Física moderna Livro-texto - Unidade IV

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FÍSICA MODERNA
Unidade IV
Nessa unidade serão apresentadas as estruturas da mecânica quântica na formulação de Schrödinger 
por meio do estudo dos seguintes conceitos:
• equação de Schroedinger;
• função de onda;
• interpretação de Born para o comportamento da função de onda;
• equação independente do tempo;
• soluções quantizadas para alguns potenciais;
• definições de operadores em mecânica quântica.
Ao terminar essa unidade, o aluno será capaz de:
• entender o formalismo e resolver a equação de Schrödinger para potenciais independentes do tempo;
• compreender o processo de obter informações do sistema físico baseado nas autofunções;
• entender os conceitos de operadores e suas aplicações para determinar valores esperados de 
observáveis em mecânica quântica.
Introdução
O sucesso alcançado pelas ideias das ondas de matéria (De Broglie) e a forma natural de quantizar 
a energia e o momento dos elétrons por ondas estacionárias (Sommerfeld) fizeram com que os físicos 
buscassem encontrar uma teoria ondulatória dos elétrons, como aquela que havia para a radiação.
Essa teoria deveria ter os resultados da mecânica clássica aplicada aos elétrons como caso limite, 
como prevê o princípio da correspondência de Bohr.
Em 1926, Erwin Schrödinger publicou a sua equação que governa a propagação das ondas de 
matéria. Essa equação hoje tão famosa permitiu prever corretamente resultados experimentais em física 
atômica, molecular e nuclear (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
Embora a matemática para resolver essa equação, mesmo em casos simplificados, torna‑se trabalhosa, 
ela permite descrever o comportamento quântico da natureza.
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Unidade IV
Vamos estudá‑la apenas para uma dimensão.
7 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM UMA DIMENSÃO
Schrödinger desenvolveu essa equação a partir de argumentos físicos. De fato, trata‑se de uma 
extensão das ideias ondulatórias de De Broglie.
Essa equação é válida quando consideramos a energia das partículas em termos não relativísticos. 
Foi Paul Dirac que conseguiu generalizar a equação de Schrödinger para os casos relativísticos.
Não podemos obter a equação de onda da mecânica quântica a partir das equações que regem o 
mundo clássico: equações de Newton (e generalizações) e as equações de Maxwell.
No entanto, essa equação de onda deve ser consistente com os postulados de De Broglie:
E
h
ν = (eq. 4.1a)
h
p
λ = (eq. 4.1 b)
A equação de onda também deve ser consistente com a relação:
2p
E V
2m
= + (eq. 4.2)
que fornece a energia total da partícula.
É importante lembrar que, como uma equação de onda, a sua função de onda solução deve 
ser linear.
Apesar de a condição anterior ser matemática, ela tem uma profundidade física relevante. Vejamos: 
possuir uma solução linear da equação implica que se Ψ1(x, t) é solução da equação e Ψ2(x, t) também 
é solução da equação, a combinação linear Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) onde c1 e c2 são constantes 
também será solução.
Essa característica de linearidade permite que funções de onda se somem para produzir as 
interferências construtivas e destrutivas que são características das ondas de matéria.
Assim, para uma dimensão (eixo x), postula‑se a equação (Equação de Schrödinger):
( ) ( ) ( ) ( )
22
2
x,t x,t
V x,t x,t i
2m tx
∂ Ψ ∂Ψ−
+ Ψ =
∂∂

 (eq. 4.3)
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FÍSICA MODERNA
 Lembrete
A equação de Schrödinger é basicamente postulada, apesar da intuição 
física. A justificativa de seu uso está na comprovação experimental.
Por exemplo, analisemos o caso de uma partícula livre, ou seja, cuja energia potencial seja uma 
constante V0.
 Observação
O potencial constante é característico de uma partícula livre. Esse 
potencial pode ser feito nulo, mas não é necessário.
 Lembrete
A força em uma partícula está vinculada à variação da energia potencial 
com a distância, ou seja, com o gradiente da energia potencial. Assim para 
energia potencial constante a força é nula.
A solução para esse caso seria devido à relação das derivadas no tempo (primeira ordem) e da 
posição (segunda ordem) uma função como:
Ψ(x, t) = Aei(kx ‑ ωt) (eq. 4.4)
onde A é uma constante.
Assim:
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2i kx t i kx t
2
x,t x,t
ikAe ik Ae
x x
−ω −ω∂Ψ ∂ Ψ= → = →
∂ ∂
→ ‑ k2Aei(kx ‑ ωt) = ‑ k2 Ψ(x, t) 
e:
( ) ( ) ( )i kx tx,t i Ae i x,t
t
−ω∂Ψ = −ω = −ωΨ
∂
 (eq. 4.5)
que na equação de Schrödinger leva a:
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( )( ) ( ) ( )( )
2
2
0k x,t V x,t i i x,t 2m
−
− Ψ + Ψ = −ωΨ

