Variável aleatória e distribuicao binominal

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Universidade Católica de Moçambique
Faculdade de Ciências Sociais e Politicas
Trabalho da Cadeira de: Estatistica I
3° Grupo
Curso: Contabilidade e Auditoria
1° Ano Pós Laboral
Tema: Variavel Discretas e Distribuicao Binominal
Discentes Docente 
Helena Xirinda Joao Raimundo Feniasse
Lúcio Hortêncio Ponto Victor Mariacanto
Magaly de Jesus Duarte
Quelimane, Abril de 2019
 
Universidade Católica de Moçambique
Faculdade de Ciências Sociais e Politicas
Trabalho da Cadeira de: Estatistica I
3° Grupo
Curso: Contabilidade e Auditoria
1° Ano Pós Laboral
Tema: Variavel Discretas e Distribuicao Binominal
Trabalho de Carácter avaliativo a ser entregue na cadeira Estatistica I leccionada pelo docente: Joao Raimundo Feniasse 
Quelimane, Abril de 2019
Introdução
O presente trabalho apresenta diferentes conceitos sobre a variável aleatoria e distribuição binominal. Para uma melhor compreensão o trabalho começa a abordar sobre aquilo que são as probabilidades, visto que a probabilidade estará em volta, ou seja, sempre envolvido no que tange ao tema principal que é variável aleatória e distribuição binominal. Variáveis Aleatórias são funções matemáticas que associam números reais aos resultados de um Espaço Amostral. Uma variável quantitativa geralmente agrega mais informação que uma qualitativa. Algumas vezes é mais apropriado construir modelos probabilísticos para Variáveis Aleatórias. Na grande maioria dos problemas práticos, encontramos dois tipos de variáveis aleatórias: as discretas e as contínuas. Estaremos concentrados no estudo das variáveis aleatórias discretas e estudaremos vários conceitos relacionados a elas. Para facilitar a elaboração do texto, muitas vezes usaremos a abreviação v.a. para denotar variável aleatória.
Probabilidades
Segundo Mayer (Cit. Magalhães, M. e Lima, A. 2008) um experimento, que ao ser realizado sob as mesmas condições não produz os mesmos resultados, é denominado um experimento aleatório. Exemplo: lançamento de uma moeda, medir altura,...
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é denominado espaço amostral (Ω). Pode conter um número finito ou infinito de pontos. Exemplo: {cara, coroa}, R,...
Os elementos do espaço amostral (pontos amostrais) são denotados por ω. Exemplo: ω1 = cara, ω 2 = coroa. 
Todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento aleatório, é um evento. Exemplo: A = “sair cara”, B = “sair face par”.
Axiomas de probabilidade
O mesmo autor afirma que, considerando probabilidade como sendo uma função P que associa valores numéricos à um evento A do espaço amostral, e que satisfaz as seguintes condições
0P(A) 1
 = P(A) + P(B) se, e somente se 
Os axiomas asseguram que as probabilidades podem ser interpretadas como frequências relativas.
Variável aleatória
De acordo com Vieira. S, (2008) quando você joga uma moeda, ou sai cara, ou sai coroa. O acaso determina o resultado. Quando, num jogo de baralho, você tira uma carta, pode sair carta de paus, de ouros, de espadas ou de copas. O acaso determina o resultado. Mas não é apenas nos jogos de azar que os resultados ocorrem ao acaso (p.197).
Imagine que uma casa foi escolhida por sorteio de uma comunidade de 5.000 domicílios. Todas as casas tiveram, portanto, igual probabilidade de serem amostradas. Um entrevistador vai, então, até a casa selecionada e pergunta gênero, idade e renda de todos os moradores. As respostas estão, evidentemente, associadas à casa escolhida. Se a casa sorteada tivesse sido outra, provavelmente o conjunto de respostas seria diferente. Logo, as respostas coletadas pelo entrevistador foram determinadas pelo acaso, uma vez que a casa foi escolhida por processo aleatório.
