Conversão de energia

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Apostila de 
 
CONVERSÃO DE 
ENERGIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
Prof. Dsc. Elenilton Teodoro Domingues 
 
 
 
 
2013 
Aracaju, Agosto 
 
 
 
 
 i
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 0 ............................................................................................................................. 1 
0.1.  INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 1 
0.1.1.  CAMPO MAGNÉTICO ..................................................................................................... 1 
0.1.2.  MAGNÉTISMO............................................................................................................... 1 
0.1.3.  LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO OU LINHAS DE INDUÇÃO ............................................... 2 
0.1.4.  CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA ..................................................................................... 3 
0.1.5.  SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS .......................................................................................... 3 
CAPÍTULO 1 ............................................................................................................................. 4 
1.1.  LEI DE BIOT E SAVART ................................................................................................. 4 
1.2.  FORÇA MAGNÉTICA EM CONDUTORES ......................................................................... 19 
CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................... 43 
2.1.  MATERIAIS MAGNÉTICOS ............................................................................................ 43 
2.2.  CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO ....................................................................................... 43 
2.3.  LAÇO DE HISTERESE, REMANÊNCIA E FORÇA COERCITIVA ............................................ 45 
2.4.  FLUXO MAGNÉTICO .................................................................................................... 46 
2.5.  PERMEABILIDADE MAGNÉTICA .................................................................................... 47 
2.6.  CIRCUITOS MAGNÉTICOS ........................................................................................... 48 
CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................... 65 
1.4.  INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 65 
1.5.  OBJETIVO .................................................................................................................. 67 
1.6.  PRINCÍPIO DE CONSTRUÇÃO DE UM TRANSFORMADOR 1Ø ........................................... 67 
1.7.  TIPOS DE TRANSFORMADORES ................................................................................... 68 
1.8.  SÍMBOLOS DOS TRANSFORMADORES .......................................................................... 69 
1.9.  PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO ................................................................................. 70 
1.10.  PERDAS NO TRANSFORMADOR .................................................................................... 72 
1.11.  PERDAS NO MATERIAL DOS ENROLAMENTOS ............................................................... 72 
1.12.  PERDAS NO FERRO DO NÚCLEO MAGNÉTICO ............................................................... 73 
1.13.  TIPOS DE LIGAÇÃO DOS ENROLAMENTOS TRIFÁSICOS ................................................. 75 
1.14.  LIGAÇÃO TRIÂNGULO OU DELTA (∆) ............................................................................ 75 
1.15.  LIGAÇÃO ESTRELA (Y) ................................................................................................ 77 
1.16.  TRANSFORMADORES COM DERIVAÇÕES NO SECUNDÁRIO ............................................ 78 
1.17.  POTÊNCIA NOS TRANSFORMADORES ........................................................................... 78 
1.18.  CONDIÇÕES ESPECIAIS DE UM TRANSFORMADOR ........................................................ 79 
1.19.  PARTES QUE COMPÕEM UM TRANSFORMADOR ............................................................ 80 
1.20.  NÚCLEO ..................................................................................................................... 80 
1.21.  BOBINAS .................................................................................................................... 82 
1.22.  COMUTADOR .............................................................................................................. 84 
1.23.  ÓLEO ISOLANTE ......................................................................................................... 84 
1.24.  SISTEMA DE REFRIGERAÇÃO ....................................................................................... 85 
1.25.  JUNTAS DE VEDAÇÃO ................................................................................................. 87 
1.26.  BUCHAS ..................................................................................................................... 87 
1.27.  TANQUES ................................................................................................................... 88 
1.28.  PINTURA .................................................................................................................... 88 
1.29.  PLACA DE IDENTIFICAÇÃO .......................................................................................... 89 
1.30.  ACESSÓRIOS .............................................................................................................. 90 
1.31.  CIRCUITOS EQUIVALENTES ......................................................................................... 93 
1.32.  TRANSFORMADOR MONOFÁSICO IDEAL ....................................................................... 93 
1.33.  TRANSFORMADOR MONOFÁSICO REAL ........................................................................ 94 
1.34.  TESTES EM TRANSFORMADORES ................................................................................. 97 
1.35.  ENSAIO A VAZIO ........................................................................................................ 97 
1.36.  ENSAIO EM CURTO CIRCUITO .................................................................................... 100 
1.37.  RENDIMENTO DOS TRANSFORMADORES ..................................................................... 102 
1.38.  RENDIMENTO EM FUNÇÃO DA CARGA ......................................................................... 102 
1.39.  REGULAÇÃO DE TENSÃO ............................................................................................ 103 
1.40.  DIAGRAMA FASORRIAL .............................................................................................. 104 
 ii
CAPÍTULO 4 .......................................................................................................................... 116 
4.1.  INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 116 
CAPÍTULO 5 .......................................................................................................................... 117 
5.1.  INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 117 
CAPÍTULO 6 .......................................................................................................................... 118 
6.1.  INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 118 
CAPÍTULO 7 .......................................................................................................................... 119 
7.1.  INTRODUÇÃO ............................................................................................................119 
7.2.  PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF .................................................................................... 119 
CAPÍTULO 8 .......................................................................................................................... 120 
9.  BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................... 120 
 
Conversão de Energia 
 1
CAPÍTULO 0 
 
REVISÃO - CAMPO MAGNÉTICO 
 
 
0.1. INTRODUÇÃO 
 
O magnetismo é um fenômeno básico no funcionamento de motores elétricos, geradores, 
reprodução de voz e imagens, gravação de informações na memória do computador e várias 
outras aplicações tecnológicas. 
 
 
0.1.1. CAMPO MAGNÉTICO 
 
Chama se campo magnético a região do espaço modificada pela presença de um ímã, de um 
condutor percorrido por uma corrente elétrica ou de um corpo eletrizado em movimento. 
Vetor indução magnética (B) - Caracteriza a intensidade, a direção e o sentido do campo 
magnético em um ponto do espaço. 
Unidade de indução magnética no S.I. é o tesla (T) , sendo T = N/ (A .m). 
 
 
0.1.2. MAGNÉTISMO 
 
O magnetismo é uma força invisível de atração e repulsão que incide em alguns materiais 
que naturalmente apresentam esta propriedade. Há muitos séculos atrás, uma pedra foi 
encontrada na região da Magnésia, esta pedra exercia o efeito de atrair e repelir metais. A essa 
pedra deu-se o nome de magnetita e hoje conhecemos como ÍMÃS. 
Os ÍMÃS são pedaços de metais ferrosos que têm a propriedade de se atraírem ou repelirem 
mutuamente e de atraírem pedaços de ferro. Podem ser naturais ou artificiais. A magnetita é um 
ímã natural. 
 
 
 
Conversão de Energia 
 2
PÓLOS MAGNÉTICOS DOS ÍMAS: Em qualquer ímã, por menor que ele seja, existem duas 
regiões distintas onde as suas propriedades magnéticas se manifestam mais intensamente. Essas 
regiões são denominadas pólos magnéticos do ímã. Como eles se orientam no sentido norte e sul, 
chamamos pólo norte e pólo sul. 
 
 
 
INTERAÇÃO ENTRE PÓLOS DE ÍMÀS: Pólos magnéticos iguais se repelem enquanto pólos 
magnéticos diferentes se atraem. 
 
 
 
 
 
0.1.3. LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO OU LINHAS DE INDUÇÃO 
 
LINHAS DE INDUÇÃO: São linhas que permitem uma visualização do campo magnético. Têm 
as seguintes características: 
a) são tangentes ao vetor indução magnética em cada ponto; 
b) são orientados no sentido deste vetor; 
c) são sempre fechadas, isto é, não tem fontes nem sorvedouros; 
d) a densidade das linhas de indução permite avaliar a intensidade do campo magnético em 
determinada região. 
Conversão de Energia 
 3
0.1.4. CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA 
 
Em torno da Terra, existe um campo magnético chamado de campo magnético Terrestre. 
Uma pequena agulha magnética (ímã de prova) ali colocada se orienta de modo a apontar sempre 
a mesma extremidade para um ponto situado nas vizinhanças do Pólo Norte Geográfico. 
Pólo Norte Magnético – Quando um ímã está livre para girar em torno do seu centro de 
gravidade , num plano horizontal, um dos seus pólos aponta sempre para o norte geográfico da 
Terra. Esse pólo é chamado Pólo Norte Geográfico do ímã. O outro pólo, que aponta para o sul 
geográfico , é chamado pólo Sul magnético do ímã. 
 
 
 
 
0.1.5. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS 
 
PARAMAGNÉTICAS: são aquelas que, na presença de um campo magnético, se imantam 
muito fracamente, fazendo com que o valor do campo magnético seja ligeiramente aumentado. 
DIAMAGNÉTICAS: em presença de um campo magnético se imantam fracamente, fazendo, 
com que o valor do campo magnético se torne ligeiramente menor. 
FERROMAGNÉTICAS (ferro, níquel e cobalto e suas ligas) sob a ação de um campo 
magnético, estas substâncias se imantam fortemente, fazendo com que o campo magnético 
resultante seja muitas vezes maior do que o campo aplicado. 
A grande maioria das substâncias na natureza é paramagnética ou diamagnética. 
 
 
Conversão de Energia 
 4
CAPÍTULO 1 
 
INDUÇÃO MAGNÉTICA 
 
 
1.1. LEI DE BIOT E SAVART 
 
Seja um condutor filamentar  com corrente elétrica I. Por filamentar entendemos um fio 
de espessura muito pequena. Se o condutor tem corrente elétrica, nele há cargas elétricas em 
movimento. Seja V a velocidade de escoamento das cargas no interior do condutor. Mas cargas 
elétricas em movimento criam campo magnético. 
Queremos uma expressão para calculo da indução 

B em função da corrente I do filamento. 
 
