Aula 12

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Esperamos que, após o estudo desta aula, você 
seja capaz de:
entender os fundamentos das taxas de juros;
entender a estrutura temporal de juros 
e fatores determinantes dos rendimentos 
das obrigações;
entender o relacionamento entre as taxas 
de juros e o prazo de vencimento dos títulos;
descrever o modelo básico de avaliação para 
títulos de dívida;
entender a relação entre retorno exigido, prazo 
de vencimento e valores do título de dívida;
explicar o retorno esperado até o vencimento
e como calculá-lo;
explicar o procedimento utilizado para avaliar 
títulos de dívida de longo prazo que pagam 
juros semestrais.
ob
je
tiv
os
Metas da aula 
Apresentar conceitos de avaliação de um ativo, 
explicando como o valor de mercado de títulos 
de dívida é determinado, já que as decisões do 
administrador financeiro são analisadas em termos do 
efeito que irão causar no valor da empresa.
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2
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Pré-requisitos 
Para acompanhar esta aula com mais facilidade, é necessário ter claros os conceitos de valor 
presente (ou atual) e valor futuro, além de saber utilizar tabelas financeiras para calcular 
valor presente de um fluxo de caixa com a utilização de tabelas financeiras apresentadas na Aula 4.
Os conceitos apresentados na disciplina Matemática Financeira, principalmente na Aula 8 – 
Séries, Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamento (Modelo Básico, Valor Atual) e na Aula 10 – Séries, 
Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamento (Modelo Genérico), serão imprescindíveis para o bom 
entendimento desta aula. Também é necessário o uso de uma calculadora simples ou financeira. 
A calculadora financeira o ajudará bastante!
Avaliação de títulos 
de dívida 12AULA
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A Bolsa de Valores de São Paulo – BOVESPA apresenta, em sua página na 
internet, diariamente, a cotação das ações ordinárias, ações preferenciais, 
debêntures e outros títulos de empresas constituídas na forma de Sociedade 
Anônima, de capital aberto e que têm seus títulos de valores mobiliários ali 
negociados, como Petrobras, Vale, CSN e Telemar, entre outras. Informa sobre 
empresas que estão abrindo o capital, oferecendo, pela primeira vez, suas 
ações aos investidores. Disponibiliza também demonstrações financeiras onde 
podemos encontrar o custo de aquisição do ativo imobilizado. Todas estas 
informações estão relacionadas com o conceito de valor. Como sabemos que o 
objetivo da administração financeira é maximizar a riqueza do proprietário, que 
é refletida pelo valor da ação, torna-se necessário analisar como se determinam 
os valores (preços) dos ativos. Nesta aula, serão abordados os conceitos de 
avaliação e taxas de retorno e também desenvolvidos métodos para calcular o 
valor de um título de dívida de longo prazo.
O SIGNIFICADO DE AVALIAÇÃO
Segundo o dicionário Novo Dicionário Aurélio de Língua 
Portuguesa, Avaliar é: [...]1. Determinar a valia ou o valor de; 2. Maior 
ou menor preço que um indivíduo tem a determinado bem ou serviço e 
que pode ser de uso ou de troca; [...].
Segundo Lawrence J. Gitman, “Avaliação é processo que relaciona 
risco e retorno para determinar o valor de um ativo" (2004, p. 240).
Avaliação é, portanto, o ato ou efeito de estabelecer o valor 
de mercado de qualquer ativo – debêntures, ações, imóveis, fábricas, 
máquinas e equipamentos etc. – negociado ou a ser negociado no 
mercado. 
A avaliação é importante, porque é por meio dela que se verifica 
se os administradores estão aumentando a riqueza dos proprietários 
da empresa. Para uma empresa tornar-se um investimento atrativo 
para os acionistas, o administrador financeiro deve escolher a melhor 
combinação de decisões sobre os investimentos, financiamentos e 
dividendos. Qualquer uma dessas decisões financeiras deve ser vista em 
termos de risco, retorno esperado e o impacto combinado dessas duas 
variáveis sobre o valor da empresa, sob o ponto de vista dos fornecedores 
de capital, de risco e de empréstimos para a empresa. O risco pode 
INTRODUÇÃO 
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ser definido como a possibilidade de que o retorno real seja diferente 
do retorno esperado. As expectativas de retorno e risco envolvidos 
no investimento de recursos, por exemplo, em ações ordinárias, são 
continuamente revistas pelos investidores (fornecedores de fundos) 
em função das novas informações sobre decisões de investimento, 
financiamento e dividendos da empresa. 
TAXA DE JUROS E RETORNOS EXIGIDOS
1. Fundamentos de taxas de juros
O objetivo da avaliação é estabelecer o valor de mercado de 
ativos geradores de renda ou fluxo de caixa. A determinação do valor 
dos ativos num dado instante é um processo simples, aplicável sobre 
séries de benefícios esperados de debêntures, ações, imóveis, fábricas, 
máquinas, equipamentos etc. O valor de mercado de ativos é o valor 
presente dos fluxos de caixa esperados desses ativos. 
Os elementos básicos da avaliação são, portanto, o valor do 
dinheiro no tempo, que estudamos na Aula 4, e os conceitos de risco-
retorno, estudados nas Aulas 7 a 9. 
Um dos problemas básicos enfrentados pelo administrador 
financeiro é a determinação do valor presente desses fluxos. Estes fluxos 
de caixa são trazidos para o valor presente por uma taxa de desconto, 
que representa o custo do dinheiro, para quem está demandando os 
recursos. Quando há um empréstimo direto, o custo de sua captação é 
denominado taxa de juros; quando os recursos são obtidos pela venda de 
títulos de valores mobiliários – debêntures ou ações –, o custo para quem 
emitiu o título é chamado retorno exigido. Os fatores que compõem o 
custo dos fundos são: a taxa real de retorno (r*), um prêmio esperado 
pela inflação (PI) e um prêmio pelo risco (PR). Ignorando o risco, o 
custo dos fundos é a taxa real de juros ajustada pela expectativa de 
inflação e pela preferência pela liquidez. A maior percepção do risco 
resulta em um maior retorno exigido e menor valores de ativos, como 
veremos a seguir.
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• A taxa real de juros
A taxa real de juros, k*, é a taxa que cria um equilíbrio entre 
a oferta de recursos fi nanceiros (dinheiro) e a demanda por recursos 
fi nanceiros, em um mundo perfeito, sem infl ação, onde os fornecedores 
e tomadores de fundos não têm preferência por liquidez e todos os 
resultados são conhecidos. Ela pode ser expressa pela Equação 12.1:
k* = k
j
 – PI (12.1)
onde
k
j
 = taxa nominal de juros do investimento j
PI = Prêmio esperado pela infl ação
Nota explicativa: A Equação 12.1 é uma fórmula de aproximação. 
A taxa real de juros calculada com precisão é dada pela seguinte 
expressão: 
 
• Taxa de juros livre de risco
Taxa de juros livre de risco, RF, é a taxa que se obtém em 
investimento livre de risco. Como não há risco, o prêmio pelo risco, 
PRj, é igual a zero. Com isto, temos:
Taxa livre de risco = Taxa real de retorno + Prêmio esperado pela 
infl ação
RF = k* + PI (12.2)
• Taxa nominal de juros (retorno)
A taxa nominal de juros é a taxa de juros não ajustada pela infl ação. 
É a taxa verdadeira, ela é cobrada pelo fornecedor e paga pelo tomador de 
recursos. A taxa nominal difere da taxa real de juros, k*, em conseqüência 
Para os 
fornecedores de fundos, 
a taxa de juros ou retorno 
exigido é a remuneração recebida 
por disponibilizar os recursos 
e deve refl etir o retorno 
esperado por eles.??
Taxareal de juros =
1 + taxa nominal de juros
1 + taxa de infl ação
– 1
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de dois fatores: (1) expectativas de inflação refletidas em um prêmio por 
inflação (PI) e (2) características do título emitido e do emissor, tais como 
risco de inadimplência e cláusulas contratuais, refletidas em um prêmio 
pelo risco (PR). Usando essa notação, a taxa nominal de juros do título 
1, k1, é dada pela Equação 12.3:
k1 = k* + PI + PR1 (12.3)
Exemplo: Suponha que Gabriela tenha $ 9.000 disponíveis. Ela 
pode aplicá-los em um investimento bancário com taxa de juros de 12%, 
pelo prazo de um ano, ou pode gastá-los comprando 9.000 bijuterias 
a $1,00 em uma butique. Se ela fizer a aplicação, receberá, no final do 
ano, $ 10.080 ($ 9.000 × 1,12). Para sabermos se o investimento foi um 
bom negócio, temos que considerar a inflação do período.
Vamos considerar a taxa de inflação de 5% durante esse ano; 
então, a butique cobrará $ 1,05 pela mesma bijuteria no final do ano. Se 
colocar todo o seu dinheiro na aplicação bancária, poderá comprar no 
final do ano 9.600 ($ 10.080 ÷ $1,05) bijuterias. Assim, poderá aumentar 
a compra de bijuterias em 6,67%. Ou seja, 6,67% é o que a Gabriela 
está ganhando realmente em seu investimento, depois de considerar a 
inflação. Se considerarmos a fórmula de aproximação, a taxa real seria 
igual a 7% (12% – 5%).
Estrutura temporal de taxas de juros
Estrutura temporal de taxas de juros é a relação entre a taxa de 
juros e o prazo de vencimento. Por exemplo, se tivermos um empréstimo 
que pague $ 1 tanto no período 1 como no período 2, o seu valor 
presente será:
 
