: Autoria própria 
2.3.4.3 Gabarito 
Resposta do exercício 1. 
 
2-56 
 
Resposta do Ex. 2 
 
Resposta do Ex. 3 
 
Resposta do Ex. 4 
 
Resposta do Ex. 5 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Resposta do Ex. 6 
 
2-57 
 
Resposta do Ex. 7 
 
Resposta do Ex. 8 
 
Fonte: Autoria própria 
2.3.5 Principais retas de um plano 
Dentre as retas pertencentes a umplano, destacam-se dois tipos: 
• Retas de maior declive 
• Retas de maior inclinação em relação ao plano vertical 
2.3.5.1 Reta de maior declive (ou de maior declividade) 
Dentre as retas de um plano, as “retas de maior declive” fazem o maior ângulo possível 
com o plano horizontal. Em outras palavras, fazem o maior ângulo possível com suas 
respectivas projeções horizontais. 
Em um telhado convencional, indicam o caminho percorrido pela água sob influência da 
gravidade. 
São perpendiculares a todas as retas horizontais pertencentes ao plano. 
2-58 
 
2.3.5.1.1 Procedimento para traçar retas de maior declive de um plano 
A seguir são apresentados os passos para traçar retas de maior declive de um plano dado: 
1°. Sabendo-se que uma reta de maior declive é perpendicular a qualquer reta horizontal 
pertencente ao plano, na projeção vertical, traça-se a projeção de uma horizontal qualquer (r); 
2°. Na projeção horizontal, localiza-se a projeção da reta horizontal (r) traçada; 
3°. Na projeção horizontal, traça-se uma perpendicular (m) à projeção horizontal de r; 
4°. Na projeção vertical, traça-se a projeção dessa perpendicular (m). 
 
Exemplo 1: Dados os pontos ABC, definindo um plano, trace neste uma reta com a maior 
declividade possível (Figura 63). 
Figura 63 - Procedimento sugerido para traçar retas de maior declive 
Problema Solução 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.3.5.1.2 Exercícios 
Exercício 1: Dados os pontos ABC, definindo um plano, trace neste uma reta com a maior 
declividade possível. 
2-59 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exercício 2: Dados os pontos ABC, definindo um plano, trace neste uma reta com a maior 
declividade possível. 
 
Fonte: Autoria própria 
2.3.5.1.3 Gabarito 
Resposta do Exercício 1 
2-60 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Resposta do Exercício 2 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
2-61 
 
2.3.5.2 Retas de maior inclinação em relação ao plano vertical de projeção 
Fazem o maior ângulo possível em relação a sua projeção no plano vertical. 
São perpendiculares às retas frontais do plano. 
2.3.5.2.1 Procedimentos para traçar as retas de um plano que possuem a maior inclinação 
em relação ao plano vertical de projeção 
Para traçar as retas de um plano que apresentem a maior inclinação em relação ao plano 
vertical de projeção, adota-se os seguintes procedimentos: 
1°. Sabendo-se que uma reta de maior inclinação em relação ao plano vertical de 
projeções é perpendicular a qualquer reta frontal pertencente a esse plano, na projeção 
horizontal, traça-se a projeção de uma reta frontal (r); 
2°. Na projeção vertical, localiza-se a projeção da reta frontal; 
3°. Na projeção vertical, traça-se uma perpendicular à projeção da reta frontal; 
4°. Na projeção horizontal, traça-se a projeção dessa perpendicular. 
 
Exemplo 1 
Dados os pontos ABC, definindo um plano, trace neste plano uma reta com a maior 
inclinação possível em relação à sua projeção no plano vertical (Figura 64). 
 
Figura 64 - Procedimento sugerido para traçar retas de maior inclinação em relação ao plnano vertical de 
projeção 
Problema Solução 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2-62 
 
2.3.5.2.2 Exercícios 
Exercício 1: Dados os pontos ABC, definindo um plano, trace neste uma reta com a maior 
inclinação possível em relação a sua projeção no plano vertical. 
 
 
 
Exercício 2: Dados os pontos ABC, definindo um plano, trace neste uma reta com a maior 
inclinação possível em relação a sua projeção no plano vertical. 
 