 
 Seja d um diferencial de comprimento do filamento  , seja dq a quantidade de carga 
elétrica contida no elemento d , considerando apenas as cargas em movimento (pois somente as 
cargas que estão em movimento criam campo magnético). A carga dq pode ser considerada 
puntiforme (corpo eletrizado cujas dimensões são desprezíveis em comparação com as distâncias 
que o separam de outros corpos eletrizados). Ela cria no ponto P, a intensidade de campo elétrico 
dE : 
 02
K dQ ˆdE r
r
 (1.1) 
 
Onde K = é a constante eletrostática. A constante K depende da permissividade elétrica do 
meio. No vácuo K é dado por: K = K0. O valor da constante K0 é 9×109 N.m²/C². 
A constante K é dada por: 
   
1
K
4 
 
 
 No vácuo: 
   0 0
1
K
4 
 Onde a constante 0 vale 8,85×10-12 C²/N².m². 
Conversão de Energia 
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 A indução magnética a no ponto P, devido a carga puntiforme dQ, vale: 
 
  
2
1
dB V ^ dE
c
 (1.2) 
 
 Levando (1.1) em (1.2) vem: 
 
 
    
 
02 2
1 K dQ ˆdB V ^ r
c r
 
 
 

0
2 2
ˆV ^ rK dQ
dB 
c r
 (1.3) 
 
 Temos que: 
 
   dQ d (1.4) 
 
 Onde:  (C/m) é a densidade linear de carga em movimento. Ou seja: 
 
 
d (m) ------- dQ (C)
1 (m) ------- 
 
 
   dQ d 
 
 Logo: 
 

  0
2 2
ˆV ^ rK d
dB 
c r
 (1.5) 
 
 Orientando d no sentido da corrente I, teremos 
d com a mesma direção e sentido que 
os de 

V . Assim 
 
   d V V d (1.6) 
 
 Levando (1.6) em (1.5) temos: 
 
 

  0
2 2
ˆd ^ rK V
dB 
c r
 (1.7) 
 
 Onde: 
   
dQ
d
 e  dV
dt
 
 
Conversão de Energia 
 6
 Assim: 
   
dQ d dQ
 V =I
d dt dt
 
 
 Então: 
 
dQ
= I 
dt
 
 
 Logo: 
   V I (1.8) 
 
 Substituindo (1.8) em (1.7) temos: 
 
 
  0
2 2
ˆd ^ rK I
dB 
c r
 (1.9) 
 
Como: 
 
  
 
0 0
2
0 0
1
4K 
= 
1 4c
 
 


0
2
K 
=
4c
 (1.10) 
 
Onde: 
0 :Permeabilidade magnética no vácuo e vale: 
 
       
7
0
Wb
4 10 
A m
 
 
Substituindo (1.10) em (1.9) resulta: 
 
 
 0 0
2
ˆI d ^ r
dB 
4 r
 (1.11) 
 
Integrando 

dB sobre todos os elementos do filamento  , resulta: 
 
  
 0 0
2
ˆ I d ^ r
B(p) 
4 r
 [Tesla] 
 
 
Conversão de Energia 
 7
Exercícios: 
 
01) Determinar a indução magnética num ponto P afastado h de um filamento retilíneo infinito 
com corrente elétrica I. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
Da figura temos que: 
 
 d dx i 
    0ˆr cos( ) i + sen( ) j 
 
Portanto: 
         0ˆd ^ r dx i ^ cos( ) i + sen( ) j 
  0ˆd ^ r sen( ) dx k 
 
De acordo com a Lei de Biot e Savart temos: 
 


     
 0 0 0
2 2
ˆ I d ^ r I sen( ) dx
B(p) k
4 4r r
 
 
 

    0 2 I k sen( )B(p) dx4 r (I) 
 
 
Conversãode Energia 
 8
Cuidado !!!!! 
 
 Temos três variáveis: x,  e r. Precisamos encontrar um artificio para deixar a integral com 
apenas uma variável. 
 
Da figura temos que 
 
    0
h
tg( )
x x
 
 
  0
h
x x
tg( )
 
 
  0x x h cotg ( ) 
 
 
Derivando x em relação a  temos: 
 
  
2dx 0 h [-cossec ( )]
d
 
 
   2dx h cossec ( ) d 
 
 
 2
h
dx d
sen ( )
 (II) 
 
 
Uma outra relação da figura: 
 
  hsen( )
r
 
 
 
h
r
sen( )
 
 
 
2
2
2
h
r
sen ( )
 
 

2
2 2
1 sen ( )
r h
 (III) 
 
Conversão de Energia 
 9
Substituindo as eqs (II) e (III) em (I) temos: 
 
 

    0 2 I k sen( )B(p) dx4 r 
 


               
 20
0
2 2
 I k sen ( ) h
B(p) sen( ) d
4 h sen ( )
 
 


     00 I kB(p) sen( ) d4 h 
 
Lembrando que:      sen( ) d - cos( ) c 
 
 

            
 00 0 I k I kB(p) cos( ) = cos(0) cos( )
4 h 4 h
 
 
               

0 0 0 I k I k I B(p) 1 ( 1) = 2 k
4 h 4 h 2 h
 
 
 
 

0 I B(p) k
2 h
 [T] 
 
 
 
Podemos generalizar este resultado: 
 
1) Módulo da indução magnética 
 
  
0 I B(p)
2 h
 [T] 
 
2) Direção do vetor indução magnética 
 
 Perpendicular ao plano formado pelo condutor e o ponto P 
 
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3) Sentido do vetor Indução 
 
 Dada pela regra da mão direita 
 
 
 
02) Consideremos uma circunferência de raio h e centro no condutor. Desenhe o vetor indução 
em diversos pontos da circunferência. 
 
 
Solução 
 
 
Conclusão: A circunferência é em todos os seus pontos tangentes ao vetor indução 

B , logo 
ela é uma linha de campo do campo magnético do filamento retilíneo infinito. 
Conversão de Energia 
 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conversão de Energia 
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03) Determine a indução magnética 

B no ponto. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
Da figura temos que: 
 
 d dx i 
   0ˆr cos( ) i + sen( ) j 
 
Portanto 
        0ˆd ^ r dx i ^ cos( ) i + sen( ) j 
  0ˆd ^ r sen( ) dx k 
 
De acordo com a Lei de Biot e Savart temos: 
 


     
  2
1
0 0 0
2 2
ˆ I d ^ r I sen( ) dx
B(p) k
4 4r r
 
 
 

    210 2 I k sen( ) dxB(p) 4 r (I) 
 
 
Conversão de Energia 
 13
Cuidado !!!!! 
 
 Temos três variáveis: x,  e r. Precisamos encontrar um artificio para deixar a integral com 
apenas uma variável. 
 
Da figura temos que: 
 
   
h
tg( )
L x
 
 
   
h
L x h cotg( )
tg( )
 
 
  x L h cotg ( ) 
 
Derivando x em relação a  temos: 
 
  
2dx 0 h [- cossec ( )]
d
 
 
  2dx h cossec ( ) d 
 
 2
h
dx d
sen ( )
 (II) 
 
 
Uma outra relação da figura: 
 
  hsen( )
r
 
 
 
h
r
sen( )
 
 
 
2
2
2
h
r
sen ( )
 
 

2
2 2
1 sen ( )
r h
 (III) 
 
 
Substituindo as eqs (II) e (III) em (I) temos: 
 
 

    210 2 I k sen( ) dxB(p) 4 r 
 
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 

   21
2
0 sen ( ) I kB(p) sen( ) 
4 2h
    
h
2sen ( )
    
d 
 
 

    210 I kB(p) sen( ) d4 h 
 
Lembrando que:      sen( ) d - cos( ) c 
 
 

            

2
1
0 0
1 2
 I k I
B(p) cos( ) = cos( ) cos( ) k
4 h 4 h
 
 
     

0
1 2
 I
B(p) cos( ) cos( ) k
4 h
 [T] 
 
 
04) Determine a indução magnética 

B no ponto dos filamentos retilíneos infinitos 
 
 
 
Vamos considerar o condutor como formado por 2 filamentos retilíneos. 
Por superposição teremos: 
 
    1 2B(p) B (p) B (p) 
 
Vamos calcular 

1B (p) : 
 
Conversão de Energia 
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Da figura temos que: 
 
   o1 45 ,   o2 180 e h a 
 
     
0
1 1 2
 I
B (p) cos( ) cos( ) 
4 h
 
 
       
0
1
 I 2
B (p) ( 1) 
4 a 2
 
 
      

0
1
 I 2
B (p) 1 k
4 a 2
 
 
 
 
Vamos calcular 

2B (p) : 
 
 
 
Da figura temos que: 
 
   o1 0 ,   o2 135 e h a 
 
     
0
2 1 2
 I
B (p) cos( ) cos( ) 
4 h
 
 
           
0
2
 I 2
B (p) 1 
4 a 2
 
 
      

0
2
 I 2
B (p) 1 k 
4 a 2
 
Conversão de Energia 
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Logo: 
 
   1 2B(p) B (p) B (p) 
 
                 

0 0 I I2 2B(p) 1 k + 1 k
4 a 2 4 a 2
 
 
      

0 I 2B(p) 1 k 
2 a 2
 
 
 
05) Determine a indução magnética 

B no ponto P 
 
 
 
A indução no ponto P vale: 
 
      12 23B(p) 2 B (p) 2 B (p) 
 
Pois são simétricos os lados 12 e 34 e os lados 23 e 41, em relação ao ponto P 
 
Vamos calcular 

12B (p) : 
 
 
Da figura vem: 
 
  
         
1 2 2 2 2
b
b2cos( )
a ba b
2 2
 
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Temos que:     1 2 180 
    2 1180 
Logo: 
  cos(a b) cos(a) cos(b) sen(a)sen(b) 

          
 01
1 1 1 1cos(180 ) cos(180 ) cos( ) sen(180 ) sen( ) cos( ) 
 
      2 1 1cos( ) cos(180 ) cos( ) 
   2 1cos( ) cos( ) 
 
     
2 1 2 2
b
cos( ) cos( )
a b
 
Assim: 
  ah
2
 
 
     
0
12 1 2
 I
B (p) cos( ) cos( ) 
4 h
 
 
      
0
12 2 2 2 2
 I b b
B (p) 
a a b a b4
2
 
 
      
0
12 2 2
 I b
B (p) 2 
2 a a b
 
 
      

0
12 2 2
 I b
B (p) k 
a a b
 
 
 
Vamos calcular 

23B (p) : 
 
 
 
 
 
Conversão de Energia 
 18
Da figura vem: 
 
  
         
1 2 2 2 2
a
a2cos( )
a ba b
2 2
 
 
Temos que: 
    1 2 180 
    2 1180 
Logo: 
       2 1 1cos( ) cos(180 ) cos( ) 
 
   2 1cos( ) cos( ) 
 
  bh
2
 
 
 
     
0
23 1 2
 I
B (p) cos( ) cos( ) 
4 h
 
 
      
0
23 2 2 2 2
 I a a
B (p) 
b a b a b4
2
 
 
      
0
23 2 2
 I a
B (p) 2 
2 b a b
 
 
      

0
23 2 2
 I a
B (p) k 
b a b
 
 
Logo: 
 
      12 23B(p) 2 B (p) 2 B (p) 
 
  
                              

0 0
2 2 2 2
 I Ib a
B(p) 2 k 2 k
a ba b a b
 
 
      

0
2 2
2 I b a
B(p) + k 
a b a b
 
 
 
Conversão de Energia 
 19
1.2. FORÇA MAGNÉTICA EM CONDUTORES 
 
 Consideremos um condutor  com corrente elétrica I num campo magnético de indução 

B . 
Queremos determinar a força magnética sobre o condutor: 
 
 
 
 
Considerando que o condutor esta uniformemente carregado com densidade de carga  
(C/m), temos que: 
 
 d (m)  dq(C) 
 1 (m)  (C) 
 
  dq d 
 
Onde  (C/m) é a densidade de carga por unidade de comprimento 
 
 Seja d um diferencial de comprimento do filamento. Logo   dq d é a carga contida em 
d considerando apenas as cargas que estão em movimento, istoé as cargas que formam a 
corrente elétrica I. 
 
