EXERCICIOS DO TESTE3-ALGEBRALINEAR-2015

Prévia do material em texto

1. Dado o subespac¸o W1 = { (x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y+ z = 0 } ache um subespac¸o W2 tal que
W1 ⊕W2 = R3.
2. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
(a) Determine uma base do nu´cleo de T .
(b) Deˆ a dimensa˜o da imagem de T .
(c) T e´ sobrejetora ? Justifique
(d) Fac¸a um esboc¸o do Ker T e ImT
3. Sejam W1 o plano xy e W2 = ger{(1, 1, 0); (0, 0, 1) } dois subepac¸os de V = R3.
(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base deste subespac¸o.
(b) Determine W1 + W2 e mostre que esta soma na˜o e´ direta.
(c) E´ poss´ıvel encontrar um subespac¸o U de R3 de modo que U ⊕W2 = R3 ? Em caso
afirmativo, qual ? Justifique suas respostas.
4. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x−y, x+z, y−z).
(a) Determine uma base e a dimensa˜o da imagem de T .
(b) T e´ injetora ? Justifique
5. (2.5) Dados T : U → V linear e injetora e u1, u2, vetores LI em U , mostre que
T (u1), T (u2) sa˜o vetores LI em V .