Definição
Em probabilidade, uma função X que associa a cada evento do espaço amostral um número real X(ω) R, é denominada uma variável aleatória (V.A.). Mayer (Cit. Magalhães, M. e Lima, A. 2008).
Uma variável aleatória pode ser classificada como discreta ou contínua, dependendo do domínio dos valores de X.
Exemplo: o número de alunos em uma sala é uma variável aleatória (discreta), denotada por X (maiúsculo). Uma observação dessa variável é denotada pela respectiva letra minúscula, e.g., x = 50 alunos.
Em geral, deno-se a probabilidade de uma V.A. X assumir determinado valor x como: P[X] ou P[X = x]
Dada a realização de um experimento aleatório qualquer, com um certo espaço de probabilidade, desejamos estudar a estrutura probabilística de quantidades associadas à esse experimento. Note que antes da realização de um experimento, não sabemos seu resultado, entretanto seu espaço de probabilidade pode ser previamente estabelecido. Dessa forma, pode se atribuir probabilidades aos eventos desse espaço amostral, dando origem ao conceito de variável aleatória.
Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Barbetta, R e Bornia (2004).
Exemplos:
Número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas;
Número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote;
Número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção;
Número de pessoas que visitam um determinado site, num certo período de tempo;
Exemplo:
Suponha que faz se e observa-se se é homem ou mulher. Suponha que quere se saber o número de mulheres sorteadas. Para isso, defina a variável aleatória X: R, onde X pode assumir os valores, 0,1,2 e 3. Se denotarmos homem por H e mulher por M, temos que ={ MMM;MMH;MHM;HMM;MHH;HMH;HHM;HHH}, e portanto X(MMM) = 3;X(MMH) = X(MHM) = X(HMM) = 2;X(MHH) = X(HMH) = X(HHM) = 1;X(HHH) = 0:
Uma variável é aleatória quando o acaso tem influência em seus valores. As variáveis aleatórias são indicadas por números. Se um jogador ganha quando sai cara, associamos o número 1 à saída de cara e o número zero à saída de coroa. Se a pessoa entrevistada numa pesquisa disser que tem 42 anos, a variável aleatória que representa idade de pessoas assumiu, nesse caso, valor 42. As variáveis aleatórias são, portanto, numéricas. Logo, podem ser discretas e contínuas.
Distribuições de probabilidade
Mayer (cit. Montgomery, e Runger, 2012) diz que: Existem diversos modelos probabilísticos que procuram descrever vários tipos de variáveis aleatórias: são as distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias (discretas ou contínuas).
A distribuição de probabilidades de uma V.A. X é, portanto, uma descrição das probabilidades associadas com os possíveis valores de X. Os valores que X assume determinam o suporte (S) da V.A. 
Variáveis discretas suporte em um conjunto de valores enumeráveis (finitos ou infinitos);
Variáveis contínuas suporte em um conjunto não enumerável de valores.
Denomina-se de distribuição de probabilidade de alguma variável aleatória, a regra geral que define a:
Função de probabilidade (fp) (V.A.s discretas), ou a
Função densidade de probabilidade (fdp) (V.A.s contínuas) para a variável de interesse.
Existem muitas distribuições de probabilidade, mas algumas merecem destaque por sua importância prática. Estas distribuições também são chamadas de modelos probabilísticos.
Variáveis Aleatórias Discretas
Como abordamos anteriormente dentre as variáveis aleatórias reais, existem dois grandes grupos: as variáveis aleatórias discretas e as variáveis aleatórias contínuas. Nosso objetivo nesta seção consiste em definir, e apresentar vários exemplos de variáveis aleatórias discretas.