A força magnética sobre a carga dq ou a força magnética sobre d vale: 
 
  dfmg dq u ^ B 
Ou 
   dfmg d u ^ B 
 
Mas 
 d u = u d desde que orientemos 

d no sentido de u , isto é, no mesmo sentido da 
corrente elétrica I. Então: 
 
     dfmg u d ^ B 
 
Conversão de Energia 
 20
Temos que: 
   
dq
 
d
 e  du
dt
 
Portanto: 
   
dq
 u
d
d  dq
dt dt
 
 
Como: 
 dq I
dt
 (valor instantâneo da corrente elétrica I) 
Logo: 
   u I 
 
Assim: 
   dfmg I d ^ B 
 
A força resultante sobre o condutor  vale: 
 
    fmg I d ^ B 
 
 
Obs: Lembrar que 

d é sempre orientado no sentido da corrente elétrica I. 
 
 
Exercícios 
 
01) Dois condutores, retilíneos, infinitos, paralelos, afastados a uma distância h conduzem as 
correntes elétricas I1 e I2 de sentidos opostos. Determine a força magnética sobre os dois 
condutores por unidade de comprimento. 
 
 
 
Solução: 
 
a) A força magnética sobre o filamento com corrente elétrica I1 vale: 
 
    1 1fmg I d ^ B
Conversão de Energia 
 21
Onde 

B(p) é a indução magnética nos pontos do filamento 1. A corrente elétrica I1 não cria 
campo magnético nos pontos do filamento 1. A corrente I2 cria nos pontos do filamento 1 a 
indução: 
 
 
0 2 I B(p)
2 h
 
 
 Direção: Perpendicular ao plano formado pelo condutor e o ponto P; 
 Sentido: Regra da mão direita. 
 
Logo: 
 

0 2 I B(p) k
2 h
 
e 
  d dx i Pois o filamento 1 está paralelo ao eixo x 
 
Assim temos: 
 
     1 1fmg I d ^ B p 
 
   0 21 1 I fmg I dx i ^ k2 h 
 
     00x0 1 21 x 1 I I fmg -j dx2 h 
 
        

0
0
x0 1 2 0 1 2
1 0 0x 1
 I I I I ˆ ˆfmg (-j) x = (-j) x x 1
2 h 2 h
 
 
   0 1 21 I I ˆfmg j2 h [N] 
 
 
 
b) A força magnética sobre o filamento com corrente elétricas I2 vale: 
 
    2 2fmg I d ^ B(p ) 
 
Onde B(p ) é a indução magnética nos pontos do filamento 2. A corrente elétricas I2 não 
cria campo magnético nos pontos do filamento 2. A corrente I1 cria nos pontos do filamento 2 a 
indução: 
 
Conversão de Energia 
 22
  
0 1 I B(p )
2 h
 
 
 Direção: Perpendicular aso plano formado pelo condutor e o ponto P; 
 Sentido: Regra da mão direita. 
 
Logo: 
  

0 1 I B(p ) k
2 h
 
e 
  d dx i Pois o filamento 1 está paralelo ao eixo x 
 
Assim temos: 
 
     2 2fmg I d ^ B p 
 
   0 22 2 I fmg I dx i ^ k2 h 
 
   00x 10 1 22 x I I ˆfmg (-j) dx2 h 
 
        

0
0
x 10 1 2 0 1 2
2 0 0x
 I I I I ˆ ˆfmg (-j) x = (-j) x 1 x
2 h 2 h
 
 
   0 1 22 I I ˆfmg j2 h [N] 
 
 
As forças magnéticas 

1fmg e 

2fmg tem a mesma intensidade, a mesma direção, porém com 
sentidos opostos. É uma ação e uma reação. 
 
 
Conversão de Energia 
 23
02) Calcule a força magnética por unidade de comprimento sobre o condutor com corrente elétrica 
de 50A. Os três condutores são retilíneos, infinitos e paralelos. 
 
 
 
SOLUÇÃO 
A indução num ponto P genérico do filamento com corrente elétrica de 50A vale: 
 
   
1 3I I
B(p) B (p) B (p) 
 
        0 1 0 312 23 I I B(p) k k2 h 2 h 
 
      

0 31
12 23
II
B(p) k
2 h h
 
 
      
 74 10 20 30
B(p) k
2 0,10 0,20
 
 
 5B(p) 10 k [T] 
 
 
A força magnética sobre o condutor com 50 A de corrente vale: 
 
     2 2fmg I d ^ B p 
 
  52 ˆfmg 50 dx i ^ 10 k 
 
    152 0ˆfmg 50 10 j dx 
 
   152 0ˆfmg 50 10 j x| 
 
Conversão de Energia 
 24
      52 ˆfmg 50 10 j 1 (0) 
    52 ˆfmg 50 10 j [N/m] 
 
As intensidades de campo magnético e força magnética por unidade de comprimento 
(

2fmg ) sobre o condutor com corrente elétrica de 50A estão representados na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
02) Calcule a força magnética sobre cada lado na malha retangular da figura abaixo e a força 
resultante sobre a malha. São dados: I = 20 A e  B 0,50 i (T). 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Cálculo da força sobre o lado AB 
 
  d dx i Pois o filamento AB está paralelo ao eixo x 
 
    ABfmg I d ^ B 
Conversão de Energia 
 25
   BAB Afmg 20 dx i ^ 0,50 i 0 
 
 ABfmg 0 
 
 
b) Cálculo da força sobre o lado BC 
 
  d dy j Pois o filamento BC está paralelo ao eixo y 
 
    BCfmg I d ^ B 
 
    CBC Bfmg I d ^ B = 
 
   0,1BC 0fmg 20 dy j ^ 0,50 i 
    0,1BC 0ˆfmg 10 k y 
       BC ˆfmg 10 k 0,1 0 
    BC ˆfmg 1,0 k [N] 
 
 
c) Cálculo da força sobre o lado CD 
 
  d dx i Pois o filamento CD está paralelo ao eixo x 
 
    ABfmg I d ^ B 
 
   DCD Cfmg 20 dx i ^ 0,50 i 0 
 
 CDfmg 0 
 
 
d) Cálculo da força sobre o lado DA 
 
  d dy j Pois o filamento DA está paralelo ao eixo y 
 
Conversão de Energia 
 26
    DAfmg I d ^ B 
 
    ADA Dfmg I d ^ B 
] 
   0DA 0,1fmg 20 dy j ^ 0,50 i 
    0DA 0,1ˆfmg 10 k y 
         DA ˆfmg 10 k 0 0,1 
   DA ˆfmg 1,0 k [N] 
 
 
A força resultante sobre a malha vale: 
 
 
       Re s AB BC CD DAfmg fmg fmg fmg fmg 
        Re s ˆ ˆfmg 0 1,0 k + 0 1,0 k 
 
 Re sfmg 0 [N] 
 
 
CONCLUSÃO: 
 Se a força resultante sobre a malha é nula, logo ela não esta sujeita a um movimento de 
translação [f =m x a, onde f =0 e a  0]. Mas as forças sobre os lados BC e DA formam um 
binário, logo age sobre a malha um conjugado, ou momento ou torque. 
 
 
Conversão de Energia 
 27
03) Calcule o torque sobre a malha do exercício anterior em relação ao seu ponto central. 
 
a) Torque devido ao lado AB 
 
ABT 0 , pois  ABfmg 0 
 
b) Torque devido ao lado BC 
 
 Como o conjugado magnético é uniforme, a força 

BCfmg esta uniformemente distribuída ao 
longo do lado BC. Então esta pode ser considerada como uma resultante aplicada no centro do 
lado BC [ponto E da figura acima]. Logo: 
 
   BC BCT E F ^ fmg 
 
Da figura vem: 
 
    E F 0,1 i 
    BC ˆT 0,1 i ^1,0 k 
 
 BCT 0,1 j N.m 
 
 
c) Torque devido ao lado CD 
 
CDT 0 , pois  CDfmg 0 
 
 
d) Torque devido ao lado DA 
 
 A força pode ser considerada aplicada no ponto G, médio ao lado AD, pois 

B é uniforme. 
 
   DA DAT G F ^ fmg 
 
Da figura vem: 
 
      G F 0,1 i 
    DA ˆT 0,1 i ^1,0 k 
 
 DAT 0,1 j N.m 
Conversão de Energia 
 28
O torque resultante sobre a malha vale: 
 
       AB BC CD DAT T T T T 
 
     T 0 0,1 j 0 0,1 j 
 
 Re sT 0,2 j N.m 
 
 
 
03) Calcule a força magnética sobre os lados das malhas. 
 
