cap1

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Cap1: Preliminares
B.M.Acio´ly
Abril de 2009
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o 2
2 Quantificadores 2
3 Conjuntos 3
4 Subconjuntos Especiais de R 6
5 Conectivos Lo´gicos 7
5.1 Disjunc¸a˜o e Conjunc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 Implicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6 Quantificadores Restritos 9
6.1 Negac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Como Escrever Matema´tica 12
7.0.1 Os Cuidados Necessa´rios quando Escrever Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 Operac¸o˜es de Conjuntos 14
8.1 Unio˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8.2 Intersec¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.3 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9 Aritme´tica 21
9.1 Os Axiomas de Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.2 Unicidades das Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.3 Unicidades dos Inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.4 Outra Consequeˆncia da Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10 Propriedades da ordem de R 25
11 Nu´meros Naturais e Induc¸a˜o Matema´tica 28
12 Supremos e I´nfimos 31
12.1 Majorantes e Minorantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12.2 Supremos e I´nfimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.3 O Supremo e o Axioma para R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
12.4 A Propriedade Arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1
13 Produtos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es 38
13.1 Produtos Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
13.2 Relac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
13.3 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
14 Propriedades de Func¸o˜es 41
14.1 Imagens e Imagens Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14.2 Composic¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
14.3 A func¸a˜o Indentidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14.4 Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14.4.1 Restric¸o˜es e Extenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
14.5 Func¸o˜es Que Teˆm Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
14.6 Injec¸o˜es, Sobrejec¸o˜es e Bijec¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
14.7 Func¸o˜es Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
15 Produtos 50
16 Conjuntos finitos e Infinitos 51
1 Introduc¸a˜o
As treˆs partes mais importantes do ca´lculo sa˜o o ca´lculo diferencial, o ca´lculo integral e a teoria das
se´ries infinitas. Em cada uma dessas noc¸o˜es o conceito de limite e´ central: derivadas, integrais e se´ries
infinitas podem ser definidas como limites de objetos apropriados. Antes de entrar nessas partes da
ana´lise, entretanto, devemos ter algum conhecimento mais ba´sico. Existem fatos ba´sicos sobre a´lgebras,
as propriedades de ordens e a topologia da reta R. Devemos saber algo sobre func¸o˜es e as va´rias maneiras
em que elas se combinam(adic¸a˜o, composic¸a˜o, etc.). Finalmente, precisamos de alguns fatos ba´sicos sobre
func¸o˜es cont´ınuas, em particular o teorema do valor intermedia´rio e o teorema dos valores extremos.
2 Quantificadores
Com certeza, “2+2= 4” e “2+2= 5” sa˜o asserc¸o˜es(afirmativas), uma verdadeira a outra falsa. Por outro
lado, a expressa˜o “x+2 = 5” na˜o e´ uma afirmativa por causa da presenc¸a da varia´vel x. Expresso˜es
como essa u´ltima sera˜o chamadas sentenc¸as abertas. Sua verdade esta´ aberta a questo˜es, pois x na˜o e´
identificado. Existem treˆs modos padro˜es de converter sentenc¸as abertas em asserc¸o˜es. A primeira, e a
mais simples, e´ atribuindo a` varia´vel um valor particular. Se “avaliarmos” a expressa˜o “x + 2 = 4” em
x = 4 obteremos a asserc¸a˜o
(falsa) “2 + 4 = 5”.
A segunda maneira de obter uma asserc¸a˜o de uma expressa˜o envolvendo uma varia´vel e´ usando
quantifficac¸a˜o universal: asseguramos que a expressa˜o e´ verdadeira para todos os valores da varia´vel. No
exemplo anterior obtemos, “Para todo x, “x+2 = 5”. Isto e´ uma asserc¸a˜o(novamente falsa). A expressa˜o
“Para todo x”( ou equivalentemente, “para cada x”) e´ denotado simbolicamente por (∀x). Portanto, a
sentenc¸a anterior pode ser escrita, (∀x)x + 2 = 5. (O pareˆntese e´ opcional, eles sera˜o usados quando a
clareza for necessa´ria.) Chamaremos ∀ de quantificador universal. Com frequeˆncia existem va´rias
varia´veis numa expressa˜o. Elas podem ser universalmente quantificadas. Por exemplo,
(∀x)(∀y)x2 − y2 = (x− y)(x+ y) (1)
e´ uma asserc¸a˜o(verdadeira), que expressamos dizemos que para todo x e todo y a expressa˜o x2 − y2
se fatora de modo usual a igualdade 1. A ordem dos quantificadores universais e´ irrelevante: a asserc¸a˜o
(∀y(∀x)x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
2
diz exatamente o mesmo que a asserc¸a˜o 1. Por isso, a notac¸a˜o pode ser contra´ıda para
(∀x, y)x2 − y2 = (x− y)(x+ y).
Uma terceira maneira de obter uma asserc¸a˜o de uma sentenc¸a aberta P (x) e´ atrave´s da quan-
tificac¸a˜o existencial. Aqui, asseguramos que P (x) e´ verdadeira para pelo menos um valor de x. Usual-
mente, expressamos isto por “(∃x)P (x)” , e lemos como “existe um x tal que P (x)”. ou “P (x) e´ ver-
dadeira para algum x.” Por exemplo, quantificarmos existencialmente a expressa˜o “x+2 = 5” obteremos
“(∃x)tal quex + 2 = 5”(que acontece ser verdadeiro). Chamamos ∃ de quantificador existencial. A
ordem de uma sequeˆncia de quantificadores existenciais e´ irrelevante. No entanto, e´ essencial esta´ con-
sciente de que a ordem de um quantificador existencial com um universal na˜o pode, em geral, ser trocada.
Por exemplo,
(∃x)(∀y)x < y
diz que existe um nu´mero x com a propriedade de que, na˜o importa como y seja escolhido, x e´ menor
do que y. Isto e´, existe um menor nu´mero real. (Isto e´, realmente, falso.) Por outro lado,
(∀y)(∃x)x < y
diz que para cada y dado existe um nu´mero x com a propriedade de que x e´ menor que y. (Isto
e´ verdadeiro, tome x = y − 1, por exemplo.) Na˜o devemos subestimador a importaˆnica de colocar os
quantificadores na ordem correta.
Exemplo 1 Seja f uma func¸a˜o real definida em R. Muitos autores da˜o a seguinte definic¸a˜o. Uma func¸a˜o
f e´ cont´ınua no ponto a ∈ R se : para todo ² > 0 existe δ > 0 tal que
sempre que |x− a| < δ, enta˜o, |f(x)− f(a)| < ².
Aqui, ² e δ sa˜o quantificados. A func¸a˜o f e o ponto a sa˜o fixos na discussa˜o
Exemplo 2 A`s vezes todos os quantificadores esta˜o ausentes. Neste caso, a regra e´ que todos os quan-
tificadores esta˜o quantificados universalmente. Portanto,
x2 − y2 = (x− y)(x+ y),
e´ interpretado como
(∀x)(∀y)x2 − y2 = (x− y)(x+ y).
3 Conjuntos
Neste texto tudo, em u´ltima instaˆncia, sera´ escritos em termos de dois conceitos primitivos(isto e´, in-
definido): conjunto e relac¸a˜o de pertence. Assumimos que o estudante ja´ conhece os conceitos elementares
de conjuntos, de forma intuitiva. Apenas, estabeleceremos a notac¸a˜o usada. Para indicar que x pertence
ao conjunto A(ou que e´ um elemento de A, ou que e´ um membrode A) escreveremos x ∈ A. Para indicar
que ele na˜o pertence a A, escreveremos x /∈ A.
Especificamos um conjunto listando seus elementos e colocando-os dentro de chaves, se ele for finito,
por exemplo,
{1, 2, 3, 4, 5} e´ o conjunto dos primeiros cinco nu´meros naturais, ou listando alguns elementos e colo-
cando treˆs pontos para indicar os elementos restantes, por exemplo, {1, 2, 3, ...} e´ o conjunto dos nu´meros
naturais, ou escrevendo {x : P (x)}, onde P (x) e´ uma sentenc¸a aberta que especifica que propriedade a
varia´vel x deve satisfazer para ser inclu´ıda no conjunto como, por exemplo, {x : 0 ≤ x ≤ 1} e´ o intervalo
fechado unita´rio.
3
Problema 1 Seja N o conjunto dos nu´meros naturais 1, 2, 3... e seja S = {x ∈ N : x < 30 e x =
n2, para algum n ∈ N}.
Liste todos os elementos de S.
Problema 2 Seja N o conjunto dos nu´meros naturais 1, 2, 3... e seja S = {x ∈ N : x = n + 2 e x =
n2, para algum n tal que n < 6}.
Liste todos os elementos de S.
Problema 3 Suponha que
S = {x : xn2 = 2 tal que n ∈ N},
e que
T = {3, 6, 11, 18, 27, 33, 51}.
Encontre os elementos que pertencem a ambos os conjuntos.
Como tudo que vamos apresentar nete texto depende das noc¸o˜es de conjunto e pertineˆncia, na˜o e´ bom
basearmos somente na intuic¸a˜o destes conceitos, pois podemos facilmente chegar em paradoxos, usando
a abordagem ingeˆnua de conjuntos. Por exemplo, fac¸a a si pro´prio a seguinte pergunta: “Se S for for o
conjunto de todos os conjuntos que conte´m a si pro´prios como elementos, enta˜o S pertence a S? Se a
reposta for positiva, enta˜o e´ deve ser na˜o, e vice versa. Uma alternativa satisfato´ria para nossa abordagem
intuitiva de conjuntos, e´ axiomatizar a teoria dos conjuntos. Existem muitas maneiras de axiomatizar
a teoria dos conjuntos para prover uma fundamentac¸a˜o segura para o desenvolvimento da matema´tica
subsequente. Infelizmente, cada dessas maneiras na˜o simples, para apresentado num curso introduto´rio.
Muitos dos paradoxos inerentes na abordagem intuitiva de conjuntos tem a ver com conjuntos que sa˜o
muito “grandes”. Por exemplo, o conjunto mensionado acima e enorme. Portanto, assumiremos, de ora
em diante, assumiremos que em cada situac¸a˜o todos os objetos matema´ticos que estamos considerando,
por exemplo, conjuntos, func¸o˜es, etc., pertencem a algum conjunto “universal” apropriado, que sera´
suficientemente “pequeno” para evitar paradoxos de teoria de conjuntos.(Pense de ’‘universal“ em teros
de “universo de discurso”.) Anteriormente, consiremos uma asserc¸a˜o como
(∀x)(∃y)x < y.
O aparecimento do s´ımbolo < sugere que x e y sa˜o nu´meros reais. Portanto, o conjuntos dos quais
as varia´veis sa˜o escolhidas e´ o conjunto, R, de todos os nu´meros reais.
Quando existir du´vida qual e´ o conjunto universal, ele pode ser espeficado. No exemplo mencionado
acima, poder´ıamos escrever
∀y ∈ R(∃x ∈ R)x < y.
Isto torna expl´ıcito a restric¸a˜o pretendida, qual seja, de que x e y sa˜o nu´meros reais.
Noutro exemplo no para´grafo anterior, definimos uma func¸a˜o real(de valores reais) cont´ınua num
ponto a ∈ R se
(∀² > 0)(∃δ > 0) tal que (∀x), sempre que |x− a| < δ enta˜o, |f(x− f(a)| < ².
Aqui, as duas primeiras varia´veis ² e δ, sa˜o restritas ao intervalo (0,+∞).
Portanto, poder´ıamos ter escrito,
(∀² ∈ 0,+∞)(∃δ ∈ (o,+∞) tal que (∀x), sempre que |x− a| < δ enta˜o, |f(x− f(a)| < ².
As expresso˜es “∀x ∈ R”, “∃δ ∈ (0,+∞)′′, etc., sa˜o chamadas
quantificadores restritos.
4
Definic¸a˜o 1 (Subconjunto)
Sejam S e T dois conjuntos. Dizemos que S e´ um subconjunto de T, cuja notac¸a˜o e´ S ⊆ T (ou
T ⊇ S),
se todo elemento de S tambe´m for elemento de T. Se S ⊆ T tambe´m dizemos que S esta´ contido em
T (ou T conte´m S). Se S ⊆ T e S 6= T, dizemos que S e´ um subconjunto pro´prio de T, e denotamos por
S ⊂ T.
Observe que a relac¸a˜o ⊆ e´ reflexiva(isto e´, S ⊆ S, para todo subconjunto S) e transitiva(isto e´, se
S ⊆ T e T ⊆ U, enta˜o S ⊆ U). Ela e´ tambe´m antisime´trica(isto e´, se S ⊆ T e T ⊆ S, enta˜o S = T ). Se
S for um subconjunto de T, escreveremos S ( T. Neste caso, existe pelo menos um elemento em S que
na˜o esta´ em T.
Exemplo 3 Como todo nu´mero no intervalo fechado [0, 1] tambe´m pertence ao intervalo [0, 5], estar
correto escrever [0, 1] ⊆ [0, 5]. Como o nu´mero pi esta´ em [0, 5], mas, na˜o esta´ em [0, 1], podemos tambe´m
escrever [0, 5] (= [0, 1].