Definição:
Segundo Barbetta, R e Bornia (2004) dizem, Seja um espaço amostral e seja X: R uma variável alheatória. Se existe uma sequência números a1;a2;a3,... tais que X só pode assumir um dos valores dessa sequência. Então dizemos que X é uma variável aleatória discreta.Apesar da sequência a1, a2, a3,... for uma sequência infinita, o conjunto de valores possíveis para a variável aleatória X pode ser finito ou infinito enumerável. Por infinito enumerável, nós queremos dizer um conjunto infinito que pode ser indexado pelo conjunto dos números naturais, ou seja, pelo qual podemos escrever uma sequência numérica cobrindo todos os números.
Uma V.A. é classificada como discreta se assume somente um conjunto enumerável (finito ou infinito) de valores. Mayer (cit. Montgomery, e Runger, (2012)
Exemplo:
Numero de filhos - Com dados do ultimo censo, a assistente social de um censo de saúde constatou que para as famílias da região:
20% não têm filhos
30% têm 1 filho
35% têm 2 filhos
15% têm igualmente 3, 4 ou 5 filhos.
Interesse: Estudo da variável N = numero de filhos.
Suponha que uma família será selecionada aleatoriamente nessa região e o numero de filhos averiguado, o interesse é o estudo de N.
N pode assumir os valores em = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
P (N = 0) = 0:2
P (N = 1) = 0:3
P (N = 2) = 0:35
P (N = 3) = P (N = 4) = P (N = 5) = 
Finalmente, determinamos uma "função de probabilidade" para N:
Tabela de Numero de Filhos
	N
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Xi
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	X6
	Pi
	0.20
	0.30
	0.35
	0.05
	0.05
	0.05
Fonte: Veronica Gonzalez-Lopez (2006)
Tal que 
Função Discreta de Probabilidade
Segundo Mayer (Cit. Magalhães, e Lima, (2008) A função de probabilidade (fp) da VA discreta X, que assume os valores x1, x2...xn, é a função que atribui probabilidades a cada um dos possíveis valores: {[xi, p(xi )]; i = 1, 2,...} ou seja,
P[X = xi] = p (xi) = pi , i = 1, 2…
Ou seja, Função que atribui a cada valor da variável discreta X sua probabilidade. Com as seguintes propriedades:
P (X = xi ) = pi , em que x assume os valores em = {x1; x2...}
0 pi 1
Exemplo
Lançamento de duas moedas. X = número de resultados cara (C).
Elementos de CR, CC, RR, RC.
Podemos montar uma tabela de distribuição de frequência para a variável aleatória X = número de resultados cara (C).
	X
	Frequência (fi )
	Frequência relativa (fr )
	0
	1
	¼= 0.25
	1
	2
	2/4= 0.5
	2
	1
	¼= 0.25
	∑
	4
	1
Fonte: Fernando de Pol Mayer (2008)
Assim podemos associar a cada valor de X sua probabilidade correspondente, como resultado das frequências relativas. 
P[X = 0] = 1/4
P[X = 1] = 2/4 = 1/2
P[X = 2] = ¼
Dessa forma, a distribuição de probabilidade da variável aleatória X = número de resultados cara (C) é a tabela: 
	X
	P[X = xi ] = p(xi )
	0
	¼
	1
	½
	2
	¼
	∑
	1
Fonte: Fernando de Pol Mayer (2008)
Repare que as propriedades da função de probabilidade estão satisfeitas:
As probabilidades p(xi ) estão entre 0 e 1;
A soma de todas as probabilidades p(xi ) é 1.
Função de Distribuição Acumulada
Um grupo de 1000 crianças foi analisado para determinar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia. As crianças recebiam uma dose de vacina e apos um mês passavam por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose. Ao fim de 5 doses, foram consideradas imunizadas.
Variável de interesse: X = numero de doses
	Dados (X)
	1
	2
	3
	4
	5
	∑
	freq.
	245
	288
	256
	145
	66
	1000
	Pi
	0.245
	0.288
	0.256
	0.145
	0.066
	1.00
Fonte: Barbetta, R e bornia (2004).
Uma criança é sorteada ao acaso, qual seria a probabilidade dela ter recebido 2 doses?
P (X = 2) = 288/1000 = 0,288.