 
 
2-63 
 
2.3.5.2.3 Gabarito 
Resposta do Exercício 1 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Resposta do Exercício 2 
 
Fonte: Autoria própria 
 
3-64 
 
3 MÉTODOS DESCRITIVOS (OU DESLOCAMENTOS) 
Muitas vezes, quando se trabalha com figuras geométricas, é necessário informações 
como: distâncias entre objetos; ângulos; áreas em Verdadeira Grandeza (VG), formas etc. 
Ocorre que essas informações são de difícil obtenção caso as figuras não se encontrem em 
posições particulares em relação aos planos de projeção. Nestes casos, faz-se necessário 
modificar a posição desses objetos ou dos planos de projeção. Ou seja, métodos descritivos ou 
deslocamentos são procedimentos (ou artifícios) para obter informações utilizados quando os 
objetos não estão em uma posição favorável em relação aos planos de projeção. 
Os métodos descritivos são: 
- Mudança de plano de projeção (MPP). 
- Rotação. 
- Rebatimento. 
3.1 Mudança de plano de projeção (MPP) 
Neste método, os objetos permanecem fixos, alterando-se a posição dos planos de 
projeção. 
Quando inseridos planos auxiliares, estes serão nomeados acrescentando-se linhas aos 
nomes genéricos utilizados até aqui (π’ e π”): 
- Os planos verticais auxiliares terão índices pares: π’’’’, π’’’’’’... 
- E os planos horizontais auxiliares receberão índices ímpares: π’’’, π’’’’’... 
 
3.1.1 Mudança do plano vertical 
Observa-se que, quando se altera a posição do plano vertical, não se altera a cota do 
objeto. 
 
Exemplo 1 – Mudança do plano vertical de projeção para visualização de um ponto 
(Figura 65). 
Observe que as novas linhas de chamada serão perpendiculares à nova linha de terra 
(LT) (Figura 65). 
 
3-65 
 
Figura 65 - Mudança do plano vertical de projeção para visualização de um ponto 
Isométrica Épura 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exemplo 2 – Caso da reta ou do segmento de reta. 
Figura 66 - Mudança do plano vertical de projeção para visualização de um segmento de reta 
Isométrica Épura 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
3-66 
 
3.1.2 Mudança do plano horizontal 
Quando se altera a posição do plano horizontal, mantém-se o afastamento do objeto. 
Ex. 1 – Caso do ponto (Figura 67). 
Figura 67 - Mudança do plano horizontal de projeção para visualização de um ponto 
Isométrica Épura 
 
Fonte: Autoria própria 
Ex. 2 – Caso da reta e do segmento de reta (Figura 68). 
Figura 68 - Mudança do plano horizontal de projeção para visualização de um segmento de reta 
Isométrica Épura 
 
Fonte: Autoria própria 
3-67 
 
3.1.3 Aplicações da Mudança do Plano de Projeção (MPP) 
No caso de segmentos de retas oblíquas aos planos de projeção (retas de perfil e 
qualquer), as projeções no plano horizontal e no vertical não corresponderão aos seus 
comprimentos. Para se obter as verdadeiras grandezas de seus comprimentos, é necessário que 
ao menos um plano seja paralelo à reta. Sendo assim, para obter a VG, altera-se a posição do 
plano vertical ou do plano horizontal de projeção. 
3.1.3.1 Obtenção da distância entre dois pontos com a mudança do plano de 
projeção VERTICAL 
Primeiramente, aborda-se aqui o caso da reta qualquer. 
Exemplo 1. Dada uma reta qualquer, obtenha sua VG (Figura 69) utilizando mudança do 
plano vertical de projeções. Ou seja, obtenha a distância entre dois pontos do espaço. 
Figura 69 - Mudança do plano vertical de projeção para obtenção da VG de uma reta qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
Outros soluções para problema semelhante (Figura 70). 
Figura 70 – Mudança do plano vertical de projeção para obtenção das VGs de retas do tipo qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
3-68 
 