onde temos que a entrada de caixa do primeiro ano é atualizado à taxa 
de juros à vista atual para um ano e a entrada de caixa do segundo ano 
à taxa à vista atual para dois anos. A série de taxas à vista r
1
, r
2
, etc. é 
uma forma de expressar a estrutura temporal da taxas de juros.
VP = =1 
1 + r
1
1 
(1 + r
2
)2
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O entendimento da estrutura temporal de taxas de juros é importante 
para o administrador fi nanceiro nas tomadas de decisões de:
 – fi nanciamento – decidindo se vai tomar emprestado via 
emissão de títulos de dívida de curto ou de longo prazo;
– investimento – decidindo se vai investir na compra de 
títulos de dívida de curto ou de longo prazo.
O processo de 
decisão do administrador 
fi nanceiro pode ser visto, ora 
pela ótica de quem busca recursos 
fi nanceiros, isto é, fi nanciamento, 
ora pela ótica de quem aplica 
recursos fi nanceiros, isto é, 
investimento. 
??
• Curvas de taxas de juros
Um título de dívida pode fi car mais caro ou mais barato após a 
determinação de seu preço inicial. Para compreender por que os preços 
se alteram, é necessário identifi car a relação geral que há entre as taxas 
de juros dos títulos de curto prazo e as taxas de juros de longo prazo. 
Essa relação pode ser verifi cada em qualquer período pela comparação 
do retorno esperado até o vencimento (YTM) de títulos com diferentes 
prazos de vencimento. O YTM é utilizado por ser uma medida rápida e 
resumida da rentabilidade gerada por uma obrigação. Esta comparação 
pode ser feita grafi camente, relacionando-se as taxas de juros ou de 
retorno ao prazo de vencimento. O gráfi co resultante é denominado 
curva de taxas de juros.
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Esta curva mostra o retorno esperado até o vencimento de títulos 
de risco semelhantes e prazos de vencimento diferentes. O Gráfi co 12. 1 
mostra as três formas da curva do retorno até o vencimento. Na maior 
parte das vezes, a estrutura temporal da taxa de juros é uma curva 
inclinada para cima (curva ascendente), o que refl ete a expectativa de 
maiores taxas de juros no futuro; com isto, há aumento da rentabilidade 
do título à medida que o prazo de aplicação cresce. Ela é representada 
no Gráfi co 12. 1 pela curva A. Às vezes, ocorre uma curva horizontal de 
juros, como a reta B, indicando que pode não haver diferenças entre as 
taxas de juros de curto prazo e de longo prazo, refl etindo, portanto, uma 
O retorno esperado 
até o vencimento (yield to 
maturity – YTM) é a taxa anual de 
retorno obtida por um título adquirido 
em certa data e mantido até a data 
do vencimento. ??
Gráfi co 12.1: Curvas de taxa de retorno de investimentos em títulos de dívidas
C
B
A
Ta
xa
 d
e 
ju
ro
s 
(%
)
Prazo de vencimento (anos)
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expectativa estável das taxas, em que a rentabilidade é a mesma, qualquer 
que seja o prazo de aplicação. A curva C apresenta uma inclinação para 
baixo (curva descendente), indicando a expectativa de que as taxas de 
juros de curto prazo sejam maiores do que aquelas de prazo maior.
• Teorias da estrutura temporal
A estrutura temporal mais usual tem uma inclinação ascendente, 
que quer dizer que as taxas de juros de longo prazo são maiores do que as 
taxas de curto prazo. Entretanto, às vezes, acontece o contrário, e as taxas 
de juros de curto prazo são maiores do que as de longo prazo, fazendo 
com que a curva da estrutura temporal fique descendente. A razão da 
ocorrência destas mudanças na estrutura temporal das curvas de juros 
pode ser explicada por três teorias: (1) teoria das expectativas, (2) teoria 
da preferência por liquidez e (3) teoria da segmentação do mercado. 
Teoria das expectativas
Segundo a teoria das expectativas, as taxas de juros de longo 
prazo são determinadas pelos seus níveis atuais e pelas expectativas de 
evolução das taxas de juros de curto prazo, podendo assim ser utilizadas 
para estimar as taxas de juros de curto prazo futuras.
Isto posto, considerando:
r
1
 = é a taxa de juros à vista de uma obrigação com prazo 
de vencimento de 1 ano detida desde o período 0 até 
o período 1.
r
2
 = é a taxa de juros à vista de uma obrigação com prazo 
de vencimento de 2 anos detida desde o período 0 até 
o período 2.
1
r
2
 = é a taxa de juros à vista com prazo de vencimento de 
1 ano estabelecida no período 1 (ela é desconhecida 
no período 0).
f
2
 = taxa a termo. É a taxa de juros implícita para 1 ano 
a partir do período 1 contida na taxa de juros à vista 
para 2 anos, r
2
.
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Exemplo: Joaquim tem $1.000 disponíveis para investimento 
por dois anos e tem duas alternativas de investimento: investir em uma 
obrigação de 1 ano à taxa à vista para 1 ano ou investir em uma obrigação 
com prazo de vencimento de 2 anos. A taxa de juros à vista para 1 ano, 
r
1
, no período 0 é de 10%; a taxa de juros à vista para 2 anos, r
2
, é de 
11% e há uma expectativa de que a taxa a vista para obrigações com 
prazo de 1 ano no período 1, 
1
r
2
, seja de 12% (é uma taxa desconhecida 
no momento atual (0), sendo, portanto, estimada).
Isto posto:
Temos que r
1
 = 10%, r
2
 = 11% 
1
r
2
 = 12%.
1ª alternativa: Investir em uma obrigação de 1 ano à taxa 
à vista para 1 ano, r
1
 de 10%. Aplicar o resultado em uma 
obrigação com prazo de 1 ano à taxa estimada estabelecida 
no ano 1, 
1
r
2
 de 11%. O resultado final desta aplicação será 
igual a $ 1.232.
$ 1.000 × (1 + r
1
) × [1 +E(
1
r
2
)] 
$ 1.000 × (1 + 0,10) × (1 + 0,12) = $ 1.232.
2ª alternativa: Investir em uma obrigação com prazo de 
vencimento de 2 anos à taxa r
2
 de 11%. 
Isto significa que ele irá investir à taxa de juros à vista para 2 
anos, r
2
. No final de 2 anos, vai receber $ 1.232, ou seja:
$ 1.000 × (1 + 0,11)2 = $1.232
Desdobramento da 2ª alternativa: Esta mesma alternativa 
de investimento pode ser interpretada de outra forma: 
Podemos entender que Joaquim está investindo por 1 ano 
à taxa de juros à vista r
1
 e, no segundo ano, está investindo à 
taxa a termo f
2
. Esta taxa a termo representa a rentabilidade 
adicional que Joaquim obtém por emprestar por 2 anos, 
em vez de 1 ano. Esta taxa a prazo está implícita na taxa 
de juros à vista para o prazo de 2 anos.
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A taxa a termo 
representa a rentabilidade adicional 
que o investidor obtém por emprestar por 
2 anos em vez de 1 por ano. Esta taxa a prazo 
está implícita na taxa de juros à vista para 2 anos, 
r2. Está também garantida, pois, ao comprar 
a obrigação de 2 anos, o investidor pode 
“fi xar” uma taxa de juros f2 para o 
segundo ano.
??
Como consideramos que a taxa de juros à vista para o prazo de 2 
anos é igual a 11%, então, a taxa a termo f
2
 deve ser igual a 12%.
(1 + r
2
)2 = (1 + r
1
)(1 + f
2
)
(1 + 0,11)2 = ( 1 + 0,10) + (1 + f
2
)
(1,11)2 = 1,10 + (1 + f
2
)
f
2
 = 
(1,11)
1,10
2
= 0,12 = 12%
Desse resultado, podemos inferir que:
 (12.4)
onde 
f
n
 é a taxa a termo para o n-ésimo ano, r
n
 é a taxa à vista para o prazo 
de n anos e r
n-1
 é a taxa à vista para o prazo de n – 1 anos
A taxa de juros à vista para obrigações com prazo de vencimento de 
2 anos, 11%, é uma média da taxa de juros à vista para vencimento de 1 
ano, 10% e da taxa a termo de 12%.
 (12.5)
fn
n
n
n
n
r
r
= +
+
( )
( )
1
1
1
1
1
r
r f
r
2
1 2
2
2
0 10 0 12
2
0 11 11
= +
= + = =, , , %
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Quadro 12.1: Alternativas de investimento de Joaquim, que dispõe de $1.000 
para aplicação por dois anos
1ª estratégia: Investir em duas obrigações de 1 ano
Hoje Ano 1 Ano 2 (resultado fi nal)
$1.000 $1.000 (1 + r1) $1.000 (1+r1)(1 + 1r2)
Investir na primeira
obrigação
à taxa r1
Investir na segunda
obrigação
à taxa 1r2
 2ª estratégia: Investir em uma obrigação de 2 anos
Hoje Ano 1 Ano 2 (resultado fi nal)
$1.000 1.000 (1 + r2)
2
Investir na obrigação à taxa r2
Desdobramento da 2ª estratégia
Hoje Ano 1 Ano 2 (resultado fi nal)
$1.000 $1.000 (1 + r1) $1.000 (1+r1)(1 + f2)
Investir no 
1 ano a r1
Investir no 2º ano
à taxa a termo
implícita, f2
As taxas de juros r1 e 
r2 são exemplos de taxas à 
vista. E f2 é chamada de taxa 
a termo.??
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Dada as duas alternativas, como deveria Joaquim aplicar? Se ele 
for um investidor racional, é claro que irá aplicar na alternativa que vai 
lhe render o maior retorno esperado.
Pela teoria das expectativas, a curva da taxa de juros depende 
somente das expectativas dos participantes do mercado sobre as taxas 
de juros futuras. Assim, se os investidores acreditam que as taxas de 
juros irão subir, a curva de rendimento será inclinada para cima. Se eles 
acreditam que as taxas de juros irão cair, ela será inclinada para baixo. 
No primeiro caso, os investidores não estão dispostos a comprar títulos 
de longo prazo, uma vez que o rendimento é menor do que os de curto 
prazo. Os investidores terão melhores retornos investindo em títulos de 
curto prazo e renovando o investimento no vencimento. A expectativa 
de queda nas taxas de juros à vista no futuro levará os investidores a 
investir em títulos de longo prazo. 
Na teoria da expectativa, os preços dos títulos, estabelecidos 
pelos investidores, são baseados unicamente nas taxas de juros. Eles 
são, portanto, indiferentes ao prazo de vencimento, não vendo os títulos 
de longo prazo com maior risco dos que os de curto prazo, sendo, 
portanto, o risco pelo prazo de vencimento igual a zero. Então, a taxa 
de juros nominal sobre os títulos livre de risco é determinada pela taxa 
de retorno livre de risco. Entretanto, há diferentes expectativas com 
relação à inflação associada aos diferentes prazos de vencimento. Essas 
expectativas irão causar variação na taxa livre de risco de acordo com 
o vencimento do título. Incluindo o subscrito t, para indicar o prazo de 
vencimento, podemos reescrever a Equação 12.2 como se segue:
Taxa livre de risco no período t = Taxa real de retorno + Prêmio 
esperado pela inflação no período t.
 (12.2A)
Exemplo: Suponha que a taxa real seja de 2,73% e permaneça 
constante. Suponha também que as taxas esperadas de inflação para os 
próximos três anos sejam as indicadas a seguir:
R k PlF tt = +*
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Na prática, é impossível observar a taxa de infl ação esperada ou a 
taxa real livre de risco. Porém, se a hipótese das expectativas estiver correta, 
podemos encontrar, pela curva de rentabilidade, a melhor avaliação do 
mercado de títulos de dívida sobre as taxas de juros futuras.
Ano Taxa de infl ação anual 
esperada (%)
Taxa média anual esperada de 
infl ação (%)
2008 3,0% 3%
2009 3,5 (3% + 3,5%)/2 = 3,25%
2010 4,0 (3% + 3,5% + 4%)/3 = 3,5%
De acordo com estas expectativas, o seguinte padrão de taxa de 
juros deve existir:
Ano Taxa real de juros 
(1)
Prêmio pela infl ação 
(2)
Taxa nominal de juros, RFt 
(3) = (1) + (2)
2008 2,73% 3% 5,73%
2009 2,73 3,25 5,98
2010 2,73 3,5 6,23
Pela teoria das 
expectativas, os investidores 
fi xarão as taxas de juros de tal maneira que 
a taxa a termo no segundo ano, por exemplo, 
seja igual à taxa à vista esperada para o 
segundo ano. !!
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Suponha que os títulos do governo de 1 e 2 anos de vencimento estejam rendendo 
9% e 12% respectivamente. Com esta informação, podemos calcular a expectativa do 
mercado de quanto as taxas com prazo de 1 ano renderão daqui a 1 ano. 
Resposta Comentada
Como a taxa de 1 ano, r1 , é de 9%, e a taxa de 2 anos, r2 , é de 12%, a taxa 
implícita para 1 ano contida na taxa de juros à vista para 2 anos, f2 , será de 
15%, como podemos verificar a seguir:
r1 = 9% r2 = 12% f2 = ?
A taxa a termo para prazo de vencimento de 1 ano a partir do período 1, pode 
ser encontrada pela fórmula:
 (12.4)
Sabemos, também, que a taxa de juros à vista para obrigações com prazo de 
vencimento de 2 anos é a média da taxa de juros à vista para vencimento de 1 
ano e da taxa a termo. Ou seja,
 (12.5)
Então:
 
