Física moderna Livro-Texto - Unidade III

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Unidade III
Unidade III
Nesta unidade, serão apresentados os conceitos de:
• modelos atômicos;
• espectros atômicos;
• o modelo de Bohr do átomo;
• regras de quantização de Sommerfeld;
• princípio da correspondência;
• propriedades ondulatórias da matéria;
• princípio da incerteza de Heisenberg.
Após o estudo dessa unidade, o aluno será capaz de:
• compreender a estrutura atômica; 
• conhecer os níveis de energia quantizados do átomo;
• entender a aplicação das ideias de quantização no modelo de Bohr do átomo;
• correlacionar os comportamentos corpuscular e ondulatório da radiação e da matéria;
• explicar os postulados e princípios básicos que regem os processos em escala atômica.
5 MODELOS ATÔMICOS
O início do pensamento relacionado à origem e à constituição da natureza remonta aos filósofos 
gregos antigos. Tales de Mileto, que viveu aproximadamente no século VI a.C., foi um dos pioneiros nesse 
questionamento filosófico.
Para ele, a natureza possuía como elemento fundamental a água. Assim, todo o universo, seres 
humanos e inanimados seriam formados por ela.
Historicamente, os maiores pensadores gregos sobre a constituição da natureza foram Leucipo e seu 
aluno Demócrito.
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Leucipo viveu aproximadamente no século V a.C. e acreditava que o universo era constituído por 
elementos indivisíveis e pelo vazio. Não existem escritos remanescentes de Leucipo. O seu pensamento 
chegou até a posteridade através de seu aluno Demócrito.
Demócrito acreditava que a menor parte (partícula) de qualquer ente da natureza deveria ser 
indivisível. Assim, a menor parte não poderia ser fragmentada indefinidamente.
Por esse conceito, Demócrito deu o nome a essa partícula (menor parte) de átomo. Em grego “a” é o 
sufixo de negação e “tomos” significa divisão. Portanto, nessa língua, átomo significa indivisível.
Como Demócrito acreditava no conceito dos quatro elementos (terra, fogo, ar e água) de Empédocles, 
ele conjecturou que tudo seria formado pela união dos átomos desses quatro elementos e de espaços vazios.
Muito tempo depois dos filósofos gregos, no século XVII, o químico Boyle, baseado em experiências, 
observou que algumas substâncias conhecidas poderiam ser combinadas e produziriam outras. Ele 
concluiu que cada substância teria o seu átomo. Logo, os átomos das substâncias podiam combinar 
entre si, produzindo novas substâncias.
Boyle também usou os termos “elemento” para nomear substâncias simples.
Dalton, no início do século XIX, baseado nas ideias de Boyle e nas leis de reações químicas, como as 
de Lavoisier, criou uma teoria atômica. Seus principais pressupostos são:
• toda a matéria é composta de partículas fundamentais que foram chamadas de átomos;
• os átomos são indivisíveis e permanentes;
• os átomos de um dado elemento são iguais em suas propriedades entre si;
• uma reação química consiste na combinação, separação ou rearranjo de átomos;
• os compostos são feitos de átomos de elementos em proporções fixas.
Ainda segundo ele, os átomos seriam como bolas de bilhar, conforme ilustrado a seguir.
Figura 18 – Átomos de Dalton para diferentes elementos
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Os conceitos de Dalton colocavam o átomo como unidade fundamental da matéria.
No entanto, com o avanço da tecnologia experimental, verificou‑se que os átomos não eram indivisíveis 
(ou seja, podiam se dividir), não eram maciços (como as bolas de bilhar), não eram impenetráveis e 
nem indestrutíveis.
As experiências de Thompson e Millikan mostrando a existência do elétron e medindo a sua carga 
como sendo a elementar, conforme discutimos anteriormente, deveriam ser incorporadas aos modelos 
do átomo.
No entanto, mais uma partícula que constituiria o átomo foi descoberta: o próton.
5.1 A descoberta do Próton
Em 1895, Jean Perrin mostrou que os raios canais eram constituídos de partículas eletricamente positivas.
Três anos depois, Wien conseguiu determinar a razão q/m desses raios canais, produzidos por 
hidrogênio nos tubos de Crookes (CHESMAN; ANDRÉ; MACEDO, 2004). Ele verificou que essa razão era 
aproximadamente 2.000 vezes maior do que aquela obtida para os elétrons.
Foi Thompson, a partir desses experimentos, quem concluiu que os raios canais produzidos 
pelo hidrogênio nos tubos de Crookes eram correspondentes a uma partícula fundamental do 
átomo, com carga positiva e com intensidade de carga elétrica equivalente à do elétron (mas 
de natureza oposta).
Como a razão q/m já era conhecida e a carga elementar (do elétron) já tinha sido medida por 
Millikan, Thompson pode calcular a massa dessa partícula obtendo o valor de 1,26.10‑27 kg.
Essa partícula feita a partir do hidrogênio passou a ser considerada a formadora de todos os 
elementos químicos, por isso recebeu o nome de “protos” (palavra da língua grega que significa origem). 
Com o tempo, esse nome foi alterado para próton.
5.1.1 O modelo atômico de Thomson
No final do século XIX, já era sabido que o modelo atômico de Dalton não era suficiente para a 
explicar a existência das partículas descobertas: elétrons e prótons.
Thompson foi o primeiro a propor um modelo atômico que levava em consideração a existência 
dessas partículas e o fato de estarem contidas na estrutura chamada átomo.
No modelo de Thomson, os elétrons estariam, em cada átomo, embebidos em fluido que 
continha a maior parte da massa do átomo e possuía cargas positivas suficientes para deixá‑lo 
eletricamente neutro.
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Sua ideia era como se o átomo fosse uma esfera positiva carregada de forma homogênea, que conteria 
quase toda a massa do átomo, e os elétrons estariam distribuídos simetricamente em torno dela.
O modelo de Thompson ficou conhecido como “modelo de pudim de ameixas” (plum pudding). O 
pudim seria a parte positiva (prótons) e as passas a parte negativa (elétrons).
O exemplo possuía algumas falhas. A primeira era que as forças elétricas atuantes não seriam 
suficientes para manter o sistema em equilíbrio estático. Assim, as cargas negativas deveriam estar 
em movimento acelerado. Esse tipo de movimento faria com que houvesse uma emissão contínua de 
radiação eletromagnética. Essa emissão não era observada experimentalmente.
A outra falha era de ordem espectroscópica. Já era sabido que os átomos emitiam radiação 
em certos comprimentos de onda, chamados de linhas espectrais. O conjunto dessas linhas é 
denominado espectro.
Um espectro pode ser usado para identificar um elemento químico como se fosse sua “impressão digital”.
Os comprimentos de onda das linhas espectrais podiam ser determinados com grande precisão.
Para que o modelo de Thompson fosse compatível com os dados espectroscópicos dos átomos 
conhecidos, seria necessário que as cargas elétricas oscilassem no átomo em frequências (das linhas 
espectrais) características.
Todavia, Thompson não conseguiu encontrar um arranjo de cargas em seu modelo que permitisse 
explicar as linhas espectrais dos átomos.
Figura 19 – Modelo de Thompson – “pudim de ameixas”
5.1.2 O modelo atômico de Rutherford
O modelo de Thompson foi considerado inadequado após uma série de experimentos realizados por 
Ernest Rutherford.
Rutherford estava estudando radioatividade, que consiste na emissão de certos tipos de radiação 
pelos elementos químicos (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
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Ele tinha descoberto que o rádio ao se desintegrar emitia o que era chamado de partículas α (alfa) 
com alta energia e massa relativamente elevada e que elas poderiam ser usadas para “ver” o interior de 
outros átomos.
As primeiras experiências de Rutherford consistiam em fazer com que partículas alfa incidissem 
em lâminas muito finas de metal (por exemplo: ouro ou platina) e estudar o poder de penetração 
dessas partículas.
De acordo com o modelo de Thompson, as colisões de partículas alfa com os átomos das folhas deveriam 
provocar pequenas deflexões angulares nas partículas alfa. Essas deflexões angulares poderiam ser observadas 
pela cintilação produzida pela colisão da partícula alfa com uma tela de sulfeto de zinco (cintilômetro).
Essa ideia pode ser vista na figura a seguir.
Bloco de chumbo com 
rádio em seu interior
Cintilômetro
Partícula desviada
Placa de ZnS
α
α
Lâmina de metal
Figura 20 – Esquema do experimento de Rutherford
α θ
Figura 21 – Esquema do desvio sofrido por uma partícula alfa ao colidir com um átomo de metal 
de acordo com o modelo proposto por Thompson. O ângulo θ seria da ordem de 10
No entanto, após repetir essas experiências por diversas vezes Rutherford observou que para algumas 
poucas partículas alfa o ângulo de deflexão era relativamente alto, em alguns experimentos maior que 900.
Esse fato experimental não poderia ser explicado pelo modelo atômico de Thompson.
De acordo com as próprias palavras de Rutherford:
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Foi a coisa mais incrível que aconteceu em toda a minha vida. Era tão incrível 
quanto se você disparasse um projetil de 15 polegadas contra um pedaço de 
papel e o projetil ricocheteasse de volta (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 104).
Os experimentos de Rutherford levaram ao seguinte questionamento: como explicar os grandes 
desvios sofridos pelas partículas alfa?
Rutherford argumentou que as grandes deflexões (observadas experimentalmente) sofridas pelas 
partículas alfa estavam relacionadas ao encontro delas com uma carga positiva concentrada em uma 
região compacta e muito menor que o átomo como um todo (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
Estava assim colocada a ideia de que os átomos possuiriam toda a sua carga positiva e grande parte 
de sua massa concentrada em uma região muito pequena denominada núcleo atômico.
5.2 Espectros atômicos
A radiação eletromagnética emitida pelos átomos dos elementos químicos quando estes eram 
submetidos a descargas elétricas em tubos de Crookes foi pesquisada no final do século XIX.
Essa radiação emitida em vários comprimentos de onda constitui o que se chama espectro. Esse 
espectro pode ser descomposto por um prisma (ou uma rede de difração) que constitui a essência de 
um equipamento chamado espectroscópio.
Os comprimentos de onda desse espectro podiam ser medidos com grande precisão naquela época. Os 
físicos observaram que eles apareciam em uma dada série e esses comprimentos de onda são característicos 
de cada elemento químico. Assim, poderiam ser usados para identificar o elemento em uma amostra.
Em 1885, Balmer descobriu que os comprimentos de onda do espectro do hidrogênio (na região do 
U.V. e do visível) podiam ser calculados por uma expressão empírica simples (TIPLER; LLEWELLYN, 2006):
( )
2
m 2
m
364,6. 
m
nm
4
λ =
−
 (eq. 3.1)
 Observação
A série de Balmer é uma das sequências de transições possíveis do 
átomo de hidrogênio.
Os comprimentos de onda determinados por essa equação constituem o que é conhecido como série 
de Balmer.
Alguns anos mais tarde, J. Rydberg e W. Ritz desenvolveram uma expressão mais geral que aquela 
desenvolvida por Balmer (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). Ela é conhecida como fórmula de Rydberg‑Ritz e 
está descrita a seguir:
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2 2
mn
1 1 1
R.
m n
 = −  λ
 (eq. 3.2)
onde n e m são números inteiros e n>m.
O valor da constante R é igual a: 1,0967 . 10‑7 m‑1.
Essa constante tem uma pequena variação dependendo do elemento químico.
A fórmula empírica de Rydberg‑Ritz alcançou certo sucesso, pois permitiu a previsão da existência 
de linhas espectrais que ainda não tinham sido observadas.
6 O MODELO DE BOHR PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Niels Bohr propôs um modelo para o átomo de hidrogênio que levava em consideração as descobertas 
de Rutherford e os trabalhos de Einstein e Planck.
Esse modelo permitiu descrever com precisão as linhas do espectro do átomo de hidrogênio, ou seja, 
tornou possível a expressão empírica obtida por Rydberg‑Ritz.
O modelo de Bohr, foi baseado na hipótese de que o elétron no átomo de hidrogênio orbitava ao 
redor do núcleo atraído por sua carga positiva do próton (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
Essa hipótese implicava considerar que essa força de atração elétrica seria uma resultante centrípeta. 
Para simplificar as operações matemáticas em seus cálculos, Bohr admitiu que as órbitas eram circulares.
Assim, de acordo com Bohr temos:
2 2
e cp 2
kZe mv
F F
rr
= → =
 