Em se tratando da reta de perfil, por definição, ela não se projetar em verdadeira 
grandeza nem no plano horizontal nem no vertical. Para se obter sua VG, é necessário um 
planoauxiliar, perpendicular à linha de terra e paralelo à reta, conforme o exemplo 
apresentado pela Figura 71. 
Figura 71 - Mudança de plano de projeção para obtenção da VG de uma reta de perfil 
 
Fonte: Autoria própria 
3.1.3.2 Obtenção da distância entre dois pontos com a mudança do plano de 
projeção HORIZONTAL 
Exemplo 1. Dado o segmento AB, obtenha sua VG utilizando mudança do plano 
horizontal de projeção. 
Figura 72 - Mudança do plano HORIZONTAL de projeção para obtenção da VG do segmento AB 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Outros exemplos. 
3-69 
 
Figura 73 - Mudança do plano HORIZONTAL de projeção para obtenção das VGs de retas do tipo qualquer 
 
Fonte: Autoria própria 
3.1.3.3 Exercícios 
Exercício 1 – Obtenha a verdadeira grandeza para o segmento AB. 
 
 
Exercício 2 – Obtenha a verdadeira grandeza para o segmento AB. 
 
 
 
3-70 
 
3.1.3.4 Gabarito 
Resposta Ex. 1 
 
 
Resposta Ex. 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-71 
 
3.1.3.5 Obtenção da projeção acumulada de uma reta 
Para se obter a projeção acumulada de uma reta é necessário que esta esteja em VG. 
Caso não esteja, o primeiro passo será conseguir a VG. 
Exemplo 1. Caso da reta horizontal (Figura 74). 
Figura 74 - Obtenção da VG de uma reta horizontal 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exemplo 2. Caso da reta de perfil (Figura 75). 
Figura 75 - Obtenção da VG de uma reta de perfil 
 
Fonte: Autoria própria 
Exemplo 3. Caso da reta qualquer (oblíqua). 
Figura 76 - Obtenção da VG de uma reta qualquer (oblíqua) 
 
Fonte: Autoria própria 
3-72 
 
3.1.4 Obtenção da VG de uma figura plana com a mudança do plano 
de projeção (MPP) 
Da mesma maneira que a mudança do plano de projeções é aplicada à obtenção de 
distâncias, pode ser aplicada para obtenção da verdadeira grandeza de formas geométricas. 
 
Exemplo. Obtenção da verdadeira grandeza para a figura plana ABC (Figura 77). 
Figura 77 - Obtenção da verdadeira grandeza para a figura plana ABC 
 
Fonte: Autoria própria 
Resposta para o exemplo 1 (Figura 78). 
Figura 78 - Obtenção da verdadeira grandeza para a figura plana ABC 
 
 
3-73 
 
3.1.4.1 Exercícios 
Exercício 1 - Obtenha a verdadeira grandeza para a figura plana ABC utilizando mudança 
do plano VERTICAL de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 - Obtenha a verdadeira grandeza para a figura plana ABC utilizando mudança 
do plano VERTICAL de projeção. 
 
 
 
 
 
 
3-74 
 
Exercício 3. Obtenha a verdadeira grandeza para a figura plana ABC utilizando mudança 
do plano HORIZONTAL de projeção. 
 
 
 
Exercício 4. Obtenha a verdadeira grandeza da face mais larga do prisma vertical (face 
oblíqua) utilizando mudança do plano VERTICAL de projeção. 
 
 
 
 
3-75 
 
Exercício 5. Obtenha a verdadeira grandeza da face mais larga do prisma vertical (face 
oblíqua) utilizando mudança do plano VERTICAL de projeção. 
 
 
Exercício 6. Obtenha a verdadeira grandeza da face esquerda da cobertura utilizando 
mudança do plano HORIZONTAL de projeção. 
 
 
3-76 
 
3.1.4.2 Gabarito 
Resposta exercício 1 
 
Resposta exercício 2. 
 
Resposta exercício 3. 
 
 
 
 
3-77 
 
Resposta exercício 4. 
 
Resposta exercício 5. 
 
Resposta exercício 6. 
 