 que simplificada torna‑se:
2 2
0
k 
V E
2m
+ = ω =

 (eq. 4.6)
O resultado indica que a equação de Schrödinger (eq. 4.3) engloba os postulados de De Broglie.
Um detalhe importante na equação de Schrödinger, como uma equação de onda clássica, é que 
existe a relação entre a segunda derivada da posição com a primeira derivada temporal. Contudo, no 
caso quântico a unidade imaginária i aparece de forma explícita.
 Observação
A unidade imaginária é definida como: ( i 1= − )
O resultado anterior também indica que nem sempre a função de onda que é solução da equação de 
Schrödinger é necessariamente uma função real.
Isso implica que a função de onda, solução da equação de Scrödinger, não é diretamente mensurável 
como a função de onda clássica.
Mas qual seria a interpretação física para a função de onda?
7.1 A interpretação de Born para as funções de onda
O fato de as funções de onda poderem ser complexas não é um ponto desfavorável à equação de 
Schrödinger. Na verdade, esse fato indica que não devemos atribuir às funções de onda uma existência 
física, como damos às ondas de som, por exemplo.
As funções de onda possuem todas as informações, respeitadas as leis da mecânica quântica, que 
podemos saber a respeito de um sistema físico.
O vínculo entre a função de onda Ψ(x, t) e o comportamento da partícula associada é feito em 
termos da densidade de probabilidade.
A densidade de probabilidade é a probabilidade por unidade de comprimento de encontrar a partícula 
próxima a x no tempo t. De acordo com Max Born:
P(x, y) = ψ*(x,t) . ψ(x,t) (eq. 4.7)
onde Ψ*(x, t) representa o complexo conjugado de Ψ(x, t).
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O postulado de Born pode ser escrito como: “se, no instante t, é feita uma medida da localização 
da partícula associada a função de onda ψ(x,t) então a probabilidade P(x. t)dx de que a partícula seja 
encontrada em uma coordenada entre x e x+dx é igual a ψ*(x,t) . ψ(x,t)dx” (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 55).
Essa interpretação proposta por Born mostrou ser a mais compatível para relacionar as soluções da 
equação de Schrödinger com os resultados de medidas experimentais.
Assim:
P(x, y)dx = ψ*(x,t) . ψ(x,t) = |ψ(x,t)|2dx (eq. 4.8)
Essa interpretação enfatiza que o que possui significado físico é o produto: Ψ*(x, t) . Ψ(x, t).
Para uma partícula que deve estar necessariamente em alguma coordenada do eixo x, teremos a 
condição de normalização:
( ) ( )* x,t . x,t dx 1
+∞
−∞
Ψ Ψ =∫ (eq. 4.9) 
Apesar de a integral anterior estar relacionada à probabilidade, essa condição permite impor uma 
restrição matemática às possíveis soluções da equação de Schrödinger.
A seguirresolveremos a equação de Schrödinger para casos simples, mas que poderão nos auxiliar a 
entender e a interpretar as funções de onda.
7.2 Separação das funções de tempo e espaço da função de onda
Para situações em que a energia potencial não depende da variável tempo, a parte da variável tempo 
e da variável espaço na equação de onda pode ser separada.
Esse procedimento, que é uma técnica conhecida para resolução de equações diferenciais (caso da 
equação de Schrödinger), é muito útil, pois permite escrever a equação de onda de forma simplificada.
A ideia dessa técnica é escrever a função de onda como um produto de uma parte dependente 
apenas do tempo e outra apenas da posição, como a seguir:
Ψ(x, t) = ψ(x) . φ(t) (eq. 4.10)
Substituindo essa forma da função de onda na equação de Schrödinger, teremos:
( ) ( ) ( ) ( )
22
2
x,t x,t
V x,t x,t i
2m tx
∂ Ψ ∂Ψ−
+ Ψ = →
∂∂


 
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2
x . t x . t
V x,t x . t i
2m tx
   ∂ ψ φ ∂ ψ φ−     + ψ φ = →  ∂∂


 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2
t d x x d t
V x,t x . t i
2m dtdx
φ ψ ψ φ−
 + ψ φ = 


 (eq. 4.11)
Observe que as derivadas que eram parciais tornaram‑se ordinárias.
Dividindo a equação anterior pela própria função de onda Ψ(x, t) = ψ(x) . φ(t), temos:
( )
( ) ( ) ( )( )
22
2
d x d t
V x,t i
2m x t dtdx
ψ φ−
+ =
ψ φ


 (eq. 4.12)
Na equação precedente, o lado esquerdo depende apenas da variável posição e o lado direito apenas 
da variável tempo, assim, as variações no tempo não podem afetar o lado esquerdo e as variações no 
espaço não podem afetar o lado direito.
Isso significa que ambos os lados da equação devem ser iguais à mesma constante (K), chamada de 
constante de separação. Por isso, essa técnica é denominada separação de variáveis.
A técnica usada previamente permitiu trocar uma equação diferencial parcial (em duas variáveis) em 
duas equações diferenciais ordinárias (em uma variável cada). Lembre‑se de que a pressuposição era que 
a função potencial era dependente apenas da coordenada de posição.
Assim:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
2 2
d x d x
V x,t K V x,t . x K. x
2m x 2mdx dx
ψ ψ− −
+ = → + ψ = ψ
ψ
 
 (eq. 4.13a)
( )
( )
d t
i K
t dt
φ
=
φ
 (eq. 4.13b)
Em nosso método, resolveremos primeiro a equação 4.13b, pois não depende do potencial externo. 
Logo, passamos a ter uma solução que valerá para todos os potenciais não dependentes do tempo.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
d t d t d tK iK
i K dt dt
t dt t i t
φ φ φ −
= → = → =
φ φ φ

 
 (eq. 4.14)
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Integrando as variáveis:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
iK iK
t td t iK iK
dt ln t t t e t e
t
− −
φ − −
∫ = ∫ → φ = →φ = →φ =
φ
 
 
 (eq. 4.15)
A função solução para a parte temporal da equação de Schrödinger pode ser, através da relação: eiθ 
= cosθ + isenθ escrita na forma trigonométrica a seguir:
( )
iK
t K K
t Ae A cos t isen t
−
    φ = = −        

 
 (eq. 4.16)
Essa forma trigonométrica mostra que a função temporal é oscilatória e possui pulsação: 
K K K
 2 .
h h
2
ω = → ω = = π
π

 mas temos a relação: ω = 2π . ν 
Igualando, teremos: 
K K
2 . 2 .
h h
π = π ν→ ν = (eq. 4.17)
Voltando à relação de De Broglie: 
E
E h.
h
= ν→ ν = (eq. 4.18)
Comparando com a equação, temos que a constante K de separação equivale à energia total da 
partícula: K = E.
Assim, podemos afirmar que potenciais independentes do tempo:
( )
iE
t
t e
−
φ =  (eq. 4.19)
Voltando à equação 4.13a, e trocando a constante de separação K pelo termo de energia, temos a 
equação de Schrödinger independentemente do tempo:
( ) ( ) ( ) ( )
22
2
d x
V x,t . x E. x
2m dx
ψ−
+ ψ = ψ