São dados: I 10 A 
  2 ˆB 5 x k (T) 
 
a) Cálculo da força sobre o lado AB 
 
  d dx i Pois o filamento AB está paralelo ao eixo x 
 
    ABfmg I d ^ B 
  B 2AB A ˆfmg 10 dx i ^ 5 x k 
    0,1 2AB 0ˆfmg 50 j x dx 
   0,13AB
0
xˆfmg 50 j 
3
 
      3 3AB 50 ˆfmg j 0,1 03 
 
   3AB 50 ˆfmg 10 j3 N 
 
 
Conversão de Energia 
 29
b) Cálculoda força sobre o lado BC 
 
    d dx i dy j 
 
    BCfmg I d ^ B 
 
    C 2BC B ˆfmg 10 dx i dy j ^ 5 x k 
 
       C 2 2BC Bfmg 50 x dx j x dy i 
 
   C 2 2BC Bfmg 50 x dy i x dx j 
 
    C C2 2BC B Bfmg 50 i x dy 50 j x dx 
 
Resolvendo a primeira integral: 
 
  1 C 2BC Bfmg 50 i x dy 
 
Cuidado !!!!! 
Temos duas variáveis: x, e y. Precisamos encontrar um artificio para deixar a integral com apenas 
uma variável. Da figura temos que: 
 
Onde: 
0 0B(x , y ) 
 0x 0,1 
0y 0 
        0,2m tg ( ) tg ( ´) 2
0,1
 
 
Conversão de Energia 
 30
Assim: 
  0 0(y y ) m (x x ) 
   (y 0) 2 (x 0,1) 
  y 2 x 0,2 
 
Derivando y em relação a x temos: 
 
 dy 2 
dx
 
Logo: 
 dy 2 dx 
 
Assim: 
  1 C 2BC Bfmg 50 i x dy =   0 20,150 i x 2 dx =   0 20,1100 i x dx 
 
  
1
03
BC
0,1
x
fmg 100 i 
3
 =    3 3100 i 0 0,13 =  3100 10 i3 
 
 
1
3
BC
100
fmg 10 i
3
 (N) 
 
 
Resolvendo a segunda integral: 
 
  2 C 2BC Bfmg 50 j x dx =  0 20,150 j x dx 
 
 
2
03
BC
0,1
x
fmg 50 j 
3
 =   3 350 j 0 0,1 =  350 10 j 3 
 
   2 3BC 50fmg 10 j 3 (N) 
 
 
Logo: 
    C C2 2BC B Bfmg 50 i x dy 50 j x dx 
 
                3 3BC 100 50fmg 10 i 10 -j3 3 
 
   3BC 50fmg 10 2 i +j3 (N) 
Conversão de Energia 
 31
c) Cálculo da força sobre o lado CA 
 
  d dy j Pois o filamento CA está paralelo ao eixo y 
 
    CAfmg I d ^ B 
  A 2CA C ˆfmg 10 dy j ^ 5 x k 
   A 2CA Cfmg 50 i x dy 
 
Onde: 
0 0B(x , y ) 
 0x 0 
0y 0,2 
 
     m tg ( ) tg (90 ) 
 
Se uma reta for vertical então sua inclinação é de 90° consequentemente seu coeficiente 
angular não existe, pois tg (90°)  . Neste caso 
sua equação é da forma x = constante. Assim: 
 
x 0 
Logo: 
   A 2CA Cfmg 50 i x dy 0 
 
 ABfmg 0 N 
 
 
 
Conversão de Energia 
 32
1.3. TORQUE SOBRE UMA MALHA COM CORRENTE EM UM CAMPO MAGNÉTICO 
UNIFORME – MOMENTO MAGNÉTICO 
 
 Consideremos um malha condutora retangular com corrente elétrica I num campo 
magnético uniforme de indução: 
 
    x y zB B i B j B k 
Onde: 
 Bx = cte, By = cte e Bz = cte 
 
 
 
 Vamos calcular a Força magnética sobre o lado AC 
 
  d dy j Pois o filamento AC está paralelo ao eixo y 
 
    ACfmg I d ^ B 
      CAC x y zAfmg I dy j ^ B i B j B k 
    CAC x zAfmg I B ( k) B i dy 
      aAC z x afmg I B i B k dy 
     aAC z x afmg I B i B k y| 
         AC z xfmg I B i B k a a 
 
   AC z xfmg 2 a I B i B k [N] 
Conversão de Energia 
 33
 Como o campo magnético é uniforme, 

ACfmg esta uniformemente distribuído no lado AC, 
podemos então considera-lo como aplicado no ponto B, médio a AC. 
 
O braço da 

ACfmg é (B-O), logo: 
 
    ˆB O b i 
 
O torque da força 

ACfmg vale: 
 
   AC ACT (B O) ^ fmg 
 
   AC z xˆT b i ^ 2 a I B i B k 
 
AC x ˆT 2 a b I B j [N.m] [I] 
 
 
 Vamos calcular a Força magnética sobre o lado CE 
 
  d dx i Pois o filamento CE está paralelo ao eixo x 
 
    CEfmg I d ^ B 
     ECE x y zC ˆfmg I dx i ^ B i B j B k 
    ECE y zCfmg I B k B ( j) dx 
      bCE y z bfmg I B k B j dx 
     bCE y z bfmg I B k B j x| 
          CE y zfmg I B k B j b b 
 
    CE y zfmg 2 b I B k B j [N] 
 
 
 Como o campo magnético é uniforme, 

CEfmg esta uniformemente distribuído no lado CE, 
podemos então considera-lo como aplicado no ponto D, médio a CE. 
 
O braço da 

CEfmg é (D-O), logo: 
 
    D O a j 
Conversão de Energia 
 34
O torque da força 

CEfmg vale: 
 
   CE CET (D O) ^ fmg 
 
        CE y zT a j ^ 2 b I B k B j 
    CE yT 2 a b I B i N.m [II] 
 
 
 Vamos calcular a Força magnética sobre o lado EG 
 
  d dy j Pois o filamento EG está paralelo ao eixo y 
 
    EGfmg I d ^ B 
      GEG x y zEfmg I dy j ^ B i B j B k 
    GEG x zEfmg I B ( k) B i dy 
      aEG z x afmg I B i B k dy 
     aEG z x afmg I B i B k y| 
          EG z xfmg I B i B k a a 
 
    EG z xfmg 2 a I B i B k [N] 
 
 
 Como o campo magnético é uniforme, 

EGfmg esta uniformemente distribuído no lado EG, 
podemos então considera-lo como aplicado no ponto F, médio a EG. 
 
O braço da 

EGfmg é (F-O), logo: 
 
      ˆF O b i 
 
O torque da força 

EGfmg vale: 
 
   EG EGT (F O) ^ fmg 
        EG z xˆT b i ^ 2 a I B i B k 
 
EG x ˆT 2 a b I B j [N.m] [III] 
Conversão de Energia 
 35
 Vamos calcular a Força magnética sobre o lado GA 
 
  d dx i Pois o filamento GA está paralelo ao eixo x 
 
    GAfmg I d ^ B 
     AGA x y zG ˆfmg I dx i ^ B i B j B k 
    AGA y zGfmg I B k B ( j) dx 
     AGA y z Gfmg I B k B j dx 
     bGA y z bfmg I B k B j x| 
          GA y zfmg I B k B j b b 
 
   GA y zfmg 2 b I B k B j [N] 
 
 
 Como o campo magnético é uniforme, 

GAfmg esta uniformemente distribuído no lado GA, 
podemos então considera-lo como aplicado no ponto H, médio a GA. 
 
O braço da 

GAfmg é (H-O), logo: 
 
    H O a j 
 
O torque da força 

GAfmg vale: 
 
   GA CET (H O) ^ fmg 
 
        GA y zT a j ^ 2 b I B k B j 
    GA yT 2 a b I B i N.m [IV] 
 
 
Somando (I), (II), (III) e (VI) temos: 
 
 
       AC CE EG GAT T T T T 
              x y x yˆ ˆT 2 a b I B j + 2 a b I B i 2 a b I B j 2 a b I B i 
 
Conversão de Energia 
 36
     x yˆT 4 a b I B j - 4 a b I B i 
         x yˆT 4 a b I B j - B i [N.m] [V] 
 
 
 
A área da malha considerada é: 
 
  A 2a 2b = 4ab 
 
 A 4ab [VI] 
 
 Consideremos um versor nˆ normal a malha com sentido dado pela regra da mão direita 
relativamente a corrente I. No caso da malha do exemplo, temos: 
 
 ˆnˆ k 
 
 Fazendo o produto vetorial 

nˆ ^B temos : 
 
     x y zˆnˆ ^B k ^ B i B j B k 
 
    x ynˆ ^B B j B i [VII] 
 
Conversão de Energia 
 37
Levando (VI) e (VII) em (V) temos 
 
 ˆT A I n ^B [VIII] 
 
 A parcela  ˆm A I n é denominada momento magnético da malha. Então: 
 
  T m ^B [IX] 
 
 
Concluímos que: 
 1- O torque sobre a malha será máximo quando 

m 

B , Isto é, quando a malha for // 
(paralela) a indução 

B , ver figura a seguir: 
 
 
 
 2- O torque sobre a malha será nulo quando 

m // 

B , Isto é, quando a malha for 
(perpendicular) a indução 

B , ver figura a seguir: 
 
 
 
 Esta é a posição de equilíbrio da malha [T=0]. Então, Quando a malha com corrente elétrica 
I é colocada num campo magnético, sobre ela aparece um torque magnético que tende a leva-la 
para uma posição tal que ela resulte perpendicular ao vetor campo magnético. 
 
 
Conversão de Energia 
 38
Exercício 
01) Consideremos um malha condutora retangular com corrente elétricaI=100 A num campo 
magnético uniforme de indução     B 3i 2j 5k . 
 
 
 
a) Calcule a Força magnética sobre cada lado da malha ? 
b) Calcule o Torque em cada lado da malha e o Torque Total ? 
c) Calcule o momento magnético da malha ? 
d) Calcule o Torque pela equação   T m ^B e compare com o Torque Total do item (b) ? 
e) Faça suas conclusões com os resultados obtidos ? 
 
 
Solução: 
a) Calcule a Força magnética sobre cada lado da malha ? 
 
