DESCONTO COMPOSTO SERIES UNIFORMES

Prévia do material em texto

Desconto Racional (por dentro) Composto
A operação de desconto racional composto, por definição, é equivalente a uma operação de juros compostos.
Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional composto teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.
O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.
Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer um desenho comparativo.
Montante
Capital Inicial	Juros
JUROS COMPOSTOS
Valor Nominal
�
Valor Atual
0
(Data zero)
�
DESCONTO RACIONAL
Linha do tempo
�Desconto
�
 O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital inicial da
operação de juros compostos.
�
 O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao montante da
operação de juros compostos.
 O desconto da operação de desconto racional composto corresponde ao juro da
operação de juros compostos.
Correspondência entre os elementos das operações
	Juros Compostos
	Desconto Racional Composto (por dentro)
	Capital Inicial (C)
	Valor Atual (A)
	Montante (M)
	Valor Nominal (N)
	Juro (J)
	Desconto (D)
Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simples (por dentro).
�
Juros Compostos:
Desconto Racional Simples:
�M	 C
� (1 i)n
�
Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime composto.
	Desconto Racional Simples (por dentro)
	Desconto Racional Composto (por dentro)
	N  A (1 i  n)
	N  A  (1 i)n
A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples para o regime composto, o n (número de períodos) foi para o expoente.
O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos.
�
Desconto Comercial (por fora) Composto
Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional composto (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual.
O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto comercial composto incide sobre o valor nominal.
Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto.
	Desconto Racional Simples (por dentro)
	Desconto Racional Composto (por dentro)
	N  A (1 i  n)
	N  A  (1 i)n
Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi para o expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto.
	Desconto Comercial Simples (por fora)
	Desconto Comercial Composto (por fora)
	A  N  (1 i  n)
	A  N  (1 i)n
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto.
A = N — D
(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de
a) R$ 21.780,00
b) R$ 21.600,00
c) R$ 20.702,00
�
d) R$ 19.804,00
e) R$ 19.602,00
Resolução
Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à operação de juro composto.
Assim, N = AR · (1+ i)n ‹ N = 20.000 · (1 + 0,10)2 = 24.200
A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial composto é a seguinte:
AC = N(1— i)n
AC = 24.200 · (1 — 0,1)2 = 19.602,00
Letra E
(SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título?
a) R$ 100 000,00.
b) R$ 107 561,00.
c) R$ 102 564,00.
d) R$ 97 561,00.
e) R$ 110 000,00.
Resolução
A operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos.
N = A · (1 + i)n N = A · (1 + 0,05)2
N = 1,1025 · A
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
N — A = 10.000
1,1025 · A — A = 10.000
0,1025 · A = 10.000 A = 97.560,98
�
N = 97.560,98 + 10.000 = 107.560,98 ÷ 107.561,00
Letra B
(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então,
a) R$ 10.000,00
b) R$ 18.000,00
c) R$ 22.653,86
d) R$ 24.000,00
e) R$ 20.000,00
Resolução
No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual e o valor nominal do título é dada pela expressão
A = N · (1 — i)n
A = 50.000 · (1 — 0,2)2 = 32.000
Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 18.000,00.
Letra B
(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as afirmativas a seguir:
A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: Desconto =
VF, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros.
ni
A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por
i
�
Em que n é o número de períodos.
�d =	,
1 + in
�
A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:
VP = VF · (1 — d)n,
Em que n é o número de períodos.
Assinale
se somente a afirmativa III estiver correta.
�
se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
se todas as afirmativas estiverem corretas.
se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
Resolução
Falsa.
A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros simples.
Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.
O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.
 O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da
operação de juros simples.
 O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da
operação de juros simples.
 O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao juro da
operação de juros simples.
Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!!
Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por dentro).
�
Juros Simples:	J
� C  i  n
�
Desconto Racional Simples:
A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por
i
d =	,
1 + in
�
Em que n é o número de períodos.
Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos ter o mesmo valor atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os descontos também são iguais.
DR = DC
A · i · n = N · d · n A · i = N · d
Lembrando que
�
N = A · (1+ i · n) ‹ A =N
�N
�
1 + i · n
�
1 + i · n
1
�· i = N · d
· i = d
�
1 + i · n
i
= d 
1+ i · n
A proposição II, portanto, é verdadeira.
Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada no valor nominal (valor futuro).
Letra D
(Analista Legislativo – Contabilidade – Senado Federal 2008/FGV) Seja A1 o valor descontado de um título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto racional composto à taxa de 10% ao mês. Seja A2 o valor descontado desse mesmo título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto comercial simples à mesma taxa mensal.
Se A1 — A2 = R$96,00, o valor nominal desse título, em reais, é um número:
múltiplo de 3.
múltiplo de 4.
múltiplo de 7.
múltiplo de 13.
primo
Resolução
Preste bem atenção!! Valor descontado é sinônimo de valor atual!!!
�
Muita gente confunde valor descontado com desconto...
Valor descontado é o valor do título após receber o desconto. Assim,
Valor descontado = Valor atual
Vamos “quebrar” o enunciado em partes: Seja A1 o valor descontado de um título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto racional composto à taxa de 10% ao mês.
Ora, sabemos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Portanto:
N = A1 · (1 + 0,10)² N = A1 · 1,21
	A1 =
	N
	
	1,21
Seja A2 o valor descontado desse mesmo título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto comercial simples à mesma taxa mensal.
Ora, se o título é o mesmo, então vamos utilizar o mesmo valor nominal. Além disso, o tempo de antecipação e a taxa são todos iguais. A única coisa que muda é a modalidade do desconto: comercial simples
No desconto comercial simples, temos a seguinte relação:
A2 = N · (1 — in) A2 = N · (1 — 0,10 · 2)
O problema informa que A1 — A2 = R$96,00.
�
N 1,21
�
— 0,8 · N = 96
�
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 1,21.
�
1,21 ·
�N 1,21
�
— 1,21 · 0,8 ·N = 1,21 · 96
�
N — 0,968 ·N = 116,16
0,032 · N = 116,16
�
116,16
N = 
0,032
N = 3.630
Que é um múltiplo de 3.
Letra A
(AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto de 3% ao mês.
a) R$ 140,00
b) R$ 104,89
c) R$ 168,00
d) R$ 93,67
e) R$ 105,43
Resolução
A = 840,00.
Sabemos que a operação de desconto racional composto equivale à operação de juros compostos; onde o valor nominal equivale ao montante e o valor descontado equivale ao capital inicial. Temos a seguinte expressão:
N  A  (1 i)n
N  840  (1  0, 03)4
N  840 1, 034
Para calcular o valor de 1,034, calcularemos primeiramente 1,032 e em seguida multiplicaremos 1,032 por 1,032
1,032 = 1,0609
1,034 = 1,032 x 1,032 = 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088
N  840 1, 034  840 1,1255088  945, 43
.
�
Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato de que em qualquer tipo de desconto o valor do desconto é igual à diferença entre o valor nominal e o valor atual.
D  N  A
D  945, 43  840  105, 43
Letra E
(Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos.
a) R$ 11.255,00
b) R$ 11.295,00
c) R$ 11.363,00
d) R$ 11.800,00
e) R$ 12.000,00
Resolução
Quando o enunciado diz que o título é descontado por R$ 10.000,00 quer dizer que o valor atual é R$ 10.000,00.
N  A  (1 i)n
N  10.000  (1 0, 03)4
N  10.000 1, 034  10.000 1,1255088
N  11.255, 00
Letra A
(AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506)
�
a) R$ 25.860,72
b) R$ 28.388,72
c) R$ 30.000,00
d) R$ 32.325,90
e) R$ 36.465,18
Resolução
Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o valor descontado no desconto racional composto.
N  A  (1 i)n
O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do desconto. O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
�
Assim,
�
N  A  6.465,18
�
Substituindo o valor de N por A.(1+i)n temos:
A  (1 i)n  A  6.465,18
A  (1  0, 05)4  A  6.465,18
Lembre-se que A em álgebra significa 1.A (um vezes A).