 (eq. 4.20)
A equação anterior é uma equação diferencial ordinária, possui apenas uma variável independente, 
logo a condição de normalização pode ser escrita diretamente para as autofunções ψ(x):
( ) ( )* x . x dx 1
+∞
−∞
ψ ψ =∫ (eq. 4.21)
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As condições que as autofunções (ψ(x)) devem satisfazer são:
1) ψ(x) deve existir e satisfazer a equação de Schrödinger;
2) ψ(x) e ( )d x 
dx
ψ
 devem existir e serem contínuas;
3) ψ(x) e ( )d x 
dx
ψ
 devem existir e serem finitas;
4) ψ(x) e ( )d x 
dx
ψ
 devem ser unívocas;
5) ψ(x) deve ser quadraticamente integrável, para satisfazer a condição de normalização.
A condição 1 está relacionada à resolução da equação de Schrödinger e à existência de solução, caso 
contrário, a partícula não poderia existir.
A condição 2, continuidade, deve‑se ao fato de que a função de onda está intimamente ligada à 
probabilidade, assim, não pode variar descontinuamente de um ponto ao seu vizinho.
As condições 3 e 4 são limitações vinculadas à realidade física de medidas. As funções de onda 
permitirão determinar valores esperados de grandezas físicas, tais como momento linear, e essas 
grandezas físicas devem ser finitas e únicas.
A condição 5 deve existir para satisfazer a circunstância de normalização.
8 O POÇO QUADRADO INFINITO
Essa situação também é chamada de partícula em uma caixa.
Em termos práticos, podemos obter uma caixa para elétrons usando eletrodos e grades em um tubo 
evacuado. Conseguimos uma barreira de potencial aumentando a tensão da grade e diminuindo o 
espaço entre os eletrodos.
Esse potencial pode ser usado para simplificar a energia potencial de um elétron livre em um metal.
Matematicamente podemos considerar a função de energia potencial da seguinte forma:
( )
0; 0 x L
V x
; x 0 e x L
< <
= ∞ (eq. 4.22)
A figura a seguir ilustra este potencial:
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V(x)
L x
∞∞
Figura 27 – Energia potencial de um poço quadrado infinito
Como a energia potencial é infinita do lado de fora do poço, a partícula não pode deixar o poço. 
A função de onda deverá ser necessariamente nula nessa região.
Logo, resolveremos o problema considerando apenas a região interna do poço, ou seja, para 0 < x < L.
A fim de que a condição de continuidade da função de onda seja satisfeita, teremos então uma 
limitação à função em x = 0 e x = L. Para esses valores a função deverá ser nula, pois ela tem de 
assumir o mesmo valor para um ponto infinitamente próximo de x = 0 na parte interna e externa. 
Isso vale para x = L.
Essas premissas são chamadas de condições de contorno: 
ψ(0) = ψ(L) = 0 (eq. 4.23)
A equação de Schrödinger para a região interna do poço torna‑se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
2 2 2 2 2
d x d x d x2mE 2mE
E. x x x 0
2m dx dx dx
ψ ψ ψ− −
= ψ → = ψ → + ψ =

 
 (eq. 4.24)
A equação diferencial é da mesma forma do MHS:
 Observação
O MHS (movimento harmônico simples) pode ser estudado como um 
sistema massa‑mola.
2
2
2
d y
k y 0
dt
+ = (eq. 4.25)
fazendo: onde 2
2 2
2mE 2mE
k k= → =
 
 (eq. 4.26)
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Unidade IV
 Lembrete
O parâmetro k mostrado anteriormente é idêntico ao parâmetro ω da 
solução do MHS.
Comoa equação diferencial é da forma da equação do MHS, a solução para o poço tem a mesma 
forma da solução para o MHS: funções senos e cossenos.
Assim: ψ(x) = Asenkx + Bcoskx (eq. 4.27)
onde A e B são constantes de integração.
Para determinar os valores das constantes de integração, devemos aplicar as condições de contorno 
dadas pela equação:
Para ψ(0) = 0 → Asenk0 + Bcosk0 = 0 → B = 0
Então, a função de onda passa a ser:
ψ(x) = Asenkx (eq. 4.28)
Para a condição:
( ) n n
n.
L 0 AsenkL 0 k L n. k , n 1;2;3;
L
π
ψ = → = → = π→ = = (eq. 4.29)
Observe que os valores de ω são quantizados, ou seja, múltiplos de um dado valor 1k L
π =   . Essa 
condição para os valores de k levam à quantização da energia da partícula dentro do poço, pois:
2 2 2
n
n n2 2
n. 2mE n. n
k E
L L 2mL
π π π
= → = → =


 (eq. 4.30)
Observe que:
2 2
1 2E 2mL
π
=

 ; 
2 2
2 2
2 12E 2 . 2 .E2mL
π
= =

; 
2 2
2 2
3 12E 3 . 3 .E2mL
π
= =

 e
2 2
2 2
n n 12E n . E n .E2mL
π
= → =

 (eq. 4.31)
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Segue o diagrama de energias para o poço quadrado infinito:
25E1
Energia
5
n
En = n
2E1
V → ∞
16E1 4
9E1 3
4E1 2
1E1
0 V = 0 L x
E
mL
1
2 2
22
=
p 
Figura 28 – Níveis de energia quantizados para o poço de potencial infinito
Para as autofunções, com os valores de ω determinados pelas condições de contorno, podemos escrever:
( ) n.x Asen x, n 1;2;3; .
L
π
ψ = = … (eq. 4.32)
Precisamos determinar a constante de normalização “A”, assim:
( ) ( )
L
*
0
n. n.
x . x dx Asen x . Asen x dx
L L
+∞
−∞
π π
ψ ψ = →∫ ∫
L L2 2 2 2
0 0
n . n .
A sen x dx 1 A sen x dx 1
L L
π π   = → =      ∫ ∫ 
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esta integral deverá ser calculada usando transformações trigonométricas:
2 2L L L2
0 0 0
2 x
1 cos
A A 2 xLA dx 1 dx cos dx 1
2 2 2 L
π −    π → = → − = →  ∫ ∫ ∫
determinando as integrais, a primeira:
2 2L
0
A A L
dx
2 2
=∫ e a segunda:
2 2L L
00
A 2 x A L 2 x
cos dx . sen I 0
2 L 2 2 L
π π   = =      π∫
Assim: 
2A L 2
1 A
2 L
= → = (eq. 4.33)
 Saiba mais
As transformações trigonométricas são técnicas de integração. Veja 
o livro:
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica – volume 1. Rio de 
Janeiro: McGraw‑Hill, 1995.
A constante de normalização permite escrever as autofunções que são as soluções da equação de 
Schrödinger para o poço de potencial infinito. Essas autofunções são então escritas como:
( )n
2 n.
x sen x
L L
π
ψ = , n = 1; 2; 3; (eq. 4.34)
O número quântico “n” (inteiro) especifica a autofunção de onda e a sua energia correspondente.
A seguir exibiremos algumas dessas autofunções e as respectivas densidades de probabilidade.
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0
0
0
0
2/L√2/L
√2/L
√2/L
2/L
2/L
0
0
L/3
L/2
L/3
L/2
2L/3 2L/3L
L
L
L
L
L
x
x
x
x
x
x
ψ
3
ψ
2
ψ
1
ψ2
3
ψ2
2
ψ2
1
Figura 29 – Autofunções para o poço de potencial infinito
Exemplo 1: Elétron viajando em um fio.
Um elétron viajando em um fio de metal é uma aproximação para uma partícula em um poço infinito 
de potencial, pois o potencial no interior do fio é constante (que pode ser colocado como zero), mas 
aumenta bruscamente nas extremidades. Suponha que o fio tenha 3,0 cm de comprimento. Determine:
• A energia no estado fundamental desse elétron.
• Se a energia desse elétron for igual à energia cinética média das moléculas em um gás à 
temperatura de T= 1000 K, aproximadamente 0,1 eV, qual será o número quântico associado?
Resolução:
a) A energia do estado fundamental é dada pela equação:
( )
( ) ( )
22 342 2
34 15
1 2 31 2
1,055.10
E 2,01.10 J 1,25.10 eV
2mL 2. 9,11.10 3.10
−
− −
− −
ππ
= = = =

