Lista 4 GA

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Geometria Analítica
Lista 4
Prof: Rafael Santos
1o) Dado o ponto A = (2, 3,−4) e o vetor →v= (1,−2, 3), resolva:
a) Escreva as equações nas formas, vetorial, paramétrica e simétrica da reta r que
passa por A e tem a direção de
→
v .
b) Encontra dois pontos B e C de parâmetros λ = 1 e λ = 4, respectivamente.
c) Escreva a equação na forma simétrica que contém o ponto A e é paralela ao vetor
→
u= (3, 0,−1).
d) Determinar o ponto de r (reta do item a)) cuja abscissa é 4.
e) Verificar se os pontos D = (4,−1, 2) e E = (5,−4, 3) pertencem a r.
f ) Determinar para que valores de m e n o ponto F = (m, 5, n) pertence a r.
2o) Considere o ponto A = (2, 3,−1) e os vetores →u= (3, 4, 2) e →v= (2,−2, 6):
a) Determine as equações nas formas vetorial, paramétrica e geral do plano pi que
contém A e é paralelo aos vetores
→
u e
→
v .
b) Verifique se os pontos B = (1, 2, 0) e C = (0, 0, 1) pertencem ao plano.
c) Encontre um vetor normal ao plano.
d) Determine o valor de m em P = (1, 2,m) para que P ∈ pi.
3o) Sejam A = (1, 4, 0), B = (2, 1,−1) e C = (1, 2, 2), verifique que esses pontos são
vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura
relativa ao vértice B.
4o) Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta AB tal que
‖−−→PB‖ = 3‖−−→PA‖.
5o) Resolva os problemas abaixo:
a) Considere o plano pi que contém o ponto A = (3, 7, 1) e é paralelo a
→
u= (1, 1, 1)
e
→
v= (1, 1, 0). Verifique se o vetor
→
w= (2, 2, 5) é paralelo ao plano pi.
2
b) Seja pi o plano de equação geral ax + by + cz + d = 0. Mostre que o vetor
→
n= (a, b, c) não é paralelo a pi.
6o) Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A = (1, 1, 2) e é
paralelo ao plano: 
x = 1 + λ + 2µ
y = 2λ + µ
z = −λ
7o) Decomponha o vetor
→
u= (1, 2, 4) como soma de um vetor paralelo à reta r : X =
(1, 9, 18) + λ(2, 1, 0) com outro paralelo ao plano:
pi :

x = 1 + λ
y = 1 + µ
z = λ − µ
8o) Mostre que, se pqr , 0, os pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, r) não são colineares e o
plano determinado por eles pode ser descrito pela equação
x
p
+
y
q
+
z
r
= 1. Esta equação
é chamada de equação segmentária do plano.
9o) Sejam P = (2, 1,−1),Q = (0,−1, 0), A = (0, 3, 0) e B = (6, 3, 3). Determine um
ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 9.
10o) Calcule o volume do tetraedro determinado pelas retas r, s, t e o plano pi com
equações:
pi : x + y + z − 5 = 0; r : x = z = 0; s : x = y = 0; t : x − 2y = z = 0
11o) Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = (1, 1, 0)+λ(2, 1, 2)
e é paralelo a s :
x + 1
2
= y = z + 3.
3
12o) O triângulo ABC é retângulo em B e está contido em pi1 : x+ y+ z = 1. O cateto
BC está contido em pi2 : x− 2y− 2z = 0 e a hipotenusa mede 2
√
6
3
. Sendo A = (0, 1, 0),
determine B e C.
13o) Verifique que as retas: r :

x = 1 + λ
y = 2 − λ
z = 5 + λ
s :

x = −2 + 2λ
y = −5 + 3λ
z = 2 + 2λ
são concorrentes e
determine uma equação geral do plano por elas definido.
14o) Determine uma equação geral do plano cujas interseções com os eixos coordena-
dos do sistema de coordenadas (eixo x, eixo y e eixo z) são os pontos (3, 0, 0), (0,−2, 0)
e (0, 0,−3).
15o) Determine a interseção da reta:
x = 2 + λ
y = 1 + 2λ
z = 2 + 3λ
com o plano x + y − z = 3.
16o) Obtenha uma equação vetorial para a reta:
a) r :
x − y − 3z + 4 = 0x + 2y − 3z − 5 = 0
b) s :
x + 3y − z − 2 = 0x − 3y + z − 4 = 0
17o) Obtenha equações planares para as retas:
a) r : X = (1, 9, 4) + λ(−1, 1,−1)
b) s : X = (−7, 1, 10) + λ(−1, 0, 1)
18o) Determine a interseção dos planos pi1 : x − y = 1 − 3z e pi2 : 6z − 2y = 2 − 2x.
19o) Um triângulo retângulo de área 1 tem os catetos contidos nos eixos OX e OY e
a hipotenusa na reta r. Seus vértices têm coordenadas inteiras, e r é concorrente com a
reta:
s :
6x + 3y − 4z − 6 = 03y − 2z − 3 = 0
4
Escreva uma equação vetorial de r.
20o) Um hexágono regular contido em pi : x + y + z − 3 = 0 tem centro H = (1, 1, 1)
e seu lado mede
√
2. Determine seus vértices, sabendo que dois deles pertencem a
r : X = (1, 1, 1) + λ(1, 0,−1).
Gabarito/Dicas
1o) Relembre as equações apresentadas em sala:
a) X = (2, 3,−4) + λ(1,−2, 3),