A 1, 054 1 A  6.465,18
Podemos então colocar A em evidência:
�
A  (1, 054
�1)
� 6.465,18
�
A  6.465,18 	6.465,18
1, 054 1	1, 215506 1
�
�
A 	6.465,18
0, 215506
� 30.000, 00
�
Letra C
(CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale
a) 399,00
b) 398,00
c) 397,00
d) 396,00
e) 395,00
Resolução
Dados do problema:
N = 24.200,00
n = 2 meses
i = 10% a.m. = 0,10 a.m.
1º) Desconto comercial composto (D)
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto:
A  N  (1 i)n
A  24.200  (1  0,10)2
A  24.200  0, 902  24.200  0,81
A  19.602, 00
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que
D = 24.200 – 19.602
�
D = 4.598,00
2º) Desconto racional composto (d)
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto:
N  A  (1 i)n
24.200  A  (1 0,10)2
24.200  A 1, 21
�
A  24.200
1, 21
� 20.000, 00
�
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que
d = 24.200,00 – 20.000,00
d = 4.200,00.
Dessa forma, a diferença D – d = 4.598,00 – 4.200,00 = 398,00
Letra B
(MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês.
a) R$ 600,00
b) R$ 620,15
c) R$ 624,47
d) R$ 643,32
e) R$ 672,00
Resolução
Temos nessa questão, novamente, dois tipos de desconto. Um desconto comercial simples e um desconto racional composto. Dois regimes: simples e composto. Duas modalidades: comercial e racional.
1º) Desconto Comercial Simples
�
Sabemos, pela teoria exposta na aula passada, que a taxa do desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal !
�
Assim, temos que D 
�N  i  n
672 
�
N  0, 03  4
�
672  N  0,12
�
N  672  672, 00  67.200
� 5.600
�
0,12	0,12	12
Assim, o valor nominal é igual a R$ 5.600,00.
2º) Desconto Racional Composto
Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Temos a seguinte relação:
N  A  (1 i)n
Assim,
A 	N
(1 i)n
A 	5.600
(1 0, 03)4
Para efetuar esse cálculo você terá duas saídas.
Efetuar o cálculo na base da mão.
�
A 	5.600
(1 0, 03)4
�	5.600
1,1255088
� 4.975, 53
�
Utilizando tabelas financeiras.
�
Nessa prova do MDIC realizada pela ESAF, foram fornecidas duas tabelas. Uma que fornece os valores de (1+i)n.
Essa tabela não ajuda muito. Pois o nosso real problema é efetuar	5.600	.
1,125508
A outra tabela fornecida é a seguinte.
Essa tabela será utilizada na aula sobre Série de Pagamentos e na aula sobre Sistemas de Amortização.
E no presente momento, para que nos serve?
�
Para utilizarmos um artifício.
O artifício serve para calcular os valores de
�
1
1 i n
�
. No nosso caso, para calcular
�
A 	5.600
(1 0, 03)4
� 5.600
�1
(1 0, 03)4
�
�
Temos a seguinte relação:
�
1
1 i n
�
 ani
�
 a(n1)i
�
�
Os valores de
�ani constam na tabela acima.
�
A demonstração desta relação se encontra no final desta aula.
�
A  5.600
� 5.600 	1
� 5.600  a	 a	
�
(1 i)4
�(1 i)4
� ni	(n1)i 
�
A  5.600 a43%  a33% 
Esses valores são tabelados.
A  5.600 3, 717098  2,828611
A  5.600  0,888487
A  4.975, 53 .
Agora que sabemos utilizar essa tabela vamos resolver novamente essa questão uma maneira um pouco mais rápida.
2º) Desconto Racional Composto
Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Temos a seguinte relação:
N  A  (1 i)n
�
A 	N
�
 5.600
�Assim,
 5.600  a	 a	
�
(1 i)n
�(1 i)n
�	ni
�(n1)i 
�
A  5.600 a43%  a33% 
�
Esses valores são tabelados.
A  5.600 3, 717098  2,828611
A  5.600  0,888487
A  4.975, 53 .
Ou seja, utilizando esse artifício, trocamos uma divisão de um número natural por um número com 6 casa decimais para efetuar uma subtração e uma multiplicação.
O novo desconto será d = N – A = 5.600 – 4975,53 = 624,47
Letra C
(APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês.
a) R$ 92,73
b) R$ 84,86
c) R$ 87,33
d) R$ 90,00
e) R$ 82,57
Resolução
Valor de face é o mesmo que valor nominal.
Vejamos a expressão do desconto racional composto:
N  A  (1 i)n
A 	N
(1 i)n
�
�
A  1.000 	1
� 1.000  a	 a	
�
(1 i)n
�	ni	(n1)i 
�
�
A  1.000 a33%
� a23% 
�
Vejamos a tabela fornecida na prova.
�
Assim,
A  1.000 a33%
�
 a23% 
�
A  1.000 2,8286111, 913469
A  1.000  0, 915142
A  915,14
Dessa forma, o valor do desconto é 1.000 – 915,14 = 84,86
Letra B
(Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a
a) R$ 40.000,00
b) R$ 36.000,00
c) R$ 34.000,00
�
d) R$ 32.000,00
e) R$ 30.000,00
Resolução
�
1º) Desconto Racional Composto
�
N = A · (1 + i)n
�
N = 25.000 · (1 + i)2
�
2º) Desconto Comercial Composto
�
A = N · (1 — i)n
�
A
N = 
(1 — i)n
23.040
N = 
(1 — i)2
Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar as duas expressões obtidas:
�
25.000 · (1 + i)2 =
�23.040
�
(1 — i)2
�
�
(1 — i)2 · (1 + i)2 =
�23.040
�
25.000
�
�
2.304 ƒ(1 — i)2 · (1 + i)2 = J
2.500
48
(1— i) · (1+ i) =
50
1 — i2 = 0,96
i2 = 0,04 i = 0,2
�
Sabemos que:
�
N = 25.000 · (1 + i)2
N = 25.000 · (1 + 0,2)2 = 36.000
�
Letra B
�
Demonstração da fórmula dos valores tabelados
1
�
Queremos mostrar que
�ani  a( n1)i
�	.
(1 i)n
�
(1 i)n 1	(1 i)n1 1
�
ani  a( n1)i 
�i  (1 i)n
�
i  (1 i)n1
�
Para subtrair frações de denominadores diferentes, devemos calcular o m.m.c. dos denominadores. Em seguida, dividir o m.m.c. por cada denominador e multiplicar pelo
n
�
numerador. Observe que
�i  (1 i)
i  (1 i)n1
� 1 i
�
�
(1 i)n 1	(1 i)n1 1
�(1 i)n 1 (1 i)n1 1  (1 i)
�
ani  a(n1)i 
�i  (1 i)n
�	
i  (1 i)n1
�i  (1 i)n
�
(1 i)n 1 (1 i)n  (1 i)	(1 i)n  (1 i)n 11 i
�
ani  a(n1)i 
�i  (1 i)n
�
i  (1 i)n
�
(1 i)n  (1 i)n 11 i	i
�
ani  a( n1)i 
�i  (1 i)n
�
i  (1 i)n
�
a	 a		1
ni	(n1)i (1 i)n
Equivalência Composta de Capitais
Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nessa data, valores iguais.
O problema precisa deixar claro outras duas informações: a taxa de juros e a data focal. A taxa de juros já é nossa conhecida. E o que é a data focal? É a data de referência.
Qual a necessidade de existir uma data de referência?
Não é permitido em Matemática Financeira comparar valores que estão em datas diferentes.
Temos, na equivalência composta de capitais, uma informação que nos ajudará bastante.
Em juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes em determinada data focal, então eles também serão equivalentes em qualquer outra data focal. Isso não ocorre a juros simples.
�
Assim, para resolver os problemas de equivalência composta de capitais, podemos escolher qualquer data para ser a data focal.
