Hidr%E1ulica1-Tubos

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1
HIDRODINÂMICA 
 
CONCEITUAÇÃO 
 
Um escoamento uniforme é um movimento permanente no qual a 
velocidade é constante ao longo de cada trajetória. 
 
A trajetória de uma partícula é o lugar geométrico dos pontos 
ocupados pela partícula ao longo do tempo. 
 
Num escoamento permanente, também chamado de estacionário, a 
velocidade é função das coordenadas, mas independente do instante 
considerado, isto é, a velocidade varia de ponto para ponto, mas mantém-se 
constante ao longo do tempo. 
 
Num escoamento uniforme, as trajetórias, além de retilíneas, são 
paralelas: 
 
De acordo com o teorema de Bernoulli, um líquido perfeito em 
movimento permanente tem a energia mecânica total (H) (por unidade de peso do 
líquido) constante ao longo da trajetória. 
 Sendo H = p + z + V² , onde 
� 2g 
 
2
p é a pressão num dado ponto, 
z é a cota geométrica desse ponto, 
V é a velocidade de uma partícula do líquido no ponto, 
� é o peso específico do líquido e 
g é a aceleração da gravidade 
 
O termo p é chamado de potencial de pressão e o termo V² é
� 2g 
chamado de altura cinética. 
 
A soma p + z é chamada de cota (ou carga) piezométrica. 
 �
Considerando a trajetória de uma partícula do líquido, se nós 
plotarmos, a partir das cotas geométricas z os valores de p/� nós obtemos uma 
linha chamada de linha piezométrica e a partir dessa linha, se nós adicionarmos 
os valores V²/2g nós teremos a linha de energia (por unidade de peso do líquido): 
No caso de fluidos reais em movimento, a energia total H diminui ao 
longo da trajetória: 
 
V²
2g 
z
z = 0
p
�
Linha piezométrica 
Trajetória 
Linha de energia ou de carga 
Plano de referência 
V²
2g 
z
z = 0
p
�
Linha piezométrica 
Trajetória 
Linha de energia ou de carga 
3
A variação da cota da linha de energia entre dois pontos ( 1 e 2 ) da 
trajetória da partícula de um líquido real é denominada perda de carga ( hf ): 
 
Assim: H� - H� = hf ou z� + p1 + V1² = z� + p2 + V2² +hf
� 2g � 2g 
 
A perda de carga por unidade de comprimento da trajetória é 
denominada Sf (Grandeza adimensional) e é conhecida como perda de carga 
unitária: 
 
hf = Sf
�L
Onde �L é a distância medida ao longo da linha de centro de 
gravidade das seções. 
 
Considere agora um tubo de fluxo cujo movimento é uniforme: em 
uma dada seção, a cota piezométrica é comum para todos os pontos da seção. 
Como a velocidade não é igual nas diferentes trajetórias, a cada trajetória 
corresponde uma linha de energia diferente: 
 
� V²/(2g) 
Linha de energia 
Para as trajetórias 
1 a 7
Linha de energia 
 
para o tubo de fluxo 
V²3/(2g) 
1 � 7
3 � 5
4
Linha piezométrica 
2 � 6
1
3
4
5
2
7
6
V
4
É necessário se definir uma linha de energia correspondente ao 
escoamento na totalidade da seção. 
 
A energia ou carga referida a toda a seção é dada por: 
 
H = p + z + � V²
� 2g 
 
Onde V é a velocidade média na seção: V = Q/A
onde Q é a vazão que passa pela seção e A é a área da seção. 
 
� = �AV³dA é conhecido como coeficiente de Coriolis. 
 V³ A 
 
O teorema de Bernoulli pode então ser expresso como: 
 
p + z � + V²
� 2g 
 d ___________ = - Sf
dL 
 
Em um escoamento sob regime uniforme, a perda de carga unitária 
Sf é constante e a linha de energia retílinea. 
 
A linha piezométrica é paralela à linha de energia porque � V² é 
constante ao longo do percurso. A perda de carga unitária pode assim ser 
determinada pelo quociente entre a diminuição da cota piezométrica entre duas 
seções transversais e a distância L entre as mesmas: 
 
� p + z
�
Sf = _________ 
 L
5
Numa seção com velocidade uniforme � = 1. Quanto mais uniforme 
for a distribuição de velocidades, mais próximo da unidade será �.
A partir deste ponto, para nossas aplicações, nós vamos admitir que 
V = V e � = 1. 
|� (p + z) | = H� - H� = hf
� V²
2g 
H�
H�
2
1
L
�
Linha de Carga ou Energia 
Linha Piezométrica 
6
ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULAMENTO 
Experiência de Reynolds: 
 
Deixando a água escorrer pelo cano transparente juntamente com o 
líquido colorido, forma-se um filete desse líquido. O escoamento da água está em 
regime laminar. 
Aumentando a vazão da água abrindo-se a torneira, nota-se que o 
filete vai se alterando podendo chegar a difundir-se na massa líquida. Nesse caso 
o escoamento da água ocorre em regime turbulento. 
 
Escoamento laminar 
 
Escoamento de transição 
 
Escoamento turbulento 
 
7
Para se determinar o tipo de escoamento em uma canalização, 
calcula-se o número de Reynolds dado pela expressão. 
 
�
VDRe = Re= número de Reynolds 
(adimensional) 
V = velocidade (m/seg) 
D = diâmetro do conduto (m) 
� = viscosidade cinemática (m2/seg) 
 
Para os tubos comerciais valem aproximadamente os seguintes 
limites: 
 
Re < 2.000 : Escoamento Laminar 
 
Nas condições práticas, o escoamento da água em canalizações é sempre 
turbulento. 
 
A viscosidade cinemática da água varia com a temperatura de 
acordo com os valores da tabela 1. 
8
TABELA 1 
 
VISCOSIDADE CINEMÁTICA DA ÁGUA 
 
Temperatura 
oC
Viscosidade Cinemática 
� (m2/s) 
0
2
4
6
8
10 
12 
14 
16 
18 
20 
22 
24 
26 
28 
30 
32 
34 
36 
38 
 
0,000001792 
0,000001673 
0,000001567 
0,000001473 
0,000001386 
0,000001308 
0,000001237 
0,000001172 
0,000001112 
0,000001059 
0,000001007 
0,000000963 
0,000000917 
0,000000876 
0,000000839 
0,000000804 
0,000000772 
0,000000741 
0,000000713 
0,000000687 
9
FÓRMULA DA DARCY-WEISBACH PARA PERDA DE CARGA EM 
TUBULAÇÕES 
 
hf = f L V2
D 2g 
 
onde f é o chamado fator de atrito 
 
Os resultados das experiências de Nikarudse em tubos circulares de 
diâmetro D, com diferentes rugosidades ( rugosidades artificiais criadas por grãos 
de areia de diâmetro 	 ), conclui-se que a resistência ao escoamento era a 
mesma para todos os tubos (lisos ou rugosos) até determinados valores do 
número de Reynolds: 
 
Quando o número de Reynolds é maior que determinados limites, 
então a resistência ao escoamento é condicionada unicamente pela turbulência, 
ou: 
 f = 
� ( � ), onde � é a chamada rugosidade relativa. Nesse caso, o regime 
 D D
é denominado turbulento rugoso ou simplesmente turbulento. 
 
Re = VD
�
10³ 10� 10�
0,02 
0,025 
0,03 
0,06 
0,05
0,04
�/D 
V 0,033 
 0,016 
� 0,008 
� 0,004 
 0,002 
� 0,001
0,10 
0,08 
C
O
EF
IC
IE
N
TE
D
E
AT
R
IT
O
,f
10
 
Para esta região, Karman e Prandtl propuseram: 
 
1 = 2 log 3,7 D
f �
Colebrook propôs uma lei única para tubos comerciais, válida em 
todo o domínio dos escoamentos turbulentos: 
 
1 = - 2 log � + 2,51 
f 3,7D Re f
Conhecida como fórmula de Colebrook – White. 
 
Observe que nessa fórmula nós não podemos obter f 
separadamente em um lado da equação, portanto, teremos que iterativamente 
achar f. A rugosidade absoluta equivalente � pode ser obtida em função do 
material da tubulação, de acordo com a tabela 2. 
TABELA 2 
MATERIAL NOVO 	 (mm) 
Aço para Rebite 3 
Concreto 0,9 
Madeira 0,4 
Ferro Fundido 0,26 
Ferro Galvanizado 0,15 
Ferro Fundido para Asfalto 0,12 
Aço Comercial 0,045 
PVC, PEAD, PRVC 0,0015 
A equação de Colebrook – White está representada graficamente 
pelo diagrama de Moody, o qual apresenta eixos coordenados com graduação 
logarítimica, com valores de f como ordenada e Re como abcissa. Nesse 
diagrama,figuram curvas f = 
 (Re) para determinados valores da rugosidade 
relativa 	/D . 
12
 
Infelizmente a solução da equação de Colebrook – White ( o coeficiente de atrito f) 
só pode ser obtida iterativamente, pois f aparece em ambos os lados da equação. 
 
Swamee e Jain1 desenvolveram uma fórmula explícita para f. 
 
f = 0,25 
 log � + 5,74 ² (1) 
 3,7D Re��� 
Tal fórmula apresenta um erro de 2% em relação a fórmula de 
Colebrook – White para 10�� < � < 2 x 10��² e 4 x 10³ < Re < 10�.
D
Tal magnitude de erro é perfeitamente aceitável visto que o erro 
inerente na determinação da rugosidade pode chegar a 10%. 
Swamee e Jain também desenvolveram fórmulas explícitas para determinação 
dea vazão Q e do diâmetro D para o caso de um escoamento entre dois 
reservatórios, conforme a figura: 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
+
	�
�=
L2
Dgh
25,1
D7,3
log
L
hDg
2
Q
3
f
f
5
(2) 
e
04,02,5
f
4,9
75,4
f
2
25,1
hg
LQ
hg
QL66,0D
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
�+��
�
��
�
�
	= (3) 
 
1 SWAMEE, P.K. e JAIN, A. K. Explicit Equations for pipe-flow problems, Journal of the Hydraulics 
Division – ASCE, v. 102, n.NY5, p. 657-664, 1976 
 
hf
L
DQ
13
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 – Mostrar que na prática o escoamento da água em canalização é sempre 
turbulento. 
A velocidade média de escoamento em canalizações de água 
geralmente varia em torno de 0,90 m/seg. A temperatura admitida de 
20o C e o diâmetro 50 mm. 
 
�
VDRe = 000.4570,00000100
0,05 x90,0
�=eR
Este valor é bem superior a 4000 que é o limite que define o 
escoamento laminar. 
No caso de líquidos muito viscosos isto não se verifica, como óleo 
pesado, caldas, etc. 
 
2 – Uma tubulação nova de aço com 10 cm de diâmetro conduz 757 m3/dia 
de óleo combustível pesado à temperatura de 33o C. O regime de 
escoamento é laminar ou turbulento? 
É dado � = 0,000077 m2/seg. 
 Q = 757 m3/dia = 0,0088 m3/seg. 
 2
22
m00785,0
4
0,10 x
4
===
�� DA
Q = A V m/seg 10,1
00785,0
0088,0
===
A
QV
�
VDRe = 400.1000077,0
0,10 x10,1
�=eR
Portanto, o escoamento é laminar. 
 
14
 
Exemplo 1 - Considere o sistema abaixo: 
 
Determine a vazão Q que passa pelo cano, sabendo que a 
rugosidade da canalização é feita de aço comercial (� = 4,5 x 10¯� m). 
 