Problema 4 Suponha que S = {x : x = 2n + 3, para algum n ∈ N} e T e´ o conjunto de todos os
nu´meros naturais ı´mpares 1,3,5,..
(a) S ⊆ T? Se na˜o for o caso, encontrar um elemento de S que na˜o esteja em T.
(b) T ⊆ S? Se na˜o for o caso, encontrar um elemento de T que na˜o esteja em S.
Definic¸a˜o 2 (Conjunto Vazio )
O conjunto vazio(ou conjunto nulo), denotado por ∅, e´ definido como sendo o conjunto que na˜o
possui elemento. (ou, de modo formal, {x : x 6= x}.)
O conjunto vazio pode ser visto como subcojunto de qualquer conjunto, isto e´, ∅ ⊆ S, para todo
conjunto S.
Definic¸a˜o 3 (Conjunto Poteˆncia )
Se S for um conjunto, o conjunto poteˆncia de S, denotado por P(S), e´ o conjunto de todos os
subconjuntos de S.
Exemplo 4 Seja S = {a, b, c}. Enta˜o, o conjunto poteˆncia de S e´
P(S) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Problema 5 Em cada uma das palavras de (a)-(d) abaixo, seja S o conjunto das letras da palavra. Em
cada caso, encontre o nu´mero de elementos de S e o nu´mero de elementos de P(S), o conjunto poteˆncia
de S.
(a) lula;
(b) apelo;
(c) atrair;
(d) ca´lculo.
Atenc¸a˜o: Ao tentar provar uma proposic¸a˜o que tenha como hipo´tese “Seja S um conjunto” na˜o
inclua em sua prova algo como “Suponha que S = {s1, s2, ..., sn}” ou“Suponha que S = {s1, s2, ...}”.
No primeiro caso, voceˆ tacitamente esta´ assumindo que S e´ finito e no segundo, que S e´ enumera´vel.
Nenhuma das duas justifica a hipo´tese.
Finalmente, faremos alguma observac¸a˜o sobre o uso de = e := . Neste texto a igualdade sera´ usada
no sentido de identidade. Escreveremos x = y para indicar que x e y sa˜o dois nomes para o mesmo
5
objeto. Por exemplo, 0, 1 = 36 =
1√
4
, porque os treˆs sa˜o nomes diferentes do mesmo nu´mero real. Em
muito textos de geometria da escola secunda´ria encontramos afirmativas como um triaˆngulo e´ iso´sceles
se ele tiver dois lados iguais(ou dois aˆngulos iguais). Tambe´m fazemos uso do s´ımbolo := para indicar
igualdade por definic¸a˜o. Portanto, quando escrevermos a := b estaremos dando um nome novo, a, a um
objeto b com o qual presumivelmentee ja´ estamos acostumados.
4 Subconjuntos Especiais de R
Denotamos por R o conjunto dos nu´meros reais. Certos subconjuntos teˆm nomes padra˜o. Aqui, listaremos
alguns deles para teˆ-los como refereˆncia. O conjunto P = {x ∈ R : x > 0} denotara´ todos os nu´meros reais
estritamente positivos. O conjunto {1, 2, 3, ...}, de todos os nu´meros naturais sera´ denotado por N, o seg-
mento inicial {1, 2, ..., n} do conjunto N, sera´ denotado por Nn e o conjunto {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...},
de todos os inteiros por Z. O conjunto de todos os nu´meros racionais(os nu´meros da forma pq , onde
p, q ∈ Z e q 6= 0) e´ denotado por Q. Existem os intevalos abertos
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b},
(−∞, b) := {x ∈ R : x < b}, e
(a,+∞) := {x ∈ R : x > a}.
Existem os intervalos fechados
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}, e
[a,+∞) := {x ∈ R : x ≥ a}.
Existem ainda os intervalos que na˜o sa˜o nem abertos nem fechados
[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b},
(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.
O conjunto de todos os nu´meros reais pode ser escrito na forma de intervalo como )−∞,+∞). (como
um intervalo ele e´ considerado tanto aberto como fechado.)
Um subconjunto A ⊆ R diz-se limitado se existir um nu´mero positivo M tal que |a| ≤ M, para
todo a ∈M. Portanto, os intervalos da forma [a, b], (a, b] e (a, b) sa˜o limitados. Os outros intervalos sa˜o
ilimitados.Se A for um subconjunto de R, enta˜o A+ := A ∩ [0,+∞). Esses sa˜o os elementos positivos de A.
Observe, em particular, que Z+, o conjunto dos inteiros positivos, conte´m 0, mas N, o conjunto dos
nu´meros naturais, na˜o conte´m.
6
5 Conectivos Lo´gicos
5.1 Disjunc¸a˜o e Conjunc¸a˜o
A palavra “ou” em portugueˆs tem dois usos. Ele pode ser somente uma de duas alternativas ou ambas.
Uma maneira conveniente de definir conectivos como “ou” e´ por meio de uma tabela verdade. A definic¸a˜o
formal por tabela verdade e´
p q p ∧ q
t t t
t f t
f t t
f f f
Aqui, p e q sa˜o sentenc¸as quaisquer. Nas colunas rotuladas p e q listamos todas as combinac¸o˜es
poss´ıveis de valores de verdade para p e q(t para verdadeiro e f fara falso).Na terceira coluna aparece
os correspondentes valores verdade para “p ou q”. Segundoa a tabela “p ou q” e´ verdadeiro em todos os
casos, exceto quando ambos p e q forem falsos.
A notac¸a˜o “p ∧ q” e´ usada, em geral, para “p ou q”. A operac¸a˜o ∧ e´ chamada disjunc¸a˜o.
Exerc´ıcio 1 Construa uma tabela verdade dadndo a definic¸a˜o formal de “e”, denotado, geralmente, por
∨. A operac¸a˜o ∨ e´ chamada conjunc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
p q p ∨ q
t t t
t f f
f t f
f f f
¥
Dizemos que duas sentenc¸as que dependem das varia´veis p e q,... sa˜o logicamente equivalentes se elas
tiverem o mesmo valor verdade na˜o importa quais sejam os valores verdades t ou f atribu´ıdas a`s varia´veis
p, q,... As tabelas verdades sa˜o muitos u´teis na decisa˜o de se certas asserc¸o˜es encontradas no racioc´ınio
matema´tico sa˜o logicamente equivalentes sa˜o logicamente equivalentes a outras.
Exemplo 5 Suponha que p, q e r sejam sentenc¸as quaisquer. Para aqueles que habitualmente usam a
linguagem cuidadosamente, com certeza e´ claro que as duas asserc¸o˜es seguintes sa˜o equivalentes.
(a) p e´ verdadeiro e, portanto, tambe´m q ou r.
Ou ambos p e q sa˜o verdadeiras ou ambas p e r sa˜o verdadeiras.
Soluc¸a˜o:
Suponha, por enquanto, que estamos em du´vida a respeito da relac¸a˜o entre (a) e (b). Podemos representar
simbolicamente (a) por p∨(q∧r) e (b) por (p∨q)∧(p∨r). Conclu´ımos que eles sa˜o logicamente equivalentes
a seguinte tabela verdade. (Observe que, como existem treˆs varia´veis p, q e r, existem 23 = 8 maneiras
de atribuir a elas valores verdade em nossa tabela.)
7
p q r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) p ∨ r p ∨ r(p ∨ r) ∧ (p ∨ r)
t t t t t t t t
t t f t t t f t
t f t t t f t t
t f f f f f f f
f t t t f f f f
f t f t f f f f
f f t t f f f f
f f f f f f f f
A quarta coluna e´ obtida da segunda e terceira, a quinta da primeira e da quarta, a sexta da primeira
e da segunda, a se´tima da primeira e da terceira e a oitava da sexta e se´tima. Comparando os valores
da tabela verdade, nas colunas quinta e oitava, observamos que elas sa˜o exatamente a mesma. Portanto,
p ∨ (q ∧ r) e´ logicamente equivalente a (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Este resultado e´ uma propriedade distribuitiva.
Ela diz que a conjunc¸a˜o se distribui com relac¸a˜o a disjunc¸a˜o. ¥
Problema 6 Use tabelas verdade para mostrar que a operac¸a˜o de disjunc¸a˜o e´ associativa, isto e´, mostre
que (p ∨ q) ∨ r e p ∨ q(∨r) sa˜o logicamente equivalentes.
Problema 7 Use tabelas verdade para mostrar que a operac¸a˜o de disjunc¸a˜o e´ distributiva com relac¸a˜o a`
operac¸a˜o de conjunc¸a˜o, isto e´, mostre que p ∧ (q ∨ r) e (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) sa˜o logicamente equivalentes.
Finalmente, observe que: os quantificadores podem ser movidos atrave´s de conjunc¸o˜es e disjunc¸o˜es
que na˜o contenham varia´veis quantificadas. Por exemplo,
(∃y)(∃x)[y2 ≤ 9) ∨ (2 < x < y)]
diz a mesma coisa que
(∃y)[y2 ≤ 9) ∨ (∃x)(2 < x < y)].
5.2 Implicac¸a˜o
Consideremos a asserc¸a˜o, “Se 1=2, enta˜o 2=3.” Se perguntarmos a muita gente(sem experieˆncia em
matema´tica) sobre a verdade dessa asserc¸a˜o, provavelmente algumas acham que ela e´ verdeira e outros que
ela e´ falsa e ainda outros que ela na˜o tem sentido(ou seja, nem verdadeira nem falsa). Isto e´ um exemplo
da ambiguidade da linguagem ordina´ria. Para evitar ambiguidade, assegumramos que “p implica q” tem
o valor verdade se p e p tiverem, definimos a operac¸a˜o de implicac¸a˜o, denotada por→, pela tabela verdade
seguinte..
p q p⇒ q
t t t
t f f
f t t
f f t
Existem muitas maneiras de dizer que p implica q. As seguintes asserc¸o˜es sa˜o todas ideˆnticas.
• p⇒ q.
• p implica q.
• Se p, enta˜o q.
• p e´ suficiente para q(ou uma condic¸a˜o suficiente) para q.
8
• Sempre que p, enta˜o q.
• q ⇐ p.
• q e´ implicada por p.
• q e´ uma consequeˆncia de p.
• q segue de p.
• q e´ necessa´ria(ou uma condic¸a˜o necessa´ria) para p.
• q sempre que p.
A asserc¸a˜o q ⇒ p e´ a reversa de p⇒ q. E´ um erro muito comum confundir uma afirmativa com a sua
reversa. Isto e´ um erro muito grave. Por exemplo: e´ correto dizer que se uma figura geome´trica for um
quadrado, enta˜o ela sera´ um quadrila´tero. Mas, na˜o e´ correto dizer que se um figura for um quadrila´tero,
enta˜o ela sera´ um quadrado.
Definic¸a˜o 4 (Se e Somente se(see)) Se p e q forem sentenc¸as, definimos o conectivo lo´gico see(lido
como “se e somente se”) pela seguinte tabela verdade.
p q p⇔ q
t t t
t f f
f t f
f f t
Observe que a sentenc¸a “p see q” e´ verdadeira exatamente naqueles casos onde p e q tiverem os
mesmos valores verdade. Isto e´, dizemos que “p see q” e´ uma tautologia(verdadeira para todos os valores
de p e q) e´ mesmo que dizer que p e q sa˜o sentenc¸as equivalentes. Portanto, o conectivo “see” e´ chamado
equivaleˆncia. Uma notac¸a˜o alternativa para “see” e´ ⇔ .
Exemplo 6 Comparando a terceira e sexta colunas da tabelas verdade seguinte, observamos que “p see
q” e´ logicamente equivalente a` “(p⇒ q) ∨ (q → p)”.
p q p⇔ q p⇒ q q ⇒ p (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
t t t t t t
t f f f t f
f t f t f f
f f t t t t
Isto e´ um fato muito importante. Muitos teoremas da forma P see q sa˜o mais convenientemente
provado verificando separadamente que p⇒ q e q ⇒ p.
6 Quantificadores Restritos
Agora, que temos os conectivos lo´gicos ⇒ e ∧ a nossa disposic¸a˜o, e´ poss´ıvel introduzir quantificadores
restritos formalmente em termos de um deles irrestrito. Isto nos permitira´ obter propriedades de um a
partir de propridades do outro.
Definic¸a˜o 5 (Quantificadores Restritos) Seja S um conjunto e p(x) uma sentenc¸a aberta. Definimos
(∀x ∈ S)p(x) como verdadeira se e somente se (∀x)((x ∈ S)⇒ p(x)) for verdadeira. Definimos (∃x)p(x)
como verdadeira se e somente se (∃x)((x ∈ S) ∧ p(x)) for verdadeira.
9
Exerc´ıcio 2 Use a definic¸a˜o precedente e o fato de que a ordem de quantificadores irrestritos e´ irrelevante
para mostrar que a ordem de quantificadores restritos e´ irrelevante. Isto e´, mostre que se S e T forem
conjuntos e p(x, y) for uma sentenc¸a aberta, enta˜o (∃x ∈ S)(∃y ∈ T )p(x, y) se verifica se e somente se
(∃y ∈ T )(∃x ∈ S)p(x, y) se verificar.