 
3-78 
 
3.2 Rotação 
O processo de rotação consiste em girar a figura estudada em torno de um eixo para que 
ocupe certa posição particular. 
Pode-se, por exemplo, girar um segmento de reta em torno de um eixo para que fique 
paralelo a um plano de projeção e se projete em VG sobre o outro. 
3.2.1 Rotação sobre eixo VERTICAL 
Quando o eixo é perpendicular ao plano horizontal, não se altera a cota dos objetos 
rotacionados. Os arcos descritos pelos objetos serão projetados em VG no plano horizontal. 
Ex. 1 - Obtenção da VG do segmento AB (Figura 79), pertencente a uma reta qualquer. 
Eixo concorrente com o segmento rotacionado. 
Figura 79 - Rotação sobre eixo vertical concorrente com o segmento rotacionado 
 
Fonte: Autoria própria 
Ex. 2 - Obtenção da VG do segmento AB, pertencente a uma reta qualquer. Eixo não 
concorrente com o segmento rotacionado (Figura 80). 
Figura 80 - Rotação sobre eixo vertical não concorrente com o segmento rotacionado 
 
Fonte: Autoria própria 
3-79 
 
3.2.2 Rotação sobre eixo de TOPO 
Quando se executa rotação de segmento de reta em torno de um eixo de topo, não se 
alteram os afastamentos das extremidades do segmento. Os arcos descritos pelas extremidades 
do segmento serão projetados em verdadeira grandeza no plano vertical. 
Ex. 1 – Obtenção da VG para uma Reta ou Segmento qualquer. Eixo concorrente ao 
segmento rotacionado. 
Figura 81 - Rotação sobre eixo de topo concorrente ao segmento rotacionado 
 
Fonte: Autoria própria 
Ex. 2 – Obtenção da VG para uma Reta ou Segmento qualquer. Eixo não concorrente ao 
segmento rotacionado. 
Figura 82 - Rotação sobre eixo de topo não concorrente ao segmento rotacionado 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
3-80 
 
3.2.3 Exercícios 
Exercício 1 – Obtenha a verdadeira grandeza para a figura plana ABC. 
 
 
 
Exercício 2 – Obtenha a verdadeira grandeza para a figura plana ABCD. 
 
 
 
 
 
3-81 
 
Exercício 3 – Obtenha a verdadeira grandeza para a figura plana ABCD. 
 
 
 
 
 
Exercício 4 – Obtenha a verdadeira grandeza para a água direita da cobertura da 
edificação apresentada a seguir. Considere um eixo de rotação, de topo, coincidente com a 
cumeeira. 
 
 
3-82 
 
3.2.4 Gabarito 
Resposta exercício 1 
 
Resposta exercício 2 
 
Resposta exercício 3 
 
 
3-83 
 
Resposta 1 para o exercício 4. 
 
Resposta 2 para o exercício 4. 
 
 
3-84 
 
3.3 Rebatimento 
O rebatimento é um caso específico de rotação. Normalmente, o principal objetivo do 
uso do rebatimento é a obtenção da verdadeira grandeza (VG). 
Dados dois planos concorrentes, rebatimento é a rotação de um destes planos em torno 
da reta de intersecção entre eles (chamada charneira), de modo que ocupem posições 
coincidentes. 
3.3.1 Quando o plano rebatido apresenta projeção acumulada 
Neste caso se diz que a solução é imediata. 
A charneira, eixo, será definida pela interseção de um plano perpendicular ao plano de 
projeção que contém a projeção acumulada. 
Exemplo 1. Dadas as projeções dos pontos A e B (Figura 83), qual a distância entre eles? 
Realizar o rebatimento sobre o plano horizontal de projeção. 
Figura 83 - Segmento AB, com dimensão desconhecida 
 
Fonte: Autoria própria 
Para solução deste problema: 
- Foi definido um plano vertical que contém a projeção horizontal dos pontos A e B. 
- Na interseção do plano vertical com o plano horizontal (π’) foi definido um eixo, 
denominado eixo e (charneira). Esse eixo contém a projeção horizontal dos pontos A e B, 
portanto é um eixo horizontal. 
- Rotacionou-se o plano criado em torno do “eixo e”, de modo que coincidiu com o plano 
horizontal. Desta forma obteve-se o V.G. do segmento AB. 
A Figura 84 apresenta diferentes soluções para o problema. Na primeira, utilizou-se 
rebatimento, na segunda, rotação. 
3-85 
 