Assim aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 do 
sistema acima teremos: 
 
p1 + V1² + z1 = p2 + V2² + z2 + hf
� 2g � 2g 
 
Assim: 
 0 + 0 + 60 = 0 + V2² + 40 + fL V2²
2g D 2g 
 
Assim: 
 V2 = V = 2g x 20 ½ = 19,81
1 + 200f 1 + 200 f 1
f, por sua vez, pode ser dado por (Swamee & Jain) : 
 
f = 0,25 
 log � + 5,74 ²
3,7D Re��� 
A , como Re = VD ,
T = 20º C 
Elevação: 60 m 
D = 50 cm 
100 m 
1
Elevação: 40 m 
Obs: considere T = 20ºC
2
ssim
�
15
 
2
9,0
5
5
V
10x264,410x486,2log
25,0f
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
+
=
�
�
2
OBS: para T = 20º C � = 10�� m²/s 
 
As equações 1 e 2 formam um sistema que deve ser resolvido 
iterativamente: 
 
Assim, vamos assumir inicialmente escoamento completamente 
turbulento ou turbulento rugoso. Neste caso, usando a fórmula de Karman e 
Prandtl: 
 
1 = 2 log 3,7D
f �
f = 0,0117, 
 
Assim, de acordo com a equação 1, V = 10,82 m/s 
para este o valor de V, de acordo com a equação 2, f = 0,0122. 
Voltando então à equação 1, V = 10,69 m/s e de acordo com a equação 2,
f = 0,0122, o que é igual ao valor anterior, portanto, a iteração está encerrada. 
Finalmente podemos calcular Q = 2,10 m3/s. 
16
 
FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA O CÁLCULO DA PERDA DE CARGA 
 
Origem
De um modo geral as fórmulas empíricas têm sua origem a partir de experiências, 
sob certas condições e limitadas por condições específicas. O pesquisador 
analisa os resultados encontrados e conclui por uma expressão que relaciona os 
valores medidos. Por não terem origem em fundamentos analíticos, seus 
resultados são limitados e só devem ser utilizadas em condições que se 
assimilem as de sua origem. Para cálculo de sistemas de abastecimento de água 
em escoamento são freqüentemente empregadas as expressões de Hazen-
Williams (1902) para escoamentos sob pressão e de Chézy (1775) para 
escoamentos livres. 
 Fórmula de Hazen-Williams (1902)
Desenvolvida pelo Engenheiro Civil e Sanitarista Allen Hazen e pelo Professor de 
Hidráulica Garden Williams, entre 1902 e 1905, é, sem dúvida, a fórmula prática 
mais empregada pelos calculistas para condutos sob pressão, desde 1920. Com 
resultados bastante razoáveis para diâmetros de 50 a 3000mm, com velocidades 
de escoamento inferiores a 3,0 m/s, é equacionada da seguinte forma 
hf = 10,643.C- 1,85. D- 4,87. Q1,85 L,
onde C é o coeficiente de rugosidade que depende do material (Ver tabela na 
página seguinte). 
Esta expressão tem como limitação teórica o fato de assumir o escoamento como 
sempre completamente turbulento e desconsiderar a influência da temperatura. 
17
 
Tabela de Coeficente C de Hazen-Willians 
 
Material Novo “C” 
PVC, PEAD e PRVC 140 
Aço Comercial 130 
Aço Galvanizado 125 
Ferro Fundido 110 
Refazendo o Exemplo 1, usando a equação de Hazen-Williams: 
 
p1 + V1² + z1 = p2 + V2² + z2 + hf
� 2g � 2g 
 
Assim: 
 LQDC643,1040
g2
V06000 85,187,485,1
2
2 ��+++=++
mas AVQ 2= e para o Aço Comercial C = 130, assim 
 
assim 85,12
2
2 V188,0V051,020 +=
Resolvendo a expressão acima, V2 = 10,45 m/s 
 
Note que existe uma diferença entre o resultado obtido usando a 
Fórmula Universal e a Fórmula de Hazen-Williams. 
 
18
 
PERDAS DE CARGAS LOCALIZADAS 
 
A maioria dos sistemas de canalizações, no entanto, contém 
componentes adicionais como curvas, tês, válvulas, etc. Os quais contribuem para 
o aumento da perda de carga total. Tais perdas de carga são denominadas 
localizadas. Tais perda de carga são calculadas usando dados experimentais. 
 
A perda de carga em tais componentes é determinada através da 
expansão. 
 
hL = KL V²
2g 
 
Onde KL é o coeficiente de perda de carga localizada o qual 
depende principalmente da geometria do componente. Perda de carga localizada 
devido ao alargamento brusco da seção: 
 
Considere o seguinte alargamento brusco de uma seção de 
canalização. 
 
Considerar um volume de controle nós podemos entre as seções (1) 
e (3) e usar a equação da continuidade A1V1 = A3 V3.
Considerando a pressão na seção (2) (p2) igual a p1, nós podemos 
utilizar a equação do momento entre as seções (2) e (3), resultando em: 
 
p1 A3 - p3 A3 = � A3V3 (V3 – V1) finalmente nós podemos usar a 
equação de Bernoulli entre as seções (1) e (3) teremos: 
 
d
( 1 )
( 2 ) ( 3 )
V3
V1
D
19
 
p1 + V1² = p3 + v3² + hL
� 2g � 2g 
 
Considerando hL = KL V1²
2g 
nós podemos chegar combinando as equações acima: 
 KL = 1 - A1 (1) 
 A3
se plotarmos essa equação teremos: 
 
O que está de acordo com resultados experimentais, é interessante notar que o 
caso de uma canalização conectada a um tanque: 
 
Corresponde ao caso de expansão no qual a velocidade V3 � 0 se
nós remanejarmos a equação (1), com A1 = A3 V3 teremos KL = 1 – V3² =
V1 V1
V1 - V3² = portanto, como V3 � KL = 1
V1
A tabela 3.b contém valores de KL para diversos valores de D/d. 
Importante: a velocidade que se usa para o cálculo nesse caso é V1. (A maiorvelocidade: 
 
0,2 
0,2 
0,4 
0,4 0,6 
0,6 
0,8 
0,8 
1,0 
1,0 A1
A3
KL
V1 V3
20
 
TABELA 3 
 
a) Valores de KL para redução brusca de seção 
 
D/d 1,1 1,2 1,4 1,6 1.8 2,0 2,2 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 �
KL 0,15 0,25 0,34 0,38 0,41 0,44 0,46 0,48 0,48 0,49 0,49 0,49 0,50 
b) Valores de KL para aumento brusco de seção 
 
D/d 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 �
KL 0,10 0,24 0,37 0,47 0,55 0,66 0,77 0,85 0,89 0,95 1,00 
d VD
KL = 0,05 KL = 1,00 KL = 0,2 KL = 0,5 
d V D
21
 
PERDAS DE CARGA LOCALIZADA DEVIDO A UM ALARGAMENTO GRADUAL 
DA SEÇÃO: 
 
A perda de carga pode ser grandemente reduzida com a introdução 
de uma transição gradual, como mostra a figura abaixo: 
 
O ângulo � > 35º a expansão gradual é menos eficiente que a 
expansão brusca (� = 180º) e que existe uma ângulo ótimo ( em torno de 8º ), para 
o qual a perda de carga é mínima. 
 
PERDA DE CARGA LOCALIZADA DEVIDO A UM ESTREITAMENTO BRUSCO 
DA SEÇÃO: 
 
Como no caso de um alargamento brusco, para um estreitamento 
brusco da seção da canalização: 
 
O coeficiente de perda de carga localizada KL depende dos 
diâmetros D e d. 
 
A tabela 3.a contém valores de KL em função de valores do 
quociente D/d: usada neste caso é importante: a velocidade observe que o caso D 
= � corresponde ao caso da saída de água de um reservatório para um conduto: 
 
V3
Dd �
V1
D
d V3
V1
22
 
É denominada saída normal aquela em que o conduto faz um 
ângulo, de 90º com as paredes do reservatório ( ver figura acima) neste caso, KL
= 0,5, para outros tipos de saída, consultar tabela 3.a. 
 
A tabela 4 contém valores de KL para as peças hidráulicas mais 
comuns. 
23
 
TABELA 4 
 
PEÇA KL PEÇA KL
Ampliação gradual 0,30* Junção 0,40 
Bocais 2,75 Medidor venturi 2,50 
Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 
Cotovelo de 90º 0,90 Registro de ângulo, aberto 5,00 
Cotovelo de 45º 0,40 Registro de gaveta, aberto 0,20 
Crivo 0,75 Registro de globo, aberto 10,00 
Curva de 90º 0,40 Saída de canalização 1,00 
Curva de 45º 0,20 Tê, passagem direta 0,60 
Entrada normal 0,50 Tê, saída de lado 1,30 
Entrada de borda 1,00 Tê, saída bilateral 1,80 
Válvula de pé 1,75 Válvula de de pé com crivo 2,75 
Válvula de Retenção 2,50 
24
 
Exemplos de peças que causam perda de Carga Localizada 
 
Figura 1.1: Registro ou Válvula de Gaveta 
 
Figura 1.2: Registro ou Válvula de Pressão ou Globo 
25
 
Figura 1.3 Válvula de Pé com crivo 
 
Figura 1.4: Válvula de Retenção 
26
 
Figura 1.5: Válvula de Descarga 
27
 
Exemplo 2: 
 
A tubulação abaixo é de ferro galvanizado com diâmetro D = 
200mm e rugosidade � = 0,18 mm. Determine a vazão transportada sabendo que 
a temperatura é de 20º C. 
 
Considerando as perdas localizadas 
para os cotovelos: KL = 0,90 cada 
para a entrada arredondada: KL = 0,2 (tabela 3) aplicando a 
equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 :
z1 = V² + hf + hL + z2
2g 
mas, hf +hL = f L V² + (� KL) V²
D 2g 2g 
 
Assim z = z2 + V² + f L V² + (� KL) V²
2g D 2g 2g 
 
Assim V = 
Com L 
 e z1-
 V =
1
60m 
60m 
21m 30,5 m 
2
1
 1 2g(z1- z2)
f L + � KL + 1
D
= 2 x 60 + 21 = 141 m 
z2 = 30,5 – 21 = 9,5 m 
1 V = 13,649 1
28
 
705 f + 3 705 f + 3 
 
Por outro lado, f é dado por: 
 f = 0,25 
 Log ( 2,432 x 10�� + 9,788 x 10��) ² 2
V��� 
Assim, vamos assumir inicialmente escoamento 
completamente turbulento ou turbulento rugoso. Neste caso, usando a fórmula de 
Karman e Prandtl: 
 
1 = 2 log 3,7D
f �
f = 0,0191, 
 
Assim, de acordo com a equação 1, V = 3,36 m/s 
para este o valor de V, de acordo com a equação 2, f = 0,0197. 
Voltando então à equação 1, V = 3,53 m/s e de acordo com a equação 2,
f = 0,0197, o que é igual ao valor anterior, portanto, a iteração está encerrada. 
Finalmente podemos calcular Q = 0,111 m3/s. 
29
 
Exemplo 3 
 
Água a 10º C escoa de um reservatório A para um reservatório B 
através de um tubo de ferro fundido de comprimento L = 20m a uma vazão de 
Q = 0,0020 m³/s: Determine o diâmetro do tubo: 
 
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos ( 1 ) e ( 2 ): 
 
p1 + V�² + z� = p2 + V�² + z� + hf + hL
� 2g � 2g 
 
com p1 = p2 = V� = V� = z� = 0
portanto, z� = V² f L + � KL ( 1 )
2g D 
 
onde V = Q = 4 Q = 2,55 x 10�³ ( 2 )
A �D² D² 
 
�KL = Kentrada + 6 Kcotovelo + Ksaída 
�KL = 6 (0,9) + 0,5 + 1 = 6,9, portanto (1) fica: 
 2 = V² ( 20f + 6,9) 
 2 (9,81) D usando (2) 
 