 (eq. 3.3)
Em termos mecânicos o modelo era estável, uma vez que considerava a força elétrica como a força 
centrípeta. No entanto, de acordo com a teoria eletromagnética, esse modelo para o átomo não poderia 
ser estável.
O motivo dessa instabilidade reside no fato de que a teoria eletromagnética prevê que cargas elétricas 
aceleradas (como aquelas em uma antena de transmissão) devem emitir radiação eletromagnética.
Como essa radiação transporta energia, o elétron, ao emiti‑la, deveria progredir para órbitas de raios 
menores. Assim, com o passar de um intervalo de tempo (que seria da ordem de um microssegundo), o 
elétron deveria se chocar com o próton no núcleo atômico.
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Com essas considerações clássicas, o modelo de Bohr indicava que o átomo de hidrogênio deveria 
emitir um espectro contínuo e teria um tempo de vida muito pequeno, mas essas implicações não são 
experimentalmente observadas.
Bohr resolveu esses entraves da Física Clássica do modelo propondo dois postulados:
• 1º: “os elétrons se movem em órbitas estáveis sem irradiar energia”. Essas órbitas foram denominadas 
de estados estacionários (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 86).
• 2º: “quando um elétron faz uma transição de um estado estacionário para outro, a radiação emitida 
(absorvida) é de frequência (ν) proporcional à diferença de energias das órbitas. A constante de 
proporção é a constante de Planck (h)” c.
O segundo postulado de Bohr pode ser matematicamente escrito como:
h . ν = Ei ‑ Ef (eq. 3.4)
O segundo postulado, na essência, é o princípio de conservação de energia aplicado ao fóton da 
radiação emitida. Um fato importante foi que Bohr desconsiderou o efeito clássico que a frequência 
da radiação emitida estaria vinculada à frequência de movimento do elétron ao redor do núcleo.
Para calcular a energia dos estados estacionários, Bohr postulou o que ficou conhecido como 
princípio da correspondência. De acordo com ele: “No limite de grandes órbitas e altas energias, os 
resultados quânticos devem coincidir com os resultados clássicos” (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
A ideia do princípio era de que independentemente das modificações necessárias nos conceitos 
de física clássica para descrever o comportamento microscópico da natureza, quando esses resultados 
são extrapolados ao mundo macroscópico, devem estar de acordo com as leisda Física Clássica (leis de 
Newton, princípio de Hamilton, equações de Lagrange ou Maxwell, leis da termodinâmica etc.).
Uma das consequências do segundo postulado de Bohr estava relacionada com o momento angular 
do elétron em seu movimento orbital. Esse momento angular deveria ser quantizado, podendo assumir 
valores iguais a múltiplos inteiros da constante de Planck dividida por 2π, assim:
n.h
L n. ;n 1,2,3
2
= = = …
π