A taxa de juros com prazo de vencimento de 1 ano esperada para o segundo 
ano a partir de agora, f2 , é de 15%. 
Empiricamente, a teoria das expectativas é mais importante.
Atividade 1
f =
(1+ r )
(1+ r )
1n
n
n-1
n-1
n
f =
(1+ 0,12)
(1+ 0,09)
1= f =
(1,254)
(1,09)
1= 0,151= 15,0%2
2
1 2
r =
r + r
22
1 2
0,12 = 
0,09 + f
2
0,12 x 2 = 0,09 + f f = 0,24 0,09
f =
2
2 2
2
⇒
 0,15 = 15,0%
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Teoria da preferência por liquidez
Pela teoria da preferência por liquidez, os títulos de dívida de longo 
prazo têm um retorno maior do que os títulos de curto prazo. Isto deve 
ocorrer por duas razões: 
1. Os investidores normalmente aceitam um menor retorno 
por investimentos em títulos de curto prazo. Isto ocorre 
por que o risco dos títulos de curto prazo é menor do 
que os dos títulos de longo prazo, considerando a sua 
maior liquidez, já que podem ser convertidos em dinheiro 
com menos perigo de perda do principal. Além disso, a 
volatilidade no valor do título de curto prazo é menor que 
a volatilidade do de longo prazo, visto que os seus preços 
são menos sensíveis às oscilações das taxas de juros. 
2. Os demandadores de fundos, na outra ponta, geralmente 
preferem dívida de longo prazo. Por isto, estão dispostos a 
pagar taxas mais altas por financiamentos de longo prazo, 
pois isto reduz o risco de, em condições adversas, ter de 
renovar dívidas de curto prazo a um custo desconhecido. 
A preferência dos fornecedores e tomadores de fundos faz com 
que as taxas de curto prazo sejam menores que as taxas de longo prazo. 
A introdução do prêmio de liquidez e do prêmio pelo risco do vencimento 
para títulos de longo prazo faz com que a curva de rendimento tenha 
uma inclinação ascendente.
Teoria da segmentação de mercado
A teoria da segmentação de mercado é a terceira explicação para 
as formas da curva de rendimento. Esta teoria estabelece que o mercado 
de empréstimos tem segmentos específicos, com base nos prazos de 
vencimentos. Nestes segmentos específicos, os credores e investidores 
concentram suas transações, negociando com estruturas de prazo de 
acordo com seu planejamento de caixa. Como a curva de rendimentos é 
segmentada em mercados distintos, a oferta e a demanda dentro de cada 
segmento determina a sua taxa de juros prevalecente. A forma da curva 
de rendimento é determinada pela mudança na relação oferta/demanda 
em um desses segmentos de mercado.
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Fundamentos de Finanças | Avaliação de títulos de dívida
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Prêmios por risco: características de emitentes e títulos
Como já visto na Equação 12.2, a taxa livre de risco, RF, é a taxa 
nominal, k*, que inclui um prêmio pela inflação, PI:
R
F
 = k* + PI
A taxa de juros nominal de um título j qualquer é igual à taxa 
livre de risco mais um prêmio pelo risco.
k
j
 = RF + PR
j
Prêmio pelo risco é, portanto, o retorno excedente do retorno do 
título j com risco. Ele varia de acordo com as características do emitente 
do próprio título com prazo de vencimento semelhantes e que tenham 
taxas de juros nominais diferentes.
A taxa de retorno de um título depende, portanto, do prêmio pelo 
risco, que consiste em vários componentes relativos ao emissor e à emissão, 
tais como:
Risco de inadimplência é a possibilidade de o emitente do título 
não pagar os juros ou o principal, como contratados. Quanto maior o 
risco de inadimplência, maior será o prêmio pelo risco e maior será a 
taxa de juros.
Considere que as taxas de juros sobre títulos do Tesouro com prazo de vencimento de 1 ano 
estão atualmente em 7%, enquanto títulos do Tesouro com prazo de vencimento de 2 anos 
estão rendendo 8,5%. Se a teoria das expectativas puras está correta, qual será a expectativa 
dos investidores quanto ao rendimento daqui a 1 ano sobre os títulos de 1 ano? 
Resposta Comentada
Sendo a taxa de 1 ano, r1, de 7,0%, e a taxa de 2 anos, r2, de 8,5%, a taxa a 
vista esperada para o segundo ano, f2, será de 10%:
 
