Aula 3 - Fuções do segundo grau 1

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Prof: Alexsandro de Sousa 
Função Quadrática 
• Há várias situações do dia-a-dia em que a 
função quadrática está presente. 
Engenharia 
Arquitetura 
Física 
Biologia 
Esporte 
Indústria/ comércio 
Comunicações 
 
 
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FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 Seja a, b e c números reais e a ≠ 0. A função f :R→R 
 tal que para todo x Є R, é chamada função 
polinomial do 2º grau ou função quadrática. 
 
 
 
 
A função que relaciona a área A de um quadrado com a 
medida x do lado é dada por 
2)( xxf 
2x
x 
c bx ax² f(x) 
 
• a) y = x² + 3x + 2 ( a=1; b=3; c=2 ) 
• b) y = x² ( a=1; b=0; c=0 ) 
• c) y = x² - 4 ( a=1; b=0; c=-4 ) 
 
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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 Podemos visualizar 
uma parábola em um 
parque de diversões, 
simplesmente olhando 
para a montanha russa. 
 
 
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. 
Imagem: Kingda Ka / Dusso Janlade / GNU Free Documentation License 
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Concavidade da parábola 
Quando a > 0, a concavidade da 
parábola é voltada para cima. 
Quando a < 0, a concavidade da 
parábola é voltada para baixo. 
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Raízes da função quadrática 
 Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau 
 , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. 
 
 
 cbxaxxf  ²)(
 Então as raízes da função as soluções da equação 
do 2º grau, as quais são dadas pela chamada fórmula de 
Bhaskara: 
 
 
 sendo: 
 
2a
Δb
x


4.a.cbΔ 2 
2.a
4.a.c-b² ±b
x



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Observação 
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática 
depende do valor obtido para o radicando , chamado 
discriminante, a saber: 
 
quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
quando é zero, há só uma raiz real; 
quando é negativo, não há raiz real. 



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Δ=0 Δ>0 Δ<0 
Δ=0 Δ>0 Δ<0 
a>0 
a<0 
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Para obter esse ponto, 
atribuímos o valor zero à 
variável x da equação da 
parábola, 
 
 
 
 
 
cbay  0 . 0 . 2
cbxaxxf  ²)(
c
(0, c ) 
Ponto de intersecção da 
parábola com o eixo 0y 
Logo, o ponto de intersecção da 
parábola com o eixo oy é (0, c). 
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EXEMPLO DE GRÁFICO: 
 Construa o gráfico da função y= x² : 
 Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus 
valores correspondentes para y. 
 
x Y= x ² 
-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
  ²)( xx
A’ A 
V 
B B’ 
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 Exemplo: f(x) = 2 2 3x x 
X Y 
-2 5 
-1 0 
0 -3 
1 -4 
2 -3 
. 
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a
b
2

a4


y 
x 
a<0 
a
b
2

a4


x 
y 
a>0 
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Coordenadas do vértice da parábola 
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima 
e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem 
concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
 
 Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: 
)
4
,
2
(
aa
b 

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Exemplo: 
O vértice da parábola de equação é dado por V , 
em que: 
562  xxy  VV YX ,
 
3
1.2
6


vx
 
4
1.4
5.1.46
2


vy
e 
Portanto, o vértice da parábola é o 
ponto v(3, -4). 
5 1 
3 
-4 
5 
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xx 
 Imagem 
 O conjunto-imagem Im da função , a 0 é o 
conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 
 1ª - quando a > 0, 

a > 0 
2ª quando a < 0, 
a < 0 
Im = 
a4

 R{ }
cbxaxxf  ²)(
Im = 
}
4a

 R{
y 
x 
Yv 
Xv 
V 
x 
y 
x 
Yv 
Xv 
V 
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Outro método para construir o 
gráfico da função quadrática 
Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 8, com x e y  IR. 
1º passo: determinar as raízes da função 
x2 – 6x + 8 = 0 
∆ = (-6)2 – 4.1.8 = 36 -32 
∆ = 4 
2'x'
4x'
2.1
46)(
x



2º passo: estudo da concavidade 
a = +1  concavidade para cima 
a = 1 
b = -6 
c = 8 
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3º passo: determinar o vértice da parábola 
3
2
24
V
2
'x'x'
V
x
x




 Vy = 3
2 – 6 . 3 + 8 
Vy = 9 – 18 + 8 
Vy = -1 
V = (3, -1) 
3
2
6



2(1)
(-6)-
Vx
2a
b
Vx
1
4
4





4(1)
(4)-
4a
Vy
yV
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4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y 
 (quando x=0) 
f(x) = x2 - 6x + 8 
f(0) = 02 – 6.0 + 8 
f(0) = 8 
Temos então o ponto (0,8) 
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f(x) = x2 – 6x + 8 
Termo 
independente 
Raízes da função 
Vértice 
5º passo: esboço do gráfico 
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