b) Relacionando a energia do n‑ésimo estado com a do fundamental:
2 2 2 13 6n
n 1 15
1
E 0,1
E n E n n 8.10 n 8,9.10
E 1,25.10−
= → = → = = → =
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Unidade IV
Exemplo 2: Probabilidades de encontrar o elétron em dada região
Imagine que a posição do elétron em um fio de metal possa ser medida. Considerando que o elétron 
em um fio se encontra em um poço de potencial infinito no estado fundamental, e que o tamanho do 
fio é de L = 4,0 cm, qual a probabilidade de uma medida encontrar esse elétron confinado na região 
0 < x < L/4?
Resolução: a autofunção de uma partícula em uma caixa de potencial infinito é dada por:
( )n
2 n.
x sen x
L L
π
ψ = , n = 1; 2; 3; para o estado fundamental n= 1, logo:
( )1
2
x sen x
L L
π
ψ = e a probabilidade de o elétron ser encontrado na região 0 < x < L/4 será:
( ) ( )L/4 L/4 L/4* 2
0 0 0
2 2 2
P x . x dx sen x . sen x dx sen x dx
L L L L L L
π π π
= ψ ψ = =∫ ∫ ∫
 
a resolução da integral leva a:
2 x
Lsen
2 x 2 1LP 0,09 9%4
2L 4 8 40
 π 
   π π  = − = − ≅ ≅  π π 
  
Esse resultado significa que se repetidas vezes medirmos a posição do elétron nessa região, ele será 
encontrado lá em aproximadamente 9% das vezes.
Exemplo 3: Elétron em uma caixa do tamanho de um átomo.
Qual seria a energia do estado fundamental para um elétron preso a uma caixa de potencial infinito 
que possua a dimensão de 1,0 D?
Resolução: usamos a expressão que permite obter a energia do n‑ésimo estado do elétron em uma 
caixa de potencial infinito:
( )
( ) ( )
22 342 2
1 2 31 10
1,055.10
E 38eV
2mL 2. 9,11.10 1.10
−
− −
ππ
= = ≅

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FÍSICA MODERNA
8.1 O degrau de potencial
Consideremos uma partícula submetida a uma energia potencial do tipo função degrau. Tal função 
está matematicamente descrita a seguir:
( )
0
0, x 0
V x
V ; x 0
<
=  > (eq. 4.35)
Graficamente esse potencial pode ser visto na sequência:
V0
0 x
V(x)
Figura 30 – Energia potencial na forma de um degrau
Temos duas possibilidades para a energia total da partícula.
A primeira delas está mostrada a seguir. A energia total da partícula é menor que a energia do degrau.
Energias
E
0 x
V(x) = 0
V(x) = V0
Figura 31 – Energia total menor que a energia potencial no degrau
Imaginemos que a partícula esteja se movendo na região em que x<0 em direção a x=0, na qual o 
potencial muda abruptamente.
Classicamente na região x < 0, a partícula possui a velocidade v dada por:
2E
v
m
= (eq. 4.36)
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Unidade IV
Em x = 0, por causa da mudança do potencial, a partícula sofre um impulso que tende a diminuir a 
sua velocidade.
Geralmente como a energia total é menor que a energia potencial, a partícula não poderia entrar 
nessa região. A mudança abrupta do potencial daria à partícula uma força que a impulsionaria de volta.
Para a Mecânica Quântica, temos que encontrar a solução da equação de Schrödinger para E < V0 
nas duas regiões.
Para a região x < 0, temos a equação:
( ) ( )
22
2
d x
E. x
2m dx
ψ−
= ψ
 (eq. 4.37)
Para a região x>0, temos a equação:
( ) ( ) ( )
22
02
d x
V . x E. x
2m dx
ψ−
+ ψ = ψ

 (eq. 4.38)
As equações são resolvidas de forma separadas.
Para a região x < 0, a solução da equação é dada na forma de funções harmônicas que podem ser 
escritas como funções exponenciais complexas:
( ) ik x ik x1 11 1
2mE
x Ae Be ; k−ψ = + =

 (eq. 4.39)
Consideremos a solução para a região x > 0. Ela não poderá ser do tipo funções harmônicas, uma 
vez que essa espécie de solução está relacionada ao fato de E > V0, o que não é verdade nesse região.
Para esta região, a solução é do tipo função exponencial, como:
( ) ( )0k x k x2 22 2
2m V E
x Ce De ; k−
−
ψ = + =

 (eq. 4.40)
Analisemos o comportamento das duas soluções para as duas regiões:
Para x → +∞ (x > 0), a função de onda deve tender a zero, por causa dessa condição, a constante C 
deve ser nula (C=0), assim teremos:
( ) ( )0k x22 2
2m V E
x De ; −
−
ψ = ω =