x = 2 + λ
y = 3 − 2λ
z = −4 + 3λ
,
x − 2
1
=
y − 3
−2 =
z + 4
3
b) B = (3, 1,−1) e C = (6,−5, 8).
c) A reta não admite forma simétrica, pois uma das coordenadas do vetor diretor é
zero.
d) O ponto é (4,−1, 2).
e) D ∈ r e E < r.
f ) m = 1 e n = −7.
2o) Relembre as equações apresentadas em sala:
a) X = (2, 3,−1)+λ(3, 4, 2)+µ(2,−2, 6),

x = 2 + 3λ + 2µ
y = 3 + 4λ − 2µ
z = −1 + 2λ + 6µ
, 2x−y−z−2 = 0
b) Nenhum deles pertence.
c) Um vetor normal é
→
n= (2,−1,−1) e dá para deduzir isto apenas observando a
equação geral do plano!
d) m = −2.
3o) Mostre que os três pontos não são colineares, ou seja,
−−→
AB e
−−→
BC são LI. Uma equação
vetorial é X = (2, 1,−1) + λ(−1, 2, 2) e a dica para encontrá-la é notar que o triângulo
é isósceles (VERIFIQUE!).
4o) Os pontos são
(
3
4
,
7
4
,
15
4
)
ou
(
3
2
,
5
2
,
15
2
)
.
5o) Siga as dicas:
5
a) O vetor é paralelo ao plano. Encontre a equação geral do plano e aplique o
critério de paralelismo entre vetor e plano, mas você também pode ver se
→
u,
→
v e
→
w são LD e com isso concluir o paralelismo.
b) Aplique o critério e lembre que um vetor normal a um plano não pode ser nulo.
6o) A equação é: 
x = 1 + λ + 2µ
y = 1 + 2λ + µ
z = 2 − λ
7o)
→
u= (−10,−5, 0) + (11, 7, 4).
8o) Para a questão da não-colinearidade você vai utilizar seus conhecimentos sobre
conjuntos LI e LD. A equação segmentária vai ser deduzida após você encontrar a
equação geral e dividir por pqr , 0 (percebe agora o motivo desta condição?).
9o) (2, 1,−1) e
(
22
9
,
13
9
,
−11
9
)
. Tente interpretar geometricamente utilizando algum
software.
10o)
125
9
. Os vértices dos tetraedro serão dados pelas interseções: A ∈ pi ∩ r, B ∈
pi ∩ s,C ∈ pi ∩ t e D ∈ r ∩ s ∩ t, neste caso de interseção tripla, calcule a interseção
entre as duas retas e, se encontrar um único ponto, veja se este ponto está na terceira
reta. Depois calcule
1
6
|[−−→AB,−−→AC,−−→AD]|. Exercício IMPORTANTE, né?
11o) −x + 2y − 1 = 0. Para descrever um plano é suficiente encontrar dois vetores LI
paralelos a ele (vetores diretores). Tente ver que os vetores diretores das retas são LI e
escreva equação geral do plano.
12o) B =
(
2
3
,
2
3
,−1
3
)
e C =
(
2
3
,−1
3
,
2
3
)
ou C =
(
2
3
,
5
3
,−4
3
)
. Interprete geometrica-
mente!
13o) O ponto de interseção é P = (2, 1, 6) e uma equação é x − z + 4 = 0.
14o) 2x − 3y − 2z − 6 = 0.
15o) ∅.
16o) Após determinar a interseção, descubra um ponto e um vetor diretor.
a) r : X = (2, 3, 1) + λ(3, 0, 1)
b) s : X = (3, 1, 4) + λ(0, 1, 3)
6
17o) Há várias respostas possíveis, pois há vários modos de eliminar o parâmetro. Con-
fie em si mesmo...
18o) A interseção é pi1 = pi2 (coincidentes).
19o) X = (1, 0, 0) + λ(−1, 2, 0).
20o) Os vértices são (0, 1, 2); (2, 1, 0); (1, 2, 0); (0, 2, 1); (2, 0, 1) e (1, 0, 2).