lista de exercícios Cadeia de Markov

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Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia de Produc¸a˜o
Disciplina: 1705172 - Pesq. Oper. Aplic. a EP II
Professor: Hugo Kramer
3a Avaliac¸a˜o - 2019-1 - Data limite para entrega: 19/04/2019 a`s 23h59
ATENC¸A˜O:
• Esta e´ uma atividade que pode ser realizada individualmente ou em dupla.
• A na˜o entrega da lista ate´ a data acima implica em uma penalizac¸a˜o de 30%, ou
seja, apo´s a data limite, a lista passara´ a valer 7,0. Problemas te´cnicos no envio na˜o
sera˜o considerados sem a devida comprovac¸a˜o de que a atividade foi enviada dentro
do prazo.
• Por ser uma lista de exerc´ıcios, na˜o havera´ atividade de reposic¸a˜o.
• O uso de linguagem de programac¸a˜o (recomenda-se a linguagem Julia) para a reso-
luc¸a˜o dos sistemas nas questo˜es sobre Cadeias de Markov e´ permitido. O arquivo
com o co´digo elabroado para a resoluc¸a˜o tambe´m deve ser enviado em anexo. A
interpretac¸a˜o do resultado devera´ constar na resoluc¸a˜o das questo˜es. Caso contra´rio,
a questa˜o sera´ anulada.
• A resoluc¸a˜o deve ser entregue digitada ou manuscrita. Em caso de entrega ma-
nuscrita, a resoluc¸a˜o deve estar bem organizada, com letra leg´ıvel e ser digitalizada
na ordem e em um u´nico arquivo.
• Em ambos os casos (digitada ou manuscrita) a entrega devera´ ser feita exclusiva-
mente em arquivo PDF (na˜o sera˜o aceitos arquivos de imagem como JPEG, JPG,
PNG, etc.) para o enderec¸o eletroˆnico hkramer@ct.ufpb.br.
– Assunto do email: [PO2 3Aval NOME1 NOME2]. Por
exemplo, [PO2 3Aval MARIA ANTONIO].
– Nome do arquivo: PO2 3Aval NOME1 NOME2.pdf. Por
exemplo, PO2 3Aval MARIA ANTONIO.pdf.
1. (2,0 pontos) Considere uma cadeia de Markov com os estados A e B. Suponha que
pAB = a e que pBA = b. Quais sa˜o os valores poss´ıveis de a e b para que a cadeia de
Markov seja irredut´ıvel? Justifique.
2. (2,0 pontos) Uma ma´quina e´ inspecionada diariamente para que seja diagnosticado
seu estado de conservac¸a˜o. Os estados de conservac¸a˜o poss´ıveis para a ma´quina sa˜o Bom
(1), Regular (2), Ruim (3) ou Quebrado (4). Quando a ma´quina se encontra em um
estado i < 4, no pro´ximo dia ela permanecera´ no mesmo estado com uma probabilidade
pii ou sera´ classificada em um estado j > i com probabilidade pij > 0. Quando a ma´quina
estiver quebrada (estado 4), devera´ ser realizada uma atividade de manutenc¸a˜o. A ma-
nutenc¸a˜o pode ser bem sucedida e a ma´quina estara´ no estado 1 no dia seguinte, ou mal
sucedida e no dia seguinte ela continuara´ quebrada, de modo que p41 > p44. A transic¸a˜o
entre estados e´ independente dos estados nos quais a ma´quina se encontrava no passado.
ATENC¸A˜O: Esta questa˜o depende do nu´mero da matr´ıcula. Se a atividade
estiver sendo feita em dupla, esta questa˜o deve ser resolvida duas vezes, uma
para cada mebro da dupla
a) (0,5 ponto) Explique por que o processo estoca´stico descrito e´ uma cadeia de Markov.
b) (0,5 ponto) Esta cadeia de Markov tem a seguinte matriz de transic¸a˜o:
P =

0, 80 0, 08 A
200
+ 0, 01 a
0 0, 72 b A
100
+ 0, 01
0 0 0, 60 c
d 0 0 A
50
+ 0, 01
 .
Encontre os valores de a, b, c e d, dado que A e´ o u´ltimo d´ıgito da sua matr´ıcula.
c) (0,5 ponto) Classifique os estados da cadeia. Se a cadeia for ergo´dica, encontre as
probabilidades de estado esta´vel. No longo prazo, qual a probabilidade de a ma´quina
estar quebrada?
d) (0,5 ponto) Esta cadeia de Markov e´ ergo´dica? Justifique classificando os estados
da cadeia. Se a cadeia for ergo´dica, encontre as probabilidades de estado esta´vel. No
longo prazo, qual a probabilidade de a ma´quina estar quebrada?
3. (1,0 ponto) Considere uma cadeia de Markov com seis estados (1, 2, 3, 4, 5 e 6) que
tem a seguinte matriz de transic¸a˜o de 1 etapa:
P =

0 1 0 0 0 0
0 0, 5 0, 5 0 0 0
0 0, 7 0, 3 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0, 4 0, 6
0 0 0 0 0, 2 0, 8
 .
a) (0,5 ponto) Classifique cada um dos estados desta cadeia de Markov. Se algum
estado for perio´dico, determine seu per´ıodo.
b) (0,5 ponto) Esta cadeia de Markov e´ ergo´dica? Justifique. Se a cadeia for ergo´dica,
escreva o sistema de equac¸o˜es necessa´rio para calcular probabilidades de estado
esta´vel.
4. (5,0 pontos) O tempo me´dio de atendimento de um determinado servic¸o e´ de 5
min/usua´rio com distribuic¸a˜o exponencial. A chegada de usua´rios tambe´m segue uma
distibuic¸a˜o exponencial com taxa de B usua´rios/h, onde B e´ o penu´ltimo d´ıgito de sua
matr´ıcula (se o penu´ltimo d´ıgito de sua matr´ıcula for zero, use B = 10). O sistema
tem um u´nico servidor e sempre que um atendimento estiver ocorrendo, os usua´rios que
chegarem devera˜o se organizar em uma fila u´nica e sera˜o atendidos segundo a disciplina
FCFS. Calcule:
ATENC¸A˜O: Esta questa˜o depende do nu´mero da matr´ıcula. Se a atividade
estiver sendo feita em dupla, esta questa˜o deve ser resolvida duas vezes, uma
para cada mebro da dupla
a) (0,5 ponto) A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
b) (0,5 ponto) O nu´mero me´dio de usua´rios em fila e o nu´mero me´dio de usua´rios no
sistema.
c) (0,5 ponto) O tempo me´dio de permaneˆncia em fila e o tempo me´dio de permaneˆncia
no sistema.
d) (0,5 ponto) A probabilidade de o sistema ter A ou mais usua´rios, onde A e´ o u´ltimo
d´ıgito de sua matr´ıcula (se o u´ltimo d´ıgito de sua matr´ıcula for zero, use A = 10).
e) (0,5 ponto) A probabilidade de um usua´rio permanecer mais do que 8 minutos no
sistema.
f) (2,5 pontos) Refac¸a os ca´lculos dos itens a ao g para o caso em que o sistema passe
a ter 2 servidores e 2 filas (uma para cada servidor).