Além disso, temos um fato importante: todas as questões de equivalência composta de capitais serão resolvidas utilizando o DESCONTO RACIONAL COMPOSTO. Ou seja, trabalharemos com taxa de juros compostos.
Vejamos a fórmula do montante composto:
M  C  (1 i)n
Para facilitar o entendimento, chamaremos o montante de valor futuro e representaremos por F. O capital inicial será chamado de valor atual e será indicado por A.
�
Assim,
�
F  A  (1 i)n 
�
A 	F
(1 i)n
�
No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo.
Essa é a fórmula fundamental de equivalência de capitais:
Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 i)n .
Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 i)n .
Ou seja, para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
(Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de:
a) 20.000  30.000
1, 0324	1, 0336
�
b) 20.000  30.000
1, 032	1, 033
c) 1, 032  20.000 1, 033  30.000
d) 1, 03 20.000 1, 032  30.000
e) 2, 06  20.000  3, 09  30.000
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema.
A quantia que Carlos tomou emprestada está na data 0 (presente). O valor de X reais na data 0 equivale a R$ 20.000,00 daqui a 2 anos (24 meses) mais R$ 30.000,00 daqui a 3
anos (36 meses).
E como calcularemos o valor de X?
Obviamente o valor de X não é igual a R$ 50.000,00 (R$ 20.000,00 + R$ 30.000,00). Isso porque não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Devemos transportar esses valores na linha do tempo. Para isso, lembre o fato de que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
No nosso caso, estamos interessados em transportar valores do futuro para o presente. Para isso devemos dividir esses valores por (1 i)n .
�
�
Ou seja, R$ 20.000,00 daqui a dois anos valem hoje
�20.000
1 0, 0324
� 20.000 .
1, 0324
�
�
Assim como R$ 30.000,00 daqui a três anos valem hoje
�30.000
1 0, 0336
� 30.000 .
1, 0336
�
�
Dessa forma,
�X  20.000  30.000 .
�
1, 0324	1, 0336
Letra A
(SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na resposta.)
a) R$ 2.122,00.
b) R$ 1.922,00.
c) R$ 4.041,00.
d) R$ 3.962,00.
e) R$ 4.880,00.
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema:
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 3.
Para	avançar	um	valor	para	o	futuro	multiplicamos	por	(1 i)n . Para retroceder um valor para o presentedividimos por (1 i)n .
Dessa forma:
�
X = 2.000 · (1 + 0,02)2 +
�2.000
(1 + 0,02)1
�
= 4.041,58
�
Letra C
�
Observação: Como a taxa de juros é pequena, e as parcelas são bem próximas, os juros e descontos serão bem pequenos. Logo, o valor procurado será bem próximo da soma das parcelas (4.000).
Na operação de juros o número de períodos é 2. Na operação de desconto, o número de períodos é 1. Logo, os juros serão um pouquinho maior que o desconto. O valor procurado será um pouquinho maior que 4.000. Com isso, dá para marcar letra C.
(AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a:
a) R$ 35.000,00
b) R$ 27.925,00
c) R$ 32.500,00
d) R$ 39.925,00
e) R$ 35.500,00
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema.
Queremos calcular o valor da prestação X de modo que pagar R$ 85.000,00 hoje seja o mesmo que pagar (seja equivalente) R$ 15.000,00 hoje, mais X reais daqui a 6 meses, mais R$ 30.000,00 daqui a 12 meses, mais X reais daqui a 18 meses.
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema
�
direita do desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
E é fato que preferimos multiplicar por (1 i)n a dividir por (1 i)n . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro. Temos dois conjuntos de capitais:
A proposta do comprador (as quatro parcelas).
A proposta da imobiliária (pagar R$ 85.000,00 a vista). Utilizaremos como data focal o 18º mês.
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 18º mês.
Para transportar R$ 85.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por (1 i)18 . Para transportar R$ 15.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por (1 i)18 . Para transportar X reais (6º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por (1 i)12 .
Para transportar R$ 30.000,00 (12º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por (1 i)6 . Não precisamos transportar X reais (18º mês), pois ele já está na data focal.
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
85.000 1, 0418  15.000 1, 0418  X 1, 0412  30.000 1, 046  X
�
85.000  2, 025816  15.000  2, 025816  X 1, 601032  30.000 1, 265319  X
172.194, 36  30.387, 24 1, 601032  X  37.959, 57  X
1, 601032  X  X  172.194, 36  30.387, 24  37.959, 57
2, 601032  X  103.847, 55
X  103.847, 55
2, 601032
X  39.925, 52
Letra D
(AFC – STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a:
a) R$ 23.455,00
b) R$ 23.250,00
�
c) R$ 24.580,00
d) R$ 25.455,00
e) R$ 26.580,00
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema.
O problema se resume no seguinte:
Dar uma entrada de X reais e efetuar um pagamento de R$ 17.000,00 daqui a 8 meses é o mesmo que (é equivalente a) dar uma entrada de R$ 20.000,00 e efetuar um pagamento de R$ 20.000,00 daqui a 6 meses.
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
E é fato que preferimos multiplicar por (1 i)n a dividir por (1 i)n . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro! Temos dois conjuntos de capitais:
Utilizaremos como data focal o 8º mês.
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 8º mês.
Para transportar R$ 20.000,00 (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por (1 i)8 .
Para transportar R$ 20.000 (6º mês) para o 8º mês devemos multiplicar por (1 i)2 .
Para transportar X reais (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por (1 i)8 .
Não precisamos transportar R$ 17.000,00 (8º mês), pois ele já está na data focal.
�
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
X 1, 028 17.000  20.000 1, 028  20.000 1, 022
X 1, 028 17.000  20.000 1, 028  20.000 1, 022
Utilizaremos o valor dessa tabela.
X 1, 028 17.000  20.000 1,171659  20.000 1, 0404
X 1, 028  23.433,18  20.808 17.000
X 1, 028  27.241,18
�
X  27.241,18  27.241,18  1, 028
�1
1, 028
�
�
Utilizando o fato de que
�1
(1 i)n
� ani  a(n1)i
�
�
1
(1 2%)8
� a82%  a72%
�
�
1
1, 028
� a82%  a72%
�
�
1
�
1, 028
1
� 7, 325481 6, 471991
 0,85349
�
1, 028
Assim,
X  27.241,18  0, 85349
X  23.250, 07
Letra B
(AFRF 2001/ESAF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.
a) R$ 62.200,00
b) R$ 64.000,00
c) R$ 63.232,00
d) R$ 62.032,00
e) R$ 64.513,28
Resolução
Há duas alternativas de pagamento:
Pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias (1 mês) e R$ 31.200,00 ao fim de noventa dias (3 meses).
Pagamento único ao fim de sessenta dias (2 meses). Eis o desenho da questão:
�
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 2.
Para	avançar	um	valor	para	o	futuro	multiplicamos	por	(1 i)n . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
Dessa forma:
�
X = 20.000 · (1 + 0,04)2 + 10.000 · (1 + 0,04)1 +
�31.200
�
(1 + 0,04)1
�
X = 21.632 + 10.400 + 30.000 X = 62.032,00
Letra D
(Auditor Fiscal de Fortaleza 2003/ESAF) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 que vai vencer daqui a seis meses? a) R$ 210.000,00
b) R$ 220.000,00
c) R$ 221.000,00
d) R$ 230.000,00
e) R$ 231.000,00
Resolução
Já que a taxa fornecida é semestral, coloquemos os prazos expressos em semestres.
O primeiro capital venceu há um ano, portanto 2 semestres.
O segundo capital vencerá daqui a 6 meses, portanto 1 semestre.
Eis o desenho da questão:
�
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 0.
Para	avançar	um	valor	para	o	futuro	multiplicamos	por	(1 i)n . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
Dessa forma:
�
X = 100.000 · (1 + 0,10)2 +
�110.000
�
(1 + 0,10)1
�
X = 121.000 + 100.000 X = 221.000,00
Letra C
(AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamentopor uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as duas opções é
a) R$ 20.400,00
b) R$ 20.800,00
c) R$ 21.600,00
d) R$ 22.064,00
e) R$ 23.328,00
Resolução
Questão sobre equivalência de capitais.