6,03 x 10� D� - 6,9 D - 20f = 0 (3) 
 
Elevação z� = 0m 
B
A
( 1 )
Elevação z� = 2m 
( 2 )
Cotovelos
30
 
Re = VD = [ (2,55 x 10¯³)/D²] D = 1,95 x 10³ (4) 
 � 1,308 x 10¯� D
Para ferro fundido, e � = 0,26 mm, assim: 
 D
� = 2,6 x 10�� (5) 
 D D
Para este tipo de problema, é melhor assumir inicialmente o valor de 
D, por exemplo, assumindo que D = 0,05 m, assim de (3) f = 0,077, mas de (4). 
Re = 3,90 x 10� e �/D = 5,2 x 10�³ portanto 
f = 0,25 
 log 5,2 x 10�³ + 5,74 ²
3,7 (3,9 x 10�)0,9 = 0,031 
 
O qual é muito diferente do valor calculado por (3), portanto D 
0,05 m se nós escolhermos agora D = 0,045 m, nesse caso, de (3). 
 f = 0,040 
 Re = 4,33 x 10�
�/D = 5,8 x 10-3 e usando a equação acima: 
 f = 0.032 
 
Escolhendo D = 0,043 m, da equação (3) f = 0,029 e 
Re = 4,54 x 10�
�/D = 6,0 x 10-3 e usando a equação de Swamee & Jain: 
 f = 0.032 
 O erro, portanto, nesse caso é aceitável. 
Usando a equação 3 da página 25: 
04,02,5
f
4,9
75,4
f
2
25,1
hg
LQ
hg
QL66,0D
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
�+��
�
��
�
�
	= = 41 mm, assim, em qualquer dos 
casos, nós adotaríamos um diâmetro comercial de 50 mm. 
31
 
Exercícios propostos: 
 
(1) Dado o sistema abaixo: 
 
(a) calcule a vazão que passa pelo sistema. 
(b) trace a linha de carga e linha piezométrica. 
(c) determine o ponto de pressão mínima. 
(d) determine o ponto de pressão máxima. 
(e) calcule as pressões mínima e máxima do sistema. 
( ) 45º 
_ Elevação: 19,5m 
L = 8,5m 
D = 300mm 
� = 1,22mm 
L = 22 m 
D = 300mm 45º 
� = 1,22mm 
( 2 )
Elevação: 30,5m 
Elevação: 29m 
_ Elevação: 13,5m 
T = 15º C 
( 1 )
32
 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 1 
(a) p� + z� + V�2 = p� + z� + V�² + hf + h�
� 2g � 2g 
 
como P� = P� = 0
30,5 = 19,5 + V² 1 + Kentrada + Kcurva 90º + fL
2g D 
 
11 = V² 1 + 0,5 + 0,4 + 30,5 f
2g 0,3 
 
215,8 = V² (1,9 + 101,7f) (1) 
 
usando Re = VD = 2,61 x 10�V
�
e f = 0,25 
 log (1,10 x 10-3 + 7,65 x 10¯�) ² (2) 
 V��� 
assumindo regime completamente turbulento: 
 
f = 0,029 usando este valor em (1) 
 
V = 6,67 m/s de (2) ! f = 0,029 
 
Portanto, V = 6,67 m/s 
 
Assim Q = �D² . V = 0,471 m³/s 
 4
(b) V² = 2,27m (c) e (d) 
 2g 
 
33
 
(e) aplicando a equação de Bernoulli antes e depois da entrada: 
 
z� = z� + pmin + V² + Kentrada V²
� 2g 2g 
 
assim pmin = 1,5 - 2,27 (1 + 0,5) = - 1,91 m 
 �
pmin = - 18.688 N/m² 
Com o objetivo de determinar se esta pressão negativa(relativa) afeta o 
escoamento, temos que transformá-la em pressão absoluta: 
assim pmin abs = - 1,91 + patm 
�
patm (Tabela 6 da pág. 123, considerando nível do mar) = 10.33 m, assim 
 
pmin abs = 8,42 m 
�
Considerando que pv = 0,17 m (Tabela 6 da pág. 123), então concluimos que 
�
esta pressão não afetará o escoamento. 
 
pmáx + V² + z1 = z� + p� + V² + hf + hL
� 2g � 2g 
 pmáx = 6 + (0,4 + fL ) V²
� D 2g 
 pmáx = 8,77 m pmáx = 86.064 N/m² 
 �
Linha 
Piezométrica 
K curva V²
2g 
Linha de carga
V²
2g Pressão 
máxima
�
Pressão 
minima
�
K entrada V²
2g 
34
 
Dado o sistema abaixo: 
 
Calcule a altura da linha d’água no reservatório 1 para que a vazão 
no sistema seja de 0,15 m³/s, trace a linha de carga e a linha piezométrica do 
sistema: 
- Elevação = 12m 
- Elevação = ? 
Trecho A 
Trecho B 
D# = 30cm DB = 15cm 
L# = 20m LB = 10m 
f = 0,02 f = 0,02 
2
1
35
 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 2 
 p� + V�² + z� = p� + V�² + z� + hf + hL
� 2g � 2g 
 
0 + 0 + z� = 0 + 0 + z� + VA² (Kentrada + fLA) + VB² (Kesreitamento + Ksaída + fLB)
2g DA 2g DB
Como VA = Q = 2,12 m/s 
 AA
VB = Q = 8,49 m/s 
 AB
1,33 0,44 1,0 1,33 0,5 
Kentrada VA²
2g 
z� = 22,6m 
Linha de carga 
Linha 
piezométrica
z� = 12m 
Kredução VB²
2gVA²
2g
Ksaída VB²
2g 
VB²
2g
VB²
2g
36
 
Exercício 3: 
 
Considere o sifão abaixo: 
 
� = 0,20mm 
 D = 50mm 
 L = 1,8m 
 
Considerando T = 20º C, calcule a vazão que passa pelo sifão: 
 
( 2 )
( 1 )
0,13m 
45º 45º
1 m
0,5 m 
0,3 m 
2 m
37
 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 3 
 
p� + V�² + z� = p2 + V2² + z2 + fL V² + �KL V²
� 2g � 2g D 2g 2g 
 
z1 - z2 = fL + �KL V²
0,13 D 2g 
 
�KL = Kentrada + 2 Kcotovelo + Ksaída 
1,0 0,4 1,0 
 
�KL = 2,8 
 
2,55 = ( 36f + 2,8) V2 ( 1 )
Usando agora: 
 
Re = VD = 49652 V² e 
 �
f = 0,25 
 Log � + 3,41 x 10-4 ²
3,7 D V��� 
f = 0,25 
 Log 1,08 x 10�³ + 3,41 x 10-4 ² ( 2 )
V��� 
Assumindo um regime completamente turbulento 1 = 2 log 3,7D
f �
f = 0,028 
 
Usando este f em ( 1 ) 
 
V = 0,818 m/s 
 
Usando este valor de V em ( 2 ) 
 
45º 
38
 
f = 0,031 
 
Para este valor de f ( em ( 1 ) ) V = 0,806 m/s 
 
Usando este valor em ( 2 ) f = 0,031 
 
Regime de transição 
 
Assim a vazão será Q = AV = � ( 0,05)² ( 0,806) = 1,58 x 10�³ m³/s 
 4
Devemos agora verificar se a pressão mínima no sistema pode afetar o 
escoamento. Primeiramente devemos determinar o ponto de pressão mínima: 
 
Assim aplicando a equação de Bernoulli entre o ponto (1) e o ponto de pressão 
mínima: 
 
p� + V�² + z� = pmin + V² + zmin + fL V² + �KL V²
� 2g � 2g D 2g 2g 
 
z� = pmin + V² + zmin + fL V² + �KL V²
� 2g D 2g 2g 
 
assim, f = 0,031, L = 1,3 m, �KL = 1,4 e V = 0,806 m/s 
pmin = - 2,11 m 
 �
Em termos de pressão absoluta: 
assim pmin abs = - 2,11 + patm 
�
patm (Tabela 6 da pág. 123, considerando nível do mar) = 10.33 m, assim 
 
pmin abs = 8,22 m 
�
( 1 ) 45º 45ºpmin/�
39
 
Considerando que pv = 0,24 m (Tabela 6 da pág. 123), então concluimos que 
�
esta pressão não afetará o escoamento. 
 
40
 
Exercício 4 
 
Água escoa em tubo novo de ferro fundido galvanizado, se o 
diâmetro = 50mm, a vazão de 0,010m³/s e a perda de carga de 60m por cada 
50m de comprimento horizontal do tubo. Um engenheiro diz que há uma 
obstrução no tubo. Você concorda ou discorda? ( temperatura = 16º C) 
41
 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 4 
 
Não havendo obstrução no tubo: 
 hf = f L V² ( 1 )
D 2g 
 
V = Q = 5,09m/s 
 A
Re = VD = ( 5,09) (0,05) = 2,29 x 10�
� 1,11 x 10-6 
Portanto � para o ferro fundido que causaria a maior perda de carga 
é de 0,15mm. 
 
Portanto f = 0,25 
 Log � + 5,74 ²
3,7D Re��� 
f = 0,027 
 
Portanto, de ( 1 ) nós temos: 
 
hf = 36m por cada 50m de tubo. 
 
Como a perda de carga medida é maior que este valor, 
provavelmente há uma obstrução. 
42
 
Exercício 5 
 
De acordo com as especificações do corpo de bombeiros , a queda 
de pressão em um tubo de aço comercial não pode exceder 7000N/m² a cada 
50m de tubo para uma vazão de 0,032m³/s se a temperatura nunca é inferior a 
10ºC, qual o diâmetro necessário. 
43
 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 5 
 
p� + V�² + z� = p2 + V2² + z2 + fL V²
� 2g � 2g D 2g 
 
onde: p1 - p2 = 7000N/m² 
 L = 50m 
 V1 = V2 = V e V = Q = 4Q = 0,041
A �D² D² 
 
Assim: p1 - p2 = fL V² D� = f ( 1 )
� D 2g 166,6 
 
Para T = 10ºC � = 1,308 x 10�� m²/s 
 
Assim Re = VD = 31345
� D
e para aço comercial: � = 0,045mm 
 
portanto, f = 0,25 
 Log 1,216 x 10-5 + 5,16 x 10-4D0,9 ² ( 2 )
D
Assumindo f = 0,02 em ( 1 ) 
 
D = 0,164 m 
 
De ( 2 ) f = 0,018 
 Assumindo este valor de f de ( 1 ) D = 0,161, em ( 2 ) f = 0,018 
 
Portanto, D = 0,161m 
Usando a equação 3 da página 26, com hf = 7.000/� = 0,713 m e L = 50 m 
04,02,5
4,9
75,42
25,166,0
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
+��
�
��
�
�
=
ff hg
LQ
hg
QLD #	 = 0,161 m, assim, em qualquer dos 
casos, nós adotaríamos um diâmetro comercial de 200 mm. 
44
 
REDES DE CONDUTO 
 
Usando a fórmula de Darcy – Weisbach para perda de carga: 
 
hf = fL Q² 
D 2gA² 
 
A qual pode ser reescrita na forma hf = KQ² 
 
Onde K = fL é conhecido como coeficiente geométrico de atrito. 
 D gA² 
 
A razão de se escrever a fórmula de Darcy – Weisbach nesse formato e facilita a 
solução de problemas que envolvem redes de conduto: tubos em série e em 
paralelo. 
 