 
 Vamos calcular a Força magnética sobre o lado AC 
 
  d dy j Pois o filamento AC está paralelo ao eixo y 
 
    ACfmg I d ^ B 
      CAC Afmg 100 dy j ^ 3i 2j 5k 
Conversão de Energia 
 39
    0,03AC 0,03 fmg 100 3 k 5 i dy 
     0,03 AC 0,03 fmg 500 i 300 k y| 
         ACfmg 500 i 300 k 0,03 0,03 
        2ACfmg 500 i 300 k 6 10 
 
   ACfmg 30 i 18 k [N] 
 
 Vamos calcular o Torque sobre o lado AC 
 
O braço da 

ACfmg é (B-O), logo: 
 
     2B O 2 10 i 
 
O torque da força 

ACfmg vale: 
 
     2ACT 2 10 i ^ 30 i 18 k 
 
 ACT 0,36 j [N.m] 
 
 
 Vamos calcular a Força magnética sobre o lado CE 
 
  d dx i Pois o filamento CE está paralelo ao eixo x 
 
    CEfmg I d ^ B 
      ECE Cfmg 100 dx i ^ 3i 2j 5k 
   0,02CE 0,02 fmg 100 2 k 5 j dx 
      0,02 CE 0,02 fmg 500 j 200 k x| 
        CEfmg 500 j 200 k 0,02 (0,02) 
         2CEfmg 500 j 200 k 4 10 
   CEfmg 20 j 8 k [N] 
 
 Vamos calcular o Torque sobre o lado CE 
 
O braço da 

CEfmg é (D-O), logo: 
Conversão de Energia 
 40
 
     2B O 3 10 j 
 
O torque da força 

CEfmg vale: 
 
     2CET 3 10 j ^ 20 j 8 k 
    CET 0,24 i [N.m] 
 
 
 Vamos calcular a Força magnética sobre o lado EG 
 
  d dy j Pois o filamento EG está paralelo ao eixo y 
 
    EGfmg I d ^ B 
      GEG Efmg 100 dy j ^ 3i 2j 5k 
    0,03EG 0,03 fmg 100 3 k 5 i dx 
     0,03 EG 0,03 fmg 500 i 300 k y| 
         EGfmg 500 i 300 k 0,03 0,03 
        2EGfmg 500 i 300 k 6 10 
    EGfmg 30 i 18 k [N] 
 
 Vamos calcular o Torque sobre o lado EG 
 
O braço da 

EGfmg é (F-O), logo: 
 
      2F O 2 10 i 
 
O torque da força 

EGfmg vale: 
 
         2EGT 2 10 i ^ 30 i 18 k 
 
 EGT 0,36 j [N.m] 
 
 
 
 
Conversão de Energia 
 41
 Vamos calcular a Força magnética sobre o lado GA 
 
  d dx i Pois o filamento GA está paralelo ao eixo x 
 
    GAfmg I d ^ B 
      EGA Cfmg 100 dx i ^ 3i 2j 5k 
   0,02GA 0,02 fmg 100 2 k 5 j dx 
      0,02 GA 0,02 fmg 500 j 200 k x| 
        GAfmg 500 j 200 k 0,02 ( 0,02) 
         2GAfmg 500 j 200 k 4 10 
    GAfmg 20 j 8 k [N] 
 
 Vamos calcular o Torque sobre o lado CE 
 
O braço da 

GAfmg é (H-O), logo: 
 
      2H O 3 10 -j 
 
O torque da força 

GAfmg vale: 
 
        2GAT 3 10 -j ^ 20 j 8 k 
    GAT 0,24 i [N.m] 
 
 
b) Calcule o Torque em cada lado da malha e o Torque Total ? 
 
       AC CE EG GAT T T T T                 T 0,36 j 0,24 i 0,36 j 0,24 i 
      T 0,48 - i 0,72 j [N.m] 
 
c) Calcule o momento magnético da malha ? 
 
 Consideremos um versor nˆ normal a malha com sentido dado pela regra da mão direita 
relativamente a corrente I. No caso da malha do exemplo, temos: 
 
 ˆnˆ k 
Conversão de Energia 
 42
  2 2 4 2A = 6 10 x 4 10 24 10 m 
 
Logo: 
 ˆm A I n 
 4 ˆm 24 10 100 k 
 2ˆm 24 10 k 
 
d) Calcule o Torque pela equação   T m ^B e compare com o Torque Total do item (b) ? 
 
  T m ^B 
     2ˆT 24 10 k ^ 3i 2j 5k 
     T 0,72 j +0,48 - i 
      T 0,48 - i 0,72 j 
 
Conversão de Energia 
 43
 
CAPÍTULO 2 
 
CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
 
2.1. MATERIAIS MAGNÉTICOS 
 
A habilidade de certos materiais (notadamente o ferro, o níquel, o cobalto e algumas de 
suas ligas e compostos) de adquirir um alto e permanente momento magnético, é de grande 
importância para a engenharia elétrica. As aplicações de materiais magnéticos são muitas e fazem 
uso de quase todos os aspectos do comportamento magnético. 
Existe uma variedade extremamente grande de diferentes tipos de materiais magnéticos e é 
importante saber primeiro porque estes e somente estes materiais possuem propriedades 
magnéticas e em seguida saber o que leva a comportamento diferentes nestes materiais, por 
exemplo porque um material carrega um momento permanente enquanto outros não. 
As pesquisas por materiais magnéticos com melhores características são motivadas pela 
possibilidade de redução nas dimensões dos equipamentos e diminuição de limitações no 
desempenho devido à saturação e perdas 
 
 
2.2. CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO 
 
Os materiais ferromagnéticos (ferro, níquel, cobalto) apresentam elevada permeabilidade 
magnética (variável), não são lineares e demonstram os fenômenos da histerese e do magnetismo 
residual. 
Vamos supor uma amostra de um material ferromagnético totalmente desmagnetizada 
(B.H=M=0) e vamos nela aplicar um campo magnetizado crescente H. Obtêm-se uma curva B x H 
com o aspecto seguinte: 
 
 
 
Conversão de Energia 
 44
Figura 2.1 – Curva de magnetização do aço silício 
 
A curva de magnetização nos mostra: 
 
(1) Uma região onde B varia fortemente em função de H, sendo que a parte central (50 a 
200 a/m) dessa região a curva é quase linear. 
(2) Uma região de transição bastante não linear, (200 a 400 A/m), denominada joelho da 
curva de magnetização 
(3) Uma região de crescimento muito lento de B, quase linear de inclinação 0 . É chamada 
região de saturação do material ferromagnético. 
Normalmente o material ferromagnético é empregado na região anterior a saturação (até o 
joelho da curva). 
A relação  B H é normalmente empregada nos materiais ferromagnéticos, porém o valor 
da permeabilidade  não é constante, definindo-se um valor para cada diferente estado de 
magnetização. Por exemplo, para os estados A,B,C,D da figura, teremos: 
 
-3A
A
A
B 0.6 6 10
H 100
   
 
 
-3B
B
B
B 1.0 5 10
H 200
   
 
 
-3C
C
C
B 1.2 3 10
H 400
   
 
 
Um gráfico de  x H tem o seguinte aspecto: 
 
 
 
Figura 2.2 – Curva de  x H 
 
 
 
Conversão de Energia 
 45
 
2.3. LAÇO DE HISTERESE, REMANÊNCIA E FORÇA COERCITIVA 
 
Vamos supor um material ferromagnético, inicialmente desmagnetizado até atingir o estado 
correspondente ao ponto x da figura anterior. Em seguida o campo magnetizador H é removido. 
Observa-se que o material ferromagnético permanece magnetizado, apresentando um 
magnetismo residual ou remanência (Br) (ponto y). Como se vê, a característica B x H que o 
material descreve para H decrescente não coincide com a característica B x H que o material 
descreve para H decrescente. Este fenômeno é conhecido como histerese magnética. 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 – Laço de histerese 
 
Vamos agora inverter o sentido do campo magnetizador H e aumentá-lo desde zero até –Hx. 
Quando H= -Hx têm-se B=-Bx. É importante o estado desmagnetizado (-HC,O) para o qual o 
material está totalmente desmagnetizado (B=0). Hc é denominado força coercitiva.Removendo novamente o campo magnetizador o material descreve o trecho VW resultando 
magnetizado com magnetismo residual –Br quando H=0. 
Reaplicando o campo magnetizador Hx no sentido original, o material descreve a curva WX, 
fechando o laço. 
A rigor o laço de histerese só se fecha depois de repetido algumas vezes (4 a 5 vezes). Após 
o fechamento ele é simétrico. 
O valor do magnetismo residual Br depende do maior valor (Hx) do campo magnetizador. 
 
Conversão de Energia 
 46
 
 
Figura 2.3 – Laço de histerese para diversos valores de B 
 
2.4. FLUXO MAGNÉTICO 
 
O Fluxo Magnético  através de um superfície aberta ou fechada é definido como sendo o 
fluxo de 

B através desta superfície, ou seja: 
 
      s s B . dS B . n . dS 
 
Sendo 

n o vetor unitário para fora da área elementar dS da superfície conforme 
apresentado na figura abaixo: 
 
 
 
Figura 2.4 – Área Elementar dS 
 
Um caso particular de grande interesse é dado pelas seguintes características: 

B é 
constante em magnitude e em qualquer lugar 

B é também perpendicular à superfície da área dada 
por A. Neste caso tem-se que: 
 
   B . A ⇒ B
A
 
 
Conversão de Energia 
 47
Como no SI a unidade do fluxo magnético  é o Weber (Wb), pode-se dizer que a unidade 
da densidade de fluxo magnético no SI é também dada por Wb/m2, ou seja: 
 

2
Wb
1T 1
m
 
 
2.5. PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 
 
Permeabilidade Magnética é uma grandeza magnética, representada por µ (letra minúscula 
grega, lê-se “miú”), que permite quantificar o “valor” magnético duma substância. A sua unidade é 
H / m (henry por metro). 
Se uma corrente elétrica passar numa bobina produz um campo magnético com um valor 
dado pela excitação magnética ou intensidade do campo magnético H que depende da construção 
da bobina. Por exemplo, numa bobina comprida (solenóide), o valor de H é dado por NI / L, em 
que N é o número de espiras da bobina e L é o seu comprimento. O valor de H aumenta com N e 
diminui com L, para a mesma intensidade de corrente I. 
Esta excitação magnética H origina uma indução magnética B com um valor dado por 
 0B H , em que µ0 é a permeabilidade magnética do ar (ou do vazio), pois é de ar o núcleo da 
bobina. 
Se introduzirmos na bobina um núcleo de material ferromagnético, a indução magnética 
obtida é dada por  B H . Este valor da indução é muito maior que o valor obtido na bobina com 
núcleo de ar, pois o material ferromagnético apresenta fortes propriedades magnéticas. 
Quando um fluxo magnético atravessa um material ferromagnético (por, exemplo, ferro), os 
átomos do material, que tendo propriedades magnéticas, se comportam como pequenos ímãs, vão 
girar, alinhando-se com as linhas de força do campo magnético. As linhas de força entram pelo 
pólo sul do ímã e saem pelo norte. 
Desta forma, o fluxo magnético, inicialmente fraco, vai ser reforçado pelo conjunto dos ímas 
que são os átomos. 
É a permeabilidade magnética a grandeza que exprime a diferença magnética entre os 
diversos materiais. Tem um valor muito grande para os materiais ferromagnéticos e um valor 
muito baixo para o ar. Note-se que, enquanto µ0 é constante, o valor de µ vai diminuindo com a 
corrente, devido à saturação magnética do material. 
Para mais facilmente se compararem as propriedades magnéticas dos materiais, chama-se a 
este valor de µ permeabilidade absoluta e chama-se permeabilidade relativa ao valor µr que indica 
quantas vezes a permeabilidade magnética µ dum material é maior que a do ar µ0, que é tomada 
como referência. 
Matematicamente, é µ = µr x µ0. 
 