É sempre importante construir o “desenho” da questão. Ei-lo:
�
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
E é fato que preferimos multiplicar por (1 i)n a dividir por (1 i)n . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro. Temos dois conjuntos de capitais:
As duas parcelas de X reais.
O valor a vista de R$ 41.600,00 Utilizaremos como data focal o 2º ano.
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 2º ano.
Para transportar R$ 41.600,00 (data 0) para o 2º mês devemos multiplicar por (1 i)2 .
Para transportar X reais (data 1) para o 2º ano devemos multiplicar por (1 i)1 . Não precisamos transportar X reais (2º ano), pois ele já está na data focal. Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
X 1, 081  X  41.600 1, 082
2, 08  X  48.522, 24
X  23.328, 00
�
Letra E
(SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma rede de lojas, que atua na venda de eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma:
R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou
3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra.
Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente:
(Utilize se necessário: √7 = 2,646.)
a) 13,5%
b) 20,0%
c) 21,5%
d) 19,0%
e) 9,5%
Resolução
Eis o “desenho” da questão.
Efetuemos o transporte dos valores para a data 0. As duas formas de pagamento devem ser equivalentes nesta data.
Para	avançar	um	valor	para	o	futuro	multiplicamos	por	(1 i)n . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
450	450
1.125 = 450 + (1+ i)1 + (1 + i)2
450	450
675 — (1+ i)1 — (1 + i)2 = 0 
Para facilitar os cálculos, adotemos que 1 + i = x
�
�
675 —
�450
x1
�450
— x2 = 0 
�
675 · x2 — 450 · x — 450
x2	= 0 
675 · x2 — 450 · x — 450 = 0
�
Simplificando os termos por 225:
�
3 · x2 — 2 · x — 2 = 0
�
�
—b ± √b2 — 4ac x = 
2a
—(—2) ± ƒ(—2)2 — 4 · 3 · (—2)
x = 
2 · 3
2 ± √28
x = 
6
Observe que o enunciado sugeriu utilizar √7 = 2,646.
Assim, √28 = √4 · 7 = √4 · √7 = 2 · 2,646 = 5,292
2 ± 5,292
x = 
6
Como x X 0,
2 + 5,292
x = 
6
x ÷ 1,215 1 + i ÷ 1,215
i ÷ 0,215 = 21,5%
Letra C
�
(AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 1,176.
O valor de X é igual a a) R$ 17.280,00
b) R$ 15.000,00
c) R$ 14.400,00
d) R$ 13.200,00
e) R$ 12.000,00
Resolução
Desembolsando R$ 25.000,00 a um índice de lucratividade igual a 1,176, então o valor apurado no projeto (na data 0) é igual a 25.000 x 1,176 = 29.400. Adotando a data focal como a data 0, então devemos transportar os recebimentos para a data 0 e igualar a R$ 29.400,00.
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
Para transportar X reais (data 1) para a data 0 devemos dividir por (1 i)1 .
Para transportar R$ 21.600,00 (data 2) para a data 0 devemos dividir por (1 i)2 . Temos a seguinte equação de equivalência de capitais.
�
X
(1 i)1
� 21.600  29.400
(1 i)2
�
Como a taxa de atratividade é de 20% ao ano:
X	 21.600  29.400
1, 20	1, 202
X	15.000  29.400 1, 20
�
X	 14.400 1, 20
X  1, 20 14.400
X  17.280, 00
Letra A
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será:
(A) R$ 525,68.
(B) R$ 545,34.
(C) R$ 568,24.
(D) R$ 576,19.
(E) R$ 605,00.
Resolução
Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o futuro devemos multiplicar o seu valor por (1 + i)n.
A equação da equivalência fica:
X + X · (1 + i)1 = 1.000 · (1 + i)2 X + 1,1 · X = 1.000 · (1 + 0,10)2 2,1 · X = 1.210
X = 576,19
Letra D
�
Progressão Geométrica
Faremos uma breve exposição teórica sobre as Progressões Geométricas com o intuito de poder utilizar livremente as fórmulas nos assuntos subsequentes de Matemática Financeira.
Considere uma sequência de números reais (a1, a2, a3, … , an).
Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real q.
O número real q é denominado razão da progressão geométrica.
a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, e assim por diante. O termo an de ordem n é chamado n-ésimo termo.
Exemplos:
	Progressão Geométrica
	Primeiro termo (a1)
	Razão (q)
	(3, 6, 12, 24, 48, 96, … )
	3
	2
	(96, 48, 24, 12, 6, 3, … )
	96
	1
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
2
	(2, 2, 2, 2, 2, … )
	2
	1
	(1, —2, 4, —8, 16, —32, … )
	1
	—2
	(5, 0, 0, 0, 0, … )
	5
	0
Cálculo da razão
Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior).
Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos.
No nosso primeiro exemplo, q = 6/3 = 12/6 = … = 2.
No nosso segundo exemplo, q = 48/96 = 24/48 = … = 1/2. No nosso terceiro exemplo, q = 2/2 = 2/2 = … = 1.
No nosso quarto exemplo, q = —2/1 = 4/—2 = … = —2.
Termo Geral
Considere a progressão geométrica (a1, a2, a3, … , an). Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.
�
Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão.
an = a1 · qn–1
Em que a1 é o primeiro termo, q é a razão da progressão e an é o termo de ordem n (n- ésimo termo).
Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica (3, 6, 12, 24, … )?
Resolução
Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, n = 11. Utilizemos a fórmula do termo geral:
a11 = a1 · q11–1 = a1 · q10 a11 = 3 · 210 = 3.072
Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética.
Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3.
Resolução
Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. Assim, a expressão do termo geral ficará:
a16 = a10 · q6
a16 = 4 · 36 = 2.916
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita
A soma dos n termos iniciais de uma progressão geométrica é:
a1 · (qn — 1)
�
Sn =
�
�
q — 1
�
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 12, 24, … ).Resolução
A razão, como já vimos, é igual a 2.
�
�
S10 =
3 · (210 — 1)
�a1 · (q10 — 1) q — 1
3 · (1.024 — 1)
�
S10 =
�=
2 — 1
�= 3 · 1.023
1
�
S10 = 3.069
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita
Se (a1, a2, a3, … , an, …) é uma P.G. com razão —1 € q € 1, então:
S = a + a + … + a + … =	a1
1	2	n	1— q
Exemplo
Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (9, 6, 4, … ).
Resolução
Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro:
�
Assim,
�6	2
q =	=
9	3
�
�
S =	a1 =
�9	9	3
2 =	= 9 ·
�
= 27
�
1— q
�1 — 3
�1/3	1
�
Observação: Utilizaremos este conceito no estudo das Rendas Perpétuas.
(EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se:
(A) 5.000
(B) 5.115
(C) 4.995
(D) 5.015
(E) 4.895
Resolução
Ora, o problema nos forneceu o primeiro e o sétimo termos de uma P.G. e nos pede a soma dos dez primeiros termos. Para calcular a soma dos termos de uma P.G. precisamos apenas do primeiro termo e da razão. A relação entre o primeiro e o sétimo termos de acordo com a fórmula do termo geral é a seguinte:
�
a7 = a1 · q6 320 = 5 · q6
q6 = 64 ‹ q6 = 26 ‹ q = 2
Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos será:
�
Sn =
�a1 · (qn — 1)
‹ S10 =
q — 1
�a1 · (q10 — 1) q — 1
�
�
S10 =
�5 · (210 — 1)
�
2 — 1
�
S10 = 5 · 1023 = 5.115
Letra B
Séries Uniformes
O principal objetivo da Matemática Financeira é a movimentação do dinheiro na linha do tempo. Vimos que um conjunto de diferentes capitais podem se transformar em outros conjuntos equivalentes.