 (eq. 4.41)
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FÍSICA MODERNA
Para a continuidade, temos que estudar o comportamento da função de onda e de sua primeira 
derivada em x = 0. Logo:
ψ1(0) = ψ2(0) → D = A + B (eq. 4.42)
Para a continuidade da derivada da função, teremos:
� � �� �k De ik Ae ik Bek x ik x ik x2 2 1 1 1 1 (eq. 4.43)
Para x=0, implica:
2
1
ik
D A B
k
= − (eq. 4.44)
Resolvendo o sistema de equações formado pelas equações em função do parâmetro D, escrevemos:
2
1
D ik
A 1
2 k
 
= +  
 e 2
1
D ik
B 1
2 k
 
= −  
 (eq. 4.45)
O valor da constante D que especifica o valor da constante A e B pode ser determinada pela condição 
de normalização. No entanto, para determinarmos o valor de grandezas mensuráveis, não precisamos 
especificar o valor de D.
Para a região x < 0, temos uma onda harmônica se propagando em sentido da posição x = 0 
(como se a partícula se encaminhasse para essa posição) e outro termo relacionado a uma onda 
harmônica se propagando no sentido de x decrescente (como se a partícula tivesse sido refletida 
na barreira de potencial).
Definamos o coeficiente de reflexão como sendo a razão da amplitude das ondas refletidas pela 
amplitude das ondas incidentes, assim:
2 *
2 *
B B B
R
A AA
= = (eq. 4.46)
Substituindo os valores de A e B definidos na equação teremos que para a condição E < V0 o 
coeficiente de reflexão será:
R = 1 (eq. 4.47)
Isso significa que uma partícula incidente sobre o degrau de potencial, com energia menor do que 
a altura do degrau, tem probabilidade igual a um de ser refletida (ou seja, é sempre refletida). Essa 
afirmação é compatível com as ideias da Física Clássica.
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Unidade IV
No entanto, o caso quântico prevê um fenômeno que é impossível de acontecer classicamente. Nem 
todas as partículas serão refletidas exatamente em x=0. Ocorre o fenômeno de penetração da região 
classicamente proibida.
É importante entendermos que a penetração não significa que a partícula seja mantida na região 
classicamente proibida.
A função de onda para essa situação é exibida na sequência:
0 x
ψ(x)
Figura 32 – A função de onda que penetra na região x>0 é uma exponencial decrescente
A segunda possibilidade é mostrada a seguir.
Energias
E
0 x
V(x) = 0
V(x) = V0
V0
Figura 33 – Energia maior que a altura do degrau V0
Classicamente uma partícula vinda da região x < 0 com energia E maior que o degrau V0 localizado 
em x = 0 sofrerá uma redução de velocidade, no entanto, continuará o seu movimento. O potencial 
degrau apenas atua com um impulso que muda a quantidade de movimento.
Mas o que acontece em termos quânticos?
Se a energia E não for muito maior que V0, a partícula poderá sofrer uma reflexão com a mudança 
abrupta de potencial, mesmo na situação que possua energia suficiente para ultrapassar o degrau e ir 
em direção à região x > 0.
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FÍSICA MODERNA
Para obtermos a solução quântica, precisamos novamente resolver a equação de Schrödinger para 
as duas regiões:
• para a região x < 0, temos a equação:
( ) ( )
22
2
d x
E. x
2m dx
ψ−
= ψ

 (eq. 4.48)
• para a região x > 0, temos a equação:
( ) ( ) ( )
22
02
d x
E V . x
2m dx
ψ−
= − ψ

 (eq. 4.49)
A solução da equação é como visto no primeiro caso:
( ) ik x ik x1 11 1
2mE
x Ae Be ; k−ψ = + =

 (eq. 4.50)
A solução para a segunda equação tem a mesma forma da primeira. Para isso, basta imaginar 
que no segundo caso houve uma diminuição da energia de E para E ‑ V0, mas continua sendo 
uma energia. Assim:
( ) ( )0ik x ik x2 22 2
2m E V
x Ce De ; k−
−
ψ = + =

 (eq. 4.51)
As constantes k1 e k2 podem ser entendidas como:
1
1
2mE p
k = =
 
 e 
( )0 2
2
2m E V p
k
−
= =
 
 (eq. 4.52)
Essas constantes permitem compreender as funções de onda que são as soluções da equação de 
Schrödinger como duas ondas que se propagam com os comprimentos de onda:
1
1
h
(x 0)
p
λ = < e 2
2
h
(x 0)
p
λ = > (eq. 4.53)
Poderíamos então entender que, devido às propriedades ondulatórias da função de onda associada 
à partícula, há certa chance de ela ser refletida na posição x = 0, onde houve a mudança abrupta de 
potencial. Classicamente, esse efeito é impossível.
Para determinarmos as constantes, lembremos que em ψ2(x) o termo De
‑ik2x refere‑se a uma onda se 
propagando no sentido de x decrescente. Entretanto, como a partícula incide no sentido de x crescente 
e a reflexão pode ocorrer em x=0, não existe motivo físico para essa propagação, assim D = 0.
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Para a condição de continuidade de ψ(x) em x=0, temos:
ψ1(0) = ψ2(0) → A + B = C (eq. 4.54)
E, para a continuidade da derivada de ψ(x) em x=0:
ik1A ‑ ik1B = ik2C → k1(A ‑ B) = k2C (eq. 4.55)
Resolvendo o sistema de equações algébricas (4.54 e 4.55):
1 2
1 2
k k
B A
k k
−
=
+ e 
1
1 2
2k
C A
k k
=
+
onde as constantes B (da parte refletida) e C (da parte transmitida) estão em função da constante A 
(da parte incidente).
O coeficiente de reflexão, que mede a probabilidade de que a partícula seja refletida pelo degrau no 
potencial, é:
22 *
1 2
2 *
1 2
B B B k k
R
k kA AA
 −
= = =  + 
 (eq.4.56)
Essa expressão mostra algo surpreendente: R não é igual a zero. Assim, mesmo que classicamente a 
probabilidade de a partícula ser refletida pelo degrau de potencial seja nula, ela não é nula quanticamente.
A probabilidade de a partícula ser transmitida define o coeficiente de transmissão. Ele é 
calculado como:
( )
2
2 1 2
2 2
1 1 2
k C 4k k
T
k A k k
= =
+
 (eq. 4.57)
Somando‑se as equações temos que:
T + R = 1 (eq. 4.58)
Essa situação em que uma partícula pode ser refletida por um degrau em potencial mesmo tendo 
uma energia maior é encontrada em células fotoelétricas. Nelas, o elétron que recebeu energia do fóton 
incidente na célula e que está tentando sair da superfície pode ser refletido e não escapar. Essa condição 
é válida quando a energia E não é muito maior que a altura do degrau V0.
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8.2 A barreira de potencial
Para a barreira de potencialmostrada na sequência, temos:
( ) 0
V ; 0 x
V x
0; x 0 e x
< < α
= 
< > α (eq. 4.59)
Energias
E
0 x
V(x) = 0V(x) = 0
V(x) = V0
Figura 34 – Barreira de potencial com energia E da partícula menor que a altura do degrau
Classicamente, quando uma partícula provém da região x < 0 em direção à origem, por possuir uma 
energia E menor que a altura do degrau V0, sofrerá um impulso que faz com que a partícula seja refletida.
Em termos quânticos, o comportamento será bem diferente.
Para entendermos o que acontece, temos que resolver a equação de Schrödinger para as regiões:
• para x < 0 
( ) ( )
22
2
d x
E. x
2m dx
ψ−
= ψ