 (eq.) onde 
h
2
=
π
 . (eq. 3.5)
Com esses conceitos, Bohr conseguiu deduzir a expressão da série de Rydberg‑Ritz.
 Observação
Os postulados de Bohr foram estendidos anos mais tarde por Sommerfeld.
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Para isso, ele começou com igualdade da intensidade da força centrípeta com a intensidade da força 
elétrica, obtendo o valor da velocidade orbital do elétron:
2 2
e cp 2
kZe mv
F F
rr
= → =
 
 (eq. 3.6)
que simplificando o fator r do raio e resolvendo para a velocidade, conduz a:
2 2
2kZe kZemv v 
r m.r
= → = (eq. 3.7)
No entanto, a conservação do momento angular implica que:
n.
L n. mvr r
mv
= = → =


 (eq. 3.8)
Usando na equação o resultado obtido pela equação, escrevemos:
22
n. n. m.r 
r .
m kZekZe
m
m.r
= =
 
 (eq. 3.9)
Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado na equação 3.9, temos:
2 2
2
2 2
n . m.r 
r .
m kZe
=
 simplificando o termo da massa (m) e o termo do raio r:
2 2
2
2 2
n . m.r 
r .
m kZe
=
 essa simplificação permite obter o raio da órbita em função do número quântico 
“n”. O raio orbital é calculado por:
2 2
n 2
n .
r
mkZe 
=

 (eq. 3.10)
Se na equação anterior isolamos as constantes físicas e a massa do elétron, escrevemos:
2 2 2 2
n 2 2
n . n
r .
ZmkZe mke 
= =
 
 (eq. 3.11)
onde é definido que:
2
0 2a 0,529mke
= =
 DÅ é o chamado raio de Bohr.
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Considerando, portanto o raio de Bohr o raio orbital do elétron associado ao número quântico n é:
2
n 0
n
r .a
Z
= (eq. 3.12)
 Observação
O raio de Bohr é uma medida da ordem de grandeza do tamanho de um 
átomo. Seu valor é determinado a partir de constantes físicas fundamentais.
Para o átomo de hidrogênio, Z = 1 e considerando o valor de n= 1 (primeiro raio orbital), temos que o 
raio da órbita seria igual ao raio de Bohr, que corresponderia ao menor raio possível da órbita do elétron 
do átomo de hidrogênio.
Assim, esse valor é uma estimativa do tamanho do átomo de hidrogênio no estado fundamental, ou 
seja, não excitado.
Para calcularmos a energia do elétron, lembremos que a energia mecânica do elétron orbital é dada por:
E = Ec + Ep (eq. 3.13)
a energia cinética desse elétron pode ser calculada por:
2
c
m.v
E
2
= essa energia pode ser obtida a partir da expressão da força centrípeta (eq.), observe que:
2 2 2 2 2
2
e cp 2
kZe mv kZe m.v kZe
F F m.v
r r 2 2rr
= → = → = → =
 
 (eq. 3.14)
a expressão para a energia potencial elétrica é dada por:
2
p
kZe
E
r
= − (eq. 3.15)
 Observação
A energia potencial elétrica é negativa quando a força elétrica entre as 
cargas é atrativa.
Como ambos termos de energia estão vinculados à medida do raio orbital e este está relacionado ao 
número quântico n, escrevemos a energia desse elétron orbital para o n‑estado:
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2 2 2
n c p
n n n
kZe kZe kZe
E E E
2r r 2r
= + = − = − (eq. 3.16)
usando a expressão do raio orbital obtida na equação (3.11):
2 2 2 2 2 4 2
n 02 2 2 2 2
n
kZe kZe mkZe mk Z e Z
E . E . ;n 1,2,3
2r 2 n . 2n . n
= − = − = − = − = …
 
 (eq. 3.17)
onde 
2 4
18
0 2
mk e
E 2,18.10 J 13,6 eV
2.
−= = =

.
A equação 3.17 mostra que a energia total do elétron é quantizada. Isso significa que para cada 
estado estacionário, há uma energia específica.
Essa expressão da energia quantizada do elétron no átomo de Bohr pode ser usada para obter a série 
de Rydberg‑Ritz (que tinha sido conquistada de forma empírica).
Para mostrar esse fato, lembremos da forma matemática do segundo postulado de Bohr (eq. 3.4):
h . ν = Ei ‑ Ef (eq. 3.4)
na qual as energias Ei e Ef estão relacionadas aos números quânticos ni e nf, então:
2 2
2
i f 0 0 02 2 2 2
i f f i
Z Z 1 1
h. E E E E . E .Z
n n n
.
n
   
ν = − = − − − = −     
 (eq. 3.18)
assim:
2
0
2 2
f i
E .Z 1 1
 
h n n
 
ν = −  
 (eq. 3.19)
Usando a equação fundamental da ondulatória para ondas eletromagnéticas:
c
c .= λ ν→ ν =
λ
 (eq. 3.20)
que pode ser substituída na equação e leva a:
2 2
20 0
2 2 2 2 2 2
f i f i f i
E .Z E .Zc 1 1 1 1 1 1 1 1
R.Z
h chn n n n n n
     
= − → = − → = −     λ λ λ     
 (eq. 3.21)
na qual a constante R da expressão de Rydberg‑Ritz é dada por:
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2 4
2 42
0
3
mk e
E mk e2.R
ch c.2 4 c
= = =
π π