Qual a probabilidade da criança ter recebido até duas doses?
P (X 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0:245 + 0:288 = 0,533
Em geral, a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de uma variável discreta X é definida por F (x) = P (X x). Assim, se X assume os valores em = {x1; x2,... xn}:
F (x1) = P (X = x1)
F (x2) = P (X = x1) + P (X = x2)
F (xn) = P (X = x1) +...+ P (X = xn)
Esperança 
Para Mayer (Cit. Magalhães, M. e Lima, A. 2008) o valor esperado, ou média, ou esperança matemática é uma quantidade utilizada como resumo do comportamento de uma V.A. A média de uma distribuição de probabilidade é a esperança de sua variável aleatória.
A esperança de uma V.A. X é obtida multiplicando-se cada valor de X = xi , por sua respectiva probabilidade P[X = xi ], e somando os produtos resultantes
E(x)=
A esperança é o valor médio que esperaríamos se o experimento continuasse sendo repetidas várias vezes.
Exemplo: 
Determine o valor esperado do número de solicitações de empréstimos aprovados por semana (X)
	X
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	∑
	P [X = xi ]
	0.1
	0.1
	0.2
	0.3
	0.15
	0.1
	0.05
	1,00
	X* P [X = xi ]
	0
	0.1
	0.4
	0.9
	0.6
	0.5
	0.2
	2.8
	X2
	0
	1
	4
	9
	16
	25
	36
	
	X2* P [X = xi ]
	0
	0.1
	0.80
	2.7
	2.4
	2.5
	1.8
	10.3
E(x)= = 0*0.1+1*0.1+2*0.2...6*0.05 = 2.8
Variância
O mesmo autor afirma que, A variância dá o grau de dispersão dos valores de uma variável aleatória em relação à sua média ou 
 E(X2) E(X)2
E(X2)=
O desvio-padrão de uma variável aleatória X será portanto DP(X) =
Assim como a esperança E(X), a variância Var(X) também tem importância na caracterização de diversas distribuições de probabilidade. Quando se conhece a esperança e a variância de um modelo, ele fica totalmente caracterizado, ou seja, sabemos seu formato geral.
E(x)=
E(X2)==10.3
Var(X) = E(X2) - E(X)2=10.32.82=2.46
Propriedades de esperança e variância
Dada a VA discreta X e a respectiva função de probabilidade P[X = xi ], a esperança da função h(X) é dada por: E[h(x)]=. 
Com isso, pode ser demonstrado que a esperança e a variância possuem as seguintes propriedades:
E(aX + b) = aE(X) + b
Var(aX + b) = a2Var(X)
Sendo a e b constantes.
Distribuições discretas de probabilidade
Os modelos de probabilidade são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza, ou experimentos por nós construídos. Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros.
O modelo deve representar, na medida do possível, a complexidade que envolve o mundo real da população em estudo. Lembrando que uma V.A. fica completamente caracterizada pela sua função de probabilidade e seus parâmetros. Da Fonceca, J. S. e Martins, G. de A. (2010). 
Modelo Bernoulli
Definição:
Para Da Fonceca,e Martins, (p.63. 2010) Uma variável aleatória X segue o modelo Bernoulli se assume apenas os valores 0 (“fracasso”) ou 1 (“sucesso”). Sua função de probabilidade é dada por
P[X = x] = px (1 - p)x-1, x = 0, 1
onde o parâmetro 0 p1 é a probabilidade de sucesso.
Esperança e variância: 
E(X) = p e Var(X) = p(1 p)
Exemplo: lançamento de uma moeda, sexo de um bebê, resultado de um teste de germinação,. 
Exemplo: No lançamento de uma moeda, considere cara como o evento de sucesso. Qual a probabilidade de sair cara, sendo que p = 1/2?