Figura 84 - Obtenção da VG do segmento AB por meio de rebatimento (a) e rotação (b) 
a) b) 
 
Fonte: Autoria própria 
Exemplo 2. Dado o segmento de plano (de topo) definido pelos pontos ABC, obter sua 
VG realizando rebatimento sobre o plano vertical de projeções. 
Figura 85 - Segmento de plano de topo definido pelos pontos ABC e com projeção acumulada noplano vertical 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
Para solução deste problema (Figura 86), imaginou-se um plano de topo contendo a 
projeção acumulada da figura (ABC). A interseção deste plano com o plano vertical de projeção 
definiu a charneira. Em torno da charneira rotacionou-se o segmento ABC até que ele passasse 
a pertencer ao plano vertical de projeções. 
3-86 
 
Figura 86 - Obtenção da VG do segmento de plano de topo definido pelos pontos ABC e com projeção 
acumulada no plano vertical 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exemplo 3. Utilizando rebatimento sobre o plano de projeção vertical, obter a VG da água 
esquerda da cobertura da edificação a seguir. (Figura 87). 
Figura 87 - Cobertura com projeções reduzidas no plano horizontal e acumuladas no plano vertical de projeção 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
3-87 
 
Resposta do exemplo 3. Rebatimento da água esquerda sobre o plano vertical de projeção 
(Figura 88). 
Figura 88 - Rebatimento da água esquerda sobre o plano vertical de projeção 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-88 
 
3.3.2 Quando o plano rebatido apresenta projeções reduzidas 
Exemplo 1. Obter, na projeção horizontal, a V.G. de um segmento de plano qualquer 
definido por 3 pontos (Figura 89). 
Figura 89 - Segmento de plano qualquer cuja VG é desconhecida 
 
Fonte: Autoria própria 
Solução do exemplo 1 (Figura 90): 
- Foi imaginado um plano horizontal, o qual foi interceptado por outro plano imaginário 
que contém o objeto. 
- A interseção dos dois planos imaginados definiu uma reta de interseção horizontal, 
denominada charneira (na vista frontal). Depois a charneira foi transferida para a vista superior 
(projeção horizontal). 
- A charneira foi tomada como eixo para rotação dos pontos ABC e obter sua projeção. 
- A partir da cota e do afastamento do ponto B, obteve-se a hipotenusa do triângulo de 
rebatimento. 
- A partir da hipotenusa, localizou-se a projeção B’1 e então a projeção A’1 e a VG. 
3-89 
 
Figura 90 - Rebatimento do segmento de plano ABC na projeção horizontal para obtenção de sua VG 
 
Fonte: Autoria própria 
Exemplo 2. Obter, na projeção horizontal, a V.G. de um segmento de plano qualquer 
definido por 3 pontos (Figura 91). 
Figura 91 - Segmento de plano ABC com VG desconhecida 
 
Fonte: Autoria própria 
 
3-90 
 
Solução do exemplo 2 (Figura 92). 
Figura 92 - Rebatimento do segmento de plano ABC na projeção horizontal para obtenção de sua VG 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exemplo 3. Obter, na projeção horizontal, a V.G. de um segmento de plano qualquer 
definido por 3 pontos (Figura 93). 
Figura 93 - Segmento de plano ABC com VG desconhecida 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
3-91 
 
Solução do exemplo 3 (Figura 94). 
Figura 94 - Rebatimento do segmento de plano ABC na projeção horizontal para obtenção de sua VG 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exemplo 4. Obter, na projeção horizontal, a V.G. de um segmento de plano qualquer 
definido por 3 pontos (Figura 95). 
Figura 95 - Segmento de plano ABC com VG desconhecida 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
3-92 
 
Solução do exemplo 4 (Figura 96). 
Figura 96 - Rebatimento do segmento de plano ABC na projeção horizontal para obtenção de sua VG 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Exemplo 5. Obter, na projeção VERTICAL, a VG do segmento de plano ABC com VG 
desconhecida (Figura 97). 
Figura 97 - Segmento de plano ABC com VG desconhecida 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
3-93 
 