 (eq. 3.22)
Para o átomo de hidrogênio, temos que Z=1, assim a energia do elétron orbital pode ser escrita, de 
acordo com a equação como:
( )
2
0 0
n 0 2 2 2 2
E .1 EZ 13,6
E E . eV
n n n n
− −
= − = = = − (eq. 3.23)
 Observação
É muito comum usarmos para a energia a unidade elétron‑volt.
O estado fundamental é aquele em que n= 1 e corresponde ao estado de menor energia do átomo. 
De acordo com as equações anteriores, o elétron no átomo de hidrogênio no estado fundamental possui 
energia igual a ‑13,6 eV. É importante ressaltar que o sinal de menos nesse valor de energia significa que 
o elétron está ligado ao núcleo.
Consequentemente, para remover o elétron do átomo de hidrogênio é necessário fornecer essa 
energia, também conhecida como energia de ionização.
 Saiba mais
O átomo de Bohr foi uma aplicação extraordinária dos conceitos de 
física quântica que estavam sendo desenvolvidos no início do século XX. 
Veja os seguintes artigos para se aprofundar no assunto:
PARENTE, F. A. G.; SANTOS, A. C. F.; TORT, A. C. Os 100 anos do átomo 
de Bohr. Revista Brasileira de Ensino de Física, Rio de Janeiro, v. 35, n. 4, 
p. 4.301, 2013. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/354301.
pdf>. Acesso em: 7 dez. 2018.
TENFEN, D. N.; TENFEN, W. O modelo atômico de Bohr e as suas limitações 
na interpretação do espectro do átomo de hélio. Caderno Brasileiro de 
Ensino de Física, Realeza, v. 34, n. 1, p. 217‑235, abr. 2017. Disponível em: 
<https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/2175‑7941.2017v3
4n1p216/34014>. Acesso em: 7 dez. 2018.
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RIVEROS, J. M. O legado de Niels Bohr. Química Nova, São Paulo, v. 36, n. 
7, p. 931, 2013. Disponível em: <http://quimicanova.sbq.org.br/imagebank/
pdf/Vol36No7_931_00b‑editorial36‑7.pdf>. Acesso em: 19 dez. 2018.
Exemplo 1
Átomo de Bohr – Um átomo de hidrogênio emite um fóton de energia 2,55 eV na transição entre 
dois estados estacionários. Determine entre quais estados ocorre essa transição.
Resolução: para que o fóton de energia seja emitido com 2,55 eV, temos que:
( )n 2
13,6
E eV
n
= −
( )
( )2 2
13,6
n 2 E 3,4 eV
2
= → = − = −
( )
( )3 2
13,6
n 3 E1,51 eV
3
= → = − = −
( )
( )4 2
13,6
n 4 E 0,85 eV
4
= → = − = −
Assim, a transição ocorre dos níveis n= 4 para n= 2, pois:
Efóton = E4 ‑ E2 = (‑ 0,85) ‑ (‑3,4) = 2,55eV
Exemplo 1: série de Lyman (adaptado)
Considere a série de Lyman do átomo de hidrogênio.
• Qual é o comprimento de onda do fóton de menor energia dessa série?
• Qual é o comprimento de onda limite dessa série?
Resolução:
A) Para a série de Lyman, como em qualquer série, o comprimento de onda do fóton de menor 
energia corresponde à transição entre o estado de base da série (n= 1) e o estado imediatamente 
superior (n = 2).
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Assim, considerando:
n 2
13,6
E
n
= −
Teremos:
( )19 182 1 2 21 1E E E 13,6. 10,2eV 10,2.1,6.10 J 1,632.10 J2 1
− − ∆ = − = − − = = =  
Usando a relação de Einstein:
34 8
9
18
c h.c 6,6.10 .3,0.10
E h. 122.10 m
E 1,632.10
−
−
−∆ = → λ = = ≅λ ∆
B) O comprimento de onda limite corresponderia à transição de n= 1 até n=∞. Assim:
( )19 181 2 21 1E E E 13,6. 13,6eV 13,6.1,6.10 J 2,716.10 J1
− −
∞
 ∆ = − = − − = = =  ∞
O comprimento de onda do fóton correspondente:
34 8
9
18
h.c 6,6.10 .3,0.10
91,1.10 m
E 2,716.10
−
−
−λ = = ≈∆
6.1 Regras de Quantização de Sommerfeld‑Wilson
O modelo de Bohr alcançou grande sucesso devido à sua concordância com os dados experimentais 
obtidos por espectroscopia. No entanto, esse modelo era baseado em regras de quantização, 
principalmente na quantização do momento angular do elétron.
Em 1916, Sommerfeld e Wilson (EISBERG; RESNICK, 1988) enunciaram um método para as regras de 
quantização vinculadas a qualquer sistema físico, no qual as coordenadas eram funções repetitivas com 
relação ao tempo. Tais regras generalizavam as quantizações de Planck e de Bohr.
A regra de quantização proposta por eles pode ser equacionada como:
q qp dq n .h=∫ (eq. 3.24)
A equação anterior deve ser entendida como a integral sobre um período da coordenada cíclica q e 
pq, o seu momento associado nq é um número quântico que assume valores inteiros.
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Unidade III
Por exemplo, aplicando a regra de Sommerfeld‑Wilson a um elétron em órbita circular ao redor do 
núcleo atômico, teremos:
q qp dq n .h=∫ ; nesse caso, escrevemos que a coordenada cíclica é q = θ, uma vez que o elétron está 
em movimento circular e após um período os valores angulares tornam a se repetir.
Para o momento associado à essa coordenada, temos o momento angular (L) , logo: pq = L .
Usando a regra de quantização:
2
q q 0
p dq n .h L.d n.h
π
= → θ =∫ ∫ (eq. 3.25)
Como o momento angular é constante de movimento:
2 2
0 0
n.h
L.d L. d L.2 n.h L L n.
2
π π
θ = θ→ π = → = → =
π∫ ∫  (eq. 3.26)
Observamos que a equação (3.26) é a mesma equação (3.5) proposta por Bohr.
 Saiba mais
Para conhecer mais sobre as ideias de Sommerfeld, veja o artigo:
BRAGA, J. P. Os cem anos do átomo de Sommerfeld. Revista Brasileira 
de Ensino de Física, Belo Horizonte, v. 38, n. 4, p. e4306, 2016. Disponível 
em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v38n4/1806‑1117‑rbef‑38‑04‑e4306.
pdf>. Acesso em: 19 dez. 2018.
6.2 O princípio da correspondência e o átomo de Bohr
Para o átomo de Bohr, quando os níveis de energia estão muito próximos, a quantização dos estados 
estacionários não deve ser relevante. Isso significa dizer que para os níveis de energia muito altos os 
resultados quânticos e clássicos devem convergir aos mesmos valores.
Podemos entender o princípio da correspondência aplicado ao átomo de Bohr que para valores 
muito grandes de “n” possui resultados da órbita clássica e os do modelo de Bohr são equivalentes.
Façamos essa comparação através da frequência de giro.
Considere o caso quântico: 
c
ν =
λ
 onde 2 2 2
f i
1 1 1
R.Z
n n
 
= − λ  
 
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e 
2 4
3
mk e
R
4 c
=
π 
 logo 
2 2 4
3 2 2
f i
Z mk e 1 1
4 n n
 
