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ESTATÍSTICA – AULA 01 PROF. CÉLIA PROBABILIDADES TEORIA DOS CONJUNTOS A noção de conjunto é aceita a partir da ideia de coleção. Cada um dos integrantes de um conjunto é chamado de elemento do conjunto. Indicamos o nome de um conjunto por letras maiúsculas (A,B,C,. . . ,Z) e o de seus elementos por letras minúsculas (a,b,c,. . . ,z). Um conjunto pode ser representado de três formas distintas: 1. Enumeração: conjunto P dos números primos menores do que 20: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 2. Propriedade Característica: A = {a | a tem a propriedade α} Exemplo Para o conjunto do exemplo anterior, temos: P = {x | x é primo e menor do que 20}. 3. Diagramas de Venn: O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais. Subconjunto Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Exemplos: O conjunto A = {4, 3, 2, 5} é um subconjunto de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pois cada um dos elementos de A se acha em B O conjunto C = {3, 6, 9} está contido em D = {9, 3, 6} e vice-versa. Caso exista pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou que A não é subconjunto de B. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 1. União Fazendo a união dos conjuntos A = {2, 4, 7} e B = {1, 3, 4}, temos: AB = {1, 2, 3, 4, 7} Também podemos representar a união usando diagramas: 2. Intersecção Chamamos de intersecção de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto constituído pelos elementos x que pertencem tanto a A como a B, simultaneamente. Sejam os conjuntos L = {c, a, r, l, o, s} e V = {a, e, i, o, u}, temos: L ∩ V = {a, o} 3. Diferença Diferença A − B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e não a B Considerando os conjuntos: L = {c, a, r, l, o, s} e V = {a, e, i, o, u}, temos que a diferença A − B = {c, r, l, s}. EXEMPLOS: Exemplo 1: Sejam os conjuntos: A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}; B = {4, 6, 8, 10, 12} e C = {1, 2, 3, 4, 6, 10}, construir o diagrama de Venn A U B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12} A U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} B U C = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} A ∩ B = {4, 6, 8} A ∩ C = {3, 4, 6} C ∩ B = {4, 6, 10} Exemplo 2: Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que ela leia apenas um dos jornais? (61,76%) TOTAL = 340 Exemplo 3: Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas utilizam os produtos A ou B. O produto B é utilizado por 800 pessoas e 320 utilizam os dois produtos ao mesmo tempo. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que ela utilize o produto A? (60%) 80 130 20 110 A B 1.200 480 320 0 A B Exemplo 4: Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada em um grupo com 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles tem o antígeno A, 35 tem o antígeno B e 18 tem o antígeno AB. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seu sangue possua o antígeno O? (52,5%) Exemplo 5: Uma emissora de rádio realizou uma pesquisa com o objetivo de conhecer a preferência musical de seus ouvintes. As opções oferecidas foram: música clássica (C), música sertaneja (S) e música popular brasileira (MPB). Os resultados obtidos foram: 27 pessoas gostam de S, 34 gostam de C, 40 gostam de MPB, 16 gostam de C e de S, 12 gostam de S e de MPB, 14 gostam de C e de MPB, 6 gostam das três opções e 4 gostam de outros tipos de musica. Escolhendo-se ao acaso uma dessas pessoas, determine a probabilidade de que ela: a) Goste apenas de música clássica b) Goste apenas de um tipo de música c) Goste de música clássica ou de música sertaneja d) Goste de música clássica e de música sertaneja e) Goste de música sertaneja ou de MPB, mas não goste de música clássica f) Goste de música sertaneja e de MPB, mas não goste de música clássica g) Goste de pelo menos dois tipos de música h) Goste de exatamente dois tipos de música 22 17 18 63 A B A B C 100 50 20 10 30 40 10 40 ESTATÍSTICA APLICADA PROF. CÉLIA PROBABILIDADES – continuação EXERCÍCIOS: 1 – Uma cidade de 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com a população, constatou-se que 1.200 pessoas não apreciam nenhum dos clubes, 1.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4.500 pessoas apreciam o clube A. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que ela aprecie: a) Apenas o clube A? (32%) b) Apenas o clube B? (43%) c) O clube B? (56%) 2 – Uma empresa consultou 300 dos seus funcionários a respeito de três embalagens para lançamento de um novo produto. Considerando as embalagens como A, B e C, 160 pessoas indicaram a embalagem A, 120 indicaram a embalagem B, 90 indicaram a embalagem C, 30 indicaram as embalagens A e B, 40 indicaram as embalagens A e C, 50 as embalagens B e C e 10 indicaram as três embalagens. Escolhendo-se ao acaso um dos funcionários consultados, qual a probabilidade de que este não tenha preferência por nenhuma das três embalagens? (13,33%) 3 – Numa cidade são consumidos três produtos: A, B e C. Feito um levantamento de mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado: Produtos A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhum Número de consumidores 150 200 250 70 90 80 60 180 Escolhendo-se ao acaso, um dos consumidores, determine a probabilidade de que este: a) Utilize apenas o produto A (8,33%) b) Utilize o produto A ou o produto B ou o produto C (70%) c) Utilize o produto A ou o produto B (46,67%) d) Utilize apenas o produto C (23,33%) 4 – Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias ministradas são o português e matemática, 240 alunos estudam português e 180 alunos estudam matemática. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade que ele estude português e matemática? (16,67%) 5 – Após uma briga de n malucos em um hospício, verificou-se que: - 50 malucos perderam os olhos - 48 malucos perderam os braços - 40 malucos perderam as pernas - 28 malucos perderam os olhos e os braços - 22 malucos perderam os olhos e as pernas - 24 malucos perderam os braços e as pernas - 10 malucos perderam braços, olhos e pernas Escolhendo-se um dos malucos ao acaso, determine a probabilidade de que ele: a) Tenha perdido somente as pernas (5,41%) b) Tenha tido pelo menos duas perdas (72,97%) 6 – Um levantamento de benefícios para 254 executivos corporativos mostrou que 155 executivos foram agraciados com telefones móveis, 152 foram agraciados com títulos de membros de clubes e 110 foram agraciados, como privilégios associados à sua posição, tanto com telefones móveis como com títulos de membros de clube. a) Calcule a probabilidade de selecionado um executivo ao acaso, este ter sido agraciado com um telefone móvel. (61%) b) Calcule a probabilidade de selecionado um executivo ao acaso, este ter sido agraciado com um título de membro de clube. (59,84%) c) Calcule a probabilidade de selecionado um executivo ao acaso, este ter sido agraciado com um telefone móvel e com um título de membro de clube. (43,31%) d) Calcule a probabilidade de que um executivo corporativo tenha pelo menos um dos dois privilégios.(77,56%) e) Qual é a probabilidade de que um executivo corporativo não tenha qualquer destes privilégios? (22,44%) 7 – Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e P3; 60 os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; 75 o produto P2. Todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos. Escolhendo-se ao acaso uma dessas pessoas, qual a probabilidade de que ela: a) Utilize somente o produto P3? (17,5%) b) Utilize pelo menos dois dos produtos? (50%) c) Utilize os produtos P1 e P2, e não P3? (5%) d) Utilize apenas um dos produtos? (50%) e) Utilize exatamente dois produtos? (40%) 8 – Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses alunos em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nesta pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? (50%) 9 – A empresa Belas Artes, preocupada com a satisfação dos seus clientes, realizou uma pesquisa para conhecer a opinião dos clientes em relação ao atendimento recebido pelos departamentos A e B da empresa. Após conhecer a opinião de 500 clientes, pode constatar que, destes, 300 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelo departamento A, 350 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelo departamento B, e 200 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelos dois departamentos, ou seja, A e B. Escolhendo-se um cliente ao acaso, qual a probabilidade de que ele manifeste insatisfação com o atendimento recebido dos departamentos. (10%) 10 – Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que ele: a) Tenha lido Iracema? (50%) b) Tenha lido apenas Helena? (20%) 11 – Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Número de telespectadores 400 1.220 1.080 220 180 800 100 x Escolhendo-se ao acaso uma dessas pessoas, qual a probabilidade de que ela que não assista a qualquer dos três programas? (11,11%) 12 – Numa escola com 630 alunos, 250 estudam matemática, 210 estudam física e 90 deles estudam as duas matérias. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que ele: a) Estude somente matemática? (25,4%) b) Estude somente física? (19,05%) c) Estude matemática ou física? (58,73%) d) Não estude nenhuma das duas matérias? (41,27%) 13 – Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: - têm casa própria: 38 - têm curso superior: 42 - têm plano de saúde: 70 - têm casa própria e plano de saúde: 34 - têm casa própria e curso superior: 17 - têm curso superior e plano de saúde: 24 - têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Escolhendo-se um empregado ao acaso, qual a probabilidade de que ele: a) Não se enquadre em nenhuma das situações anteriores? (25%) b) Tenha curso superior ou casa própria? (52,5%) c) Tenha plano de saúde ou casa própria, mas não tenha curso superior? (40%) 14 – Em uma festa conjunta, oferecida por Paulo e Pedro, participaram 45 convidados de Paulo e 35 convidados de Luiz, havendo 15 pessoas que constam das duas listas. Além disso, acompanhando os convidados, vão à festa 5 pessoas que nenhum deles conhece. a) Qual a probabilidade de um convidado da festa ser amigo de Luiz? (50%) b) Qual a probabilidade de um convidado da festa ser amigo de ambos? (21,43%) c) Qual a probabilidade de um convidado da festa não ser amigo de Pedro? (35,71%) d) Qual a probabilidade de um convidado de Luiz ser também amigo de Pedro? (42,86%) 15 – Suponhamos que uma empresa que desenvolve programas computacionais tenha três produtos mais importantes, aos quais chamaremos A, B e C. Produtos A B C A e B B e C A e C A, B e C Outros Número de usuários 35 36 36 17 15 16 8 16 a) Qual a probabilidade de um cliente utilizar o programa A? (42,17%) b) Qual a probabilidade de um cliente utilizar somente o programa A? (12,05%) c) Qual a probabilidade de um cliente utilizar dois dos programas principais? (28,92%) d) Qual a probabilidade de um cliente não utilizar nenhum dos programas principais? (19,28%) e) Qual a probabilidade de um cliente não utilizar o programa B ou C? (33,73%) f) Qual a probabilidade de um usuário de A utilizar também B? (48,57%) g) Qual a probabilidade de um usuário de A não utilizar B ou C? (28,57%) h) Qual a probabilidade de um usuário de A não utilizar C? (45,71%) RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 1 – Uma cidade de 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com a população, constatou-se que 1.200 pessoas não apreciam nenhum dos clubes, 1.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4.500 pessoas apreciam o clube A. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que ela aprecie: a) Apenas o clube A? (32%) b) Apenas o clube B? (43%) c) O clube B? (56%) 2 – Uma empresa consultou 300 dos seus funcionários a respeito de três embalagens para lançamento de um novo produto. Considerando as embalagens como A, B e C, 160 pessoas indicaram a embalagem A, 120 indicaram a embalagem B, 90 indicaram a embalagem C, 30 indicaram as embalagens A e B, 40 indicaram as embalagens A e C, 50 as embalagens B e C e 10 indicaram as três embalagens. Escolhendo-se ao acaso um dos funcionários consultados, qual a probabilidade de que este não tenha preferência por nenhuma das três embalagens? (13,33%) 3 – Numa cidade são consumidos três produtos: A, B e C. Feito um levantamento de mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado: Produtos A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhum Número de consumidores 150 200 250 70 90 80 60 180 Escolhendo-se ao acaso, um dos consumidores, determine a probabilidade de que este: a) Utilize apenas o produto A (8,33%) b) Utilize o produto A ou o produto B ou o produto C (70%) c) Utilize o produto A ou o produto B (46,67%) d) Utilize apenas o produto C (23,33%) TOTAL = 600 consumidores 3.200 4.300 1.300 1.200 A B A B C 100 50 20 10 30 40 10 40 A B C 50 110 10 60 30 20 140 180 4 – Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias ministradas são o português e matemática, 240 alunos estudam português e 180 alunos estudam matemática. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade que ele estude português e matemática? (16,67%) 240 – x + x + 180 – x = 360 x = 60 5 – Após uma briga de n malucos em um hospício, verificou-se que: - 50 malucos perderam os olhos - 48 malucos perderam os braços - 40 malucos perderam as pernas - 28 malucos perderam os olhos e os braços - 22 malucos perderam os olhos e as pernas - 24 malucos perderam os braços e as pernas - 10 malucos perderam braços, olhos e pernas Escolhendo-se um dos malucos ao acaso, determine a probabilidade de que ele: a) Tenha perdido somente as pernas (5,41%)b) Tenha tido pelo menos duas perdas (72,97%) TOTAL = 74 malucos 6 – Um levantamento de benefícios para 254 executivos corporativos mostrou que 155 executivos foram agraciados com telefones móveis, 152 foram agraciados com títulos de membros de clubes e 110 foram agraciados, como privilégios associados à sua posição, tanto com telefones móveis como com títulos de membros de clube. a) Calcule a probabilidade de selecionado um executivo ao acaso, este ter sido agraciado com um telefone móvel. (61%) b) Calcule a probabilidade de selecionado um executivo ao acaso, este ter sido agraciado com um título de membro de clube. (59,84%) c) Calcule a probabilidade de selecionado um executivo ao acaso, este ter sido