 
O rendimento de 1 ano esperado para o segundo ano a partir de agora, f2 , é 
de 10%.
Atividade 2
r =
r + r
22
1 2
0,085 = 
0,07 + f
2
0,085 x 2 = 0,07 + f f = 0,17 - 0,07
f
2
2 2⇒
22 = 0,10 = 10,0%
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Risco de vencimento, também chamado de risco da taxa de juros 
– é o risco de uma variação na taxa de juros. Os preços dos títulos de 
longo prazo são mais sensíveis às oscilações nas taxas de juros do que os 
de curto prazo. Isto ocorre porque a taxa de retorno compensa o risco 
incidente por período. Quanto mais longo for o prazo de vencimento, 
maior será o número de períodos (anos) e, portanto, maior será o 
ajustamento (prêmio) total pelo risco.
Risco de liquidez é o risco de o título não poder ser convertido 
em dinheiro rapidamente sem a perda de seu valor. Títulos com baixa 
negociação no mercado têm menos liquidez, havendo a possibilidade 
de perda, caso haja necessidade de vendê-lo rapidamente; por isto, eles 
têm um prêmio pela liquidez maior que os títulos que são ativamente 
negociados no mercado.
AVALIAÇÃO DE TÍTULOS DE DÍVIDA
Fundamentos da avaliação
Como já foi dito anteriormente, o valor de qualquer ativo é sim-
plesmente o valor presente dos benefícios futuros esperados deste ativo. 
Podemos, portanto, encontrar o valor de qualquer ativo, descontando 
os fluxos de caixa que se espera receber durante o período analisado, por 
uma taxa de desconto, que é o retorno exigido desse ativo.
A equação geral para encontrar o valor de qualquer ativo é:
 (12.6)
onde:
V
0
 = valor do ativo na data zero
FCt = fluxo de caixa esperado no final do ano t
k = taxa de retorno exigido
n = período avaliado
Por essa fórmula, podemos observar que três dados são fundamentais 
no processo de avaliação: os fluxos de caixa (que são os benefícios), as 
datas (épocas) de ocorrência desses fluxos de caixa e o risco associado com 
a ocorrência desses fluxos, que determina o retorno exigido.
V
FC
k
FC
k
FC
k
n
n0
1
1
2
21 1 1
=
+
+
+
+ +
+( ) ( )
...
( )
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Fundamentos de Finanças | Avaliação de títulos de dívida
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Avaliação de um título de dívida
A partir da equação geral 12.6, podemos avaliar uma obrigação, 
começando pela descrição de suas características básicas, calculando a 
seguir o seu valor via fluxo de caixa descontado.
Características
Um título de dívida, normalmente, é um empréstimo com 
pagamento de juros periódicos e reembolso do principal no término do 
empréstimo.
Exemplo: Tudocapta S.A. emitiu, em 1º de janeiro de 2008, 
títulos de dívida de dez anos, cupom de 12% e valor de face de $ 1.000. 
Os juros são pagos anualmente.
Em nosso exemplo, temos:
Taxa de cupom de 12% – que é a taxa de juros declarada no 
título. Os cupons são os pagamentos de juros que o credor promete fazer 
periodicamente; no nosso exemplo, $ 120 (= $ 1.000 × 0,12) por ano.
Valor de face de $ 1.000 é o preço do título, ou seja, montante 
que será pago no final do empréstimo.
Prazo de vencimento de 10 anos – que é o número de anos até 
que o título de dívida seja pago.
Lembre-se de que valor de face é também chamado valor nominal, 
valor de resgate e valor ao par (neste caso, quando o valor nominal é 
igual ao valor de venda). 
O diagrama do fluxo de caixa desse título é:
 0 1 2 3 ... 10
 120 120 120 ... 120 Cupom 
 1.000 Valor de face
O valor de um título é o valor presente dos pagamentos que seu 
emitente está contratualmente obrigado a fazer do momento da avaliação 
até a data de vencimento. Então, o valor do título do Tudocapta pode 
ser calculado como a seguir:
B
k k k kd d d d
0 1 2 10 10
120
1
120
1
120
1
1 000
1
=
+
+
+
+ +
+
+
+
$
( )
$
()
...
$
( )
$ .
( )
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A taxa de desconto é a taxa de retorno que o mercado exige para 
investir no título de dívida de acordo com o seu risco. É representado 
por k
d
. Supondo que a taxa de retorno exigida seja igual à taxa de cupom 
de 12%, o valor do título da Tudocapta é:
A equação do modelo básico do valor de um título de dívida é:
 (12.7)
Dessa equação geral, podemos reescrever:
 (12.7A)
Ou
 (12.7B)
Podemos calcular o valor da obrigação utilizando a Equação 
12.7A ou 12.7B e as tabelas financeiras apropriadas (Tabela 4.1 Fator 
de Juros do Valor Presente (descapitalização de valores únicos) e Tabela 
4.3 Fator de Juros do Valor Presente de uma Anuidade (descapitalização 
de série de valores uniformes) constantes da Aula 4).
Pela fórmula 12.7A, temos:
B0 1 2 10
120
1 0 12
120
1 0 12
120
1 0 12
1 000
1
=
+
+
+
+ +
+
+$
( , )
$
( , )
...
$
( , )
$ .
( ++
=
0 12
1 000
10
0
, )
$ .B
B J x
k
M x
kd
t
t
n
d
n0
1
1
1
1
1
=
+
+
+=∑ ( ) ( )
B J x
k
k
Mx
k
d
n
d d
n0
1
1
1 1
1
=
−
+ +
+
( )
( )
B J x FJVPA M x FJVPkd t kd n0 = +, ,
B = $120 x
1-
1
(1+0,12)
0,12
+$1.000 x
1
(1+0,12)
B = $120 x
1-
1
3,1
0
10
10
0
005848
0,12
+$1.000 x 0,321973
B = $120 x
1- 0,321973
0,12
+ $321,973
B
0
00 = $120 x (0,678027/0,12) + $321,9732
$120 x
0,678027
0,12
+$321,9733
B = $120 x 5,650223 + $321,9732
B = $678,0268 + $321,9732 = $1.000
0
0
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Pela fórmula 12.7B e as tabelas fi nanceiras, temos:
Pela calculadora fi nanceira, temos:
B
B
O
O
= $120 x
=$120 x
FJVPA x FJVP
x
12 10 12 101 000
5 650 1 000
%, %,$ .
, $ .
+
+ 00 322
322 1 000
,
$ $ .BO = $678 + =
Entradas
Funções
Saídas
10
n
12
i
120
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.000
A obrigação vale $ 1.000, que é exatamente o seu valor de face. 
Isto ocorreu porque a taxa de juros declarada no cupom, 10%, é igual 
à taxa de retorno exigida.
Quando a taxa de retorno 
exigida é igual à taxa de cupom, o 
valor de mercado do título é igual ao 
seu valor nominal. !!
Comportamento do valor do título de dívida
Na realidade, o valor de face de um título de dívida raramente é 
igual ao seu valor de mercado. Fatores tais como retorno exigido e prazo 
de vencimento têm infl uência sobre o valor de uma obrigação.
Retornos exigidos e valor da obrigação
Toda vez que a taxa de retorno exigido é diferente da taxa de juros 
de cupom, o valor do título é diferente do seu valor nominal.
Para exemplifi car o efeito da mudança nas taxas de retorno 
exigido no valor do título, vamos supor que a taxa de retorno exigida 
seja de 10%. Calculando o seu valor pela fórmula 12.7B e as tabelas 
fi nanceiras, temos:
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Pela calculadora fi nanceira, temos:
B =$120 x
B =$120 x
O
O
FJVPA x FJVP
x
10 10 10 101 000
6 144 1 000
%, %,$ .
, $ .
+
+ 00 386
386 1 123
,
$ $ .B =$737O + =
Entradas
Funções
Saídas
10
n
10
i
120
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.122,89
O valor encontrado 
de $ 1.122,89 pela calculadora 
fi nanceira é mais preciso do que o 
valor de $ 1.123,00 que foi calculado 
por fatores arredondados das 
tabelas fi nanceiras. ??
O valor do título de dívida é agora de, aproximadamente, $ 1.123; 
isto ocorre porque a taxa de juros declarada no cupom, 12%, é maior 
que a taxa de retorno exigida, 10%. Isto quer dizer que a obrigação 
está rendendo mais que a taxa do título que está sendo negociado no 
mercado com igual risco, e os investidores estão dispostos a pagar um 
pouco mais para conseguir esse cupom a mais.
Neste caso, o título deverá estar sendo negociado com prêmio ou ágio, 
cujo valor é a diferença entre o valor de mercado e o valor nominal.
Prêmio = Valor de mercado - Valor nominal 
Prêmio = $ 1.123 – $ 1.000 = $ 123.
Vamos considerar, agora, que o retorno exigido seja de 13%, 
maior que a taxa de juros declarada no cupom, 12%. Com isto, o preço 
do título é igual a aproximadamente $ 946:
B =$120 x
B =$120 x
O
O
FJVPA x FJVP
x
13 10 13 101 000
5 426 1 000
%, %,$ .
, $ .
+
+ 00 295
295 946
,
$ $B =$651O + =
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Pela calculadora fi nanceira, temos:
Entradas
Funções
Saídas
10
n
13
i
120
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
945,73
O título agora está sendo negociado por aproximadamente $ 946, 
que é menor do que o seu valor de face de $ 1.000. Isto acontece porque 
a taxa de retorno exigida é menor que a taxa de cupom; como este título 
está rendendo menos que os títulos negociados no mercado de igual risco, 
os investidores estão dispostos a pagar por ele menos que o seu valor 
nominal de $ 1.000.
Como ele está sendo negociado por menos que o seu valor nominal, 
diz-se que ele está sendo vendido com desconto ou deságio. No caso em 
questão, o deságio é de $ 54.
Desconto = Valor nominal – Valor de mercado
Desconto = $ 1.000 – $ 946 = $ 54.
Desconto é o montante 
pelo qual um título de dívida 
é vendido por um valor menor que 
seu valor ao par ou de face. Prêmio é o 
montante pelo qual um título de dívida é 
vendido por um valor maior que seu 
valor ao par ou de face.!!
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Avaliação básica de títulos de dívida
Uma empresa está pensando em emitir títulos de dívida de longo prazo para financiar 
as suas necessidades de fundos no valor de $ 1.000.000. As obrigações terão valor de 
face de $ 1.000, taxa de juros declarada no cupom de 11% e prazo de vencimento de 
quinze anos. Se os títulos de dívida de longo prazo de igual risco estão sendo negociados 
no mercado a uma taxa de juros de 13%, este título vai ser negociado com prêmio ou 
com desconto? De quanto?
Resposta Comentada 
O valor de face do título, M = $ 1.000
Os juros pagos até o vencimento, J = $ 1.000 × 0,11 = $ 110
Prazo de vencimento, n = 15 anos.
Calculando o valor do título usando a fórmula 12.8B e as Tabelas 4.1 e 4.3 
da Aula 4, temos:
Pela calculadora financeira, temos:
O valor do título é aproximadamente $ 871. 
Como o valor do título é menor que o seu valor de face, ele deverá ser negociado 
com desconto de $ 129:
Desconto = Valor nominal – Valor de mercado
Desconto = $ 1.000 – $ 871 = $ 129.
Atividade 3
B = $110 x FJVPA + $1.000 x FJVP
B = $110 x 6,462+ $1.000 x
O 13%,15 13%,15
O 00,160
B = $710,82 + $160 = $ 870,82O
Entradas
Funções
Saídas
15
n
13
i
110
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
870,75
Prazo de vencimento e valor da obrigação
O prazo de vencimento de um título influencia no valor de uma 
obrigação, no sentido de que quanto maior o prazo de vencimento, 
mantidas as demais variáveis constantes, maior é o risco de uma variação 
de taxas de juros.
Retorno exigido constante: Se o retorno exigido é diferente da 
taxa de cupom, mas se mantém constante até a data do vencimento, o 
valor do título de dívida tende a se aproximar do seu valor nominal à 
medida que se aproxima da data de vencimento.
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No exemplo anterior, tínhamos a emissão de títulos de dívida, 
pela Tudocapta S.A, com valor nominal de $ 1.000, prazo de vencimento 
de 10 anos e taxa de cupom igual a 12%. Calculamos o seu valor, no 
lançamento, considerando três taxas: 10%, 12% e 13%. Agora vamos 
calcular e representar graficamente, na Figura 12.2, os preços do título 
para todos os dez anos, considerando cada uma das três taxas de retorno 
exigida: 10%, 12% e 13% constantes durante os 10 anos do título.
Isto posto, temos:
– Vamos calcular, como exemplo, o valor do título para taxa 
de 10%, 12% e 13%, para prazos de vencimento de 3, 5 e 7 anos, 
respectivamente:
Cálculo do valor do título, com taxa de retorno exigido de 10% 
e 3 anos até a data do vencimento.
Calculando o valor do título usando a fórmula 12.8B e as Tabelas 
4.1 e 4.3 da Aula 4, temos:
Pela calculadora financeira, temos:
B = $120 x
B = $120 x
O
O
FJVPA x FJVP
x
10 03 10 031 000
2 487 1 000
%, %,$ .
, $ .
+
+ 00 751
751 1 049 44
,
$ $ . ,B = $298,44O + =
Entradas
Funções
Saídas
3
n
10
i
120
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.049,737
O valor do título é, aproximadamente, $ 1.050.
Cálculo do valor do título, com taxa de retorno exigido de 12% 
e 5 anos até a data do vencimento.
Calculando o valor do título usando a fórmula 12.6B e as Tabelas 
4.1 e 4.3 da Aula 4, temos:
Pela calculadora financeira, temos:
B = $120 x
B = $120 x
O
O
FJVPA x FJVP
x
12 05 12 051 000
3 604 1 000
%, %,$ .
, $ .
+
+ 00 567
567 999 60
,
$ $ ,B = $432,60O + =
Entradas
Funções
Saídas
5
n
12
i
120
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.000,00
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O valor do título é igual a $ 1.000. Não era necessário nem fazer 
os cálculos, pois a taxa de retorno exigido é igual à taxa de cupom; 
portanto, o valor de mercado do título é igual ao seu valor nominal.
Cálculo do valor do título, com taxa de retorno exigido de 13% 
e 7 anos até a data do vencimento:
Calculando o valor do título usando a fórmula 12.7B e as Tabelas 
4.1 e 4.3 da Aula 4, temos:
Pela calculadora financeira, temos:
B = $120 x
B = $120 x
O
O
FJVPA x FJVP
x
13 07 13 071 000
4 423 1 000
%, %,$ .
, $ .
+
+ 00 425
425 955 82
,
$ $ ,B = $530,76O + =
Entradas
Funções
Saídas
7
n
13
i
120
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
955,774
O valor do título é igual a $ 956.
Os demais valores foram calculados de maneira semelhante. 
A tabela a seguir resume todos os valores.
Tabela 12.1: Valores de títulos de dívida da Tudocapta S.A. para prazos de 
vencimento de até 10 anos para os três retornos exigidos: 10%, 12% e 13%
Taxa de retorno exigido
Ano até o vencimento 10% 12% 13%
Valor do título
10 $ 1.123 $ 1.000 $ 946
9 1.115 1.000 949
8 1.107 1.000 952
7 1.097 1.000 956
6 1.087 1.000 960
5 1.076 1.000 965
4 1.063 1.000 970
3 1.050 1.000 976
2 1.035 1.000 983
1 1.018 1.000 991
0 1.000 1.000 1.000
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Os valores dos títulos foram calculados utilizando-se calculadora financeira.
V
al
o
r 
d
e 
m
er
ca
d
o
 d
o
 t
ít
u
lo
 d
e 
d
ív
id
a,
 B
0 (
$)
 