ν = − π  
 para n muito grande, escrevemos: nf = n ‑ 1 e ni = n, assim:
( ) ( )
2 2 4 2 2 4 2 2 4
3 2 2 3 2 2 3 22
f i
Z mk e 1 1 Z mk e 1 1 Z mk e 2n 1
.
4 n n 4 n 4n 1 n . n 1
     −
ν = − = − =    π π π  − −      
Mas, como n >> 1 (muito maior que 1), faremos:
2n ‑ 1 ≅ 2n e n ‑ 1 ≅ n o que leva à simplificação: 
( )2 2 2 32
2n 1 2n 2
n .n nn . n 1
 −
≅ ≅ 
− 
Então, a frequência de rotação do elétron, obtida pelo modelo de Bohr para transições de níveis de 
energia muito altos é:
2 2 4 2 2 4
quântico 3 3 3 3
Z mk e 2 Z mk e
.
4 n 2 n
ν = =
π π 
 (eq. 3.27)
Considere o caso clássico: a frequência de giro do elétron, classicamente dada por:
v
2 r
ν =
π
, mas 
n.
v
mr
=

 e 
2 2
2
n .
r
mkZe
=

; na expressão clássica da frequência de giro leva a:
2 2 4
clássica 2 2 3 32 2
2
n.
v n. n. Z mk emr
2 r 2 r 2 mr 2 nn .
2 m.
mkZe
ν = = = = =
π π π π 
π   

 


 (eq. 3.28)
Ou seja, para n>>1, os casos quântico (equação 3.27) e clássico (equação 3.28) são equivalentes.
6.3 Propriedades ondulatórias das partículas – Postulado de De Broglie
Louis de Broglie, no início da década de 1920, propôs que o caráter dual onda‑partícula, que tinha 
sido observado para as ondas eletromagnéticas, também era extensivo à matéria usual, como os elétrons. 
Ainda de acordo com ele:
Depois da Primeira Grande Guerra, pensei muito a respeito da teoria dos 
quanta e do dualismo onda‑partícula... foi então que tive uma súbita 
inspiração. O dualismo onda‑partícula de Einstein era um fenômeno 
absolutamente geral, que se estendia a toda natureza (TIPLER; LLEWELLYN, 
2006, p. 128).
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A hipótese de De Broglie pode ser matematicamente expressa pelas relações a seguir:
E
h
ν = (eq. 3.29a)
h
p
λ = (eq. 3.29b)
onde E é a energia total, p é o momento linear (quantidade de movimento linear) e λ é o comprimento 
de onda da onda associada à partícula.
Observe que para o fóton teremos:
c h
E h. h. .c p.c= ν = = =
λ λ
 (eq. 3.30)
que é a energia do fóton com relação ao seu momento.
Um ponto importante das ideias de De Broglie foi explicar, baseado em ondas estacionárias, os 
estados discretos de energia dos elétrons.
No entanto, uma pergunta é importante: qual o motivo de não observarmos no nosso cotidiano o 
comportamento ondulatório (das ondas associadas) da matéria?
A resposta está nas dimensões usuais da nossa rotina. Por exemplo, para mostrar que a luz visível era 
uma onda, foi necessário exibir o fenômeno de difração para ela. A difração é um fenômeno físico que 
apenas pode ser explicado pela característica ondulatória.
Para que a difração da luz fosse observada, foi necessário desenvolver fendas da ordem do 
comprimento de onda da luz, ou seja, em torno de 10‑7 m.
Antes de existirem fendas dessa ordem de grandeza, a difração da luz (comportamento explicado por 
característica de onda) não foi observada.
O mesmo fato ocorre para as ondas de De Broglie. A fim de observarmos o caráter ondulatório da 
matéria, eram necessários experimentos que tivessem dimensões da ordem de grandeza do comprimento 
de onda associado.
Para termos uma ideia da ordem de grandeza do comprimento de onda associado à matéria, veja o 
exemplo a seguir.
Exemplo: comprimentode onda de uma bola de tênis.
Qual o comprimento de onda de uma bola de tênis com massa de aproximadamente 60 g que ao ser 
rebatida alcança a velocidade de 108 km/h?
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Resolução: devemos calcular o momento linear da bola de tênis:
108
p m.v 0,06. 1,8kg.m / s
3,6
 = = =  
Calculando o comprimento de onda pela relação de De Broglie:
34
34h 6,6.10 3,6.10 m
p 1,8
−
−λ = = =
Para que possamos ter um fator de comparação, o diâmetro do núcleo atômico é da ordem de 
10‑15 m, ou seja, o comprimento de onda associado é aproximadamente 19 ordens de grandeza 
menor que o núcleo atômico.
Não é possível fazer fendas com esse diâmetro tão pequeno.
Como fazer para ocultar o comportamento ondulatório (das ondas de De Broglie) da matéria?
O próprio Louis sugeriu uma maneira: usar elétrons em baixa velocidade.
Exemplo: comprimento de onda de um elétron lento.
Calcule o comprimento de onda de um elétron com a energia cinética de 1 eV?
Resolução: devemos calcular primeiro o momento linear desse elétron.
Como sua energia cinética foi dada, usando a expressão clássica (por estar em baixa velocidade) da 
energia cinética em função do momento linear temos:
( ) ( )
2
31 19 25pE p 2.m.E 2.9,1.10 . 1 . 1,6.10 5,4.10 kg.m / s
2.m
− − −= → = = ≅
Substituindo esse valor na relação de De Broglie:
34
9
25
h 6,6.10
1,2.10 m 1,2nm
p 5,4.10
−
−
−λ = = = =
Poderíamos pensar que para o elétron do exemplo a dimensão da fenda que produziria a difração 
do elétron seria inalcançável, no entanto, trata‑se da ordem de grandeza do espaçamento entre átomos 
em um cristal.
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6.4 O experimento de Davisson‑Germer e difração de elétrons
A confirmação das hipóteses de De Broglie veio três anos após a publicação de suas ideias com o 
experimento de C. J. Davisson e L. H. Germer.
Eles fizeram experimentos com feixe de elétrons incidindo sobre amostras cristalinas de níquel.
A ideia do experimento era que elétrons fossem emitidos por um filamento aquecido. Eles seriam 
acelerados por uma diferença de potencial V. Esse feixe incidiria sobre um monocristal de níquel. Um 
detector seria colocado em um ângulo θ para medir a intensidade do feixe de elétrons espalhados (ver 
figura a seguir).
Para vários valores do potencial V, seriam feitas as medidas da intensidade do feixe espalhado. 
Tais medidas em função do ângulo de espalhamento mostraram que para um ângulo, por exemplo, 
aproximadamente 50, ocorre um máximo.
Esse máximo só poderia ser explicado por uma interferência construtiva de ondas espalhadas pelo 
arranjo periódico dos átomos no alvo de níquel.
O processo é semelhante ao espalhamento de Bragg dos raios X por um cristal. Esse fenômeno não 
pode ser explicado através das leis de movimento clássico, uma vez que o comportamento clássico 
de partículas não pode explicar figuras de interferência como as observadas no experimento de 
Davisson‑Germer.
Um fato importante desse experimento é que a interferência registrada não é devida a ondas 
associadas a elétrons diferentes, mas à interferência entre partes distintas da onda relacionada a um 
único elétron que foi espalhada por vários trechos do cristal.
Esse detalhe pode ser verificado se apenas um elétron por vez for lançado ao alvo. A figura de 
interferência permaneceria a mesma.
Alvo de níquel
Feixe de elétrons
Filamento emissor 
de elétrons
Detector
+ V
θ
Figura 22 – Esquema simplificado do experimento de Davisson‑Germer
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0 20
In
te
ns
id
ad
e 
de
 