OBS: as unidades de K no S.I. são s²
m�
ESCOAMENTO EM TUBOS PARALELOS 
 
Considere o seguinte trecho de um sistema de distribuição: 
 
Em geral, nós vimos que hf = KQ² 
 
Designando hf1 a perda de carga no trecho 1 e hf2 a perda no trecho 
2, teremos: 
 hf1 = K1 Q1² A
hf2 = K1 Q2²
1
Q
Q
2
45
 
mas hf1 = hf2 K1 Q1² = K2 Q2²
Q2 = K1 ��� Q1 B
K2
Sabemos também que: 
 
Q = Q1 + Q2 C
Através de B e C nós podemos achar Q1, Q2 e hf.
Exemplo 5 : 
 
K1 = 4029 s² e K2 = 23264 s²
m� m�
Q = 0,142 m³/s 
 
De C Q2 = 0,142 - Q1
De B 0,142 - Q1 = 0,416 Q1 Q1 = 0,100m³/s 
 
De C Q2 = 0,042 m³/s 
 
e de A hf = 40 m 
 
46
 
PROBLEMAS DOS TRÊS RESERVATÓRIOS 
 
Considere o seguinte sistema de reservatórios e tubos: 
 
Onde HJ é a energia ou carga total no nó de junção J. 
 
No sistema acima, pode haver três possibilidades: 
 
Caso 1: HJ > HB , nesse caso, Q1 = Q2 + Q3
Caso 2: HJ = HB, nesse caso Q1 = Q3 e Q2 = 0
Trecho 1 
Trecho 2 
Trecho 3 
HC = zC
HB = zB
HJ
J
HA = zA
A
C
B
Q1
Q2
Q3
A
B
C
Q1
Q3
B
47
 
Caso 3 : HJ < HB Q3 = Q1 + Q2
Vamos estudar agora caso a caso: 
 
Caso 1: aplicando a equação da energia para o escoamento entre A 
e C. 
 
HA = HC + � hf
HA = HC + hf1 + hf3 ou 
 
HA - hf1 = HC+ hf3 zA - K1Q1² = zC + K3Q3²
E entre A e B 
 
HA - hF1 = HB + hF2 ZA - K1Q1² = ZB + K2Q2²
Por continuidade, nós sabemos que: 
 
Q1 = Q3 + Q2 (três equações, três incognitas) 
 
Caso 2 – de maneira similar: 
 
zA - K1Q1² = zC + K3Q3²
Q1 = Q3 (duas equações, duas incognitas) 
 
Q1
Q2
Q3
A
B
C
48
 
Caso 3 - 
 
zA - K1Q1² = zC + K3Q3²
zB - K2Q2² = zC + K3Q3² e Q3 = Q1 + Q2
Normalmente nós assumimos que temos caso 2 e calculamos Q1 e
Q3 se Q1 < Q3, a continuidade não está satisfeita e se trata do caso 3, se Q1 >
Q3, também a continuidade não está satisfeita e se trata do caso 1. 
 
Exemplo 6 : 
 
Considere o seguinte problema de três reservatórios: 
 
Se os tubos são feitos de concreto c
é de 20ºC, calcule a vazão em cada tubo: 
 
Vamos inicialmente considerar que
regime completamente turbulento, (essa hipotése
nós podemos usar a fórmula de Karman & Prandtl
 
1 = 2 log 3,7D
f �
2
3
B
AzB = 100m 
zA = 120m 
D
L3
D1 = 30cm 
L1 = 1000m 
D2 = 50cm 
L2 = 4000m 
om � = 0,6mm e a temperatura 
 ocorre em todos os tubos o 
 terá de ser checada no final), 
. 
1
C
zC = 80m 
3 = 40cm 
= 2000m 
49
 
Com � = 0,6mm 
 
Assim: trecho 1 – D1 = 300mm f1 = 0,023 
 trecho 2 – D2 = 500mm f2 = 0,021 
 trecho 3 – D3 = 400mm f3 = 0,022 
 
assim: 
 
K1 = f1L1 = 8f1L1 = 782 s²
2gD1A1² �²gD1� m�
K2 = 222 s² e K3 = 355 s²
m� m�
Como vimos, vamos inicialmente assumir o caso 2: 
 
Nesse caso: 
 
hf1 120 – 100 = 20m 
 
Q1 = hf1 ��� = 0,160m³/s 
 K1
Hf3 100 - 80 = 20m 
 
Q3 = hf3 ��� = 0,237m³/s 
 K3
Como Q3 > Q1 caso 3 
HJ = ZB
C
B
A
Q2 = 0
Q3
Q1
50
 
zA - K1Q1² = zC + K3Q3²
zB - K2Q2² = zC + K3Q3² ou 
 
Q1 = 0,0512 - 0,454 Q3² ��� 
Q2 = 0,0901 - 1,599 Q3² ��� 
Usando ainda: Q3 = Q1 + Q2 teremos 
 
Q3 = (0,0512 - 0,454Q3² ) ��� + (0,0901 - 1.599Q3² ) ��� 
Resolvendo iterativamente a equação acima teremos: 
 
Q1 = 0,164m³/s 
 Q2 = 0,067m³/s 
 Q3 = 0,231m³/s 
 Verificação do coeficiente de atrito usado: 
 
Trecho 1 - V1 = Q1 = 2,32 m/s 
 A1
Re = 696038 
 
Assim: f1 = 0,25 
 Log � + 5,74 ² = 0,024 
 3,7D Re��� 
trecho 2 – V2 = Q2 = 0,341 m/s 
 A2
Re = 170614 
 
51
 
f2 = 0,025 
 
Trecho 3 – V3 = Q3 = 1,84 m/s 
 A3
Re = 735296 
 
f3 = 0,024 
 
Como para o trecho 2 o erro resultante de se assumir o regime 
completamente turbulento foi de 16% no coeficiente de atrito é aconselhável se 
repetir o problema. 
 
Exercícios propostos: 
 
Exercício Proposto 7: Dado o seguinte sistema, com dois tubos 
paralelos: 
 
Levando em consideração as perdas localizadas e sabendo que a 
temperatura é de 10º C, determine a vazão em cada um dos tubos. 
Ferro 
galvanizado 
Da = 20cm 
La = 4m
Db = 12cm 
Lb = 6,4m 
Registro de gaveta 
completamente aberto 
Q = 0,26m³/s 
Registro de Globo 
completamente aberto 
b
a
52
 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 7 
 
Aa = 0,0314m² Ab = 0,011m² por continuidade 
 
0,26 = Aa Va + Ab Vb
0,26 = 0,0314Va + 0,0113Vb
ha = fa La Va² + (� KL) Va²
Da 2g 2g 
 
Considerando o regime completamente turbulento: fa = 0,018, e 
 
� KL = KL + KL = 0,8 
 Tê Registro de Gaveta 
 passagem 
 direta 
 
Portanto ha = 0,0591 Va²
hb = fb Lb Vb² + (�KL) Vb2
Db 2g 2g 
 
fb = (regime comp. Turb.) = 0,021 
 
e �KL = KL + 2KL + KL = 14,4 
 Tê Cotovelo Registro 
 Saída de 90º de 
 De lado globo 
 
Portanto, hb = 0,791 Vb²
Como ha = hb
53
 
Va = 3.66 Vb
Usando a equação da continuidade: 
 
Vb = 2,06 m/s e Va = 7,54 m/s 
 
Verificando o coeficiente de atrito: 
 
Ramo a: � (T = 10ºC) = 1,31 x 10�� m/s 
 
Re = 1128244 
 
Assim: fa = 0,019 o que pode ser considerado aceitável para o 
ramo b: 
 
Re = 228092 
 fb = 0,02 o que também é aceitável. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 8: 
Dado o seguinte sistema de tubos e reservatórios: 
 
Sabendo que � = 0,05mm e que a temperatura da água é de 20ºC, 
calcule a vazão em cada um dos trechos: 
Trecho 1 B
A
C
zB = 80m 
zC = 70m 
zA = 100m 
L3 = 5.000m 
D3 = 0,6m 
L1 = 3.000 m 
D1 = 0,8 m 
L2 = 4.000m 
D2 = 1,2m 
Trecho 2 
Trecho 3 
54
 
Considerando inicialmente regime completamente turbulento em 
todos os tubos. 
 
Trecho 1: f1 = 0,011 
 Trecho 2: f2 = 0,010 
 Trecho 3: f3 = 0,012 
 
Assim K1 = 8,321 s², K2 = 1,328 s² K3 = 63,760 s²
m� m� m�
Vamos assumir inicialmente o caso 2: 
 
Q1 = 20 = 1,55m³
8,321 s 
 
Q3 = 10 = 0,396 
 63,76 
 
Como Q3 < Q1 caso 1. 
 
zA - K1Q1² = zC + K3Q3²
zA - K1Q1² = zB + K2Q2²
Q3 = (0,471 - 0,131 Q1²) 
 
Q2 = (15,06 - 6,266 Q1²) 
 
Usando ainda Q1 = Q2 + Q3
Teremos: 
 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
55
 
Q1 = (0,471 - 0,131 Q1²) + (15,06 - 6,266 Q1²) 
 
Resolvendo iterativamente a equação acima teremos: 
 
Q1 = 1,49 m³/s 
 Q2 = 1,07 m³/s e 
 Q3 = 0,42 m³/s 
 
Verificação do coeficiente de atrito: 
 
V1 = Q1 = 2,96 m/s 
 A1
Re = 2,371 x 10�
f1 = 0,012 
 f2 = 0,012 
 f3 = 0,013 
0,5 
56
 
REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA 
 
ESTIMATIVA DA DURAÇÃO DE PROJETO 
 
–Tempo de alcance 
•Elemento - Tempo 
 
–Grandes barragens e túneis 
•30 a 60 anos 
 
–Tomadas de água 
•25 a 50 anos 
 
–Poços 
•10 a 25 anos 
 
–Elevatórias 
•15 a 25 anos 
–Equipamentos de recalque 
•10 a 20 anos 
 
–Adutoras de água e redes de distribuição 
•20 a 30 anos 
 
–Equipamentos das ETA’s e ETE’s (filtros, decantadores,...) 
•20 a 30 anos 
 
–Reservatórios de concreto (de aço) 
•30 a 40 anos (20 a 30 anos) 
57
 
POPULAÇÃO DE PROJETO 
 
Talvez o mais importante dado de entrada em um projeto de uma rede de 
Abastecimento de água ou de uma Rede de Esgotamento Sanitário seja a 
determinação de população de projeto. Uma determinação errônea desta 
população para o horizonte de projeto implica não só em gastos desnecessários 
na construção e operação da rede, mas também, o que é mais grave, em um 
funcionamento hidraulicamente inadequado da mesma, resultando em pressões 
reduzidas ou excessivas, vazamentos ou entupimentos nos tubos da rede. 
Não havendo fatores notáveis de perturbações, como longos períodos de 
estiagem, guerras, etc, ou pelo contrário, o surgimento de um fator acelerador de 
crescimento como, por exemplo, a instalação de um polo industrial, pode-se 
considerar que o crescimento populacional apresenta três fases distintas: 
1ª fase - crescimento rápido quando a população é pequena em relação aos 
recursos regionais; 
2ª fase - crescimento linear em virtude de uma relação menos favorável entre os 
recursos econômicos e a população; 
3ª fase - taxa de crescimento decrescente com o núcleo urbano aproximando-se 
do limite de saturação, tendo em vista a redução dos recursos e da área de 
expansão. 
Na primeira fase ocorre o crescimento geométrico que pode ser expresso da 
seguinte forma 
P = Po ( 1 + g )�t,
onde "P" é a população prevista, "Po" a população inicial do projeto, "�t" o 
intervalo de anos da previsão e "g" a taxa de crescimento geométrico que pode 
ser obtida através de pares conhecidos (ano Ti , população Pi ), da seguinte forma 
Conhecidosdois valores de população em dois intervalos de tempo: 
P1 = Po ( 1 + g )�t1 e P2 = Po ( 1 + g )�t2,
Fazendo 
58
 