Solução exemplo 5 (Figura 98). 
Figura 98 - Rebatimento do segmento ABC no plano vertical para obtenção de sua VG 
 
Fonte: Autoria própria 
Exemplo 6. Utilizando rebatimento, obter, na projeção VERTICAL, a VG do segmento de 
plano (Figura 99). 
Figura 99 - Segmento de plano ABC com VG desconhecida 
 
Fonte: Autoria própria 
3-94 
 
Solução exemplo 6 (Figura 100). 
Figura 100 - Rebatimento do segmento ABC no plano vertical para obtenção de sua VG 
 
Fonte: Autoria própria 
Exemplo 7. Utilizando rebatimento, obter, na projeção horizontal, a VG da água direita 
da cobertura a seguir (Figura 101). Tomar como charneira a cumeeira. 
Figura 101 - Cobertura com águas em projeção reduzida 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
3-95 
 
Resposta para o exemplo 7. Rebatimento, na projeção horizontal, da água da lateral 
direita (Figura 102). 
Figura 102 - Rebatimento, na projeção horizontal, da água da lateral direita 
 
Fonte: Autoria própria 
Exemplo 8. Utilizando rebatimento, obter, na projeção horizontal, a VG da água direita 
da cobertura a seguir. Tome como charneira o beiral da lateral direita. 
Figura 103 - Coberturas com águas em projeção reduzida 
 
Fonte: Autoria própria 
 
3-96 
 
Resposta para o exemplo 8. Rebatimento, na projeção horizontal, da água da lateral 
direita (Figura 104). 
Figura 104 - Rebatimento, na projeção horizontal, da água da lateral direita 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
4-97 
 
4 PERTINÊNCIA 
Neste tópico, estuda-se o pertencimento e um objeto a outro. O pertencimento do ponto 
a uma reta ou segmento de reta e o pertencimento de uma reta a um plano. 
4.1 Pertinência à reta 
Se um ponto pertence a uma reta, suas projeções também pertencerão às projeções dessa 
reta. De modo geral, a verificação de pertinência de um ponto a uma reta é imediata (Figura 
105), exceto no caso da reta de perfil (Figura 106). Neste caso, pode ser necessária a 
verificação através de um plano auxiliar. 
 
Figura 105 - Segmento de reta qualquer – verificação imediata do pertencimento de pontos 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Figura 106 - Segmento de reta de perfil - verificação da pertinência de ponto por meio de plano auxiliar 
 
Fonte: Autoria própria 
 
4-98 
 
Exercício 1. Seguindo o procedimento do exemplo anterior, verifique se o ponto P pertence 
ao segmento AB. 
 
Fonte: Autoria própria 
4.2 Pertinência ao plano 
4.2.1 Pertinência da reta ao plano 
Uma reta pertencerá a um plano caso dois de seus pontos pertençam a esse plano. 
No exemplo a seguir, a reta m pertence ao plano definido pelos pontos ABC porque os 
pontos DE, pertencentes à reta, também pertencem a esse plano. 
 
Ex. 1 - De termine a projeção horizontal da reta r de modo que ela pertença ao plano 
determinado pelos pontos ABC. 
4-99 
 
 
Ex 2. – Determine a projeção vertical da reta a de modo que pertença ao plano formado 
pelas retas r e m. 
 
4.2.2 Pertinência do ponto ao plano 
Um ponto pertence a um plano caso pertença a uma reta desse plano. 
No caso a seguir, P pertence a um plano definido pelas concorrentes r e m. Logo, pertence 
a uma reta concorrente a r e concorrente a m. A verificação da pertinência é feita através da 
verificação do alinhamento entre as projeções dos pontos de concorrência verticais e 
horizontais. 
4-100 
 
 
Ex. 1 – Localize a projeção horizontal do ponto P de modo que ele pertença ao plano 
formado pelos pontos ABC. 
 
Ex. 2- Localize a projeção vertical do ponto P pertencente ao plano determinado pela reta 
m e pelo ponto A. 
 