es
pa
lh
am
en
to
Ângulo de θ espalhamento
40 60 80
Figura 23 – Resultado da medida da intensidade de espalhamento em função do ângulo θ para um potencial fixo V
Outro experimento que também foi usado para demonstrar as propriedades ondulatórias da matéria 
foi realizado por G. P. Thomson. Nele, o autor, Thomson (filho de J. J. Thomson) usou um arranjo 
semelhante ao que era utilizado para medir a difração de raios X em cristais (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
Um esquema desse experimento de Thomson pode ser visto a seguir.
Como a folha de metal utilizada possuía monocristais organizados de maneira aleatória, o resultado 
é que a figura de difração seria constituída de anéis concêntricos.
Feixe 
incidente
(raios X ou 
elétrons)
Alvo 
(folha de alumínio)
Anel de difração 
circular
Tela fluorescente 
ou filme
θ
θ
Figura 24 – Experimento de Thomson da difração de elétrons
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a) b)
Figura 25 – Figuras de difração: a) obtida por espalhamento de raio x; b) obtida por espalhamento de elétrons
Esses experimentos mostraram que os conceitos associados às características de matéria e ondas 
não apenas não eram excludentes e como na verdade eram interligados.
Por exemplo, para explicar o efeito fotoelétrico, Einstein considerou a luz (onda eletromagnética) 
como tendo o “efeito corpuscular” (fóton). Para explicar a difração (fenômeno de ondas) de elétrons, é 
necessário relacionar ao processo o conceito de De Broglie de ondas de matéria.
Esses conceitos levaram ao que chamamos dualidade onda‑partícula.
 Saiba mais
Para uma discussão alternativa sobre a difração de elétrons, veja o 
seguinte artigo:
BARROS, M. A.; BASTOS, H. F. B. N. Investigando o uso do ciclo da 
experiência kellyana na compreensão do conceito de difração de elétrons. 
Caderno Brasileiro de Ensino de Físico, Santa Catarina, v. 24, n. 1, p. 26‑49, 
abr. 2007. Disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/
article/view/1549/12757>. Acesso em: 20 dez. 2018.
6.5 A dualidade onda‑partícula
Para a Física Clássica, os entes naturais estavam divididos em dois grandes grupos: partículas e ondas.
As partículas estavam associadas a fenômenos de movimento, por exemplo: com o conceito de 
partículas era possível explicar a pressão exercida nas paredes de um recipiente por um gás (teoria cinética).
Por outro lado, as ondas estavam relacionadas a fenômenos como a difração; por exemplo, o som 
difratando por uma fenda.
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Essas ideias acompanharam grande parte do desenvolvimento da Física Clássica.
No entanto, no início do século XX, essas estruturas foram abaladas. Os físicos não estavam 
preparados para entender a radiação eletromagnética com um modelo corpuscular (efeito fotoelétrico, 
efeito Compton) e com um modelo ondulatório (como a difração de raio X).
Mais ainda, eles não esperavam que o que era considerado partícula pudesse apresentar um 
comportamento ondulatório. Os fenômenos observados com os elétrons são exemplos disso. Em um 
experimento, como o da razão carga‑massa, o elétron é descrito em um conceito de partícula e, em 
outro, como o de Thomson, da difração de elétrons, com o conceito de ondas.
A partir dessa quebra de paradigmas, a física passou a encarar os entes da natureza com os dois 
modelos: ondas‑partículas.
Entretanto, quando fazemos uma medida ou estudamos um dado fenômeno, apenas se aplica um 
modelo: partícula ou onda. As duas visões não são usadas sob as mesmas condições.
Assim, quando um dado fenômeno é estudado ou previsto, ou seja, uma interação é considerada, o 
ente atua como uma partícula ou como umaonda.
Para Bohr, essa ideia de dualidade onda‑partícula foi condensada em seu princípio da 
complementariedade. Nesse princípio, os modelos corpuscular e ondulatório são complementares. 
Então, se uma medida mostra o caráter corpuscular (da matéria ou radiação), logo, na mesma medida é 
impossível provar o caráter ondulatório e o inverso é verdadeiro.
Consequentemente, radiação e matéria não são apenas ondas ou partículas. Os dois comportamentos 
são possíveis, mas a manifestação de um exclui o outro.
6.6 O princípio da incerteza de Heisenberg
Quando pensamos no comportamento dual onda‑partícula dos entes da natureza e entendemos 
que os dois são possíveis, mas se manifestam de forma excludentes, precisamos repensar a maneira de 
realizarmos medidas físicas.
Nesse contexto, uma pergunta simples surge: será que por meio de uma experiência podemos 
determinar a posição e o momento linear (quantidade de movimento) no mesmo instante da matéria 
ou radiação?
A resposta é simples: não com precisão maior do que aquela permitida pelo princípio da incerteza 
de Heisenberg.
O princípio é: não se pode determinar simultaneamente o valor exato de uma componente do 
momento linear (por exemplo, a do eixo x) de uma partícula e o valor preciso da coordenada 
correspondente (x, para o vetor posição). 
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A precisão dessas medidas está de forma intrínseca limitada pelo processo de medida em si e, essa 
restrição está relacionada à constante de Planck.
Matematicamente, podemos escrever o princípio da incerteza de Heisenberg como:
xx . p 2
∆ ∆ ≥
 (eq. 3.32a)
yy . p 2
∆ ∆ ≥
 (eq. 3.32b)
zz . p 2
∆ ∆ ≥

 (eq. 3.32c)
Nessas equações, por exemplo, os valores de ∆x e ∆px representam as indeterminações nas medidas 
das componentes ao longo do eixo x da posição da partícula e de seu momento linear. A mesma 
consideração vale para as outras equações.
É importante que entendamos que independentemente das melhorias que possamos agregar aos 
aparelhos de medida, por mais próximos do ideal que sejam, nunca poderemos obter resultados melhores, 
por exemplo (para a componente do eixo x), de que xx . p 2
∆ ∆ ≥

 .
O princípio de Heisenberg envolve relações de incertezas. Assim, se conhecermos a componente px 
de forma exata, nada saberemos a respeito da coordenada x. Isso também vale para as outras.
Considerando a projeção do eixo x, devemos entender que a limitação não é definida com relação à 
precisão que x (posição) ou px (momento linear) possam ser medidos, mas em referência ao produto das 
incertezas desses valores em uma medida simultânea de ambos.
O princípio da incerteza de Heisenberg também pode ser referente às incertezas da medida da 
energia “E” e do “t” necessários à medida. Matematicamente:
E . t
2
∆ ∆ ≥