Estudaremos nesta aula algumas sequências particulares de capitais. A esses casos particulares denominamos sequências ou séries uniformes. Há quem denomine também de rendas certas ou anuidades.
Em diversas situações, surge uma série de valores iguais que serão pagos ou recebidos em períodos iguais. O seguinte fluxo de caixa ilustra uma série uniforme de N pagamentos iguais a P (utilizaremos a letra P, pois na calculadora financeira HP-12C esses pagamentos são denominados PMT - Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês).
Elementos de uma série uniforme
Intervalo de tempo de pagamento: é o intervalo de tempo entre dois pagamentos.
Anuidade ou Renda: é o valor de cada pagamento efetuado em intervalos de tempos iguais.
Classificação das Séries Uniformes
Rendas Temporárias: Número de pagamentos finito.
Perpétuas: Número de pagamentos infinito.
Antecipadas: Pagamentos efetuados no início de cada período (no ato do negócio).
Postecipadas: Pagamentos efetuados no final de cada período (um período após a negociação do negócio).
�
Imediata: Quando o primeiro pagamento é efetuado no primeiro período.
Diferida: Quando houver carência para o pagamento da primeira anuidade.
Representação em Fluxo de Caixa
O modelo que estudaremos como padrão será o de renda temporária, imediata e postecipada.
Eis o fluxo de caixa correspondente.
Valor Futuro ou Montante de uma renda certa (F)
Para calcular o montante de uma renda certa, devemos efetuar o transporte de todas as quantias para a data n. Lembre-se que para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 + i)n.
F
�
P	P	P
�P	P	P	P	P
�P	P	P
�
F = P + P · (1+ i) + P · (1+ i)1 + P · (1+ i)2 + … + P · (1+ i)n–1 F = P · [1+ (1+ i) + (1+ i)1 + (1+ i)2 + … + (1 + i)n–1]
A expressão dentro dos colchetes é a soma de uma Progressão Geométrica tal que:
 O primeiro termo é igual a 1.
 A razão é igual a (1 + i)n
Devemos aplicar a fórmula da soma de uma P.G. finita.
a1 · (qn — 1)
�
Sn =
�
�
q — 1
�
�
1+ (1 + i) + (1+ i)1 + (1+ i)2 + … + (1 + i)n–1 =
�1 · ((1 + i)n — 1)
�
(1 + i) — 1
(1 + i)n —1 
�
Assim,
�1 + (1+ i) + (1 + i)1 + (1+ i)2 + … + (1+ i)n–1 =
i
�
F = P · [1+ (1+ i) + (1+ i)1 + (1+ i)2 + … + (1 + i)n–1]
(1 + i)n — 1 
F = P ·
i
�
O número (1+i)
i
�–1 é denominado fator de valor futuro de séries uniformes ou fator de
�
acumulação de capitais em uma série de pagamentos.
�
O número (1+i)
i
�–1 é representado por s
�ou s(n, i).
�
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor futuro em rendas certas:
�
F = P ·
�(1 + i)n — 1 
�
i
�
ou F = P · sn¬i
�
Valor Atual ou Valor Presente de uma renda certa (A)
Para calcular o Valor Atual ou Presente de uma renda certa basta efetuar o transporte do valor futuro F para a data 0.
F
�
P	P	P
�P	P	P	P	P
�P	P	P
�
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 i)n .
F
A = 
(1 + i)n
�
�
A = F ·
�1
�
(1 + i)n
�
�
A = P ·
�(1 + i)n — 1 
·
i
�1
�
(1 + i)n
�
�
A = P ·
�(1 + i)n — 1 
�
i · (1 + i)n
�
O número (1+i) –1 é denominado fator de valor atual de séries uniformes ou simplesmente
(1+i)n·i
fator de valor atual.
�
O número (1+i) –1 é representado por a
�ou a(n, i).
�
(1+i)n·i
�n¬i
�
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor atual em rendas certas:
�
A = P ·
�(1 + i)n — 1 
�
i · (1 + i)n
�
ou A = P · an¬i
�
Estudaremos na próxima aula o Sistema de Amortização Francês que é praticamente o mesmo problema do valor atual de uma série de pagamentos. Neste assunto, nosso principal objetivo será calcular o valor de P em função de A.
A = P · an¬i
A
P = 
an¬i
1
�
P = A ·
�
�
an¬i
�
�
O número 1
an¬i
�é chamado de Fator de Recuperação do Capital. Esta nomenclatura é
�
muito utilizada em provas da Fundação Carlos Chagas, como veremos na próxima aula.
�
Rendas Certas Perpétuas ou Perpetuidades
Neste caso, o número de pagamentos P tende ao infinito.
Observe que não há sentido em falar no Valor Futuro de uma perpetuidade, visto que este valor tende ao infinito.
Para calcular o valor atual de uma perpetuidade, devemos transportar todos os valores para a data 0.
P	P	P	P
A =	+	+	+	+ … 
1 + i	(1+ i)2	(1+ i)2	(1+ i)3
�
A = P · [
�1
1+ i
�1
+ (1+ i)2
�1
+ (1+ i)2
�1
+ (1 + i)3
�
+ … ]
�
A expressão dentro dos colchetes do segundo membro constitui a soma de uma progressão geométrica infinita com:
Primeiro termo: 1
1+i
Razão: 1
1+i
Vimos que se (a1, a2, a3, … , an, …) é uma P.G. com razão —1 € q € 1, então:
S = a + a + … + a + … =	a1
1	2	n	1— q
Assim,
1	1	1	1
S =	+	+	+	+ … 
1+ i	(1+ i)2	(1+ i)2	(1 + i)3
1	1	1
�
S =	1 + i
�= 1+ i	= 1+ i =	1
�1 + i	1
·	=
�
Temos então:
�1 —	1
1+ i
�1 + i — 1
1 + i
� i	
1+ i
�1 + i	i	i
�
�
A = P · [
�1
1+ i
�1
+ (1+ i)2
�1
+ (1+ i)2
�1
+ (1 + i)3
�
+ … ]
�
A = P · S
P A = 
i
(MDIC 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
d) R$ 8.270,45
e) R$ 9.000,00
Resolução
O objetivo desta questão é calcular a prestação de uma série uniforme de pagamentos de forma que o montante seja R$ 100.000,00.
Nesta prova, a ESAF forneceu as tabelas financeiras.
Sabemos que o montante de uma série uniforme de pagamentos é dado por:
F = P · sn¬i
Serão 12 prestações (n = 12) e a taxa de juros compostos é igual a 2% ao mês.
100.000 = P · s12¬2%
100.000
P = 
s12¬2%
De acordo com a tabela fornecida na prova, s12¬2% = 13,412090.
100.000
�
P = 
13,412090
�= 7.455,96
�
Letra A
(INSS 2002/ESAF) Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 2% ao mês, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de dez meses.
a) R$ 5.825,00
b) R$ 5.000,00
c) R$ 4.782,00
�
d) R$ 4.566,00
e) R$ 3.727,00
Resolução
O objetivo desta questãoé calcular a prestação de uma série uniforme de pagamentos de forma que o montante seja R$ 50.000,00.
Nesta prova, a ESAF forneceu as tabelas financeiras.
Sabemos que o montante de uma série uniforme de pagamentos é dado por:
F = P · sn¬i
Serão 10 prestações (n = 10) e a taxa de juros compostos é igual a 2% ao mês.
50.000 = P · s10¬2%
50.000
P = 
s10¬2%
De acordo com a tabela fornecida na prova, s10¬2% = 10,949721.
50.000
�
P = 
10,949721
�÷ 4.566,00
�
Letra D
(CVM 2003/FCC) Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, durante 10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data do último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao ano, durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de valor único é de
a) R$ 217.272,00
b) R$ 231.816,00
c) R$ 254.998,00
d) R$ 271.590,00
e) R$ 289.770,00
Resolução
O montante ou valor futuro da série de pagamentos é dado por:
F = P · sn¬i
F = 20.000 · s10¬10%
F = 20.000 · 15,9374 = 318.748,00
Observação: s10¬10% foi fornecido na prova.