 (eq. 4.60)
• para 0 < x < a ( ) ( ) ( )
22
02
d x
V . x E. x
2m dx
ψ−
+ ψ = ψ
 (eq. 4.61)
• para x > a ( ) ( )
22
2
d x
E. x
2m dx
ψ−
= ψ
 (eq. 4.62)
Por comparação com os resultados anteriores, teremos as soluções:
( ) ik x ik x1 11 1
2mE
x Ae Be ; k −ψ = + =

; para x < 0 (eq. 4.63)
( ) ( )0k x k x2 22 2
2m E V
x Ce De ; k−
−
ψ = + =

; para 0 < x < a (eq. 4.64)
( ) ik x ik x1 13 1
2mE
x Fe Ge ; k−ψ = + =

; x > a (eq. 4.65)
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Para determinarmos as constantes, lembremos que G=0. O valor de A dependerá da intensidade do feixe 
original e as outras constantes: B, C, D e F podem ser estabelecidas novamente pelas condições de contorno.
Vamos apenas nos preocupar com os aspectos físicos interessantes dessa situação física.
Como dentro da barreira a função de onda cai exponencialmente, se a largura da barreira for tal que esse 
decaimento não leve à anulação, existe uma probabilidade de que a função de onda possa atravessar a barreira.
Assim, a partícula associada à função de onda pode vir a atravessar a barreira e ser encontrada do 
outro lado, mesmo que classicamente não houvesse a possibilidade de ela atravessar essa barreira.
Esse fenômeno, exclusivamente quântico, é conhecido como efeito túnel.
Matematicamente podemos escrever o coeficiente de transmissão da região x < 0 para a região 
x > a como:
1
2 2
2
2
0 0
F senh k a
T 1
E EA 4. 1
V V
−
 
 
 = = +
  
−     
 (eq. 4.66)
O efeito túnel é usado em um microscópio chamado de microscópio de tunelamento.
Nesse microscópio, uma diferença de potencial é aplicada entre a agulha e a amostra. O espaço 
vazio entre eles funciona como uma barreira de potencial. Essa tensão elétrica faz com que os elétrons 
atravessem o espaço vazio (barreira) por tunelamento. Esses elétrons constituem uma corrente de 
tunelamento. Para que essa corrente permaneça constante, a distância entre a agulha e a amostra 
deve ser ajustada por movimentos verticais. Assim, é possível realizar uma topografia da amostra com 
resolução em nível atômico.
A função de onda relacionada a uma barreira de potencial é mostrada a seguir:
0
ψ(x)
a x
Figura 35 – Função de onda relacionada a uma partícula com energia 
E que penetra uma barreira de potencial com degrau V0 para E < V0
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8.3 Valores esperados e operadores
Na mecânica quântica, a função de onda solução da equação de Schrödinger está relacionada à 
densidade de probabilidade.
Assim, não podemos afirmar (como fazemos classicamente), por exemplo, sobre a posição de uma 
partícula, mas a respeito de a probabilidade de um certo valor ser encontrado ao fazermos uma medida 
da posição dessa partícula.
Portanto, o valor esperado da medida de posição é o valor médio que esperamos obter ao realizarmos 
diversas medidas para um número grande de partículas descritas pela mesma função de onda.
De forma geral, podemos escrever o valor esperado de qualquer função f(x) como:
( ) ( ) ( )*f x x f x dx+∞
−∞
< >= ψ ψ∫ (eq. 4.67)
Como a função de onda contém informações a respeito do comportamento quântico da partícula, 
precisamos, a partir da função de onda, extrair informações de grandezas mensuráveis associadas 
à partícula.
Para isso, definimos o que é chamado de operador. O operador é, como o nome diz, uma operação 
que deve ser feita na função de onda e representa a grandeza física observável.
Por exemplo, o operador para o momento linear é:
p i
x
ˆ
∂
= −
∂
 (eq. 4.68)
Logo, para calcular o valor esperado do momento linear de uma partícula, devemos “operar” na 
função de onda da seguinte forma:
( )*p x i dx
x
+∞
−∞
∂ < >= ψ − ψ → ∂ ∫  
( )( ) ( )* *p x i dx i x dx
x x
+∞ +∞
−∞ −∞
∂ψ ∂ψ
→< >= ψ − = − ψ
∂ ∂∫ ∫  (eq. 4.69)
A seguir veremos os operadores da mecânica quântica que representam algumas grandezas físicas.
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Tabela 1 – Alguns operadores de mecânica quântica
Símbolo Grandeza Operador
f(x) Qualquer função de x, como posição x ou a energia potencial V(x) f(x)
px Componente x do momento i x
∂
−
∂

py Componente y do momento i y
∂
−
∂

pz Componente z do momento i z
∂
−
∂

Ec Energia cinética
2 2
22m x
− ∂
∂

H Hamiltoniano (Energia total) dependente do tempo i
t
∂
∂

H Hamiltoniano (Energia total) independentemente do tempo ( )
2 2
2 V x2m x
− ∂
+
∂