Soluc¸a˜o:
Primeiro, observe que a operac¸a˜o ∧ e´ comutativa e associativa. (Que e´ comutativa e´ o´bvio, que e´ associa-
tiva pode ser checada facilmente por meio da tabela verdade.) Portanto, se A, B e C forem proposic¸o˜es
A ∧ (B ∧ C) see A ∧ (B ∧ C) see (B ∧A) ∧ C see B ∧ (A ∧ C). (2)
Enta˜o, segue que
(∃x ∈ S)(∃y ∈ T )p(x, y) see (∃x ∈ S)(∃y)(y ∈ T ) ∧ p(x, y) see (∃x)((x ∈ S) ∧ (∃y)(y ∈ T ) ∧
p(x, y) see (∃x)(∃y)((y ∈ T ) ∧ ((x ∈ S) ∧ p(x, y), (por 2) see (∃y)(∃x)((y ∈ T ) ∧ ((x ∈ S) ∧
p(x, y) see (∃y)((y ∈ T ) ∧ (∃x)((xinS)p(x, y)) see (∃y ∈ T )(∃x ∈ S)p(x, y). ¥
6.1 Negac¸a˜o
Se p for uma sentenc¸a, enta˜o ¬p, lido “a negac¸a˜o de p”, ou “naˆo p”, e´ a sentenc¸a cujo valor verdade e´
o oposto do de p.
p ¬p
t f
f t
Exemplo 7 Deve ficar claro que a negac¸a˜o da disjunc¸a˜o de duas sentenc¸as p e q e´ logicamente equivalente
a` negac¸a˜o de sua conjunc¸a˜o. Se tivermos du´vida sobre o acerto desta afirmac¸a˜o, deveremos usar a tabela
verdade. Ou seja, devemos verificar que ¬(p ∨ q) e´ logicamente equivalente a` ¬p∧ ¬q.
p q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ¬q (¬p) ∧ (¬q)
t t t f f f f
t f t f f t f
f t t f t f f
f f f t t t t
As colunas quarta e se´tima teˆm os mesmos valores verdade. Este resultado e´ uma das leis de De
Morgan.
Problema 8 (Leis de De Morgan) Use a tabela verdade para mostrar que ¬(p ∧ q) e´ logicamente
equivalente a` (¬p) ∧ (¬q).
Problema 9 (Leis de De Morgan) Obtenha o resultado no problema anterior sem usar tabelas verdade.
(Sugesta˜o: Use o exemplo 7 junto com o fato de que uma proposic¸a˜o p e´ logicamente equivalente a` ¬negp.
Comece escrevendo (¬p) ∨ (¬q) see ¬¬((¬p) ∨ (¬q)). equivalente a` (¬p) ∧ (¬q).
Exerc´ıcio 3 Sejam p e q sentenc¸as. Enta˜o, p⇒ q e´ logicamente equivalente a` q ∨ (¬q).
Soluc¸a˜o:
p q p⇒ q ¬p q ∨ (¬p)
t t t f t
t f f f f
f t t t t
f f t t t
A terceira e a quinta colunas teˆm os mesmos valores verdade. ¥
10
Um problema muito importante e´ o processo de tomar a negac¸a˜o de uma asserc¸a˜o quantificada. Seja
p(x) uma sentenc¸a aberta. Se na˜o for caso de que p(x) se verifica para todo x, enta˜o ele deve falhar para
algum x, e rec´ıprocamente. Isto e´, ¬(∀x)p(x) e´ logicamente equivalente a` (∀x)¬p(x).
Analogamente, ¬(∃x)p(x) e´ logicamente equivalente a` (∀x)¬p(x). (Se na˜o for o caso de que p(x) seja
verdadeiro para algum x, enta˜o ele deve falhar para todo x, e rec´ıprocamente.)
Exemplo 8 Definimos uma func¸a˜o real como sendo cont´ınua se
(∀a)(∀²)(∃δ)(∀x)|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ².
Como provaremos que uma func¸a˜o particular na˜o e´ cont´ınua? Resposta: achando um a e um ² tal que
para todo δ e´ poss´ıvel encontrar um x tal que |f(x)− f(a)| ≥ ² e |x− a| < δ. Para ver que isto e´ verdade,
observe que cada par de linhas consecutivas no seguinte argumento sa˜o logicamente equivalentes.
¬[(∀a)(∀²)(∃δ)(∀δ) |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ²]
(∃a)¬[(∀²)(∃δ)(∀x) |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ²]
(∃a)(∃²)¬[(∃δ)(∀x) |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ²]
(∃a)(∃²)(∀δ)¬[(∀x) |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ²]
(∃a)(∃²)(∀δ)(∃x)¬[ |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ²]
(∃a)(∃²)(∀δ)(∃x)¬[ |f(x)− f(a)| < ² ∨ ¬(|x− a| < δ]
(∃a)(∃²)(∀δ)(∃x)[¬(|f(x)− f(a)| < ² ∧ ¬¬|x− a| < δ]
(∃a)(∃²)(∀δ)(∃x)[(|f(x)− f(a)| ≥ ² ∧ |x− a| < δ.]
Para obter a terceira linha use exerc´ıcio 8. A penu´ltima linha e´ uma consequeˆncia do exemplo 7 e
a u´ltima linha faz uso do fato de que p e´ equivalente a ¬¬p.
Problema 10 Dois estudantes Pedro e Joa˜o, precisavam provar um teorema matema´tico da forma. “Se
p, enta˜o, se q enta˜o r.” Pedro assume que q e´ uma consequeˆncia de p e tenta provar r. Joa˜o assume ambas
p e q e tenta provar r. Esses dois estudantes esta˜o fazendo a coisa certa? Explique cuidadosamente.
Problema 11 A contrapositiva da implicac¸a˜o p⇒ q e´ a implicac¸a˜o ¬q ⇒ ¬p. Sem usar tabelas verdade
ou assumindo valores verdades, mostre que uma implicac¸a˜o e´ logicamente equivalente a sua contrapositiva.
(Isto e´ um fato muito importante. Em muitos casos, quando precisamos provar um teorema da forma
p ⇒ q, ao inve´s de assumir p e provar q, e´ mais fa´cil assumir que q e´ falsa e concluir que p e´ tambe´m
falsa.) Sugesta˜o: Use 8. E´ poss´ıvel tambe´m usar o fato o´bvio de que a disjunc¸a˜o e´ uma operac¸a˜o
comutativa e que p e´ logicamente equivalente a` ¬¬p.)
Problema 12 Use a definic¸a˜o formal de quantificador restrito, dada anteriormente, junto com o fato,
ja´ mencionado, de que a ordem de quanticadores irrestritos e´ irrelevante, para mostrar que a ordem de
quantificadores restritos tambe´m e´ irrelevante. Isto e´, mostre que se S e T forem conjuntos e p(x, y) for
uma sentenc¸a aberta, enta˜o (∀x ∈ S)(∀y ∈ T )p(x, y) se verifica se e somente se (∀y ∈ T )(∀x ∈ D)p(x, y)
se verificar.
Problema 13 Seja S um conjunto e p(x) uma sentenc¸a aberta. Mostre que
(a) ¬(∀x ∈ S)p(x) se e somente se (∃x ∈ S)¬p(x).
(b) ¬(∃x ∈ S)p(x) se e somente se (∀x ∈ S)p(x).
Sugesta˜o: Use os fatos correspondentes para quantificadores irrestritos.
11
7 Como Escrever Matema´tica
Os resultados matema´ticos sa˜o chamados teoremas, ou proposic¸o˜es, ou lemas, ou corola´rios, ou exemplos.
Todos esses pretendem ser fatos matema´ticos. As palavras diferentes somente refletem uma diferenc¸a de
eˆnfase. Teoremas sa˜o mais importantes que proposic¸o˜es. Um lema e´ um resultado para ser usado num
resultado subsequente(geralmente, mais importante). Um corola´rio(de um teorema ou uma proposic¸a˜o) e´
um resultado adicional que obtemos de grac¸a(ou quase). Todos esses casos sa˜o tipicamente empacotados
na forma: “Se p, enta˜o q.” A asserc¸a˜o p e´ a hipo´tese(ou assunc¸a˜o, ou premissa, ou suposic¸a˜o). A
asserc¸a˜o q e´ a conclusa˜o. Observe que o resultado “Todo objeto do tipo A e´ do tipo B”esta´ nesta forma.
Ele pode ser reenunciado como “Se x for um objeto do tipo A, enta˜o x e´ do tipo B.”.
As afirmativas, p e q podem ser bastante complexas, descritas como conjunc¸o˜es, disjunc¸o˜es ou condi-
cionais de afirmativas mais simples. Um tipo muito comum de teorema, por exemplo, e´ “Se p1, p2, ..., pm,
enta˜o q1, q2, ..., qn.”
Uma prova de um resultado e´ uma sequeˆncia de afirmativas, cada uma delas com justificativas, que
levam a conclusa˜o (ou concluso˜es) do resultado desejado. As afirmativas que constituem uma prova
podem ser definic¸o˜es, ou hipo´teses, ou afirmativas que resultaram das aplicac¸o˜es das etapas anteriores da
prova, ou uma uma regra de infereˆncia va´lida. Modus ponens e´ a regra de infereˆncia ba´sica. Dizemos
que se conhecermos uma proposic¸a˜o p e tambe´m soubemos que p → q, enta˜o podemos concluir que q e´
verdadeira. Outra regra de infereˆncia importante(a`s vezes chamada instancic¸a˜o universal) e´ aquela que
ao sabermos que uma proposic¸a˜o p(x) e´ verdadeira para todo x num conjunto S, e soubermods que a ∈ S,
enta˜o podemos concluir que p(a) e´ verdadeira.
Uma outra regra de infereˆncia pode ser deduzida do modus ponens. Por exemplo, se soubermos que a
proposic¸a˜o p ∧ q e´ verdadeira, certamente podemos concluir que p e´ verdadeira. A raza˜o e´ simples, pois
(p ∧ q)⇒ q
e´ uma tautologia(verdadeira para todos os valores verdade de p e q). Como p ∧ q, e´ verdadeira por
hipo´tese, p e´ verdadeira, por modus ponens.
Existem mais regras de infereˆncias, algumas muito o´bvias. Aqui na˜o pretendemos listar todas essas
regras, mas apenas destacar algumas mais importantes.
Uma prova em que comec¸amos com as hipo´teses e raciocinamos ate´ atingir a conclusa˜o e´ o que
chamamos de prova direta. Existem outros tipos de provas, conhecidas como provas indiretas. A primeira
aparece quando observamos que proposic¸a˜o ¬q ⇒ ¬p e´ a contrapositiva de p⇒ q. (Dizemos que ¬q ⇒ ¬p
e´ a contrapositiva de p ⇒ q.) Para provar que p ⇒ q e´ suficiente assumir que q e´ falsa e provr que p
tambe´m e´ falsa. Uma variante deste tipo de prova e´ a prova por contradic¸a˜o. Aqui, para provar que p
implica q assumimos duas coisas: que p e´ verdadeira e que q e´ falsa. Enta˜o, tentamos mostrar que isso
leva a uma contradic¸a˜o. Estamos acreditando que o sistema matema´tico em que estamos trabalhando e´
consistente(embora, sabemos que na˜o podemos provar isto), de modo que quando uma hipo´tese nos leva a
uma contradic¸a˜o regeitamo-la. Portanto, numa prova por contradic¸a˜o, quando achamos que p e ¬q na˜o
podem ser ambas verdadeiras, concluimos que se p for verdadeira, q tambe´m sera´.
Problema 14 Prove que num sistema inconsistente, tudo e´ verdadeiro. Isto e´, prove que se p e q forem
proposic¸o˜es e que se ambas p e ¬q forem verdadeiras, concluimos que, se p for verdadeiro, enta˜o tambe´m
sera´ verdadeiro.
Problema 15 O que esta´ errado com a seguinte prova de que 1 maior nu´mero natural? Seja N o maior
nu´mero natural. Como n e´ um nu´mero natural, N2 tambe´m e´. Vemos que N2 = N. N ≥ N.1 = N.
Claramente, a desigualdade reversa, N2 ≤ N tambe´m se verifica, pois N e´ o maior nu´mero natural.
Portanto, N2 = N. Esta equac¸a˜o tem somente duas soluc¸o˜es: N = 0 e N = 1. Como 0 na˜o e´ um nu´meronatural, temos que N = 1. Isto e´, 1 e´ o maior nu´mero natural.
12
7.0.1 Os Cuidados Necessa´rios quando Escrever Matema´tica
Quando resolvemos um problema, ou descobrimos um contraexemplo ou provamos um teorema, aparecem
o problema de escrever este resultado. Pretendemos apresentar este resultado de modo ta˜o simples quanto
for poss´ıvel. A seguir va˜o algumas sugesto˜es de como checar se, realmente, o texto apresentado esta´ como
gostar´ıamos.