�
Queremos determinar o capital C tal que:
C · (1 + i)n = 318.748
A taxa é de 25% ao ano e será aplicado durante 12 meses (1 ano).
C · (1 + 0,25)1 = 318.748
C · 1,25 = 318.748 C = 254.998,00
Letra C
(Técnico da RF 2006/ESAF) Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros compostos de 3% ao mês.
a) R$ 500,00
b) R$ 535,00
c) R$ 542,00
d) R$ 559,00
e) R$ 588,00
Resolução
Já que as duas anuidades são equivalentes, então os valores atuais são iguais.
A1 = A2
P1 · a8¬3% = P2 · a16¬3% 1.000 · 7,019692 = P2 · 12,561102
1.000 · 7,019692
�
P2 =
�÷ 558,84
12,561102
�
Letra D
(DNOCS 2010/FCC) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a
a) R$ 52.800,00
b) R$ 52.246,00
c) R$ 55.692,00
d) R$ 61.261,20
e) R$ 63.888,00
�
Resolução
O objetivo é calcular o valor futuro (montante) de uma série de 4 depósitos.
F = P · sn¬i
F = 12.000 · s4¬10% (rer tabela no final da aula) F = 12.000 · 4,641 = 55.692,00
Letra C
(Fiscal de Rendas SP 2009/FCC) Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a
a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.500,00
c) R$ 11.000,00
d) R$ 11.500,00
e) R$ 12.000,00
Resolução
Observe que os pagamentos são efetuados no início de cada ano. Assim, devemos transportar o montante que se encontra três anos após a data do primeiro pagamento para o ano 2. Para isso, devemos dividir o valor do montante por (1 + i)1. Devemos efetuar esse transporte porque a exigência do nosso modelo é de que o montante seja calculado na data do último pagamento.
�
Valor futuro na data 2 =
�43.692
1,10
�
= 39.720
�
O montante da série de pagamentos na data 2 é R$ 39.720,00.
F = P · sn¬i 39.720 = P · s3¬10%
�
39.720
P = 
s3¬10%
�39.720
=
3,31
�= 12.000
�
Letra E
(Instituto de Resseguros do Brasil 2004/ESAF) Uma série de doze valores monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de tempo representa o fluxo de caixa esperado de uma alternativa de investimento. Considerando que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$ 30.000,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo período, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período. (Despreze os centavos)
a) R$ 94.152,00
b) R$ 85.593,00
c) R$ 77.812,00
d) R$ 70.738,00
e) R$ 66.000,00
Resolução
Utilizaremos para resolver esta questão o mesmo raciocínio que foi feito na demonstração da fórmula para o valor atual em uma série uniforme de pagamentos. Foi dado o valor atual da série e para calcular o valor futuro devemos efetuar o transporte deste valor para a data do último pagamento. Lembre-se que para avançar uma quantia para o futuro devemos multiplicar seu valor por (1+ i)n.
�
Dessa forma:
�
F = A · (1 + i)12
F = 30.000 · (1 + 0,10)12 = 94.152,00
�
Letra A
�
(ATE-MS 2001/ESAF) A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente durante seis meses; a quantia de R$ 2.000,00 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de R$ 3.000,00 é aplicada mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do montante das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as aplicações foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa de juros compostos de 4% ao mês?
a) R$ 41.040,00
b) R$ 47.304,00
c) R$ 51.291,00
d) R$ 60.000,00
e) R$ 72.000,00
Segue abaixo o fluxo de caixa que representa o enunciado.
Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses.
Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas que tratamos na exposição teórica porque os pagamentos não possuem os mesmos valores. Devemos, portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar as fórmulas de anuidades.
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
Observe o terceiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma:
�
Dessa forma, teremos três anuidades:
18 pagamentos de R$ 1.000,00
F1 = P · sn¬i
F1 = 1.000 · s18¬4% = 1.000 · 25,645413 = 25.645,41
12 pagamentos de R$ 1.000,00
F2 = P · sn¬i
F2 = 1.000 · s12¬4% = 1.000 · 15,025805 = 15.025,80
6 pagamentos de R$ 1.000,00
F3 = P · sn¬i
F3 = 1.000 · s6¬4% = 1.000 · 6,632975 = 6.632,97
Assim, o valor futuro total é dado por:
F = F1 + F2 + F3
F = 25.645,41 + 15.025,80 + 6.632,97 = 47.304,18
Letra B
(AFRF 2002/ESAF) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro.
a) R$ 36.000,00
�
b) R$ 38.449,00
c) R$ 40.000,00
d) R$ 41.132,00
e) R$ 44.074,00
Resolução
Questão idêntica em anos seguidos!
Segue abaixo o fluxo de caixa que representa o enunciado.
Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses.
Utilizaremos o mesmo raciocínio da questão anterior. Aliás, a resolução é idêntica, apenas mudando a taxa de juros.
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
Observe	o	terceiro conjunto	de	capitais (R$	3.000,00).	Podemos separá-lo	em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma:
�
Dessaforma, teremos três anuidades:
18 pagamentos de R$ 1.000,00
F1 = P · sn¬i
F1 = 1.000 · s18¬2% = 1.000 · 21,412312 = 21.412,31
12 pagamentos de R$ 1.000,00
F2 = P · sn¬i
F2 = 1.000 · s12¬2% = 1.000 · 13,412090 = 13.412,09
6 pagamentos de R$ 1.000,00
F3 = P · sn¬i
F3 = 1.000 · s6¬2% = 1.000 · 6,308121 = 6.308,12
Assim, o valor futuro total é dado por:
F = F1 + F2 + F3
F = 21.412,31 + 13.412,09 + 6.308,12 = 41.132,52
Letra D
(AFRF 2002/ESAF) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período.
a) R$ 33.448,00
b) R$ 31.168,00
�
c) R$ 29.124,00
d) R$ 27.286,00
e) R$ 25.628,00
Resolução
Questão da mesma prova que a questão anterior e muito parecida. Eis o fluxo de caixa do problema.
Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 3.000,00 durante seis períodos, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis períodos seguintes e R$ 1.000,00 mensalmente durante mais seis períodos.
Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas que tratamos na exposição teórica porque os pagamentos não possuem os mesmos valores. Devemos, portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar as fórmulas de anuidades.
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
Observe o primeiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma:
�
Dessa forma, teremos três anuidades:
18 pagamentos de R$ 1.000,00
A1 = P · an¬i
A1 = 1.000 · a18¬4% = 1.000 · 12,659297 = 12.659,30
12 pagamentos de R$ 1.000,00
A2 = P · an¬i
A2 = 1.000 · a12¬4% = 1.000 · 9,385074 = 9.385,07
6 pagamentos de R$ 1.000,00
A3 = P · an¬i
A3 = 1.000 · a6¬4% = 1.000 · 5,242137 = 5.242,14
Assim, o valor atual total é dado por:
A = A1 + A2 + A3
A = 12.659,30 + 9.385,07 + 5.242,14 = 27.286,51
Letra D
(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Abaixo encontram-se valores de uma tabela de fator de valor presente de séries uniformes de pagamento, na qual n é o número de prestações mensais e i a taxa de juros.
�
Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e uniformes, no valor de R$ 500 cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, formando uma série uniforme de pagamentos antecipada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da geladeira é
a) R$ 2.000,00
b) R$ 1.858,55
c) R$ 1.895,43
d) R$ 1.914,30
e) R$ 1.654,80
Resolução
Devemos projetar para o presente apenas as três últimas prestações, pois a primeira já se encontra na data 0 (1ª paga no ato).
A = 500 + 500 · an¬i = 500 + 500 · a3¬3% = 500 + 500 · 2,8286 = 1.914,30
Letra D
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será:
a) R$ 525,68.
b) R$ 545,34.
c) R$ 568,24.
d) R$ 576,19.
e) R$ 605,00.