X=1, cara e 0, Corroa. Temos que:
	X
	P[X = x]
	P=1/2
	0
	1 P
	1/2
	1
	P
	1/2
Modelo binomial
Definição
Da Fonceca, e Martins, (p.64. 2010) Diz seja um experimento realizado dentro das seguintes condições:
São realizados n “ensaios” de Bernoulli independentes;
Cada ensaio só pode ter dois resultados possíveis: “sucesso” ou “fracasso”;
A probabilidade p de sucesso em cada ensaio é constante.
Vamos associar a V.A. X o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli. Portanto X poderá assumir os valores 0, 1...n.
Vamos determinar a distribuição de probabilidade de X, através da probabilidade de um número genérico x de sucessos.
Suponha que ocorram sucessos (1) apenas nas x primeiras provas, e fracassos (0) nas n x provas restantes: x= 1,1,1...,1 n
Porém, o evento: “x sucessos em n provas” pode ocorrer de diferentes maneiras (ordens) distintas, todas com a mesma probabilidade. Como o número de ordens é o número de combinações de n elementos tomados x a x, então a probabilidade de ocorrerem x sucessos em n provas de Bernoulli será então a distribuição binomial, dada por
P[X = x] =(px(1p)n-x,x=0,1...,n
Onde
(=
É o coeficiente binomial, que dá o número total de combinações possíveis de n elementos, com x sucessos.
Exemplo: número de caras no lançamento de 20 moedas, número de meninos entre 10 bebês, número de sementes germinadas em 100 sementes.
Esperança e variância
a esperança e a variância de uma V.A. X que possui distribuição binomial, são dadas por
E(X) = np e Var(X) = np(1 p)
Portanto, conhecendo os parâmetros n e p, podemos agora utilizar estas definições para calcular a esperança e a variância de uma V.A. X binomial, sem a necessidade de realizar os cálculos pelas equações gerais de esperança e variância.
Distribuição binomial
Para Vieira. (pag. 189. 2008) Uma distribuição de probabilidades bem conhecida é a distribuição binomial, que estuda o número X de sucessos em n tentativas e as suas respectivas probabilidades.
Para aprender a trabalhar com a distribuição binomial, imagine que em determinada maternidade nasceram três bebês em um dia. Vamos estudar a distribuição de meninos em três nascimentos.
Fazendo A indicar menina e O indicar menino, os eventos possíveis são os seguintes:
	AAA
	AAO
	AOO
	OOO
	
	AOA
	OAO
	
	
	OAA
	OOA
	
Fonte: Vieira. S, (2008 pag. 189)
O número de meninos que pode ocorrer em três nascimentos é uma variável aleatória binomial, que indicaremos por X. A Tabela apresenta os valores possíveis de X e o número de vezes que cada um deles ocorre, conforme mostrado no esquema.
Números possíveis de meninos em três nascimentos.
	Valor de X
	0
	1
	2
	3
	Frequência
	1
	3
	3
	1
	Probabilidade
	q3
	3pq2
	3p2q
	p3
	P(X)
	0.125
	0.375
	0.375
	0.125
Fonte: Vieira. S, (2008, pp. 190 – 191)
Seja p a probabilidade de nascer menino e q a probabilidade de nascer menina. Evidentemente, p + q = 1. Se nascerem três meninas, isto é, se ocorrer o evento AAA, a variável aleatória X assume valor zero, com probabilidade: P [X= 0) = P[A] x P[A] X P[A] = q X q X q = q3. Se nascerem duas meninas e um menino, X assume valor 1. 
Mas duas meninas e um menino podem ocorrer de três maneiras diferentes. Veja as probabilidades:
P[A] X P[A] x P[O] = q x q x p = pq2
P[A] X P[O] X P[A] = q x p x q = pq2
P[O] X P[A] X P[A] = p x q x q = pq2. Então: P [X= 1) = 3pq2
Se nascerem uma menina e dois meninos, X assume valor 2. Mas uma menina e dois meninos podem ocorrer de três maneiras diferentes. Veja as probabilidades: P[X=2]=3p2q
Se nascerem três meninos, isto é, se ocorrer o evento 000, a variável aleatória X assume valor 3, com probabilidade: P[x=3]= p3. 