1. Sera´ que formulamos claramente o problema que pretendemos resolver?
Devemos ter em mente, realmente, a audieˆncia. Escrevemos para algue´m. Na˜o devemos
assumir que aquele a quem estamos escrevendo ja´ conhece o problema suficientemente.
2. No in´ıcio da prova incluimos um para´grafo para explicar o me´todo de prova que estamos usando?
Seria bom que o leitor soubesse o que vamos fazer, que etapas pretedemos seguir e que
vantagens vemos na nossa abordagem particular.
3. Sera´ que definimos todas varia´veis que pretendemos usar?
Sempre que aparecer um s´ımbolo novo ele deve ser apresentado. Podemos ter a imagem
mental de um triaˆngulo com ve´rtices A,B e C. Quando usarmos essas letras ninque´m
sabera´ o que elas representam, a menos que tenhamos dito.(Mesmo que tenhamos inclu´ıdo
um grafo apropriadamente rotulado, ainda assim devemos dizer no texto o que as letras
denotam.) Analogamente, poder´ıamos estar sendo consistentes e usar letras como j, por
exemplo, para denotar nu´meros naturais. Mas, como o leitor saberia disso?
4. A lo´gica que estamos usando e´ clara e inteiramente correta?
E` lamenta´vel que um erro sutil de lo´gica possa levar que uma “soluc¸a˜o” de um problema
seja totalmente inu´til.
5. Em nosso texto existem s´ımbolos e termos matema´ticos. Esta˜o todos eles usados corretamente e
nos padro˜es modernos? As abreviac¸o˜es esta˜o conforme os padro˜es modernos?
Nada pode tornar mais confuso e desagrada´vel um texto matema´tico que o mal uso de
s´ımbolos e o uso de s´ımbolos exceˆntricos. Os s´ımbolos devem esclarecer os argumentos e
na˜o criar outro n´ıvel de dificuldades. De qualquer modo, s´ımbolos como “=” e “<” sa˜o
usados somente em fo´rmulas. Eles na˜o devem substituir as palavras “iguais” e “menor
do que” no texto ordina´rio. S´ımbolos lo´gicos como “⇒” raramente sa˜o apropriados numa
exposic¸a˜o matema´tica escrita: devemos escrever “Se A, enta˜o B,” e na˜o “A ⇒ B”. A`s
vezes eles podem ser usados numa apresentac¸a˜o.
6. A ortografia, a dicc¸a˜o e a grama´tica que estamos usando esta˜o corretas?
7. E´ cada palavra, cada s´ımbolo e cada equac¸a˜o parte de uma sentenc¸a? E cada sentenc¸a e´ parte de
um para´grafo?
Por algum motivo, isto parece dif´ıcil para muitos estudantes. Os esboc¸os de trabalhos
apresentam muitos s´ımbolos e fo´rmulas como que flutuando. Quando escrevermos o tra-
balho final deveremos corrigir esses defeitos. Deveremos manter no texto somente o que
for estritamente necessa´rio para a exposic¸a˜o lo´gica completa. Devemos estar seguro de
que qualquer fo´rmula(inteleg´ıvel) fac¸a parte de uma sentenc¸a. Uma boa atitude e´ observar
como os autores de bons textos de matema´tica lida com o problema de incorporar s´ımbolos
e fo´rmulas nos textos.
8. Cada sentenc¸a comec¸a e termina corretamente?
13
Sentenc¸as comec¸am com letras maiu´sculas. Nunca comece uma sentenc¸a com um nu´mero
ou com s´ımbolo matema´tico ou lo´gico. Toda sentenc¸a declarativa termina com um per´ıodo.
Outras sentenc¸as podem terminar com um ponto de interrogac¸a˜o, pore´m raramente com
ponto de exclamac¸a˜o.
9. A func¸a˜o de cada sentenc¸a esta´ clara?
Cada sentenc¸a tem uma func¸a˜o. Ela pode ser uma definic¸a˜o, ou uma afirmativa(asserc¸a˜o)
a ser provada. Ela pode ser uma consequeˆncia da asserc¸a˜o precedente. Ela pode ser um
resultado padra˜o do qual depende nosso argumento. Ela pode ser um resumo do que ja´
provamos. Qualquer func¸a˜o que uma sentenc¸a tenha deve ser inteiramente clara para o
leitor.
10. Evitamos palavreados desnecessa´rios?
Palavras desnecessa´rias ou sem sentido num texto sa˜o as maiores inimigas de uma ex-
posic¸a˜o clara. Ninque´m quer ver todos os detalhes de nossa aritme´tica, a´lgebra, trigonome-
tria ou ca´lculo. Ou o leitor ja´ conhece este assunto, e assim, poderia fazeˆ-lo por si mesmo
facilmente, em vez de leˆ-lo, ou ele na˜o o conhece e, portanto, na˜o ver sentido nisso. Em
ambos os casos e´ bom evita´-lo. Se resolvemos uma equac¸a˜o, por exemplo, estabelecemos
quais sa˜o as soluc¸o˜es. Na˜o mostramos como usamos a fo´rmula quadra´tica para obteˆ-las.
Devemos Escrever somente coisas que informam. Argumentos lo´gicos informam, ca´lculos
rotineiros na˜o. Sejamos rigorosos com a prolixidade.
8 Operac¸o˜es de Conjuntos
8.1 Unio˜es
Lembramos que se S e T forem conjuntos, a unia˜o de S e T , denotado por S ∪ T, e´ definido como o
conjunto de todos aqueles elementos x tal que x ∈ S ou x ∈ T. Isto e´,
S ∪ T = {x : x ∈ S ou x ∈ T}.
Exemplo 9 Se S = [0, 3] e T = [2, 5], enta˜o S ∪ T = [0, 5].
A operac¸a˜o de tomar unio˜es de conjuntos tem va´rias propriedades essenciais. Na pro´xima proposic¸a˜o
apresentamos algumas dessas propriedades.
Proposic¸a˜o 1 Sejam S, T, U e V conjuntos. Enta˜o,
(a) S ∪ (T ∪ V ) = (S ∪ T ) ∪ V (associatividade);
(b) S ∪ T = T ∪ S (comutatividade);
(c) S ∪ ∅ = S;
(d) S ⊆ S ∪ T ;
(e) S = S ∪ T se e somente se T ⊆ S;
(f) Se S ⊆ T e U ⊆ V, enta˜o S ∪ U ⊆ T ∪ V.
Dem:
Provaremos as partes (a), (c), (d) e (e). Provavelmente, muitos veˆem esses resultados como muito o´bvios
para merecerem provas. O objetivo de prova´-los aqui e´ somente apresentar algumas te´cnicas usadas
quando escrevemos provas formais.
14
(a) Uma maneira comum de mostrar que dois conjuntos sa˜o iguais e´ mostrar que um elemento x
pertence a um deles se e somente se pertencer ao outro. No nosso caso,
x ∈ S ∪ (T ∪ U) see x ∈ S ou x ∈ (T ∪ U)
see x ∈ S ou (x ∈ T ou x ∈ U)
see (x ∈ S ou x ∈ T ) ou x ∈ U
see x ∈ (S ∪ T ) ou x ∈ U
see x ∈ (S ∪ T ) ∪ U.
Observe que a prova da associatividade da unia˜o, ∪, depende da associatividade de “ou“ como um
conectivo lo´gico. Como nos pedido para mostrar que dois conjuntos sa˜o iguais, alguns acham que e´
necessa´rio escrever uma cadeia de igualdades entre conjuntos.
S ∪ (T ∪ U) = {x : x ∈ S ou x ∈ (T ∪ U)}
= {x : x ∈ S ou (x ∈ T ou x ∈ U)}
= {x : x ∈ (S ou x ∈ T ) ou x ∈ U}
= {x : x ∈ (S ∪ T ) ou x ∈ U}
= {x : x ∈ (S ∪ T ) ∪ U}.
Esta segunda prova e´ virtualmente ideˆntica a` primeira: ela e´ exatamente um pouco mais prolixa.
Tente evitar prolixidade. Matema´tica ja´ bastante e´ dif´ıcil, mesmo sem prolixidade.
(c) Um elemento x pertence a S ∪ ∅ se e somente se x ∈ S ou x ∈ ∅. Como x ∈ ∅ nunca acontece,
x ∈ S ∪ ∅ se e somente se x ∈ S. Isto e´, S ∪ ∅ = S.
(d) Para provar que S ⊆ S ∪ T, devemos mostrar que x ∈ S implica x ∈ ∪T. Suponha que x ∈ S.
Enta˜o, certatamente e´ verdade que x ∈ S ou x ∈ T. Isto e´, x ∈ S ∪ T.
(e) Primeiro mostremos que S = S ∪ T implica T ⊆ S e, enta˜o provaremos que S = S ∪ T. Para
mostrar que S = S ∪ T, implica T ⊆ S, e´ suficiente provar a contrapositiva. Suponhamos que T 6⊆ S e
mostremos que S 6= S ∪T. Se T 6⊆ S, enta˜o existe, no mı´nimo um elemento t de T que na˜o pertence a S.
Portanto, (por parte de (d) e (b))
t ∈ T ⊆ T ∪ S = S ∪ T,
mas t 6∈ S. Como t pertence a S ∪ T, mas na˜o a S, esses conjuntos na˜o sa˜o iguais.
Reciprocamente, suponha que T ⊆ S. Como ja´ mostramos que S ⊆ S ∪ T (pela parte (d)), somente
precisamos mostrar que S ∪ T ⊆ S para provar que os conjuntos S e S ∪ T sa˜o iguais Para isto suponha
que x ∈ S ∪ T. Enta˜o, x ∈ S ou x ∈ T ⊆ S. Em qualquer um dos casos, x ∈ S. Portanto, S ∪ T ⊆ S. ¥
Problema 16 Prove as partes (b) e (f) da proposic¸a˜o 1.
Em muitos casos precisamos tomar a unia˜o de uma quantidade muito grande(talvez infinita) de uma
famı´lia de conjuntos. Quando consideramos uma famı´lia de conjuntos(isto e´, um conjunto cujos elementostambe´m sa˜o conjuntos), e´ importanto estarmos atentos ao seguinte fato. Se x for um elemento de um
conjunto S, e S, por sua vez, for um elemento de uma famı´lia S de conjuntos, na˜o segue que x ∈ S. Por
exemplo, S = {0, 1, 2}, T = {2, 3, 4}, U = {5, 6} e S = {S, T, U}. Enta˜o, 1 e´ um elemento de S e S
pertence a S, mas 1 na˜o e´ um elemento de S(pois, S tem somente treˆs elementos: S, T, U).
Definic¸a˜o 6 (Unia˜o de uma Famı´lia de Conjuntos) Seja S uma famı´lia de conjuntos. Definimos
a unia˜o da famı´lia S como o conjunto de todos os x tais que x ∈ S para, no mı´nimo um conjunto S em
S. Denotamos a unia˜o da famı´lia S por ⋃
x∈S
S( ou por ⋃
S∈S
S ou por ⋃{S : S ∈ S}.) Portanto, x ∈ ⋃S se
e somente se existir S ∈ S tal que x ∈ S.
15
Notac¸a˜o 1 Se S for uma famı´lia finita de conjuntos S1, ..., Sn, enta˜o podemos escrever
k=n⋃
k=1
Sk ou S1 ∪
S2 ∪ ... ∪ Sn, em lugar de
⋃S.
Exemplo 10 Seja S = {0, 1, 3}, T = {1, 2, 3}, U = {1, 3, 4, 5} e S = {S, T, U}. Enta˜o,⋃
S = S ∪ T ∪ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
As observac¸o˜es a seguir sa˜o muito simples, mas e´ importante ter em mente.
Proposic¸a˜o 2 Se S for uma famı´lia de conjuntos e T ∈ S, enta˜o T ⊆ ⋃S.
Dem:
Se x ∈ T, enta˜o x pertence a, no mı´nimo, um dos conjuntos em S. nomeadamente T. ¥
Proposic¸a˜o 3 Se S for uma famı´lia de conjuntos e cada elemento de S estiver contido em um conjunto
U, enta˜o
⋃S ⊆ U.
Dem:
Exerc´ıcio.
¥
8.2 Intersec¸o˜es
Definic¸a˜o 7 (Intersec¸a˜o de dois Conjuntos) Sejam S e T conjuntos. A intersec¸a˜o de S e T e´ o
conjunto de todos os x tais que x ∈ S e x ∈ T.
Exemplo 11 Se S = [0, 3] e T = [2, 5], enta˜o S ∩ T = [2, 3].
Proposic¸a˜o 4 Sejam S, T, U e V conjuntos. Enta˜o,
(a) S ∩ (T ∩ U) = (S ∩ T ) ∩ U (associatividade).
(b) S ∩ T = T ∩ S (comutatividade);
(c) S ∩ ∅ = ∅;
(d) S ∩ T ⊆ S;
(e) S = S ∩ T se e somente se S ⊆ T ;
(f) Se S ⊆ T e U ⊆ V, enta˜o S ∩ U ⊆ T ∩ V.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Proposic¸a˜o 5 Sejam S, T e U conjuntos. Enta˜o,
S ∪ (T ∩ U) = (S ∪ T ) ∩ (S ∪ U).
