O Pêndulo Simples (2º experimento)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
REGIONAL CATALÃO
Relatório II - Pêndulo Simples
02/04/2019
Andreza Angel de Souza Couto – 201805182
Matheus Tomé De Melo Mattos – 201614476
Catalão - Go
Resumo
A realização do experimento com o pêndulo simples nos permite determinar o valor da gravidade local através da medida do período (T) das oscilações de um pêndulo que efetua um movimento harmônico simples (MHS). 
Palavras chaves: Pêndulo, gravidade e oscilações.
Introdução
Os movimentos oscilatórios são aqueles que se repetem em intervalos regulares ou indefinidamente. Um tipo de movimento periódico é o Movimento Harmônico Simples (MHS) sendo uma dos principais exemplos desse tipo de movimentação o pêndulo simples, o qual é composto por um fio leve e inextensível com comprimento (L), sua extremidade superior é fixa e na inferior é presa uma massa (m). Quando essa massa é retirada do equilíbrio, depois de solta ela passa a oscilar com intervalos de tempos iguais. Assim o período é definido como o menor intervalo de tempo de uma repetição, ou seja, o intervalo de tempo para o sistema executar uma oscilação completa. Dessa forma temos a seguinte esquematização do pêndulo e as forças atuantes sobre ele. (Figura 1). 
Figura 1- Esquematização do pêndulo simples.
Fonte : Google Imagens [1].
Em conformidade com a Segunda Lei de Newton, a força resultante Fr é obtida por: Fr = m.a 
A componente tangencial da força gravitacional produz um torque restaurador em torno do ponto de articulação do pêndulo, o qual atua no sentido contrário do movimento de modo a trazer o pêndulo à posição de equilíbrio. Neste sentido, considerando apenas a componente tangencial da Fg obtém-se: 
-m.g.sen = 
Onde o comprimento de arco S está relacionado ao ângulo por: 
S = L . 
Dessa forma podemos obter: 
 = - sen
A equação acima demonstra que o movimento do pêndulo não depende da massa m. Para ângulos muito pequenos podemos assumir sen . 
Portanto temos:
 + = 0
Como Equação Homogênea Linear de 2ª ordem análoga a equação do Oscilador Harmônico Simples. O movimento do pêndulo para pequenos ângulos de deslocamento, portanto, é aproximadamente um MHS. Neste caso, por comparação a equação do movimento é dada por: 
 + = 0.
 Assim obtemos a frequência angular do pêndulo:
E, portanto o período T do movimento é dado por:
.
Procedimento Experimental
Materiais utilizados:
Fio fino e inextensível 
Cronômetro 
Régua milimetrada
Cilindro de massa m 
Figura 2 – Sistema utilizado para realização do experimento
Fonte: Google imagens. [2]
Execução do experimento
Após a montagem do sistema mediu-se o comprimento L do fio (do ponto de suspensão até o centro de massa do cilindro), sendo o valor encontrado de 0,4 metros. Depois retirou-se o cilindro da sua posição de equilíbrio obtendo para θ (ângulo entre o fio e a vertical) o valor de 10°. Depois liberou-se a massa m e utilizou o cronômetro para medir o período de 5 oscilações e esse ultimo processo foi repetido 20 vezes e os valores obtidos anotados. 
Posteriormente variou-se o comprimento do fio nas seguintes ordens 0,4/0,45/0,5/0,55/0,60 m e para cara variação de L mediu-se o período 10 vezes. Por fim adotou-se L como 0,3 m e mediu-se o valor do período para = 10°, 20°, 30°, 45°, 60° e 90°. 
Resultados e Discussão
 	Com o pêndulo em 40 cm fazemos 20 medições de oscilações (t = 5T)
 