Vamos considerar, por facilidade, que a probabilidade de nascer menino é p = 0,5 e que a probabilidade de nascer menina é q = 0,5, embora se saiba que a probabilidade de nascer menino é ligeiramente maior do que 0,5. Estamos, também, ignorando nascimentos de gêmeos e nascimentos múltiplos. Considerando: p = 0,5 e q = 0,5 obtemos a distribuição de probabilidades do número de meninos em três nascimentos.
Caracterização da distribuição binomial
Vieira, (2008 pag 192.). Uma distribuição binomial tem as seguintes características:
Consiste de n ensaios, ou n tentativas, ou n eventos idênticos.
Cada ensaio só pode resultar em um de dois resultados, identificados como "sucesso" e "fracasso" - com valores 1 e zero, respectivamente.
A variável aleatória X é o número de sucessos em n ensaios.
A probabilidade de sucesso (ocorrer o evento de interesse) é p e o valor de p permanece o mesmo em todos os ensaios.
Os ensaios são independentes: o resultado de um ensaio não tem efeito sobre o resultado de outro. 
A distribuição binomial fica, portanto, definida quando são dados dois parâmetros:
n, isto é, o número de ensaios (p. ex., se uma moeda for lançada 10 vezes);
p, isto é, a probabilidade de· sucesso em uma tentativa (por exemplo, a probabilidade de sair cara quando se joga uma moeda).
Função de distribuição na distribuição binomial
Vieira, (2008 pag. 192) Vamos aceitar, sem demonstração, que, dada uma distribuição binomial de parâmetros n e p, a probabilidade de ocorrerem x eventos favoráveis é dada pela fórmula:
 em que (= P[X = x] =pxxn-x
Exemplo: Cálculo de probabilidades na distribuição binomial.
Reveja o Exemplo. A probabilidade de uma criança de 6 anos ter cárie é p = 0,4 (ou 40%). Calcule a probabilidade de duas (X= 2) das quatro (n) crianças examinadas terem cáries aplicando a fórmula:
P[X = 2] =(=0.3456
Média e variância na distribuição binomial	
Vieira, (2008 pag. 194), explica que: A media µ (lê-se: mi) de uma distribuição binomial é dada pela fórmula: µ=np
e a variância (lê-se: sigma ao quadrado) é dada pela fórmula: 
Exemplo: Média e variância da distribuição binomial.
A probabilidade de nascer um menino é p = 0,5 (ignorando nascimentos de gêmeos e nascimentos múltiplos). Calcule a média e a variância do número de meninos em 1.000 nascituros.
µ=np=1.000*0.5=500 meninos
 
Conclusão 
Apos a realização do trabalho com o tema principal variável aleatórias e distribuição binominal, o grupo conclui que Os parâmetros de uma distribuição binomial são o número de realizações do Experimento e a probabilidade de “sucesso” em cada realização. Visto que Muitos experimentos aleatórios fornecem resultados numéricos, como no caso do lançamento de um dado. Por outro lado, outros experimentos podem fornecer resultados não numéricos, embora possamos associar números aos resultados possíveis. No lançamento de uma moeda, por exemplo, podemos associar o número 1 à ocorrência de cara e o número 2 à ocorrência de coroa. Ao trabalhar com esses números, estaremos sempre interessados em associar probabilidades a eles.
6. Referencias Bibliográficas
Barbetta, R e Bornia.( 2004). Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas. São Paulo Brasil.
Da Fonceca, J. S., Martins, G. de A. (2010). Curso de Estatística. (6 ed.). Atlas. São Paulo, Brasil.
Magalhães, M., Lima, A. ( 2008). Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: EDUSP.
Montgomery, D. Runger, G. ( 2012). Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC Editora.
Sonia Vieira. (2008). Introdução à Bioestatística. (4ª ed). Elsevier Editora Ltda. Rio de Janeiro, Brasil