( )
( ) 1t0
2t
0
1
2
g1P
g1P
P
P
�
�
+
+
=
ou 
( ) 1t2t
1
2 g1
P
P ���+=
assim, podemos determinar g 
1
P
Pg
1t2t
1
1
2 ���
�
��
�
�
=
���
Na segunda fase o acréscimo de população deverá ter características lineares ao 
longo do tempo e será expresso assim 
P = Po + a. �t ,
onde P, Po e "�t" tem o mesmo significado e "a" é a taxa de crescimento aritmético 
obtida pela razão entre o crescimento da população em um intervalo de tempo 
conhecido e este intervalo de tempo, ou seja, 
a = ( P2 - P1) / (2t2- 2t1)
Por volta de 1840, o matemático e biólogo P. F. Verhulst propôs a chamada 
equação logística, a qual englobaria todas as três fases de crescimento 
populacional humano anteriormente descritas. Esta relação é expressa da 
seguinte maneira: 
tba
S
e1
PP �++
=
a é conhecida como equação da curva logística e cuja representação gráfica é a 
chamada Curva Logística e encontra-se representada na figura seguinte: 
59
 
Curva logística de crescimento de população
Deve-se observar, no entanto, que o progresso técnico pode alterar a população 
máxima prevista para um determinado conglomerado urbano, sendo um 
complicador a mais a ser avaliado em um estudo para determinação do 
crescimento da população. Para aplicação da equação da curva logística deve-se 
dispor de três dados de populações correspondentes a três censos anteriores 
recentes e eqüidistantes, ou seja, três pares (T1,P1), (T2,P2) e (T3,P3) de modo que 
(T3 - T1 ) = 2 (T2 - T1) , P1 < P2 < P3 e P22 > P3 . P1.
Feitas essas verificações calculam-se 
Ps = [ P22. (P1 + P3 ) - 2.P2. P1. P3 ]/ [ P22 - P1. P3] ,
a = ln[ (Ps - P1 ) / P1]
b = [ 1 / (T2 - T1)]. ln{[ P1(Ps - P2 )] / [ P2 (Ps - P1)]} 
e = 2,718281828, base neperiana.
60
 
Ano do censo População ( hab )
1970 274 403
1980 375 766
1990 491 199
então,
T3- T1= 2 ( T2 - T1 ), ou seja, 1990 - 1970 = 2 ( 1980 - 1970 ) e P22 > P1.P3, isto é,
375 7662 = 1,412. 1011 > 274 403 x 491 199 = 1,348. 1011,
o que permite a aplicação do método da curva logística. Sendo assim, pode-se calcular a 
população de saturação Ps
habitantes, e ainda
De acordo com os parâmetros encontrados pode-se verificar, por exemplo, a população 
para
a) �t = 0 (Observar que neste método �t é igual a Tn - T1)
274 433 habitantes equivale a P1 (mostrando que o estudo de projeção indica a população 
inicial);
b) �t = 20 anos
490 612 habitantes equivale, pois, a população P3;
c) �t = 50 anos (30 anos após o último censo)
817 249 habitantes é resultado previsto pelo método após os próximos 30 anos, além do 
último censo;
d) �t = futuro infinito
, correspondendo a população de saturação calculada de 1 
065 625 habitantes.
71
 
Estimativas no consumo 
–Variações Diárias (k1)
Coeficiente do dia de maior consumo no ano 
–EUA: 1,20 a 2,40 
–França: 1,50 
 
–Variações Horárias (k2)
Coeficiente da hora de maior consumo no dia 
–EUA: 1,20 a 2,00 
–França: 1,50 
 
PREVISÃO DE CONSUMO NO BRASIL 
 
–O consumo per capita mínimo adotado é de 150 l/hab.dia 
–Coeficientes de variação diária k1= 1,2 
–Coeficientes de variação diária k2= 1,5 
–Selecionar regiões com demandas especiais de consumo 
72
 
RESERVATÓRIOS 
Definição e Finalidades 
Os reservatórios são unidades hidráulicas de acumulação e passagem de água 
situados em pontos estratégicos do sistema de modo a atenderem as seguintes 
situações: 
• garantia da quantidade de água (demandas de equilíbrio, de emergência e 
de antiincêndio); 
• garantia de adução com vazão e altura manométrica constantes; 
• menores diâmetros no sistema; 
• melhores condições de pressão. 
Classificação 
a) de acordo com a localização no terreno: 
• enterrado (quando completamente embutido no terreno); 
• semi-enterrado ou semi-apoiado(altura líquida com uma parte abaixo do 
nível do terreno; 
• apoiado (laje de fundo apoiada no terreno); 
• elevado (reservatório apoiado em estruturas de elevação); 
• stand pipe (reservatório elevado com a estrutura de elevação embutida de 
modo a manter contínua o perímetro da secção transversal da edificação). 
 
73
 
Os tipos mais comuns são os semi-enterrados e os elevados. Os elevados são 
projetados para quando há necessidade de garantia de uma pressão mínima na 
rede e as cotas do terreno disponíveis não oferecem condições para que o mesmo 
seja apoiado ou semi-enterrado, isto é, necessita-se de uma cota piezométrica de 
montante superior a cota de apoio do reservatório no terreno local. 
Desde que as cotas do terreno sejam favoráveis, sempre a preferência será pela 
construção de reservatórios semi-enterrados, dependendo dos custos de 
escavação e de elevação, bem como da estabilidade permanente da construção, 
principalmente quando a reserva de água for superior a 500m3. Reservatórios 
elevados com volumes superiores implicam em custos significativamente mais 
altos, notadamente os de construção, e preocupações adicionais com a 
estabilidade estrutural. 
Portanto a preferência é pelo semi-apoiado, considerando-se problemas 
construtivos, de escavação, de empuxos e de elevação. Quando os volumes a 
armazenar forem grandes, principalmente acima dos 800m3, e houver 
necessidade de cotas piezométricas superiores a do terreno, na saída do 
74
 
reservatório, a opção mais comum é a construção de um reservatório elevado 
conjugado com um semi-enterrado. 
Neste caso toda a água distribuída pela rede a jusante será bombeada do 
reservatório inferior para o superior a medida que a demanda for solicitando, 
mantendo-se sempre um volume mínimo no reservatório superior de modo a manter a 
continuidade do abastecimento em caso de interrupção neste bombeamento. 
 
b) de acordo com a localização no sistema: 
• montante (antes da rede de distribuição); 
• jusante ou de sobras (após a rede). 
Os reservatórios de montante caracterizam-se pelas seguintes particularidades: 
• por ele passa toda a água distribuída a jusante; 
• têm entrada por sobre o nível máximo da água e saída no nível mínimo 
• são dimensionados para manterem a vazão e a altura manométrica do 
sistema de adução constantes. 
Os reservatórios de jusante caracterizam-se pelas seguintes particularidades: 
• armazenam água nos períodos em que a capacidade da rede for superior a 
demanda simultânea para complementar o abastecimento quando a 
situação for inversa; 
75
 
• reduzem a altura física e os diâmetros iniciais de montante da rede; 
têm uma só tubulação servindo como entrada e saída das vazões 
Entradas e saídas dos reservatórios 
Volume a armazenar 
Vazão de trabalho 
 
•Vazão de consumo (saída do reservatório) 
–É a mesma vazão distribuída ao longo do dia (24h) 
–Função da demanda flutuante, de emergência e de incêndio 
•Vazão de recalque (entrada no reservatório) 
–É a mesma vazão que a ETA produz para ser armazenada conduzida após 
recalque na EE (6h, 8h, 12h, 18h, 24h, dependendo do número de horas de 
trabalho das bombas hidráulicas de recalque) 
 
Q reservado = Q consumo - Q recalque 
76
 
–Capacidade do reservatório 
•Analisar o balanço de massas em relação ao que entra e ao que sai do 
reservatório 
–Reserva total máxima 
•Reserva flutuante 
•Reserva de emergência 
•Reserva de incêndio 
–Capacidade do reservatório 
•Reserva flutuante 
–Advém da vazãodistribuída ao longo do dia (�t = 24h) 
 
•Reserva de emergência 
–Normalmente considerada de 1/3 da reserva flutuante (fixa) 
 
•Reserva de incêndio 
–Alguns autores consideram de 1/3 da reserva flutuante (fixa) 
 
–A National Board of Fire Underwriters dada pela companhia de seguros norte 
americana 
•População até 200.000 habitantes 
 
Vflutuante = Qconsumo.�t
Vemergência = 1/3 Vflutuante 
Vincêndio = 1/3 Vflutuante 
Vincêndio = 1,02.P1/2.(1-0,01P1/2), 
onde P é dado em milhares de habitantes
77
 
•Reserva total do reservatório 
–Soma das parcelas 
•Flutuante 
•Emergência 
•Incêndio 
 
Exercício 
–Dimensione o volume e dê formas a um reservatório que demande 
•População de 12.500 habitantes 
•Consumo de 200 l/hab/dia 
•K1=1,25 
V total = V flutuante + V emergência +V incêndio 
78
 
Dimensionamento de Reservatórios 
População = 12.500hab 
Per Capita = 200l/hab/dia 
Coeficiente de majoração horária = 1,25
Adução feita por recalque 
�trecalque = 8horas 
�tfuncionamento = 24horas 
Qconsumo = 36,17l/s 
Cálculo do Volume Flutuante 
Vflutuante = 3.125,0m3
Cálculo do Volume de Incêndio 
1/3 do Volume flutuante 
Vincêndio = 1.041,7m3
Cálculo do Volume de Emergência 
Vemergência = 1.041,7m3
Cálculo do Volume Total do Reservatório 
Vtotal = 5.208,3m3
79
Simulação do Volume Flutuante (Considerando Adução Contínua) 
Tempo 
(h) 
Fração do
Consumo
Diário (%)
Fração da 
Adução 
Diária (%) 
Diferença Percentual 
no Reservatório (%) 
Diferença 
Percentual 
 Acumulada 
Reservatório (%) 
0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
2 3,35 8,33 4,98 0,00 4,98 
4 3,35 8,33 4,98 0,00 4,98 
6 5,00 8,33 3,33 0,00 3,33 
8 9,20 8,33 0,00 -0,87 -0,87 
10 12,05 8,33 0,00 -3,72 -3,72 
12 11,70 8,33 0,00 -3,37 -3,37 
14 12,05 8,33 0,00 -3,72 -3,72 
16 10,80 8,33 0,00 -2,47 -2,47 
18 11,70 8,33 0,00 -3,37 -3,37 
20 9,60 8,33 0,00 -1,27 -1,27 
22 6,20 8,33 2,13 0,00 2,13 
24 5,00 8,33 3,33 0,00 3,33 
 100,00 100 18,77 -18,77 0,00 
 
