1ª lista de GAAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - DECEA
1a Lista de GAAL - CEA 036 - Profa Alana
1. Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes 6× 6.
a) Se
aij =
 0 , se i 6= j3 , se i = j e bij =
 0 , se i 6= j2 , se i = j ,
determine o elemento [AB]34. Resp: [AB]34 = 0
b) Se A = I e
bij =
 i2 + j2 , se i 6= ji3 − j3 , se i = j ,
determine o elemento [AB]46. Resp: [AB]34 = 52
2. Considere as matrizes:
A =
 2 0
6 7
 , B =
 0 4
2 −8
 , C =
 2 0 3
6 −1 4
 e D =

0 1
0 1
1 2
 .
Se poss´ıvel, calcule:
a) AB e BA (Os produtos sa˜o iguais?) Resp: Na˜o
b) CD e DC (Os produtos sa˜o iguais?) Resp: Na˜o
c) A+B e A+ C.
d) AC,CA e CTA.
e) (2DT − C)T .
f) AT +B.
3. Sabe-se que cada item do tipo I custa R$1, 00, cada item do tipo II custa R$2, 00 e cada
item do tipo III custa R$3, 00, ale´m disso, sabe-se que a tabela dada descreve o nu´mero de itens
de cada tipo que foram comprados durantes os quatro primeiros meses do ano.
Tipo I Tipo II Tipo III
Jan 3 4 3
Fev 5 6 2
Mar 2 9 4
Abr 1 1 7
1
2
Que informac¸a˜o esta representado pelo seguinte produto matricial?
3 4 3
5 6 2
2 9 4
1 1 7


1
2
3
 .
4. Encontre x tal que ABt = 0, em que
A =
(
x 4 −2
)
e B =
(
2 −3 5
)
.
Resp: x = 11
5. Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Se a afirmac¸a˜o for falsa, deˆ
um contra-exemplo. Se verdadeira justifique demonstrando-a.
a) Se A e B sa˜o matrizes quadradas de mesma ordem, enta˜o AB = BA. Resp.: F.
b) A matriz
X =
 1 1y
y 1
 ,
satisfaz a equc¸a˜o matricial X2 = 2X.
c) Se A e B sa˜o matrizes que AB = 0 enta˜o A = 0 ou B = 0. Resp.: F.
d) Se A e´ uma matriz tal que A2 = 0 enta˜o A = 0. Resp.: F.
e) Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas enta˜o A+B e kA sa˜o matrizes sime´tricas em que k e´
um nu´mero real qualquer. Resp.: V.
6. Para cada α ∈ R, considere a matriz Tα =
 cosα − sinα
sinα cosα
 . Mostre que:
a) TαTβ = Tα+β.
Sugesta˜o: Lembre-se de que cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β e sin(α + β) =
sinα cos β + sin β cosα.
b) T−α = T tα.
Sugesta˜o: Lembre-se de que seno e´ uma func¸a˜o ı´mpar e cosseno e´ uma func¸a˜o par.
7. Dizemos que uma matriz A anula um polinoˆmio p(x) quando p(A) = 0.
3
A matriz A =
 2 3
1 4
 anula o polinoˆmio p(x) = x2−6x+5? E a matriz B =
 0 −1
0 1
?
Sugesta˜o: Calcule p(A) = A2 − 6A+ 5I e p(B) = B2 − 6B + 5I.
Resp: A matriz A anula, a matriz B na˜o.
8. A equac¸a˜o x2 = 1 tem duas soluc¸o˜es reais: x = 1 e x = −1. Encontre todas as matrizes
2× 2 que satisfazem a equac¸a˜o X2 = I2.
9. As tabelas dadas abaixo mostram as unidades vendidas por uma loja de roupas durante
os meses de maio e junho. Seja M a matriz 4 × 3 de vendas de maio e J a matriz 4 × 3 de
vendas de junho.
a) O que representam as matrizes M + J e M − J? Resp: A primeira representa a matriz
de vendas de maio e junho, e a segunda representa quanto M vendeu a mais ou a menos
que em J.
b) Encontre uma matriz coluna X para que o MX fornec¸a uma lista do nu´mero de camisas,
calc¸as, paleto´s e capas vendidos em maio. Resp:

180
100
122
90

c) Encontre uma matriz linha Y para a qual o produto YM fornec¸a uma lista do nu´mero
de itens pequenos, me´dios e grandes vendidos em maio. Resp:
(
102 195 195
)
d) Usando as matrizes X e Y encontradas nos itens anteriores diga o que representa o
produto YMX. Resp: Representa o toal de vendas (492) no meˆs de maio.
Vendas de Maio
Pequeno Me´dio Grande
Camisas 45 60 75
calc¸as 30 30 40
Paleto´s 12 65 45
Capas 15 40 35
Vendas de Junho
Pequeno Me´dio Grande
Camisas 30 33 40
calc¸as 21 23 25
Paleto´s 9 12 11
Capas 8 10 9
10. E´ possivel encontrar uma matriz quadrada A na˜o nula tal que A3 = 0? Resp: Sim.
Utilize o conhecimento sobre matrizes nilpotentes.
4
11. Se D e´ uma matriz diagonal e A e´ uma matriz quadrada de mesma ordem que D enta˜o
AD = DA? E se D for uma matriz diagonal em que os elementos de sua diagonal principal sa˜o
todos iguais? Resp: Na˜o - Sim.