Dem:
x ∈ S ∪ (T ∩ U) see x ∈ S ou x ∈ (T ∩ U)
see x ∈ S ou (x ∈ T e x ∈ U)
see (x ∈ S ou x ∈ T ) e (x ∈ S ou x ∈ U)
see (x ∈ S ou x ∈ T ) e (x ∈ S ou x ∈ U)
see x ∈ (S ∪ T ) ∩ (S ∪ U).
16
¥
Usamos 7 para obter a terceira linha.
Proposic¸a˜o 6 Sejam S, T e U conjuntos. Enta˜o,
S ∩ (T ∪ U) = (S ∩ T ) ∪ (S ∩ U).
Dem:
Exerc´ıcio.
¥
Exatamente como para a unia˜o, podemos tomar a unia˜o de uma famı´lia infinita de conjuntos.
Definic¸a˜o 8 (Intersec¸a˜o de uma Famı´lia de Conjuntos )
Seja S uma famı´lia de conjuntos. Definimos a intersec¸a˜o da famı´lia S como o conjunto de todos os
x tais que x ∈ S para todo conjunto S em S. Denotamos a intersec¸a˜p da famı´lia S por ⋂
x∈S
S( ou por⋂
S∈S
S ou por ⋂{S : S ∈ S}.) Portanto, x ∈ ⋂S se e somente se x ∈ S, para todo S ∈ S.
Notac¸a˜o 2 Se S for uma famı´lia finita de conjuntos S1, ..., Sn, enta˜o podemos escrever
k=n⋂
k=1
Sk ou S1 ∪
S2 ∩ ... ∩ Sn, em lugar de
⋂S.
Exemplo 12 Seja S = {0, 1, 3}, T = {1, 2, 3}, U = {1, 3, 4, 5} e S = {S, T, U}. Enta˜o,⋂
S = S ∩ T ∩ U = {1, 2}.
A proposic¸a˜o 5 pode ser generalizada para dizer que a unia˜o se distribui sobre a intersec¸a˜o de uma
famı´lia arbitra´ria de conjuntos. Analogamente, existe uma forma mais geral da proposic¸a˜o 6, que diz
que a intersec¸a˜o se distribui sobre a unia˜o de uma famı´lia arbitra´ria de conjuntos. Esses dois fatos, que
sa˜o estabelecidos precisamente nas duas pro´ximas proposic¸o˜es, sa˜o conhecidas como as leis distributivas
generalizadas.
Proposic¸a˜o 7 Seja T um conjunto e S uma famı´lia de conjuntos. Enta˜o,
T ∪ (
⋂
S) =
⋂
{T ∪ S : S ∈ S}.
Dem:
Se T for um conjunto e S uma famı´lia de conjuntos, enta˜o
x ∈ T ∪ (⋂S) see x ∈ T ou x ∈ (⋂S)
see x ∈ T ou (∀S ∈ S x ∈ S)
see (∀S ∈ S)(x ∈ T ou x ∈ S)
see (∀S ∈ S)x ∈ T ∪ S
see x ∈ ⋂{T ∪ S : S ∈ S}.
O problema 7 foi usado para obter a terceira linha. ¥
Proposic¸a˜o 8 Seja T um conjunto e S uma famı´lia de conjuntos. Enta˜o,
T ∩ (
⋃
S) =
⋃
{T ∩ S : S ∈ S}.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
17
Definic¸a˜o 9 (Disjunc¸a˜o de dois Conjuntos )
Dizemos que os conjuntos S e T sa˜o disjuntos se S ∩ T = ∅. De modo mais geral, Uma famı´lia de
conjuntos S diz-se disjunta(ou uma famı´lia de conjuntos dois a dois disjuntos) sempre que S e T forem
distintos em S(isto e´, na˜o sejam iguais), enta˜o S ∩ T = ∅.
Observac¸a˜o 1 Seja S uma famı´lia de conjuntos. Na˜o confundir as duas afirmativas seguintes.
(a) S e´ uma famı´lia disjunta(dois a dois).
(b)
⋂S = ∅.
Realmente, se S contiver, no ma´ximo, dois conjuntos, enta˜o (a) implica (b). mas, se S contiver
treˆs ou mais conjuntos, a rec´ıproca na˜o e´ necessariamente verdadeira. Por exemplo, se S = {0, 1}, T =
{3, 4}, U{0, 2} e S = {S, T, U}. Enta˜o, S na˜o e´ uma famı´lia disjunta, pois S ∩ U na˜o disjunta, mas⋂S = ∅.
Exemplo 13 Sejam S, T, U e V conjuntos.
Enta˜o, (S ∩ T ) ∪ (U ∩ V ) ⊆ (S ∪ U) ∩ (T ∪ V ).
(b) Dar um exemplo para mostrar que a igualdade na˜o necessariamente se verifica.
Dem:
Exerc´ıcio. Sugesta˜o: Use as proposic¸o˜es 1(d) e 4(f) para mostrar que S ∩ T e U ∩ V esta˜o contidos em
(S ∪ U) ∩ (T ∪ V ) e, enta˜o use 1(f).
¥
8.3 Complementos
Lembramos que encaramos todos os conjuntos que manipulamos numa situac¸a˜o particular como sendo
subconjuntos de algum conjunto “universal”. Para cada conjunto S, definimos o complemento de S, de-
notado Sc ou C(S), como o conjunto de todos os elementos de nosso conjunto universal que na˜o pertencer
a S. Isto e´, escrevemos x ∈ Sc se e somente se x 6∈ S.
Exemplo 14 Seja S o intervalo fechado (−∞, 3]. Se nada mais for especificado, encaramos este intervalo
como um subconjunto da reta real R(nosso conjunto universal). Portanto, Sc e´ o conjunto de todos x em
R que na˜o seja menor ou igual a 3. Portanto, Sc e´ o intervalo (3,+∞).
Exemplo 15 Seja S o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano tais que x ≥ 0 e y ≥ 0. Enta˜o, Sc e´
o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano tal que x < 0 ou y < 0. Isto e´,
Sc = {(x, y) : x < 0} ∪ {(x, y) : y < 0}.
As duas proposic¸o˜es seguintes sa˜o as leis de De Morgan para conjuntos. Como espera´vamos, elas sa˜o
obtidas traduzindo para a linguagem de conjuntos os fatos da lo´gica que tem os mesmos nomes.(Veja as
proposic¸o˜es 7 e 8.)
Proposic¸a˜o 9 Sejam S e T conjuntos. Enta˜o,
(S ∪ T )c = Sc ∩ T c.
18
Dem:
x ∈ (S ∪ T )c see x 6∈ S ∪ T
see ¬(x ∈ S ∪ T )
see ¬(x ∈ S ou x ∈ T )
see ¬(x ∈ S) e ¬(x ∈ T )
see x 6∈ S e x 6∈ T
see x ∈ Sc e x ∈ T c
see x ∈ Sc ∩ T c.
Esta segunda prova na˜o e´ inteiramente sem me´rito: em cada etapa somente foi usado uma definic¸a˜o
ou um fato. (Por exemplo, o resultado apresentado no exemplo 7 justifica o quarto “see”.) ¥
Proposic¸a˜o 10 Sejam S e T conjuntos. Enta˜o,
(S ∩ T )c = Sc ∪ T c.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Exatamente como as leis distributivas generalizadas para famı´lias arbitra´rias de conjuntos, tambe´m
podemos generalizar as Leis de De Morgan. O complemento da unia˜o de uma famı´lia e´ a intersec¸a˜o dos
complementos e o complemento da intersec¸a˜o de uma famı´lia e´ a unia˜o dos complementos, como veremos
nas proposic¸o˜es abaixo.
Proposic¸a˜o 11 Seja S uma famı´lia de conjuntos. Enta˜o,(⋃
S)c =
⋂
{Sc : S ∈ S}
Dem:
x ∈ (⋃S)c see x 6∈ (⋃S)
see ¬(x ∈ ⋃S)
see ¬(∃S ∈ S(x ∈ S)
see (∀S ∈ S)¬(x ∈ S)
see (∀S ∈ S)(x 6∈ S)
see (∀S ∈ S)(x ∈ Sc)
see x ∈ ⋂{Sc : S ∈ S}.
¥
Proposic¸a˜o 12 Seja S uma famı´lia de conjuntos. Enta˜o,(⋂
S)c =
⋃
{Sc : S ∈ S}
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Definic¸a˜o 10 (Complemento relativo) Se S e T forem conjuntos, definimos o complemento de T
relativamente a S, denotado S − T, como o conjunto de todos os x que pertencem a S, mas na˜o a .T
Isto e´,
S − T = S ∩ T c.
19
A operac¸a˜o “−” e´ usualmente chamada subtrac¸a˜o de conjuntos e leˆ-se S−T como “S menos T”.
Exemplo 16 Seja S = [0, 5] e T = 3, 10]. Enta˜o,S − T = [0, 3).
Um fato muito u´til e´ que a unia˜o de dois conjuntos pode ser reescrita como uma unia˜o disjunta(isto
e´, a unia˜o de dois conjuntos disjuntos).
Proposic¸a˜o 13 Sejam S e T dois conjuntos. Enta˜o, S − T e T sa˜o conjuntos disjuntos.
Dem:
Para ver que S − T e T sa˜o conjuntos disjuntos, observe que
(S − T ) ∩ T = S ∩ T c ∩ T = S ∩ ∅ = ∅.
¥
Usualmente, S e T sa˜o vistos como pertencentes ao mesmo conjunto universal, digamos U. Enta˜o,
T c ∪ T e´ todo o U e sua intersec¸a˜o com S ∪ T (que eta´ contido em U) e´ exatamente S ∪ T.
Exerc´ıcio 4 Mostre que (S − T ) ∪ T = S se e somente se T ⊆ S.
Soluc¸a˜o:
Sabemos da proposic¸a˜o 1(e) que S ∪ T = S se e somente se T ⊆ S. Mas, a proposic¸a˜o 13 nos diz que
S ∪ T = (S − T ) ∪ T = S. Portanto, (S − T ) ∪ T = S se e somente se T ⊆ S. ¥
Problema 17 Seja S = (3,+∞), T = (0, 10], U = (-4,5),V = [−2, 8] e S = {Sc, T, U, V }.
(a) Encontre
⋃S.
(b) Encontre
⋂S.
Problema 18 Sejam S, T, U conjuntos. Mostre que
(S ∩ T )− U = (S − U) ∩ (T − U).
Problema 19 Se S, T e U forem conjuntos, enta˜o mostre que
S ∩ (T − U) = (S ∩ T )− (S ∩ U).
Problema 20 Se S, T forem conjuntos, enta˜o mostre que T − S e T ∩ S sa˜o disjuntos e
T = (T − S) ∪ (T ∩ S).
Problema 21 Se S e T forem conjuntos, enta˜o mostre que
S ∩ T = S − (S − T ).
Definic¸a˜o 11 (Cobertura) Uma famı´lia de conjuntos, S, cobre (ou e´ uma cobertura para) uma
conjunto T se T ⊆ ⋃S.
Problema 22 Encontre uma famı´lia de intervalos abertos que cubra o conjunto N de nu´meros naturais
e tenha a propriedade de que a soma dos comprimentos dos intervalos seja 1.
Soluc¸a˜o:
Sugesta˜o:
∞∑
k=1
2−k = 1. ¥
20
9 Aritme´tica
9.1 Os Axiomas de Corpo
O conjunto, R, dos nu´meros reais e´ a base de todo o ca´lculo. E´ interessante observar que todas suas
propriedades podem ser deduzidas de uma pequena lista de axiomas. Na˜o pretendemos deduzir desses
axiomas todas essas propriedades(aritme´tica de frac¸o˜es, regras de expoentes, etc.) de R que usaremos
nestas notas. No entanto, discutiremos brevemente um conjunto padra˜o de axiomas para R e, com a ajuda
desses axiomas, daremos exemplos da devivac¸a˜o de algumas propriedades familiares de R. Nesta sec¸a˜o
consideraremos, primeiro, os quatro axiomas que governam as operac¸o˜es de R, a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o.
O nome que damos as consequeˆncias desses axiomas e´ aritme´tica.
Definic¸a˜o 12 (Operac¸a˜o Bina´ria) Uma operac¸a˜o bina´ria, ∗, sobre um conjunto S e´ uma regra que
associa a cada par de elementos, x e y, de S um e somente um elemento de S. (Mais precisamente, ∗ e´
uma func¸a˜o de S×S em S.)
Os quatro primeiros axiomas diz que o conjunto R de nu´meros reais sob as operac¸o˜es bina´rias de
adic¸a˜o e subtrac¸a˜o (denotadas usualmente por + e .) forma um corpo. Seguiremos a pra´tica usual de
permitir que xy substitua a notac¸a˜o x.y.