O valor da permeabilidade magnética no vazio é µ0 = 4 p x 10 – 7 H/m. 
 
As substâncias ferromagnéticas têm valores da permeabilidade relativa muito superiores a 1. 
O ferro macio tem uma permeabilidade relativa inicial (sem corrente na bobina) de 250, ou 
seja, os seus efeitos magnéticos são 250 vezes superiores ao do ar. Com o aumento da 
Conversão de Energia 
 48
intensidade de corrente, o seu valor aumenta e atinge o valor máximo de 6000 a 6500 (quando o 
material satura). Aumentando mais a intensidade de corrente, o seu valor diminui. 
O permalloy (liga de ferro e níquel) tem um valor inicial de 6000 e máximo de 80 000. 
Vejamos agora algumas substâncias não magnéticas. 
As substâncias paramagnéticas têm valores da permeabilidade relativa ligeiramente 
superiores a 1. Para o ar é de 1,000 000 37. Como se vê, é um valor muito próximo do 
correspondente ao vazio. 
Para o alumínio é 1,000 02. 
As substâncias diamagnéticas têm valores da permeabilidade relativa ligeiramente inferiores 
a 1. Para a água é 0,999 991 e para o cobre é 0,999 990. 
 
 
 
2.6. CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
Um circuito magnético é basicamente um caminho de alta permeabilidade magnética, 
constituído com a finalidade de orientar o fluxo magnético. 
Como em um circuito elétrico, pode ter uma ou mais malhas. 
O fluxo magnético é produzido por correntes elétricas que circulam em bobinas montadas 
em torno das traves do circuito magnético. Eventualmente a magnetização do C.M. é feita por imãs 
permanentes, como por exemplo, nos alto-falantes. 
Quando uma parte do circuito magnético processa movimentos em relação ao outro é 
preciso deixar um espaço vazio entre essas partes. Tal espaço é denominado entreferro. Por 
exemplo, motores, relés ..... 
 
 
 
 
Em análise aos circuitos magnéticos, consideramos: 
 
1- Todo o fluxo magnético fica confinado no núcleo ferromagnético. 
 
2- Em cada ramo do C.M. (trecho de C.M entre 2 nós, desde que seja um só material e de 
seção reta transversal uniforme), B, H, M são considerados constantes. 
 
Conversão de Energia 
 49
3- O comprimento de cada ramo como o comprimento medido no caminho médio do ramo. 
 
4- B

, H

, M

, normais a secção reta transversal a cada ponto do ramo. 
 
 
 
 
Exercício 01: Determine a corrente na bobina de 200 espiras para se ter: 
a) 0,60 T 
b) 1,00 T no núcleo do campo magnético da figura. Nos dois casos determine a auto-indutância 
 
 
 
 
O comprimento médio do circuito magnético (CM) vale: 
 
     as 4 1 5 1 28 cm = 0,28 m 
 
A seção transversal das traves do CM vale: 
 
   2 4 2asS 2 4 8 cm = 8 10 m 
 
O circuito magnético tem (1) malha, (0) nós e (1) ramo. A lei circuital de Ampere aplicada 
ao CM resulta: 
 
    H d i( ) 
 
Como consideremos 

H constante em todo o ramo e 

d com direção paralela a linha  
resulta: 
    H d H 
Conversão de Energia 
 50
Mas: 
i( ) N I 
 
Portanto: 
H N I 
 
 
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 0,60 T obtemos Has = ???? 
 
 
Curva de magnetização do aço silício, aço fundido e ferro fundido 
 
Para Bas = 0,60 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 100 A/m 
 Logo: 
 
as asH N I 
 
  as asH 100 0,28I 0,14A
N 200
 
 
O fluxo magnético através de uma seção qualquer do CM vale: 
 
   
s s
ˆB n ds = B ds = B S 
Portanto: 
 
  as asB S 
 
    4 40,60 8 10 4,8 10 Wb 
Conversão de Energia 
 51
 
A auto-indutância da bobina vale: 
 
   
-4
-3N 200 4,8 10L 685,7 10 H
I 0,14
 
 
L 685,7 mH 
 
 
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 1,00 T obtemos Has = ???? 
 
 
 
Curva de magnetização do aço silício, aço fundido e ferro fundido 
 
 
Para Bas = 1,00 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 200 A/m 
 Logo: 
 
  H 200 0,28I 0,28A
N 200
 
 
O fluxo magnético atravésde uma seção qualquer do CM vale: 
 
     4 4B S = 1,00 8 10 8 10 Wb 
 
A auto-indutância da bobina vale: 
 
Conversão de Energia 
 52
   
-4
-3N 200 8 10L 571,4 10 H
I 0,28
 
 
L 571, 4 mH 
 
 
 
Conversão de Energia 
 53
Exercício 02: Repetir o exercício anterior quando um entreferro de 1 mm é aberto no Circuito 
Magnético 
 
 
 
Sejam Has e Bas a intensidade e a indução no aço silício e Ho e Bo a intensidade e a indução 
no ar do entreferro: 
 
                 as o as as o oH d H d H d H H 
 
O circuito magnético tem (1) malha, (0) nós e (2) ramos. 
 
Mas i( ) N I , logo: 
 
   as as o oH H N I 
 
O comprimento médio do circuito magnético no entreferro e no aço silício valem: 
 
 o 1mm 0,001 m 
 as 0,28 - 0,001 0,279 m 
 
Como só existe uma malha, logo irá existir somente um fluxo: 
 
     as as o oB S B S 
 
No entanto, ocorre um espalhamento do fluxo magnético no ar da região do entreferro, de 
forma que a área efetivamente atravessada pelas linhas do campo magnético, no entreferro, é 
maior que a área das sapatas do aço silício vizinhas ao entreferro. 
 
Conversão de Energia 
 54
 
 
Uma regra prática, válida quando se tem entreferros pequenos, consiste em se adicionar a 
cada dimensão linear da sapata de aço silício o comprimento do entreferro: 
 
 
 
   2 4 2asS 2 4 8 cm = 8 10 m    2 4 2oS 2,1 4,1 8,61 cm = 8,61 10 m 
 
 
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 0,60 T obtemos Has = ???? 
 
 
Curva de magnetização do aço silício, aço fundido e ferro fundido 
 
Para Bas = 0,60 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 100 A/m 
 
Conversão de Energia 
 55
 Logo da expressão do fluxo temos: 
 
    as as o oB S B S 
 
  aso as
o
S
B B
S
 
 
  o 8B 0,60 0,5574 8,61 [T] 
 
Como: 
 o o oB H 
 
 
o
o
o
B
H Onde:0 é a permeabilidade magnética no vácuo e vale: 
       
7
0
Wb
4 10 
A m
 
Logo: 
  
o
o 7
o
B 0,5574 
H
 4 10
 
 
 5oH 4,4364 10 (A/m) 
Da equação: 
 
  as as o oH H N I 
 
  as as o oH H I
N
 
 
  
50,60 0,279 4,4364 10 0,001
I
200
 
 
I 2,219 A 
 
O fluxo magnético através de uma seção qualquer do CM vale: 
 
      4 4as asB S 0,60 8 10 4,8 10 Wb 
 
A auto-indutância da bobina vale: 
 
   
-4
-3N 200 4,8 10L 43,26 10 H
I 2,219
 
 
L 43,26 mH 
Conversão de Energia 
 56
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 1,00 T obtemos Has = ???? 
 
 
 
Curva de magnetização do aço silício, aço fundido e ferro fundido 
 
 
Para Bas = 1,00 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 200 A/m 
 
Temos agora: 
    as as o oB S B S 
 
  o 8B 1,00 0,9291 8,61 [T] 
e 
  
o
o 7
o
B 0,9291 
H
 4 10
 
 
 5oH 7,394 10 (A/m) 
 
Calculando a corrente: 
 
  as as o oH H I
N
 
 
  
51,00 0,279 7,394 10 0,001
I
200
 
 
I 3,984 A 
Conversão de Energia 
 57
O fluxo magnético através de uma seção qualquer do CM vale: 
 
      4 4as asB S 1,00 8 10 8 10 Wb 
 
A auto-indutância da bobina vale: 
 
   
-4
-3N 200 8 10L 43,26 10 H
I 3,984
 
 
L 43,26 mH 
 
 
Comparação entre os resultados dos 2 exercícios: 
 
Exercício 01) 
a) Bas = 0,60 T 
I =0,14 A 
L = 685,7 mH 
b) Bas = 1,00 T 
I =0,28 A 
L = 571,4 mH 
 
   B 1,00 0,60 100 66,7%0,60 
 
    L 571,7 685,7 100 16,7%685,7 
 
   I 0,28 0,14 100 100%0,14 
 
Exercício 02) 
a) Bas = 0,60 T 
I =2,219 A 
L = 43,26 mH 
b) Bas = 1,00 T 
I =3,984 A 
L = 571,4 mH 
 