Resolução
�
Temos uma série uniforme de 2 pagamentos. O problema é que a prova não forneceu as tabelas financeiras. Devemos, portanto, resolver utilizando os conceitos de equivalência composta de capitais.
Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o futuro devemos multiplicar o seu valor por (1 + i)n.
A equação da equivalência fica:
X + X · (1 + i)1 = 1.000 · (1 + i)2 X + 1,1 · X = 1.000 · (1 + 0,10)2 2,1 · X = 1.210
X = 576,19
Letra D
(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um indivíduo recebeu como herança um título perpétuo que paga R$ 2.000 por trimestre. Esse indivíduo quer vender o título. Sabendo que a taxa de juros semestral, juros compostos, é de 44%, o valor presente de venda desse título é
a) R$ 2.880,00
b) R$ 4.545,45
c) R$ 10.000,00
d) R$ 16.547,85 e) R$50.000,00
Resolução
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como
P A = 
i
Onde P é o valor da perpetuidade.
�
Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um semestre é composto por 2 trimestres,
(1 + it)2 = (1 + is)1
(1 + it)2 = 1,44
1+ it = 1,2
it = 0,20 ao trimestre
Dessa forma, o valor presente (atual) é dado por
�
2.000
A = 
0,2
�
= 10.000,00
�
Letra C
(Auditor da Receita Estadual – Amapá 2010/FGV) Antônio possui um investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de juros compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. A quantia que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de:
a) R$ 45.000,00
b) R$ 27.000,00
c) R$ 54.000,00
d) R$ 72.000,00
e) R$ 75.000,00
Resolução
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como
P A = 
i
Onde P é o valor da perpetuidade.
A quantia que Antônio deve investir é o valor presente da perpetuidade.
�
450
A = 
�
= 75.000,00
�
0,006
Letra E
(Pref. Municipal de Cantagalo 2010/CEPERJ) Em um país sem inflação, existe um investimento que rende 0,7% ao mês. Se uma pessoa decide dar ao seu filho uma renda mensal perpétua de $350 (trezentos e cinqüenta unidades monetárias), o valor que ela deve investir para que esta renda seja eterna é:
A) $42000 B) $50000
�
C) $56000 D) $60000
Resolução
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como
P A = 
i
Onde P é o valor da perpetuidade.
A quantia que a pessoa deve investir é o valor presente da perpetuidade.
�
350
A = 
�
= 50.000,00
�
0,007
Letra B
(SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um indivíduo possui um título que paga mensalmente de R$ 500,00, perpetuamente. O indivíduo quer vender esse título, sabendo que a taxa de desconto é de 1% ao mês. O preço justo desse título é:
a) R$ 1.000.000,00.
b) R$ 500.000,00.
c) R$ 50.000,00.
d) R$ 20.000,00.
e) R$ 100.000,00.
Resolução
O preço justo a ser pago é o valor atual da perpetuidade.
�
P
A =	=
i
�500
0,01
�
= 50.000,00
�
Letra C
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo comprou um título perpétuo que paga R$ 500,00 por semestre. Sabendo que a taxa de juros anual, juros compostos, é de 21%, o valor presente desse título é:
a) R$ 4.761,90.
b) R$ 5.000,00.
c) R$ 6.857,25.
d) R$ 7.500,00.
e) R$ 25.000,00.
Resolução
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como
�
�
Onde A é o valor da perpetuidade.
�A
VP =
i
�
Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um semestre é composto por 2 trimestres,
(1 + is)2 = (1 + ia)1
(1 + is)2 = 1,21
1+ is = 1,1
it = 0,10 ao semestre
Dessa forma, o valor presente é dado por
�
VP =
�500
0,1
�
= 5.000,00
�
Letra B
�
Problemas envolvendo rendas diferidas
O modelo que estudamos como padrão foi o de renda temporária, imediata e postecipada. Eis o fluxo de caixa correspondente.
Há casos em que o problema trabalha com a renda diferida, ou seja, quando houver carência para o pagamento da primeira anuidade.
É comum aparecer a seguinte situação: “Compre agora a sua televisão e pague a primeira prestação só depois do Natal!!”.
A loja faz isso porque ela gostade você? É óbvio que não. Neste período de carência (a carência é a diferença entre hoje e a data do primeiro pagamento) você pagará juros.
Neste tópico colocaremos a “solução” para esses tipos de problemas.
(STN 2005/ESAF) No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqüentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de:
a) R$ 155.978,00
b) R$ 155.897,00
c) R$ 162.217,00
d) R$ 189.250,00
e) R$ 178.150,00
Resolução
A taxa fornecida está ao ano. Mas o prazo está em meses. Precisamos achar a taxa mensal.
Para achar taxas equivalentes em juros compostos, vamos criar dois investimentos equivalentes.
Primeiro investimento: aplicamos R$ 1,00 a uma taxa de 60,1032% ao ano, durante um ano. Qual o montante obtido?
M  C  (1  i)n
M  1 (1  0,601032)1  1,601032
Para fazer este cálculo, utilizamos a tabela I, colocada ao final da aula.
�
Segundo investimento: aplicamos R$ 1,00 a uma taxa i ao mês, durante 12 meses, obtendo um montante de R$ 1,601032. Esta taxa mensal i é equivalente à taxa de 60,1032%.
M  C  (1  i)n
1,601032  (1  i)12
Vamos consultar a tabela I. Vamos encontrar um valor de i tal que 1+i elevado a 12 seja igual a 1,601032. Esta taxa é de 4%.
i  4%
Pronto. A taxa de juros contratada é de 4% ao mês.
Vamos construir o fluxo de caixa. Dia 10 de setembro será a data zero. Dia 10 de outubro será a data 1 e assim por diante.
O primeiro pagamento ocorre em 10 de novembro, que é a data 2.
O fluxo de caixa original está representado pelas setas vermelhas. Vamos usar a tabela II para achar o valor do fluxo de caixa na data 1 (seta verde). Lembrem-se que, com a tabela II, conseguimos trazer todo o fluxo de caixa para um período antes do primeiro pagamento.
Vamos consultar a tabela II para n = 10 (porque são dez pagamentos) e i = 4%. O valor obtido é de aproximadamente 8,1109
Portanto, o valor do fluxo de caixa na data 1 é:
S  P  ani
S  20.000  8,1109  162.218 (valor aproximado)
Vamos agora pegar este valor e transportar para a data zero. Estamos voltando 1 mês na linha do tempo. Haverá um desconto.
Estamos trocando a seta verde, referente à data 1, correspondente a R$ 162.218, por um valor referente à data zero. Este valor será igual ao valor financiado.
�
A 	N
(1  i) n
A  162.218
(1  0,04)1
E podemos usar a tabela II para transformar esta divisão em uma multiplicação. É como se tivéssemos uma série de 1 pagamento. E queremos transportar toda esta série para um período antes do primeiro (e único) pagamento. Basta usar o fator de valor atual para n=1 e i = 4%. Consultando a tabela II:
�
Portanto:
Letra A
�
A  162.218
(1  0,04)1
�1	 0,9615
1,04
 162.218  0,9615  155.988
�
Esta solução, apesar de válida, é um pouco demorada, pois exige duas multiplicações, sendo que a segunda foi meio “chata” de fazer, pois envolveu números mais complicados.
Uma outra idéia, que diminui as contas, é a que segue.
No fluxo de caixa original, podemos “criar” um pagamento adicional, referente à data 1. Vejam:
Mas, para não alterarmos o fluxo de caixa, devemos criar, na mesma data 1, um recebimento de 20.000,00, para cancelar o pagamento acrescentado. Vou representar o recebimento com uma seta azul para cima, para diferenciar dos pagamentos.
Não existe regra para representar as setas no diagrama. O diagrama de fluxo de caixa é só uma ferramenta, você usa do jeito que preferir. O importante é que você seja organizado, e mantenha um padrão do início ao fim. Neste desenho, estou representando
�
os pagamentos com setas vermelhas para baixo e o recebimento com seta azul para cima. Ok?