Axioma 1 (I) As operac¸o˜es + e . sa˜o associativas(isto e´, x + (y + z) = (x + y) + z e x(yz) = (xy)z,
para todo x, y, z ∈ R) e comutativas(x+ y = y + x e xy = yx, para todo x, y ∈ R).
Axioma 2 (II)
Existem identidades aditiva e multiplicativa diferentes(isto e´, exitem elementos distintos 0 e 1 em R
com 0 6= 1 tal que x+ 0 = x e x.1 = x, para tod x, y ∈ R).
Axioma 3 (III) Todo elemento x ∈ R tem um inverso aditivo(isto e´, um nu´mero −x tal que x+(−x) =
0); e todo elemento x ∈ R diferente de 0 tem um inverso multiplicativo(isto e´, um nu´mero x−1 tal que
x.x−1 = 1).
Axioma 4 (IV) A multiplicac¸a˜o e´ distributiva relativamente a` adic¸a˜o(isto e´, x(y + z) = xy + xz, para
todo x, yz ∈ R).
Exemplo 17 A multiplicac¸a˜o na˜o e´ uma operac¸a˜o bina´ria sobre o conjunto R′ = {x ∈ R : x 6= −1}.
Dem:
Realmente, o nu´mero 2 e − 12 pertencem a R′, mas seu produto na˜o. ¥
Exemplo 18 A subtrac¸a˜o e´ uma operac¸a˜o bina´ria sobre o conjunto R, mas na˜o e´ associativa nem co-
mutativa.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 23 Seja R+ o conjunto de todos os nu´meros reais x tal que x > 0. Sobre R+ defina
x ∗ y = xy
x+ xy
.
Verifique se ∗ e´ uma operac¸ao bina´ria sobre R+. Verifique se ∗ e´ associativa e se ela e´ comutativa.
R+ tem elemento identidade com respeito a ∗? (Isto e´, existe um nu´mero e de R+ tal que x ∗ e = x e
e ∗ x = x, para todo x em R+?)
21
A subtrac¸a˜o e a divisa˜o sa˜o definidas em termos da adic¸a˜o e da multiplicac¸a˜o como segue.
x− y = x+ (−y) para todo x, y ∈ R
e, para y 6= 0,
x
y
= xy−1.
Usamos a regra usual de evitar excessos de pareˆnteses: a multiplicac¸a˜o tem precedeˆncia sobre a` adic¸a˜o.
Assim, por exemplo, wx+ yz signifia (wx) + (yz).
Problema 24 A regra dada no Axioma IV e´ a lei distributiva a` esquerda. A lei distributiva a` direita,
(x+ y)z = xz + yz, e´ tambe´m verdadeira. Use os axiomas para prova´-la.
Exerc´ıcio 5 Mostre que se x for um nu´mero real tal que x+ x = x, enta˜o x = 0.
Soluc¸a˜o:
Se x+ x = x, enta˜o
x = x+ 0
= x+ (x+ (−x))
= (x+ x) + (−x)
= x+ (−x)
= 0
¥
Problema 25 Mostre que a identidade aditiva, 0, anula tudo em R sob a multiplicac¸a˜o. Isto e´, 0.x = 0,
para todo x ∈ R.
Soluc¸a˜o:
Sugesta˜o: Considere (0 + 0)x. Use 24 e 5. ¥
Exerc´ıcio 6 Dar uma prova usando somente os axiomas acima de que se w, x, y e z forem nu´meros
reais, enta˜o
(w + x)(y + z) = z + (x+ (y + w)).
,
Soluc¸a˜o:
Usemos a associatividade e comutatividade da adic¸a˜o.
(w + x) + (y + z) = ((w + x) + y) + z
= (w + (x+ y)) + z
= ((x+ y) + w) + z
= z + ((x+ y) + w)
= z + (x+ (y + z)).
¥
Problema 26 Mostre que se o produto xy de dois nu´meros for zero, enta˜o x = 0 ou y = 0. (Aqui, a
palavra “ou” e´ usada no seu sentido inclusivo: ambos x e y podem ser 0. Ele e´ sempre usado desse modo
em matema´tica.)
Soluc¸a˜o:
Sugesta˜o: Basta mostrar que se y na˜o for zero, enta˜o x tem que ser zero. Considere (xy)y−1 e use 6. ¥
22
9.2 Unicidades das Identidades
O Axioma II garante somente a existeˆncia das identidades aditiva e multiplicativa, 0 e 1, respectivamente.
E´ natural perguntar sobre se elas sa˜o u´nicas. Poderiam existir dois nu´meros reais que atuariam como as
identidades aditivas? Isto e´, poderiam existir 0′ 6= 0, que satisfizesse
x+ 0 = x (3)
x+ 0′ = x, (4)
para todo x em R? A resposta e´ na˜o: existe uma u´nica identidade aditiva em R. A prova e´ muito
simples.
Proposic¸a˜o 14 A identidade aditiva em R e´ u´nica.
Dem:
Suponha que os nu´meros reais 0 e 0′ satisfazem 3 e 4, para todo nu´mero real x. Enta˜o,
0 = 0 + 0′
= 0′ + 0
= 0′.
As treˆs igualdades sa˜o justificadas, respectivamente, por 4, o axioma I, e 3.
¥
Proposic¸a˜o 15 A identidade multipplicativa 1 em R e´ u´nica.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
9.3 Unicidades dos Inversos
A questa˜o da unicidade tambe´m aparece para os inversos. O Axioma III so´ garante a existeˆncia e na˜o
a unicidade. Esta deve ser uma consequeˆncia do axioma. E´ poss´ıvel para um nu´mero real ter mais que
dois inversos? Isto e´, se x for um nu´mero real, sera´ poss´ıvel que existam dois nu´meros reais diferentes,
digamos −x e x, tal que as equac¸o˜es
x+ (−x) = 0 e x+ x = .0 (5)
se verificam? A resposta e´ na˜o.
Proposic¸a˜o 16 Os inversos aditivos sa˜o u´nicos.
Dem:
Suponha que as equac¸o˜es 5 sejam verdadeiras. Mostremos que −x e x sa˜o os mesmos nu´meros.
x = x+ 0
= x+ (x+ (−x))
= (x+ x) + (−x)
= (x+ x) + (−x)
= 0 + (−x)
= −x.
¥
Problema 27 A prova da proposic¸a˜o 16 conte´m sete sinais de igualdade. Justifique cada uma.
23
Problema 28 Prove que em R os inversos multiplicativos sa˜o u´nicos.
Exemplo 19 Saber que as identidades e os inversos sa˜o u´nicos e´ muito importante para deduzir outras
propriedades de nu´meros reais. Por exemplo, o fato muito comum de que
−(−x) = x
seque imediatamente da equac¸a˜o
(−x) + x = 0. (6)
O que a proposic¸a˜o 16 nos diz e´ que se a + b = 0, enta˜o b devera´ ser o inverso aditivo de a :
simbolicamente, x = −(−x).
Problema 29 Mostreque se x for um nu´mero real diferente de zero, enta˜o
(x−1)−1 = x.
9.4 Outra Consequeˆncia da Unicidade
Podemos usar a proposic¸a˜o 16 para mostrar que em R
−(x+ y) = −x− y. (7)
Antes de provarmos esta proposic¸a˜o sera´ interessante observar duas utilizac¸o˜es do sinal “−” no lado
direito de 7. O primeiro, antes de “x” ele indica o inverso aditivo de x: o segundo indica subtrac¸a˜o.
Portanto, −x − y significa (−x) + (−y). A ide´ia por tra´s da prova e´ adicionar x + y ao lado direito de
7. Se o resultado for 0, enta˜o a unicidade dos inversos aditivos, na proposic¸a˜o 16, nos diz que −x− y e´
o inverso aditivo de x+ y. Portanto,
(x+ y) + (−x− y) = (x+ y) + ((−x) + (−y))
= (y + x) + ((−x) + (−y))
= y + (x+ ((−x) + (−y)))
= y + ((x+ (−x)) + (−y))
= y + (0 + 9− y))
= (y + 0) + (−y)
= y + (−y)
= 0.
Problema 30 Justifique cada etapa na prova da equac¸a˜o 7.
Problema 31 Prove que se x e y forem nu´meros reais diferentes de zero, enta˜o
(xy)−1 = y−1x−1.
Problema 32 Mostre que
(−1)x = −x,
para todo nu´mero real x. Dem:
Sugesta˜o: Use as unicidades dos inversos aditivos. ¥
24
Problema 33 Mostre que
−(xy)(−x)y = x(−y)
e que
(−x)(−y) = xy,
para todo x e y em R. Sugesta˜o: Para a primeira igualdade, adicione (−x)y a xy.
Problema 34 Use os quatro primeiros axiomas para R para desenvolver as regras da adic¸a˜o, multi-
plicac¸a˜o, subtrac¸a˜o e divisa˜o de frac¸o˜es. Mostre, por exemplo, que
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
,
se a e b forem na˜o nulos. (Lembre-se que, por definic¸a˜o, ab +
c
d e´ ab
−1 + cd−1 e (ad+ bc)(bd)−1.)
10 Propriedades da ordem de R
O segundo grupo de axiomas sa˜o os axiomas de ordem. Estes axiomas diz respeito a um subconjunto P
de R(chamado conjunto dos nu´meros estritamente positivos).
Axioma 5 Axioma(V). O conjunto P e´ fechado sob a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o. (Isto e´, se x e y per-
tencerem a P, enta˜o x+ y e xy pertencera˜o a P.)
Axioma 6 Axioma(VI). Para cada nu´mero real x temos exatamente uma das seguintes alternativas:
x = 0, x ∈ P ou −x ∈ P. Este axioma e´ chamado axioma da tricotomia.
Defina a relac¸a˜o < sobre R por
x < y se e somente se y − x ∈ P.
Defina tambe´m > sobre R por
x > y se e somente se y < x.
Escreveremos x ≤ y se x < y ou x = y, e x ≥ y se y ≤ x.
Proposic¸a˜o 17 A relac¸a˜o < sobre R e´ trasitiva(isto e´, se x < y e y < z, enta˜o x < z).
Dem:
Se x < y e y < z, enta˜o y − x ∈ P e z − y ∈ P. Portanto,
z − x = z + (−x)
= (z + 0) + (−x)
= (z + (y + (−y))) + (−x)
= (z + ((−y) + y)) + (−x)
= ((z + (−y)) + y) + (−x)
= (z + (−y)) + (y + (−x)0
= (z − y) + (y − x)) ∈ P.
Isto mostra que x < z. ¥
Problema 35 Justificar cada um dos sete sinais de igualdade na prova da proposic¸a˜o 17.
25
Exerc´ıcio 7 Mostre que um nu´mero real x pertence ao conjunto P se e somente se x > 0.
Dem:
Por definic¸a˜o, x > 0 se e somente se 0 < x e isto se verifica(novamente, por definic¸a˜o) se e somente se
x− 0 ∈ P. Como 0− 0 = 0(que e´ o´bvio, pelo fato de que 0 + 0 = 0 e o fato de que a identidade aditiva e´
u´nica), concluimos que x > 0 se e somente se
x = x+ 0 = x+ (−0) = x− 0 ∈ P.
¥
Proposic¸a˜o 18 Se, em R, x > 0 e y < z, enta˜o xy < yz.
Dem:
Pelo exerc´ıcio anterior, x > 0 implica que x ∈ P e y < z implica que z − y ∈ P. Como P e´ fechado com
relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o, x(z − y) pertence a P. Portanto,
xz − xy = xz + (−(xy))
= xz + x(−y) pelo problema 33
= x(z + (−y))
= x(z − y) ∈ P.
Isto mostra que xy < xz. ¥
Proposic¸a˜o 19 Se, x, y, z ∈ R e y < z, enta˜o x+ y < x+ z.
Dem:
Sugesta˜o: Use a equac¸a˜o 7. ¥
Proposic¸a˜o 20 Se u < x e y < z, enta˜o u+ y < x+ z.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 36 Mostre que 1 > 0.
Dem:
Sugesta˜o: Observe que 1 e 0 sa˜o, supostamente, distintos. (Atente para o axioma sobre as identidades
aditivas e multiplicativas.) Se 1 na˜o pertencer a P, que poderemos dizer sobre o nu´mero -1? que tal
(−1)(−1)? Use o probelma 33. ¥
Proposic¸a˜o 21 Se x > 0, enta˜o x−1 > 0.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Proposic¸a˜o 22 Se 0 < x < y, enta˜o 1y <
1
x .
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Proposic¸a˜o 23 Se 0 < u < x e 0 < y < z, enta˜o uy < xz.
Dem:
Como 0 < u < x e y > 0, podemos inferir do exerc´ıcio 18 que yu < yx. Analogamente, obtemos xy < xz
das condic¸o˜es 0 < y < z e x > 0(que se verifica pela transitividade de <, proposic¸a˜o 17). Enta˜o
uy = yu < yx = xy < xz.