Tempo até o vencimento (anos)
Título de dívida, com prêmio, retorno 
exigido, kd = 10%
Título de dívida, com desconto, retorno 
exigido, kd = 13%
Título de dívida ao valor 
nominal retorno exigido, kd = 12%
10 8 6 4 2 0
1.123
1.000
946
850
Como o prêmio (10%) ou o desconto (13%) cai com o passar do 
tempo, o valor do título converge para o valor de face, igualando-se a 
ele na data do vencimento.
Pela Figura 12.2, podemos inferir as seguintes conclusões:
– Sempre que a taxa de retorno exigida for igual à taxa de 
juros de cupom, um título de dívida será vendido por 
seu valor de face. 
– As taxas de retorno exigidas variam ao longo do tempo, 
mas a taxa de cupom permanece a mesma após a emissão 
do título. 
– Sempre que a taxa de retorno exigida for maior que a taxa 
de cupom, o preço de mercado do título será menor do 
que o seu valor nominal. Esse tipo de título é chamado 
título com desconto.
– Sempre que a taxa de retorno exigida for menor que a 
taxa de cupom, o preço de mercado do título será maior 
do que o seu valor nominal. Um título assim é chamado 
título com prêmio.
Figura 12.1: Prazo de vencimento e valores de títulos de dívida.
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– Assim, um aumento nas taxas de retorno exigido fará 
com que os preços dos títulos em circulação caiam, ao 
passo que uma redução nas taxas de juros fará com que 
os preços dos títulos aumentem.
– O valor de mercado de um título sempre se aproximará 
de seu valor ao par quanto mais perto estiver a data do 
vencimento.
Valor de título de dívida e tempo – retornos exigidos constantes
Há atualmente no mercado dois títulos de dívida sendo negociados. O título I e o título J,
ambos com prazo de vencimento de quinze anos. O título I está sendo negociado com 
prêmio e faz pagamentos de juros anuais. Seu valor nominal é igual a $ 1.000, a taxa de juros 
declarada é de 9% e a taxa de retorno exigida para títulos de dívida com risco semelhante 
é de 7%. O título J é um título com desconto, tem taxa de juros declarada de 6% e a taxa 
de retorno exigida para títulos de dívida com risco semelhante é de 9%. Considerando que 
o retorno exigido dos dois títulos permaneça inalterado até o vencimento, responda:
a. Qual o valor esperado dos títulos com prazo de (1) quinze anos, (2) quatorze anos, 
(3) dez anos, (4) sete anos, (5) cinco anos, (6) um ano.
b. Represente seus resultados encontrados em um gráfico, colocando o tempo até o 
vencimento no eixo horizontal (eixo x) e valor de mercado do título de dívida no eixo 
vertical (eixo y).
c. O que está ocorrendo com o valor dos títulos de dívida à medida que se aproxima do 
vencimento? 
Respostas 
Título I 
M = $ 1.000 J = $ 1.000 × 0,13 = $ 130 kd = 11%
Título J 
M = $ 1.000 J = $ 1.000 × 0,10 = $ 100 kd = 13%
Pela fórmula 12.6B e as tabelas financeiras, vamos calcular o valor dos títulos 
I e J
B0 = J × FJVPAkd,t + M × FJVPkd,n 12.86
Atividade 4
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a. Valor do título I
 
Pela calculadora financeira, temos:
Para n= 1 ano
Valor do título J
Pela calculadora financeira, temos:
Para n = 1 ano
Prazo Valor pela tabela financeira
Pela 
calculadora
15 Bo = $ 100 × (6,464) + $ 1.000 × (0,160) = $ 806,40 $ 806,12
14 Bo = $ 100 × (6,302) + $ 1.000 × (0,181) = $ 811,20 $ 810,92
10 Bo = $ 100 × (5,426) + $ 1.000 × (0,295) = $ 837,60 $ 837,21
7 Bo = $ 100 × (4,423) + $ 1.000 × (0,425) = $ 867,30 $ 867,32
5 Bo = $ 100 × (3,517) + $ 1.000 × (0,543) = $ 894,70 $ 894,48
1 Bo = $ 100 × (0,885) + $ 1.000 × (0,885) = $ 973,50 $ 973,45
Prazo Valor pela tabela financeira Pela calculadora
15 Bo = $ 130 × (7,191) + $ 1.000 × (0,209) = $ 1.143,88 $1.143,82
14 Bo = $ 130 × (6,928) + $ 1.000 × (0,232) = $ 1.139,66 $1.139,64
10 Bo = $ 130 × (5,889) + $ 1.000 × (0,352) = $ 1.117,57 $1.117,78
7 Bo = $ 130 × (4,712) + $ 1.000 × (0,482) = $ 1.094,56 $1.094,245 Bo = $ 130 × (3,696) + $ 1.000 × (0,593) = $ 1.073,48 $1.073,92
1 Bo = $ 130 × (0,901) + $ 1.000 × (0,901) = $ 1.018,13 $1.018,02
Entradas
Funções
Saídas
1
n
11
i
130
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.018,02
Entradas
Funções
Saídas
1
n
13
i
100
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
$ 973,45
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b. Representação gráfica dos prazos de vencimento de valores de títulos de 
dívida
 
c. Tanto o valor de mercado do título I quanto o do J se aproximam do seu valor 
de face. 
Prazo decorrido até o vencimento e valores dos títulos
Tempo até o vencimento (anos)
Título J
Título l
Va
lo
r 
do
s 
tí
tu
lo
s 
de
 d
ív
id
a,
 B
0 
(%
)
1300
1100
900
700
500
300
100
-100
15 14 10 7 5 1 0
M
Retorno exigido variável: As taxas de juros se elevam e declinam ao 
longo do tempo. Um aumento nas taxas de juros leva a uma redução no 
valor dos títulos em circulação. E uma redução nas taxas de juros leva a um 
aumento no valor do título de dívida. Portanto, quando há alteração na taxa 
de juros, há variação no valor do título de dívida. O risco que correm os 
investidores em títulos de dívida, por causa dessa variação, é denominado 
risco de variação de taxa de juros. Quanto maior a sensibilidade do preço 
do título à oscilação nas taxas de juros, maior é este risco. E, mantidas as 
demais variáveis constantes, quanto mais longo o prazo de vencimento de 
um título, maior o seu risco.
Como exemplo, vamos considerar o título A e o título B. Ambos têm 
a taxa de cupom de 10% e valor nominal de $ 1.000. O prazo de vencimento 
do título A é de cinco anos e do título B é de trinta anos. A seguir, vamos 
calcular e representar graficamente, na Figura 12.3, os preços para diferentes 
taxas de juros alternativas, na data de vencimento.
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Calculando, como exemplo, o valor do título A e o do título B, 
para uma taxa de retorno exigido de 5%, nos seus respectivos prazos 
de vencimento:
Título A – M = $ 1.000 n = 5 anos J = 100,00 k
d
 = 5%
Calculando o valor do título usando a fórmula 12.6B e as Tabelas 
4.1 e 4.3 da Aula 4, temos:
B
0
 = $ 100 × FJVPA
05%,05
 + $ 1.000 × FJVP
05%, 05
 
B
0
 = $100 × 4,329 + $ 1.000 × 0,784
B
0
 = $ 423,90 + $ 784 = $ 1.216,90
Pela calculadora financeira, temos:
O valor do título é aproximadamente $ 1.216.
Título B – M = $ 1.000 n = 30 anos J = 100,00 k
d
 = 5%
Calculando o valor do título usando a fórmula 12.8B e as Tabelas 
4.1 e 4.3 da Aula 4, temos:
B
0
 = $ 100 × FJVPA
05%,30
 + $ 1.000 × FJVP
05%, 30
 