Para transportar todos os pagamentos (setas vermelhas) para a data zero, devemos consultar a tabela II para n = 11 e i = 4%.
a11,4%  8,760477  8,760
Com isso, o valor dos doze pagamentos, na data zero, fica:
20.000  8,760
Mas ainda falta transportar o recebimento de 20.000. Recebimentos e pagamentos devem ter sinais opostos. Como usei o sinal “+” para os pagamentos, vou usar “–” para os recebimentos.
Temos uma série de 1 recebimento e queremos transportá-la para um período antes do primeiro (e único) recebimento. Basta consultar a tabela II para n=1 e i=4%.
a1,4%  0,961538  0,962
O valor do recebimento, na data zero, é de:
 20.000  0,962
Com isso, o valor do fluxo de caixa na data zero será de:
20.000  8,76  20.000  0,962 =
= 20.000  (8,76  0,962)
= 20.000  7,798
= 155.960
Esta segunda solução é muito melhor. Ficamos com apenas uma multiplicação, que é bem tranqüila. Isto porque multiplicar por 20.000 é fácil. Basta dobrar o número e andar 4 casas com a vírgula.
Este fato inclusive ajuda a achar a resposta com exatidão. Como a multiplicação é fácil, nem precisaríamos ter aproximado. Bastaria fazer:
20.000  (8,760477  0,961538)
= 20.000  7,798939
= 155.978,78
(Prefeitura Municipal de Fortaleza 2003/ESAF) Um financiamento no valor de R$ 10.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano para ser amortizado em doze prestações semestrais iguais vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros semestrais devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Desprezando os centavos, calcule a prestação semestral do financiamento.
a) R$ 1.614,00
b) R$ 2.540,00
c) R$ 3.210,00
d) R$ 3.176,00
�
e) R$ 3.827,00
Comentários:
Antes de começarmos a resolver o problema temos que achar a taxa efetiva.
A taxa de 24% ao ano é apenas nominal. O exercício não disse expressamente que o período de capitalização é semestral. Ele apenas deixa isso meio que implícito. Na minha opinião, não custava nada deixar isso bem claro.
Então o período de capitalização é semestral e o período da taxa nominal é anual. Os prazos não coincidem. Nestes casos, a taxa nominal só serve para aplicarmos a regra de três e encontrarmos a taxa efetiva.
Aplicando a regra de três.
�
Multiplicando cruzado:
�24% corresponde a 2 semestres. i corresponde a 1 semestre.
24% ---- 2
i	1
2  i  24% 1  i  12%
�
Agora vamos realmente à questão.
Vou fazer direto a resolução mais rápida, nos moldes do que vimos no exercício anterior. Vou usar aquele atalho que “cria pagamentos”
Vamos colocar datas para ficar mais fácil visualizar o problema. O financiamento foi feito em 01/01/2003. Esta é a data zero.
Em 01/07/2003 temos a data 1. Em 01/01/2004 temos a data 2. Em 01/07/2004 temos a data 3.
Em 01/01/2005 temos a data 4. E aqui termina o período de carência. O primeiro pagamento é feito seis meses após esta data.
Em 01/07/2005 temos a data 5, quando é feito o primeiro pagamento. Estes pagamentos “reais” serão representados por setas vermelhas. Em verde temos os pagamentos “criados”
E o fluxo de caixa fica assim (a unidade de tempo está em semestres):
�
Queremos trazer todo este fluxo de caixa para a data zero.
Temos 16 pagamentos (12 reais e 4 criados). Usando a tabela II, conseguimos transportar todo este fluxo de caixa para a data zero, um período antes do primeiro pagamento.
�
Da tabela II, temos:
�a16,12%  6,973986
�
Logo, o valor do fluxo de caixa, na data zero, é de: X  6,973986
Mas ainda precisamos excluir o valor referente aos quatro pagamentos criados.
Vamos ver qual o valor atual destes 4 pagamentos. Para tanto, basta consultar a tabela II, para n= 4 e i = 12%.
a412%  3,037349
O valor dos pagamentos “criados” (setas verdes), quando transportados para a data zero, é de:
X  3,037349
Portanto, o valor atual do fluxo de caixa original (ou seja, que contempla apenas os 12 pagamentos em vermelho) é de:
X  (6,973986  3,037349)  3,936635 X
E nós sabemos que o valor do financiamento é de R$ 10.000,00.
�
3,936635 X
�
 10.000  X
� 10.000
3,936635
�Como o denominador é um pouquinho menor que 4, então a fração será um pouquinho maior que 2.500. Com isso já dá para marcar a letra B.
Letra B
�
Relação das questões comentadas
(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de
a) R$ 21.780,00
b) R$ 21.600,00
c) R$ 20.702,00
d) R$ 19.804,00
e) R$ 19.602,00
(SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título?
a) R$ 100 000,00.
b) R$ 107 561,00.
c) R$ 102 564,00.
d) R$ 97 561,00.
e) R$ 110 000,00.
(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então,
a) R$ 10.000,00
b) R$ 18.000,00
c) R$ 22.653,86
d) R$ 24.000,00
e) R$ 20.000,00
(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as afirmativas a seguir:
A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: Desconto =
VF, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros.
ni
A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por
i
�
Em que n é o número de períodos.
�d =	,
1 + in
�
A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:
VP = VF · (1 — d)n,
Em que n é o número de períodos.
Assinale
se somente a afirmativa III estiver correta.
se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
se todas as afirmativas estiverem corretas.
se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
(Analista Legislativo – Contabilidade – Senado Federal 2008/FGV) Seja A1 o valor descontado de um título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto racional composto à taxa de 10% ao mês. Seja A2 o valor descontado desse mesmo título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto comercial simples à mesma taxa mensal.
Se A1 — A2 = R$96,00, o valor nominal desse título, em reais, é um número:
múltiplo de 3.
múltiplo de 4.
múltiplo de 7.
múltiplo de 13.
primo
(AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto de 3% ao mês.
a) R$ 140,00
b) R$ 104,89
c) R$ 168,00
d) R$ 93,67
e) R$ 105,43
(Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos.
a) R$ 11.255,00
b) R$ 11.295,00
c) R$ 11.363,00
d) R$ 11.800,00
e) R$ 12.000,00
�
(AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506)
a) R$ 25.860,72
b) R$ 28.388,72
c) R$ 30.000,00
d) R$ 32.325,90
e) R$ 36.465,18
(CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale
a) 399,00
b) 398,00
c) 397,00
d) 396,00
e) 395,00
(MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês.
a) R$ 600,00
b) R$ 620,15
c) R$ 624,47
d) R$ 643,32
e) R$ 672,00
(APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês.
a) R$ 92,73
b) R$ 84,86
c) R$ 87,33
d) R$ 90,00
e) R$ 82,57
(Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o
�
valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a
a) R$ 40.000,00
b) R$ 36.000,00
c) R$ 34.000,00
d) R$ 32.000,00
e) R$ 30.000,00
(Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de:
a) 20.000  30.000
1, 0324	1, 0336
b) 20.000  30.000
1, 032	1, 033
c) 1, 032  20.000 1, 033  30.000
d) 1, 03 20.000  1, 032  30.000
e) 2, 06  20.000  3, 09  30.000
(SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na resposta.)
a) R$ 2.122,00.
b) R$ 1.922,00.
c) R$ 4.041,00.
d) R$ 3.962,00.
e) R$ 4.880,00.
(AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a:
�
a) R$ 35.000,00
b) R$ 27.925,00
c) R$ 32.500,00
d) R$ 39.925,00
e) R$ 35.500,00
(AFC – STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a:
a) R$ 23.455,00
b) R$ 23.250,00
c) R$ 24.580,00
d) R$ 25.455,00
e) R$ 26.580,00
(AFRF 2001/ESAF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.
a) R$ 62.200,00
b) R$ 64.000,00
c) R$ 63.232,00
d) R$ 62.032,00
e) R$ 64.513,28
(Auditor Fiscal de Fortaleza 2003/ESAF) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00