 
Ex. 3 – Localize a projeção vertical do ponto P pertencente ao plano determinado pelas 
retas r e m. 
4-101 
 
 
 
5-102 
 
5 INTERSECÇÃO 
5.1 Interseção entre retas 
A interseção entre retas foi abordada no tópico “retas concorrentes”, quando do estudo 
das “posições relativas entre duas retas”, no capítulo “a reta”. 
5.2 Interseção entre reta e plano 
O ponto de interseção entre a reta e o plano é o local onde a reta “fura” o plano. Também 
é denominado “traço da reta sobreo plano”. 
Quando uma reta não é paralela a um plano ocorrerá um ponto de interseção próprio 
comum aos dois elementos. 
Quando são paralelos a interseção se dará em um ponto impróprio. 
De acordo com o tipo de plano, a localização do ponto de interseção pode ser imediata 
ou genérica. 
5.2.1 Interseção de reta com plano com projeção acumulada 
Neste caso a solução é imediata, direta. 
Ex. 1. Interseção entre reta plano cuja projeção horizontal é acumulada (Figura 107). 
Figura 107 - Interseção de uma reta com um plano cuja projeção horizontal é acumulada 
 
Fonte: Autoria própria 
Ex. 2. Interseção entre reta eplano cuja projeção vertical é acumulada (Figura 108). 
Figura 108 - Interseção de uma reta com um plano cuja projeção vertical é acumulada 
 
Fonte: Autoria própria 
5-103 
 
5.2.2 Interseção de reta com plano com projeções reduzidas 
Neste caso, para localizar a interseção, traça-se um plano auxiliar que contenha a reta. 
Após, determina-se a reta de interseção entre os dois planos. O ponto de concorrência da reta 
de interseção entre os planos e a reta original será o traço da reta original. 
Exemplo resolvido. 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
5-104 
 
Exercício 1. 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
Exercício 2. 
 
 
 
 
 
5-105 
 
Gabarito exercício 1. 
 
Gabarito exercício 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-106 
 
5.3 Interseção entre planos 
Quando dois planos não são paralelos são secantes, isto é, eles se cortam. Essa interseção 
é sempre uma reta. Para determinar essa reta é necessário determinar dois pontos comuns aos 
dois planos. 
5.3.1 Planos com projeções acumuladas no mesmo plano de projeção 
Exemplo1. 
 
 
 
Exemplo 2. 
 
 
 
5-107 
 
Exemplo 3. 
 
Solução exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-108 
 
5.3.2 Planos com projeções acumuladas, mas em planos de projeção 
diferentes 
Neste caso a projeção da reta de interseção coincido com os traços dos planos. 
Exemplo. 
 
Resolução. 
 
 
 
5-109 
 
5.3.3 Quando um dos planos possui projeção acumulada 
Exemplo 1. 
 
Solução 
 
Exemplo 2. 
5-110 
 
 
Solução exemplo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-111 
 
5.3.4 Quando os dois planos possuem projeções reduzidas 
Neste caso a solução é genérica. 
Pode ser encontrada através dos métodos descritivos ou método dos planos auxiliares. 
 
5.3.4.1 Solução utilizando mudança de plano de projeção (MPP): 
Nesta solução é criado um plano de projeção ortogonal a uma reta paralela a um dos 
planos. 
No caso a seguir a figura contida no plano α possui um segmento de reta paralelo ao 
plano horizontal. Foi criado um plano ortogonal a esse segmento de reta. Na nova projeção o 
plano α foi acumulado e possibilitou localizar a interseção com o plano β. 
Exemplo 1. 
 
Solução exemplo 1. 
 
 
5-112 
 
Exemplo 2. 
 
Solução exemplo 2. 
 
 
 
 
 
5-113 
 
5.3.4.2 Solução utilizando o “Método dos Planos Auxiliares” 
Corta-se os planos dados com dois planos auxiliares paralelos entre si e com projeções 
acumuladas. Os cortes determinarão a reta de interseção entre os planos originais. 
Na solução, os cortes devidos às projeções acumuladas dos planos auxiliares serão 
traçados em uma das vistas (frontal ou superior). Serão levadas para o outro plano de 
projeções. Neste gerarão quatro retas. Duas referentes às seções devidas ao primeiro plano 
auxiliar e duas devidas ao segundo. Conectando cada par se obtém a interseção entre os 
planos originais. Após, esta interseção é projetada no outro plano de projeção. 
Exemplo 1. 
 