26
Portanto, temos a desigualdade uy < xz, que segue novamente pela transitivdade de < . ¥
Problema 37 Mostre que x < 0 se e somente se −x > 0.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 38 Mostre que y < z e x < 0, enta˜o xz < xy.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 39 Mostre que x < y se e somente se −y < −x.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 40 Suponha que x, y ≥ 0 e x2 = y2. Mostre que x = y.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 41 Mostre, com detalhes, como os resultados anteriores podem ser usados para resolver a
desigualdade
5
x+ 3
< 2− 1
x− 1 .
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 42 Seja C = {(a, b) : a, b ∈ R}. Sobre C defina as operac¸o˜es + e . por
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
e
(a, b).(c, d) = (ac− bd, ad+ bc).
Mostre que C com essas operac¸o˜es e´ um corpo. (Isto e´, C satisfaz os axiomas I-IV.) Este e´ o corpo
nu´meros complexos.
Determine se e´ poss´ıvel tornar C num corpo ordenado. (Isto e´, determine se e´ poss´ıvel escolher um
subconjunto P de C que satisfac¸a os axiomas V e VI.)
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Portanto, os axiomas apresentados define um corpo ordenado. Para obter o corpo ordenado de
nu´meros reais particular, precisamos de mais um axioma. Assumimos que R e´ um corpo ordenado
completo. Isto e´, satisfaz o axioma do supremo. Mais adiante, discutiremos com detalhes este axioma.
Existe algo mais sobre a axiomatizac¸a˜o de R que na˜o discutimos anteriormente. Por exemplo, como
sabemos que os axiomas sa˜o consistentes? Isto e´, como sabemos que eles na˜o geram uma contradic¸a˜o?
Para isto, construimos um modelo de R, ou seja, um objeto matema´tico concreto que satisfaz todos os
axiomas de R. Um procedimento padra˜o e´ definir os inteiros positivos em termos de conjuntos: 0 e´ o
27
conjunto vazio, ∅, 1 e´ o conjunto cujo o u´nico e´ 0, o nu´mero 2 e´ o conjunto cujos u´nicos elementos sa˜o
0 e 1, e assim por diante. Usando os inteiros positivos podemos construir o conjunto Z, de todos os
inteiros. ...,-2,-1,0,1,2,... Desses construimos o conjunto, Q, dos nu´meros racionais(isto e´, os nu´meros
da forma pq , onde p e q sa˜o inteiros, com q diferente de zero. Finalmente, os reais sa˜o constru´ıdos dos
racionais.
Outro ponto que requer nossa atenc¸a˜o e´ o uso do artigo definido na expressa˜o “os nu´meros reais”.
Isto so´ faz sentido se for mostrado que os axiomas sa˜o catego´ricos, isto e´, se existir “essencialmente”
somente um modelo para os axiomas. Acontece que isto esta´ correto sobre os axiomas para os nu´meros
reais, R.
11 Nu´meros Naturais e Induc¸a˜o Matema´tica
O desenvolvimento dos nu´meros reais esboc¸ado na sec¸a˜o anterior nada diz sobre os nu´meros naturais.
Aquele esboc¸o so´ deu nomes para os nu´meros 0, 1 e -1.
Definic¸a˜o 13 (Definic¸a˜o Indutiva dos Naturais) Uma colec¸a˜o J de nu´meros reias e´ indutiva se
(1) 1 ∈ J, e
(2) se x ∈ J, enta˜o x+ 1 ∈ J.
Exemplo 20 O pro´prio conjunto R e´ indutivo. Tambe´m sa˜o indutivos os intervalos (0,+∞), [−1,+∞)
e [1,+∞).
Proposic¸a˜o 24 Seja A um subconjunto indutivo de R. Enta˜o, ⋂A tambe´m e´ indutivo.
Dem:
Como 1 pertence a A, para todo A ∈ A, e´ claro que 1 ∈ ⋂A. Se x ∈ ⋂A, enta˜o x ∈ A, para todo A ∈ A.
Como cada A e´ indutivo, x+ 1 ∈ A, para todo A ∈ A. Isto e´, x+ 1 ∈ ⋂A. ¥
Definic¸a˜o 14 (Nu´meros Naturais) Seja J a famı´lia de todos os subconjuntos indutivos de R. Defina
N :=
⋂
J .
Enta˜o, chamamos N de conjunto dos nu´meros naturais.
Observe que, segundo a proposic¸a˜o 24, o conjunto N e´ indutivo. Ale´m disso, ele e´ o menor conjunto
indutivo,no sentido de que ele esta´ contido em todo subconjunto indutivo de R. Os elementos de N tem
nomes padra˜o. Defina 2 := 1+1. Como 1 pertence a N e N e´ indutivo, 2 pertence a N. Defina 3 := 2+1.
Como 2 pertence a N, 3 tambe´m pertence a N. Defina 4 := 3 + 1, etc.
Definic¸a˜o 15 (Conjunto dos Inteiros) O conjunto dos inteiros, denotado por Z, e´ definido como
Z := −N ∪ {0} ∪ N,
onde, −N = {−n : n ∈ N.}
A pro´xima proposic¸a˜o e´ praticamente o´bvia. No entanto, como ela e´ o instrumento essencial de va´rios
argumentos que seguem, vamos estabeleˆ-la formalmente.
Proposic¸a˜o 25 Se n ∈ N, enta˜o n ≥ 1.
Dem:
Como o conjunto [1,+∞) e´ indutivo, ele deve conter N. ¥
28
A observac¸a˜o feita anteriormente de que N e´ o menor conjunto indutivo implica claramente que
nenhum subconjunto pro´prio de N e´ indutivo. Este fato muito simples e´ chamado pric´ıpio de induc¸a˜o
matema´tica.
Teorema 1 (Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica) Todo subconjunto indutivo de N e´ igual a N.
Detalhando a definic¸a˜o de “conjunto indutivo” do teorema anterior obteremos uma afirmativa mais
longa e mais familiar do princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica.
Corola´rio 1 Seja S um subconjunto de N tal que
(1) 1 ∈ S, e
(2) n ∈ S implica n+ 1 ∈ S.
Enta˜o, S = N.
Outra versa˜o do princ´ıpio de induc¸a˜o pode ser estabelicida como segue.
Corola´rio 2 Seja P (n) uma asserc¸a˜o(proposic¸a˜o) sobre nu´meros naturais tal que
(1) P (1) e´ verdadeira, e
(2) P (n) verdadeira implica P (n+ 1) tambe´m e´ verdadeira.
Enta˜o, P (n) e´ verdadeira, para todo n ∈ N.
Dem:
No corola´rio 1, seja S = {n ∈ N : P (n) seja verdadeira}. Enta˜o, 1 ∈ S e se n ∈ S tambe´m
n+ 1 ∈ S. Portanto, S = N. Isto e´, P (n) e´ verdadeira para todo n ∈ N.
¥
Exerc´ıcio 8 Use induc¸a˜o matema´tica para provar a seguinte asserc¸a˜o. A soma dos n primeiros nu´meros
naturais e´ 12n(n+ 1).
Soluc¸a˜o:
Sugesta˜o: Lembre que se p e q forem inteiros, com p ≤ q, e se cp, cp+1, ..., cq forem nu´meros reais, enta˜o
sua soma cp + cp+1 + ...+ cq pode ser denotado por
q∑
k=p
ck. Usando essa notac¸a˜o de somato´rio, podemos
escrever a conclusa˜o desejado como
n∑
k=1
k = n(n+1)2 .
Depois dessa sugesta˜o, faremos a prova.
Seja S o conjunto de todos os nu´meros naturais para os quais a asserc¸a˜o seja verdadeira. Certamente
1 pertence a S. Se n ∈ S, enta˜o
n∑
k=1
k = n(n+1)2 . Portanto,
n+1∑
k=1
k = (
n∑
k=1
k) + (n+ 1)
= n(n+1)2 + (n+ 1)
= (n+1)(n+2)2 ,
que mostra que n + 1 ∈ S. Portanto, S e´ um subconjunto indutivo de N. Podemos concluir do corola´rio
1 que S = N. Em palavras, a asserc¸a˜o se verifica para tod n ∈ N.
¥
29
E´ essencialmente o´bvio que na˜o existe nada crucial em comec¸ar a induc¸a˜o por 1. Seja m um inteiro
qualquer e P (m) uma proposic¸a˜o concernente a n ≥ m. Se provarmos que P (m) e´ verdadeira e que,
sempre que P (n) for verdadeira P (n + 1) tambe´m sera´, enta˜o podemos concluir que P (n) e´ verdadeira
para todo n ≥ m. [Prova: aplique o corola´rio 2 a` proposic¸a˜o Q, onde Q(n) = P (n+m− 1).]
Problema 43 Sejam a e b reais e m ∈ N. Enta˜o,
am − bm = (a− b)
m−1∑
k=0
akbm−k−1.
Soluc¸a˜o:
Sugesta˜o: Multiplique o lado direito. Este na˜o e´ um problema de induc¸a˜o. ¥
Problema 44 Se r ∈ R, r 6= 1 e n ∈ N. Enta˜o,
n∑
k=0
rk =
1− rn+1
1− r .
Soluc¸a˜o:
Sugesta˜o: Use 43.
¥
Definic¸a˜o 16 ( Fator ) Sejam m,n ∈ N. Dizemos que m e´ um fator de n se nm pertencer a N. Observe
que 1 e n sempre sa˜o fatores de n. Eles sera˜o chamados fatores triviais de n. O nu´mero n > 1 e´
composto se e ele tiver no mı´nimo um fator na˜o trivial. (Por exemplo, 20 tem 2,4,5 e 10 como fatores
na˜o triviais. Portanto, 20 e´ composto.) Um nu´mero n > 1 diz-se primo se na˜o for composto. (Por
exemplo, 7 e´ primo. Seus u´nicos fatores sa˜o 1 e 7.)
Problema 45 Prove que se n ∈ N e 2n − 1 for primo, enta˜o n tambe´m sera´.
Soluc¸a˜o:
Sugesta˜o: Prove a contrapositiva. Use o problema 43. Ilustre sua te´cnica encontrando um fator na˜o
trivial de 2403 − 1. ¥
Problema 46 Mostre que
n∑
k=1
k2 = n(n+1)(2n+1)6 , para tod n ∈ N.
Soluc¸a˜o:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 47 Use somente a definic¸a˜o de N e o resultados dados nesta subsecc¸a˜o, para provar (a) e (b).
(a) Se m,n ∈ N e m < n, enta˜o n−m ∈ N. Sugesta˜o: Uma prova deste fato envolve uma induc¸a˜o dentro
de outra induc¸a˜o. Reescreva a asserc¸a˜o a ser provada como “para todo m ∈ N e´ verdade que:
se n ∈ N e n > m, enta˜o n−m ∈ N′′. (8)
Prove esta asserc¸a˜o por induc¸a˜o sobre m. Isto e´, mostre que 8 se verifica para m = 1 e, enta˜o,
mostre que ele se verifica para k+1, se ele se verificar para k. Para mostrar que 8 se verifica para
m = 1, prove que o conjunto
J := {1} ∪ n ∈ N : n− 1 ∈ N}
e´ um conjunto indutivo.
30
(b) Seja n ∈ N. Na˜o existe um nu´mero natural k tal que n < k < n + 1. Sugesta˜o: Argumente por
contradic¸a˜o e use a parte (a).
Problema 48 (O Teorema Binomial) Se x, y ∈ R e n ∈ N, enta˜o(
n
k
)
=
n!
k!(n− k)! ,
para 0 ≤ k ≤ n.
O resultado final desta subsection e´ o princ´ıpio da boa ordem. Ele assegura que todo subconjunto na˜o
vazio de nu´meros naturais tem um menor elemento.
Proposic¸a˜o 26 Se ∅ 6= K ⊆ N, enta˜o existe a ∈ K tal que a ≤ k, para todo k ∈ K.
Dem:
Seja K um subconjunto de N que na˜o tem menor elemento. Mostremos que K e´ vazio. Seja
J = {n ∈ N : n < k, para todo k ∈ K}.
Certamente 1 pertence a J . [Se na˜o fosse o caso, existiria c ∈ K tal que 1 ≥ c. Da proposic¸a˜o 25,
tiramos que c = 1. Portanto, 1 pertence a K e e´ o menor elemento de K, contrariando nossa hipo´tese.]
Agora, suponha que n ∈ J e provemos que n + 1 ∈ J. Se n + 1 6∈ J, enta˜o existe k ∈ K tal que
n+1 ≥ k. Pela hipo´tese da induc¸a˜o, n < k. Portanto, n < k ≤ n+1. Concluimos do problema 8(b), que
k = n+ 1. Mas, como n e´ menor que todo elemento de K, isto implica que n+ 1 e´ o menor elemento de
K. Mas, K na˜o tem menor elemento. Portanto, concluimos que n+ 1 ∈ J.
Mostramos que J e´ um subconjunto indutivo de N. Enta˜o, J = N(pelo teorema 1). Se K contivesse
algum elemento, digamos j, enta˜o j ∈ J. Em particular, j < j. Como isto na˜o e´ poss´ıvel, conclu´ımos que
K = ∅. ¥
Problema 49 (Este e´ uma ligeira modificac¸a˜o do princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica, a`s vezes u´til.) Seja
P (n) uma proprosic¸a˜o concernente a nu´meros naturais n. Se P (n) for verdadeira, sempre que P (k) for
verdadeira, para todo k ∈ N tal que k < n, enta˜o P (n) e´ verdadeira para todo n.
