Lista 6 GA

Prévia do material em texto

1
Geometria Analítica
Lista 6
Prof: Rafael Santos
1o) Determine a medida angular entre as retas:
a) r : X = (−5/2, 2, 0) + λ(1/2, 1, 1) s : z = 3x = 2y − 16
b) r : X = (3,−2, 0) + λ(1,−1, √2) s : X = (−2, 3,−5) + λ(1, 1, √2)
2o) Determine a medida angular entre a reta e o plano:
a) r : x = y − z = 0 e pi : z = 0
b) r : x = y = z e pi : z = 0
3o) Determine a medida angular entre os planos:
a) pi1 : 2x + y − z − 1 = 0 e pi2 : x − y + 3z − 10 = 0
b) pi1 : X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0) pi2 : x + y + z = 0
4o) Obtenha uma equação vetorial de uma reta que contém o ponto P = (0, 2, 1) e forma
ângulos congruentes com as retas r : X = (0, 0, 0)+λ(1, 2, 2), s : X = (1, 2, 3)+λ(0, 3, 0)
e t : X = (1, 2, 0) + λ(0, 0, 3).
5o) Obtenha equações na forma simétrica de uma reta r que contém o ponto P =
(1,−2, 3) e forma ângulos de 45◦ e 60◦, respectivamente, com os eixos Ox e Oy.
6o) Obtenha uma equação vetorial de uma reta paralela ao plano pi : 2x−y−z+1 = 0,
concorrente com as retas r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) e s : X = (0, 1, 0) + λ(0, 1, 1) e que
forma com elas (as retas) ângulos congruentes.
7o) Obtenha um vetor diretor de uma reta que é paralela ao plano pi : x + y + z = 0 e
forma ângulo de 45◦ com o plano pi1 : x − y = 0.
8o) O ângulo Aˆ do triângulo isósceles ABC mede 120◦. Sabendo que A = (1, 1, 1) e
que BC está contido na reta r : X = (2, 1, 0) + λ(1,−1, 0), determine B e C e calcule o
comprimento da altura relativa ao vértice A.
2
9o) Na figura abaixo temos um quadrado ABCD contido no plano pi : x − y − z = 0. Os
vértices do triângulo CDE são C = (1, 1, 0),D = (0, 1,−1) e E = (0, 0, 0). Determine a
medida do ângulo AEˆD.
10o) Na figura abaixo temos retas no plano OXY . Determine o valor de α + β + γ + θ.
3
11o) Determine a projeção ortogonal da reta sobre o plano.
a) r : X = (0,−13, 10) + λ(1, 11,−11) e pi : 2x − 3y + 5z = 3
b) r : X = (2, 0, 0) + λ(1,−1, 0) e pi : x + y + z + 1 = 0
Gabarito/Dicas
1o) Use a relação apresentada em aula:
a) θ = arccos
(
20
21
)
.
b) θ =
pi
3
.
2o) Use a relação apresentada em aula:
a) θ =
pi
4
.
b) θ = arcsen
 √33
.
3o) Use a relação apresentada em aula:
a) θ = arccos
(
2√
66
)
.
b) θ = arccos
(
1√
3
)
.
4o) Existem quatro soluções possíveis, mas note que o enunciado pede apenas uma.
Estude apenas uma delas quando for resolver! As soluções são:
w : X = (0, 2, 1) + λ(−1, 1, 1)
w : X = (0, 2, 1) + λ(3, 1,−1)
w : X = (0, 2, 1) + λ(−7, 1, 1)
w : X = (0, 2, 1) + λ(3,−1, 1)
5o) Existem quatro soluções possíveis, mas note que o enunciado pede apenas uma.
Estude apenas uma delas quando for resolver! As soluções são:
x − 1√
2
= y + 2 = z − 3
4
x − 1√
2
= y + 2 =
z − 3
−1
x − 1
−√2 = y + 2 = z − 3
x − 1
−√2 = y + 2 =
z − 3
−1
6o) Há duas possibilidades (escolha uma!) t : X = (2, 1, 0) + λ(1, 1, 1) ou t : X =(
2
9
,−7
9
, 0
)
+ λ (1,−3, 5).
7o) São duas possibilidades: (−2 + √3, 1, 1 − √3) ou (−2 − √3, 1, 1 + √3).
8o) B = (3, 0, 0),C = (0, 3, 0) e h =
√
6
2
.
9o) 75◦.
10o) 540◦.
11o) Não esqueça de verificar qual dos casos ocorre antes de determinar a projeção!
Caso a equação que você encontre seja diferente, não esqueça de confirmar se ela
descreve a mesma reta que as respostas abaixo!
a) r′ : X = (1,−2,−1) + λ(105, 80, 6).
b) r′ : X = (1,−1,−1) + λ(1,−1, 0).