Vflutuante = 586,5m3
Cálculo do Volume de Combate a Incêncio 
Vincêndio = 250m3
Cálculo do Volume de Emergência 
Vemergência = 195,5m3
Cálculo do Volume Total 
Vtotal = 1.031,9m3
80
Diagrama de Rippl para o Reservatório 
de Distribuição Elevado - 24h
y = -0,5204x + 9,5181
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
15,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Tempo (h)
Pe
rc
en
tu
al
A
cu
m
ul
ad
o
da
D
ife
re
nç
a
de
Fr
aç
ão
(%
)
81
Simulação do Volume Flutuante (Considerando Adução Intermitente com o Tempo - 8h 
de Recalque) 
Tempo 
(h) 
Fração do 
Consumo 
Diário (%) 
Fração da 
Adução Diária 
(%) 
Diferença Percentual no 
Reservatório (%) 
Diferença 
Percentual 
Acumulada 
Reservatório 
(%) 
0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
2 3,35 0,00 0,00 -3,35 -3,35 -3,35 
4 3,35 0,00 0,00 -3,35 -3,35 -6,70 
6 5,00 0,00 0,00 -5,00 -5,00 
8 9,20 0,00 0,00 -9,20 -9,20 -20,90 
10 12,05 25,00 12,95 0,00 12,95 -7,95 
12 11,70 25,00 13,30 0,00 13,30 5,35 
14 12,05 25,00 12,95 0,00 12,95 18,30 
16 10,80 25,00 14,20 0,00 14,20 32,50 
18 11,70 0,00 0,00 -11,70 -11,70 20,80 
20 9,60 0,00 0,00 -9,60 -9,60 11,20 
22 6,20 0,00 0,00 -6,20 -6,20 5,00 
24 5,00 0,00 0,00 -5,00 -5,00 0,00 
 100,00 100,00 53,40 -53,40 0,00 
 
Vflutuante = 1668,8m3
Cálculo do Volume de Combate a Incêncio 
Vincêndio = 250,0m3
Cálculo do Volume de Emergência 
Vemergência = 556,3m3
Cálculo do Volume Total 
Vtotal = 2475,0m3
82
 
Diagrama de Rippl para o Reservatório 
de Distribuição Elevado - 08h
y = 0,9448x - 8,0643
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Tempo (h)
Pe
rc
en
tu
al
A
cu
m
ul
ad
o
da
D
ife
re
nç
a
de
Fr
aç
ão
(%
)
83
 
Cálculo do Volume Flutuante Considerando apenas a Vazão de Consumo da População 
Vflutuante = 3125m3
Cálculo do Volume de Combate a Incêncio 
Vincêndio = 1041,7m3
Cálculo do Volume de Emergência 
Vemergência = 1041,7m3
Cálculo do Volume Total 
Vtotal = 5208,3m3
Dimensionamento da Forma do Reservatório 
Adotando um reservatório tipo Stand pipes (apoiado sobre o solo) 
Forma cilíndrica 
D=2.h 
Abase = �D2/4 
V = Abase . H 
V = �D2/4 . D/2 
V = �D3/8 
Para o volume de 24h 
Volume = 1031,9m3
D = 13,8m 
h = 6,9m 
Para o volume de 8h 
Volume = 2475,0m3
D = 18,5m 
h = 9,2m 
Para o volume devido à vazão de consumo 
Volume = 5208,3m3
D = 23,7m 
h = 11,8m 
 
D
h
84
 
TÉCNICAS PARA MODELAGEM DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA. 
 
Metodologia de Hardy – Cross: 
 
É um dos processos mais usadas para cálculo de redes de 
distribuição, os quais podem se compor de uma sucessão de circuitos fechados 
ou anéis: 
 
O método se baseia no seguinte: 
 
(a) Em cada nó da rede (convergência de duas ou mais tubulações), 
a soma algébrica das vazões é nula. 
 
Exemplo: 
Onde Qd é a vazão de demanda 
 
Q1 + Q4 - Q2 - Q3 - Qd = 0
�Q = 0
Q’ 
Q’’ 
Q’’’ 
Reservatório 
Qpv
Qd
Q4 Q3
Q2
Q1
85
 
As vazões que afluem ao nó tem sinal positivo e os que dele derivam 
tem sinal negativo. 
 
(b) Considerando um determinado circuito fechado (anel). 
 
Aplicando a equação de Bernoulli do 
ponto A de volta ao ponto A: 
HA = HA + �hf ou �hf = 0
Ou seja, em um determinado anel, a soma das perdas de carga é 
nula. 
 
Anel I: �hf = hf1 + hf2 - hf3 - hf4 = 0
Anel II: �hf = hf5 - hf2 - hf6 - hf7 = 0
Nesse caso foi arbitrado que o sentido horário das vazões em um 
anel correspondem a um sinal positivo das perdas de carga. 
 
A base da metodologia é a seguinte, em um determinado anel (anel I 
acima) a soma das perdas de carga no sentido horário é dada por: 
 
�hfH = �KHQ²H
E no sentido anti-horário: 
D Q4
Q3 Q2
Q1
C
BA
F
Q5
Q4 Q6
Q7Q3
Q2
Q1
C
EBA
hf6 
hf5 
hf4 
hf3 
hf2 
hf1 
hf7 
D
86
 
�hAHf = �KAHQ²AH 
 
Como as vazões são desconhecidas, inicialmente assume-se 
vazões aleatórias. 
 
A diferença: �KHQ²H - �KAHQ²AH é o erro inicial. 
 
Se �Q é uma correção a ser aplicada às vazões, assumidas 
inicialmente, ele é dado por: 
 
�KH (QH - �Q)² = �KAH (QAH + �Q)² ou 
 
�KH (QH² - 2 QH �Q + �Q²) = �KAH (QAH² + 2QAH �Q + �Q²) 
 
Considerando �Q pequeno em relação a QH e QAH 
 
�KH (QH² - 2 QH �Q) = �KAH (QAH² + 2QAH �Q) 
 �Q = �KHQH² - �KAHQAH²
2(�KHQH + �KAHQAH)
Como KQ = hf
Q
�Q = �hf - �hf
H AH
2(�hf + �hf) =
H AH
QH QAH 
�hf - �hf
H AH
2�hf
Q
Esta correção é aplicada a estimativa inicial das vazões no anel e o 
procedimento é repetido até se chegar a um erro para �Q aceitável. 
87
 
Exemplo 7 : 
 
Dado o sistema: 
 
NÓ ELEVAÇÃO (m) 
A 9,1 
B 11,3 
C 12,5 
D 9,8 
E 12,2 
F 14.6 
 
TUBO COMPRIMENTO (m) DIÂMETRO (mm) 
1 30 150 
2 12 100 
3 43 150 
12 100 
 
Determin
 
15,8'/s 
5'/s
7,6'/s
3,2'/s
A B C
D
Tubos de ferro 
fundido 
(� = 0,26mm) 
T = 20ºC 
F
1
E
2
3
5
6
''
7
' 4
4
5 150 
6 30 
7 43 
e as vazões em cada trecho do sist
100 
100 
ema. 
12
88
 
Considerando as seguintes vazões iniciais: 
 
Exemplo7, anel I 
 
� = 0.00026 m � = 1.007E-06 m²/s 
 
Trecho L (m) D (mm) 
1 30 150 
4 12 100 
6 30 100 
2 12 100 
�Q = 0 L/s 
 
Trecho Qinicial 
('/s)
Q - �Q
('/s)
V
(m/s) 
Re f hf
(m) 
2 h f
(s/m²) 
1 12.6 12.6 0.713 106209 0.025 0.13 20.2 
4 1.9 1.9 0.108 16 0.0310.00 1.5 
6 4.4 4.4 0.560 55633 0.028 60.8 
2 -3.2 -3.2 -0.407 40460 9 -0.03 18.2 
0.23 100.7 
15,8 
5,0'/s
7,6'/s
3,2'/s
A B C
D F
1
E
2
3
5
6
''
7
'3,2 
2,5 
5,7
5,712,6 
4,4 
1,9 4
�
Q
0.13 
0.02
016 
89
 
�Q = �hf = 2.32 '/s, Erro = �Q/Qmínimo = 121.9 % 
 2� hf
Q
Vazões corrigidas do anel I 
 
TUBO VAZÃO ('/s) 
1 10,3 
4 -0,4 
6 2,1 
2 -5,5 
 
Exemplo 7 – anel
 
� = 0.00026 m 
 
Trecho
3
5
7
4
15,8 
5,0 
7,6 
A B C
D
1
2
3
5'''5,5 5,7
10,3 
0,4 
4
 II 
 � =
 L (m
43
12
43
12
E
6
2,1 
5,7
1.007E-06 
) D (m
 15
 15
 10
 10
F2,5 
3,2 
7
m²/s 
m) 
0 
0 
0 
0 
90
 
Trecho Qinicial 
('/s)
Q - �Q
('/s)
V
(m/s) 
Re f hf
(m) 
2 h f
Q
(s/m²) 
3 5.7 5.7 0.323 48047 0.026 0.04 14.0 
5 5.7 5.7 0.323 48047 0.026 0.01 3.9 
7 2.5 2.5 0.318 31610 0.029 0.07 52.3 
4 0.4 0.4 0.051 5058 0.041 0.00 3.2 
� 0.12 73.4 
�Q = �hf = 1.59 '/s, Erro = �Q/Qmínimo = 398.5 % 
 2� hf
Q
Vazões corrigidas do anel II: 
 
TUBO VAZÃO ('/s) 
3 4,1 
5 4,1 
7 0,9 
4 -1,2 
 
Assim: 
 
91
 
e assim sucessivamente até se obtiver uma razão �Q/Qmín aceitável. 
DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES: 
 
No nó A: a carga total HA é 65,5m 
 
No nó B: HB = HA - hf = 65,4 m 
 Tubo 1 
 
zB = 11,3m 
 
Com HB = zB + pB + VB² geralmente desprezível 
 � 2g 
 
pB = 54,1 m 
 �
15,8 
5,0 
7,6 
3,2 
'''5,5 
0,9 
4,1
4,110,3 
2,1 
1,2 
92
 
METODOLOGIA LINEAR 
Nós vimos que usando o princípio da energia, em um determinado anel: 
 j
�hf = 0 ou � (sinal Qt) Kat Qt² = 0 (0) 
 t=1 
 
Onde j é o número de trechos de tubulações que compõe o anel a, t 
é o número de cada trecho de tubulação do anel a. 
 
O (sinal Qt ) assume o valor de +1 para Qt no sentido horário, -1 no 
sentido anti-horário e 0 quando o trecho t não faz parte do anel. 
 
Exemplo 8 
 
Nesse caso j = 4 e a = 3 
 
Portanto, 
 
K32 Q2² + K34 Q4² - K37 Q7² - K39 Q9² = 0 nós podemos então 
formar um sistema com A equações, sendo A o número total de anéis. 
 
Para formamos esse sistema, temos que conhecer então o número 
total de anéis e o número total de nós do sistema: 
 Se: 
 A = número total de anéis; 
 T = número total de trechos de tubulações; 
 N = número total de nós; 
Trecho 4 
Trecho 7 
Trecho 9 Anel 3 Q4
Trecho 2 
Q7
Q9
Q2
93
 
F = número de pontos onde a carga ou potencial total é constante e
 fixada. 
 
Então: A = T - N - F + 1 
 
Por exemplo, no caso do problema dos três reservatórios: 
 
A = 3 - 1 -3 + 1 = 0 
 
No exemplo anterior: 
 
T = 7
N = 6 A = 2
F = 0
As equações (0) são não lineares em relação às variáveis, Qt , as 
quais são incógnitas. Para tornar o sistema linear em relação a Qt, usa-se o 
artifício de que hf = KQ² = KQQ. 
 
Portanto, a equação (0) pode ser escrita como: 
 j
� (sinal Qt) Kat Qt Qt = 0
t=1 
 
94
 
se fizermos Cat = (sinal Qt) Kat Qt teremos: 
 j
� Cat Qt = 0
t=1 
 
o qual é um sistema no qual os coeficientes Cat dependem de Qt,
que são as variáveis incógnitas, portanto, é um sistema que deve ser resolvido 
iterativamente, assumindo-se valores para Qt, calculando-se Cat e determinando-
se Qt, o qual é assim comparado com o valor inicial. Portanto, a equação acima 
pode ser escrita como: 
 
j
� Cat Qt = 0 (1) 
 t=1 
 
As equações dadas por (1) formam um sistema com A equação e T 
incógnitas como A < T temos que achar equações extras para resolver esse 
sistema. 
 