	Ni
	5T
	1
	6,31
	2
	6,14
	3
	6,28
	4
	6,11
	5
	6,15
	6
	6,18
	7
	6,27
	8
	6,21
	9
	6,16
	10
	6,24
	11
	6,1
	12
	6,11
	13
	6,3
	14
	6,14
	15
	6,18
	16
	6,15
	17
	6,33
	18
	6,27
	19
	6,11
	20
	6,24
	
	Fazemos uma análise estática dos valores encontrados e assim encontramos:
	Assim o período de oscilação do pêndulo simples e , a partir desses dados vamos calcular o valor da aceleração da gravidade com a expressão:
	Substituindo os valores temos:
		E então sua incerteza será,
	Encontramos assim uma gravidade de () m/s com um erro de 5% em relação ao valor de 9,8 m/s
	Agora vamos calcular o valor da gravidade por outro método, para isso temos 5 alturas diferentes e 10 períodos de oscilação para cada. 
	Altura (m)
	0,4
	0,45
	0,5
	0,55
	0,6
	1
	6,28
	6,53
	7
	7,24
	7,62
	2
	6,17
	6,54
	6,9
	7,25
	7,65
	3
	6,17
	6,5
	6,94
	7,31
	7,62
	4
	6,18
	6,65
	6,98
	7,28
	7,51
	5
	6,27
	6,52
	7,07
	7,29
	7,68
	6
	6,21
	6,48
	6,81
	7,32
	7,71
	7
	6,31
	6,58
	6,85
	7,32
	7,51
	8
	6,3
	6,47
	7
	7,23
	7,65
	9
	6,18
	6,58
	6,91
	7,24
	7,55
	10
	6,24
	6,53
	6,88
	7,26
	7,64
	
	
	
	
	
	
	T
	6,231
	6,538
	6,934
	7,274
	7,614
	T/5
	1,2462
	1,3076
	1,3868
	1,4548
	1,5228
Nos dando uma tabela uma tabela de comprimento por tempo: 
	Período
	Comprimento
	1,2462
	0,4
	1,3076
	0,45
	1,3868
	0,5
	1,4548
	0,55
	1,5228
	0,6
	Faremos agora mínimos quadrados com esses valores para encontrar a equação:
T(t)= 
	5
	3,526599
	a1 =
	6,9182
	3,526599
	2,5
	a2 =
	4,904411
a1=1,970519
a2= -0,00621
	Agora iremos encontrar a gravidade substituindo o a2:
Qual o valor do período T se a massa m for dez vezes maior?
A massa pendular m não influencia no período T do movimento. Como é mostrado pela equação, onde θ é muito pequeno:
Se o ângulo θ for muito grande, o que deve ocorrer com o período T do pendulo simples?
A medida que o ângulo aumenta o periodo tente a aumentar junto.
Conclusão 
	Ao realizar o experimento de movimento harmônico simples através do movimento de um pêndulo simples foi possível comprovar através das atividades que o período é diretamente proporcional a extensão do fio e inversamente proporcional com a gravidade. Logo o experimento teve um resultado satisfatório, apesar da aceleração da gravidade obtida ter sido diferente do valor teórico, mas isso se deve a imperícia ao tentar obter os tempos de oscilação.
Referências
[1] Esquematização de um pêndulo simples e as forças atuantes em seu movimento. Disponível em: <http://s3.amazonaws.com/magoo/ABAAAei3gAC-0.jpg>. Acesso em 11 dez. 2017
[2]Pêndulo Simples. Disponível em: <http://www.cienciamao.usp.br/dados/epc/_pendulosimples.zoom.jpg>. Acesso em 11 dez. 2017
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER , Jean. Fundamentos de Física. 6ª edição. Rio de Janeiro
TIPLER, Paul A., MOSCA, Gene – Física, Vol. 1,5ª Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ, 2006, pp. 433-434.
YOUNG, Hugh D., FREEDMAN, Roger A. – Física I – Mecânica, Capitulo 11 (seções 11.4-11.7), 10ª Edição, Pearson Addison Wesley, São Paulo, SP, 2003.