Exemplo 1: Valor esperado do momento linear
Considere a função de onda do poço de potencial infinito no estado fundamental (n=1). Determine 
o valor esperado do momento linear.
Resolução: precisamos resolver a integral:
( )*p x i dx
x
+∞
−∞
∂ = ψ − ψ ∂ ∫  ; onde a função de onda para o poço de potencial infinito é dada 
por ( )1
2 x
x sen 
L L
π
ψ = 
Assim teremos:
L L
0 0
2 x 2 x 2i x x
p sen i sen dx sen .cos dx
L L x L L L L L L
π ∂ π − π π π     < >= − = →    ∂     ∫ ∫


L
2 0
2i x x
p sen .cos dx 0
L LL
− π π π   →< > = =   
   ∫

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Observe que o valor esperado do momento linear para a partícula em uma caixa é nulo, mas por quê?
Como para esse estado a partícula possui probabilidade igual de se mover para a esquerda e para a 
direita, o momento médio é nulo.
Exemplo 2: Valor esperado da energia cinética
Considere a função de onda do poço de potencial infinito no estado fundamental (n=1). Determine 
o valor esperado da energia cinética da partícula nesse estado.
Resolução: precisamos resolver a integral:
( )
2 2
*
2
p x dx
2m x
+∞
−∞
 − ∂
< > = ψ ψ 
∂  
∫

; onde a função de onda para o poço de potencial infinito é 
dada por ( )1
2 x
x sen 
L L
π
ψ = .
Nesse caso, antes de efetuarmos a integral, vamos atuar com o operador na função de onda, ou seja:
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 x 2 x
sen . sen . x
2m L L 2m L L 2mx L L
   − ∂ π − π π π
= − = ψ   ∂    
   
agora, substituindo esse resultado na integral do valor esperado:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
* *
2 2 2
p x . x dx . x x dx .
2m 2m 2mL L L
+∞ +∞
−∞ −∞
π π π
< > = ψ ψ = ψ ψ =∫ ∫
  
 Saiba mais
Para aprender como resolver a equação de Schrödinger em outros tipos 
de potenciais, veja o seguinte artigo:
RODRIGUES, L. R. Mecânica quântica na descrição de Schrödinger. 
Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 19, n. 1, mar. 1997. Disponível em: 
<http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v19_68.pdf>.Acesso em: 16 jan. 2019.
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Unidade IV
 Resumo
A equação de Schrödinger, apesar de sua origem ser postulada, é 
uma equação diferencial de segunda ordem na coordenada de posição 
e de primeira ordem em relação ao tempo que permite descrever o 
comportamento quântico da natureza.
Ela descreve o comportamento da função de onda. Essa função de 
onda que é a solução da equação de Schrödinger determina, segundo a 
interpretação de Copenhagen, a densidade de probabilidade.
Para sistemas quânticos em que a energia potencial não dependa 
explicitamente do tempo, a equação de Schrödinger pode ser separada em 
duas equações diferenciais: uma de segunda ordem que depende apenas 
da coordenada de posição e outra de primeira ordem que depende apenas 
do tempo.
A constante de separação dessas equações é a energia total do 
sistema quântico.
Na equação de Schrödinger para cada grandeza física observável temos 
associado um operador, que é uma operação matemática na função de 
onda. Esse operador permite determinar o valor esperado dessa grandeza.
As soluções da equação de Schrödinger para o poço de potencial e o 
potencial infinito levam à quantização de energia.
 Exercícios
Questão 1. Sabe‑se que a energia de um elétron no estado fundamental é 
2 2
1 2E 2mL
π
=

 e que a 
energia em qualquer outro estado é determinada por En = n
2E1.
Considere que um elétron está viajando em um fio de metal de 40 mm de comprimento e a ele foi 
relacionado o número quântico de 3,3 . 106. A energia desse elétron nessa situação é:
A) 0,01eV.
B) 0,1eV.
C) 1eV.
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FÍSICA MODERNA
D) 0,02eV.
E) 0,04eV.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: as energias em cada estado estacionário são determinadas por:
( )
( ) ( )
22 342 2
34 15
1 2 31 2
1,055.10
E 1,51.10 J 0,94.10 eV
2mL 2. 9,11.10 4.10
−
− −
− −
ππ
= = = =

Em um estado quântico n, a energia é 
En = n
2E1 → En = (3,3 . 10
6)2 . 0,94 . 10‑15 eV → En = 0,01eV.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse é o valor da energia se o número quântico for 1,03 . 107.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse é o valor da energia se o número quântico for 3,26 . 107.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse é o valor da energia se o número quântico for 4,61 . 106.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse é o valor da energia se o número quântico for 6,52 . 106.
Questão 2. Sabe‑se que a energia de um elétron no estado fundamental é 
2 2
1 2E 2mL
π
=