   B 1,00 0,60 100 66,7%0,60 
 
   L XXXX 43,26 100 XXx%XXX 
 
   I 3,984 2,219 100 44,30%3,984 
 
Se o CM fosse linear, Quanto maior for mais não linear é o CM, comparando os resultados dos 2 
exercícios concluímos que o entreferro tem a qualidade de linearizar o CM, então tal linearização 
não seja de 100% 
Conversão de Energia 
 58
Exercício 03: 
 
a) Determine a corrente na bobina de 500 espiras quando a indução magnética do aço fundido é 
de 0,30 T; 
b) Determine a auto-indutância da bobina de 500 espiras, na condição (a); 
Uma 2ª bobina de 1000 espiras é enrolada em torno de uma das traves do circuito magnético; 
c) Determine a indutância mutua; 
d) Determine a indutância própria da bobina de 1000 espiras na condição (a); 
 
 
 
a) 
O comprimento médio do circuito magnético no aço fundido e no aço silício valem: 
 
af 8a 0,16m  
as 17a 0,34m  
 
A seção transversal das traves do CM do aço fundido e no aço silício vale: 
 
        22 2 2 4 2afS 3a 2a 6a 6 2 10 24 cm = 24 10 m 
        22 2 2 4 2asS 3a a 3a 3 2 10 12 cm = 12 10 m 
 
 
 
Conversão de Energia 
 59
O circuito magnético tem (1) malha, (0) nós e (2) ramo. Como há apenas uma malha, só há 
um fluxo. Logo: 
 
    as as af afB S B S 
 
Dado no exercício que afB 0,30 [T], obtemos então: 
 
  afas af
as
S
B B
S
 
 

  
4
as 4
24 10
B 0,30 0,6
12 10
 [T] 
 
 
Na curva de magnetização de aço silício, para Baf = 0,30 T obtemos Haf = ???? 
 
 
 
Para Baf = 0,30 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Haf = 250 A/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conversão de Energia 
 60
Na curva de magnetização de aço silício, para Bas = 0,60 T obtemos Has = ???? 
 
 
 
Para Bas = 0,60 T, obtêm-se na curva de magnetização de aço silício Has = 100 A/m 
 
 
Sejam Has e Bas a intensidade e a indução no aço silício e Haf e Baf a intensidade e a indução 
no aço fundido: 
 
 
Calculando a corrente: 
 
   as as af afH H N I 
 
 
  as as af afH H I
N
 
 
   100 0,34 250 0,16I
500
 
 
I 0,1480 A 
 
 
 
 
 
Conversão de Energia 
 61
b) O fluxo magnético através do núcleo do CM vale: 
 
    as as af afB S B S 
      4 4as asB S 0,60 12 10 7,2 10 Wb 
 
O fluxo concatenado pela bobina de 500 espiras vale: 
 
      41 1N 500 7,2 10 0,36 Wb 
 
 O fluxo é produzido pela corrente I1, que é criado na bobina de N1 espiras. A indutância 
própria (auto-indutância) na bobina de N1 = 500 espiras vale: 
 
  11
1
0,36
L 2,4324
I 0,1480
 H 
 
1L 2,4324 H 
 
c) O fluxo concatenado pela bobina de N2 = 1000 espiras vale: 
 
      42 2N 1000 7,2 10 0,72 Wb 
 
Este fluxo concatenado é produzido pela corrente I1. Então a indutância mutua vale: 
 
 
  2
1
0,72
M 4,866
I 0,1480
 H 
 
 d) Para calcular a indutância própria da bobina de N2 =1000 espiras precisamos fazer I1=0 e 
calcular a corrente da bobina de N2 espiras para se ter Baf = 0,30 T. 
Temos que: 
 Baf = 0,30 T  Haf = 250 (A/m) 
Bas = 0,60 T  Has = 100 (A/m) 
 
 Se I1 =0 e I2  0 temos: 
 
   as as af af 2 2H H N I 
 
  as as af af2
2
H H 
I
N
 
 
  2 100 0,34 250 0,16I 1000 
 
2I 0,074 A 
Conversão de Energia 
 62
 O fluxo magnético é mesmo: 
 
    as as af afB S B S 
      4 4as asB S 0,60 12 10 7,2 10 Wb 
 
O fluxo concatenado pela bobina de N2 = 1000 espiras vale: 
 
      42 2N 1000 7,2 10 0,72 Wb 
 
 2 é o fluxo produzido pela corrente I2 que circula na bobina de N2 espiras.A indutância 
própria na bobina de N2 = 1000 espiras vale: 
 
  22
2
0,72
L
I 0,074
 H 
 
1L 9,72 H 
 
A indutância mutua pode ser calculada através desta equação também: 
 
  1
2
0,36
M 4,866
I 0,074
 H 
 
 
Exercício 04: 
 
Determine a indução magnética no aço fundido quando a corrente na bobina de 500 espiras é de 
200 mA. 
 
 
Conversão de Energia 
 63
 
O comprimento médio e seção transversal do circuito magnético do aço silício: 
 
       as a a a a5a 5a 5a 17a2 2 2 2      2 2as 17 2 10 34 10 0,34 m 
 
   2asS a 3a 3a 
      22 4 2asS 3 2 10 12 10 m 
 
O comprimento médio e seção transversal do circuito magnético do aço fundido: 
 
     af a aa 5a a 8a2 2      2 2af 8 2 10 16 10 0,16 m 
 
   2afS 2a 3a 6a 
      22 4 2afS 6 2 10 24 10 m 
 
 
 Fluxo 
 
    as as af afB S B S 
   4 4as afB 12 10 B 24 10 
 
 as afB 2 B eq(I) 
 
 
Circuitação 
 
  af af as asH H N I 
    af as0,16 H 0,34 H 500 0,2 
 
   af as0,16 H 0,34 H 100 eq(II) 
 
Gráficos 
Curva do aço silício eq(III) 
Curva do aço fundido eq(IV) 
 
Conversão de Energia 
 64
 
 
 as afB 2 B eq(I) 
   af as0,16 H 0,34 H 100 eq(II) 
 
Baf Bas Haf    af asF 0,16 H 0,34 H 
0,3 0,6 250 100 74 
0,4 0,8 300 150 99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conversão de Energia 
 65
CAPÍTULO 3 
 
TRANSFORMADORES 
 
 
 
1.4. INTRODUÇÃO 
 
As exigências técnicas e econômicas impõem à construção de grandes usinas elétricas, em 
geral situadas muito longe de centros de aproveitamento, pois devem utilizar a energia hidráulica 
dos lagos e rios das montanhas. Surge assim a necessidade de transporte da energia elétrica por 
meio de linhas de comprimento notável. 
Por motivos econômicos e de construção, as seções dos condutores destas linhas devem ser 
mantidas dentro de determinados limites, o que torna necessária a limitação da intensidade das 
correntes nas mesmas. Assim sendo, as linhas deverão ser construídas para funcionar com uma 
tensão elevada, que em certos casos atinge a centenas de milhares de volts. 
Estas realizações são possíveis em virtude de a corrente alternada poder ser transformada 
facilmente de baixa para alta tensão e vice-versa, por meio de uma máquina estática, sem partes 
móveis, de construção simples e rendimento elevado, que é o transformador. 
Os geradores instalados nas usinas geram a energia elétrica com a tensão aproximada de 
6.000 volts. Para efetuar o transporte desta energia, eleva-se a tensão a um valor oportuno com 
um transformador elevador. 
Na chegada da linha, outro transformador executa a função inversa, isto é, reduz a tensão 
ao valor necessário para a utilização. 
Podem então ser escolhidas as três tensões, isto é, de geração, de transporte e de 
distribuição, com plena liberdade, dando-se a cada uma o valor que se apresenta mais 
conveniente. 
Naturalmente, nestas transformações o valor da intensidade de corrente sofrerá a 
transformação inversa à da tensão, pois o produto das mesmas, isto é, potência elétrica, deve ficar 
inalterada. 
Conversão de Energia 
 66
 
 
 
Fig. 3.1 - Transmissão de energia elétrica, desde a geração até o consumidor final 
 
Conversão de Energia 
 67
1.5. OBJETIVO 
 
Um transformador tem funcionamento “dinâmico”, tendo como função principal transformar 
níveis de tensão ou corrente para níveis desejados, funcionando apenas quando a corrente elétrica 
que percorre seu enrolamento primário sofre alterações em função do tempo, em outras palavras, 
não funcionará com corrente contínua e constante. 
 
 
1.6. PRINCÍPIO DE CONSTRUÇÃO DE UM TRANSFORMADOR 1Ø 
 
O funcionamento do transformador baseia-se nos fenômenos de Indução Mútua entre dois 
circuitos eletricamente isolados, mas magneticamente ligados. Para que a ligação magnética entre 
os dois circuitos mencionados seja a mais perfeita possível, é necessário que estes estejam 
enrolados sobre um núcleo magnético de pequena relutância (pode ser imaginada como um 
análogo em circuitos magnéticos à resistência de circuitos elétricos). Este núcleo deverá ter 
elevada permeabilidade (é o grau de magnetização de um material em resposta a um campo 
magnético) e por isso seus entreferros devem ser muito reduzidos. Por motivos de construção este 
núcleo possui a forma indicada na Fig. 3.2, como é destinado a canalizar um fluxo alternado, logo 
deve ser construído por um pacote de lâminas de aço-silício oportunamente isolados. 
 
 
 
Fig. 3.1 - Transformador monofásico. 
 
Aplicando nos extremos de qualquer destes enrolamentos a tensão alternada que se quer 
transformar V1, gera-se nos extremos do outro a tensão transformada V2. A relação entre estas 
duas tensões chama-se relação de transformação do transformador. 
O enrolamento alimentado pela tensão V1 que se quer transformar chama-se enrolamento 
primário e o outro que fornece a tensão transformada V2, chama-se enrolamento secundário. 
Analogamente as tensões V1 e V2 são denominadas comumente de tensão primária e secundária. 
As correntes I1 e I2 que atravessarão os dois enrolamentos constituem respectivamente a corrente 
primária e secundária do transformador. Como se sabe, os fenômenos de mútua indução são 
reversíveis, portanto nenhuma distinção pode ser feita entre o circuito primário e secundário, pois 
os dois enrolamentos podem funcionar indiferentemente como primário ou secundário, bastando 
alimentar um ou outro. 
 