Soluc¸a˜o:
Sugesta˜o: Use o princ´ıpio da boa ordem. ¥
12 Supremos e I´nfimos
12.1 Majorantes e Minorantes
Definic¸a˜o 17 (Majorante e Minorante) Seja A um subconjunto de nu´meros reais. Um nu´mero u e´
um majorante para A se u ≥ a, para todo elemento a ∈ A. Se o conjunto A tiver, pelo menos, um
majorante ele diz-se um conjunto majorado. Analogamente, v diz-se um minorante para A se v ≤ a,
para todo a ∈ A. Um conjunto que tiver pelo menos um minorante diz-se minorado. Um conjunto
A majorado e minorado diz-se limitado. (Talvez seja necessa´ria enfatizar que quando dizemos, por
exemplo, que A tem um majorante queremos dizer somente que existe um nu´mero real u que e´ maior que
qualquer elemento de A. Na˜o queremos dizer que u pertenc¸a necessariamente a A, embora, a`s vezes, isso
acontec¸a.)
Exemplo 21 O conjunto A = {x ∈ R : |x− 2| < 5} e´ limitado.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
31
Exemplo 22 O intervalo aberto (−1, 1) tem uma quantidade infinita de majorantes. Realmente, qualquer
subconjunto de reais que seja majorado tem infinitos majorantes.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Exemplo 23 O conjunto A = {x ∈ R : x3 − x ≤ 0} na˜o e´ limitado.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
12.2 Supremos e I´nfimos
Definic¸a˜o 18 (Supremo e ı`nfimo)
Um nu´mero l e´ o supremo de um conjunto de nu´meros reais A se
(1) l for um majorante para A, e
(2) ale´m disso, l for o menor dos majorantes, isto e´, se u for outro majorantepara A, enta˜o l ≤ u.
Se l for o supremo de A, podemos escrever l = supA. Analogamente, um minorante i de um conjunto
de nu´meros reais, A, e´ o infimo de A se ele for maior ou igual que todo minorante de A. Se i for um
minorante de A, podemos escrever i = inf A.
Se A na˜o for limitado superiormente(majorado, e consequentemente, supA na˜o existir), e´ comum es-
crever supA =∞, para expressar esse fato. Analogamente, se A na˜o for limitado inferiormente(minorado),
escreveremos inf A = −∞.
Observac¸a˜o 2 A expressa˜o “supA =∞” na˜o quer que supA exista e seja igual a algum objeto chamado
∞. A expressa˜o significa que A na˜o e´ majorado.
E´ claro que o supremo e o ı´nfimo, quando existem, sa˜o u´nicos. Se, por exemplo, l e m forem ambos
o supremo de A, enta˜o l ≤ m e m ≤ l e, por conseguinte, l = m.
Definic¸a˜o 19 (Ma´ximo e Mı´nimo ) Seja A ⊆ R. Se existir um nu´mero M pertencente a A tal que
M ≥ a, para todo a ∈ A, este elemento e´ o ma´ximo de A, denotado por maxA.
Analogamente, se existir um nu´mero m pertencente a A tal que m ≤ a, para todo a ∈ A, este nu´mero
e´ o mı´nimo de A, denotado minA.
Exemplo 24 Embora o maior elemento de um conjunto (quando ele existe) seja sempre o supremo, a
rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. E´ poss´ıvel que um conjunto tenha o supremo, mas na˜o ma´ximo. O intervalo
(−2, 3) tem um supremo (nomeadamente, 3), mas ele na˜o tem ma´ximo. O mesmo poder´ıamos dizer do
mı´nimo e ı´nfimo.
Exemplo 25 Se A = {x ∈ R : |x| < 4}, enta˜o inf A = −4 e o supA = 4. Mas, A na˜o tem ma´ximo nem
mı´nimo. Se B = {|x| : x < 4, } enta˜o inf B = 0, mas supB na˜o existe. (E´ correto escreve supB =∞.).
Ale´m disso, B tem o menor elemento(mı´nimo), minB = 0, mas, na˜o o maior elemento(ma´ximo).
Problema 50 Para cada um dos seguintes conjuntos encontre o supremo e o ı´nfimo(se eles existirem).
(a) A = {x ∈ R : |x− 3| < 5}.
(b) B = {|x− 3| : x < 5}.
(c) C = {|x− 3| : x > 5}.
32
Problema 51 Mostre que o conjunto P dos nu´meros reais positivos tem um ı´nfimo, mas na˜o mı´nimo.
Exerc´ıcio 9 Seja f(x) = x2 − 4x+ 3, para todo x ∈ R. Seja A = {x : f(x) < 3} e B = {f(x) : x < 3}.
(a) Encontre supA e inf A (se eles existirem).
(b) Encontre supB e inf B (se eles existirem).
Soluc¸a˜o:
(a) Um nu´mero x pertence ao conjunto A se x2 − 4x + 3 < 3. Isto e´, se x(x − 4) < 0. Isto ocorre se e
somente se x > 0 e x < 4. Portanto, A = (0, 4). Desse modo, supA = 4 e inf A = 0.
(b) Usando o ca´lculo de uma varia´vel, vemos que f ′(x) = 2x−4. Portanto, podemos concluir que a func¸a˜o
f e´ decrescente sobre o intervalo (−∞, 2) e e´ crescente em (2, 3). Logo, f assume um mı´nimo em
x = 2. Como f(2) = −1, temos que B = [−1,∞). Portanto, supB na˜o existe e inf B = −1.
¥
Exemplo 26 Seja A =
{
x ∈ R : 5x−3 − 3 ≥ 0.}. enta˜o, supA = maxA = 143 e inf A = 3. Mas, minA
na˜o existe. Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Exemplo 27 Seja f(x) = − 12 + sen x, para x ∈ R.
(a) Se A = {f(x) : x ∈ R}, enta˜o inf A = − 32 e supA = 12 .
(b) Se B = {|f(x)| : x ∈ R}, enta˜o inf B = 0 e supB = 32 .
Dem:
xerc´ıcio. ¥
Exemplo 28 Seja f(x) = x20 − 2, para 0 < x < 1.
(a) Se A = {f(x) : 0 < x < 1, } enta˜o inf A = −2 e supA = −1.
(b) Se B = {|f(x)| : 0 < x < 1, } enta˜o inf B = 1 e supB = 2.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Exemplo 29 Seja f(x) = x20 − 14 , para 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Se A = {f(x) : 0 ≤ x ≤ 1, } enta˜o inf A = − 14 e supA = 34 .
(b) Se B = {|f(x)| : 0 ≤ x ≤ 1, } enta˜o inf B = 0 e supB = 34 .
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Exemplo 30 Seja f(x) = −4x2 − 4x+ 3, para todo x ∈ R. Seja A = {x ∈ R : f(x) > 0} e B = {f(x) :
−2 < x < 2}.
(a) Encontre inf A e supA (se eles existirem).
33
(b) Encontre inf B e supB( se eles exstirem).
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Problema 52 Para c > 0, defina uma func¸a˜o f em [0,∞) por f(x) = xe−ex. Ache sup{|f(x)| : x > 0}.
Problema 53 Para cada n = 1, 2, 3, ..., defina uma func¸a˜o fn em R por fn(x) = x1+nx2 . Para cada n,
seja An = {fn(x) : x ∈ R}. Encontre An e supAn.
12.3 O Supremo e o Axioma para R
Agora, vamos estabelecer nosso axioma do supremo (ou da completude da ordem) para o conjunto dos
nu´meros reais, R.
Axioma 7 Axioma (VII). Todo conjunto na˜o vazio de nu´meros reais limitado superiormente tem supremo.
Notac¸a˜o 3 Se A e B forem subconjuntos de R e α ∈ R, enta˜o
A+B = {a+ b : a ∈ A e b ∈ B}.
AB = {ab : a ∈ A e b ∈ B}.
αB = {α}B = {αb : b ∈ B}.
−A = (−1)A = {−a : a ∈ A}.
Proposic¸a˜o 27 Seja A um subconjunto na˜o vazio de nu´meros reais limitado inferiormente. Enta˜o, A
tem ı´nfimo. Ale´m disso,
inf A = −supA.
Dem:
Seja b um minorante para A. Enta˜o, como b ≤ a, para todo a ∈ A, temos que −b ≥ −a, para todo a ∈ A.
Isto nos diz que −b e´ um majorante para −A. Pelo axioma do supremo, 7, o conjunto −A tem supremo,
digamos l. Mostramos que −l e´ o ı´nfimo de A. Certamente, ele e´ um minorante(l ≥ −a, para todo a ∈ A
implica −l ≤ a, para todo a ∈ a).
Novamente, tomando b um minorante qualquer para A, vemos que, como acima, −b e´ um majorante
para −A. Agora, l ≤ −b, pois l e´ o supremo de −A. Portanto, −l ≥ b. Mostramos, enta˜o, que
inf A = −l = −sup(−A).
¥
Corola´rio 3 Se A for um subconjunto na˜o vazio de nu´meros reais limitado superiormente, enta˜o
supA = −inf A.
Dem:
Se A for limitado superiormente, enta˜o -A e´ limitado inferiormente. Pela proposic¸a˜o anterior, inf(−A) =
−supA. ¥
Proposic¸a˜o 28 Suponha que ∅ 6= A ⊆ B ⊆ R.
(a) Se B for limitado superiormente, enta˜o A tambe´m sera´ e supA ≤ supB.
34
(b) Se B for limitado inferiormente, enta˜o A tambe´m sera´ e inf A ≥ inf B.
Dem:
Exerc´ıcio. ¥
Proposic¸a˜o 29 Sejam A e B subconjuntos de nu´meros reais, na˜o vazios, limitados superiormente.
Enta˜o, A+B e´ limitado superiormente e
sup(A+B) = supA+ supB.
Dem:
Exerc´ıcio. Sugesta˜o: E´ fa´cil mostrar que se l for o supremo de A e i o ı´nfimo de B, enta˜o l + i e´ um
majorante para A+B. Para mostrar que l+i e´ o supremo de A+B, argumente por contradic¸a˜o. Suponha
que existe um majorante u de A+B que e´ seja menor que l+ i. Encontre nu´meros a em A e b em B que
sejam, respectivamente, pro´ximos a l e a i tal que sua soma excede u. ¥
Proposic¸a˜o 30 Sejam A e B subconjuntos na˜o vazios de [0,∞) limitados superiormente. Enta˜o, o
conjunto AB tambe´m e´ limitado superiormente e
sup(AB) = (supA)sup(B).
Dem:
Suponha que l = supA e m = inf B. Suponha, tambe´m, que l,m > 0. Se x ∈ AB, enta˜o existe a ∈ A e
b ∈ B tal que x = ab. De a ≤ l e b ≤ m, segue claramente que x ≤ lm. Portanto, lm e´ um majorante de
AB.
Como AB e´ limitado superiormente, ele tem supremo, digamos c. Claramente, c ≤ lm. Mostremos
que lm ≤ c. Assuma o contra´rio, que c < lm. Seja ²lm− c. Como ² > 0 e l e´ o supremos de A, podemos
escolher um elemento A de A tal que a > l − ²(2m)−1. Analogamente, podemos escolher b ∈ B tal que
b > m− ²(el)−1. Enta˜o,
ab > (l − ²(2m)−1)(m− ²(2l)−1)
= lm− ²+ ²2(4lm)−1
> lm− ²
= c.
Isto e´ uma contradic¸a˜o, pois ab pertence a AB e c e´ um majorante de AB. Mostramos, enta˜o, que
sup(AB) = c = lm = (supA)(supB),
como quer´ıamos. ¥
Observac¸a˜o 3 Na˜o e´ particularmente dif´ıcil seguir os detalhes desta u´ltima demonstrac¸a˜o. Mas, na˜o e´ a
mesma coisa que dizer que ela na˜o e´ dif´ıcil. E´ fa´cil ver, por exemplo, que se escolhessemos a > l−²(2m)−1
e b > m − ²(2l)−1, enta˜o ab > c. Mas, o leitor poderia dizer “Bem, isso certamente e´ uma prova e ela
parece muito inteligente. Mas, so´ na˜o entendi como voceˆ sabia que tinha de escolher a e b exatamente
daquela maneira particular(e, porque na˜o dizer, peculiar?)? Isto foi inspirac¸a˜o ou uma bola de cristal?
ou o que?” A questa˜o merece resposta. Uma vez tenhamos assumido que c e´ um majorante de AB menor
que lm (e colocar ² = lm− c), esperamos escolher a ∈ A pro´ximo a l e b ∈ B pro´ximo a m de tal modo
que seu produto exceda c. E´ dif´ıcil dizer imediatamente qua˜o pro´ximo a deve ser de l(e b de m). Digamos
que a > l−δ1 e b > m−δ2, onde δ1 e δ2 sa˜o nu´meros