 (eq. 3.32d)
Precisamos compreender que ∆E é a incerteza do nosso conhecimento da energia E e ∆t é o intervalo 
de tempo característico da rapidez com que ocorrem mudanças no sistema.
As equações do princípio da incerteza indicam o papel relevante da constante de Planck h ou 
h
2
=
π
 .
Para  → 0, teríamos o ponto de vista clássico. Nesse caso, não haveria limitação básica (intrínseca) 
sobre nossas medidas. Por isso, em nossas experiências cotidianas, não percebemos o princípio da incerteza.
Em termos quânticos, não podemos fazer previsões determinísticas, pois não é possível determinar 
x e px simultaneamente. Logo, não dá para estabelecer condições de contorno ao nosso sistema físico.
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Assim, em termos quânticos, apenas podemos afirmar os possíveis resultados de uma observação 
fornecendo as probabilidades de sua ocorrência.
Em termos quânticos, a observação de um sistema o altera de tal forma que não é inteiramente 
previsível. Portanto, o ato de observar modifica o movimento do sistema fazendo com que ele não possa 
ser completamente conhecido.
Veremos a seguir um experimento imaginário (“gedankenexperiment”) proposto por Heisenberg. 
A ideia é que queiramos medir com toda a precisão a posição de uma partícula, por exemplo, o elétron.
Como queremos a maior precisão possível, usaremos um microscópio. Entretanto, utilizá‑lo para ver 
um elétron implica iluminá‑lo, ou seja, é o fóton de luz refletido pelo elétron que podemos enxergar.
É nesse ponto que aparece o princípio da incerteza. A atitude de observar o elétron o perturba. No 
instante que o iluminamos, ele recua por efeito Compton. Por outro lado, se não o iluminarmos, não 
seremos capazes de detectá‑lo, ou seja, vê‑lo.
Poderíamos tentar reduzir ao máximo essa perturbação no elétron usando uma fonte muito fraca 
para observá‑lo. Em um limite poderíamos utilizar apenas um fóton. O momento desse fóton seria dado 
por: 
h
p =
λ
 (uma das equações de De Broglie).
Para que esse fóton fosse captado pela lente, ele foi espalhado dentro da região angular 2θ’ (que se 
trata da região de focalização ou captação da lente).
Analisando a componente x do fóton espalhado, vemos que:
Pix = ‑p . senθ’ (eq. 3.33) (componente do momento no eixo x antes do espalhamento) e,
Pfx = p . senθ’ (eq. 3.34) (componente do momento no eixo x depois do espalhamento).
Assim, a variação do momento (medida de sua incerteza) é:
x fx ix
h
p p p 2.p.sen 2 sen∆ = − = θ =
λ
′ ′θ (eq. 3.35)
Observe que na equação poderíamos diminuir a incerteza no momento, aumentando o comprimento 
de onda do fóton usado.
Por conservação de momento linear, o elétron recebe, em módulo, a mesma variação em sua 
componente x de seu momento linear. Então, a componente x do momento do elétron tem a mesma 
incerteza que a componente x do momento do fóton espalhado.
E agora, qual a incerteza da componente x da posição do elétron?
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Ela está relacionada ao instrumento de medida, ou seja, à lente do microscópio. Esse parâmetro é 
chamado de resolução do microscópio e está associado ao comprimento de onda da radiação que o 
microscópio capta. Então, o poder de resolução determina a precisão com que o elétron pode ser localizado.
Assim: x
sen '
λ
∆ =
θ
 (eq. 3.36)
A expressão do poder de resolução indica que poderíamos diminuir ∆x usando radiação de 
comprimentos de onda menor ou uma lente que cubra um ângulo maior.
De acordo com o poder de resolução, o fóton captado pode ter vindo de qualquer lugar da região de 
largura ∆x, centrada no eixo da lente.
Nesse ponto, se efetuarmos o produto das incertezas, teremos:
x
h
x . p . 2 sen ' 2 . h
sen '
λ   ∆ ∆ = θ =      θ λ
 (eq. 3.37)
que é uma estimativa do princípio da incerteza.
As duas expressões das incertezas indicam que não podemos melhorar simultaneamente a incerteza 
para os valores das componentes do eixo x da posição e do momento. Por exemplo, se usarmos um 
fóton de comprimento de onda menor, diminuiremos a incerteza na componente da posição, mas 
aumentaremos a incerteza na componente do momento.
Ocular
Observador
Objetiva
Elétron
Fonte luminosa
Região acessível 
aos fótons que 
atingem a lente
Componente x do 
momento do fóton 
espalhado (h/λ) senθ
Componente x do 
momento do elétron 
que recua, (h/λ) senθ
Momento do fóton 
espalhado
Fóton incidente de 
momento h/λ
∆x
x
x
y
1 2
3
Figura 26 – O experimento imaginário de Heisenberg. À esquerda temos o microscópio usado para medir a posição do elétron. 
À direita, o espalhamento do fóton usado para observar o elétron. Abaixo, a figura de difraçãoda imagem do elétron. 
Essa figura é o resultado de uma série de experimentos idênticos
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Exemplo 1: Princípio da incerteza no caso clássico
Imagine um projétil com massa de 100 g e velocidade de 200 m/s, com uma incerteza de 0,02%. Com 
que precisão podemos localizar a posição desse projétil?
Resolução: considere que a massa do projétil seja constante, assim:
∆p = m . ∆v = 0,1 . (0,0002) . (200) = 4,0 . 10‑3 kg . m/s
Utilizando o princípio da incerteza:
34
x 3
x x
h 6,6.10
x . p x x x
2 2 . p 4 . p 4 .4,0.10
−
−∆ ∆ ≥ → ∆ ≥ → ∆ ≥ → ∆ ≥∆ π ∆ π
 
→ ∆x ≥ 1,3 . 10‑32 m
Observação: ∆x é da ordem de 10‑17 vezes menor que o diâmetro de um núcleo.
O exemplo anterior mostra que objetos macroscópicos, como aqueles encontrados no nosso 
cotidiano, não impõem limite prático ao processo de medida.
Exemplo 2: Princípio da incerteza no caso quântico.
Um elétron está se movendo ao longo do eixo x. Sua velocidade é de 2,05.106 m/s, com precisão 
de 0,4%. Qual é a menor indeterminação, de acordo com o princípio da incerteza, com a qual pode ser 
medida simultaneamente a posição no eixo x?
Resolução: precisamos calcular a incerteza no momento associada à incerteza na velocidade desse elétron.
∆p = m . ∆v = 9,11 . 10‑31 . 0,004 . (2,05 . 106) = 7,47 . 10‑27 kg . m/s
Seguindo o princípio de incerteza, para a menor determinação na medida da posição:
( )34 9
x 27
6,6.10 / 2
x . p x x 7,03.10 m 70
2 2.7,47.10
−
−
−
π
∆ ∆ = → ∆ = → ∆ = ≅
 DÅ
Observação: esse valor corresponde a aproximadamente 70 diâmetros atômicos. 
Exemplo 3: Emissão de um fóton.
Quase todos os átomos em um nível de energia excitados decaem, ou seja, emitem um fóton, após 
um intervalo de tempo da ordem de 10‑8 s. Determine (a) a mínima incerteza na medida da energia, (b) 
da frequência do fóton emitido.
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Unidade III
Resolução: (a) de acordo com o princípio da incerteza:
E . t
2
∆ ∆ ≥

 para a menor indeterminação, temos: E . t
2
∆ ∆ =

 assim, se
∆t = 10‑8s teremos: 
( )34 27 8
8
6,6.10 / 2
E 5,25.10 J 3,28.10 eV
2 . t 2.10
−
− −
−
π
∆ = = ≅ ≅
∆