agraciado com um telefone móvel e com um título de membro de clube. (43,31%) d) Calcule a probabilidade de que um executivo corporativo tenha pelo menos um dos dois privilégios. (77,56%) e) Qual é a probabilidade de que um executivo corporativo não tenha qualquer destes privilégios? (22,44%) 240 – x 180 – x x 0 P M 45 42 110 57 TM TC O B P 10 6 18 10 12 14 4 115 7 – Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e P3; 60 os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; 75 o produto P2. Todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos. Escolhendo-se ao acaso uma dessas pessoas, qual a probabilidade de que ela: a) Utilize somente o produto P3? (17,5%) b) Utilize pelo menos dois dos produtos? (50%) c) Utilize os produtos P1 e P2, e não P3? (5%) d) Utilize apenas um dos produtos? (50%) e) Utilize exatamente dois produtos? (40%) 8 – Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses alunos em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nesta pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? (50%) 600 – x + x + 500 – x + 300 = 1.200 x = 200 9 – A empresa Belas Artes, preocupada com a satisfação dos seus clientes, realizou uma pesquisa para conhecer a opinião dos clientes em relação ao atendimento recebido pelos departamentos A e B da empresa. Após conhecer a opinião de 500 clientes, pode constatar que, destes, 300 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelo departamento A, 350 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelo departamento B, e 200 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelos dois departamentos, ou seja, A e B. Escolhendo-se um cliente ao acaso, qual a probabilidade de que ele manifeste insatisfação com o atendimento recebido dos departamentos. (10%) 600 – x 500 – x x 300 I E 100 150 200 50 A B P1 P2 P3 50 15 10 20 40 30 x = 35 0 10 – Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que ele: a) Tenha lido Iracema? (50%) b) Tenha lido apenas Helena? (20%) TOTAL = 50 alunos 11 – Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Número de telespectadores 400 1.220 1.080 220 180 800 100 x Escolhendo-se ao acaso uma dessas pessoas, qual a probabilidade de que ela que não assista a qualquer dos três programas? (11,11%) 12 – Numa escola com 630 alunos, 250 estudam matemática, 210 estudam física e 90 deles estudam as duas matérias. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que ele: a) Estude somente matemática? (25,4%) b) Estude somente física? (19,05%) c) Estude matemática ou física? (58,73%) d) Não estude nenhuma das duas matérias? (41,27%) 10 15 10 15 H I 160 120 90 260 M F E N H 100 300 120 100 80 700 200 200 13 – Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: - têm casa própria: 38 - têm curso superior: 42 - têm plano de saúde: 70 - têm casa própria e plano de saúde: 34 - têm casa própria e curso superior: 17 - têm curso superior e plano de saúde: 24 - têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Escolhendo-se um empregado ao acaso, qual a probabilidade de que ele: a) Não se enquadre em nenhuma das situações anteriores? (25%) b) Tenha curso superior ou casa própria? (52,5%) c) Tenha plano de saúde ou casa própria, mas não tenha curso superior? (40%) 14 – Em uma festa conjunta, oferecida por Paulo e Pedro, participaram 45 convidados de Paulo e 35 convidados de Luiz, havendo 15 pessoas que constam das duas listas. Além disso, acompanhando os convidados, vão à festa 5 pessoas que nenhum deles conhece. a) Qual a probabilidade de um convidado da festa ser amigo de Luiz? (50%) b) Qual a probabilidade de um convidado da festa ser amigo de ambos? (21,43%) c) Qual a probabilidade de um convidado da festa não ser amigo de Pedro? (35,71%) d) Qual a probabilidade de um convidado de Luiz ser também amigo de Pedro? (42,86%) 30 20 15 5 P L CP CS PS 2 16 2 15 19 9 27 30 15 – Suponhamos que uma empresa que desenvolve programas computacionais tenha três produtos mais importantes, aos quais chamaremos A, B e C. Produtos A B C A e B B e C A e C A, B e C Outros Número de usuários 35 36 36 17 15 16 8 16 a) Qual a probabilidade de um cliente utilizar o programa A? (42,17%) b) Qual a probabilidade de um cliente utilizar somente o programa A? (12,05%) c) Qual a probabilidade de um cliente utilizar dois dos programas principais? (28,92%) d) Qual a probabilidade de um cliente não utilizar nenhum dos programas principais? (19,28%) e) Qual a probabilidade de um cliente não utilizar o programa B ou C? (33,73%) f) Qual a probabilidade de um usuário de A utilizar também B? (48,57%) g) Qual a probabilidade de um usuário de A não utilizar B ou C? (28,57%) h) Qual a probabilidade de um usuário de A não utilizar C? (45,71%) TOTAL = 83 usuários A B C 10 12 9 8 8 7 13 16
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