Essas equações são dadas usando o princípio da continuidade das 
vazões em um determinado nó: 
 
Dado o nó n: 
 
Se considerarmos a vazão de demanda de um determinado nó n 
como Un e a vazão dos j tubos que conectam ao nó n como Qt onde t é um 
número de trechos de tubulação que se concectam ao nó n. 
 j
� bnt Qt = Un ( 2) 
 t=1 
 
onde bnt é um multiplicador que assume o valor: 
 
n
nó 
Q3
Q2
Q1
Un 
95
 
bnt = +1 para um trecho de tubulação cuja vazão “entra” no nó n. 
bnt = -1 para um trecho de tubulação cuja vazão “sai” do nó n. 
bnt = 0 para uma tubulação que não se conecta ao nó n. 
 
Exemplo : 
b41 Q1 + b42 Q2 = U4
+1 -1 
 Q1 - Q2 = U4
O sistema de equações dado por (2) nós fornece as equações extras 
para formar um sistema do A + N - 1 equações: 
 
A equações de energia: 
 
Anel 1 C11 Q1 + C12 Q2 + C13 Q3 + C1T QT = 0
M M M
Anel A CA1 Q1 + CA2 Q2 + CAT QT = 0 e
N - 1 equações de continuidade: 
 
Nó 1 : b11 Q1 + b12 Q2 + b1T QT = U1
M M M
Nó N –1: bN - 1 Q1 + bN – 1 2 Q2 + bN - 1 T QT = UN - 1
Ou, em forma matricial: 
 
C Q = 0
B U
U4
Q1
Q2
Nó 4 Trecho 2 
Trecho 1 
96
 
Exemplo 9 : 
 
Trecho de 
Canalizaçao 
K
(s²/m�)
1 1,0 
2 0,1 
3 1,5 
 
Número de anéis: 
 
A = T - N - F + 1
A = 3 - 3 - 0 + 1 = 1
São necessárias: A + N - 1 equações ou 1 + 3 - 1 = 3 
equações. 
 Equação da energia para o anel 1: 
 
C11 Q1 + C12 Q2 + C13 Q3 = 0
Equações de continuidade: 
 
Nó B: bB1 Q1 + bB2 Q2 + bB3 Q3 = UB
Nó C: bC1 Q1 + bC2 Q2 + bC3 Q3 = UC
3
C
UC = 1,5m³/s 
UB = 2 m³/s UA = 3,5m³/s 
BA
2
1
97
 
C11 = (sinal Q1) K1 Q1
C11 = (+ 1) (1,0) Q1 = Q1
C12 = (1,0) (0,1) Q2 = 0,1 Q2
C13 = (1,0) (1,5) Q3 = 1,5 Q3
Nó B: 
 
Nó C: bc1 = 0
bc2 = 1
bc3 = -1 
 
Portanto, o sistema fica: 
 C11 Q1 + C12 Q2 + C13 Q3 = 0 (1) 
 Q1 - Q2 = 2 (2) 
 Q2 - Q3 = 1,5 (3) 
 
bB1 = 1
bB2 = -1 
bB3 = 0
UB
Q2
Q1
98
 
A maneira de se resolver este sistema é: 
 
assumem-se valores para Q’s; 
determinam-se Cat’s com base nos últimos valores de Q’s. 
calculam-se Q’s 
calcula-se erro e compara-se com a tolerância estabelecida (tol): 
 
T
erro = � ( Qt - Qt (
t=1 anterior atual < Tol. 
 T
� ( Qt (
t=1 atual 
 
erro < Tol 
 FIM 
 
No exemplo dado, vamos assumir Q1 = Q2 = Q3 = 1m³/s. 
 
Assim: C11 = 1
C12 = 0,1 
 C13 = 1,5 
 
Trecho Qt
anterior 
Cat Qt
atual 
(Qt - Qt(
anterior atual 
(Qt(
atual 
1 1 1,0 2,10 1,1 2,10 
2 1 0,1 0,1 0,9 0,1 
3 1 1,5 -1,4 2,4 1,4 
� 4,4 3,6 
Erro = 4,4 x 100 = 122% 
 3,6 
 
SIM NÃO 
99
 
Segunda tentativa: 
 
Qt = 2 Qatual + Qanterior
3
Qt = 1,73 
 0,4 
 -0,6 
 
Trecho Qt
anterior 
Cat Qt
atual 
(Qt - Qt(
anterior atual 
(Qt(
atual 
1 1,73 1,59 1,34 0,39 1,34 
2 0,40 0,05 -0,66 1,06 0,66 
3 -0,60 -0,97 -2,16 1,56 2,16 
3,01 4,16 
Erro = 3,01 x 100 = 72% 
 4,16 
 
e assim a sucessivamente . 
 
A vantagem de se usar as equações da energia e da continuidade 
na forma apresentada é que facilita a implantação computacional do cálculo 
hidráulico de redes de condutos. 
 
100
 
PROJETO: 
 
Dado o sistema de distribuição de água abaixo: 
 
T = 20ºC 
 
Nó Elevação (m) 
1 9,1 
2 11,3 
3 12,5 
4 9,8 
5 12,2 
6 14,6 
 
Material: ferro fundido usando o programa EPANET 
http://www.epa.gov/ORD/NRMRL/wswrd/epanet.html 
 
1- Determine as vazões em cada trecho de canalização e as 
pressões nos nós, sem levar em conta erda carga 
localizadas. 
2- Repita o s vazões de d plicad
Compare os resultados e conclua. 
3,2 L/s 
0 1 2 3
4 656
1
2
3
4
5
Elevação = 30m 
Reservatório 
D = 20cm 
L =100m
L = 12m 
D = 10cm
7,6 L/s 
5 L/s 
L = 43m 
D = 10cm
L = 12m 
D = 10cm
L = 30m 
D = 10cm
L = 30m 
D = 15cm
L = 12m 
D = 15cm
L = 43m 
D = 15cm
s de
as p
 item 1 com a
 emanda multi
 a por 10. 
101
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL 
Simulação Hidráulica em Redes de Condutos Forçados com o Software Epanet 
Prof. Marco Aurélio Holanda de Castro, Ph.D. 
 
102
 
� Introdução 
O que é simulação hidráulica? 
 
A simulação hidráulica é o processo de construir um modelo simples, similar à 
rede estudada e com as mesmas características, usando o poder do software de 
computador. Desta forma, o modelo permite que os projetistas da rede analisem e 
compreendam sua situação hidráulica e apliquem suas decisões e idéias novas 
no modelo para melhorar a operação da rede, estudem suas influências e, 
baseados no resultado das decisões, apliquem estas idéias na rede real ou as 
rejeitem, e em sugerir idéias novas. 
O que é Epanet? 
 
O EPANET é um interessante software de simulação hidráulica desenvolvido pela 
agência de proteção ambiental dos Estados Unidos (EPA) que executa simulação 
completa do comportamento hidráulico e da qualidade de água das redes 
pressurizadas com tubulações, nós (junções da tubulação), bombas, válvulas e 
tanques ou reservatórios de armazenamento. O EPANET funciona no Windows e 
assim fornece um ambiente integrado para a edição dos dados de entrada da 
rede, execução da simulação hidráulica e da qualidade de água, e observação 
dos resultados em uma variedade de formatos. Estes incluem mapas coloridos da 
rede, tabelas dos dados, gráficos da série de tempo, e impressão das curvas de 
nível. 
O que você deve ter antes de começar a usar o EPANET? 
 
Neste curso você aprenderá como usar o EPANET unicamente para a finalidade 
de simulação hidráulica. A análise da qualidade de água não será coberta aqui. 
Durante o curso você aprenderá a utilizar o EPANET com um simples exemplo 
que pode ser generalizado para todas as redes pressurizadas. Entretanto, é 
importante você ler os seguintes pontos antes de começar: 
• Você deve ter habilidades básicas em computação como: 
� Lidar com o ambiente Windows e instalação de programas; 
� Lidar com arquivos: abrir, editar, imprimir, salvar e fechar; 
� Facilidade em usar o mouse e teclado. 
 
• Você deve ter os dados básicos para o arquivo de entrada de sua rede, os quais são: 
� Um diagrama da rede; 
� Elevação da superfície da água na fonte como um reservoir, tank ou canal; 
103
 
� Características da estação de bombeamento, ou seja, a Curva da Bomba que representa a 
relação entre altura manométrica e vazão; 
� Características dos principais componentes da rede: 
� Tubos: nós de montante e jusante, comprimentos, diâmetros e rugosidades; 
� Nós: Elevações e demandas. 
� O padrão de demanda para cada nó na rede. 
 
• Você deve ter em mente que no exemplo aqui apresentado você irá aprender cerca de 90% do 
que você pode fazer no EPANET, os 10% restantes você irá aprender com a prática. 
 
Se você está pronto, siga em frente!! 
104
 
Exemplo do EPANET para simulação hidráulica. 
Neste simples exemplo, os procedimentos do uso do EPANET para analisar 
qualquer rede serão apresentados passo a passo e então os mesmo 
procedimentos podem ser aplicados em qualquer outra rede. 
� 1º Passo: 
Carregue o EPANET, clicando no ícone , fazendo com que o EPANET abra um novo projeto. 
Agora nós estamos prontos para começar a construção de nossa rede, a qual consiste em: 
 
� Fonte de água ou RNF 
� Estação de bombeamento 
� 23 junções (ou nós) 
� 26 tubos 
 
Figura 1 
� 2º Passo: 
• Opções de Hidráulica: 
105
 
Para definir as opções de hidráulica: 
a) Clique em Projecto e em Valores por Defeito e em Hidráulica. 
b) Defina a Unidade de Caudal para LPS (litros por segundo), selecionando o valor na lista. 
É importante observar que a unidade de vazão escolhida define todas as outras unidades 
(clique em ajuda e em unidades para ser informado das unidades a serem usadas das 
outras variáveis). 
c) Defina a Fórmula de Perda de Carga, Clicando em Projecto , em Valores por Defeito e
em Hidráulica e definindo a fórmula de perda de Carga. 
d) Antes de começar o desenho da rede, devemos estabelecer suas dimensões: 
1. Vá ao menu Ver >> Dimensões para ver a janela Dimensões do Mapa; 
2. Clique na opção Nenhum, depois em Ver Tudo e então em OK. 
� 3º Passo: 
 