 e que a 
energia em qualquer outro estado é determinada por En = n
2E1.
Considere que uma partícula esteja no nível fundamental em um fio que se encontra em um poço 
de potencial infinito no estado fundamental e, que o tamanho do fio seja 50 mm. A probabilidade de se 
encontrar a partícula na região compreendida entre 25 mm e 50 mm é:
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Unidade IV
A) 9%.
B) 50%.
C) 41%.
D) 1,25%.
E) 60,3%.
Resolução desta questão na plataforma.
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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 9. ed. v. 4. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 
2009. p. 412.
Figura 2
RAMALHO, F. R; FERRARO, N. G. SOARES, P. A. T. Os fundamentos da física, vol. 3. 8. ed. São Paulo: 
Moderna, 2003. p. 414.
Figura 3
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006. p. 14.
Figura 4
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 9. ed. v. 4. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 
2009. p. 152.
Figura 5
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 9. ed. v. 4. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 
2009. p. 152.
Figura 7
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006, p. 84.
Figura 10
OBJETIVO. Caderno de Física. Rio de Janeiro: Galileu, [s.d.]. p. 132. v. 3.
Figura 13
OBJETIVO. Caderno de Física. Rio de Janeiro: Galileu, [s.d.]. p. 94. v. 3.
Figura 24
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006, p. 183.
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Figura 25
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006. p. 183.
Figura 26
EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica – átomos, moléculas, sólidos, núcleos e partículas. Rio de 
Janeiro: Elsevier, 1979. p. 99.
Figura 27
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006. Adaptada.
Figura 28
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006, p. 159.
Figura 29
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006, p. 159.
Figura 32
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006, p. 174.
Figura 35
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006, p. 176.
REFERÊNCIAS
Textuais
ABREGO, J. R. B. Montagem de um conjunto experimental destinado à verificação do princípio da 
incerteza de Heisenberg. Revista Brasileira de Ensino de Física, São José do Rio Preto, v. 35, n. 3, p. 3.312, 
2013. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v35n3/a12v35n3.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2018.
BARROS, M. A.; BASTOS, H. F. B. N. Investigando o uso do ciclo da experiência kellyana na compreensão do 
conceito de difração de elétrons. Caderno Brasileiro de Ensino de Físico, Santa Catarina, v. 24, n. 1, p. 26‑49, 
abr. 2007. Disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/1549/12757>. Acesso em: 
20 dez. 2018.
BRAGA, J. P. Os cem anos do átomo de Sommerfeld. Revista Brasileira de Ensino de Física, Belo 
Horizonte, v. 38, n. 4, p. e4306, 2016. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v38n4/1806‑1117‑
rbef‑38‑04‑e4306.pdf>. Acesso em: 19 dez. 2018.
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CHESMAN, C.; ANDRÉ, C.; MACEDO, A. Física moderna: experimental e aplicada. São Paulo: Livraria da 
Física, 2004.
CHIBENI, S. S. Certezas e incertezas sobre as relações de Heisenberg. Revista Brasileira de Ensino de 
Física, Campinas, v. 27, n. 2, p. 181‑192, 2005. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v27n2/
a02v27n2.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2018.
DARTORA, C. A. et al. Aspectos gerais da teoria da difração sob o ponto de vista de um princípio de 
incerteza. Revista Brasileira de Ensino de Física, Curitiba, v. 31, n. 2, p. 2.303, 2009. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/pdf/rbef/v31n2/04.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2018.
EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica – átomos, moléculas, sólidos, núcleos e partículas. 6. ed. Rio 
de Janeiro: Campus, 1988.
GLEISER, M. A dança do Universo – dos mitos de criação ao Big‑Bang. São Paulo: Companhia de Bolso, 1997.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 9. ed. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2009. v. 4.
MOREIRA, I. C. 1905: um ano miraculoso. Física na escola, v. 6, n. 1, 2005. Disponível em: <http://www.
sbfisica.org.br/fne/Vol6/Num1/1905‑ildeu.pdf>. Acesso em: 29 nov. 2018.
NUSSENSVEIG, M. Curso de física básica: óptica, relatividade e física quântica. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1998. v. 4.
OSTERMANN, F.; RICCI, T. F. Conceitos de física quântica na formação de professores:relato de uma 
experiência didática centrada no uso de experimentos virtuais. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, 
Florianópolis, v. 22, n. 1, p. 9‑35, 2005. Disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/
article/view/6392/5917>. Acesso em: 4 dez. 2018.
PARENTE, F. A. G.; SANTOS, A. C. F.; TORT, A. C. Os 100 anos do átomo de Bohr. Revista Brasileira de 
Ensino de Física, Rio de Janeiro, v. 35, n. 4, p. 4.301, 2013. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/
rbef/pdf/354301.pdf>. Acesso em: 7 dez. 2018.
PLANCK, M. Sobre um aperfeiçoamento da equação de Wien para o espectro. Revista Brasileira de 
Ensino de Física, São Paulo, v. 22, n. 4, dez. 2000. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/
v22_536.pdf>. Acesso em: 3 dez. 2018.
RIVEROS, J. M. O legado de Niels Bohr. Química Nova, São Paulo, v. 36, n. 7, p. 931, 2013. Disponível 
em: <http://quimicanova.sbq.org.br/imagebank/pdf/Vol36No7_931_00b‑editorial36‑7.pdf>. Acesso 
em: 19 dez. 2018.
RODRIGUES, L. R. Mecânica quântica na descrição de Schrödinger. Revista Brasileira de Ensino de 
Física, v. 19, n. 1, mar. 1997. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v19_68.pdf>. Acesso 
em: 16 jan. 2019.
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SILVA, I. Uma nova luz sobre o conceito de fóton: para além de imagens esquizofrênicas. Revista 
Brasileira de Ensino de Física, Feira de Santana, v. 37, n. 4, p. 4.204, 2015. Disponível em: <http://www.
scielo.br/pdf/rbef/v37n4/0102‑4744‑rbef‑37‑4‑4204.pdf>. Acesso em: 4 dez. 2018.
SILVA, I.; FREIRE JÚNIOR, O. A descoberta do efeito Compton: de uma abordagem semiclássica a uma 
abordagem quântica. Revista Brasileira de Ensino de Física, Feira de Santana, v. 36, n. 1, p. 1.601, 2014. 
Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v36n1/26.pdf>. Acesso em: 6 dez. 2018.
SILVA, I.; FREIRE JÚNIOR, O.; SILVA, A. P. B. O modelo do grande elétron: o background clássico do 
efeito Compton. Revista Brasileira de Ensino de Física, Feira de Santana, v. 33, n. 4, p. 4.601, 2011. 
Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/v33n4/19.pdf>. Acesso em: 6 dez. 2018.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro: McGraw‑Hill, 1995. v. 1.
TENFEN, D. N.; TENFEN, W. O modelo atômico de Bohr e as suas limitações na interpretação do 
espectro do átomo de hélio. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Realeza, v. 34, n. 1, p. 217‑235, abr. 
2017. Disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/2175‑7941.2017v34n
1p216/34014>. Acesso em: 7 dez. 2018.
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. Física Moderna. Rio de Janeiro: Gen‑LTC, 2006.
Exercícios
Unidade III – Questão 2: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA (UFSC). Concurso Vestibular 
2004: Física, História, Língua Estrangeira, Língua Portuguesa e Literatura Brasileira e Redação. Questão 
10. Disponível em: <http://fisicaevestibular.com.br/novo/fisica‑moderna/efeito‑fotoeletrico‑2/
exercicios‑de‑vestibulares‑com‑resolucao‑comentada‑sobre‑efeito‑fotoeletrico/>. Acesso em: 16 jan. 2019.
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000