B
0
 = $100 × 15,372 + $ 1.000 × 0,231
B
0
 = $ 1.537,20 + $ 231 = $ 1.768,20
Pela calculadora financeira, temos:
O valor do título é aproximadamente $ 1.768.
Os demais cálculos foram feitos de maneira semelhante.
Entradas
Funções
Saídas
5
n
5
i
100
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.216,474
Entradas
Funções
Saídas
30
n
5
i
100
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.768,623
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Prazo de vencimento
Taxa de retorno exigido Título A – 5 anos Título B – 30 anos
Valor do título
5% $ 1.216 $ 1.769
10 1.000 1.000
15 832 672
20 701 502
25 597 401
30 513 334
Os valores dos títulos foram calculados utilizando-se calculadora fi nanceira
Tabela 12.2: Valores dos títulos A e B, na data de vencimento, para diversas taxas de retornos
 Como podemos observar, a inclinação da reta do título B, cujo prazo 
de vencimento é de 30 anos, é muito maior do que a inclinação da reta do 
título A, 5 anos. Se a taxa de retorno exigido subir de 10% para 15% para 
o título A, o valor da obrigação cai de $ 1.000 para $ 832, ou seja, uma 
redução de 16,8%, enquanto o valor da obrigação B, de prazo maior, cai 
de $ 1.000 para $ 672, uma queda de 32,8%. Então, comparativamente, 
o preço dos títulos de curto prazo tem uma reação relativamente menor a 
variações na taxa de juros do que o preço dos títulos de longo prazo.
Risco de variação de taxas de juros e prazo de vencimento
Taxa de retorno exigido (%)
Título de dívida B, prazo de 30 anos
V
al
o
r 
d
o
s 
tí
tu
lo
s 
d
e 
d
ív
id
a,
 B
0 
(%
)
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 5 10 15 20 25 30 35 
Título de dívida A, prazo de 5 anos
Figura 12.2: Risco de variação de taxas de juros e prazo de vencimento.
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Cálculo da variação percentual no valor de mercado dos títulos 
A e B, quando há uma variação de 50% na taxa de retorno exigido, 
quando aumenta de 10% para 15%:
Título A =
Título B = 
$ $ .
$ .
, , %
832 1 000
1 000
0 168 18 6
− = − = −
$ $ .
$ .
, , %
672 1 000
1 000
0 328 32 8
− = − = −
Valor de título de dívida e tempo – retornos exigidos variáveis
Manoel está pensando em aplicar em dois títulos de dívida existentes. Ambos têm 
valor de face de $ 1.000, taxas de cupom de 8% e pagamento de juros anuais. Tanto a 
obrigação A quanto a obrigação B estão sendo negociadas pelo valor nominal. Faltam 
exatamente dois anos para o vencimento da obrigação A, enquanto o prazo da obrigação 
B é igual a quinze anos. 
a. Se as taxas de juros subirem dois pontos percentuais, quais seriam as variações 
percentuais dos preços das duas obrigações? 
b. Represente seus resultados com um gráfico que relacione preços de obrigação e 
retornos esperados até o vencimento. 
c. Se Manoel quiser ter um risco mínimo em relação ao risco de variação das taxas de 
juros, qual a obrigação ele deveria adquirir? Por quê?
Respostas Comentadas
a. Os títulos estão sendo negociados ao par, então, tanto a taxa de retorno exigida 
quanta a taxa de juros declarada é igual a 8% e o valor de mercado de ambos os 
títulos é igual a $ 1.000.
Se as taxas de juros subirem dois pontos percentuais o retorno exigido vai aumentar 
para 10% e o valor de mercado dos títulos será:
Calculando o valor do título usando a fórmula 12.8B e as Tabelas 4.1 e 4.3 da 
Aula 4, temos:
Título A
M = $ 1.000 n = 2 anos J = $ 1.000 × 0,08 = $ 80 kd = 10%
B0 = $ 80 × FJVPA10%,02 + $ 1.000 × FJVP10%, 02 
B0 = $ 80 × 1,736 + $ 1.000 × 0,826
B0 = $ 138,88 + $ 826 = $ 964,88
Atividade 5
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Título B
M = $ 1.000 n = 15 anos J = $ 1.000 × 0,08 = $ 80 kd = 10%
B0 = $ 80 × FJVPA10%,15 + $ 1.000 × FJVP10%, 15 
B0 = $ 80 × 7,606 + $ 1.000 × 0,239
B0 = $ 608,48 + $ 239 = $ 847,48
A variação percentual para o Título A será de – 3,55% e para o Título B será 
de – 15,37%, conforme verificado a seguir:
Título A = 
Título B =
b. Representação gráfica da relação entre o valor do título e a taxa de retorno 
exigida:
Pelas variações percentuais e pelo gráfico, podemos observar que quanto maior 
for a duração do prazo de vencimento, mais sensível é o valor de mercado do 
título à mudança no retorno exigido e vice-versa.
c. Se Manoel pretende minimizar o risco de taxa de juro no futuro, ele deveria 
escolher o Título A, de curto prazo. Qualquer mudança nastaxas de juros 
terá menor impacto no valor de mercado do Título A do que no do 
Título B.
Entradas
Funções
Saídas
2
n
10
i
80
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
965,29
Entradas
Funções
Saídas
15
n
10
i
80
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
847,88
$ 964,54 $ 1.000
$ 1.000
= 0,03546 = 3,55%
$ 846,27 $ 1.000
$ 1.000
= 0,15373 = 15,37%
Risco de variação de taxas de juros e prazo 
de vencimento
1.050
1.000
950
900
850
800
Taxa de retorno exigida (%)
0 1 2 3Va
lo
r 
de
 t
ít
ul
o 
de
 d
ív
id
a,
 k
d 
($
)
Título de dívida A, 2 anos
Título de dívida B, 15 anos
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Retorno esperado até o vencimento (YMT)
Um investidor, ao adquirir um título de dívida no mercado, 
precisa saber qual o retorno esperado deste investimento, considerando 
que vai mantê-lo até a data de seu vencimento. Este retorno esperado é 
denominado de retorno até o vencimento (yield to maturity–YTM).
Exemplo: José Antônio está interessado em adquirir títulos de 
dívida de longo prazo que estão sendo negociados com as seguintes 
condições: valor de face igual a $ 1.000, prazo de vencimento de 8 anos 
e taxa de cupom igual a 11%. O preço de mercado destes títulos é igual 
a $ 930.
Como B
0
 = $ 930, I = $ 1.000 × 0,11 = $ 110, M = $ 1.000 e n = 8
anos, podemos calcular o retorno esperado até o vencimento desses 
títulos.
Sabemos que o valor de um título é igual ao valor presente da soma 
dos valores de uma anuidade (juros prometidos) mais o valor presente 
do valor de face, ou seja:
 12.7
Substituindo os valores do exemplo na fórmula, temos:
 
onde k
d
 é a taxa de desconto desse fluxo de caixa, sendo, portanto, o 
retorno até o vencimento. Temos, assim, uma equação e uma incógnita. 
Nosso objetivo é a equação para k
d
 – o YTM.
Podemos encontrar o retorno até o vencimento:
1. Por tentativa-e-erro.
2. Pela fórmula de aproximação da taxa de retorno.
3. Por calculadora financeira.
Resolvendo: 
1. Tentativa-e-erro envolve procurar o valor do título de dívida 
a várias taxas até encontrar a taxa que iguale o valor presente do fluxo 
de caixa ao seu valor de mercado.
Sabemos que se o retorno exigido, k
d
, fosse igual à taxa de juros 
de cupom de 11%, o valor de mercado do título seria igual a seu valor 
de face de $1.000. O valor de mercado é igual a $ 930; então, a taxa de 
desconto necessária para igualar o fluxo de caixa deste título a $ 930 
deve ser maior que a taxa de juros de cupom de 11%. 
B = J x 
1
(1 + k ) (1 + k )o d
t
d
n
t=1
n
+∑ M x 1
$ 930 = $ 110 x 
1
(1 + k ) (1 + k )d
8
d
8
t=1
8
+∑ $ .1 000 1x
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Considerando uma taxa de desconto de 12% ao futuro fl uxo de 
caixa desse título, e usando a fórmula 12.6B e as tabelas fi nanceiras, 
obtém-se:
$110 x (FJVPA
12%, 8 anos
) + $1.000 x (FJVP
12%, 8 anos
)
= $ 110 x 4,968 + $ 1.000 x 0,404
= $ 546,48 + $ 404 = $ 950,48
Como a taxa de 12% não é realmente alta o bastante para reduzir 
o valor para $ 930, vamos considerar a taxa de 13%:
$110 x (FJVPA
13%, 8 anos
) + $1.000 x (FJVP
13%, 8 anos
)
= $ 110 x 4,799 + $ 1.000 x 0,376
= $ 527,89 + $ 376 = $ 903,89
Sendo o valor resultante de $ 950,48, com a taxa de 12%, maior 
que $ 930, e o valor de $ 903,89, com a taxa de 13%, maior que $ 930, 
o retorno até o vencimento do título de dívida deve estar entre 12% e 
13%. Através do uso da interpolação, o YTM é 12,44%.
Para interpolar, neste caso, estão envolvidos os seguintes passos:
1. Encontrar a diferença entre os valores dos títulos à taxa de 
12% e 13%. A diferença é $ 46,59 ($ 950,48 – $ 903,89).
2. Encontrar a diferença absoluta entre o valor desejado de 
$ 930 e o valor associado com a taxa de desconto mais 
baixa. A diferença é de $ 20,48 ($ 930 – $ 950,48).
3. Dividir o valor do Passo 2 pelo valor encontrado no Passo 
1, para obter a percentagem da distância ao longo da 
faixa da taxa de desconto entre 12 e 13%. O resultado 
é 0,44 ( $ 20,48/$ 46,59).
Lembre-se de 
que quanto mais alta for 
a taxa de desconto, menor é o 
valor presente dos fl uxos de caixa, e de 
que quanto mais baixa for a taxa de 
desconto, menor é o valor presente 
dos fl uxos de caixa.!!
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4. Multiplicar a percentagem encontrada no Passo 3 pela 
extensão do intervalo de 1% (12% - 13%) sobre o qual 
a interpolação está sendo feita. O resultado é 0,44% 
(0,441 x 1%).
5. Adicionar o valor encontrado no Passo 4 à taxa de 
juros associada com a menor extremidade do intervalo. 
O resultado é 12,440% (12% + 0,440%). O retorno até 
o vencimento é, portanto, de 12,440%.
2. Pela fórmula de aproximação da taxa de retorno encontrado 
pela fórmula 12.8 a seguir, que pode ser usada para dar o resultado 
aproximado do YTM:
 (12.8) 
 