Para desenhar a rede exibida: 
1. Adicione um Reservatório de Nível Fixo (RNF) clicando no botão da barra de ferramentas e 
depois clique no ponto onde você quer colocar o reservatório. 
2. Adicione os nós. Clique no botão da barra de ferramentas e depois clique nos locais dos 23 
nós indicados na figura 1 
3. Adicione a bomba, que liga os nós 20 e 21, clicando no botão na barra de ferramentas, 
depois no nó 20 e, em seguida no nó 21. Quando você mover o mouse do nó 20 para o 21 o 
cursor do mouse ficará em forma de caneta. 
4. Adicione os tubos clicando no botão na barra de ferramentas e depois nos nós iniciais dos 
tubos e, em seguida, nos nós finais dos tubos. Quando você mover o mouse do nó inicial para 
o nó final o cursor do mouse ficará em forma de caneta. 
5. Adicione os textos necessários clicando no botão da barra de ferramentas e depois no lugar 
onde você quiser colocar o texto. 
6. Quando você estiver colocando os objetos na rede (reservatórios, nós, tubos, bombas e texto) 
se cometer algum erro e quiser excluir ou mover algum objeto, você deve primeiramente 
selecionar esse objeto e depois excluir ou mover. 
� Selecionando um objeto 
Para selecionar um objeto: 
a) Tenha certeza de o Mapa está no modo de seleção de objetos (o cursor do mouse fica com 
forma de seta). Para mudar para este modo vá em Editar >> Seleccionar Objecto ou 
clique em na barra de ferramentas. 
b) Clique sobre o objeto desejado no mapa. 
Para selecionar um objeto utilizando a janela de procura:
a) Selecione o tipo de objeto na lista dropdown da página de dados da janela de procura. 
b) Selecione o objeto desejado na lista de objetos que aparece embaixo da lista dropdown. 
� Deletando um objeto 
106
 
a) Selecione o objeto no mapa ou na página de dados da janela de procura. 
b) Delete o objeto selecionado: 
• Clicando no botão na barra de ferramentas 
• Clicando no mesmo botão da janela de procura 
• Clicando no objeto com o botão direito e em Apagar no menu 
• Ou pressionando a tecla Delete no teclado 
Obs: se um nó for deletado todos os tubos ligados ao nó também serão deletados. 
� Movendo um objeto 
Para mover um nó ou um texto para outro lugar no mapa: 
a) Selecione o nó ou texto 
b) Com o botão esquerdo do mouse pressionado sobre o objeto, arraste-o para a nova 
localização 
c) Libere o botão esquerdo do mouse 
7. Salve seu projeto. Para salvar o projeto: 
a) Vá ao menu Ficheiro >> Guardar Como 
b) A caixa de diálogo Guardar Projecto Como irá aparecer e, a partir dela, você digita o nome 
do arquivo a ser salvo e a pasta na qual deverá ser salvo. Para este exemplo, salve com o 
nome JVA-TO1 exemple. Os projetos são sempre salvos como arquivos *.net. 
c) Clique no botão Salvar. O projeto será salvo e a caixa de diálogo Salvar Projecto Como irá 
desaparecer. 
Obs: Sempre salve seu trabalho a cada dois ou três minuto clicando no botão salvar 
� 4º Passo: 
 
AGORA, DEPOIS DE COMPLETAR O DESENHO DE TODA A REDE PELA 
ADIÇÃO DOS OBJETOS AO MAPA, VOCÊ ESTÁ PRONTO PARA DEFINIR AS 
PROPRIEDADES DE CADA OBJETO USANDO O EDITOR DE 
PROPRIEDADES. O EDITOR DE PROPRIEDADES É USADO PARA 
MODIFICAR AS PROPRIEDADES DOS OBJETOSDA REDE. PARA EXIBIR O 
EDITOR DE PROPRIEDADES: 
a) Selecione um objeto na rede (ou no mapa ou na página de dados da janela de procura) 
b) Duplo clique no objeto (ou no mapa ou na página de dados da janela de procura). O Editor 
de Propriedades irá aparecer. 
� Definindo as propriedades do RNF:
Para definir as propriedades do RNF: 
a) Exiba o Editor de Propriedades para o objeto 
b) Defina o ID do RNF para KAK, por exemplo. ID é o nome que você deseja que o objeto 
tenha e você pode definir qualquer outro nome para ele. Outro RNF não poderá ter o 
mesmo ID. Esta é uma propriedade requerida. 
107
 
c) Defina o Nível de Água para 100m, por exemplo. Nível de Água é igual a elevação do nível 
da superfície da água em metros e é uma propriedade muito importante. 
d) Feche o Editor de Propriedades. 
� Definindo as propriedades da Bomba:
Para definir as propriedades da Bomba: 
a) Exiba o Editor de Propriedades para o objeto 
b) Defina o ID da Bomba para P, por exemplo. ID é o nome que você deseja que o objeto 
tenha e você pode definir qualquer outro nome para ele. Outra Bomba não poderá ter o 
mesmo ID. Esta é uma propriedade requerida. 
c) Defina a Curva da Bomba para C1. A Curva da Bomba representa a relação entre a carga 
e a vazão e é uma propriedade muito importante. Você poderá definir qualquer outro nome 
que quiser. 
d) Feche o Editor de Propriedades. 
� Para adicionar a Curva de Bomba C1 à sua rede:
a) Selecione Curvas da lista dropdown da página de dados da Janela de Procura 
b) Clique no botão adicionar . A caixa de diálogo Editor de Curva irá aparecer. 
c) Defina o ID da Curva para C1. O ID da Curva deve ser o mesmo da propriedade Curva da 
Curva.
d) Na tabela Caudal-Carga digite os valores de vazão em litros por segundo lps 
correspondentes ao valores de carga (pressão) em metros (1,0 bar = 10 m). Para este 
exemplo digite os seguintes valores: 
e) Clique em OK e a caixa de diálogo irá desaparecer. 
� Definindo as propriedades dos nós: 
Para definir as propriedades do nós: 
a) Exiba o Editor de Propriedades para o objeto. 
b) Defina os valores de ID do Nó, Elevação, Consumo-Base e Padrão de Consumo para cada 
nó de acordo com os valores na tabela abaixo: 
ID do Nó Elevação (m) Consumo-Base Padrão de Consumo 
2 89.7863 0.0674 
3 92.7495 0.0899 
4 91.9116 0.1611 
5 88.7783 0.2323 
108
 
6 88.5553 0.0461 
7 90.6478 0.1631 
8 88.9398 0.2361 
9 88 0.2361 
10 85.6174 0.1703 
11 88.634 0.2378 
12 87.329 0.1344 
13 86.9269 0.1889 
14 87.9737 0.0975 
15 85.0609 0.2375 
16 83.9843 -0.9787 
17 88.1643 0.1103 
18 88.1643 0.0655 
19 88 0.0184 
20 91.6931 0 
21 91.6931 0 
22 86.7579 2.1 
23 86.7579 3.2 
Onde: 
ID do Nó: É o nome usado para identificar o nó e nenhum outro nó poderá ter o mesmo nome. 
É uma propriedade requerida. 
Elevação: A elevação do nó – em metros – tomando-se alguma referência. 
Cosumo-Base: É a vazão nominal do nó em litros por segundo lps. 
Padrão de Consumo: É o nome da curva de padrão que representa a mudança na demanda 
do nó com o tempo e pode ser usada para criar um roteiro de consumo. A criação da curva de 
padrão (ou roteiro de consumo) será explicado posteriormente. Pode ser o mesmo padrão para 
mais de um nó. 
c) Feche o Editor de Propriedades. 
 
� 5º Passo 
 
NESTA ETAPA IREMOS DEFINIR AS OPÇÕES DO MAPA E OPÇÕES DE 
ANÁLISE DE NOSSO PROJETO. 
I. Opções de mapa: São usadas para mudar a aparência da rede, por exemplo; para exibir ou 
ocultar o ID dos Nós; para modificar o tamanho dos nós e tubos e para exibir ou ocultar os 
valores nos nós e tubos (como pressão do nó, demanda ou elevação e vazão do tudo, 
comprimento, diâmetro, rugosidade e perda de carga). 
Para definir as opções de mapa: 
a) Exiba a caixa de diálogo Opções do Mapa: 
• Clicando no menu Ver >> Opções ou 
• Clicando em qualquer região vazia do mapa com o botão direito do mouse e depois em 
Opções no menu popup que aparece 
b) A caixa de diálogo Opções do Mapa irá aparecer com uma página para cada categoria de 
objeto: 
109
 
• Nós: Controla o tamanho dos nós e tem a opção de deixar o tamanho do nó ser 
proporcional ao seu valor; 
• Troços: Controla a espessura dos tubos e tem a opção de deixar a espessura dos tubos 
proporcional ao seu valor; 
• Rótulos: Liga e desliga a exibição de rótulos no mapa; 
• Notação: Exibe ou oculta os IDs dos nós ou tubos e os valores dos parâmetros; 
• Símbolos: Liga e desliga a exibição de reservatórios, bombas e válvulas; 
• Setas de Escoamento: Controla a visibilidade e estilo das setas de direção do escoamento 
nos tubos; 
• Fundo do Mapa: Controla a cor de fundo do mapa. 
c) Defina somente as opções de Nós, Tubos e Notações 
• Opções para os Nós:
Tamanho do Nó: Define o diâmetro do nó; 
Proporcional ao Valor: Define se o diâmetro do nó deve aumentar com o aumento do valor 
do parâmetro visualizado (esta opção será útil quando da visualização dos resultados do 
programa, como a pressão no nó). 
• Opções para Tubos:
Espessura do Troço: Define a espessura dos tubos exibidos no mapa; 
Proporcional ao Valor: Define se a espessura do tubo deve aumentar com o aumento do 
valor do parâmetro visualizado (esta opção será útil quando da visualização dos resultados 
do programa, como a vazão no tubo). 
• Opções para Notações: 
Mostrar ID dos Nós: Controla a exibição dos IDs dos nós; 
Mostrar Valores nos Nós: Controla a exibição dos valores do corrente parâmetro para os 
nós (esta opção será útil quando da visualização dos resultados do programa, como a 
pressão no nó); 
Mostrar ID dos Troços: Controla a exibição dos IDs dos tubos; 
Mostrar Valores nos Troços: Controla a exibição dos valores do corrente parâmetro para os 
tubos (esta opção será útil quando da visualização dos resultados do programa, como a 
vazão no tubo). 
II. Opções de Análise: Determina como a rede deve ser analisada. Somente duas opções serão 
usadas para a análise de todas as redes (porque o JVA não está interessado em análise de 
qualidade de água), incluindo Opções de Hidráulica e Opções de Tempo:
• Opções de Tempo 
Para definir as opções de tempo: 
a) Exiba a janela Tempo Opções selecionando a categoria Opções na Página de Dados da 
Janela de Procura. A partir da lista que aparece abaixo, dê um clique duplo em Tempo.
b) Para este exemplo, defina a Duração Total para 6. Duração Total é o comprimento do 
período de simulação. Por exemplo: 
110
 
Duração Total = 6 significa 7 horas, 7 dias ou qualquer intervalo de valor 7 (o EPANET 
define a Duração Total como o número de horas, mas isso não faz diferença... depende do 
que se deseja representar). Porém para o JVA a Duração Total significa o número de horas 
para uma semana, que tem 168 horas, assim fazendo a Duração Total = 167 horas irá 
calcular os valores da rede para cada hora durante a semana. 
Obs: Duração Total = Número de intervalos desejados – 1
� 7º Passo 
 
QUANDO DEFINIMOS AS PROPRIEDADES DOS NÓS, CONCEITUAMOS 
PADRÃO DE DEMANDA COMO O NOME DA CURVA DE PADRÃO QUE 
REPRESENTA A MUDANÇA NA DEMANDA DO NÓ COM O TEMPO E, ASSIM, 
ESTA CURVA PODE SER USADA COMO UM ROTEIRO DE CONSUMO PARA 
A REDE. MAIS DE UM NÓ PODE TER O MESMO PADRÃO, MAS SE O 
CONSUMO-BASE DO NÓ FOR ZERO, DEIXE O VALOR PARA O PADRÃO DE 
CONSUMO EM BRANCO. MAS COMO O PADRÃO DE DEMANDA É DEFINIDO 
PARA CADA NÓ NA REDE? 
� Definição do Padrão de Consumo: 
O Padrão de Consumo é definido usando o Edito de Padrão. O Editor de Padrão é usado para 
definir o Padrão de Demanda de um nó na rede. Para exibir o Editor de Padrão: 
a) Selecione Padrões da lista dropdown da página de dados da Janela de Procura 
b) Clique no botão adicionar . A caixa de diálogo Editor de Padrão