(b) a partir da relação de De Broglie para a energia:
E = h . ν → ∆E = h . ∆f → ∆E . ∆t = h . ∆f . ∆t, assim escrevemos:
6
8
h 1 1
h . f . t f . t f
4 4 4 t
1
f f 7,95.10 Hz.
4 .10−
= ∆ ∆ → ∆ ∆ = → ∆ = →
π π π∆
→ ∆ = → ∆ ≅
π
 Saiba mais
Para aprender mais sobre o princípio da incerteza de Heisenberg, veja 
os artigos:
ABREGO, J. R. B. Montagem de um conjunto experimental destinado à 
verificação do princípio da incerteza de Heisenberg. Revista Brasileira de 
Ensino de Física, São José do Rio Preto, v. 35, n. 3, p. 3.312, 2013. Disponível 
em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v35n3/a12v35n3.pdf>. Acesso em: 20 
dez. 2018.
CHIBENI, S. S. Certezas e incertezas sobre as relações de Heisenberg. 
Revista Brasileira de Ensino de Física, Campinas, v. 27, n. 2, p. 181‑192, 
2005. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v27n2/a02v27n2.
pdf>. Acesso em: 20 dez. 2018.
DARTORA, C. A. et al. Aspectos gerais da teoria da difração sob o ponto 
de vista de um princípio de incerteza. Revista Brasileira de Ensino de Física, 
Curitiba, v. 31, n. 2, p. 2.303, 2009. Disponível em: <http://www.scielo.br/
pdf/rbef/v31n2/04.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2018.
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FÍSICA MODERNA
 Resumo
Os primeiros modelos atômicos foram propostos pelos filósofos gregos 
com o intuito de explicar do que era constituída a natureza.
Na Idade Moderna, Dalton criou um modelo o qual o átomo seria uma 
esfera indivisível e cada elemento químico possuiria o seu tipo de átomo. 
As substâncias químicas seriam formadas pelas ligações dos átomos dos 
elementos químicos.
As descobertas de partículas menores, o próton e o elétron, do que 
seria o átomo, levaram ao abandono das ideias de Dalton e à busca de um 
modelo que pudesse explicar a estrutura da matéria.
Thompson propôs um modelo conhecido como pudim de passas. 
Contudo, esse modelo não foi capaz de explicar espalhamentos de partículas 
alfa que eram lançadas em direção aos átomos.
A falha do modelo de Thompson levou Rutherford a supor que os átomos 
possuíam uma região altamente densa, chamada de núcleo atômico.
No início do século XX já tinha sido mostrado que átomos em gases 
emitiam radiação de acordo com uma sequência (expressão matemática) 
em comprimentos de ondas, chamadas de linhas. O conjunto dessas linhas 
é chamado de série. Por exemplo, para o átomo de hidrogênio, temos a 
série de Balmer e de Lyman.
Niels Bohr, usando os conceitos de quantização de Planck, conseguiu 
desenvolver um modelo para o átomo de hidrogênio que permitia obter 
as séries e levava em consideração o fato de o átomo ser nuclear. O 
modelo de Bohr é considerado uma grande aplicação das ideias da 
antiga mecânica quântica.
Sommerfeld propôs regras gerais que permitiam obter as hipóteses 
usadas por Bohr em seu modelo do átomo nuclear. O princípio da 
correspondência afirma que para números quânticos muito altos, ou energia 
muito alta, as descrições quântica e clássica devem ser equivalentes.
De Broglie propôs que a natureza possuiria um caráter dual: onda‑partícula. 
Através de suas ideias viu‑se que entes (como o elétron) antes entendidos como 
partículas poderiam apresentar uma manifestação ondulatória.
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Unidade III
Heisenberg estabeleceu o princípio da incerteza que nos orienta 
sobre a possibilidade de determinarmos pares de valores, como posição e 
quantidade de movimento, em medidas conjuntas.
 Exercícios
Questão 1. Sabe‑se que um átomo de hidrogênio emite um fóton de energia quando o elétron faz 
a transição entre dois estados estacionários. Considere que a transição seja feita entre os estados de 
n = 5 e n = 2. A energia emitida pelo fóton nessa transição é:
A) 2,86eV.
B) 2,55eV.
C) ‑3,4eV.
D) ‑0,45eV.
E) 13,6eV.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: veja a resolução:
As energias em cada estado estacionário são determinadas por:
( )n 2
13,6
E eV
n
= −
( )
( )1 2
13,6
n 1 E 13,6 eV
1
= → = − = −
( )
( )2 2
13,6
n 2 E 3,4 eV
2
= → = − = −
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FÍSICA MODERNA
( )
( )3 2
13,6
n 3 E 1,51 eV
3
= → = − = −
( )
( )4 2
13,6
n 4 E 0,85 eV
4
= → = − = −
( )
( )5 2
13,6
n 5 E 0,54 eV
5
= → = − = −
Assim, a transição ocorre entre os níveis n= 5 para n= 2 e fica:
Efóton = E5 ‑ E2 = (‑0,54) ‑ (‑3,4) = 2,86eV
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse é o valor da energia se os níveis forem 4 e 2.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: essa é a energia do nível 2.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: essa é a energia do nível 5.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: essa é a energia do nível 1.
Questão 2. (UFSC 2004, adaptada) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):
I – Devido à alta frequência da luz violeta, o “fóton violeta” é mais energético do que o “fóton vermelho”.
II – A difração e a interferência são fenômenos que somente podem ser explicados satisfatoriamente 
por meio do comportamento ondulatório da luz.
III – O efeito fotoelétrico somentepode ser explicado satisfatoriamente quando consideramos a luz 
formada por partículas, os fótons.
IV – A luz, em certas interações com a matéria, comporta‑se como uma onda eletromagnética; em 
outras interações ela se comporta como partícula, como os fótons no efeito fotoelétrico.
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Unidade III
V – O efeito fotoelétrico é consequência do comportamento ondulatório da luz.
Está correto o que se afirma em:
A) I, II e III, apenas.
B) I, II e IV, apenas.
C) II, III, IV e V, apenas.
D) I, II, III e IV, apenas.
E) I, II, III, IV e V.
Resolução desta questão na plataforma.