 
O YTM aproximado é, portanto, 12,48%, o qual não difere muito 
da taxa de retorno de 12,44% calculada acima pelo uso da abordagem 
de tentativa-e-erro.
3. Uso de calculadora
O retorno esperado até o vencimento é igual a 12,43%.
Retorno aproximado
J
M Bo
n
M Bo
=
+ −
+
2
Retorno aproximado =
+ −
+ =
+$
$ . $
$ . $
$ $ ,110
1 000 930
8
1 000 903
2
110 8 75
$$ ,
$ ,
$ ,
, , %
951 50
118 75
951 50
0 1248 12 48= = =
Entradas
Funções
Saídas
8
n
930
PV
110
CHS PMT
1.000
CHS FV i
12,43
O retorno esperado 
até o vencimento será 
igual à taxa de juros declarada 
no cupom sempre que o valor de 
mercado do título for igual ao 
seu valor nominal. !!
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A Altaneira S.A. tem títulos de dívida que estão sendo atualmente vendidos por $940. 
Eles têm uma taxa de juros declarada no cupom de 10% e um valor de face de $1.000, 
pagam juros anualmente e têm vinte anos até o vencimento.
a. Calcule o retorno até o vencimento (YTM) sobre esses títulos de dívida.
a.1. por tentativa-e-erro;
a.2. pela fórmula de aproximação;
a.3. pela calculadora.
b. Compare e discuta os resultados encontrados em a.1 e a.2.
c. Compare o YTM calculado em a para a taxa de juros declarada no cupom dos títulos 
de dívida e use uma comparação dos preços atuais dos títulos de dívida e seu valor de 
face para explicar essa diferença.
M = $ 1.000 n = 20 anos J =1.000 × 0,10 = 100 B0 = $ 940 kd = ?
O fluxo de caixa deste título é:
Respostas Comentadas
a.1. Cálculo por tentativa-e-erro
A taxa de desconto deste fluxo é maior que a taxa de cupom, de 10%, uma vez que 
o valor de mercado de $ 940 é menor que o seu valor de face de $ 1.000. Temos 
que encontrar a taxa que iguale o valor presente do fluxo de caixa a $ 940. 
Com a fórmula 12.6B e as tabelas financeiras, considerando uma taxa de 11%, 
podemos calcular o valor presente:
$100 x (FJVPA11%, 20 anos) + $1.000 x (FJVP11%, 20 anos)
= $ 100 x 7,963 + $ 1.000 x 0,124
= $ 796,30 + $ 124 = $ 920,30
Se a taxa de desconto fosse igual a 10% o valor de mercado seria igual ao valor 
de face de $ 1.000. Como o valor de mercado, $ 940, é menor do que $ 1.000, 
aumentamos a taxa de desconto para 11% e calculamos o valor presente do 
fluxo de caixa; encontramos $ 920,30, menos que o valor do título, de $ 940.A taxa de desconto está então entre 10% e 11%.
Interpolando, temos:
1. Diferença entre os valores dos títulos à taxa de 10% e 11%. 
A diferença é $ 79,70 ($ 1.000 – $ 920,30)
Atividade 6
Ano(s) Fluxo de caixa
0 – $ 940
1 – 20 100
20 1.000
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2. A diferença absoluta entre o valor desejado de $940 e o valor associado 
com a taxa de desconto mais baixa é: $ 60 ($ 940 – $ 1.000).
3. Dividindo o valor do Passo 2 pelo valor encontrado no Passo 1, para obter 
a percentagem da distância ao longo da faixa da taxa de desconto entre 10 
e 11%. O resultado é 0,7528 ($ 60/$ 79,70).
4. Multiplique a percentagem encontrada no Passo 3 pela extensão do intervalo 
de 1% (10% – 11%) sobre o qual a interpolação está sendo feita. O resultado 
é 0,75% (0,75 × 1%).
5. Adicione o valor encontrado no Passo 4 à taxa de juros associada com 
a menor extremidade do intervalo. O resultado é 10,75% (10% + 0,75%). 
O retorno até o vencimento é, portanto, de 10,75%.
a.2. Cálculo do retorno até o vencimento pela fórmula de aproximação (Equação 
12.8)
 
a.3. Cálculo do retorno até o vencimento pelo uso de calculadora.
O retorno até o vencimento é igual a 10,74%. 
b. Comparando e discutindo os resultados encontrados em a e b.
O retorno aproximado de 10,62% é uma estimativa bastante razoável do valor 
preciso de 10,75%. Comparando as duas taxas, podemos observar que o uso 
da fórmula de aproximação de retorno parece aceitável, uma vez que 
sua estimativa aproxima-se do valor real.
Retorno aproximado, Kd =
J+
M - Bo
n
M +Bo
2
Retorno aproximado, Kd =
$100 +
$1.000 $ 940
20
$1.000 + $ 940
2
=
$100 + $ 3
$$ 970
= 0,10619 = 10,62%
Entradas
Funções
Saídas
20
n
940
PV
100
CHS PMT
1.000
CHS FV i
10,74
YTM
Pelo valor preciso 10,75%
Pela fórmula de aproximação 10,62%
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Fundamentos de Finanças | Avaliação de títulos de dívida
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Juros semestrais e valores de título de dívida
O procedimento usado na obtenção do valor dos títulos de 
dívida que pagam juros semestralmente envolve:
1. A conversão dos juros anuais, J, em semestrais, dividindo-os
por 2.
2. A conversão do número de anos até o vencimento, n, 
em número de períodos de seis meses de vencimento pela 
multiplicação de n por 2.
3. A conversão do retorno exigido determinado (em vez do 
efetivo) para títulos de risco similar que também pagam 
juros semestralmente, de uma taxa anual, k
d
, para uma 
taxa semestral, dividindo-o por 2.
Com isto, fica:
 
 (12.9)
 
 (12.9A)
B =
J
2
x
1
1+ k
2
t=1
2n
+M x
1
1+ k
2
O
d
t
d























∑ 2n












B =
J
2
FJVPA +M x FJVPO kd
2
kd
2
, ,2 2n n












c. O valor calculado do retorno até o vencimento de 10,75% está acima da 
taxa de juros declarada de 10% do título, visto que o valor de mercado de $ 
940 é menor que seu valor ao par de $ 1.000. Sempre que o valor de mercado 
de um título é menor que seu valor ao par (sendo vendido com desconto), seu 
retorno até o vencimento estará acima da sua taxa de juros; quando o título 
é vendido ao par, seu retorno até o vencimento será igual a sua taxa de juros 
do cupom, e quando o valor de mercado de um título supera seu valor ao par 
(sendo vendido com ágio), seu retorno até o vencimento estará abaixo de sua 
taxa de juros.
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Fundamentos de Finanças | Avaliação de títulos de dívida
C E D E R J 247
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Exemplo: Supondo que o título da dívida da Tudocapta S.A pague 
juros semestrais e que o retorno exigido declarado, k
d
, seja 10% para os 
títulos de risco similar, que também pagam juros semestrais.
Temos: M = $1.000 J = ($ 1.000 × 0,12)/2 = $ 120/2 = $60 
n = 10 × 2 = 20 e kd = 10%/2 = 5%
Substituindo na Equação 12.8A, obtemos:.
Uso da tabela
B
0 
= $60 x (FJVPA
5%, 20 períodos
) + $1.000 (FJVP
5%, 20 períodos
)
B
0 
= $60 × 12,462 + $ 1.000 × 0,377
B
0 
= $ 747,73 + $ 377 = $ 1.124,73
Uso de calculadora
Se compararmos o resultado de $ 1.124,62 com o resultado obtido 
de $ 1.122,89, que foi encontrado quando calculamos o valor do título 
em base anual, vemos que o valor do título de dívida é mais alto quando 
os juros semestrais são usados. Isso sempre ocorrerá quando o título 
de dívida for vendido com prêmio. Para títulos de dívida vendidos com 
desconto, ocorrerá o oposto. O valor com juros semestrais será menor 
B =
$120
2
 x FJVPA +$1.000 x FJVPO 10%
2
10%
2
, ,2 10 2 10x anos x






aanos






Entradas
Funções
Saídas
20
n
5
i
6
PMT
1.000
FV PV
1.124,62
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que o valor com juros anuais.
A Petrobas S.A tem um título de dívida em circulação ao valor de face de $1.000 com 
uma taxa de juros declarada no cupom de 8%, pagos semestralmente. O título de dívida 
tem doze anos até a sua data de vencimento.
a. Qual é o valor do título da dívida quando o retorno exigido é igual a 10%?
b. Indique se o título de dívida está sendo vendido com desconto, com prêmio, ou ao 
seu valor de face e explique por quê.
Respostas
a. Pela fórmula 12.7A e as tabelas financeiras, podemos encontrar o valor de 
mercado das obrigações:
 (12.7A)
M = $ 1.000 J = 1000 × 0,08 = $ 80 n = 12 anos kd = 10%
períodos períodos 
 
B0 = $40 x FJVPA5%, 24 períodos) + $1.000 x FJVP5%, 24 períodos)
B0 = $40 x 13,799 + $1.000 x 0,310
B0 = $551,96 + $310,00 = $861,96
Uso de calculadora
O valor de mercado do título é aproximadamente $ 862,01.
b. A taxa de juros declarada no título, 8%, é menor do que a 
Atividade 7
B =
J
2
 x FJVPA + M x FJVPO Kd
2
,2n
Kd
2
,2n