 
 
5-114 
 
 
 
 
 
 
5-115 
 
Exemplo 2. 
 
 
5-116 
 
 
 
 
 
5-117 
 
5.3.4.3 Exercícios 
Exercício 1. Determine as projeções das retas de interseção entre os planos utilizando 
mudança de plano de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-118 
 
Exercício 2. Determine as projeções das retas de interseção entre os planos utilizando o 
método dos planos auxiliares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-119 
 
Exercício 3. Determine as projeções das retas de interseção entre os planos utilizando 
mudança de plano de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-120 
 
Exercício 4. Determine as projeções das retas de interseção entre os planos utilizando o 
método dos planos auxiliares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-121 
 
Exercício 5. Determine as projeções das retas de interseção entre os planos da cobertura 
da edificação a seguir observando as projeções no plano vertical de projeções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-122 
 
 
5-123 
 
Exercício 6. Determine as projeções das retas de interseção entre os planos da cobertura 
da edificação a seguir observando as projeções no plano vertical d projeções. 
 
 
 
 
 
 
 
5-124 
 
 
 
 
5-125 
 
5.3.4.4 Gabarito 
Resposta exercício 1 
 
 
 
 
 
Resposta exercício 2 
 
 
 
5-126 
 
 
 
Resposta exercício 3 
 
 
5-127 
 
Resposta exercício 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-128 
 
Resposta exercício 5 
 
Resposta exercício 6 
 
6-129 
 
6 PROBLEMAS DE POSIÇÃO 
6.1 Paralelismo 
Podemos ter paralelismo entre: 
- retas 
- retas e planos 
- e entre planos. 
Para ocorrer é necessário que exista eqüidistância entre os mesmos. 
6.1.1 Paralelismo entre retas 
6.1.2 Paralelismo entre retas e planos 
Para uma reta ser paralela a um plano é necessário que seja paralela a uma reta desse 
plano. 
Para uma reta ser paralela a dois planos não paralelos é necessário que ela seja paralela 
à interseção desses planos. 
6.1.3 Paralelismo entre planos 
Para dois planos serem paralelos é necessário e suficiente que um deles contenha duas 
retas concorrentes paralelas ao outro.(BORGES; BARRETO; MARTINS, 1984) 
Sobre dois planos quaisquer de projeção, os traços de dois planos paralelos são retas 
paralelas.(MACHADO, 1972) 
 
6.2 Perpendicularismo 
6.2.1 Perpendicularidade entre retas 
Duas retas coplanares que se interceptam formando ângulos de 90º são denominadas 
perpendiculares. (BORGES; BARRETO; MARTINS, 1984) 
6.2.1.1 Solução imediata 
Exemplo 1: traçar uma perpendicular à reta r, paralela a um dos planos de projeção, 
passando pelo ponto P dado. 
6-130 
 
 
 
 
 
Solução exemplo 1. 
 
 
6.2.1.2 Solução genérica 
Quando as retas não forem paralelas aos planos de projeção será necessário adotar 
solução via métodos descritivos. 
Exemplo 1: traçar uma perpendicular à reta r qualquer passando pelo ponto P dado. 
6-131 
 
 
 
 
 
No caso da reta de perfil utiliza-se uma terceira vista. 
 
6.2.2 Perpendicularidade entre reta e plano 
Teoremas: 
a) Para que uma reta seja perpendicular a um plano é necessário e suficiente que ela seja 
perpendicular a duas retas do plano. (DEMETERCO; SCHLEMM, [s.d.]) 
b) Para que uma reta seja perpendicular a um plano é necessário e suficiente que seja 
perpendicular a duas retas paralelas a esse plano e não paralelas entre si. (MACHADO, 1972) 
c) Uma reta é perpendicular a um plano quando é perpendicular a todas as retas que 
passam pelo seu pé6 (BORGES; BARRETO; MARTINS, 1984)