Conversão de Energia 
 68
Construtivamente os enrolamentos são denominados: enrolamento de alta tensão (A.T.) o 
que tem maior número de espiras e enrolamento de baixa tensão (B.T.) o que tem menor número 
de espiras. 
O transformador funcionará como elevador de tensão quando se alimenta como primário o 
enrolamento de B.T, ou seja, o enrolamento com menor número de espiras, e pelo contrário como 
abaixador ou redutor de tensão quando se alimenta o enrolamento A.T. 
Os transformadores são máquinas de grande eficiência, e os de grandes potências 
apresentam comumente 95 a 99% de rendimento. 
 
 
1.7. TIPOS DE TRANSFORMADORES 
 
Quanto ao número de fases 
 
Monofásicos – Primário alimentado com uma fase e neutro; 
Bifásicos – Primário alimentado com duas fases e neutro ou fase e fase; 
Trifásicos – Primário alimentado com três fases e neutro ou três fases. 
 
 
Quanto a Relação entre as Tensões do Primário com Secundário 
 
Transformador Elevador – VP < VS / NP < NS / IP > IS 
Transformador Abaixador – VP > VS / NP > NS / IP < IS 
Transformador de Isolação (*) – VP = VS / NP = NS / IP = IS 
* - Sua função é isolar eletricamente o operador do sistema elétrico. 
 
 
Quanto ao Uso Específico 
 
Transformador Elevador: É usado nas subestações elevadoras de energia (subestação de 
geração), tem a função de elevar o nível de energia para a transmissão. Seu núcleo é feito com 
chapas de aço-silício, que tem baixas perdas, em baixas frequências, por isto, é muito eficiente. 
Transformador Abaixador: É usado nas subestações abaixadoras e de distribuição de 
energia, com a função de abaixar o nível de energia para a distribuição. Seu núcleo é feito com 
chapas de aço-silício, que tem baixas perdas, em baixas frequências, por isto, é muito eficiente. 
Transformador de Distribuição: Encontrado nos postes e entradas de força em alta tensão 
(industriais). Seu núcleo também é com chapas de aço-silício, e pode ser monofásico ou trifásico 
(três pares de enrolamentos). Podendoser de 15; 30; 45; 75 e 112,5 kVA. 
Transformadores de Potencial (TP): Encontra-se nas cabines de entrada de energia, 
fornecendo a tensão secundária de 220V, em geral, para alimentar os dispositivos de controle da 
cabine - relés de mínima e máxima tensão (que desarmam o disjuntor fora destes limites), 
iluminação e medição. A tensão do primário é alta, 13.8 kV ou maior. O núcleo é de chapas de 
aço-silício. Podem ser mono ou trifásicos. 
Conversão de Energia 
 69
Transformador de Corrente (TC): Usado na medição de corrente em cabines de entrada de 
energia e painéis de controle de máquinas, motores e outros. A corrente é medida por um 
amperímetro ligado ao secundário do TC. É especificado pela relação de transformação de corrente 
do primário, com a do medidor sendo esta padronizada em 5A, variando apenas a escala de leitura 
do amperímetro e o número de espiras do TC. 
Autotransformador: Possui estrutura magnética semelhante aos transformadores normais, 
diferenciando-se apenas na parte elétrica. A relação entre a tensão superior e inferior não deve ser 
superior a 3. É reversível, pode ser abaixador ou elevador. 
Transformador de Áudio: Usado em aparelhos de som à válvula e certas configurações a 
transistor, no acoplamento ente etapas amplificadoras e saídas ao alto-falante. Sua resposta de 
frequência dentro da faixa de áudio, 20 a 20.000 Hz, não é perfeitamente plana, mesmo usando 
materiais de alta qualidade no núcleo, o que limita seu uso. 
Transformador de RF: Empregam-se em circuitos de rádio-frequência (RF, acima de 30 kHz), 
no acoplamento entre etapas dos circuitos de rádio e TV. Sua potência em geral é baixa, e os 
enrolamentos têm poucas espiras. O núcleo é de ferrite, este se caracteriza por ter alta 
permeabilidade, que se mantém em altas frequências (o que não acontece com chapas de aço-
silício). Costumam ter blindagem de alumínio, para eliminar interferências, inclusive de outras 
partes do circuito. 
 
Cuidado: O Transformador de Corrente nunca deverá permanecer com o seu secundário 
em aberto enquanto o seu primário estiver energizado, pois desta forma, será desenvolvida uma 
alta tensão no secundário e não haverá f.c.e.m., no entanto haverá um aumento de fluxo 
causando uma perda excessiva no núcleo, por aquecimento. A elevada tensão no secundário e o 
fluxo magnético poderá danificar totalmente o TC e colocará em risco a vida dos operadores. 
 
 
1.8. SÍMBOLOS DOS TRANSFORMADORES 
 
Transformador Monofásico: 
 
 ou 
 
 
Transformador Trifásico: 
 ou 
 
Conversão de Energia 
 70
Autotransformador: 
 ou 
 
 
Transformador de Corrente: 
 ou 
 
 
1.9. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO 
 
O fenômeno da transformação é baseado no efeito da indução mútua. – Fig. 3.3 - onde 
temos um núcleo constituído de lâminas de aço prensadas e dois enrolamentos. 
 
 
Fig. 1.2 - Efeito da indução mútua 
 
Onde: 
V1 = tensão aplicada nos terminais da entrada (primária); 
E1 = tensão induzida no primário; 
N1 = número de espiras do primário; 
I1 = corrente no primário; 
V2 = tensão nos terminais de saída (secundário); 
E2 = tensão induzida no secundário; 
N2 = numero de espiras do secundário; 
I2 = corrente no secundário. 
Conversão de Energia 
 71
Enunciaremos agora a lei de Lenz, que é de fundamental importância para o perfeito 
entendimento dos fenômenos eletromagnéticos. 
A lei de Lenz diz o seguinte: Em todos os casos de indução eletromagnética uma força 
eletro-motriz (f.e.m.) induzida fará com que a corrente circule em um circuito fechado, num 
sentido tal que seu efeito magnético se oponha à variação que a produziu. Portanto se aplicarmos 
uma tensão V1 alternada ao primário circulará por esse enrolamento uma corrente I1 alternada 
que por sua vez dará condições ao surgimento de um fluxo magnético também alternado. 
A maior parte desse fluxo ficará confinado no núcleo, uma vez que é este o caminho de 
menor relutância. Esse fluxo originará uma força eletro-motriz (f.e.m.) E1 no primário e E2 no 
secundário proporcional ao número de espiras dos respectivos enrolamentos, segundo a relação. 
 
 1 1
2 2
E N
a
E N
 
 
Onde a é a razão de transformação ou relação entre espiras. 
 
As tensões terminal de entrada e saída (V1 e V2) diferem muito pouco das f.e.m. induzidas 
(E1 e E2) e para fins práticos podemos considerar: 
 
 1 1
2 2
V N
a
V N
 
 
Podemos também provar que as correntes obedecem a seguinte relação: 
 
 1 2
2 1
N I
a
N I
 
 
Onde: 
I1 = corrente no primário; 
I2 = corrente no secundário. 
 
Quando a tensão do primário V1 é superior a do secundário V2 temos um transformador 
abaixador. Caso contrário terá um transformador elevador de tensão. 
Cabe ainda fazer nota que sendo o fluxo magnético proveniente de corrente alternada, este 
também será alternado, tornando um fenômeno reversível, ou seja, podemos aplicar uma tensão 
em qualquer dos enrolamentos que teremos a f.e.m. no outro. 
Baseando-se neste princípio, qualquer dos enrolamentos poderá ser primário ou secundário. 
Chama-se de primário o enrolamento que recebe energia e secundário o enrolamento que alimenta 
a carga. 
Conversão de Energia 
 72
Exemplo 01: Se a tensão de entrada for 115 VRMS, a corrente de saída de 1,5 ARMS e a relação de 
espiras 9:1. Qual a tensão no secundário em valores de pico a pico? E a corrente elétrica no 
primário? 
Solução: 
 
 1 1
2 2
V N
a
V N
 
2
115 9
V 1
 2 RMSV 12,8 V 
 
 
 PV 12,8 2 = 18 V 
 
 PPV 18 2= 36 V 
 
 
 1 2
2 1
N I
a
N I
 
1
9 1,5
1 I
 1 RMSI 0,167 A 
 
 
Obs.: A potência elétrica de entrada e de saída num transformador ideal monofásico é igual, 
podendo ser calculada como descrita abaixo: 
 
P SP P 
 
  P P S SV I = V I 
 
   115 0,167= 12,8 1,5 19,2 W 
 
 
1.10. PERDAS NO TRANSFORMADOR 
 
1.11. PERDAS NO MATERIAL DOS ENROLAMENTOS 
 
 Perdas no cobre 
São perdas que surgem pela passagem de uma corrente (I) por um condutor de 
determinada resistência (R), estas perdas são representadas pela expressão R I 2 e dependem da 
carga aplicada ao transformador. 
 
 Perdas parasitas no condutor dos enrolamentos 
São perdas produzidas pelas correntes parasitas induzidas, nos condutores das bobinas, pelo 
fluxo de dispersão; são perdas que dependem da corrente (carga), do carregamento elétrico e da 
geometria dos condutores das bobinas. 
Conversão de Energia 
 73
1.12. PERDAS NO FERRO DO NÚCLEO MAGNÉTICO 
 
Estas perdas são as perdas calculadas com o transformado a vazio. 
 
 Perdas por histerese 
Qualquer núcleo magnético sujeito a magnetizar-se percorre um ciclo de histerese todas as 
vezes que o campo magnetizante varia de + Bm a - Bm e deste novamente para + Bm, sendo a 
potência perdida proporcional à área do ciclo, como mostrado na Fig.3.4. Esta perda foi 
interpretada como sendo necessária para vencer os atritos entre os magnetos elementares de que 
o núcleo se compõe, e foi chamada de perda por histerese magnética. 
 
 
Fig. 1.3 - Curva de M x H de um material ferromagnético 
 
 
Em outras palavras, podemos dizer que: quando o sentido da corrente é invertido, o 
alinhamento magnético do núcleo também é invertido, mas há um retardo por parte dos domínios 
magnéticos. Se gasta energia para alinhar os domínios magnéticos e inverter o alinhamento. Essa 
energia, não disponível no secundário, corresponde às perdas por histerese. Alguns 
transformadores que funcionam em altas frequências (telecomunicações) geralmente utilizam 
núcleo de ferro pulverizado (ferrite) para reduzir essas