B =
$80
2
 x (FJVPA )+ $1.000 x (FJVPO 10%
2
, 2 x 12 per odos
10%
2
í ,, 2 x 12 per odos
)
í
Entradas
Funções
Saídas
24
n
5
i
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CHS PMT
1.000
CHS FV PV
862,01
B =
$80
2
 x (FJVPA )+ $1.000 x (FJVPO 10%
2
, 2 x 12 per odos
10%
2
í ,, 2 x 12 per odos
)
í
B =
$80
2
 x (FJVPA )+ $1.000 x (FJVPO 10%
2
, 2 x 12 per odos
10%
2
í ,, 2 x 12 per odos
)
í
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taxa de retorno exigida, 10%; o título será vendido com desconto. 
CONCLUSÃO
O impacto das decisões de investimento e financiamento devem 
ser analisados pelo impacto que causam no valor de uma empresa. 
O valor de uma empresa pode ser visto como o valor das obrigações 
mais o valor do patrimônio líquido. É necessário, por isto, saber como 
os valores de mercado dos títulos de dívida e das ações são estabelecidos. 
Nesta aula, mostramos como encontrar o valor de mercado de títulos de 
dívida. Também foi abordado como as taxas de juros são determinadas, 
uma vez que são necessárias para estimar a taxa de retorno que se espera obter ao negociar 
com títulos de dívida.
Taxa de rentabilidade esperada
A taxa livre de risco é de 7%. A inflação esperada é de 2% neste ano e de 3% durante 
os próximos três anos.
a. Qual é a rentabilidade sobreos títulos do Governo de dois anos? 
b. Qual é a rentabilidade sobre os títulos do Governo de três anos?
Respostas Comentadas
k1 = k* + PI + PR1 (12.3)
A inflação média esperada para os dois anos é igual a 2,5% [(2% + 3%)/2]
A inflação média esperada para os três anos é igual a 2,67% [(2% + 3% + 3%)/3]
Então, a rentabilidade dos títulos é:
a. kdois anos = 7% + 2,5% = 9,5%
A rentabilidade do título do Governo para dois anos é igual a 9,5%.
b. ktrês anos = 7% + 2,67% = 9,67%
A rentabilidade do título do Governo para três anos é igual a 9,67%. 
Taxa a termo
 Sendo a taxa à vista para obrigações com prazo de 
Atividades Finais
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vencimento de um ano igual a 11% e a taxa à vista para obrigações com prazo de 
vencimento de dois anos igual a 12%, qual é a taxa a termo?
r1 = 11% r2 = 12% f2 = %
Resposta Comentada
Podemos encontrar a taxa a termo pela fórmula (12.4)
 (12.4)
onde 
fn é a taxa a termo para o n-ésimo ano, rn é a taxa à vista para o prazo de n anos e rn-1 
é à taxa a vista para o prazo de n – 1 anos 
 = 0,1300 = 13%
A taxa a termo é igual a 13%. 
Valor de um título de dívida e variação nos retornos exigidos 
A seguir, são fornecidas informações sobre três títulos de dívida de $1.000 negociados 
no mercado. Todos pagam juros anuais.
Título de dívida Taxa de juros no cupom (%) Prazo
A 10 10 anos
B 12 15
C 14 20
Dadas as atuais condições de mercado, todos os títulos de dívida têm a mesma taxa 
de retorno exigida de 12%.
a. O que você poderia afirmar sobre o valor de mercado dos títulos de dívida, sem 
fazer cálculos?
b. Calcule o valor de mercado de cada um.
c. Encontre o valor de cada título de dívida quando os juros são pagos semestralmente.
Repostas Comentadas
a. A taxa de retorno exigida, kd = 12%
Ativo A - a taxa de juros declarada de 10% é menor do que a taxa de retorno 
exigida de 12%; o título está sendo com desconto.
Ativo B - a taxa de juros declarada de 12% é igual à taxa 
f =
(1+ r )
(1+ r )
1n
n
n
n-1
n-1 –
f =
(1+ 0,12)
(1+ 0,11)
12
2
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Fundamentos de Finanças | Avaliação de títulos de dívida
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de retorno exigida de 12%; o título está sendo pelo valor nominal.
Ativo C - a taxa de juros declarada Ativo C (14%) é maior do que a taxa de retorno exigida 
(12%); o título está sendo com prêmio.
b. Cálculo do valor de mercado dos títulos
Título de Dívida A:
M = $ 1.000 kd = 12% pagos anualmente J = $ 1.000 x 0,10 = $ 100 n = 10 anos
B0 = $ 100 x FJVPA12%, 10 anos + $ 1.000 x FJVP12%, 10 anos
B0 = $ 100 x 5,650 + $ 1.000 x 0,322
B0 = $ 565,00 + $ 322,00 = $ 887,00
Uso de calculadora
O valor de mercado do título A é aproximadamente $ 887.
Título de Dívida B:
M = $ 1.000 kd = 12% pagos anualmente J = $ 1.000 x 0,12 = $ 120 n = 15 anos
B0 = $ 120 x FJVPA12%, 15 anos + $1.000 x FJVP12%, 15 anos
B0 = $ 120 x 6,811 + $ 1.000 x 0,183
B0 = $ 817,32 + $ 183,00 = $ 1.000,08
Uso de calculadora
O valor de mercado do título B é igual a $ 1.000.
Título de Dívida C:
M = $ 100 kd = 12% pagos anualmente J = $ 100 x 0,14 = $ 140 n = 20 anos
B0 = $ 140 x FJVPA12%, 20 anos + $ 1.000 x FJVP12%, 20 anos
B0 = $ 140 x 7,460 + $ 1.000 x 0,104
B0 = $ 1.044,40 + $ 104,00 = $ 1.148,40
Uso de calculadora
O valor de mercado do título C é aproximadamente $ 1.149,40.
c. Valor de cada título de dívida quando os juros são pagos semestralmente
pela fórmula 12.8A e as tabelas financeiras, podemos encontrar o 
valor de mercado das obrigações
Entradas
Funções
Saídas
20
n
12
i
140
PMT
1.000
FV PV
1.149,40
Entradas
Funções
Saídas
15
n
12
i
120
PMT
1.000
FV PV
1.000
Entradas
Funções
Saídas
10
n
12
i
100
PMT
1.000
FV PV
886,99
B =
J
2
 x FJVPA + M x FJVPO kd
2
,2n
kd
2
,2n












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Fundamentos de Finanças | Avaliação de títulos de dívida
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 (12.9A)
Título A 
Uso de calculadora
O valor de mercado do título A é aproximadamente $ 885,30.
Título B
Uso de calculadora
O valor de mercado do título B é igual a $ 1.000.
Título C
Uso de calculadora
J = $ 1.000 x 0,10 = $ 100 M = $ 1.000 n = 10 anos kd = 12%%
B =
J
2
 x FJVPA + M x FJVP
B =
$100
2
 x FJVPA
O 12%
2
,10 x 2
12%
2
,10 x 2
O 66%,20 6%,20
O
+1.000 x FJVP
B = $ 50 x 11,470 + $ 1.000 x 0,3112 
B =O $ 573,50 + $ 312
B = $ 885,50O
Entradas
Funções
Saídas
20
n
6
i
50
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
885,30
J = $ 1.000 x 0,12 = $ 120 M = $ 1.000 n = 15 anos k = 12%d
BB =
J
2
 x FJVPA + M x FJVP B =
$120
2
 x FJVPAO 12%
2
,15 x 2
12%
2
,15 x 2
O⇒ 66%,30 6%,30
O
+1.000 x FJVP
B = $ 60 x 13,765 + $ 1.000 x 0,1774 
B =O $ 825,90 + $ 174 = $ 999,90
B = $ 1,000O
Entradas
Funções
Saídas
30
n
6
i
60
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.000
J = $ 1.000 x 0,14 = $ 140 M = $ 1.000 n = 20 anos kd = 12%%
B =
J
2
 x FJVPA + M x FJVP B =
$60
2
 x FJVPAO 12%
2
,20 x 2
12%
2
,20 x 2
O⇒ 77%,10 7%,10
O
+ 500 x FJVP
B = $ 70 x 15,046 + $ 1.000 x 0,097 
B = $O 1.053,22 + $ 97,00 = $ 1.150,22
B = $ 1.150,22O
Entradas
Funções
Saídas
40
n
6
i
70
CHS PMT
1.000
CHS FV PV
1.150,4
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O valor de mercado do título C é aproximadamente $ 1.150. 
Valor de um título de dívida e variação nos retornos exigidos
Suponha que a Cia. Alabama tenha vendido uma emissão de títulos de dívida com 
10 anos até o vencimento, valor nominal de $1.000, 10% a.a. de taxa de cupom e 
pagamento de juros anuais.
a. Dois anos após os títulos terem sido emitidos, a taxa de juros vigente em títulos 
de dívida caiu para 6% a.a. A que preço estariam sendo vendidos esses títulos de 
dívida?
b. Suponha que, dois anos após a oferta inicial, a taxa de juros vigente tivesse subido 
para 12% a.a. A que preço estariam sendo vendidos esses títulos?
c. Suponha que as condições na letra a existissem – isto é, a taxa de juros tivesse caído 
para 6% a.a. dois anos após a data de emissão. Suponha ainda que a taxa de juros 
permanecesse a 6% pelos próximos 8 anos. Que aconteceria com o preço dos títulos 
de dívida da Cia. Alabama ao longo do tempo?
Respostas Comentadas
M = $1.000 Prazo de vencimento no lançamento, n = 10 anos 
Juros = $1.000 × 0,10 = $100
a. Dois anos após a emissão n = 8 anos kd = 6% = 0,06
Pela calculadora
Deveriam estar sendo vendidos a $ 1.248,39.
b. Dois anos após a emissão n = 8 anos kd = 12% = 0,12
B = J x (FVPA )+ M x (FVP )
B = $ 100 x FVPA
O k ,n k ,n
O 6%, 8 ano
d d
ss 6%, 8 anos
O
+ $ 1.000 x FVP
B = $ 100 x 6, 21 + $ 1.000 x 0,,627
B = $ 621,00 + $ 627 = $ 1.248,0O
Entradas
Funções
Saídas
8
n
6
i
100
PMT
1.000
FV PV
1.248,39
B = $ 100 x FJPA + $ 1.000 x FJVP
B = 
O 12%, 8anos 12%, 8anos
O $$ 100 x 4,968 + $ 1.000 x 0,404
B = $ 496,80 + $ 404,0 = O $$ 900,80
(12.7B)
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